FUNCȚIILE INFINIT DE MICI ȘI PRINCIPALELE LOR PROPRIETĂȚI

Funcţie y=f(x) numit infinitezimal la x→a sau când X→∞ dacă sau , adică la nesfârşit funcție mică este o funcție a cărei limită într-un punct dat este egală cu zero.

Exemple.

Să stabilim următoarea relație importantă:

Teorema. Dacă funcţia y=f(x) reprezentabil la x→a ca sumă a unui număr constant bși infinit de mici α(x): f(x)=b+ α(x) apoi .

În schimb, dacă , atunci f(x)=b+α(x), Unde topor) este infinit de mic la x→a.

Dovada.

Să luăm în considerare principalele proprietăți ale funcțiilor infinitezimale.

Teorema 1. Suma algebrică a doi, trei și, în general, orice număr finit de infinitezimale este o funcție infinitezimală.

Dovada. Să dăm o dovadă pentru doi termeni. Lasa f(x)=α(x)+β(x), unde și . Trebuie să demonstrăm că pentru ε arbitrar arbitrar mic > 0 acolo δ> 0, astfel încât pt X satisfacerea inegalitatii |x – a|<δ , efectuat |f(x)|< ε.

Deci hai să reparăm număr arbitrar ε > 0. Deoarece, conform ipotezei teoremei, α(x) este o funcție infinitezimală, atunci există δ 1 > 0, care la |x – a|< δ 1 avem |α(x)|< ε / 2. La fel, din moment ce β(x) este infinitezimal, atunci există un astfel de δ 2 > 0, care la |x – a|< δ 2 avem | β(x)|< ε / 2.

Hai sa luam δ=min(δ1 , δ2 } .Apoi într-o vecinătate a punctului A rază δ fiecare dintre inegalităţi va fi satisfăcută |α(x)|< ε / 2 și | β(x)|< ε / 2. Prin urmare, în acest cartier va exista

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

acestea. |f(x)|< ε, care trebuia demonstrat.

Teorema 2. Produsul unei funcții infinitezimale topor) pentru o funcție limitată f(x) la x→a(sau când x→∞) este o funcție infinitezimală.

Dovada. Din moment ce functia f(x) este limitat, atunci există un număr M astfel încât pentru toate valorile X dintr-o vecinătate a punctului a|f(x)|≤M.În plus, din moment ce topor) este o funcție infinitezimală pentru x→a, apoi pentru ε arbitrar > 0 există o vecinătate a punctului A, în care inegalitatea |α(x)|< ε /M. Apoi, în cel mai mic dintre aceste cartiere avem | αf|< ε /M= ε. Și asta înseamnă că af- infinit de mici. Pentru cazul x→∞ dovada se realizează în mod similar.

Din teorema demonstrată rezultă:

Consecința 1. Dacă și , atunci .

Consecința 2. Dacă c= const, atunci .

Teorema 3. Raportul unei funcții infinitezimale α(x) per functie f(x), a cărei limită este diferită de zero, este o funcție infinitezimală.

Dovada. Lasa . Apoi 1 /f(x) există funcție limitată. Prin urmare, fracția este produsul unei funcții infinitezimale și al unei funcții mărginite, i.e. funcția este infinitezimală.

RELAȚIA DINTRE FUNCȚII INFINIT MICI ȘI INFINIT MARI

Teorema 1. Dacă funcţia f(x) este infinit de mare la x→a, apoi funcția 1 /f(x) este infinit de mic la x→a.

Dovada. Luați un număr arbitrar ε >0 și arată asta pentru unii δ>0 (în funcție de ε) pentru toate X, pentru care |x – a|<δ , inegalitatea este satisfăcută, iar asta va însemna că 1/f(x) este o funcție infinitezimală. Într-adevăr, din moment ce f(x) este o funcție infinit de mare pentru x→a, apoi există δ>0 astfel încât de îndată ce |x – a|<δ , deci | f(x)|> 1/ ε. Dar apoi pentru același lucru X.

Exemple.

Teorema inversă poate fi de asemenea demonstrată.

Teorema 2. Dacă funcţia f(x)- infinit mic la x→a(sau x→∞)și nu dispare, atunci y= 1/f(x) este o funcție infinită.

