INTRODUCERE

Manualul este destinat profesorilor de matematică din școlile tehnice, precum și studenților din anul II de toate specialitățile.

În această lucrare, prezentăm conceptele de bază ale teoriei seriilor. Materialul teoretic îndeplinește cerințele Standardului Educațional de Stat al Învățământului Profesional secundar (Ministerul Educației Federația Rusă. M., 2002).

Prezentarea materialului teoretic pe întreaga temă este însoțită de luarea în considerare a unui număr mare de exemple și sarcini, realizate într-un limbaj accesibil, dacă este posibil, strict. La sfârșitul manualului sunt exemple și sarcini pe care elevii le pot îndeplini în modul de autocontrol.

Manualul este destinat studenților de corespondență și forme de studiu cu normă întreagă.

Ținând cont de nivelul de pregătire al elevilor din școlile tehnice, precum și de numărul extrem de limitat de ore (12 ore + 4 lbs.) alocat de programul pentru promovarea la matematică superioară în școlile tehnice, concluzii stricte, care prezintă mari dificultăți de asimilare. , sunt omise, limitate la luarea în considerare a exemplelor.

NOȚIUNI DE BAZĂ

Rezolvarea unei probleme prezentate în termeni matematici, de exemplu, ca o combinație de diferite funcții, derivatele și integralele lor, trebuie să poată „aduce la un număr”, care servește cel mai adesea drept răspuns final. Pentru aceasta, s-au dezvoltat diverse metode în diverse ramuri ale matematicii.

Secțiunea de matematică care permite rezolvarea oricărei probleme bine puse cu suficientă precizie pentru utilizare practică se numește teoria seriei.

Chiar dacă unele concepte subtile analiză matematică au apărut deconectate de teoria seriei, au fost imediat aplicate seriilor, care au servit ca un fel de instrument de testare a semnificației acestor concepte. Această situație continuă și astăzi.

Exprimarea formei

unde ;;;…;;… sunt membrii seriei; - al n-lea sau un membru comun al unei serii, se numește serie (număr) infinită.

Dacă membrii seriei:

I. Seria de numere

1.1. Concepte de bază ale seriei de numere.

O serie de numere este o sumă a formei

, (1.1)

unde ,,,…,,…, numiți membri ai seriei, formează o succesiune infinită; un membru este numit membru comun al seriei.

compuse din primii termeni ai seriei (1.1) se numesc sume parțiale ale acestei serii.

Fiecare rând poate fi asociat cu o succesiune de sume parțiale .

Dacă cu o creștere infinită a numărului n suma parțială a seriei tinde spre limită, apoi seria se numește convergentă, iar numărul se numește suma seriei convergente, adică.

Această intrare este echivalentă cu intrarea

Dacă suma parțială a seriei (1.1) cu o creștere nelimitată n nu are o limită finită ( tinde spre sau ), atunci se numește o astfel de serie divergente .

Dacă rândul convergent , apoi valoarea pentru suficient de mare n este o expresie aproximativă pentru suma seriei S.

Diferența se numește restul seriei. Dacă seria converge, atunci restul ei tinde spre zero, adică și invers, dacă restul tinde către zero, atunci seria converge.

1.2. Exemple de serii de numere.

Exemplul 1. O serie de formă

(1.2)

numit geometric .

Seria geometrică este formată din membrii unei progresii geometrice.

Se știe că suma primului său n membrii. Evident, asta este n- a-a sumă parțială a seriei (1.2).

Cazuri posibile:

Seria (1.2) ia forma:

, seria diverge;

Seria (1.2) ia forma:

Nu are limită, seria diverge.

este un număr finit, seria converge.

- seria diverge.

Deci, această serie converge la și diverge la .

Exemplul 2. O serie de formă

(1.3)

numit armonic .

Să scriem suma parțială a acestei serii:

Suma este mai mare decât suma prezentată după cum urmează:

sau .

Daca atunci , sau .

Prin urmare, dacă , atunci , i.e. seria armonică diverge.

Exemplul 3. O serie de formă

(1.4)

numit armonică generalizată .

Dacă , atunci această serie se transformă într-o serie armonică, care este divergentă.

Dacă , atunci termenii acestei serii sunt mai mari decât termenii corespunzători ai seriei armonice și, prin urmare, diverge. Când avem o serie geometrică în care ; este convergent.

Deci, seria armonică generalizată converge la și diverge la .

1.3. Criterii necesare și suficiente pentru convergență.

Un criteriu necesar pentru convergența unei serii.

Seria poate converge numai dacă termenul său comun tinde spre zero pe măsură ce numărul crește fără limită: .

Dacă , atunci seria diverge, adică semn suficient divergenta de serie.

Condiții suficiente pentru convergența unei serii cu membri pozitivi.

Semnul comparației serii cu termeni pozitivi.

Seria studiata converge daca membrii ei nu depasesc membrii corespunzatori ai altei serii evident convergente; seria studiată diverge dacă termenii ei depășesc termenii corespunzători unei alte serii, evident divergente.

Semnul lui d'Alembert.

Dacă pentru o serie cu termeni pozitivi

condiția este îndeplinită, apoi seria converge la și diverge la .

semnul lui d'Alembert nu dă răspuns dacă . În acest caz, se folosesc alte metode pentru a studia seria.

Exerciții.

Scrieți o serie după termenul comun dat:

Presupunând ,,,…, avem o succesiune infinită de numere:

Adăugând termenii săi, obținem seria

Făcând același lucru, obținem seria

Dând valorile 1,2,3,... și ținând cont de faptul că,,,..., obținem seria

A găsi n- al treilea termen al seriei conform primilor termeni dați:

Numitorii membrilor seriei, începând de la primul, sunt numere pare; prin urmare, n- Al treilea termen al seriei are forma .

Număratorii membrilor seriei formează o serie naturală de numere, iar numitorii corespunzători formează o serie naturală de numere, iar numitorii corespunzători formează o serie naturală de numere, începând de la 3. Semnele alternează conform legii sau conform legii. la lege. Mijloace, n- Al treilea termen al seriei are forma . sau .

Investigați convergența seriei folosind testul de convergență necesar și testul de comparație:

;

Găsim .

Este îndeplinit criteriul necesar pentru convergența seriei, dar pentru a rezolva problema convergenței trebuie aplicat unul dintre criteriile suficiente de convergență. Comparați această serie cu seria geometrică

care converge din moment ce.

Comparând termenii acestei serii, începând de la a doua, cu termenii corespunzători ai seriei geometrice, se obțin inegalitățile

acestea. termenii acestei serii, începând din a doua, sunt în mod corespunzător mai mici decât termenii seriei geometrice, din care rezultă că seria dată converge.

Aici, un test suficient pentru divergența seriei este satisfăcut; deci seria diverge.

Găsim .

Este îndeplinit criteriul necesar pentru convergența seriei. Să comparăm această serie cu seria armonică generalizată

care converge, întrucât, deci, converge şi seria dată.

Investigați convergența seriei folosind testul d'Alembert:

;

Înlocuind în termenul comun al seriei în loc de n număr n+ 1, obținem. Să găsim limita raportului dintre termenul --lea la n- mum membru la:

Prin urmare, această serie converge.

Deci această serie diverge.

Acestea. rândul diverge.

II. serii alternante

2.1 Conceptul de serie alternantă.

Seria de numere

numit alternativ dacă membrii săi includ atât numere pozitive, cât și numere negative.

Linia numerică este numită alternativ dacă oricare doi termeni alăturați au semne opuse.

unde pentru toți (adică o serie ai cărei termeni pozitivi și negativi se succed pe rând). De exemplu,

;

Pentru serii alternante, există un criteriu suficient de convergență (stabilit în 1714 de Leibniz într-o scrisoare către I. Bernoulli).

2.2 Semnul lui Leibniz. Convergența absolută și condiționată a seriei.

Teoremă (testul Leibniz).

O serie alternativă converge dacă:

Secvența valorilor absolute a termenilor seriei scade monoton, adică ;

Termenul comun al seriei tinde spre zero:.

Mai mult, suma S a seriei satisface inegalitățile

Observatii.

Studiul unei serii alternante a formei

(cu un prim termen negativ) se reduce prin înmulțirea tuturor termenilor săi cu la studiul seriei .

Se numesc seriile pentru care sunt îndeplinite condiţiile teoremei lui Leibniz Leibnizian (sau seria Leibniz).

