extensia câmpului algebric- — Subiecte securitatea informațiilor câmp de extensie EN… Manualul Traducătorului Tehnic

Un câmp E care conține câmpul K dat ca subcâmp. Tipuri de extensii O extensie algebrică este o extensie ale cărei toate elementele sunt algebrice peste K, adică orice element al căruia este rădăcina unui polinom f (x) c ... ... Wikipedia

O extensie algebrică a câmpului EÉ K care este normală și separabilă. În aceste condiţii, E va avea cel mai mare număr automorfisme peste K (dacă E este finit, atunci și numărul de automorfisme este finit și egal cu gradul de extensie). ... ... Wikipedia

Un semigrup A este un semigrup S care conține A ca subsemigrup. De obicei vorbim despre extensii ale semigrupului A legate de Atemi sau alte condiții. Teoria idealului R. semigrupuri (semigrupuri care conțin A ca ... ... Enciclopedie matematică

O ecuație de forma unde este un polinom de gradul al n-lea într-una sau mai multe variabile. Ay. cu unul necunoscut ecuație de forma: Aici n este un număr întreg număr nenegativ, numit coeficienții ecuației și sunt date, hnaz. necunoscut și este... Enciclopedie matematică

Câmpuri k algebrice. o extensie a câmpului k, care este un câmp închis algebric. O astfel de extensie pentru orice câmp k există și este definită în mod unic până la izomorfism. A. h. câmpuri numere reale este domeniul numere complexe(cm.… … Enciclopedie matematică

O extensie normală este o extensie algebrică a câmpului EQ K pentru care fiecare polinom ireductibil f(x) peste K care are cel puțin o rădăcină în E se descompune în E în factori liniari. Definiție echivalentă: Dacă KÌ EÌ K*, unde K* ... ... Wikipedia

O extensie separabilă este o extensie algebrică a unui câmp constând din elemente separabile, adică elemente α astfel încât anihilatorul minim f(x) peste K nu are rădăcini multiple. Derivata f (x) trebuie să fie conform celor de mai sus ... ... Wikipedia

O extensie a câmpului astfel încât E este dimensional finit peste K ca spațiu vectorial. Dimensiunea unui spațiu vectorial E peste K se numește grad de extensie și se notează cu . Proprietățile extensiilor finite O extensie finită este întotdeauna algebrică. În ...... Wikipedia

Câmpuri O extensie algebrică L a unui câmp K care îndeplinește una dintre următoarele condiții echivalente: 1) orice încorporare a câmpului L într-un câmp algebric închiderea câmpului K este un automorfism al câmpului L; 2) L este câmpul de descompunere al unei familii de polinoame cu ... ... Enciclopedie matematică

Lasă câmpul P cuprinse în câmp Tși A- element T nedeținută P. Luați în considerare cel mai mic câmp P(A) conţinând toate elementele din Pși A. Toate elementele de vizualizare îi aparțin P(A). Să luăm în considerare două cazuri.

Câmpuri de sfârșit.

Teorema 4.2. Numărul de elemente ale câmpului finit p n , unde p este un număr prim.

Dovada. Deoarece câmpul P este finit, caracteristica sa este diferită de zero. Fie p caracteristica sa. Câmpul P, poate fi considerat ca un spațiu vectorial peste Z p . Notați prin v 1 ,…,v n baza P. Orice element al câmpului P este caracterizat în mod unic de coordonatele (x 1 ,…,x n) în această bază. Fiecare coordonată ia valori p, prin urmare, numărul de seturi diferite de coordonate și, prin urmare, elementele câmpului P, este egal cu p n .

Lema 4.1 În domeniul caracteristicilor p .

Dovada. , unde este multiplicitatea apariției elementului. Valoarea nu este divizibilă cu p numai în caz i= 0;p. pentru că pe=0, apoi .

Teorema 4.3. Pentru orice n natural și prim p există un câmp de ordin p n .

