Definiții și proprietăți de bază ale seriei numerice. Proprietățile de bază ale serii de numere convergente

Introducere

d'Alembert cauchy numeric

Conceptul de sume infinite era de fapt cunoscut oamenilor de știință Grecia antică(Eudox, Euclid, Arhimede). Găsirea sumelor infinite a fost o parte integrantă a așa-numitei metode de epuizare, utilizată pe scară largă de oamenii de știință greci antici pentru a găsi zonele figurilor, volumele corpurilor, lungimile curbelor etc. Deci, de exemplu, Arhimede a găsit suma infinitului progresie geometrică cu numitorul 1/4.

Un număr, ca concept independent, matematicienii au început să îl folosească în secolul al XVII-lea. I. Newton şi G. Leibniz au folosit serii pentru rezolvarea algebricii şi ecuatii diferentiale. Teoria seriei în secolele XVIII-XIX. dezvoltat în lucrările lui J. și I. Bernoulli, B. Taylor, C. Maclaurin, L. Euler, J. d'Alembert, J. Lagrange și alții.O teorie riguroasă a seriei a fost creată în secolul al XIX-lea. bazat pe conceptul de limită în lucrările lui K. Gauss, B. Bolzano, O. Cauchy, P. Dirichlet, N. Abel, K. Weierstrass, B. Riemann ș.a.

Relevanța studierii acestei probleme se datorează faptului că ramura matematicii care permite rezolvarea oricărei probleme bine puse cu suficientă precizie pentru utilizare practică se numește teoria seriilor. Chiar dacă unele concepte subtile analiză matematică au apărut deconectate de teoria seriei, au fost imediat aplicate seriei, care au servit, parcă, drept instrument de testare a semnificației acestor concepte. Această situație continuă și astăzi. Astfel, pare relevant să studiem seria de numere, conceptele lor de bază și trăsăturile de convergență a seriei.

1. Istoricul apariției

.1 Prima mențiune și utilizare a seriei de numere

Regulile aritmeticii ne oferă capacitatea de a determina suma a doi, trei, patru și, în general, a oricărui set finit de numere. Ce se întâmplă dacă numărul de termeni este infinit? Chiar dacă este „cel mai mic” infinit, i.e. să fie numărabil numărul de termeni.

Găsirea sumelor infinite a fost o parte integrantă a așa-numitei metode de epuizare, utilizată pe scară largă de oamenii de știință greci antici pentru a găsi zonele figurilor, volumele corpurilor, lungimile curbelor etc. Deci, de exemplu, Arhimede a găsit suma unei progresii geometrice infinite cu numitorul 1/4 pentru a calcula aria unui segment parabolic (adică o figură delimitată de o linie dreaptă și o parabolă).

În urmă cu aproape două mii și jumătate de ani, matematicianul și astronomul grec Eudoxus din Cnidus a aplicat metoda „epuizării” pentru a găsi zone și volume. Ideea acestei metode este de a împărți corpul studiat într-un număr numărabil de părți, ale căror zone sau volume sunt cunoscute, apoi adăugați aceste volume. Această metodă a fost folosită atât de Euclid, cât și de Arhimede. Desigur, nu a existat o fundamentare completă și precisă a metodei în lucrările matematicienilor antici. Înainte de asta, a fost necesar să parcurgem un drum lung de două mii de ani, pe care au existat revelații strălucitoare, greșeli și curiozități.

De exemplu, iată cum a raționat un teolog medieval atunci când a dovedit - nici mai mult, nici mai puțin - existența lui Dumnezeu Atotputernic.

Scriem în cantități egale S ca o sumă infinită

S = 1010101010… (1)

„Să înlocuim fiecare zero din partea dreaptă a acestei egalități cu suma 1+(-1)

S =1+(-1)+ 1+(-1)+ 1+(-1)+… (2)

Lăsând primul termen în partea dreaptă a (2), combinăm al doilea termen cu al treilea, al patrulea cu al cincilea și așa mai departe, folosind paranteze. Apoi

S=1 + ((-1) +1) + ((-1) +1) +… = 1+0+0+… = 1.”

„Dacă cineva poate obține unul de la zero după bunul plac, atunci presupunerea creării lumii din nimic este de asemenea acceptabilă!”

Suntem de acord cu acest raționament? Desigur că nu. Din punctul de vedere al matematicii moderne, greșeala autorului este că încearcă să opereze cu concepte care nu sunt definite (ce este - „suma unui număr infinit de termeni”), și realizează transformări (deschiderea parantezei, regruparea) , a căror legalitate nu este a fost justificată de acestea.

Numărarea sumelor a fost folosită pe scară largă, fără a acorda suficientă atenție întrebării ce înseamnă exact acest concept, cei mai mari matematicieni ai secolelor al XVII-lea și al XVIII-lea - Isaac Newton (1642-1727), Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), Brooke Taylor ( 1685-1731), Colin Maclaurin (1698-1746), Joseph Louis Lagrange (1736-1813). Leonard și Euler (1707-1783) s-au remarcat pentru măiestria lor virtuoză în manipularea seriilor; cu toate acestea, el a recunoscut adesea că tehnicile pe care le-a folosit erau insuficient fundamentate. Într-o sută de lucrări, sunt repetate propoziții de genul acesta: „Am constatat că aceste două expresii infinite sunt egale, deși s-a dovedit imposibil de demonstrat acest lucru”. El îi avertizează pe matematicieni împotriva folosirii „seriilor divergente”, deși lui însuși nu i-a păsat întotdeauna acest lucru și doar o intuiție strălucitoare îl protejează de concluziile incorecte; Adevărat, are și „puncturi”.

Până la începutul secolului al XIX-lea, devine clară necesitatea unei fundamentari atente a proprietăților „sumelor numărabile”. În 1812, Carl Friedrich Gauss (1777-1865) dă primul exemplu de studiu al convergenței seriilor, în 1821 bunul nostru prieten Augustin Louis Cauchy (1789-1857) stabilește principiile moderne de bază ale teoriei seriilor.

.2 Continuarea studiilor serie de numere. O declarație clară a conceptului de serie de numere

Însumarea progresiilor geometrice infinite cu un numitor mai mic de 1 a fost realizată deja în antichitate (Arhimede). Divergența seriei armonice a fost stabilită de omul de știință italian Mengoli în 1650. Seria de putere a apărut la Newton (1665), care credea că serie de puteri orice functie poate fi reprezentata. Oamenii de știință din secolul al XVIII-lea au întâlnit în mod constant serii în calcule, dar departe de a fi întotdeauna atenți la problema convergenței. Teoria exactă a seriei începe cu opera lui Gauss (1812), Bolzano (1817) și în cele din urmă Cauchy, unde pentru prima dată dat definiție modernă se stabilesc sumele unei serii convergente si principalele teoreme. 1821 Cauchy publică „Curs de analiză la Şcoala Regală Politehnică”, care avea cea mai mare valoare pentru a disemina idei noi de fundamentare a analizei matematice în prima jumătate a secolului al XIX-lea.

„Un număr se numește o secvență nelimitată de cantități

obţinute unul de la celălalt după o anumită lege... Să

este suma primilor n termeni, unde n este un număr întreg. Dacă, cu o creștere constantă a valorilor lui n, suma se apropie la infinit de o limită cunoscută S, seria se numește convergentă, iar această limită este suma seriei. Dimpotrivă, dacă, cu o creștere nelimitată în n, suma nu se apropie de nicio limită anume, seria va fi divergentă și nu va avea o sumă... ”[Din prima parte a Cursului de analiză al lui O. Cauchy la Școala Politehnică Regală (1821) ( Nr. 54 vol. III, p. 114-116, traducere de A.P. Iuşkevici}]

.3 Probleme care duc la conceptul de serie de numere și cele în care a fost folosită

Ahile cu picior iute nu va ajunge niciodată din urmă broasca țestoasă dacă țestoasa se afla la o oarecare distanță în fața lui la începutul mișcării. Într-adevăr, să fie distanța inițială a și lăsați-l pe Ahile să alerge de k ori mai repede decât broasca țestoasă. Când Ahile a parcurs distanța a, broasca țestoasă se va târa înapoi la a/k; când Ahile a parcurs această distanță, țestoasa se va târa până la a/ etc., i. de fiecare dată va exista o distanță diferită de zero între concurenți.