Relația ne permite să obținem o estimare simplă și convenabilă a erorii pe care o facem prin înlocuirea sumei S din această serie prin suma sa parțială .

Seria aruncată (restul) este, de asemenea, o serie alternativă , a cărui sumă este mai mică decât primul termen din această serie, adică prin urmare, eroarea este mai mică decât modulul primului dintre termenii aruncați.

Exemplu. Calculați aproximativ suma seriei.

Rezolvare: serie dată de tip Leibniz. El converge. Poti sa scrii:

Luând cinci termeni, i.e. înlocuibil

Să facem o mai mică greșeală

Cum . Asa de,.

Pentru serii alternante, are loc următorul criteriu general suficient de convergență.

Teorema. Să fie dată o serie alternativă

Dacă seria converge

compus din modulele membrilor seriei date, apoi seria alternantă în sine converge.

Criteriul de convergență Leibniz pentru serii alternante este un criteriu suficient pentru convergența serii alternative.

Seria alternantă se numește absolut convergente , dacă o serie compusă din valorile absolute ale membrilor săi converge, i.e. fiecare serie absolut convergentă este convergentă.

Dacă o serie alternativă converge și o serie compusă din valorile absolute ale membrilor săi diverge, atunci această serie se numește conditionat (nu absolut) convergente.

2.3. Exerciții.

Examinați pentru convergență (absolută sau condiționată) o serie alternativă:

și

Prin urmare, conform testului Leibniz, seria converge. Să aflăm dacă această serie converge absolut sau condiționat.

Rând , compus din valorile absolute ale seriei date, este o serie armonică care diverge. Prin urmare, această serie converge condiționat.

Termenii acestei serii scad monoton în valoare absolută:

, dar

Seria diverge deoarece testul Leibniz nu este valabil.

Folosind testul Leibniz, obținem

acestea. seria converge.

Aceasta este o serie geometrică a formei unde, care converge. Prin urmare, această serie converge absolut.

Folosind testul Leibniz, avem

;

, adică seria converge.

Luați în considerare o serie compusă din valorile absolute ale termenilor acestei serii:

, sau

Aceasta este o serie armonică generalizată care diverge, deoarece. Prin urmare, această serie converge condiționat.

III. Gama funcțională

3.1. Conceptul de serie funcțională.

Se numește o serie ai cărei membri sunt funcții funcţional :

Acordând o anumită valoare lui , obținem serie de numere

care pot fi fie convergente, fie divergente.

Dacă seria de numere rezultată converge, atunci punctul este numit punct de convergență rând funcțional; dacă seria diverge punct de divergenta rând funcțional.

Setul de valori numerice ale argumentului, la care seria funcțională converge, se numește ei regiune de convergenţă .

În regiunea de convergență a unei serii funcționale, suma acesteia este o anumită funcție a :.

Este definită în regiunea de convergență prin egalitate

, Unde

Suma parțială a unei serii.

Exemplu. Găsiți aria de convergență a seriei.

Decizie. Această serie este o serie de progresie geometrică cu numitor. Prin urmare, această serie converge pentru , adică pentru toți ; suma seriei este ;

, la .

3.2. Serie de puteri.

O serie de putere este o serie a formei

unde sunt numerele numit coeficienți de serie , iar termenul este un termen comun al seriei.

Zona de convergență serie de puteri este mulțimea tuturor valorilor pentru care seria dată converge.

Numărul este sunat raza de convergenta serie de putere, dacă pentru , seria converge și, în plus, absolut, iar pentru , seria diverge.

Găsim raza de convergență folosind testul d'Alembert:

(nu depinde de),

acestea. dacă seria de puteri converge pentru oricare care satisface condiția dată și diverge pentru .

Rezultă că dacă există o limită

atunci raza de convergență a seriei este egală cu această limită și seria de putere converge la , adică, intre care se numeste interval (interval) de convergenţă.

Dacă , atunci seria de puteri converge într - un singur punct .

La sfârșitul intervalului, seria poate converge (absolut sau condiționat), dar poate și diverge.

Convergența seriei de puteri pentru și este investigată folosind unul dintre criteriile de convergență.

3.3. Exerciții.

Găsiți aria de convergență a seriei:

Decizie. Aflați raza de convergență a acestei serii:

Prin urmare, această serie converge absolut pe întreaga axa numerelor.

Decizie. Să folosim semnul lui d'Alembert. Pentru aceasta serie avem:

Seria converge absolut dacă sau . Să studiem comportamentul seriei la capetele intervalului de convergență.

Pentru că avem o serie

Pentru că avem o serie este, de asemenea, o serie Leibniz convergentă. Prin urmare, regiunea de convergență a seriei originale este un segment.

Decizie. Aflați raza de convergență a seriei:

Prin urmare, seria converge la, adică la.

Să luăm o serie , care converge conform testului Leibniz.

Luăm o serie divergentă

Prin urmare, regiunea de convergență a seriei originale este intervalul.

IV. Descompunere functii elementareîn seria Maclaurin.

Pentru aplicații, este important să poți această funcție extinde într-o serie de puteri, adică reprezintă funcția ca sumă a unei serii de puteri.

O serie Taylor pentru o funcție se numește o serie de puteri de forma

Dacă , atunci obținem un caz special al seriei Taylor

Care e numit lângă Maclaurin .

O serie de puteri din intervalul său de convergență poate fi diferențiată și integrată termen cu termen de câte ori se dorește, iar seria rezultată are același interval de convergență ca și seria originală.

Două serii de puteri pot fi adăugate și înmulțite termen cu termen conform regulilor de adunare și înmulțire a polinoamelor. În acest caz, intervalul de convergență al seriei noi rezultate coincide cu partea comună a intervalelor de convergență a seriei originale.

Pentru a extinde o funcție într-o serie Maclaurin, este necesar:

Calculați valorile funcției și derivatele sale succesive în punctul , adică,,,…,;

Compuneți o serie Maclaurin prin înlocuirea valorilor unei funcții și a derivatelor sale succesive în formula seriei Maclaurin;

Aflați intervalul de convergență al seriei rezultate prin formula

, .

Exemplul 1. Extindeți o funcție dintr-o serie Maclaurin.

Decizie. La fel de , apoi, înlocuind cu în expansiune, obținem:

Exemplul 2. Scrieți seria Maclaurin a funcției .

Decizie. Deoarece , folosind formula în care înlocuim cu , obținem:

Exemplul 3. Extindeți funcția într-o serie Maclaurin.

Decizie. Să folosim formula. La fel de

, apoi înlocuind cu obținem:

, sau

unde, adică .

V. Sarcini practice pentru autocontrolul elevilor.

Stabiliți convergența utilizând testul de comparare a seriei

converge condiționat;

se potriveste absolut.

;

VII. Referință istorică.

Rezolvarea multor probleme se reduce la calculul valorilor funcțiilor și integralelor sau la rezolvarea ecuațiilor diferențiale care conțin derivate sau diferențiale de funcții necunoscute.

Cu toate acestea, executarea exactă a acestor operații matematice se dovedește în multe cazuri a fi foarte dificilă sau imposibilă. În aceste cazuri, este posibil să se obțină o soluție aproximativă a multor probleme cu orice precizie dorită folosind seriale.

Seriile sunt un instrument simplu și perfect de analiză matematică pentru calculul aproximativ al funcțiilor, integralelor și soluțiilor ecuațiilor diferențiale.

Și stând în partea dreaptă a funcționalului.

Pentru a pune semnul egal în locul semnului „”, este necesar să se efectueze unele raționamente suplimentare legate tocmai de infinitatea numărului de termeni din partea dreaptă a egalității și cu privire la regiunea de convergență a seriei.

Când formula Taylor ia forma în care se numește formula Maclaurin:

Colin Maclaurin (1698 - 1746), un student al lui Newton, în Treatise on Fluxions (1742) a stabilit că există o singură serie de puteri care exprimă o funcție analitică și aceasta va fi seria Taylor generată de o astfel de funcție. În formula binomială Newton, coeficienții la puteri sunt valorile, unde .

Deci, rândurile au apărut în secolul al XVIII-lea. ca modalitate de reprezentare a funcţiilor care permit diferenţierea infinită. Cu toate acestea, funcția reprezentată de serie nu a fost numită suma ei și, în general, la vremea respectivă nu era încă determinată care este suma unei serii numerice sau funcționale, au existat doar încercări de introducere a acestui concept.