Extindem Z p astfel încât câmpul rezultat să conțină toate rădăcinile polinomului . Polinomul nu are rădăcini multiple deoarece derivata sa este -1. Notăm cu M mulțimea rădăcinilor polinomului . Este ușor de verificat că M este un câmp și numărul elementelor sale este egal cu p n

Teorema 4.4. Câmpul de ordine este unic până la izomorfism.

Dovada.

Deoarece numărul de elemente ale câmpului, atunci caracteristica acestuia este egală cu . Prin urmare, orice domeniu P ordinea poate fi gândită ca o prelungire a inelului de reziduuri. Grupul multiplicativ al câmpului () are ordinea și, prin urmare, este adevărat pentru orice . Astfel, toate elementele câmpului sunt rădăcinile ecuației peste .

Teorema 4.5. Grup multiplicativ rădăcini n Puterea a 1 din câmpul P este ciclică.

Dovada. Lăsa p caracteristica câmpului P. Daca atunci , și, prin urmare, mulțimea rădăcinilor ecuației coincide cu mulțimea rădăcinilor de gradul . Fără pierderea generalității, putem presupune că . Dovada este suficientă pentru cazul în care toate rădăcinile n puterea a 1 conținută în câmp P. În caz contrar, extindem câmpul și folosim faptul că orice subgrup grup ciclic- ciclic. Pentru că are o singură rădăcină egală cu zero, apoi numărul de rădăcini n Puterea a 1 este egală cu n. Luați în considerare trei cazuri:

1. n- Număr prim. Apoi grupul rădăcină are ordinea n, și, prin urmare, ciclic

2. - grad număr prim. Să găsim rădăcina ecuației, care nu este rădăcina ecuației. Ordinea elementelor este un divizor al ordinii grupului nși nu este un divizor. Prin urmare, ordinea este n iar grupul este ciclic.

3. Fie . Se notează cu elementul generator al grupului ciclic de rădăcini de gradul 1 . Lăsa . Prin inducție pe k Să arătăm că ordinea este . La k=1 afirmația este evidentă. Să fie dovedit k-unu. Ordinea elementelor este . Cel mai mare divizor comun tși este egal cu 1 și, prin urmare, există numere uși v, ce . Deoarece și , atunci ordinea elementului este divizibil cu tși pe . În plus, din egalitatea , rezultă că ordinea elementului este un divizor. Teorema a fost demonstrată.

Teoria Galois

Camp T se numește extensie finită a câmpului P, dacă T este desigur dimensională spațiu liniar de mai sus P. Dimensiunea spațiului se numește grad de expansiune.

Orice extensie de câmp algebric P este definitivă. Gradul său este egal cu gradul polinomului ireductibil.

Teorema 5.1. Încheiați extensia U câmpuri T, care este o extensie finită a câmpului P, este o extensie finită P. Mai mult, gradul de expansiune U de mai sus P este egal cu produsul puterilor de expansiune.

Dovada. Aproape evident.

Element de câmp T se numește peste algebric P dacă este o rădăcină a unui polinom peste P.

Toate elementele extensiei finite P sunt algebrice peste P.

Orice extensie finită poate fi obținută prin adăugarea unui număr finit de extensii algebrice.

Teorema 5.2. Orice extensie de câmp finit P caracteristica 0 este o extensie simplă.

Dovada nu este evident.

Încheiați extensia T numită expansiune normală P, dacă din faptul că un polinom ireductibil peste P are in T rădăcină, urmează descompunerea sa în factori liniari. Este clar că o extensie normală a unui câmp cu caracteristica 0 este un câmp de descompunere a unui polinom. Este adevărat și invers. Câmpul de descompunere al unui polinom este o extensie normală.

Un automorfism al unui câmp este o mapare izomorfă pe sine.

Grupul Galois de extensie normală T câmpuri P se numește grupul de automorfism al câmpului T, care păstrează elementele câmpului P.

Teorema 5.3. Fiecare câmp intermediar U, corespunde unor subgrupe ale grupului Galois, și anume, mulțimii acelor automorfisme care nu schimbă elementele lui . Câmpul este determinat în mod unic de subgrup.