În această aporie, pe lângă aceeași dificultate de a număra infinitul, mai există una. Să presupunem că la un moment dat Ahile ajunge din urmă cu broasca țestoasă. Să scriem calea lui Ahile

și calea țestoasei

Fiecărui segment al drumului a/ parcurs de Ahile îi corespunde un segment al drumului a/ al țestoasei. Prin urmare, până la momentul întâlnirii, Ahile trebuie să parcurgă „atât de multe” segmente de potecă cât broasca țestoasă. Pe de altă parte, fiecare segment a/ parcurs de țestoasa poate fi asociat cu un segment egal al drumului lui Ahile. Dar, în plus, Ahile trebuie să parcurgă încă un segment de lungime a, adică. trebuie să treacă cu un segment în plus decât țestoasa. Dacă numărul de segmente trecute de ultimul este b, atunci obținem

"Săgeată". "Săgeată". Dacă timpul și spațiul constau din particule indivizibile, atunci săgeata zburătoare este nemișcată, deoarece în fiecare moment indivizibil de timp ea ocupă o poziție egală cu ea însăși, adică. se odihnește, iar intervalul de timp este suma acestor momente indivizibile.

Această aporie este îndreptată împotriva noțiunii de valoare continuă- ca despre suma unui număr infinit de particule indivizibile.

"Stadiu". Lăsați stadionul să se miște pe linii paralele mase egale cu aceeași viteză, dar în direcții opuse. Fie rând, înseamnă mase staționare, rând - mase care se deplasează spre dreapta și rând - mase care se deplasează spre stânga (Fig. 1). Să luăm acum în considerare masele. ca indivizibile. Într-un moment indivizibil de timp trece o parte indivizibilă a spațiului. Într-adevăr, dacă la un moment indivizibil de timp un anumit corp ar trece prin mai mult de o parte indivizibilă a spațiului, atunci momentul indivizibil al timpului ar fi divizibil, dacă este mai mic, atunci ar fi posibil să se împartă partea indivizibilă a spațiului. Să considerăm acum mișcarea indivizibililor unul față de celălalt: în două momente indivizibile de timp vor trece două părți indivizibile și, în același timp, va număra patru părți indivizibile, i.e. un moment indivizibil de timp va fi divizibil.

Această aporie poate primi o formă ușor diferită. În același timp t, punctul trece de jumătatea segmentului și întregul segment. Dar fiecare moment indivizibil de timp corespunde unei părți indivizibile a spațiului străbătut în acest timp. Atunci un segment a și segmentul 2a conțin „același” număr de puncte, „același” în sensul că se poate stabili o corespondență unu-la-unu între punctele ambelor segmente. Aceasta a fost prima dată când s-a stabilit o astfel de corespondență între puncte ale segmentelor de lungimi diferite. Dacă presupunem că măsura unui segment se obține ca sumă a măsurilor indivizibililor, atunci concluzia este paradoxală.

2. Aplicarea unei serii de numere

.1 Definiție

Să fie dată o succesiune numerică infinită

Definiție 1.1. Serii numerice sau pur și simplu aproape se numește expresie (sumă) a formei

Numerele sunt numite membri ai unui număr, - general sau al n-lea un membru al rândului.

Pentru a defini seria (1.1), este suficient să definim funcția argumentului natural de calcul al --lea termen al seriei prin numărul său.

Din termenii seriei (1.1) formăm un numeric succesiune de parțiale sume unde este suma primilor termeni ai seriei, care se numește n-și suma parțială, adică

…………………………….

Secvență numerică cu o creștere nelimitată a numărului poate:

) au o limită finită;

) nu au o limită finită (limita nu există sau este egală cu infinitul).

Definiție 1.2. Se numește seria (1.1). convergente, dacă succesiunea sumelor sale parțiale (1.5) are o limită finită, i.e.

În acest caz, numărul este apelat sumă seria (1.1) și se notează

Definiție 1.3. Se numește seria (1.1). divergente, dacă succesiunea sumelor sale parțiale nu are limită finită.

Nu se atribuie nicio sumă seriei divergente.

Astfel, problema găsirii sumei seriei convergente (1.1) este echivalentă cu calcularea limitei succesiunii sumelor sale parțiale.

.2 Proprietățile de bază ale seriei de numere

Proprietățile unei sume a unui număr finit de termeni diferă de cele ale unei serii, i.e. sumele unui număr infinit de termeni. Deci, în cazul unui număr finit de termeni, aceștia pot fi grupați în orice ordine, aceasta nu schimbă suma. Există serii convergente (condițional convergente) pentru care, după cum arată Riemann Georg Friedrich Bernhard, prin modificarea ordinii termenilor lor într-un mod adecvat, se poate face suma seriei egală cu orice număr și chiar o serie divergentă.

Exemplul 2.1.Luați în considerare o serie divergentă a formei

Grupând membrii săi în perechi, obținem o serie de numere convergente cu o sumă egală cu zero:

Pe de altă parte, grupându-și membrii în perechi, pornind de la al doilea membru, obținem și o serie convergentă, dar cu o sumă egală cu unu:

Seriile convergente au anumite proprietăți care ne permit să le tratăm ca și cum ar fi sume finite. Deci ele pot fi înmulțite cu numere, adunate și scăzute termen cu termen. Ele pot combina în grupuri orice termeni adiacente.

Teorema 2.1. (Funcție necesară convergenţa seriei).

Dacă seria (1.1) converge, atunci termenul său comun tinde spre zero pe măsură ce n crește la nesfârșit, adică

Dovada teoremei rezultă din faptul că, și dacă

S este suma seriei (1.1), atunci

Condiția (2.1) este necesară, dar nu condiție suficientă pentru convergenţa seriei. Adică, dacă termenul comun al seriei tinde spre zero la, atunci aceasta nu înseamnă că seria converge. De exemplu, pentru seria armonică (1.2), totuși, diverge.

Consecinţă(Un criteriu suficient pentru divergența unei serii).

Dacă termenul comun al seriei nu tinde spre zero la, atunci această serie diverge.

Proprietatea 2.1. Convergența sau divergența unei serii nu se va schimba dacă în mod arbitrar eliminați din ea, adăugați la ea, rearanjați un număr finit de termeni în ea (în același timp, pentru o serie convergentă, suma ei se poate modifica).

Dovada proprietății rezultă din faptul că seria (1.1) și oricare din restul ei converg sau diverg simultan.

Proprietatea 2.2. O serie convergentă poate fi înmulțită cu un număr, adică dacă seria (1.1) converge, are suma S și c este un număr, atunci

Dovada rezultă din faptul că pentru sume finite avem egalitățile

Proprietatea 2.3. Serii convergente pot fi adăugate și scăzute termen cu termen, adică. dacă rândurile

converge,

converge iar suma sa este i.e.

Dovada rezultă din proprietățile limitei sumelor finite, i.e.

Semn de comparație

Să fie două rânduri pozitive

iar condițiile sunt îndeplinite pentru toți n=1,2,...

Atunci: 1) convergenţa seriei (3.2) implică convergenţa seriei (3.1);

) divergența seriei (3.1) implică divergența seriei (3.2).

Dovada. 1. Fie seria (3.2) să convergă și suma ei să fie egală cu B. Secvența sumelor parțiale ale seriei (3.1) este nedescrescătoare și mărginită de sus de numărul B, adică.