De exemplu, L. Euler (1707-1783), după ce a scris o serie de puteri corespunzătoare unei funcții, a dat variabilei o valoare specifică. Am o linie numerică. Euler a considerat că valoarea funcției inițiale în acest punct este suma acestei serii. Dar acest lucru nu este întotdeauna adevărat.

Faptul că seria divergentă nu are o sumă, oamenii de știință au început să ghicească abia în secolul al XIX-lea, deși în secolul al XVIII-lea. mulți, și mai ales L. Euler, au lucrat din greu la conceptele de convergență și divergență. Euler a numit o serie convergentă dacă termenul său comun tinde spre zero ca .

În teoria seriilor divergente, Euler a obținut multe rezultate semnificative, dar aceste rezultate nu și-au găsit aplicație mult timp. În 1826 N.G. Abel (1802 - 1829) a numit rândurile divergente „fabricație diavolească”. Rezultatele lui Euler au găsit justificare abia la sfârșitul secolului al XIX-lea.

În formarea conceptului de suma unei serii convergente, savantul francez O.L. Cauchy (1789 - 1857); a făcut extrem de multe nu numai în teoria serielor, ci și în teoria limitelor, în dezvoltarea însuși conceptului de limită. În 1826 Cauchy a afirmat că o serie divergentă nu are sumă.

În 1768 Matematicianul și filozoful francez J.L. D'Alembert a studiat raportul dintre termenul următor și cel anterior din seria binomială și a arătat că dacă acest raport este mai mic decât unul în valoare absolută, atunci seria converge. Cauchy în 1821 a demonstrat o teoremă care precizează în vedere generala un test pentru convergența seriilor pozitive, numit acum testul d'Alembert.

Pentru a studia convergența seriilor alternante se folosește testul Leibniz.

G.V. Leibniz (1646 - 1716), marele matematician și filozof german, împreună cu I. Newton, este fondatorul calculului diferențial și integral.

Bibliografie:

Principal:

Bogomolov N.V., Lecții practice de matematică. M., „ facultate”, 1990 – 495 p.;
Tarasov N.P., Curs de matematica superioara pentru scolile tehnice. M., „Nauka”, 1971 - 448 p.;
Zaitsev I.L., Un curs de matematică superioară pentru școlile tehnice. M., editura de stat a scolilor tehnice - literatura teoretica, 1957 - 339 p.;
Pismenny D.T., Un curs de prelegeri despre matematica superioară. M., „Iris Press”, 2005, partea 2 – 256 p.;
Vygodsky M.Ya., Manual de matematică superioară. M., „Nauka”, 1975 - 872 p.;

Adiţional:

Gusak A.A., matematica superioara. În 2 vol., Vol. 2: Manual pentru studenți. Mos., „TetraSystems”, 1988 - 448 p.;
Griguletsky V.G., Lukyanova I.V., Petunina I.A., Matematică pentru studenții specialităților economice. Partea 2. Krasnodar, 2002 - 348 p.;
Griguletsky V.G. etc. Caiet de sarcini în matematică. Krasnodar. KSAU, 2003 - 170 p.;
Griguletsky V.G., Stepantsova K.G., Getman V.N., Sarcini și exerciții pentru studenții facultății de contabilitate și finanțe. Krasnodar. 2001 - 173 p.;
Griguletsky V.G., Yaschenko Z.V., Matematică superioară. Krasnodar, 1998 - 186 p.;
Malykhin V.I., Matematică în economie. M., „Infra-M”, 1999 - 356s.

Rânduri pentru ceainice. Exemple de soluții

Toți supraviețuitorii sunt bineveniți în al doilea an! În această lecție, sau mai degrabă, într-o serie de lecții, vom învăța cum să gestionăm rândurile. Tema nu este foarte dificilă, dar pentru a o stăpâni veți avea nevoie de cunoștințe de la primul curs, în special, trebuie să înțelegeți care este limita, și să poată găsi cele mai simple limite. Totuși, e în regulă, în cursul explicațiilor voi da link-urile corespunzătoare către lecțiile necesare. Pentru unii cititori, subiectul seriilor matematice, metodelor de rezolvare, semnelor, teoremelor poate părea ciudat, și chiar pretențios, absurd. În acest caz, nu trebuie să „încărcați” mult, acceptăm faptele așa cum sunt și pur și simplu învățăm să rezolvăm sarcini obișnuite, obișnuite.

1) Rânduri pentru ceainice, iar pentru samovaruri mulțumiți imediat :)

Pentru o pregătire ultra-rapidă pe o temă exista un curs expres in format pdf, cu ajutorul caruia este cu adevarat posibil sa "ridicam" practica in doar o zi.

Conceptul de serie de numere

În general serie de numere se poate scrie asa:
Aici:
- icoana matematica a sumei;
– termen comun al seriei(amintiți-vă acest termen simplu);
- variabilă - „contor”. Înregistrarea înseamnă că însumarea este efectuată de la 1 la „plus infinit”, adică mai întâi avem , apoi , apoi și așa mai departe - la infinit. O variabilă sau este uneori folosită în locul unei variabile. Însumarea nu începe neapărat de la unu, în unele cazuri poate începe de la zero, de la doi sau de la oricare numar natural.

În conformitate cu variabila „contor”, orice serie poate fi pictată în detaliu:
– și așa mai departe la infinit.

Termeni - Acest NUMERE, care se numesc membrii rând. Dacă toate sunt nenegative (mai mare sau egal cu zero), atunci se numește o astfel de serie linie numerică pozitivă.

Exemplul 1

Apropo, aceasta este deja o sarcină „de luptă” - în practică, destul de des este necesară înregistrarea mai multor membri ai seriei.

Mai întâi, apoi:
Apoi, atunci:
Apoi, atunci:

Procesul poate fi continuat pe termen nelimitat, dar conform condiției, a fost necesar să se scrie primii trei termeni ai seriei, așa că notăm răspunsul:

Observați diferența fundamentală față de succesiune de numere,
în care termenii nu sunt însumați, ci sunt tratați ca atare.

Exemplul 2

Notează primii trei termeni ai seriei

Acesta este un exemplu de auto-rezolvare, răspunsul este la sfârșitul lecției.

Chiar și pentru o serie aparent complexă, nu este dificil să o descriem într-o formă extinsă:

Exemplul 3

Notează primii trei termeni ai seriei

De fapt, sarcina este efectuată oral: substitut mental în termenul comun al seriei mai întâi , apoi și . În cele din urmă:

Lasă răspunsul așa este mai bine să nu simplificăm termenii obținuți ai seriei, adică nu se conformează acțiuni: , , . De ce? Raspunde in formular mult mai ușor și mai convenabil de verificat pentru profesor.

Uneori există un revers

Exemplul 4

Nu există un algoritm de soluție clar aici. trebuie doar să vezi modelul.
În acest caz:

Pentru verificare, seria rezultată poate fi „vopsită înapoi” în formă extinsă.

Dar exemplul este puțin mai dificil pentru o soluție independentă:

Exemplul 5

Scrieți suma în formă restrânsă cu un termen comun al seriei

Verificați din nou scriind seria în formă extinsă

Convergența serii de numere

Unul dintre obiectivele cheie ale subiectului este examinarea unei serii pentru convergenţă. În acest caz, sunt posibile două cazuri:

1) Rânddiverge. Aceasta înseamnă că o sumă infinită este egală cu infinitul: fie sume în general nu exista, ca, de exemplu, în serie
(apropo, iată un exemplu de serie cu termeni negativi). Un bun exemplu de serie de numere divergente a apărut la începutul lecției: . Aici este destul de evident că fiecare termen următor al seriei este mai mare decât cel anterior, așadar și, prin urmare, seria diverge. Un exemplu și mai banal: .

2) Rândconverge. Aceasta înseamnă că o sumă infinită este egală cu unele număr final: . Cu plăcere: Această serie converge și suma sa este zero. Un exemplu mai semnificativ este în scădere infinit progresie geometrică, cunoscută nouă încă de la școală: . Suma membrilor unei progresii geometrice infinit descrescătoare se calculează prin formula: , unde este primul membru al progresiei și este baza acestuia, care, de regulă, se scrie ca corect fractii. În acest caz: , . Prin urmare: Se obține un număr finit, ceea ce înseamnă că seria converge, ceea ce trebuia demonstrat.