Demonstrați singur teorema.

Exemple.

Astfel, cele mai simple proprietăți ale funcțiilor infinit de mici și infinit de mari pot fi scrise folosind următoarele relații condiționate: A≠ 0

TEOREME PRIVIND LIMITE

Teorema 1. Limita sumei algebrice a două, trei și, în general, un anumit număr de funcții este egală cu suma algebrică a limitelor acestor funcții, i.e.

Dovada. Vom efectua dovada pentru doi termeni, deoarece pentru orice număr de termeni se realizează în același mod. Lasa .Apoi f(x)=b+α(x)și g(x)=c+β(x), Unde α și β sunt funcții infinitezimale. Prin urmare,

f(x) + g(x)=(b + c) + (α(x) + β(x)).

La fel de b+c este o constantă și α(x) + β(x) este o funcție infinitezimală, atunci

Exemplu. .

Teorema 2. Limita produsului a două, trei și, în general, a unui număr finit de funcții este egală cu produsul limitelor acestor funcții:

Dovada. Lasa . Prin urmare, f(x)=b+α(x)și g(x)=c+β(x)și

fg = (b + α)(c + β) = bc + (bβ + cα + αβ).

Muncă bc este o valoare constantă. Funcţie bβ + cα + αβ pe baza proprietăților funcțiilor infinitezimale, există o mărime infinitezimală. Asa de .

Consecința 1. Factorul constant poate fi scos din semnul limită:

.

Consecința 2. Limita gradului este egală cu gradul limitei:

.

Exemplu..

Teorema 3. Limita câtului a două funcții este egală cu câtul limitelor acestor funcții dacă limita numitorului este diferită de zero, i.e.

.

Dovada. Lasa . Prin urmare, f(x)=b+α(x)și g(x)=c+β(x), Unde α, β sunt infinit de mici. Luați în considerare coeficientul

O fracție este o funcție infinitezimală deoarece numărătorul este o funcție infinitezimală și numitorul are o limită c2 ≠0.

Exemple.

Teorema 4. Să fie date trei funcții f(x), u(x)și v(x), satisfacerea inegalităţilor u (x)≤f(x)≤v(x). Dacă funcţiile u(x)și v(x) au aceeași limită x→a(sau x→∞), apoi funcția f(x) tinde spre aceeași limită, adică dacă

, apoi .

Sensul acestei teoreme este clar din figură.

Dovada teoremei 4 poate fi găsită, de exemplu, în manualul: Piskunov N. S. Calcul diferențial și integral, vol. 1 - M .: Nauka, 1985.

Teorema 5. Eu gras x→a(sau x→∞) funcție y=f(x) ia valori nenegative y≥0și tinde spre limită b, atunci această limită nu poate fi negativă: b≥0.

Dovada. Dovada se va face prin contradictie. Să ne prefacem că b<0 , apoi |y – b|≥|b|și, prin urmare, modulul diferenței nu tinde spre zero la x→a. Dar apoi y nu merge la limita b la x→a, ceea ce contrazice condiția teoremei.

Teorema 6. Dacă două funcţii f(x)și g(x) pentru toate valorile argumentului X satisface inegalitatea f(x)≥ g(x)și avem limite, atunci avem inegalitatea b≥c.

Dovada. Conform teoremei f(x)-g(x) ≥0, prin urmare, prin teorema 5 , sau .

LIMITE UNIVERSALE

Până acum, am luat în considerare definiția limitei unei funcții când x→aîn mod arbitrar, adică limita funcției nu depindea de modul în care X către A, la stânga sau la dreapta A. Cu toate acestea, este destul de comun să găsiți funcții care nu au nicio limită în această condiție, dar au o limită dacă x→a, rămânând pe o parte a A, stânga sau dreapta (vezi fig.). Prin urmare, este introdus conceptul de limite unilaterale.

În cazul în care un f(x) tinde spre limită b la X străduindu-se pentru un număr A asa de X ia doar valori mai mici decât A, apoi scrieți și sunați blimita funcției f(x) în punctul a din stânga.

Funcția este numită infinit mic la
sau când
, dacă
sau
.