Apoi, datorită proprietăților unor astfel de secvențe, rezultă că are o limită finită, adică seria (3.1) converge.

Fie seria (3.1) diverge. Atunci, dacă seria (3.2) converge, atunci, în virtutea itemului 1 demonstrat mai sus, ar converge și seria originală, ceea ce contrazice condiția noastră. Prin urmare, seria (3.2) diverge.

Această caracteristică este aplicată în mod convenabil la determinarea convergenței seriilor prin compararea lor cu serii a căror convergență este deja cunoscută.

Semnul lui d'Alembert

Apoi: 1) pentru q< 1 ряд (1.1) сходится;

) pentru q > 1 serie (1.1) diverge;

) pentru q = 1 nu se poate spune nimic despre convergența seriei (1.1), sunt necesare studii suplimentare.

Cometariu: Seria (1.1) va diverge și când

Semnul Cauchy

Fie termenii seriei pozitive (1.1) astfel încât să existe o limită

Apoi: 1) pentru q< 1 ряд (1.1) сходится;

) pentru q > 1 serie (1.1) diverge;

3) pentru q = 1 nu se poate spune nimic despre convergența seriei (1.1), sunt necesare studii suplimentare.

Semn integral al lui Cauchy - Maclaurin

Fie funcția f(x) o funcție continuă nenegativă necrescătoare pe interval

Apoi seria și integrala improprie converg sau diverg simultan.

.3 Sarcini

Seriile numerice sunt folosite nu numai în matematică, ci și într-o serie de alte științe. Aș dori să dau câteva exemple de astfel de utilizare.

De exemplu, pentru a studia proprietățile structurilor de roci clastice. În practică, utilizarea conceptului de „structură” s-a redus în principal la caracterizarea parametrilor dimensionali ai boabelor. În acest sens, conceptul de „structură” în petrografie nu corespunde conceptului de „structură” din cristalografie, geologia structurală și alte științe ale structurii materiei. În cea din urmă, „structură” este mai în concordanță cu conceptul de „textură” din petrografie și reflectă modul în care este umplut spațiul. Dacă acceptăm că „structură” este un concept spațial, atunci următoarele structuri ar trebui considerate goale: structuri și texturi secundare sau primare; structuri cristaline, chimice, substituții (coroziune, recristalizare etc.), structuri de deformare, structuri orientate, reziduale etc. Prin urmare, aceste „structuri” sunt numite „structuri false”.

Structura este un set de elemente structurale caracterizate prin mărimea granulelor și raporturile lor cantitative.

Atunci când se efectuează clasificări specifice, parametrii de cereale liniare sunt utilizați de obicei cu secvența

deși estimările cantitative ale prevalenței sunt efectuate prin parametrii arii (procentali). Această secvență poate avea o lungime considerabilă și nu este niciodată construită. De obicei, se vorbește doar despre limitele variației parametrilor, denumind valorile maxime (max) și minime (min) ale granulelor.

Una dintre modalitățile de a reprezenta P4 este utilizarea seriilor numerice, care sunt construite în același mod ca și secvența de mai sus, dar în loc de (?), este pus semnul sumei (+). Convoluția tuturor secvențelor se realizează prin combinarea elementelor egale și adăugarea zonelor acestora. Atunci avem succesiunea:

Expresia înseamnă că a fost măsurată aria ocupată de toate secțiunile acelor boabe i, a căror dimensiune este egală.

Această caracteristică a boabelor face posibilă efectuarea unei analize numerice a relațiilor obținute. În primul rând, parametrul poate fi considerat ca valori axa de coordonateși astfel construiți un grafic S=f(l). În al doilea rând, secvența (RSl) 1 poate fi clasată, de exemplu, în ordinea descrescătoare a coeficienților, rezultând o serie

Această serie este numită structura unei anumite secțiuni a rocii, este și definiția conceptului de „structură”. Parametrul este un element al structurii, iar parametrul k= este lungimea structurii. Prin construcție, n=k. Această reprezentare a structurii face posibilă compararea diferitelor structuri între ele.

De asemenea, Butusov Kirill Pavlovici a descoperit fenomenul de „rezonanță a valurilor de bătăi”, pe baza căruia a formulat „legea perioadelor planetare”, datorită căreia perioadele de revoluție ale planetelor formează seria numerică a lui Fibonacci și Luca. și a demonstrat că „legea distanțelor planetare” a lui Johann Titius este o consecință a „rezonanței undelor de bătaie” (1977). În același timp, a descoperit manifestarea „secțiunii de aur” în distribuția unui număr de alți parametri ai corpurilor sistemului solar (1977). În acest sens, el lucrează la crearea „matematicii de aur” - sistem nou calcul bazat pe numărul de Phidias (1,6180339), mai adecvat sarcinilor de astronomie, biologie, arhitectură, estetică, teoria muzicii etc.

Din istoria astronomiei se știe că I. Titius, un astronom german al secolului al XVIII-lea, folosind această serie Fibonacci, a găsit un model și o ordine în distanțele dintre planete. sistem solar.

Cu toate acestea, un caz care părea să fie împotriva legii: nu exista nicio planetă între Marte și Jupiter. Observarea concentrată a acestei regiuni a cerului a dus la descoperirea centurii de asteroizi. Acest lucru s-a întâmplat după moartea lui Titius la începutul secolului al XIX-lea. Seria Fibonacci este utilizată pe scară largă: cu ajutorul ei, ele reprezintă arhitectura ființelor vii și a structurilor create de om și structura galaxiilor. Aceste fapte sunt dovezi ale independenței seriei de numere față de condițiile manifestării sale, care este unul dintre semnele universalității sale.

Criptografia este știința metode matematice asigurarea confidențialității (imposibilitatea de a citi informațiile către persoane din afară) și a autenticității (integritatea și autenticitatea paternității, precum și imposibilitatea refuzului calității de autor) a informațiilor. Marea majoritate a sistemelor criptografice moderne utilizează algoritmi de flux sau bloc bazați pe tipuri variate cifruri de substituție și permutare. Din păcate, aproape toți algoritmii folosiți în criptosistemele de streaming sunt orientați spre utilizare în sistemele de comunicații militare și guvernamentale și, de asemenea, în unele cazuri, pentru a proteja informațiile de natură comercială, ceea ce, în mod destul de natural, le face secrete și inaccesibile pentru revizuire. Singurii algoritmi standard de criptare a fluxului sunt deja standardul american DES (modurile CFB și OFB) și standardul rusesc GOST 28147-89 (modul gamma). În același timp, algoritmii de criptare a fluxului utilizați în aceste standarde sunt clasificați.

Baza funcționării criptosistemelor de flux sunt generatoarele de secvențe aleatoare sau pseudoaleatoare. Să luăm în considerare această întrebare mai detaliat.

Secvențe pseudorandom

Cheile secrete stau la baza transformărilor criptografice, pentru care, urmând regula Kerckhoff, puterea unui sistem de criptare bun este determinată doar de secretul cheii. Cu toate acestea, în practică, crearea, distribuirea și stocarea cheilor a fost rareori o sarcină complexă din punct de vedere tehnic, deși costisitoare. Principala problemă a criptografiei clasice perioadă lungă de timp a fost dificultatea de a genera secvențe binare imprevizibile de mare lungime folosind o cheie aleatorie scurtă. Pentru a o rezolva, generatoarele de secvențe binare pseudoaleatoare sunt utilizate pe scară largă. Progrese semnificative în dezvoltarea și analiza acestor generatoare au fost realizate abia la începutul anilor șaizeci. Prin urmare, acest capitol discută regulile pentru derivarea cheilor și generarea de secvențe lungi pseudoaleatoare pe baza acestora, care sunt utilizate de sistemele criptografice pentru a converti mesajele în criptare.