Cu toate acestea, în marea majoritate a cazurilor găsiți suma seriei nu este atât de simplu și, prin urmare, în practică, pentru a studia convergența seriei, se folosesc semne speciale, care au fost dovedite teoretic.

Există mai multe semne de convergență ale unei serii: criteriu necesar pentru convergența unei serii, criterii de comparație, criteriu d'Alembert, criterii Cauchy, semnul lui Leibnizși alte câteva semne. Când să aplici ce semn? Depinde de termenul comun al seriei, la figurat vorbind - de „umplutura” serialului. Și foarte curând vom pune totul pe rafturi.

! Pentru învățare ulterioară, aveți nevoie intelege bine, care este limita și e bine să poți dezvălui incertitudinea formei. Pentru repetarea sau studiul materialului, consultați articolul Limite. Exemple de soluții.

Un criteriu necesar pentru convergența unei serii

Dacă seria converge, atunci termenul său comun tinde spre zero: .

Reversul nu este adevărat în cazul general, adică dacă , atunci seria poate atât converge, cât și diverge. Și astfel acest semn este folosit pentru a justifica divergenţă rând:

Dacă termenul comun al seriei nu merge la zero, apoi seria diverge

Sau pe scurt: dacă , atunci seria diverge. În special, este posibilă o situație când limita nu există deloc, cum ar fi, de exemplu, limită. Aici au fundamentat imediat divergența unei serii :)

Dar mult mai des limita seriei divergente este egală cu infinitul, în timp ce în loc de „x” acționează ca o variabilă „dinamică”. Să ne reîmprospătăm cunoștințele: limitele cu „x” se numesc limite ale funcțiilor, iar limitele cu o variabilă „en” - limite ale secvențelor numerice. Diferența evidentă este că variabila „en” ia valori naturale discrete (discontinue): 1, 2, 3 etc. Dar acest fapt are un efect redus asupra metodelor de rezolvare a limitelor și metodelor de dezvăluire a incertitudinilor.

Să demonstrăm că seria din primul exemplu diverge.
Membru comun al seriei:

Concluzie: rând diverge

Caracteristica necesară este adesea folosită în sarcini practice reale:

Exemplul 6

Avem polinoame în numărător și numitor. Cel care a citit cu atenție și a înțeles metoda de dezvăluire a incertitudinii din articol Limite. Exemple de soluții, cu siguranță am prins asta când cele mai mari puteri ale numărătorului și numitorului egal, atunci limita este număr final .

Împărțiți numărătorul și numitorul cu

Seria de studii diverge, întrucât nu este îndeplinit criteriul necesar pentru convergența seriei.

Exemplul 7

Examinați seria pentru convergență

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Soluție completăși răspunsul la sfârșitul lecției

Deci, când ni se oferă ORICE serie de numere, în primul rând verificăm (mental sau pe un draft): termenul său comun tinde spre zero? Dacă nu se străduiește, întocmim o soluție după exemplul exemplelor nr. 6, 7 și dăm răspunsul că seria diverge.

Ce tipuri de serii aparent divergente am luat în considerare? Este imediat clar că rândurile le plac sau diverg. Serii din exemplele nr. 6, 7 diferă de asemenea: când numărătorul și numitorul conțin polinoame, iar gradul cel mai înalt al numărătorului este mai mare sau egal cu gradul cel mai înalt al numitorului. În toate aceste cazuri, la rezolvarea și proiectarea exemplelor, folosim criteriul necesar pentru convergența seriei.

De ce se numește semnul necesar? Înțelegeți în cel mai natural mod: pentru ca seria să converge, necesar astfel încât termenul său comun tinde spre zero. Și totul ar fi bine, dar asta insuficient. Cu alte cuvinte, dacă termenul comun al seriei tinde spre zero, ASTA NU ÎNSEMNĂ că seria converge- poate atât converge, cât și diverge!

Întâlni:

Acest rând se numește serie armonică. Te rog tine minte! Dintre seriale numerice, el este o prima balerină. Mai exact, o balerină =)

Este ușor să vezi asta , DAR. În teoria analizei matematice se demonstrează că seria armonică diverge.

De asemenea, ar trebui să vă amintiți conceptul de serie armonică generalizată:

1) Acest rând diverge la . De exemplu, seria diverge, , .
2) Acest rând converge la . De exemplu, seria , , . Subliniez încă o dată că în aproape toate sarcinile practice nu contează deloc pentru noi care este suma, de exemplu, seria, însuşi faptul convergenţei sale este important.

Acestea sunt fapte elementare din teoria serielor care au fost deja dovedite, iar atunci când rezolvăm un exemplu practic, se poate face referire în siguranță, de exemplu, la divergența seriei sau la convergența seriei.

În general, materialul luat în considerare este foarte asemănător cu studiul integralelor improprii, iar celor care au studiat acest subiect le va fi mai ușor. Ei bine, pentru cei care nu au studiat, este de două ori mai ușor :)

Deci, ce să faci dacă termenul comun al seriei MERGE la zero?În astfel de cazuri, pentru a rezolva exemple, trebuie să folosiți altele, suficient semne de convergență/divergență:

Criterii de comparare pentru seriile de numere pozitive

iti atrag atentia că aici vorbim doar de serii numerice pozitive (cu membri nenegativi).

Există două semne de comparație, unul dintre ele îl voi numi pur și simplu semn de comparație, o alta - semn limitativ al comparației.

Mai întâi luați în considerare semn de comparație, sau mai bine zis, prima parte a acesteia:

Se consideră două serii numerice pozitive și . Daca este cunoscut, că rândul este converge, și, pornind de la un număr , inegalitatea este valabilă, apoi seria converge de asemenea.

Cu alte cuvinte: Convergența unei serii cu termeni mai mari implică convergența unei serii cu termeni mai mici. În practică, inegalitatea este adesea satisfăcută în general pentru toate valorile:

Exemplul 8

Examinați seria pentru convergență

În primul rând, verificăm(mental sau pe o schiță) execuție:
, ceea ce înseamnă că nu a fost posibil să „coboare cu puțin sânge”.

Ne uităm la „pachetul” seriei armonice generalizate și, concentrându-ne pe cel mai înalt grad, găsim o serie similară: se știe din teorie că converge.

Pentru toate numerele naturale, inegalitatea evidentă este valabilă:

iar numitorii mai mari corespund fracțiilor mai mici:
, ceea ce înseamnă că, după criteriul de comparație, seria studiată convergeîmpreună cu lângă .

Dacă aveți îndoieli, atunci inegalitatea poate fi întotdeauna pictată în detaliu! Să notăm inegalitatea construită pentru mai multe numere „en”:
Daca atunci
Daca atunci
Daca atunci
Daca atunci
….
iar acum este destul de clar că inegalitatea este valabil pentru toate numerele naturale „en”.

Să analizăm din punct de vedere informal criteriul de comparație și exemplul rezolvat. Totuși, de ce converge serialul? Iata de ce. Dacă seria converge, atunci are unele final Cantitate : . Și din moment ce toți membrii seriei mai mici membri corespondenți ai seriei, atunci ciotul este clar că suma seriei nu poate fi mai mult număr, și cu atât mai mult, nu poate fi egal cu infinitul!

În mod similar, putem demonstra convergența seriilor „similare”: , , etc.

! Notă că în toate cazurile avem „plusuri” la numitori. Prezența a cel puțin un minus poate complica serios folosirea considerată caracteristică de comparație. De exemplu, dacă o serie este comparată în același mod cu o serie convergentă (notați mai multe inegalități pentru primii termeni), atunci condiția nu va fi îndeplinită deloc! Aici puteți eschiva și alege pentru comparație o altă serie convergentă, de exemplu, , dar acest lucru va implica rezerve inutile și alte dificultăți inutile. Prin urmare, pentru a demonstra convergența unei serii, este mult mai ușor de utilizat criteriul de comparare marginală(vezi paragraful următor).

Exemplul 9

Examinați seria pentru convergență

Și în acest exemplu, vă sugerez să luați în considerare singur a doua parte a caracteristicii de comparație:

Daca este cunoscut, că rândul este diverge, și pornind de la un anumit număr (deseori de la prima) inegalitatea este valabilă, apoi seria de asemenea diverge.