De exemplu: funcția
infinitezimal la
; funcţie
infinitezimal la
.

Observație 1. Nicio funcție fără a specifica direcția de schimbare a argumentului nu poate fi numită infinitezimală. Da, funcția
la
este infinitezimal și
nu mai este infinitezimal
).

Observația 2. Din definirea limitei unei funcții într-un punct, pentru funcții infinitezimale, inegalitatea
Vom folosi în mod repetat acest fapt în cele ce urmează.

Configurați unele importante proprietățile funcțiilor infinitezimale.

Teorema (despre relația dintre o funcție, limita ei și una infinitezimală): Dacă funcția
poate fi reprezentat ca suma unui număr constant DARși o funcție infinitezimală
la
, apoi numărul

Dovada:

Din condiţiile teoremei rezultă că funcţia
.

Express de aici
:
. Din moment ce functia
infinitezimal, satisface inegalitatea
, apoi pentru expresia (
) satisface de asemenea inegalitatea

Și asta înseamnă că
.

Teorema (revers): dacă
, apoi funcția
poate fi reprezentat ca suma unui număr DARși infinit mic la
funcții
, adică
.

Dovada:

La fel de
, apoi pentru
inegalitatea
(*) Luați în considerare funcția
ca unul singur și rescrieți inegalitatea (*) în formă

Din ultima inegalitate rezultă că cantitatea (
) este infinitezimal la
. Să o notăm
.

Unde
. Teorema a fost demonstrată.

Teorema 1 . Suma algebrică a unui număr finit de funcții infinit de mici este o funcție infinit de mică.

Dovada:

Să realizăm demonstrația pentru doi termeni, deoarece pentru orice număr finit de termeni este dat într-un mod similar.

Lasa
și
infinitezimal la
funcţii şi
este suma acestor funcții. Să demonstrăm că pt
, există așa ceva
asta pentru toata lumea X satisfacerea inegalitatii
, inegalitatea
.

Din moment ce functia
functie infinitezimala,
asta pentru toata lumea
inegalitatea
.

Din moment ce functia
functie infinitezimala,
, și, prin urmare, există asta pentru toata lumea
inegalitatea
.

Hai sa luam egală cu cel mai mic număr și , apoi în – vecinătatea punctului A inegalitățile vor fi îndeplinite
,
.

Compuneți un modul funcțional
și evaluează-i valoarea.

i.e
, atunci funcția este infinitezimală, ceea ce urma să fie demonstrat.

Teorema 2. Produsul unei funcții infinitezimale
la
pentru o funcție limitată
este o funcție infinitezimală.

Dovada:

Din moment ce functia
mărginit, atunci există un număr pozitiv
asta pentru toata lumea inegalitatea
.

Din moment ce functia
infinitezimal la
, atunci există -vecinatatea punctului asta pentru toata lumea vecinătatea lor satisface inegalitatea
.

Luați în considerare funcția
și evaluați modulul acestuia

Asa de
, și apoi
- infinit de mici.

Teorema a fost demonstrată.

Teoreme limită.

Teorema 1. Limita sumei algebrice a unui număr finit de funcții este egală cu suma algebrică a limitelor acestor funcții

Dovada:

Pentru a dovedi, este suficient să luăm în considerare două funcții; aceasta nu încalcă generalitatea raționamentului.

Lasa
,
.

Conform teoremei privind legătura dintre o funcție, limita ei și o funcție infinit de mică
și
poate fi reprezentat ca
Unde
și
sunt infinit de mici la
.

Să găsim suma funcțiilor
și

Valoare
este o valoare constantă
este o mărime infinitezimală. Deci funcția
reprezentată ca suma unei valori constante și a unei funcții infinitezimale.

Apoi numărul
este limita funcției
, adică

Teorema a fost demonstrată.

Teorema 2 . Limita unui produs al unui număr finit de funcții este egală cu produsul limitelor acestor funcții

Dovada:

Fără a încălca generalitatea raționamentului, să demonstrăm pentru două funcții
și
.

Lasă atunci
,

Să găsim produsul funcțiilor
și

Valoare
este o valoare constantă, o funcție infinit de mică. Prin urmare, numărul
este limita funcției
, adică egalitatea

Consecinţă:
.