Primite programatic de la cheie, serii aleatoare sau pseudoaleatoare de numere sunt numite gamma în jargonul criptografilor autohtoni, cu numele y - literele alfabetului grecesc, care în notații matematice sunt notate variabile aleatoare. Este interesant de observat că în cartea „Străinii pe pod”, scrisă de avocatul de informații al lui Abel, este dat termenul gamma, pe care specialiștii CIA l-au marcat cu un comentariu – „exercițiu muzical?”, adică în anii cincizeci. nu-i cunoștea semnificația. Obținerea și multiplicarea realizărilor de serii aleatoare reale este periculoasă, dificilă și costisitoare. Modelarea fizică a aleatoriei utilizând astfel fenomene fizice, la fel de radiatii, zgomotul de împușcare într-un tub de electroni sau defalcarea tunelului a unei diode zener semiconductoare nu dau procese reale aleatorii. Deși există cazuri de aplicații de succes ale acestora în generarea de chei, de exemplu, în dispozitivul criptografic rusesc KRYPTON. Prin urmare, în loc de procese fizice pentru a genera gamma se folosesc programe de calculator care, deși se numesc generatoare numere aleatorii, dar de fapt eliberând serii numerice deterministe, care par doar aleatorii în proprietățile lor. Li se cere ca, cunoscând chiar legea de formare, dar necunoscând cheia în formă condiții inițiale, nimeni nu putea distinge o serie de numere de una aleatoare, de parcă ar fi obținută prin aruncarea idealului zaruri. Există trei cerințe principale pentru o secvență pseudo-aleatorie sau un generator gamma sigur criptografic:

Perioada gamma trebuie să fie suficient de mare pentru a cripta mesajele de diferite lungimi.

Gamma ar trebui să fie greu de prezis. Aceasta înseamnă că, dacă se cunosc tipul generatorului și bucata de gamma, atunci este imposibil să se prezică următorul bit al gamma după această bucată cu o probabilitate mai mare decât x. Dacă un criptoanalist devine conștient de o parte a scalei, el încă nu poate determina biții care o preced sau o urmează.

Generarea gamma nu trebuie asociată cu mari dificultăți tehnice și organizatorice.

Secvențele Fibonacci

O clasă interesantă de generatoare de numere aleatoare a fost propusă în mod repetat de mulți specialiști în aritmetica întregilor, în special, George Marsalia și Arif Zeiman. Generatoarele de acest tip se bazează pe utilizarea secvențelor Fibonacci. Un exemplu clasic al unei astfel de secvențe este (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…). Cu excepția primilor doi termeni, fiecare termen ulterior este egal cu suma celor doi anteriori. Dacă luați doar ultima cifră a fiecărui număr din succesiune, atunci obțineți o succesiune de numere (0, 1, 1, 2, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, 4 ...) Dacă această secvență este folosită pentru a inițializa o matrice de lungime mare, apoi, folosind această matrice, puteți crea un generator de numere Fibonacci aleatoriu cu o întârziere, unde nu sunt adiacente, dar sunt adăugate numere la distanță. Marsalia și Zeiman au propus introducerea unui „carry bit” în schema Fibonacci, care poate avea o valoare inițială de 0 sau 1. Generatorul de „carry addition” construit pe această bază dobândește proprietăți interesante, pe baza acestora, este posibil să se creeze secvențe a căror perioadă este mult mai mare decât cea a generatoarelor congruențiale utilizate în prezent. Conform expresiei figurative a lui Marsalia, generatoarele din această clasă pot fi considerate amplificatoare ale aleatoriei. „Utiți o umplutură aleatoare lungă de câteva mii de biți și generați secvențe lungi de numere aleatorii.” Cu toate acestea, o perioadă lungă în sine nu este o condiție suficientă. Punctele slabe ale scalelor pot fi dificil de detectat, iar analistul trebuie să aplice tehnici sofisticate de analiză a secvenței pentru a evidenția anumite modele care sunt ascunse într-o gamă largă de numere.

constatări

Seriile sunt utilizate pe scară largă în matematică și aplicațiile acesteia, în studii teoretice și în soluțiile numerice aproximative ale problemelor. Multe numere pot fi scrise ca serii speciale, cu ajutorul cărora este convenabil să se calculeze valorile lor aproximative cu precizia necesară. Metoda de extindere a seriei este metoda eficienta funcții de învățare. Este folosit pentru a calcula valori aproximative ale funcțiilor, pentru a calcula și evalua integrale, pentru a rezolva tot felul de ecuații (algebrice, diferențiale, integrale).

Bibliografie

1. Shilov G.E. Analiza matematică. Funcțiile unei variabile. Ch. 1-2 - M.: Nauka, 1969

Maykov E.V. Analiza matematică. Seria numerică / E.V. Maikov. - 1999

.“Curs de analiză la Școala Regală Politehnică”

O. Cauchy (1821) (nr. 54 vol. III, p. 114-116, traducere de A.P. Yushkevich)

Istoria matematicii din cele mai vechi timpuri la începutul XIX secolul (sub redactia lui Yushkevich A.P., volumul I)

Cititor despre istoria matematicii (partea a II-a) (editat de Yushkevich A.P.)

matematica superioara: Curs general: Proc. - ed. a II-a, / A.I. Yablonsky, A.V. Kuznetsov, E.I. Shilkina și alții; Sub total ed. S.A. Samal. - Mn.: Vysh. şcoală, 2000. - 351 p.

Markov L.N., Razmyslovich G.P. Matematică superioară. Partea 2. Bazele analizei matematice și elemente ale ecuațiilor diferențiale. - Minsk: Amalfeya, 2003. - 352 p.

8. Makarov V.P. Întrebări de geologie teoretică. 7. Elemente de teoria structurilor. / Probleme contemporaneși modalități de soluționare a acestora în știință, transport, producție și educație 2007. Odesa, Chernomorie, 2007. V.19. pp. 27 - 40.

9. Polovinkina Yu. Ir. Structuri de roci. Partea 1: Roci magmatice; Partea 2: Roci sedimentare; Partea 3: Roci metamorfice. - M.: Gosgeolizdat, 1948.

10.http://shaping.ru/mku/butusov.asp

http://www.abc-people.com/idea/zolotsech/gr-txt.htm

Complex educațional și metodologic al disciplinei „Matematică”. Secțiunea 10 „Rânduri”. Baza teoretica. Instrucțiuni metodice pentru elevi. Materiale pentru muncă independentă elevi. - Ufa: Editura UGNTU, 2007. - 113 p.

13.http://cryptolog.ru/? Psevdosluchainye_posledovatelmznosti

14. Galuev G.A. Fundamentele matematice ale criptologiei: Manual educațional și metodic. Taganrog: Izd-vo ADEVĂR 2003.-120 p.

Îndrumare

Ai nevoie de ajutor pentru a învăța un subiect?

Experții noștri vă vor consilia sau vă vor oferi servicii de îndrumare pe subiecte care vă interesează.
Trimiteți o cerere indicând subiectul chiar acum pentru a afla despre posibilitatea de a obține o consultație.

Proprietățile unei sume a unui număr finit de termeni diferă de proprietățile unei serii, adică suma unui număr infinit de termeni. Deci, în cazul unui număr finit de termeni, aceștia pot fi grupați în orice ordine, aceasta nu schimbă suma. Există serii convergente (condițional convergente, care vor fi discutate în secțiunea 5) pentru care, după cum arată Riemann Riemann Georg Friedrich Bernhard (1826 - 1866), un matematician german, prin schimbarea ordinii termenilor lor într-un mod adecvat, poate face suma seriei egală cu orice număr dorit și chiar o serie divergentă.

Exemplul 2.1. Se consideră o serie divergentă de forma (1.7)

Grupând membrii săi în perechi, obținem o serie de numere convergente cu o sumă egală cu zero:

Pe de altă parte, grupându-și membrii în perechi, pornind de la al doilea membru, obținem și o serie convergentă, dar cu o sumă egală cu unu:

Teorema 2.1. (Un criteriu necesar pentru convergența unei serii).