Cu alte cuvinte: Divergența seriei cu termeni mai mici implică divergența seriei cu termeni mai mari.

Ce ar trebui făcut?
Este necesar să se compare seria studiată cu o serie armonică divergentă. Pentru o mai bună înțelegere, construiți unele inegalități specifice și asigurați-vă că inegalitatea este adevărată.

Soluția și proiectarea eșantionului la sfârșitul lecției.

După cum sa menționat deja, în practică, caracteristica de comparație luată în considerare este rar utilizată. Adevăratul „cal de bătaie” al seriei de numere este criteriul de comparare marginală, și numai în ceea ce privește frecvența de utilizare semnul lui d'Alembert.

Semn limită de comparație a seriilor numerice pozitive

Se consideră două serii numerice pozitive și . Dacă limita raportului dintre membrii comuni ai acestor serii este egală cu număr finit diferit de zero: , atunci ambele serii converg sau diverg în același timp.

Când este utilizat criteriul de comparare a limitelor? Semnul limită de comparație este folosit atunci când „umplutura” seriei este polinoame. Fie un polinom în numitor, fie polinoame atât la numărător, cât și la numitor. Opțional, polinoamele pot fi sub rădăcini.

Să ne ocupăm de seria pentru care semnul anterior de comparație a blocat.

Exemplul 10

Examinați seria pentru convergență

Comparați această serie cu seria convergentă. Folosim testul limită de comparație. Se știe că seria converge. Dacă putem arăta că este final diferit de zero număr, se va dovedi că și seria converge.

Se obține un număr finit, diferit de zero, ceea ce înseamnă că seria în studiu convergeîmpreună cu lângă .

De ce a fost ales serialul pentru comparație? Daca am fi ales orice alta serie din “clipul” seriei armonice generalizate, atunci nu am fi reusit in limita final diferit de zero numere (puteți experimenta).

Notă: când folosim caracteristica de comparare marginală, irelevant, în ce ordine se compune relaţia de membri comuni, în exemplul avut în vedere, relaţia ar putea fi trasată invers: - aceasta nu ar schimba esenţa materiei.

Liniile numerice. Convergenţa şi divergenţa seriilor numerice. criteriul de convergenţă d'Alembert. Rânduri variabile. Convergența absolută și condiționată a seriei. rânduri funcționale. Serie de puteri. Extinderea funcțiilor elementare din seria Maclaurin.

Orientări privind subiectul 1.4:

Număr rânduri:

O serie de numere este o sumă a formei

unde sunt numerele u 1 , u 2 , u 3 , n n , numiți membri ai seriei, formează o succesiune infinită; termenul un este numit termenul comun al seriei.

. . . . . . . . .

compuse din primii termeni ai seriei (27.1) se numesc sume parțiale ale acestei serii.

Fiecare rând poate fi asociat cu o succesiune de sume parțiale S1, S2, S3. Dacă, pe măsură ce numărul n crește la infinit, suma parțială a seriei S n tinde spre limită S, atunci seria se numește convergentă, iar numărul S- suma unei serii convergente, i.e.

Această intrare este echivalentă cu intrarea

Dacă o sumă parțială S n seria (27.1) cu o creștere nelimitată n nu are o limită finită (în special, tinde spre + ¥ sau spre - ¥), atunci o astfel de serie se numește divergentă

Dacă seria converge, atunci valoarea S n căci n suficient de mare este o expresie aproximativă pentru suma seriei S.

Diferență r n = S - S n se numește restul seriei. Dacă seria converge, atunci restul ei tinde spre zero, adică. r n = 0, și invers, dacă restul tinde spre zero, atunci seria converge.

Seria unei specii se numește linie geometrică.

numit armonic.

dacă N®¥, atunci S n®¥, adică seria armonică diverge.

Exemplul 1. Scrieți o serie după termenul comun dat:

1) presupunând n = 1, n = 2, n = 3, avem o succesiune infinită de numere: , , , Adunând termenii săi, obținem seria

2) Făcând același lucru, obținem seria

3) Dând n valorile 1, 2, 3 și ținând cont de faptul că 1! = 1, 2! = 1 × 2, 3! = 1 × 2 × 3, obținem seria

Exemplul 2. Găsiți n-al-lea termen al seriei prin primele sale numere date:

1) ; 2) ; 3) .

Exemplul 3. Aflați suma termenilor seriei:

1) Aflați sumele parțiale ale termenilor seriei:

Să notăm succesiunea sumelor parțiale: …, , … .

Termenul comun al acestei secvențe este . Prin urmare,

Secvența sumelor parțiale are o limită egală cu . Deci seria converge și suma ei este .

2) Aceasta este o scădere infinită progresie geometrică, unde a 1 = , q= . Folosind formula, obținem Deci, seria converge și suma sa este egală cu 1.

Convergenţa şi divergenţa seriilor numerice. Semnul de convergență d'Alembert :

Un criteriu necesar pentru convergența unei serii. O serie poate converge numai dacă termenul său comun este u n cu creștere nelimitată a numărului n merge la zero:

Dacă , atunci seria diverge - acesta este un semn suficient al solubilității seriei.

Condiții suficiente pentru convergența unei serii cu termeni pozitivi.

Semnul comparației serii cu termeni pozitivi. Seria studiata converge daca membrii ei nu depasesc membrii corespunzatori ai altei serii evident convergente; seria studiată diverge dacă termenii ei depășesc termenii corespunzători unei alte serii evident divergente.

În studiul seriilor pentru convergență și solubilitate pe această bază, seria geometrică este adesea folosită

care converge pentru |q|

fiind divergente.

În studiul seriilor se folosește și seria armonică generalizată

În cazul în care un p= 1, atunci această serie se transformă într-o serie armonică, care este divergentă.

În cazul în care un p< 1, то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При p> 1 avem o serie geometrică în care | q| < 1; он является сходящимся. Итак, обобщенный гармонический ряд сходится при p> 1 și diverge la p£1.

Semnul lui d'Alembert. Dacă pentru o serie cu termeni pozitivi

(u n>0)

condiția este îndeplinită, atunci seria converge la l l > 1.

semnul lui d'Alembert nu dă un răspuns dacă l= 1. În acest caz, se folosesc alte metode pentru a studia seria.

Rânduri variabile.

Convergența absolută și condiționată a seriei:

Seria de numere

u 1 + u 2 + u 3 + u n

se numeste alternant daca printre membrii sai sunt atat numere pozitive cat si numere negative.

O serie de numere se numește alternant de semne dacă oricare doi membri adiacente au semne opuse. Această serie este un caz special al unei serii alternative.

Criteriul de convergență pentru serii alternante. Dacă termenii seriei alternante scad monoton în valoare absolută iar termenul comun u n tinde spre zero ca n® , apoi seria converge.

O serie se numește absolut convergentă dacă și seria converge. Dacă o serie converge absolut, atunci este convergentă (în sensul obișnuit). Reversul nu este adevărat. Se spune că o serie este convergentă condiționat dacă ea însăși converge și seria compusă din modulele membrilor săi diverge. Exemplul 4. Examinați seria pentru convergență.

Să aplicăm testul Leibniz suficient pentru serii alternative. Primim pentru că . Prin urmare, această serie converge. Exemplul 5. Examinați seria pentru convergență.

Să încercăm să aplicăm semnul Leibniz: Se poate observa că modulul termenului comun nu tinde spre zero atunci când n→∞. Prin urmare, această serie diverge. Exemplul 6. Determinați dacă seria este absolut convergentă, convergentă condiționat sau divergentă.

Aplicând testul d'Alembert unei serii compuse din modulele termenilor corespunzători, găsim Prin urmare, această serie converge absolut.

Exemplul 7. Examinați pentru convergență (absolută sau condiționată) o serie alternativă:

1) Termenii acestei serii scad monoton în valoare absolută și . Prin urmare, conform testului Leibniz, seria converge. Să aflăm dacă această serie converge absolut sau condiționat.

2) Termenii acestei serii scad monoton în valoare absolută: , dar

Seria funcțională:

Seria de numere obișnuită este formată din numere:

Toți membrii seriei sunt numerele.

Linia funcțională este formată din functii:

În termenul general al seriei, pe lângă polinoame, factoriali etc. cu siguranță include litera „x”. Arata cam asa, de exemplu: La fel ca o serie de numere, orice serie funcțională poate fi scrisă în formă extinsă:

După cum puteți vedea, toți membrii seriei funcționale sunt funcții.