Teorema 3. Limita câtului a două funcții este egală cu câtul limitelor acestor funcții dacă limita numitorului este diferită de zero

.

Dovada: lasa
,

Apoi
,
.

Să găsim un privat și efectuează unele transformări identice asupra acestuia

Valoare constantă, fracție
infinit de mici. Prin urmare, funcția reprezentată ca suma unui număr constant și a unei funcții infinitezimale.

Apoi
.

Cometariu. Teoremele 1–3 sunt demonstrate pentru acest caz
. Cu toate acestea, ele pot fi aplicabile
, deoarece demonstrarea teoremelor în acest caz se realizează într-un mod similar.

De exemplu. Găsiți limite:

Prima și a doua limite minunate.

Funcţie nedefinit la
. Cu toate acestea, valorile sale în apropierea punctului zero există. Prin urmare, putem considera limita acestei funcții la
. Această limită se numește primul minunat limită .

Arată ca:
.

de exemplu . Găsiți limite: 1.
. desemna
, dacă
, apoi
.
; 2.
. Să transformăm această expresie astfel încât limita să fie redusă la prima limită remarcabilă.
; 3..

Luați în considerare o variabilă a formei
, în care ia valorile numerelor naturale în ordine crescătoare. Să dăm valori diferite: dacă

Dăruind următoarele valori din set
, este ușor de observat că expresia
la
voi
. Mai mult, se dovedește că
are o limită. Această limită este indicată de literă :
.

Număr iraţional:
.

Acum luați în considerare limita funcției
la
. Această limită se numește a doua limită remarcabilă

Arată ca
.

De exemplu.

A)
. Expresie
înlocuiți produsul factori identici
, aplicați teorema limitei produsului și a doua limită remarcabilă; b)
. Sa punem
, apoi
,
.

A doua limită remarcabilă este folosită în problema calculului continuu al dobânzii

Atunci când se calculează venitul în numerar din depozite, se utilizează adesea formula dobânzii compuse, care arată astfel:

,

Unde - investitie initiala

- dobanda bancara anuala,

- numărul de plăți de dobândă pe an,

- timp, în ani.

Cu toate acestea, în studiile teoretice, la fundamentarea deciziilor de investiții, se utilizează mai des formula legii de creștere exponențială (exponențială).

.

Formula legii exponențiale a creșterii este obținută ca urmare a aplicării celei de-a doua limite remarcabile la formula dobânzii compuse

Continuitatea funcțiilor.

Luați în considerare funcția
definit la un moment dat și vreo vecinătate a punctului . Fie că în punctul specificat funcția are valoarea
.

Definiție 1. Funcție
numit continuu la un punct , dacă este definit într-o vecinătate a unui punct, inclusiv punctul însuși și
.

Definiția continuității poate fi formulată diferit.

Lasă funcția
definit pentru o anumită valoare ,
. Dacă argumentul creştere
, atunci funcția va fi incrementată

Lăsați funcția într-un punct continuu (conform primei definiții a continuității unei funcții într-un punct),

Adică dacă funcția este continuă într-un punct , apoi un increment infinitezimal al argumentului
în acest punct corespunde un increment infinitezimal al funcţiei.

Propoziţia inversă este de asemenea adevărată: dacă un increment infinitezimal al argumentului corespunde unui increment infinitezimal al funcţiei, atunci funcţia este continuă.

Definiție 2. Funcție
se numeste continuu
(la un moment dat ) dacă este definit în acest punct și unele din vecinătatea sa și dacă
.

Ținând cont de prima și a doua definiție a continuității unei funcții într-un punct, putem obține următoarea afirmație:

sau
, dar
, apoi
.

Prin urmare, pentru a găsi limita unei funcții continue la
suficient în exprimarea analitică a funcţiei în locul argumentului înlocuiți-i valoarea .

Definiția 3. Se numește o funcție care este continuă în fiecare punct al unui domeniu continuu în această regiune.

De exemplu:

Exemplul 1. Demonstrați că funcția
este continuă în toate punctele domeniului definiției.