Dacă seria (1.1) converge, atunci termenul său comun tinde spre zero pe măsură ce n crește la nesfârșit, adică.

Dovada teoremei rezultă din faptul că, și dacă

S este suma seriei (1.1), atunci

Condiția (2.1) este o condiție necesară, dar nu suficientă, pentru ca seria să converge. Adică, dacă termenul comun al seriei tinde spre zero la, atunci aceasta nu înseamnă că seria converge. De exemplu, pentru seria armonică (1.2), totuși, așa cum se va arăta mai jos, aceasta diverge.

Corolar (criteriu suficient pentru divergența unei serii).

Dacă termenul comun al seriei nu tinde spre zero ca, atunci această serie diverge.

Exemplul 2.2. Investigați seria de convergență

Pentru acest rând

Prin urmare, această serie diverge.

Serii divergente (1.6), (1.7) considerate mai sus sunt și serii divergente datorită faptului că nu îndeplinesc criteriul necesar de convergență. Pentru seria (1.6), limita pentru seria (1.7) nu există.

Proprietatea 2.1 . Convergența sau divergența unei serii nu se va schimba dacă în mod arbitrar eliminați din ea, adăugați la ea, rearanjați un număr finit de termeni în ea (în același timp, pentru o serie convergentă, suma ei se poate modifica).

Dovada proprietății rezultă din faptul că seria (1.1) și oricare din restul ei converg sau diverg simultan.

Proprietatea 2.2 . O serie convergentă poate fi înmulțită cu un număr, adică dacă seria (1.1) converge, are suma S și c este un număr, atunci

Dovada rezultă din faptul că pentru sume finite avem egalitățile

Proprietatea 2.3. Serii convergente pot fi adăugate și scăzute termen cu termen, adică dacă seria,

converge,

apoi un rând

converge iar suma sa este adică

Dovada rezultă din proprietățile limitei sumelor finite, i.e.

Exemplul 2.3. Calculați suma unei serii

Reprezentăm termenul comun al seriei în formă

Apoi seria originală poate fi reprezentată ca o diferență termen cu termen a două serii convergente de progresie geometrică

Folosind formula (1.8), calculăm sumele seriei corespunzătoare ale unei progresii geometrice.

Pentru primul rând, așadar

Pentru al doilea rând, așadar

În sfârșit avem

1. Serii numerice: concepte de bază, condiții necesare pentru convergența unei serii. Restul rândului.

2. Serii cu termeni pozitivi și semne ale convergenței lor: semne de comparație, d'Alembert, Cauchy.

3. Alternarea rândurilor, testul Leibniz.

1. Definirea unei serii de numere. Convergenţă

În aplicațiile matematice, precum și în rezolvarea unor probleme din economie, statistică și alte domenii, sunt luate în considerare sume cu un număr infinit de termeni. Aici definim ce se înțelege prin astfel de sume.

Să fie dată o succesiune numerică infinită

Definiție 1.1. Serii numerice sau pur și simplu aproape se numește expresie (sumă) a formei

. (1.1)

Numerele numit membri ai unui număr, –general sau al n-lea un membru al rândului.

Pentru a stabili seria (1.1) este suficient să stabilim funcția argumentului natural de calcul al celui de-al-lea membru al seriei după numărul său

Exemplul 1.1. Lasa . Rând

(1.2)

numit serie armonică.

Exemplul 1.2. Lasă Row

(1.3)

numit serii armonice generalizate. Într-un caz particular, la , se obține o serie armonică.

Exemplul 1.3. Fie =. Rând

numit lângă o progresie geometrică.

Din termenii seriei (1.1) formăm un numeric succesiune de parțiale sume Unde - suma primilor termeni ai seriei, care se numește n-și suma parțială, adică

…………………………….

Secvență numerică cu o creștere nelimitată a numărului, poate:

1) au o limită finită;

2) să nu aibă o limită finită (limita nu există sau este egală cu infinitul).

Definiție 1.2. Se numește seria (1.1). convergente, dacă succesiunea sumelor sale parțiale (1.5) are o limită finită, i.e.

În acest caz, numărul este apelat sumă seria (1.1) și se scrie

Definiție 1.3. Se numește seria (1.1). divergente, dacă succesiunea sumelor sale parțiale nu are limită finită.

Nu se atribuie nicio sumă seriei divergente.

Astfel, problema găsirii sumei seriei convergente (1.1) este echivalentă cu calcularea limitei succesiunii sumelor sale parțiale.

Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplul 1.4. Demonstrează că serialul

converge și găsește-i suma.

Să găsim a n-a sumă parțială a seriei date.

Membru comun reprezentăm seria sub formă .

Prin urmare avem: . Prin urmare, această serie converge și suma ei este egală cu 1:

Exemplul 1.5. Investigați seria de convergență

Pentru acest rând

. Prin urmare, această serie diverge.

Cometariu. Pentru , seria (1.6) este suma unui număr infinit de zerouri și este evident convergentă.

2. Proprietățile de bază ale seriei de numere

Proprietățile unei sume a unui număr finit de termeni diferă de proprietățile unei serii, adică suma unui număr infinit de termeni. Deci, în cazul unui număr finit de termeni, aceștia pot fi grupați în orice ordine, aceasta nu schimbă suma. Există serii convergente (condițional convergente, care vor fi luate în considerare în secțiunea 5) pentru care, după cum a arătat Riemann * , prin schimbarea adecvată a ordinii membrilor lor, se poate face suma seriei egală cu orice număr și chiar o serie divergentă.

Exemplul 2.1. Se consideră o serie divergentă de forma (1.7)

Grupând membrii săi în perechi, obținem o serie de numere convergente cu o sumă egală cu zero:

Pe de altă parte, grupându-și membrii în perechi, pornind de la al doilea membru, obținem și o serie convergentă, dar cu o sumă egală cu unu:

Teorema 2.1.(Un criteriu necesar pentru convergența unei serii).

Dacă seria (1.1) converge, atunci termenul său general tinde spre zero pe măsură ce n crește nedefinit, adică

Dovada teoremei rezultă din faptul că , si daca

S este suma seriei (1.1), atunci

Condiția (2.1) este o condiție necesară, dar nu suficientă, pentru ca seria să converge. Adică, dacă termenul comun al seriei tinde spre zero la , atunci aceasta nu înseamnă că seria converge. De exemplu, pentru seria armonică (1.2) totuși, așa cum se va arăta mai jos, diverge.

Consecinţă(Un criteriu suficient pentru divergența unei serii).

Dacă termenul comun al seriei nu tinde spre zero la, atunci această serie diverge.

Exemplul 2.2. Investigați seria de convergență

Pentru acest rând

Prin urmare, această serie diverge.

Serii divergente (1.6), (1.7) considerate mai sus sunt si serii divergente datorita faptului ca nu indeplinesc criteriul necesar de convergenta.Pentru seria (1.6), limita pentru seria (1.7) limita nu exista.

Dovada proprietății rezultă din faptul că seria (1.1) și oricare din restul acesteia converg sau diverg în acelaşi timp.

Proprietatea 2.2. O serie convergentă poate fi înmulțită cu un număr, adică dacă seria (1.1) converge, are suma S și c este un număr, atunci

Dovada rezultă din faptul că pentru sume finite avem egalitățile

Proprietatea 2.3. Serii convergente pot fi adăugate și scăzute termen cu termen, adică dacă seria ,

converge,

converge iar suma sa este i.e.

Dovada rezultă din proprietățile limitei sumelor finite, i.e.

INTRODUCERE

Manualul este destinat profesorilor de matematică din școlile tehnice, precum și studenților din anul II de toate specialitățile.