Introducere.

LA universități pedagogice a fost introdus un program al unui curs unificat de algebră și teoria numerelor. Scopul principal al acestui curs este de a studia elementele de bază sisteme algebriceși educarea culturii algebrice necesare viitorului profesor pentru o înțelegere profundă a scopurilor și obiectivelor atât cursului principal de matematică școlar, cât și cursurilor școlare opționale.

În opinia noastră, cea mai convenabilă este introducerea elementelor de algebră abstractă modernă în predarea școlară.

Procesul de algebrizare a matematicii, care a început în secolul al XX-lea, nu se oprește, iar acest lucru determină încercări persistente de a introduce concepte algebrice de bază în educația matematică școlară.

Profunzimea matematică și o gamă neobișnuit de largă de câmpuri sunt combinate cu simplitatea prevederilor sale principale - conceptele de câmpuri, întreaga linie pot fi formulate şi demonstrate teoreme importante, având idei iniţiale în domeniul teoriei mulţimilor. Prin urmare, teoria câmpului este cea mai bună modalitate de a le arăta școlarilor un exemplu de matematică modernă.

În plus, studiul elementelor de teorie a câmpului este util școlarilor, contribuie la creșterea intelectuală a acestora, care se manifestă în dezvoltarea și îmbogățirea diferitelor aspecte ale gândirii, calităților și trăsăturilor de personalitate ale acestora, precum și insuflarea elevilor un interes în matematică și știință.

1. O extensie simplă de câmp algebric.

1.1.Extindere simplă a câmpului.

Fie P[x] un inel polinomial în x peste un câmp P, unde P este un subcâmp al câmpului F. Reamintim că un element a dintr-un câmp F se numește algebric peste un câmp P dacă a este rădăcina unui câmp pozitiv polinom de grad în P [x].

Definiție. Fie P< F и a0F. Простым расширением поля Pс помощью элемента a называется наименьшее подполе поля F, содержащее множество Р и элемент a. Простое расширение Pс помощью a обозначается через P (a), основное множество поля P (a) обозначается через Р(a).

Fie a0F, P [x] inelul de polinoame din x și

P[x]=(f(a)*f0P[x]),

adică P [a] este mulțimea tuturor expresiilor de forma a 0 + a 1 a+...+ a n a n , unde a 0 , a 1, ... a n 0P și n este oricare numar natural.

Este ușor de observat că algebra +P[a], +, -, ., 1, - un subinel al câmpului P (a) - este un inel; acest inel este notat cu P[a].

Teorema 1.1. Fie P[x] un inel polinom în x peste P și P(a) o simplă extensie a câmpului P. Fie y o mapare de la P[x] la P[a] astfel încât y(f)=f (a) pentru orice f din P[x]. Apoi:

(a) pentru orice a din P y (a) = a;

(c) y este un homomorfism al inelului P [x] pe inelul P [a];

(d) Kery =(f0P[x]*f(a)=0);

(f) inelul coeficient P[x]/Ker y este izomorf cu inelul P[a].

Dovada. Afirmațiile (a) și (b) rezultă direct din definiția lui y. Maparea y păstrează operațiile principale ale inelului P[x], deoarece pentru orice f și g din P[x]

y(f + g)=f(a)+g(a), y(fg)= f(a)g(a), y(1)=1.

Afirmația (d) rezultă direct din definiția hărții y.

Deoarece y este un homomorfism al inelului P[x] pe P[a], inelul coeficient P[x]/Ker y este izomorf cu inelul P[a].

Corolarul 1.2. Fie a un element transcendental peste un câmp P. Atunci inelul polinomial P[x] este izomorf cu inelul P[a].

Dovada. Datorită transcendenței unui peste PKery=(0). Prin urmare, P[x]/(0)–P[a]. Mai mult, inelul coeficient al inelului P [x] este izomorf cu P [x] de idealul zero. Prin urmare, P[x]–P[a].

1.2 Polinom minim al unui element algebric.

Fie P [x] inelul de polinoame peste câmpul P.