Să folosim a doua definiție a continuității unei funcții într-un punct. Pentru a face acest lucru, luați orice valoare a argumentului si da-i un increment
. Să găsim incrementul corespunzător al funcției

Exemplul 2. Demonstrați că funcția
continuu in toate punctele din
.

Să dăm un argument creştere
, atunci funcția va fi incrementată

Găsim de la funcția
, care este limitat.

În mod similar, se poate dovedi că toate funcțiile elementare de bază sunt continue în toate punctele domeniului lor de definiție, adică domeniul de definiție al unei funcții elementare coincide cu domeniul său de continuitate.

Definiţie 4. Dacă funcţia
este continuă în fiecare punct al unui interval
, atunci se spune că funcția este continuă pe acest interval.

Def.: Funcția este numită infinitezimal la , dacă .

În notația " ", vom presupune că x0 poate lua ca valoare finală: x0= Const, și infinit: x0= ∞.

Proprietățile funcțiilor infinitezimale:

1) Suma algebrică a unui număr finit de infinit de mici pentru funcții este infinit de mică pentru o funcție.

2) Produsul unui număr finit de infinit mic pentru funcții este o infinit mic pentru funcție.

3) Produsul dintre o funcție mărginită și o funcție infinitezimală este o funcție infinitezimală.

4) Coeficientul împărțirii unui infinit mic la o funcție la o funcție a cărei limită este diferită de zero este infinit mic la o funcție.

Exemplu: Funcţie y = 2 + X este infinitezimal la , deoarece .

Def.: Funcția este numită infinit de mare la , dacă .

Proprietățile funcțiilor infinit de mari:

1) Suma infinitului de mari pentru funcții este infinit de mare pentru o funcție.

2) Produsul unui infinit de mare pentru o funcție cu o funcție a cărei limită este diferită de zero este infinit de mare pentru o funcție.

3) Suma unei funcții infinit de mare și a unei funcții mărginite este o funcție infinit de mare.

4) Coeficientul împărțirii unui infinit de mare pentru o funcție la o funcție care are o limită finită este infinit de mare pentru o funcție.

Exemplu: Funcţie y= este infinit mare pentru , deoarece .

Teorema.Relația dintre cantități infinitezimale și infinit de mari. Dacă o funcție este infinitezimală la , atunci funcția este infinit de mare la . În schimb, dacă o funcție este infinit de mare la , atunci funcția este infinit de mică la .

Raportul dintre două infinitezimale este de obicei notat prin simbol, două infinit de mari - prin simbol. Ambele relații sunt nedefinite în sensul că limita lor poate sau nu să existe, să fie egală cu un anumit număr sau să fie infinită, în funcție de tipul de funcții specifice cuprinse în expresiile nedefinite.

În plus față de nedeterminate de formă și nedefinite sunt următoarele expresii:

Diferența celor infinit de mari de același semn;

Produsul unui infinitezimal cu un infinit mare;

O funcție de putere exponențială, a cărei bază tinde la 1, iar indicatorul - la;

O funcție de putere exponențială, a cărei bază este infinitezimală, iar exponentul este infinit de mare;

O funcție exponențială a cărei bază și exponent sunt infinitezimale;

O funcție exponențială a cărei bază este infinit de mare și al cărei exponent este infinit de mic.

Se spune că există o incertitudine de tipul corespunzătoare. În aceste cazuri se numește calculul limitei dezvăluirea incertitudinii. Pentru a dezvălui incertitudinea, expresia de sub semnul limită este convertită într-o formă care nu conține incertitudine.

La calcularea limitelor se folosesc proprietățile limitelor, precum și proprietățile funcțiilor infinitezimale și infinit de mari.

Luați în considerare exemple de calcule ale diferitelor limite.

1) . 2) .

4) , deoarece produsul unei funcții infinitezimale at de o funcție mărginită este infinit de mic.

5) . 6) .

7) = =

. În acest caz, a existat o nedeterminare a tipului, care a fost rezolvată prin factorizarea polinoamelor și reducerea cu un factor comun.

= .

În acest caz, a existat o nedeterminare de tip , care a fost rezolvată prin înmulțirea numărătorului și numitorului cu expresia , folosind formula , și apoi reducând fracția cu (+1).