Cel mai popular tip de serie funcțională este serie de puteri.

Serie de puteri:

puterea în continuare se numește serie

unde sunt numerele a 0, a 1, a 2, a n se numesc coeficienții seriei, iar termenul un n x n este un membru comun al seriei.

Regiunea de convergență a unei serii de puteri este mulțimea tuturor valorilor X pentru care seria converge.

Număr R se numește raza de convergență a seriei dacă, pentru | x| seria converge.

Exemplul 8. Dat un rând

Investigați convergența acesteia în puncte X= 1 și X= 3, X= -2.

Când x = 1, această serie se transformă într-o serie de numere

Să investigăm convergența acestei serii prin testul d'Alembert. Noi avem

Acestea. seria converge.

Pentru x = 3 obținem seria

Ceea ce diverge, întrucât nu este îndeplinit criteriul necesar pentru convergența seriei

Pentru x = -2 obținem

Aceasta este o serie alternativă, care, conform testului Leibniz, converge.

Deci la puncte X= 1 și X= -2. seria converge, iar la punct X= 3 diverge.

Extinderea funcțiilor elementare din seria Maclaurin:

Lângă Taylor pentru functie f(x) se numește o serie de puteri a formei

În cazul în care un, a = 0, apoi obținem un caz special al seriei Taylor

Care e numit lângă Maclaurin.

O serie de puteri din intervalul său de convergență poate fi diferențiată și integrată termen cu termen de câte ori se dorește, iar seria rezultată are același interval de convergență ca și seria originală.

Două serii de puteri pot fi adăugate și înmulțite termen cu termen conform regulilor de adunare și înmulțire a polinoamelor. În acest caz, intervalul de convergență al seriei noi rezultate coincide cu partea comună a intervalelor de convergență a seriei originale.

Pentru a extinde o funcție într-o serie Maclaurin, este necesar:

1) calculați valorile funcției și derivatele sale succesive la punctul x= 0, adică , , .
8. Extindeți seria Maclaurin de funcții.

Înainte de a începe lucrul cu acest subiect, vă sfătuiesc să vă uitați la secțiunea cu terminologie pentru seriile de numere. În special, merită să acordați atenție conceptului de termen comun al unei serii. Dacă aveți îndoieli cu privire la alegerea corectă a semnului de convergență, vă sfătuiesc să priviți subiectul „Alegerea semnului de convergență al seriei numerice”.

Criteriu necesar pentru convergență seria de numere are o formulare simplă: termenul comun al seriei convergente tinde spre zero. Puteți scrie această caracteristică mai formal:

Dacă seria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ converge, atunci $\lim_(n\to\infty)u_n=0$.

Adesea, în literatură, în locul expresiei „un criteriu necesar pentru convergență” se scrie „o condiție necesară pentru convergență”. Dar să trecem la subiect: ce înseamnă acest semn? Și înseamnă următoarele: dacă $\lim_(n\to\infty)u_n=0$, atunci seria poate converg. Dacă $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$ (sau limita pur și simplu nu există), atunci seria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ diverge.

Este de remarcat faptul că egalitatea $\lim_(n\to\infty)u_n=0$ nu înseamnă că seria converge deloc. O serie poate fie converge, fie diverge. Dar dacă $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, atunci seria este garantată să diverge. Dacă aceste nuanțe necesită explicații detaliate, atunci vă rugăm să deschideți nota.

Ce înseamnă expresia „condiție necesară”? arată ascunde

Să clarificăm noțiunea de condiție necesară cu un exemplu. Pentru a cumpăra un stilou pentru un student necesar au 10 ruble. Acest lucru poate fi scris după cum urmează: dacă un student cumpără un stilou, atunci are 10 ruble. Prezența a zece ruble este condiția necesară pentru cumpărarea unui stilou.

Să fie îndeplinită această condiție, adică Studentul are zece. Înseamnă asta că va cumpăra un stilou? Deloc. El poate cumpăra un pix sau poate economisi banii pentru mai târziu. Sau cumpără altceva. Sau dă-le cuiva - există o mulțime de opțiuni :) Cu alte cuvinte, îndeplinirea condiției necesare pentru cumpărarea unui stilou (adică, a avea bani) nu garantează achiziționarea acestui stilou.

În mod similar, condiția necesară pentru convergența seriei numerice $\lim_(n\to\infty)u_n=0$ nu garantează deloc convergența acestei serii în sine. O analogie simplă: dacă există bani, un student poate cumpăra sau nu un stilou. Dacă $\lim_(n\to\infty)u_n=0$, seria poate fie converge, fie diverge.

Totuși, ce se întâmplă dacă nu este îndeplinită condiția necesară pentru cumpărarea unui stilou, adică. fară bani? Atunci studentul cu siguranță nu va cumpăra un stilou. Același lucru este valabil și pentru serii: dacă nu este îndeplinită condiția de convergență necesară, i.e. $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, atunci seria va diverge cu siguranță.

Pe scurt, dacă este îndeplinită condiția necesară, atunci consecința poate apărea sau nu. Cu toate acestea, dacă condiția necesară nu este îndeplinită, atunci cu siguranță consecința nu va apărea.

Pentru claritate, voi da un exemplu de două serii: $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ și $\sum\limits_(n=1)^(\ infty)\frac( 1)(n^2)$. Termenul comun al primei serii $u_n=\frac(1)(n)$ și termenul comun al celei de-a doua serii $v_n=\frac(1)(n^2)$ tind spre zero, i.e.
$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(1)(n)=0;\; \lim_(n\to\infty)v_n=\lim_(n\to\infty)\frac(1)(n^2)=0. $$
Cu toate acestea, seria armonică $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ diverge, în timp ce seria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\ frac(1 )(n^2)$ converge. Îndeplinirea condiției de convergență necesară nu garantează deloc convergența seriei.

Pe baza condiției necesare pentru convergența seriei, putem formula semn suficient de divergenta linie numerica:

Dacă $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, atunci seria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ diverge.

Cel mai adesea, în exemplele standard, se verifică criteriul de convergență necesar dacă termenul comun al seriei este reprezentat printr-o fracție, al cărei numărător și numitor sunt niște polinoame. De exemplu, $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ (vezi exemplul #1). Sau pot exista rădăcini din polinoame (vezi exemplul nr. 2). Există exemple care sunt oarecum în afara acestei scheme, dar acest lucru este rar pentru testele standard (a se vedea exemplele din a doua parte a acestui subiect). Subliniez principalul lucru: cu ajutorul criteriului necesar, este imposibil să se dovedească convergența seriei. Acest criteriu este utilizat atunci când este necesar să se demonstreze că seria diverge.

Exemplul #1

Investigați convergența seriei $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$.

Deoarece limita inferioară de însumare este 1, termenul comun al seriei se scrie sub semnul sumei: $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$. Găsiți limita termenului comun al seriei:
$$ \lim_(n\la\infty)u_n=\lim_(n\la\infty)\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)=\left|\frac(\infty) (\infty)\right|= \lim_(n\la\infty)\frac(\frac(3n^2)(n^2)+\frac(2n)(n^2)-\frac(1)( n^2))(\frac(5n^2)(n^2)+\frac(7)(n^2))= \lim_(n\to\infty)\frac(3+\frac(2) (n)-\frac(1)(n^2))(5+\frac(7)(n^2))=\frac(3+0-0)(5+0)=\frac(3) (5). $$
„Limita raportului a două polinoame”. Deoarece limita termenului comun al seriei nu este egală cu zero, i.e. $\lim_(n\to\infty)u_n=\frac(3)(5)\neq 0$, atunci nu este îndeplinit criteriul necesar pentru convergență. Prin urmare, seria diverge.

Soluția s-a terminat, însă, cred, cititorul va avea o întrebare destul de rezonabilă: de unde am văzut măcar că este necesar să verificăm îndeplinirea condiției de convergență necesare? Există multe semne de convergență a seriilor numerice, așa că de ce au luat-o pe aceasta? Această întrebare nu este deloc inactivă. Dar, deoarece răspunsul la acesta poate să nu fie de interes pentru toți cititorii, l-am ascuns sub o notă.

De ce am început să folosim criteriul necesar de convergență? arată ascunde

Vorbind vag, problema convergenței acestei serii este decisă chiar înainte de un studiu formal. Nu voi atinge un astfel de subiect precum ordinea creșterii, voi oferi pur și simplu niște raționamente generale. Să aruncăm o privire mai atentă la termenul comun $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$. Să ne uităm mai întâi la numărător. Numărul (-1) situat în numărător poate fi aruncat imediat: dacă $n\to\infty$, atunci acest număr va fi neglijabil în comparație cu restul termenilor.

Să ne uităm la puterile $n^2$ și $n$ în numărător. Întrebare: care element ($n^2$ sau $n$) va crește mai repede decât alții?

Răspunsul aici este simplu: este $n^2$ care își va crește cel mai repede valorile. De exemplu, când $n=100$, atunci $n^2=10\;000$. Și acest decalaj între $n$ și $n^2$ va deveni din ce în ce mai mare. Prin urmare, vom elimina mental toți termenii, cu excepția celor care conțin $n^2$. După o astfel de „scădere”, numărătorul va avea $3n^2$. Și după efectuarea unei proceduri similare pentru numitor, $5n^2$ vor rămâne acolo. Și fracția $\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ va deveni acum: $\frac(3n^2)(5n^2)=\frac(3)(5)$ . Acestea. la infinit, termenul comun nu va tinde, evident, spre zero. Rămâne doar să arătăm formal acest lucru, ceea ce a fost făcut mai sus.

Adesea, în înregistrarea unui membru comun al unei serii, sunt utilizate elemente precum, de exemplu, $\sin\alpha$ sau $\arctg\alpha$ și altele asemenea. Trebuie doar să rețineți că valorile unor astfel de cantități nu pot depăși anumite limite numerice. De exemplu, indiferent de valoarea lui $\alpha$, valoarea lui $\sin\alpha$ va rămâne în intervalul $-1≤\sin\alpha≤ 1$. Adică, de exemplu, putem scrie că $-1≤\sin(n!e^n)≤ 1$. Acum imaginați-vă că notația pentru termenul comun al seriei conține o expresie de genul $5n+\sin(n!e^n)$. Sinusul, care poate „oscila” doar de la -1 la 1, va juca vreun rol semnificativ? La urma urmei, valorile lui $n$ se grăbesc la infinit, iar sinusul nu poate depăși nici măcar unul! Prin urmare, într-o considerație preliminară a expresiei $5n+\sin(n!e^n)$, sinusul poate fi pur și simplu aruncat.

Sau, de exemplu, luați arc-tangente. Oricare ar fi valoarea argumentului $\alpha$, valorile lui $\arctg\alpha$ vor satisface inegalitatea $-\frac(\pi)(2)<\arctg\alpha<\frac{\pi}{2}$. Т.е., например, в выражении вроде $7n^3+\sqrt{9n+100}-6\arctg(5^n+587n^{258})$ можно сразу отбросить арктангенс. Да и $\sqrt{9n+100}$ тоже, оставив при этом лишь $7n^3$.

Pentru a determina ce elemente pot fi „aruncate” și care nu, aveți nevoie de puțină îndemânare. Cel mai adesea, problema convergenței unei serii poate fi rezolvată chiar înainte de un studiu formal. Iar un studiu formal în exemple standard servește doar ca o confirmare a rezultatului obținut intuitiv.

Răspuns: seria diverge.

Exemplul #2

Examinați seria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+12)$ pentru convergență.

Deoarece limita inferioară de însumare este egală cu 1, termenul comun al seriei se scrie sub semnul sumei: $u_n=\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+ 12)$. Găsiți limita termenului comun al seriei:
$$ \lim_(n\la\infty)u_n=\lim_(n\la\infty)\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+12)=\ stânga|\frac(\infty)(\infty)\right|= \lim_(n\la\infty)\frac(\sqrt(\frac(4n^7)(n^7)+\frac(5n^3) )(n^7)-\frac(4)(n^7)))(\frac(9n^2)(n^(\frac(7)(3)))-\frac(n)(n^ (\frac(7)(3)))+\frac(12)(n^(\frac(7)(3))))= \lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(4+) \frac(5)(n^4)-\frac(4)(n^7)))(\frac(9)(n^\frac(1)(3))-\frac(1)(n^ \frac(4)(3))+\frac(12)(n^\frac(7)(3)))=+\infty. $$
Dacă metoda de rezolvare a acestei limite ridică întrebări, atunci vă sfătuiesc să vă referiți la subiectul "Limite cu iraționalitate. A treia parte" (exemplul nr. 7). Deoarece limita termenului comun al seriei nu este egală cu zero, i.e. $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, atunci nu este îndeplinit criteriul necesar pentru convergență. Prin urmare, seria diverge.

Să vorbim puțin din poziția raționamentului intuitiv. În principiu, aici este adevărat tot ceea ce s-a spus în nota la soluția exemplului nr. 1. Dacă „aruncăm” mental toți termenii „irelevanți” din numărătorul și numitorul termenului comun al seriei, atunci fracția $\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2- n+12)$ va lua forma : $\frac(\sqrt(4n^7))(9n^2)=\frac(n^2\sqrt(4n))(9n^2)=\frac(\ sqrt(4n))(9)$ . Acestea. chiar înainte de un studiu formal, devine clar că pentru $n\to\infty$ termenul comun al seriei nu va tinde spre zero. La infinit - va deveni, la zero - nu. Prin urmare, rămâne doar să arătăm acest lucru cu strictețe, ceea ce s-a făcut mai sus.

Răspuns: seria diverge.

Exemplul #3

Investigați convergența seriei $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(5^n\sin\frac(8)(3^n)\right)$.

Deoarece limita inferioară de însumare este egală cu 1, termenul comun al seriei se scrie sub semnul sumei: $u_n=5^n\sin\frac(8)(3^n)$. Găsiți limita termenului comun al seriei:
$$ \lim_(n\la\infty)u_n=\lim_(n\la\infty)\left(5^n\sin\frac(8)(3^n)\right)=\lim_(n\to \infty)\frac(\sin\frac(8)(3^n))(\frac(1)(5^n))=\left|\frac(0)(0)\right|=\left| \begin(aligned)&\frac(8)(3^n)\to 0;\\&\sin\frac(8)(3^n)\sim\frac(8)(3^n). \end(aliniat)\right|=\lim_(n\la\infty)\frac(\frac(8)(3^n))(\frac(1)(5^n))=8\cdot\lim_ (n\la\infty)\left(\frac(5)(3)\right)^n=+\infty. $$
Deoarece limita termenului comun al seriei nu este egală cu zero, i.e. $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, atunci nu este îndeplinit criteriul necesar pentru convergență. Prin urmare, seria diverge.

Câteva cuvinte despre transformările care au fost efectuate la calcularea limitei. Expresia $5^n$ a fost plasată în numărător, astfel încât expresiile atât la numărător, cât și la numitor devin infinitezimale. Acestea. pentru $n\to\infty$ avem: $\sin\frac(8)(3^n)\to 0$ și $\frac(1)(5^n)\to 0$. Și dacă avem un raport infinitezimal, atunci putem aplica în siguranță formulele indicate în documentul „Funcții infinitezimale echivalente” (vezi tabelul de la sfârșitul documentului). Conform uneia dintre aceste formule, dacă $x\la 0$, atunci $\sin x\sim x$. Și avem doar un astfel de caz: deoarece $\frac(8)(3^n)\la 0$, atunci $\sin\frac(8)(3^n)\sim\frac(8)( 3^n )$. Cu alte cuvinte, pur și simplu înlocuim expresia $\sin\frac(8)(3^n)$ cu expresia $\frac(8)(3^n)$.

Cred că se poate pune întrebarea de ce am transformat expresia $5^n\sin\frac(8)(3^n)$ în forma unei fracții, deoarece înlocuirea s-ar fi putut face fără o astfel de transformare. Răspunsul aici este următorul: se poate face o înlocuire, dar va fi legală? Teorema funcțiilor infinitezimale echivalente oferă o indicație clară că astfel de înlocuiri sunt posibile numai în expresii de forma $\frac(\alpha(x))(\beta(x))$ (în timp ce $\alpha(x)$ și $ \beta (x)$ - infinitezimal) situat sub semnul limită. Deci ne-am transformat expresia în forma unei fracții, potrivindu-l la cerințele teoremei.

Răspuns: seria diverge.

Exemplul #4

Investigați convergența seriei $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(3^n)(n^2)$.

Deoarece limita inferioară de însumare este egală cu 1, termenul comun al seriei se scrie sub semnul sumei: $u_n=\frac(3^n)(n^2)$. De fapt, problema convergenței acestei serii este ușor de rezolvat folosind semnul D „Alembert. Cu toate acestea, se poate aplica și semnul de convergență necesar.

Să aruncăm o privire mai atentă asupra termenului comun al seriei. Numătatorul conține expresia $3^n$, care crește mult mai repede cu creșterea $n$ decât cea din numitor $n^2$. Comparați pentru dvs.: de exemplu, dacă $n=10$, atunci $3^n=59049$ și $n^2=100$. Și acest decalaj crește rapid odată cu creșterea de $n$.

Este destul de logic să presupunem că dacă $n\to\infty$, atunci $u_n$ nu va tinde spre zero, adică. condiția de convergență necesară nu este îndeplinită. Rămâne doar să testăm această ipoteză plauzibilă și să calculam $\lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(3^n)(n^2)$. Totuși, înainte de a calcula această limită, să găsim limita auxiliară a funcției $y=\frac(3^x)(x^2)$ pentru $x\to +\infty$, adică. calculați $\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)$. De ce facem asta: adevărul este că în expresia $u_n=\frac(3^n)(n^2)$ parametrul $n$ ia doar valori naturale ($n=1,2,3, \ldots$) , iar argumentul $x$ al funcției $y=\frac(3^x)(x^2)$ ia valori reale. Când găsim $\lim_(x\to+\infty)\frac(3^x)(x^2)$ putem aplica regula lui L'Hopital:
$$ \lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)=\left|\frac(\infty)(\infty)\right|=|\text (aplicați L'Hopital's regula) |=\lim_(x\la +\infty)\frac(\left(3^x\right)")(\left(x^2\right)")=\lim_(x\la +\infty )\ frac(3^x\ln 3)(2x)=\\ =\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x) =\ stânga|\frac(\infty)(\infty)\right|=|\text(aplicați regula lui L'Hopital)|=\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\ infty)\frac (\left(3^x\right)")(\left(x\right)")=\\ =\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\ infty)\frac (3^x\ln 3)(1)=\frac(\ln^2 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\infty)3^x=+\infty. $$
Deoarece $\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)=+\infty$, atunci $\lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to \ infty)\frac(3^n)(n^2)=+\infty$. Deoarece $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$ nu este îndeplinită condiția necesară pentru convergența seriei, adică. seria dată diverge.

Răspuns: seria diverge.

Alte exemple de serii, a căror convergență este verificată cu ajutorul testului de convergență necesar, sunt în partea a doua a acestui subiect.

În practică, de multe ori nu este la fel de important să găsești suma unei serii decât să răspunzi la întrebarea convergenței serii. În acest scop, se folosesc criterii de convergență bazate pe proprietățile termenului comun al seriei.

UN CRITERIU NECESAR PENTRU CONVERGENȚA UNEI SERIE

TEOREMA 1.

Dacă seria converge, atunci termenul său comun A n tinde spre zero ca, adică .

Pe scurt: dacă seria converge, atunci termenul său comun tinde spre zero.

Corolar: dacă , atunci seria diverge.

Exemplul 15.

Decizie. Pentru această serie, termenul comun și .

Prin urmare, această serie diverge.

Exemplul 16. Investigați seria de convergență .

Decizie. Este evident că termenul comun al acestei serii, a cărui formă nu este indicată din cauza expresiei greoaie, tinde spre zero la n®¥, acestea. este îndeplinit criteriul necesar pentru convergența seriei, dar această serie diverge, deoarece suma sa tinde spre infinit.

CONDIȚII SUFICIENTE DE CONVERGENȚĂ

SERIA POZITIVĂ

Se numește o serie de numere ai căror membri toți sunt pozitivi semn pozitiv.

TEOREMA 2. (Primul semn de comparație).

Să fie date două serii pozitive:

a 1 + A 2 +A 3 +...+A n+...=(17)

b 1 + b 2 +b 3 +...+b n+...= ,(18)

și, pornind de la un anumit număr N, pentru oricine n>N inegalitatea A n£ b n. Apoi:

1) convergența seriei („mai mare”) implică convergența seriei („mai mică”);

2) divergența seriei („mai mici”) implică divergența seriei („mai mari”).

Notarea schematică a primului semn de comparație:

A n£ b n

convergenţă

exp.®exp.

Pentru a aplica această caracteristică, se folosesc adesea astfel de serii standard, a căror convergență sau divergență este cunoscută în prealabil, de exemplu:

1) ¾ geometric, (converge la și diverge la );

2) - armonică (diverge);

3) - seria Dirichlet (converge pentru a > 1 și diverge pentru a £ 1).

Luați în considerare, folosind un exemplu specific, o schemă pentru studierea unei serii cu semne pozitive pentru convergență folosind primul criteriu de comparație.

Exemplul 17.

Decizie. Pasul 1. Să verificăm semnul pozitiv al seriei: .

Pasul 2. Să verificăm îndeplinirea criteriului necesar pentru convergența seriei: . De atunci .

(Dacă calcularea limitei este dificilă, puteți sări peste acest pas.)

Pasul 3. Folosim primul semn de comparație. Să alegem o serie standard pentru această serie. Din moment ce , atunci seria poate fi luată ca standard, i.e. rândul Dirichlet. Această serie converge deoarece exponentul a= >1. Prin urmare, conform primului criteriu de comparație, converge și seria studiată.

Exemplul 18. Examinați seria pentru convergență.

Decizie. 1. Această serie este semn-pozitivă, deoarece pentru n=1,2,3,... .

2. Criteriul necesar pentru convergenţa seriei este îndeplinit, deoarece

3. Să selectăm un rând standard. Deoarece , atunci seria geometrică () poate fi luată ca standard. Această serie converge, deci și seria studiată converge.

TEOREMA 3. (Al doilea semn de comparație )

Dacă există o limită finită diferită de zero pentru seriile cu semn pozitiv, atunci seria converg sau diverge simultan.

În cazul în care un A n ®0 ca n®¥ (un criteriu necesar pentru convergență), apoi din condiția , rezultă că A n și b n sunt infinitezimale de același ordin de micime (echivalent pentru l=1). Prin urmare, dacă i se oferă o serie , Unde A n ®0 ca n®0, atunci pentru această serie putem lua o serie standard, unde termenul comun b n are aceeași ordine de micime ca și termenul comun al seriei date.

Exemplul 19. Investigați seria de convergență

Decizie. Această serie este semn-pozitivă, deoarece pentru orice nОN.

Deoarece ~ ~ , atunci luăm ca serie de referinţă o serie divergentă armonică . Deoarece limita raportului termenilor comuni un nși este finită și diferită de zero (este egală cu 1), apoi pe baza celui de-al doilea criteriu de comparație, această serie diverge.

TEOREMA 4.(Semnul lui d'Alembert )

Dacă există o limită finită pentru o serie cu semn pozitiv, atunci seria converge pentru l<1 и расходится при l>1.

Note:

1) Dacă l=1, atunci Teorema 4 nu răspunde la întrebarea despre convergența seriei și, prin urmare, este necesar să se utilizeze alte criterii de convergență.

2) Testul d'Alembert este convenabil în practică atunci când termenul comun al seriei conține o funcție exponențială sau un factorial.

Exemplul 20. Investigați seria de convergență după d'Alembert.

Note:

1) Dacă l=1, Teorema 5 nu răspunde la întrebarea despre convergența seriei, deci este necesar să se folosească alte criterii de comparație.

2) Dacă l=¥ , atunci seria diverge.

Exemplul 22. Investigați seria pentru convergență.

Decizie. Acest serial are un semn pozitiv, deoarece pentru oricare nОN. Omitând verificarea fezabilității criteriului necesar pentru convergența seriei, folosim imediat Teorema 5. Deoarece , atunci această serie diverge după criteriul Cauchy.

TEOREMA 6. (Testul Cauchy integral)

Lasă funcția f(x) continuu, nenegativ și necrescător pentru toți x³m, Unde m- un număr nenegativ. Apoi seria de numere

converge dacă integrala improprie converge