În această lucrare, prezentăm conceptele de bază ale teoriei seriilor. Materialul teoretic îndeplinește cerințele Standardului Educațional de Stat al Învățământului Profesional secundar (Ministerul Educației Federația Rusă. M., 2002).

Prezentarea materialului teoretic pe întreaga temă este însoțită de luarea în considerare a unui număr mare de exemple și sarcini și se desfășoară într-un limbaj accesibil, dacă este posibil, strict. La sfârșitul manualului sunt exemple și sarcini pe care elevii le pot îndeplini în modul de autocontrol.

Manualul este destinat studenților de corespondență și forme de studiu cu normă întreagă.

Ținând cont de nivelul de pregătire al elevilor din școlile tehnice, precum și de numărul extrem de limitat de ore (12 ore + 4 lbs.) alocat de programul pentru promovarea matematicii superioare în școlile tehnice, concluzii stricte, care prezintă mari dificultăți de asimilare. , sunt omise, limitate la luarea în considerare a exemplelor.

NOȚIUNI DE BAZĂ

Rezolvarea unei probleme prezentate în termeni matematici, de exemplu, ca o combinație de diferite funcții, derivatele și integralele lor, trebuie să poată „aduce la un număr”, care servește cel mai adesea drept răspuns final. Pentru aceasta, s-au dezvoltat diverse metode în diverse ramuri ale matematicii.

Secțiunea de matematică care permite rezolvarea oricărei probleme bine puse cu suficientă precizie pentru utilizare practică se numește teoria seriei.

Chiar dacă unele concepte subtile de analiză matematică au apărut în afara conexiunii cu teoria seriilor, ele au fost imediat aplicate seriilor, care au servit ca instrument de testare a validității acestor concepte. Această situație continuă și astăzi.

Exprimarea formei

unde ;;;…;;… sunt membrii seriei; - al n-lea sau un membru comun al unei serii, se numește serie (număr) infinită.

Dacă membrii seriei:

I. Seria de numere

1.1. Concepte de bază ale seriei de numere.

O serie de numere este o sumă a formei

, (1.1)

unde ,,,…,,…, numiți membri ai seriei, formează o succesiune infinită; un membru este numit membru comun al seriei.

compuse din primii termeni ai seriei (1.1) se numesc sume parțiale ale acestei serii.

Fiecare rând poate fi asociat cu o succesiune de sume parțiale .

Dacă cu o creștere infinită a numărului n suma parțială a seriei tinde spre limită, apoi seria se numește convergentă, iar numărul se numește suma seriei convergente, adică.

Această intrare este echivalentă cu intrarea

Dacă suma parțială a seriei (1.1) cu o creștere nelimitată n nu are o limită finită ( tinde spre sau ), atunci se numește o astfel de serie divergente .

Dacă rândul convergent , apoi valoarea pentru suficient de mare n este o expresie aproximativă pentru suma seriei S.

Diferența se numește restul seriei. Dacă seria converge, atunci restul ei tinde spre zero, adică și invers, dacă restul tinde către zero, atunci seria converge.

1.2. Exemple de serii de numere.

Exemplul 1. O serie de formă

(1.2)

numit geometric .

Seria geometrică este formată din membrii unei progresii geometrice.

Se știe că suma primului său n membrii. Evident, asta este n- a-a sumă parțială a seriei (1.2).

Cazuri posibile:

Seria (1.2) ia forma:

, seria diverge;

Seria (1.2) ia forma:

Nu are limită, seria diverge.

este un număr finit, seria converge.

- seria diverge.

Deci, această serie converge la și diverge la .

Exemplul 2. O serie de formă

(1.3)

numit armonic .

Să scriem suma parțială a acestei serii:

Suma este mai mare decât suma prezentată după cum urmează:

sau .

Daca atunci , sau .

Prin urmare, dacă , atunci , i.e. seria armonică diverge.

Exemplul 3. O serie de formă

(1.4)

numit armonică generalizată .

Dacă , atunci această serie se transformă într-o serie armonică, care este divergentă.

Dacă , atunci termenii acestei serii sunt mai mari decât termenii corespunzători ai seriei armonice și, prin urmare, diverge. Când avem o serie geometrică în care ; este convergent.

Deci, seria armonică generalizată converge la și diverge la .

1.3. Criterii necesare și suficiente pentru convergență.

Un criteriu necesar pentru convergența unei serii.

Seria poate converge numai dacă termenul său comun tinde spre zero pe măsură ce numărul crește fără limită: .

Dacă , atunci seria diverge, adică semn suficient divergenta de serie.

Condiții suficiente pentru convergența unei serii cu termeni pozitivi.

Semnul comparației serii cu termeni pozitivi.

Seria studiata converge daca membrii ei nu depasesc membrii corespunzatori ai altei serii evident convergente; seria studiată diverge dacă termenii ei depășesc termenii corespunzători unei alte serii, evident divergente.

Semnul lui d'Alembert.

Dacă pentru o serie cu termeni pozitivi

condiția este îndeplinită, apoi seria converge la și diverge la .

semnul lui d'Alembert nu dă răspuns dacă . În acest caz, se folosesc alte metode pentru a studia seria.

Exerciții.

Scrieți o serie după termenul comun dat:

Presupunând ,,,…, avem o succesiune infinită de numere:

Adăugând termenii săi, obținem seria

Făcând același lucru, obținem seria

Dând valorile 1,2,3,... și ținând cont de faptul că,,,..., obținem seria

A găsi n- al treilea termen al seriei conform primilor termeni dați:

Numitorii membrilor seriei, începând de la primul, sunt numere pare; prin urmare, n- Al treilea termen al seriei are forma .

Număratorii membrilor seriei formează o serie naturală de numere, iar numitorii corespunzători formează o serie naturală de numere, iar numitorii corespunzători formează o serie naturală de numere, începând de la 3. Semnele alternează conform legii sau conform legii. la lege. Mijloace, n- Al treilea termen al seriei are forma . sau .

Investigați convergența seriei folosind testul de convergență necesar și testul de comparație:

;

Găsim .

Este îndeplinit criteriul necesar pentru convergența seriei, dar pentru a rezolva problema convergenței trebuie aplicat unul dintre criteriile suficiente de convergență. Comparați această serie cu seria geometrică

care converge din moment ce.

Comparând termenii acestei serii, începând de la a doua, cu termenii corespunzători ai seriei geometrice, se obțin inegalitățile

acestea. termenii acestei serii, începând din a doua, sunt în mod corespunzător mai mici decât termenii seriei geometrice, din care rezultă că seria dată converge.

Aici este satisfăcut un criteriu suficient pentru divergența seriei; deci seria diverge.

Găsim .

Este îndeplinit criteriul necesar pentru convergența seriei. Să comparăm această serie cu seria armonică generalizată

care converge, întrucât, deci, converge şi seria dată.

Investigați convergența seriei folosind testul d'Alembert:

;

Înlocuind în termenul comun al seriei în loc de n număr n+ 1, obținem. Să găsim limita raportului dintre termenul --lea la n- mum membru la:

Prin urmare, această serie converge.

Deci această serie diverge.

Acestea. rândul diverge.

II. serii alternante

2.1 Conceptul de serie alternantă.

Seria de numere

numit alternativ dacă membrii săi includ atât numere pozitive, cât și numere negative.

Linia numerică este numită alternativ dacă oricare doi termeni alăturați au semne opuse.

unde pentru toți (adică o serie ai cărei termeni pozitivi și negativi se succed pe rând). De exemplu,

;

Pentru serii alternante, există un criteriu suficient de convergență (stabilit în 1714 de Leibniz într-o scrisoare către I. Bernoulli).

2.2 Semnul lui Leibniz. Convergența absolută și condiționată a seriei.

Teoremă (testul Leibniz).

O serie alternativă converge dacă:

Secvența valorilor absolute a termenilor seriei scade monoton, adică ;

Termenul comun al seriei tinde spre zero:.

Mai mult, suma S a seriei satisface inegalitățile

Observatii.

Studiul unei serii alternante a formei

(cu un prim termen negativ) se reduce prin înmulțirea tuturor termenilor săi cu la studiul seriei .

Se numesc seriile pentru care sunt îndeplinite condiţiile teoremei lui Leibniz Leibnizian (sau seria Leibniz).

Relația ne permite să obținem o estimare simplă și convenabilă a erorii pe care o facem prin înlocuirea sumei S din această serie prin suma sa parțială .

Seria aruncată (restul) este, de asemenea, o serie alternativă , a cărui sumă este mai mică decât primul termen din această serie, adică prin urmare, eroarea este mai mică decât modulul primului dintre termenii aruncați.

Exemplu. Calculați aproximativ suma seriei.

Rezolvare: serie dată de tip Leibniz. El converge. Poti sa scrii:

Luând cinci termeni, i.e. înlocuibil

Să facem o mai mică greșeală

Cum . Asa de,.

Pentru serii alternante, are loc următorul criteriu general suficient de convergență.

Teorema. Să fie dată o serie alternativă

Dacă seria converge

compus din modulele membrilor seriei date, apoi seria alternantă în sine converge.

Criteriul de convergență Leibniz pentru serii alternante este un criteriu suficient pentru convergența serii alternative.

Seria alternantă se numește absolut convergente , dacă o serie compusă din valorile absolute ale membrilor săi converge, i.e. fiecare serie absolut convergentă este convergentă.

Dacă o serie alternativă converge și o serie compusă din valorile absolute ale membrilor săi diverge, atunci această serie se numește conditionat (nu absolut) convergente.

2.3. Exerciții.

Examinați pentru convergență (absolută sau condiționată) o serie alternativă:

și

Prin urmare, conform testului Leibniz, seria converge. Să aflăm dacă această serie converge absolut sau condiționat.

Rând , compus din valorile absolute ale seriei date, este o serie armonică care diverge. Prin urmare, această serie converge condiționat.

Termenii acestei serii scad monoton în valoare absolută:

, dar

Seria diverge deoarece testul Leibniz nu este valabil.

Folosind testul Leibniz, obținem

acestea. seria converge.

Aceasta este o serie geometrică a formei unde, care converge. Prin urmare, această serie converge absolut.

Folosind testul Leibniz, avem

;

, adică seria converge.

Luați în considerare o serie compusă din valorile absolute ale termenilor acestei serii:

, sau

Aceasta este o serie armonică generalizată care diverge, deoarece. Prin urmare, această serie converge condiționat.

III. Gama funcțională

3.1. Conceptul de serie funcțională.

Se numește o serie ai cărei membri sunt funcții funcţional :

Dând o anumită valoare, obținem o serie de numere

care pot fi fie convergente, fie divergente.

Dacă seria de numere rezultată converge, atunci punctul este numit punct de convergență rând funcțional; dacă seria diverge punct de divergenta rând funcțional.

Setul de valori numerice ale argumentului, la care seria funcțională converge, se numește ei regiune de convergenţă .

În regiunea de convergență a unei serii funcționale, suma acesteia este o anumită funcție a :.

Este definită în regiunea de convergență prin egalitate

, Unde

Suma parțială a unei serii.

Exemplu. Găsiți aria de convergență a seriei.

Decizie. Această serie este o serie de progresie geometrică cu numitor. Prin urmare, această serie converge pentru , adică pentru toți ; suma seriei este ;

, la .

3.2. Serie de puteri.

O serie de putere este o serie a formei

unde sunt numerele numit coeficienți de serie , iar termenul este un termen comun al seriei.

Regiunea de convergență a unei serii de puteri este mulțimea tuturor valorilor pentru care seria converge.

Numărul este sunat raza de convergenta serie de putere, dacă pentru , seria converge și, în plus, absolut, iar pentru , seria diverge.

Găsim raza de convergență folosind testul d'Alembert:

(nu depinde de),

acestea. dacă serie de puteri converge pentru orice care satisface această condiție și diverge pentru .

Rezultă că dacă există o limită

atunci raza de convergență a seriei este egală cu această limită și seria de putere converge la , adică, intre care se numeste interval (interval) de convergenţă.

Dacă , atunci seria de puteri converge într - un singur punct .

La sfârșitul intervalului, seria poate converge (absolut sau condiționat), dar poate și diverge.

Convergența seriei de puteri pentru și este investigată folosind unul dintre criteriile de convergență.

3.3. Exerciții.

Găsiți aria de convergență a seriei:

Decizie. Aflați raza de convergență a acestei serii:

Prin urmare, această serie converge absolut pe întreaga axa numerelor.

Decizie. Să folosim semnul lui d'Alembert. Pentru aceasta serie avem:

Seria converge absolut dacă sau . Să studiem comportamentul seriei la capetele intervalului de convergență.

Pentru că avem o serie

Pentru că avem o serie este, de asemenea, o serie Leibniz convergentă. Prin urmare, regiunea de convergență a seriei originale este un segment.

Decizie. Aflați raza de convergență a seriei:

Prin urmare, seria converge la, adică la.

Să luăm o serie , care converge conform testului Leibniz.

Luăm o serie divergentă

Prin urmare, regiunea de convergență a seriei originale este intervalul.

IV. Descompunere functii elementareîn seria Maclaurin.

Pentru aplicații, este important să poți această funcție se extinde într-o serie de puteri, adică reprezintă funcția ca sumă a unei serii de puteri.

O serie Taylor pentru o funcție se numește o serie de puteri de forma

Dacă , atunci obținem un caz special al seriei Taylor

Care e numit lângă Maclaurin .

O serie de puteri din intervalul său de convergență poate fi diferențiată și integrată termen cu termen de câte ori se dorește, iar seria rezultată are același interval de convergență ca și seria originală.

Două serii de puteri pot fi adăugate și înmulțite termen cu termen conform regulilor de adunare și înmulțire a polinoamelor. În acest caz, intervalul de convergență al seriei noi rezultate coincide cu partea comună a intervalelor de convergență a seriei originale.

Pentru a extinde o funcție într-o serie Maclaurin, este necesar:

Calculați valorile funcției și derivatele sale succesive în punctul , adică,,,…,;

Compuneți o serie Maclaurin prin înlocuirea valorilor unei funcții și a derivatelor sale succesive în formula seriei Maclaurin;

Aflați intervalul de convergență al seriei rezultate prin formula

, .

Exemplul 1. Extindeți o funcție dintr-o serie Maclaurin.

Decizie. La fel de , apoi, înlocuind cu în expansiune, obținem:

Exemplul 2. Scrieți seria Maclaurin a funcției .

Decizie. Deoarece , folosind formula în care înlocuim cu , obținem:

Exemplul 3. Extindeți funcția într-o serie Maclaurin.

Decizie. Să folosim formula. La fel de

, apoi înlocuind cu obținem:

, sau

unde, adică .

V. Sarcini practice pentru autocontrolul elevilor.

Stabiliți convergența utilizând testul de comparare a seriei

converge condiționat;

se potriveste absolut.

;

VII. Referință istorică.

Rezolvarea multor probleme se reduce la calculul valorilor funcțiilor și integralelor sau la rezolvarea ecuațiilor diferențiale care conțin derivate sau diferențiale de funcții necunoscute.

Cu toate acestea, executarea exactă a acestor operații matematice se dovedește în multe cazuri a fi foarte dificilă sau imposibilă. În aceste cazuri, este posibil să se obțină o soluție aproximativă a multor probleme cu orice precizie dorită folosind seriale.

Seriile sunt un instrument simplu și perfect de analiză matematică pentru calculul aproximativ al funcțiilor, integralelor și soluțiilor ecuațiilor diferențiale.

Și stând în partea dreaptă a funcționalului.

Pentru a pune un semn egal în locul semnului „”, este necesar să se efectueze unele raționamente suplimentare legate tocmai de infinitatea numărului de termeni din partea dreaptă a egalității și cu privire la regiunea de convergență a seriei.

Când formula Taylor ia forma în care se numește formula Maclaurin:

Colin Maclaurin (1698 - 1746), un student al lui Newton, în Treatise on Fluxions (1742) a stabilit că există o singură serie de puteri care exprimă o funcție analitică și aceasta va fi seria Taylor generată de o astfel de funcție. În formula binomială Newton, coeficienții la puteri sunt valorile, unde .

Deci, rândurile au apărut în secolul al XVIII-lea. ca modalitate de reprezentare a funcţiilor care permit diferenţierea infinită. Cu toate acestea, funcția reprezentată de serie nu a fost numită suma ei și, în general, la vremea respectivă nu era încă determinată care este suma unei serii numerice sau funcționale, au existat doar încercări de introducere a acestui concept.

De exemplu, L. Euler (1707-1783), după ce a scris o serie de puteri corespunzătoare unei funcții, a dat variabilei o valoare specifică. Am o linie numerică. Euler a considerat că valoarea funcției inițiale în acest punct este suma acestei serii. Dar acest lucru nu este întotdeauna adevărat.

Faptul că seria divergentă nu are o sumă, oamenii de știință au început să ghicească abia în secolul al XIX-lea, deși în secolul al XVIII-lea. mulți, și mai ales L. Euler, au lucrat din greu la conceptele de convergență și divergență. Euler a numit o serie convergentă dacă termenul său comun tinde spre zero ca .

În teoria seriilor divergente, Euler a obținut multe rezultate semnificative, dar aceste rezultate nu și-au găsit aplicație mult timp. În 1826 N.G. Abel (1802 - 1829) a numit rândurile divergente „fabricație diavolească”. Rezultatele lui Euler au găsit justificare abia la sfârșitul secolului al XIX-lea.

În formarea conceptului de suma unei serii convergente, savantul francez O.L. Cauchy (1789 - 1857); a făcut extrem de multe nu numai în teoria seriilor, ci și în teoria limitelor, în dezvoltarea însuși conceptului de limită. În 1826 Cauchy a afirmat că o serie divergentă nu are sumă.

În 1768 Matematicianul și filozoful francez J.L. D'Alembert a studiat raportul dintre termenul următor și cel anterior din seria binomială și a arătat că dacă acest raport este mai mic decât unul în valoare absolută, atunci seria converge. Cauchy în 1821 a demonstrat o teoremă care precizează în vedere generala un semn de convergență a seriei semn-pozitive, numit acum semnul d'Alembert.

Pentru a studia convergența seriilor alternante se folosește testul Leibniz.

G.V. Leibniz (1646 - 1716), marele matematician și filozof german, împreună cu I. Newton, este fondatorul calculului diferențial și integral.

Bibliografie:

Principal:

Bogomolov N.V., Lecții practice de matematică. M., „ facultate”, 1990 – 495 p.;
Tarasov N.P., Curs de matematica superioara pentru scolile tehnice. M., „Nauka”, 1971 - 448 p.;
Zaitsev I.L., Un curs de matematică superioară pentru școlile tehnice. M., editura de stat a scolilor tehnice - literatura teoretica, 1957 - 339 p.;
Pismenny D.T., Un curs de prelegeri despre matematica superioară. M., „Iris Press”, 2005, partea 2 – 256 p.;
Vygodsky M.Ya., Manual de matematică superioară. M., „Nauka”, 1975 - 872 p.;

Adiţional:

Gusak A.A., Matematică superioară. În 2 vol., Vol. 2: Manual pentru studenți. Mos., „TetraSystems”, 1988 - 448 p.;
Griguletsky V.G., Lukyanova I.V., Petunina I.A., Matematică pentru studenții specialităților economice. Partea 2. Krasnodar, 2002 - 348 p.;
Griguletsky V.G. etc. Caiet de sarcini în matematică. Krasnodar. KSAU, 2003 - 170 p.;
Griguletsky V.G., Stepantsova K.G., Getman V.N., Sarcini și exerciții pentru studenții facultății de contabilitate și finanțe. Krasnodar. 2001 - 173 p.;
Griguletsky V.G., Yaschenko Z.V., Matematică superioară. Krasnodar, 1998 - 186 p.;
Malykhin V.I., Matematică în economie. M., „Infra-M”, 1999 - 356s.

MATEMATICĂ SUPERIORĂ

Seria de numere

Lectura.Seria de numere

1. Definirea unei serii de numere. Convergenţă

2. Proprietățile de bază ale seriei de numere

3. Serii cu termeni pozitivi. Semne de convergență

4. Alternarea rândurilor. Testul de convergență Leibniz

5. Serii alternante

Întrebări pentru autoexaminare

Literatură

Lectura. SERIA NUMERICA

1. Definirea unei serii de numere. Convergenţă.

2. Proprietăţile de bază ale seriilor numerice.

3. Serii cu termeni pozitivi. Semne de convergență.

4. Alternarea rândurilor. Criteriul de convergență Leibniz.

5. Serii alternante.

1. Definirea unei serii de numere. Convergenţă

Să fie dată o succesiune numerică infinită

, , …, , …

Definiție 1.1. Serii numerice sau pur și simplu aproape se numește expresie (sumă) a formei

. (1.1) sunt numite membri ai unui număr, – general sau n – m un membru al rândului.

Pentru a defini seria (1.1), este suficient să definim funcția argumentului natural

calculul celui de-al treilea termen al seriei după numărul acestuia

Exemplul 1.1. Lasa

. Rând (1.2)

numit serie armonică .

Exemplul 1.2. Lasa

, Seria (1.3)

numit serii armonice generalizate. Într-un caz anume, când

se obţine o serie armonică.

Exemplul 1.3. Lasa

= . Rând (1.4)

numit lângă o progresie geometrică.

Din termenii seriei (1.1) formăm un numeric succesiune de parțialesume Unde

este suma primilor termeni ai seriei, care se numește n-și suma parțială, adică , , ,

…………………………….

, (1.5)

…………………………….

Secvență numerică

cu o creștere nelimitată a numărului poate:

1) au o limită finită;

2) să nu aibă o limită finită (limita nu există sau este egală cu infinitul).

Definiție 1.2. Se numește seria (1.1). convergente, dacă succesiunea sumelor sale parțiale (1.5) are o limită finită, i.e.

În acest caz, numărul

numit sumă seria (1.1) și se scrie .

Definiție 1.3.Se numește seria (1.1). divergente, dacă succesiunea sumelor sale parțiale nu are limită finită.

Nu se atribuie nicio sumă seriei divergente.

Astfel, problema găsirii sumei seriei convergente (1.1) este echivalentă cu calcularea limitei succesiunii sumelor sale parțiale.

Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplul 1.4. Demonstrează că serialul

converge și găsește-i suma.

Sa gasim n- suma parțială a seriei date

Membru comun

reprezentăm seria sub forma .

Prin urmare avem:

. Prin urmare, această serie converge și suma ei este egală cu 1:

Exemplul 1.5. Investigați seria de convergență

(1.6)

Pentru acest rând

. Prin urmare, această serie diverge.

Cometariu. La

seria (1.6) este suma unui număr infinit de zerouri și este evident convergentă.

Exemplul 1.6. Investigați seria de convergență

(1.7)

Pentru acest rând

În acest caz, limita succesiunii de sume parțiale

nu există, iar seria diverge.

Exemplul 1.7. Investigați convergența seriei de progresie geometrică (1.4):

Este ușor să arăți asta n-a-a sumă parțială a unei serii de progresie geometrică pentru

dat de formula.

Luați în considerare cazurile:

Apoi și .

Prin urmare, seria converge și suma ei este egală cu