9)
. În acest exemplu, incertitudinea tipului a fost evidențiată prin împărțirea termen cu termen a numărătorului și numitorului fracției cu cel mai înalt grad.

Limite remarcabile

Prima limită minunată : .

Dovada. Luați în considerare un cerc unitar (Fig. 3).

Fig.3. cerc unitar

Lasa X este măsura în radian a unghiului central MOA(), apoi OA = R= 1, MK= păcat X, LA=tg X. Compararea ariilor triunghiurilor OMA, OTA si sectoare OMA, primim:

,

.

Împărțiți ultima inegalitate la păcat X, primim:

.

Deoarece pentru , apoi prin proprietatea 5) a limitelor

De unde și reciproca lui at , care urma să fie dovedită.

Cometariu: Dacă funcția este infinitezimală la , i.e. , atunci prima limită remarcabilă are forma:

.

Luați în considerare exemple de calcule de limită folosind prima limită remarcabilă.

La calcularea acestei limite s-a folosit formula trigonometrică: .

.

Luați în considerare exemple de calcule de limită folosind a doua limită remarcabilă.

2) .

3) . Există o ambiguitate de tip. Să facem un înlocuitor, atunci ; la .

Având în vedere definiția la nesfârșit secvență mare. Sunt luate în considerare conceptele de vecinătăți de puncte infinit îndepărtate. Este dată o definiție universală a limitei unei secvențe, care se aplică atât limitelor finite, cât și limitelor infinite. Sunt luate în considerare exemple de aplicare a definiției unei secvențe infinit de mari.

Conţinut

Vezi si: Determinarea limitei unei secvențe

Definiție

Urmare (βn) se numește șir infinit, dacă pentru orice număr arbitrar M , există un astfel de număr numar natural N M în funcție de M astfel încât pentru toate numerele întregi pozitive n > N M inegalitatea
|β n | >M.
În acest caz, scrieți
.
Sau la .
Ei spun că tinde spre infinit, sau converge spre infinit.

Dacă , pornind de la un număr N 0 , apoi
( converge spre plus infinit).
Daca atunci
( converge spre minus infinit).

Scriem aceste definiții folosind simbolurile logice ale existenței și universalității:
(1) .
(2) .
(3) .

Secvențele cu limite (2) și (3) sunt cazuri speciale ale unei secvențe infinit de mare (1). Din aceste definiții rezultă că, dacă limita unei secvențe este plus sau minus infinit, atunci este, de asemenea, egală cu infinit:
.
Reversul, desigur, nu este adevărat. Membrii secvenței pot avea caractere alternative. În acest caz, limita poate fi egală cu infinitul, dar fără un semn definit.

Rețineți, de asemenea, că dacă o anumită proprietate este valabilă pentru o secvență arbitrară cu o limită egală cu infinitul, atunci aceeași proprietate este valabilă pentru o secvență a cărei limită este plus sau minus infinitul.

În multe manuale de calcul, definiția unei secvențe infinit de mari afirmă că numărul M este pozitiv: M > 0 . Cu toate acestea, această cerință este redundantă. Dacă este anulat, atunci nu apar contradicții. Doar valorile mici sau negative nu ne interesează. Suntem interesați de comportamentul secvenței pentru valori pozitive arbitrar mari ale lui M. Prin urmare, dacă este nevoie, atunci M poate fi limitat de jos de orice număr dat a, adică să presupunem că M > a.

Când am definit ε - vecinătatea punctului final, atunci cerința ε > 0 este un important. Pentru valori negative, inegalitatea nu poate fi valabilă deloc.

Vecinătăți de puncte la infinit

Când am considerat limite finite, am introdus conceptul de vecinătate a unui punct. Amintiți-vă că vecinătatea unui punct final este un interval deschis care conține acest punct. De asemenea, putem introduce conceptul de vecinătăți de puncte la infinit.

Fie M un număr arbitrar.
Vecinătatea punctului „infinit”, , se numește mulțime .
Apropierea punctului „plus infinit”, , se numește mulțime .
Apropierea punctului „minus infinit”, , se numește mulțime .