Definiție. Fie a un element algebric peste un câmp P. Polinomul minim al unui element a peste P este un polinom normalizat în P[x] de gradul cel mai mic a cărui rădăcină este a. Gradul unui polinom minim se numește gradul unui element a peste P.

Este ușor de observat că pentru orice element a care este algebric peste P , există un polinom minim.

Propunerea 1.3. Dacă a este un element algebric peste un câmp P și g și j sunt polinoamele sale minime peste P, atunci g=j.

Dovada. Gradele polinoamelor minime g și j coincid. Dacă g¹j, atunci elementul a (de gradul n peste P) va fi o rădăcină a polinomului g - j, al cărui grad este mai mic decât gradul polinomului j (mai mic decât n), ceea ce este imposibil. Prin urmare, g=j.

Teorema 1.4. Fie a un element algebric de grad n peste un câmp P (aóP) și g polinomul său minim peste P. Atunci:

(a) polinomul g este ireductibil în inelul P [x];

(b) dacă f (a) = 0, unde f0P[x], atunci g împarte f;

(c) inelul coeficient P [x]/(g) este izomorf cu inelul P [a];

(d) P[x]/(g) este un câmp;

(f) inelul P[a] coincide cu câmpul P(a).

Dovada. Să presupunem că polinoamul g este reductibil în inelul P [x], adică există polinoame j și h în P[x] astfel încât

g = jh, 1£deg j, deg h

Atunci g(a) = j(a)h(a) = 0. Deoarece P (a) este un câmp, atunci j(a) = 0 sau h(a) = 0, ceea ce este imposibil deoarece, prin presupunere, elementul de grad a peste P este egal cu n.

Să presupunem că f0 P[x] și f(a) = 0. Prin presupunerea, g(a) = 0. Prin urmare, f și g nu pot fi coprim. Deoarece polinomul g este ireductibil, atunci g împarte f.

Fie j homomorfismul inelului P [x] pe inelul P [a] (y(f)=f(a) pentru orice f din P[x]) considerat în Teorema 2.1. În virtutea (b), nucleul homomorfismului y este format din multipli ai polinomului g, adică, Ker y = (g). Prin urmare, inelul coeficient P = P [x]/(g) este izomorf cu inelul P [a].

Deoarece P[a]ÌP(a), atunci P [a] este un domeniu de integritate. pentru că [email protected][a], atunci inelul coeficient P este, de asemenea, un domeniu de integritate. Trebuie să arătăm că orice element diferit de zero f din P este inversabil în P. Fie f un element al setului f. Deoarece f¹ 0, atunci f(a)¹0; deci polinomul g nu împarte polinomul f. Deoarece polinomul g este ireductibil, rezultă că polinoamele f și g sunt între prime. Prin urmare, există polinoame u și v în Р[x] astfel încât uf + vg=1. Aceasta implică egalitatea uf = 1, ceea ce arată că elementul f este inversabil în inelul P. Astfel, am stabilit că inelul coeficient P este un câmp.

În virtutea (c) și (d), P[a] este un câmp și deci P(a)ÌP[a]. Mai mult, evident, P[a]ÌP(a). Prin urmare, P[a] = P(a). Prin urmare, inelul P[a] coincide cu câmpul P(a).

1.3 Structura unei extensii de câmp algebric simplu.

Teorema 1.5. Fie a un element algebric peste câmpul P de grad pozitiv n. Atunci orice element al câmpului P(a) poate fi reprezentat în mod unic ca combinație liniară n elemente 1, a, ..., a n-1 cu coeficienți din P.

Dovada. Fie b orice element al câmpului P (a). Prin teorema 1.4, P(a) = P[a]; deci există un polinom f în P[x] astfel încât

Fie g polinomul minim pentru a peste P; în virtutea ipotezei teoremei, gradul acesteia este egal cu n. Prin teorema împărțirii cu rest, există polinoame h și r în P[x] astfel încât

(2) f = gh + r, unde r = 0 sau derr< derg = n , т. е. r=c 0 +c 1 x +…c n -1 x n -1 (c i 0P). Полагая в (2) x = а и учитывая равенство (1), имеем

(3) b = c 0 +c 1 a +…c n -1 a n-1

Să arătăm că elementul b este reprezentabil unic ca o combinație liniară a elementelor 1, a, ..., a n-1 . Lăsa

(4) b = d 0 +d 1 a +…d n -1 a n-1 (d i 0P)

Orice astfel de performanță. Se consideră un polinom j

j \u003d (c 0 - d 0) + (c 1 - d i .)x + . . . + (cu n-1 –d n -1)x n -1

Cazul în care gradul lui j este mai mic decât n este imposibil deoarece, în virtutea (3) și (4), j(a) = 0 și gradul lui j este mai mic decât gradul lui g. Singurul caz posibil este când j = 0, adică cu 0 = d 0 , . . . , cu n-1 = d n-1. Prin urmare, elementul b este reprezentabil în mod unic ca o combinație liniară de elemente 1, a,...,a n-1 .

1.4 Scutirea de iraționalitate algebrică în numitorul unei fracții.

Problema de a scăpa de iraționalitatea algebrică în numitorul unei fracții este următoarea. Fie a un element algebric de grad n>1 peste un câmp P; f și h sunt polinoame din inelul polinomial P [x] și h(a) ¹0. Este necesar să se reprezinte elementul f(a)/h(a)0P(a) ca o combinație liniară de puteri ale elementului a, adică ca j(a),

Această problemă este rezolvată în felul următor. Fie g polinomul minim pentru a peste P. Deoarece, prin teorema 1.4, polinomul este ireductibil peste P și h(a) ¹ 0, rezultă că g nu împarte h și, prin urmare, polinoamele h și g sunt coprime. Prin urmare, există polinoame u și v în P[x] astfel încât

Deoarece g(a) = 0, din (1) rezultă că

u(a)g(a) = 1, 1/h(a) = u(a).

Prin urmare, f(a)/h(a) = f(a)u(a), în plus, f,u0P[x] și f(a)u(a)0P[a]. Deci, am scăpat de iraționalitatea în numitorul fracției f(a)/h(a) .

Scapă de iraționalitatea la numitorul unei fracții

.

Soluţie. În cazul nostru a=

. Polinom minim acest număr este

Polinoamele p(x) și g(x)=-x 2 +x+1 sunt între prime. Prin urmare, există polinoame j și y astfel încât

Pentru a găsi j și y, aplicăm algoritmul Euclid polinoamelor p și g:

X 3 -2 -x 2 +x+1 -x 2 +x+1 2x-1

x 3 -x 2 -x -x-1 -x 2 +1/2x -1/2x+1/4

x 2 -x-1 1/2x-1/4

În acest fel,

p=g(-x-1)+(2x-1),

g=(2x-1)(-1/2x+1/4)+5/4.

Unde găsim

(2x-1)=p+g(x+1),

5/4=g-(p+g(x+1))(-1/2x+1/4)

p1/5(2x-1)+g(4/5+1/5(2x 2 +x-1))=1,

p1/5(2x-1)+g(2/5x 2 +1/5x+3/5)=1.

În acest fel,

y(x)= (2/5x 2 +1/5x+3/5).

)= .

prin urmare

.

2.Extensie câmp algebric compus.

2.1. Extensie de câmp finit.

Fie P un subcâmp al câmpului F. Atunci putem considera F ca un spațiu vectorial peste P, adică să considerăm spațiul vectorial +F, +, (w l ½l0P),

unde w l este operația de înmulțire a elementelor din F cu scalarul l0P.

Definiție. O extensie F a unui câmp P se spune că este finită dacă F, ca spațiu vectorial peste P, are dimensiune finită. Această dimensiune este notată cu .

Propunerea 2.1. Dacă a este un element algebric de grad n peste P, atunci =n.

Această propoziție decurge direct din teorema 1.5.

Definiție. O extensie F a unui câmp P se numește algebrică dacă fiecare element al lui F este algebric peste P.