Strict vorbind, vecinătatea punctului „infinit” este multimea
(4) ,
unde M 1 si m 2 sunt numere pozitive arbitrare. Vom folosi prima definiție, , pentru că este mai simplă. Deși, tot ceea ce se spune mai jos este adevărat și atunci când se folosește definiția (4).

Putem da acum o definiție unificată a limitei unei secvențe care se aplică atât limitelor finite, cât și limitelor infinite.

Definiția universală a limitei secvenței.
Un punct a (finit sau la infinit) este limita unei secvențe dacă pentru orice vecinătate a acestui punct există un număr natural N astfel încât toate elementele șirului cu numere aparțin acestei vecinătăți.

Astfel, dacă limita există, atunci în afara vecinătății punctului a nu poate exista decât un număr finit de membri ai șirului sau o mulțime goală. Această condiție este necesară și suficientă. Dovada acestei proprietăți este exact aceeași ca pentru limitele finite.

Proprietatea de vecinătate a unei secvențe convergente
Pentru ca punctul a (finit sau la infinit) să fie limita șirului , este necesar și suficient ca în afara oricărei vecinătăți a acestui punct să existe un număr finit de membri ai șirului sau o mulțime goală.
Dovada .

De asemenea, se introduc uneori conceptele de ε - vecinătăți de puncte infinit îndepărtate.
Reamintim că vecinătatea ε a punctului final a este mulţimea.
Să introducem următoarea notație. Fie denotă ε - vecinătatea unui punct a . Apoi, pentru punctul final,
.
Pentru puncte la infinit:
;
;
.
Folosind conceptele de ε - vecinătăți, se poate da o definiție mai universală a limitei unei secvențe:

Un punct a (finit sau la infinit) este limita unei secvențe dacă există număr pozitiv ε > 0 există un număr natural N ε care depinde de ε astfel încât pentru toate numerele n > N ε termenii x n aparțin vecinătății ε a punctului a :
.

Folosind simbolurile logice ale existenței și universalității, această definiție poate fi scrisă după cum urmează:
.

Exemple de secvențe infinit de mari

Exemplul 1

.

.
Scriem definiția unei secvențe infinit de mari:
(1) .
În cazul nostru
.

Introducem numere și , legându-le cu inegalități:
.
Conform proprietăților inegalităților , dacă și , atunci
.
Rețineți că atunci când această inegalitate este valabilă pentru orice n . Deci, puteți alege astfel:
la ;
la .

Deci, pentru oricine poate găsi un număr natural care satisface inegalitatea. Apoi pentru toți
.
Înseamnă că . Adică, succesiunea este infinit de mare.

Exemplul 2

Folosind definiția unei secvențe infinit de mare, arătați că
.

(2) .
Termenul comun al șirului dat are forma:
.

Introduceți numere și:
.
.

Atunci pentru oricine poate găsi un număr natural care satisface inegalitatea, astfel încât pentru toți,
.
Înseamnă că .

.

Exemplul 3

Folosind definiția unei secvențe infinit de mare, arătați că
.

Să notăm definiția limitei unei secvențe egale cu minus infinit:
(3) .
Termenul comun al șirului dat are forma:
.

Introduceți numere și:
.
Aceasta arată că dacă și , atunci
.

Deoarece pentru oricine poate găsi un număr natural care satisface inegalitatea , atunci
.

Având în vedere , ca N, puteți lua orice număr natural care satisface următoarea inegalitate:
.

Exemplul 4

Folosind definiția unei secvențe infinit de mare, arătați că
.

Să scriem termenul comun al șirului:
.
Să notăm definiția limitei unei secvențe egale cu plus infinitul:
(2) .

Deoarece n este un număr natural, n = 1, 2, 3, ... , apoi
;
;
.

Introducem numerele și M , relaționându-le prin inegalități:
.
Aceasta arată că dacă și , atunci
.

Deci, pentru orice număr M, puteți găsi un număr natural care satisface inegalitatea . Apoi pentru toți
.
Înseamnă că .

Referinte:
L.D. Kudryavtsev. Curs de analiză matematică. Volumul 1. Moscova, 2003.
CM. Nikolsky. Curs de analiză matematică. Volumul 1. Moscova, 1983.

Vezi si: