Integrarea ecuațiilor diferențiale folosind serii de puteri. Serie de puteri

Cu ajutorul seriei de puteri este posibilă integrarea ecuațiilor diferențiale.

Luați în considerare o ecuație diferențială liniară de forma:

Dacă toți coeficienții și partea dreaptă a acestei ecuații se extind în serii de puteri convergente într-un anumit interval, atunci există o soluție pentru această ecuație într-o mică vecinătate a punctului zero care satisface condițiile inițiale.

Această soluție poate fi reprezentată ca o serie de puteri:

Pentru a găsi o soluție, rămâne să determinați constantele necunoscute c i .

Această sarcină este rezolvată metoda de comparare a coeficienților nesiguri. Substituim expresia scrisă pentru funcția dorită în ecuația diferențială originală, efectuând în același timp toate acțiunile necesare cu serii de puteri (diferențiere, adunare, scădere, înmulțire etc.)

Apoi egalăm coeficienții la aceleași puteri Xîn partea stângă și dreaptă a ecuației. Ca urmare, ținând cont de condițiile inițiale, obținem un sistem de ecuații, din care determinăm succesiv coeficienții c i .

Rețineți că această metodă este aplicabilă și ecuațiilor diferențiale neliniare.

Exemplu. Găsiți o soluție pentru ecuație
cu conditiile initiale y(0)=1, y’(0)=0.

Vom căuta soluția ecuației sub forma

Inlocuim expresiile obtinute in ecuatia initiala:

De aici obținem:

………………

Obținem prin înlocuire condiții inițialeîn expresii pentru funcția dorită și derivata ei prima:

În sfârșit obținem:

Total:

Există o altă metodă de rezolvare a ecuațiilor diferențiale folosind serii. Poartă numele metoda de diferentiere succesiva.

Să luăm în considerare același exemplu. Vom căuta soluția ecuației diferențiale sub forma unei extinderi a funcției necunoscute din seria Maclaurin.

Dacă condiţiile iniţiale date y(0)=1, y’(0)=0 înlocuiți în ecuația diferențială originală, obținem asta

În continuare, scriem ecuația diferențială sub forma
şi o vom diferenţia secvenţial în raport cu X.

După înlocuirea valorilor obținute, obținem:

Criteriul Cauchy.

(condiții necesare și suficiente pentru convergența seriei)

În ordinea secvenței
a fost convergent, este necesar și suficient ca pentru orice
era un numărN, care lan > Nși oricep> 0, unde p este un număr întreg, următoarea inegalitate ar fi valabilă:

Dovada. (nevoie)

Lasa
, apoi pentru orice număr
există un număr N astfel încât inegalitatea

se efectuează pentru n>N. Pentru n>N și orice număr întreg p>0, inegalitatea este de asemenea valabilă
. Luând în considerare ambele inegalități, obținem:

Necesitatea a fost dovedită. Nu vom lua în considerare dovada suficienței.

Să formulăm criteriul Cauchy pentru serie.

Pentru un număr
a fost convergent necesar şi suficient ca pentru orice
era un numărNastfel încât lan> Nși oricep>0 ar satisface inegalitatea

Cu toate acestea, în practică, nu este foarte convenabil să folosiți direct criteriul Cauchy. Prin urmare, de regulă, sunt utilizate criterii de convergență mai simple:

Consecinţă. Dacă f(X) Și  (X) – funcții continue pe intervalul (a, b] și
apoi integralele
Și
se comportă la fel în ceea ce priveşte convergenţa.

serie de puteri.

Cu ajutorul seriei de puteri este posibilă integrarea ecuațiilor diferențiale.

Luați în considerare o ecuație diferențială liniară de forma:

Această soluție poate fi reprezentată ca o serie de puteri:

Pentru a găsi o soluție, rămâne să determinați constantele necunoscute c i.

Această sarcină este rezolvată metoda de comparare a coeficienților nesiguri. Substituim expresia scrisă pentru funcția dorită în ecuația diferențială originală, efectuând în același timp toate acțiunile necesare cu serii de puteri (diferențiere, adunare, scădere, înmulțire etc.)

Rețineți că această metodă este aplicabilă și ecuațiilor diferențiale neliniare.

Exemplu. Găsiți o soluție a ecuației cu condiții inițiale y(0)=1, y'(0)=0.

Vom căuta soluția ecuației sub forma

Inlocuim expresiile obtinute in ecuatia initiala:

De aici obținem:

………………

Obținem prin substituirea condițiilor inițiale în expresiile pentru funcția dorită și derivata prima a acesteia:

În sfârșit obținem:

Există o altă modalitate de a rezolva ecuatii diferentiale folosind rânduri. Poartă numele metoda de diferentiere succesiva.

Să luăm în considerare același exemplu. Vom căuta soluția ecuației diferențiale sub forma unei extinderi a funcției necunoscute din seria Maclaurin.

Dacă condiţiile iniţiale date y(0)=1, y'(0)=0înlocuiți în ecuația diferențială originală, obținem asta

După înlocuirea valorilor obținute, obținem:

Seria Fourier.

(Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 - 1830) - matematician francez)

serie trigonometrică.

Definiție. serie trigonometrică numită o serie de forma:

sau, pe scurt,

Numere reale a i, b i se numesc coeficienții seriei trigonometrice.

Dacă o serie de tipul prezentat mai sus converge, atunci suma ei este o funcție periodică cu o perioadă de 2p, deoarece funcţiile păcatului nx si cos nx de asemenea functii periodice cu perioada 2p.

Fie seria trigonometrică să convergă uniform pe intervalul [-p; p] și, în consecință, pe orice segment din cauza periodicității, iar suma acestuia este egală cu f(x).

Să determinăm coeficienții acestei serii.

Pentru a rezolva această problemă, folosim următoarele egalități:

Valabilitatea acestor egalități rezultă din aplicarea la integrand formule trigonometrice. Consultați Integrarea funcțiilor trigonometrice pentru detalii.

pentru că funcţie f(x) continuă pe segmentul [-p; p], atunci există o integrală

Acest rezultat se obţine ca urmare a faptului că .

De aici obținem:

În mod similar, înmulțim expresia extinderii funcției într-o serie cu păcatul nxși se integrează de la -p la p.

Primim:

Expresie pentru coeficient un 0 este un caz special pentru exprimarea coeficienților un n.

Astfel, dacă funcţia f(x)– orice functie periodica de perioada 2p, continua pe segmentul [-p; p] sau având un număr finit de puncte de discontinuitate de primul fel pe acest segment, apoi coeficienții

există și sunt numiți Coeficienții Fourier pentru functie f(x).

Definiție. Lângă Fourier pentru functie f(x) se numește o serie trigonometrică ai cărei coeficienți sunt coeficienții Fourier. Dacă seria Fourier a funcției f(x) converge către el în toate punctele sale de continuitate, atunci spunem că funcția f(x) se extinde într-o serie Fourier.

Semne suficiente expansibilitatea într-o serie Fourier.

Teorema. (teorema lui Dirichlet) Dacă funcţia f(x) are perioada 2p şi pe segment

[-p;p] este continuă sau are un număr finit de puncte de discontinuitate de primul fel, iar segmentul

[-p;p] poate fi împărțit într-un număr finit de segmente astfel încât în interiorul fiecăreia dintre ele funcția f(x) să fie monotonă, apoi seria Fourier pentru funcția f(x) converge pentru toate valorile lui x, iar în punctele de continuitate ale funcției f(x) suma acesteia este egală cu f(x), iar în punctele de discontinuitate suma ei este egală cu , i.e. media aritmetică a valorilor limită din stânga și dreapta. În acest caz, seria Fourier a funcției f(x) converge uniform pe orice segment care aparține intervalului de continuitate al funcției f(x).

Se numește funcția f(x) pentru care sunt îndeplinite condițiile teoremei Dirichlet monoton pe bucati pe segmentul [-p;p].

Teorema. Dacă funcția f(x) are o perioadă de 2p, în plus, f(x) și derivata sa f'(x) sunt funcții continue pe segmentul [-p;p] sau au un număr finit de puncte de discontinuitate ale primul fel pe acest segment, apoi seria Funcția Fourier f(x) converge pentru toate valorile lui x, iar în punctele de continuitate suma sa este egală cu f(x), iar în punctele de discontinuitate este egală la . În acest caz, seria Fourier a funcției f(x) converge uniform pe orice segment care aparține intervalului de continuitate al funcției f(x).

O funcție care îndeplinește condițiile acestei teoreme se numește netedă în bucăți pe segmentul [-p;p].

Expansiunea Fourier a unei funcții neperiodice.

Problema extinderii unei funcții neperiodice într-o serie Fourier nu diferă în principiu de extinderea într-o serie Fourier a unei funcții periodice.

Să spunem funcția f(x) este dat pe un segment și este monoton pe bucăți pe acest segment. Luați în considerare un periodic arbitrar pe bucăți funcţie monotonă f 1 (x) cu punct 2Т ³ ïb-aï, care coincide cu funcția f(x) pe segmentul .

a - 2T a a b a+2T a + 4T x

Deci funcția f(x) a fost completat. Acum funcția f 1 (x) se extinde într-o serie Fourier. Suma acestei serii în toate punctele segmentului coincide cu funcția f(x), acestea. putem presupune că funcţia f(x) extins într-o serie Fourier pe segmentul .

Astfel, dacă funcția f(x) este dată pe un segment egal cu 2p, ea nu diferă în niciun fel de expansiunea într-o serie a unei funcții periodice. Dacă segmentul pe care este dată funcția este mai mic de 2p, atunci funcția se extinde la intervalul (b, a + 2p) astfel încât condițiile de expansiune Fourier să fie păstrate.

În general vorbind, în acest caz, extinderea funcției date la un segment (interval) de lungime 2p se poate face într-un număr infinit de moduri, deci sumele seriei rezultate vor fi diferite, dar vor coincide cu cele date. funcția f(x) pe segmentul .

Seria Fourier pentru funcții pare și impare.

Observăm următoarele proprietăți ale funcțiilor pare și impare:

2) Produsul a două funcții pare și impare este o funcție pară.

3) Produsul funcțiilor pare și impare este o funcție impară.

Valabilitatea acestor proprietăți poate fi demonstrată cu ușurință pe baza definiției funcțiilor pare și impare.

Dacă f(x) este o funcție periodică pară cu perioada 2p care satisface condițiile de expansiune Fourier, atunci putem scrie:

Astfel, pentru o funcție pară, seria Fourier se scrie:

În mod similar, obținem o expansiune într-o serie Fourier pentru o funcție impară:

Exemplu. Extindeți într-o serie Fourier o funcție periodică cu perioada T = 2p pe intervalul [-p;p].

Setați funcția este impar, prin urmare, căutăm coeficienții Fourier sub forma:

Definiție. Lângă Fourier sistem ortogonal funcții j 1 (x), j 2 (x), …,jn(x) este o serie de forma:

ai căror coeficienți sunt determinați prin formula:

Unde f(x)= - suma unei serii care converg uniform pe un segment dintr-un sistem ortogonal de functii. f(x) - orice funcție care este continuă sau are un număr finit de puncte de discontinuitate de primul fel pe intervalul .

În cazul unui sistem ortonormal de funcții, se determină coeficienții:

Când utilizați versiunea pentru PC a „ Curs de matematică superioară” este posibil să rulați un program care extinde o funcție arbitrară într-o serie Fourier.

Ministerul Educației al Republicii Belarus

instituție educațională

„Mogilevski Universitate de stat numit după A.A. Kuleshov"

Departamentul de MA&VT

Construirea soluțiilor ecuațiilor diferențiale folosind serii

Lucrări de curs

Completat de: cursant grupa 3 curs

Facultatea de Fizică și Matematică

Yuskaeva Alexandra Maratovna

Consilier stiintific:

Morozov Nikolai Porfirievici

MOGILEV, 2010

Introducere

1. Ecuații diferențiale de ordin superior

1.1. Conceptul de ecuație diferențială liniară de ordinul al n-lea

2. Integrarea ecuațiilor diferențiale folosind serii

2.1. Integrarea ecuațiilor diferențiale folosind serii de puteri.

2.2. Integrarea ecuațiilor diferențiale folosind serii de puteri generalizate.

3. Cazuri particulare de utilizare a seriilor de puteri generalizate în integrarea ecuațiilor diferențiale.

3.1. Ecuația Bessel.

3.2. Ecuație hipergeometrică sau ecuație Gauss.

4. Aplicarea metodei de integrare a ecuațiilor diferențiale ordinare folosind seria în practică.

Concluzie

Literatură

Introducere

În cazul general, găsirea unei soluții exacte la o ecuație diferențială ordinară de ordinul întâi prin integrarea acesteia este imposibilă. Mai mult, acest lucru nu este fezabil pentru un sistem de ecuații diferențiale obișnuite. Această împrejurare a condus la crearea unui număr mare de metode aproximative pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale obișnuite și a sistemelor acestora. Există trei grupe de metode aproximative: analitice, grafice și numerice. Desigur, o astfel de clasificare este oarecum arbitrară. De exemplu, metoda grafică a liniilor întrerupte Euler stă la baza uneia dintre metodele de rezolvare numerică a unei ecuații diferențiale.

Integrarea ecuațiilor diferențiale obișnuite folosind serii de puteri este o metodă analitică aproximativă aplicată, de regulă, la ecuații liniare de cel puțin ordinul doi.

Metodele analitice se găsesc în cursul ecuațiilor diferențiale. Pentru ecuațiile de ordinul întâi (cu variabile separabile, omogene, liniare etc.), precum și pentru unele tipuri de ecuații de ordin superior (de exemplu, liniare cu coeficienți constanți) se pot obţine soluţii sub formă de formule prin intermediul transformărilor analitice.

Scopul lucrării este de a analiza una dintre metodele analitice aproximative, cum ar fi integrarea ecuațiilor diferențiale obișnuite folosind serii și aplicarea lor în rezolvarea ecuațiilor diferențiale.

Ecuații diferențiale de ordin superior

O ecuație diferențială obișnuită de ordinul al n-lea este o relație de formă

unde F este o funcție cunoscută a argumentelor sale, dată într-un anumit domeniu;

x - variabilă independentă;

y este o funcție a variabilei x care trebuie determinată;

y’, y”, …, y (n) sunt derivatele funcției y.

Aceasta presupune că y (n) este într-adevăr inclus în ecuația diferențială. Oricare dintre argumentele rămase ale funcției F poate să nu participe în mod explicit la această relație.

Orice funcție care satisface o ecuație diferențială dată se numește soluție sau integrală. A rezolva o ecuație diferențială înseamnă a găsi toate soluțiile acesteia. Dacă pentru funcția dorită y este posibil să se obțină o formulă care să dea toate soluțiile unei ecuații diferențiale date și numai ele, atunci spunem că i-am găsit soluția generală, sau integrala generală.

Soluția generală a ecuației diferențiale de ordinul al n-lea conține n constante arbitrare c 1 , c 2 ,..., c n și are forma.

1.1. Conceptul de ecuație diferențială liniarăn-a comanda

O ecuație diferențială de ordinul al n-lea se numește liniară dacă este de gradul întâi față de totalitatea mărimilor y, y ', ..., y (n) . Astfel, ecuația diferențială liniară de ordinul n-a are forma:

unde sunt cunoscute funcțiile continue ale lui x.

Această ecuație se numește o ecuație liniară neomogenă sau o ecuație cu partea dreaptă. Dacă partea dreaptă a ecuației este identic egală cu zero, atunci ecuație liniară se numește ecuație liniară diferențială omogenă și are forma

Dacă n este egal cu 2, atunci obținem o ecuație liniară de ordinul doi, care se scrie ca Asemenea unei ecuații liniare de ordinul al n-lea, o ecuație de ordinul doi poate fi omogenă () și neomogenă.

Integrarea ecuațiilor diferențiale folosind serii.

Soluțiile unei ecuații diferențiale obișnuite de mai sus de ordinul întâi cu coeficienți variabili nu sunt întotdeauna exprimate în termeni de funcții elementare, iar integrarea unei astfel de ecuații este rareori redusă la pătraturi.

2.1. Integrarea ecuațiilor diferențiale folosind serii de puteri.

Cea mai comună metodă de integrare a acestor ecuații este reprezentarea soluției dorite sub forma unei serii de puteri. Luați în considerare ecuații de ordinul doi cu coeficienți variabili

Observație 1. O clasă destul de largă de funcții poate fi reprezentată ca

unde, sunt unele constante. Această expresie se numește serie de puteri. Dacă valorile sale sunt egale cu valorile corespunzătoare ale funcției pentru orice x din interval (x 0 - T; x 0 + T), atunci o astfel de serie se numește convergentă în acest interval.

Să presupunem că funcțiile a(x), b(x) sunt funcții analitice ale ecuației (2.1) pe intervalul (x 0 - T; x 0 + T), T > 0, adică. extins în serii de putere:

Următoarea teoremă este valabilă (omițând demonstrația, prezentăm doar afirmația acesteia).

Teorema_1. Dacă funcțiile a(x), b(x) au forma (2.2), atunci orice soluție y(x) a ecuației diferențiale ordinare (2.1) poate fi reprezentată ca o convergentă pentru |x - x 0 |< Т степенного ряда:

Această teoremă nu numai că face posibilă reprezentarea soluției sub forma unei serii de puteri, dar, cel mai important, justifică convergența seriei (2.3).

Algoritmul pentru o astfel de reprezentare este următorul. Pentru comoditate, setăm x 0 = 0 în (2.2) și (2.3) și căutăm o soluție la ecuația diferențială obișnuită (2.1) sub forma

Înlocuind (2.4) în (2.1), obținem egalitatea

Pentru ca (2.5) să fie satisfăcută, este necesar ca coeficientul la fiecare putere a lui x să fie egal cu zero. Din această condiție obținem un sistem infinit de liniare ecuații algebrice

………………………………………….

…………………………………………………………………. .

Din sistemul infinit de ecuații algebrice liniare obținut, se poate găsi secvenţial, …, dacă se stabilesc valorile și (în cazul problemei Cauchy pentru ecuația diferențială ordinară (2.1), se pot introduce condițiile inițiale = , =).

Dacă funcțiile a(x), b(x) sunt raționale, adică. , b , unde sunt polinoame, atunci în vecinătăți de puncte în care sau, soluția sub forma unei serii de puteri poate să nu existe, iar dacă există, poate diverge peste tot, cu excepția punctului x = 0. Această împrejurare era deja cunoscut de L. Euler, care a considerat ecuația de ordinul întâi

Această ecuație este satisfăcută de seria de puteri

Cu toate acestea, este ușor de observat că această serie diferă pentru oricare. Rezolvarea unei ecuații diferențiale obișnuite sub forma unei serii de puteri divergente se numește formală.

Unul dintre cele mai izbitoare și mai înțelese exemple de aplicație aceasta metoda integrarea este ecuația Airy sau

Toate soluțiile acestei ecuații sunt funcții întregi ale lui x. Apoi se va căuta soluția ecuației Airy sub forma unei serii de puteri (2.4). Atunci egalitatea (2.5) ia forma

Echivalăm coeficientul la fiecare putere a lui x la zero. Avem

……………………………

Coeficientul la gradul zero al lui x este egal cu 2у 2 . Prin urmare, y 2 = 0. Atunci, de la egalitatea la zero a coeficientului, găsim = . Coeficientul at este egal. De aici.

Din această formulă obținem

Coeficienții și rămân nedefiniti. Pentru a găsi sistemul fundamental de soluții, se stabilește mai întâi = 1, = 0 și apoi invers. În primul caz avem

iar în al doilea

Pe baza Teoremei_1, aceste serii sunt convergente peste tot pe linia reală.

Funcțiile și se numesc funcții Airy. Pentru valorile mari ale lui x, comportamentul asimptotic al acestor funcții este descris de următoarele formuleȘi.

Graficele acestor funcții sunt prezentate în fig. 2.1. Obținem că, cu o creștere nelimitată a x, zerourile oricărei soluții ale ecuației Airy converg la infinit, ceea ce este evident și din reprezentarea asimptotică a acestor soluții, dar nu este deloc evident din reprezentarea funcțiilor Airy sub forma a serii de puteri convergente. Rezultă de aici că metoda de căutare a unei soluții la o ecuație diferențială obișnuită folosind o serie, în general, este de puțină folos în rezolvarea problemelor aplicate, iar însăși reprezentarea soluției ca serie face dificilă analiza calitativă. proprietățile soluției rezultate.

2.2. Integrarea ecuațiilor diferențiale folosind serii de puteri generalizate.

Deci, dacă în ecuația (2.1) funcțiile a(x), b(x) sunt raționale, atunci punctele în care sau sunt numite puncte singulare ale ecuației (2.1).

Pentru ecuația de ordinul doi

unde a(x), b(x) sunt funcții analitice în intervalul |x - x 0 |< а, точка х = 0 является особой точкой, лишь только один из коэффициентов а 0 или b 0 в разложении функций а(х) и b(х) в степенной ряд отличен от нуля. Это пример простейшей особой точки, так называемой регулярной особой точки (или особой точки первого рода).

În vecinătatea punctului singular x = x 0, este posibil să nu existe soluții sub forma unei serii de puteri, caz în care trebuie căutate soluții sub forma unei serii de puteri generalizate:

unde trebuie determinate λ și, …, ().

Teorema_2. Pentru ca ecuația (2.6) să aibă cel puțin o soluție particulară sub forma unei serii de puteri generalizate (2.7) în vecinătatea punctului singular x = x 0, este suficient ca această ecuație să aibă forma

Esența este o serie de puteri convergentă, iar coeficienții nu sunt egali cu zero în același timp, deoarece în caz contrar punctul x = x 0 nu este un punct singular și există două soluții liniar independente care sunt holomorfe în punctul x = x 0 . În acest caz, dacă seria (2.7") care intră în coeficienții ecuației (2.7') converg în regiunea | x - x 0 |< R, то и ряд, входящий в решение (2.7), заведомо сходится в той же области.

Considerăm ecuația (2.6) pentru x > 0. Înlocuind expresia (2.7) în această ecuație pentru x 0 = 0, avem

Echivalând la zero coeficienții la puterile lui x, obținem un sistem recurent de ecuații:

……..........................……………………………………………. (2.8)

unde este indicat

Deoarece, atunci λ trebuie să satisfacă ecuația

care se numește ecuație definitorie. Fie rădăcinile acestei ecuații. Dacă diferența nu este un întreg, atunci pentru niciun întreg k > 0, ceea ce înseamnă că metoda de mai sus poate construi două soluții liniar independente ale ecuației (2.6):

Dacă diferența este un număr întreg, atunci metoda de mai sus poate fi utilizată pentru a construi o soluție sub forma unei serii generalizate. Cunoscând această soluție, folosind formula Liouville - Ostrogradsky, puteți găsi a doua soluție liniar independentă cu:

Din aceeași formulă rezultă că soluția poate fi căutată în formă

(numărul A poate fi egal cu zero).

Cazuri particulare de utilizare a seriilor de puteri generalizate în integrarea ecuațiilor diferențiale.

3.1. Ecuația Bessel.

Ecuația Bessel este una dintre ecuațiile diferențiale importante din matematică și aplicațiile sale. Soluții ale ecuației Bessel care o compun sistem fundamental funcțiile nu sunt functii elementare. Dar se extind în serii de puteri, ai căror coeficienți sunt calculați destul de simplu.

Luați în considerare ecuația Bessel în formă generală:

Multe probleme de fizică matematică sunt reduse la această ecuație.

Deoarece ecuația nu se schimbă atunci când x este înlocuit cu -x, este suficient să luăm în considerare valorile nenegative ale lui x. Singurul punct singular este x=0. Ecuația definitorie corespunzătoare lui x=0 este, . Dacă 0, atunci ecuația definitorie are două rădăcini: și. Să găsim o soluție ecuația dată sub forma unei serii de puteri generalizate

apoi, înlocuind y, y" și y" în ecuația originală, obținem

Prin urmare, reducând cu, avem

Pentru ca această egalitate să aibă loc identic, coeficienții trebuie să satisfacă ecuațiile

Să găsim soluția corespunzătoare rădăcinii ecuației definitorii λ = n. Înlocuind λ = n în ultimele egalități, vedem că orice număr altul decât zero poate fi luat ca număr = 0, iar pentru k = 2, 3, ... avem

Prin urmare, pentru toți m = 0, 1, 2, … .

Astfel, s-au găsit toți coeficienții, ceea ce înseamnă că soluția ecuației (3.1) se poate scrie sub forma

Vă prezentăm funcția

numită funcție gamma Euler. Luând în considerare ce și ce pentru numere întregi și, de asemenea, alegeți o constantă arbitrară, așa cum va fi scrisă sub formă

se numește funcția Bessel de primul fel de ordinul al n-lea.

A doua soluție particulară a ecuației Bessel, liniar independentă de, este căutată în formă

Ecuațiile pentru determinarea la au forma

Presupunând că găsim

Prin presupunere, n nu este un număr întreg, deci toți coeficienții pari sunt exprimați în mod unic în termeni de:

În acest fel,

Presupunând că reprezentăm y 2 (x) sub forma

se numește funcția Bessel de primul fel cu indice negativ.

Astfel, dacă n nu este un număr întreg, atunci toate soluțiile ecuației originale Bessel sunt combinații liniare Funcţiile Bessel şi: .

3.2. Ecuație hipergeometrică sau ecuație Gauss.

O ecuație hipergeometrică (sau ecuație Gaussiană) este o ecuație de formă

unde α, β, γ sunt numere reale.

Punctele sunt punctele singulare ale ecuației. Ambele sunt regulate, deoarece în vecinătatea acestor puncte coeficienții ecuației gaussiene, scrise în formă normală

poate fi reprezentat ca o serie de puteri generalizate.

Vom verifica acest lucru pentru subiect. Într-adevăr, observând asta

ecuația (3.2) poate fi scrisă ca

Această ecuație este un caz special al ecuației

și aici, astfel încât punctul x=0 este un punct singular regulat al ecuației lui Gauss.

Să construim un sistem fundamental de soluții ale ecuației lui Gauss în vecinătatea punctului singular x=0.

Ecuația definitorie corespunzătoare punctului x=0 are forma

Rădăcinile sale și diferența lor nu este un număr întreg.

Prin urmare, în vecinătatea punctului singular x=0, se poate construi un sistem fundamental de soluții sub forma unor serii de puteri generalizate.

dintre care prima corespunde rădăcinii zero a ecuației definitorii și este o serie de puteri obișnuită, astfel încât soluția este holomorfă în vecinătatea punctului singular x=0. A doua soluție este evident non-holomorfă la x=0. Să construim mai întâi o soluție particulară corespunzătoare rădăcinii zero a ecuației definitorii.

Astfel, vom căuta o soluție particulară a ecuației (3.2) sub forma

Înlocuind (3.3) în (3.2), obținem

Echivalând termenul liber cu zero, obținem.

Să-l luăm atunci.

Echivalând coeficientul la zero, găsim:

Prin urmare, soluția particulară dorită are forma:

Seria din dreapta se numește serie hipergeometrică, deoarece pentru α=1, β=γ se transformă într-o progresie geometrică

Conform Teoremei_2, seria (3.4) converge pentru |x|<1, так же как и ряд (3.5), и, следовательно, представляет в этом интервале решение уравнения (3.2).

A doua soluție particulară arată astfel:

În loc să găsim prin metoda coeficienților nedeterminați, vom face o înlocuire a funcției dorite în ecuația lui Gauss după formula

Obținem ecuația lui Gauss

în care rolul parametrilor α, β și γ este jucat de și.

Prin urmare, după ce am construit o soluție particulară a acestei ecuații corespunzătoare rădăcinii zero a ecuației definitorii și înlocuind-o în (3.6), obținem a doua soluție particulară a acestei ecuații gaussiene sub forma:

Soluția generală a ecuației lui Gauss (3.2) va fi:

Folosind sistemul fundamental de soluții construit al ecuației Gauss în vecinătatea punctului singular x=0, se poate construi cu ușurință sistemul fundamental de soluții al acestei ecuații în vecinătatea punctului singular x=1, care este, de asemenea, un regulat. punct singular.

În acest scop, transferăm punctul singular x = 1 care ne interesează în punctul t = 0 și, împreună cu acesta, punctul singular x = 0 în punctul t = 1 folosind o modificare liniară a variabilei independente x = 1 - t.

Efectuând această înlocuire în această ecuație Gauss, obținem

Aceasta este ecuația lui Gauss cu parametri. Are in vecinatatea |t|<1 особой точки t = 0 фундаментальную систему решений

Revenind la variabila x, adică, stabilind t = 1 - x, obținem un sistem fundamental de soluții la ecuația Gauss inițială în vecinătatea punctului | x - 1|< 1 особой точки х = 1

Soluția generală a ecuației lui Gauss (3.2) în domeniu este

Aplicarea metodei de integrare a ecuațiilor diferențiale ordinare folosind seria în practică.

Exemplul_1. (#691) Calculați primii câțiva coeficienți ai seriei (până la coeficientul de la x 4 inclusiv) cu condiții inițiale

Din condițiile inițiale rezultă că Acum găsim coeficienții rămași:

Exemplul_2. (#696) Calculați primii câțiva coeficienți ai seriei (până la coeficientul de la x 4 inclusiv) cu condiții inițiale

Rezolvare: Vom căuta soluția ecuației sub forma

Inlocuim expresiile obtinute in ecuatia initiala:

Reprezentând partea dreaptă ca o serie de puteri și echivalând coeficienții la aceleași puteri ale lui x în ambele părți ale ecuației, obținem:

Deoarece, conform condiției, este necesar să se calculeze coeficienții seriei până la coeficientul de la x 4 inclusiv, este suficient să se calculeze coeficienții.

Din condițiile inițiale rezultă că și 2. Acum găsim coeficienții rămași:

Prin urmare, soluția ecuației poate fi scrisă sub forma

Exemplul_3. (№700) Găsiți soluții liniar independente sub forma unei serii de puteri ale unei ecuații. Dacă este posibil, exprimați suma seriei rezultate folosind funcții elementare.

Soluţie. Vom căuta soluția ecuației sub forma unei serii

Diferențiând această serie de două ori și înlocuind-o în această ecuație, avem

Scriem primii câțiva termeni ai seriei în ecuația rezultată:

Echivalând coeficienții cu zero la aceleași puteri ale lui x, obținem un sistem de ecuații pentru determinarea:

………………………………….

Din aceste ecuații găsim

Să presupunem că atunci numai coeficienții vor fi diferiți de zero. Înțelegem asta

Se construiește o soluție a ecuației

A doua soluție, liniar independentă de cea găsită, se obține prin presupunerea. Atunci numai coeficienții vor fi diferiți de zero:

Seriile care reprezintă și converg pentru orice valori ale lui x și sunt funcții analitice. Astfel, toate soluțiile ecuației originale sunt funcții analitice pentru toate valorile lui x. Toate soluțiile sunt exprimate prin formula, unde C 1 , C 2 sunt constante arbitrare:

Deoarece suma seriei rezultate este ușor de exprimat folosind funcții elementare, se va scrie astfel:

Exemplul_4. (Nr. 711) Rezolvați ecuația 2x 2 y "+ (3x - 2x 2) y" - (x + 1) y \u003d 0.

Soluţie. Punctul x = 0 este un punct regulat singular al acestei ecuații. Compunem ecuația definitorie: rădăcinile sale λ 1 \u003d 1/2 și λ 2 \u003d - 1. Căutăm soluția ecuației inițiale corespunzătoare rădăcinii λ \u003d λ 1 sub forma

Înlocuind, și în ecuația originală, avem

Prin urmare, reducând cu, obținem

Echivalând coeficienții la aceleași puteri ale lui x, avem ecuații pentru determinarea:

Punând y 0 = 1, găsim

În acest fel,

Căutăm soluția ecuației inițiale corespunzătoare rădăcinii λ = λ 2 în forma

Înlocuind această expresie în ecuația originală și echivalând coeficienții la aceleași puteri ale lui x, obținem sau Punând y 0 = 1, găsim

Scriem soluția generală a ecuației originale sub forma unde și sunt constante arbitrare.

Concluzie

Rezolvarea unei ecuații care conține funcții necunoscute și derivatele lor mai mari decât prima sau într-un mod mai complicat este adesea foarte dificilă.

În ultimii ani, astfel de ecuații diferențiale au atras o atenție tot mai mare. Deoarece soluțiile ecuațiilor sunt adesea foarte complexe și greu de reprezentat cu formule simple, o parte semnificativă a teoriei moderne este dedicată unei analize calitative a comportamentului lor, de exemplu. dezvoltarea unor metode care să permită, fără a rezolva ecuațiile, să se spună ceva semnificativ despre natura soluțiilor în ansamblu: de exemplu, că toate sunt limitate, sau au caracter periodic sau depind într-un anumit fel de coeficienții.

Pe parcursul lucrărilor de curs s-a făcut o analiză a metodei de integrare a ecuațiilor diferențiale folosind putere și serii de puteri generalizate.

Literatură:

Matveev N.V. Metode de integrare a ecuațiilor diferențiale ordinare. Ed. a 4-a, rev. si suplimentare Minsk, „Cel mai înalt. şcoală”, 1974. - 768s. de la bolnav.
Agafonov S.A., German A.D., Muratova T.V. Ecuații diferențiale: Proc. pentru universități / Ed. B.C. Zarubina, A.P. Krișcenko. - Ed. a 3-a, stereotip. -M.: Editura MSTU im. N.E. Bauman, 2004. - 352 p.
Bugrov Ya. S., Nikolsky S. M. matematica superioara. T.3: Ecuații diferențiale. Integrale multiple. Rânduri. Funcţiile unei variabile complexe: Proc. pentru universități: În 3 volume / Ya. S. Bugrov, S. M. Nikolsky; Ed. V. A. Sadovnichy. - Ed. a VI-a, stereotip. — M.: Butard, 2004. —— 512p.: ill.
Samoleinko A. M., Krivosheya S. A., Perestyuk N. A. Ecuații diferențiale: exemple și probleme. Proc. indemnizatie. - Ed. a II-a, revizuită. - M.: Mai sus. scoala, 1989. - 383 p.: ill.
Filippov AF Culegere de probleme pe ecuații diferențiale. Proc. indemnizație pentru universități. - M.: Fizmatizd, 1961. - 100 p.: ill.

Descarca: Nu aveți acces pentru a descărca fișiere de pe serverul nostru.

MINISTERUL EDUCAȚIEI ȘI ȘTIINȚEI AL REPUBLICII KAZAKHSTAN

Universitatea de Stat din Kazahstanul de Nord

lor. M. Kozybayeva

Facultatea de Tehnologia Informației

Departamentul de „Matematică”

Cursuri apărate

evaluat „_____________”

"___"___________ anul 2013

cap departament ____________

A. Tajigitov

Lucrare de CURS de matematică

„INTEGRAREA ECUATIILOR DIFERENTIALE

CU AJUTORUL POWER SERIES»

ȘEF Valeeva M.B. ___________

Petropavlovsk 2013

AҢDAPTA

Berilgen kurstyk zhұmysta katarlarmen zhane diferenţiale tendemelermen baylanysty theorylyk suraқtar karastyrylgan. Diferențiale endemenin integraldauynyn mysaldary zhane mangaz katarlardyn kömegimen karastyrylgan.

ADNOTARE

In acest termen de hârtie sunt luate în considerare aspecte teoretice legate de serie și ecuații diferențiale. Sunt luate în considerare exemple de integrare a ecuațiilor diferențiale cu ajutorul serii de puteri.

lucrările date sunt considerate întrebări teoretice care sunt legate de serie și ecuații diferențiale. Sunt luate în considerare exemple de ecuații diferențiale parțiale de integrare folosind serii de puteri.

INTRODUCERE

CONCEPTE DE BAZĂ LEGATE DE SERIE ȘI ECUAȚII DIFERENȚIALE

1 rânduri. Noțiuni de bază. Criteriu necesar pentru convergență

2 Serii de putere. Proprietățile seriei de putere

3 seria Taylor. Seria Maclaurin

4 Ecuații diferențiale

5 Integrarea ecuațiilor diferențiale folosind serii

EXEMPLE DE UTILIZARE A SERIELOR DE PUTERE ÎN INTEGRAREA ECUATIILOR DIFERENȚIALE

1 Ecuație aeriană

2 Ecuația Bessel

3 Exemple de integrare

4 Exemple de integrare în Maple

CONCLUZIE

INTRODUCERE

Termenul „ecuație diferențială” se datorează lui Leibniz (1676, publicat în 1684). Începutul cercetărilor privind ecuațiile diferențiale datează din vremea lui Leibniz și Newton, în ale căror lucrări au fost studiate primele probleme care au condus la astfel de ecuații. Leibniz, Newton și frații J. și I. Bernoulli au dezvoltat metode de integrare a ecuațiilor diferențiale obișnuite. Ca metodă universală, au fost utilizate expansiuni ale integralelor ecuațiilor diferențiale în serii de puteri.

Acum, introducerea pe scară largă a metodelor de calcul în știință, asociată cu apariția instrumentelor de calcul de mare putere, necesită o reevaluare a importanței diferitelor ramuri ale matematicii și, în special, a secțiunilor teoriei ecuațiilor diferențiale obișnuite. În prezent, importanța metodelor pentru studiul calitativ al soluțiilor ecuațiilor diferențiale, precum și a metodelor de găsire aproximativă a soluțiilor, a crescut.

Soluțiile multor ecuații diferențiale nu sunt exprimate în funcții elementare sau în pătraturi. În aceste cazuri, se folosesc metode aproximative de integrare a ecuațiilor diferențiale. O astfel de metodă este reprezentarea soluției unei ecuații ca o serie de puteri; suma unui număr finit de termeni din această serie va fi aproximativ egală cu soluția dorită. Aceasta determină relevanța temei de cercetare alese.

Scopul acestei lucrări: arăta aplicarea metodei serii de puteri în integrarea ecuațiilor diferențiale.

Obiectul cercetării este procesul de integrare a ecuațiilor diferențiale prin metoda seriei de puteri.

Subiectul studiului îl constituie formele, metodele și mijloacele de integrare a ecuațiilor diferențiale pe serii de puteri.

În conformitate cu scopul, putem formula principalele sarcini ale acestei lucrări:

Luați în considerare conceptele de bază asociate cu serie și ecuații diferențiale.

Analizați metoda de integrare a ecuațiilor diferențiale folosind serii de puteri.

Aplicați metoda seriei de puteri pentru a rezolva diverse probleme.

Structura lucrării: pagina de titlu, formularul de atribuire a postului, rezumat, conținut, introducere, partea principală, concluzie, listă de referințe.

Partea principală a lucrării constă din două capitole. Primul capitol dezvăluie conceptele de serie, serie de puteri, serie Taylor, ecuații diferențiale. În al doilea capitol sunt luate în considerare exemple de integrare a ecuațiilor diferențiale prin serii de puteri.

Pentru studierea părții teoretice a lucrării s-au folosit materiale din literatura educațională și periodice indicate în lista literaturii folosite.

Domeniul lucrării: 26 de pagini.

1. CONCEPTE DE BAZĂ LEGATE DE SERIE ȘI ECUAȚII DIFERENȚIALE

1.1 Rânduri. Noțiuni de bază. Criteriu necesar pentru convergență

În aplicațiile matematice, precum și în rezolvarea unor probleme din economie, statistică și alte domenii, sunt luate în considerare sume cu un număr infinit de termeni. Aici definim ce se înțelege prin astfel de sume.

Să fie dată o succesiune infinită de numere. O serie numerică sau pur și simplu o serie este o expresie (suma) a formei

,(1.1)

numerele sunt numite membri ai seriei, - membru comun sau al n-lea al seriei.

Pentru a stabili seria (1.1) este suficient să stabilim funcția argumentului natural pentru calcularea celui de-al n-lea membru al seriei după numărul său

Exemplul 1.1. Lasa . Rând

(1.2)

numită seria armonică.

Din termenii seriei (1.1) formăm o succesiune numerică de sume parțiale Unde - suma primilor termeni ai seriei, care se numește a n-a sumă parțială, i.e.

(1.3)

Secvență numerică cu o creștere nelimitată a numărului poate:

) au o limită finită;

) nu au o limită finită (limita nu există sau este egală cu infinitul).

O serie (1.1) se numește convergentă dacă șirul sumelor sale parțiale (1.3) are o limită finită, i.e.

În acest caz, numărul se numește suma seriei (1.1) și se scrie

Se spune că o serie (1.1) este divergentă dacă șirul sumelor sale parțiale nu are o limită finită. Nu se atribuie nicio sumă seriei divergente.

Astfel, problema găsirii sumei seriei convergente (1.1) este echivalentă cu calcularea limitei succesiunii sumelor sale parțiale.

Dovada teoremei rezultă din faptul că , si daca

S este suma seriei (1.1), atunci

Condiția (1.4) este o condiție necesară, dar nu suficientă, pentru ca seria să converge. Adică, dacă termenul comun al seriei tinde spre zero la , atunci aceasta nu înseamnă că seria converge. De exemplu, pentru seria armonică (1.2)

cu toate acestea, diverge.

Consecință (Un criteriu suficient pentru divergența seriei): dacă termenul comun al seriei nu tinde spre zero, atunci această serie diverge.

Exemplul 1.2. Investigați seria de convergență

Pentru această serie Prin urmare, această serie diverge.

1.1 1.2 Seria de putere. Proprietățile seriei de putere

Seriile de putere sunt un caz special de serie funcțională.

O serie de putere este o serie funcțională a formei

aici - numere reale constante, numite coeficienții seriei de puteri;

Un număr constant;

O variabilă care preia valori din mulțimea numerelor reale.

La , seria de puteri (1.5) ia forma

(1.6)

O serie de puteri (1.5) se numește serie de puteri ale diferențelor serie (1.6) - o serie de puteri Dacă unei variabile i se dă orice valoare, atunci seria de puteri (1.5) (sau (1.6)) se transformă într-o serie numerică care poate converge sau diverge.

Regiunea de convergență a unei serii de puteri este mulțimea acelor valori pentru care seria de puteri converge.

Teorema 1.2 (Teorema lui Abel): dacă seria de puteri (1.6) converge pentru atunci converge absolut pentru toate valorile satisfăcând inegalitatea, dacă seria (1.6) diverge pentru atunci diverge pentru toate valorile satisfăcând inegalitatea

Teorema lui Abel oferă o idee clară a structurii regiunii de convergență a unei serii de puteri.

Teorema 1.3: Regiunea de convergență a seriei de puteri (1.6) coincide cu unul dintre următoarele intervale:

) ; 2) ; 3) ; 4) ,

unde este un număr real nenegativ sau

Numărul se numește raza de convergență, intervalul se numește intervalul de convergență al seriei de puteri (1.6).

Dacă atunci intervalul de convergență este întreaga axă reală

Dacă atunci intervalul de convergenţă degenerează într-un punct

Notă: dacă este intervalul de convergență pentru seria de puteri (1.2), atunci este intervalul de convergență pentru seria de puteri (1.5).

Din teorema 1.3 rezultă că pentru determinarea practică a regiunii de convergență a seriei de puteri (1.6), este suficient să-i găsim raza de convergență și să clarificăm problema convergenței acestei serii la capetele intervalului de convergență, adică la şi

Raza de convergență a unei serii de puteri poate fi găsită folosind una dintre următoarele formule:

formula lui d'Alembert:

Formula Cauchy:

Exemplul 1.3. Aflați raza de convergență, intervalul de convergență și aria de convergență a unei serii de puteri

Găsiți raza de convergență a acestei serii prin formula

În cazul nostru

Prin urmare, intervalul de convergență al acestei serii are forma

Să studiem convergența seriei la capetele intervalului de convergență.

care diverge ca o serie armonică.

Când seria de putere se transformă într-o serie de numere

Aceasta este o serie alternativă, ai cărei termeni scad în valoare absolută și

Prin urmare, conform testului Leibniz, această serie de numere converge.

Astfel, intervalul este regiunea de convergență a unei serii de puteri date.

Seria de puteri (1.6) este o funcție definită în intervalul de convergență i.e.

Iată câteva proprietăți ale funcției

Proprietatea 1. Funcția este continuă pe orice segment aparținând intervalului de convergență

Proprietatea 2. Funcția este diferențiabilă pe un interval și derivata ei poate fi găsită prin diferențierea termen cu termen a seriei (1.6), i.e.

pentru toți

Proprietatea 3. Integrala nedefinită a unei funcții pentru toți poate fi obținută prin integrarea termen cu termen a seriei (1.6), i.e.

pentru toți

Trebuie remarcat faptul că atunci când diferențierea și integrarea termen cu termen a unei serii de puteri, raza de convergență a acesteia nu se modifică, totuși, convergența sa la capetele intervalului se poate modifica.

Proprietățile de mai sus sunt valabile și pentru seriile de putere (1.5).

Exemplul 1.4. Luați în considerare seria de putere

Regiunea de convergență a acestei serii, așa cum se arată în Exemplul 1.3, este intervalul

Să diferențiem această serie termen cu termen:

(1.7)

Să studiem comportamentul acestei serii la sfârșitul intervalului de convergență.

Această serie numerică diverge, deoarece criteriul necesar de convergență nu este îndeplinit

care nu există.

Pentru , seria de puteri (1.7) se transformă într-o serie numerică

care diverge şi pentru că nu este îndeplinit criteriul de convergenţă cerut.

Prin urmare, regiunea de convergență a seriei de puteri obținute prin diferențierea termen cu termen a seriei de puteri originale s-a schimbat și coincide cu intervalul .

1.3 Seria Taylor. Seria Maclaurin

Fie o funcție diferențiabilă infinit într-o vecinătate a unui punct, i.e. are derivate de orice ordin. Seria Taylor a unei funcții într-un punct se numește serie de puteri

(1.8)

În cazul particular al lui , seria (1.8) se numește seria Maclaurin:

Se pune întrebarea: În ce cazuri seria Taylor pentru o funcție diferențiată de un număr infinit de ori într-o vecinătate a unui punct coincide cu funcția?

Există cazuri în care seria Taylor a funcției converge, dar suma acesteia nu este egală cu

Să dăm o condiție suficientă pentru convergența seriei Taylor a unei funcții la această funcție.

Teorema 1.4: dacă în interval funcția are derivate de orice ordin și toate sunt limitate de același număr în valoare absolută, i.e. atunci seria Taylor a acestei funcții converge către oricare dintre acest interval acestea. exista o egalitate

Pentru a clarifica îndeplinirea acestei egalități la capetele intervalului de convergență, sunt necesare studii separate.

Trebuie remarcat faptul că, dacă o funcție este extinsă într-o serie de puteri, atunci această serie este seria Taylor (Maclaurin) a acestei funcții, iar această expansiune este unică.

1.4 Ecuații diferențiale

O ecuație diferențială obișnuită de ordinul al n-lea pentru o funcție a unui argument este o relație de formă

unde este o funcție dată a argumentelor sale.

În numele acestei clase de ecuații matematice, termenul „diferențial” subliniază faptul că acestea includ derivate (funcții formate ca urmare a diferențierii); termenul – „obișnuit” spune că funcția dorită depinde doar de un singur argument real.

O ecuație diferențială obișnuită poate să nu conțină în mod explicit argumentul funcției dorite și oricare dintre derivatele acesteia, dar cea mai mare derivată trebuie inclusă în ecuația de ordinul al n-lea.

De exemplu,

A) - ecuație de ordinul întâi;

B) este o ecuație de ordinul trei.

Când se scriu ecuații diferențiale obișnuite, se folosește adesea notația derivatelor prin diferențiale:

ÎN) - ecuația de ordinul doi;

G) - o ecuație de ordinul întâi care, după împărțirea la forma echivalentă de stabilire a ecuației:

O funcție se numește soluție a unei ecuații diferențiale obișnuite dacă, atunci când este substituită în ea, devine o identitate.

A găsi printr-o metodă sau alta, de exemplu, selecția, o funcție care satisface o ecuație nu înseamnă rezolvarea acesteia. A rezolva o ecuație diferențială obișnuită înseamnă a găsi toate funcțiile care formează o identitate atunci când sunt substituite în ecuație. Pentru ecuația (1.10), familia unor astfel de funcții se formează folosind constante arbitrare și se numește soluția generală a unei ecuații diferențiale obișnuite de ordinul n-a, iar numărul constantelor coincide cu ordinea ecuației: integrala ecuației (1.10). ).

Prin stabilirea unor valori admisibile pentru toate constantele arbitrare în soluția generală sau în integrala generală, obținem o anumită funcție care nu mai conține constante arbitrare. Această funcție se numește o soluție particulară sau o integrală particulară a ecuației (1.10). Pentru a găsi valorile constantelor arbitrare și, prin urmare, soluția particulară, pentru ecuația (1.10) sunt utilizate diferite condiții suplimentare. De exemplu, așa-numitele condiții inițiale pentru:

În părțile drepte ale condițiilor inițiale (1.11), sunt date valorile numerice ale funcției și derivatelor, iar numărul total de condiții inițiale este egal cu numărul de constante arbitrare care se determină.

Sarcina de a găsi o anumită soluție a ecuației (1.10) conform condițiilor inițiale se numește problema Cauchy.

1.5 Integrarea ecuațiilor diferențiale folosind serii

În cazul general, găsirea unei soluții exacte la o ecuație diferențială obișnuită (ODE) de ordinul întâi prin integrarea acesteia este imposibilă. Mai mult, acest lucru nu este fezabil pentru sistemul ODE. Această împrejurare a condus la crearea unui număr mare de metode aproximative pentru rezolvarea ODE-urilor și a sistemelor acestora. Există trei grupe de metode aproximative: analitice, grafice și numerice. Desigur, o astfel de clasificare este oarecum arbitrară. De exemplu, metoda grafică a liniilor întrerupte Euler stă la baza uneia dintre metodele de rezolvare numerică a unei ecuații diferențiale.

Integrarea ODE-urilor folosind seriile de putere este o metodă analitică aproximativă, aplicată de obicei la ecuații liniare de cel puțin ordinul doi. Pentru simplitate, ne limităm să luăm în considerare o EDO liniară omogenă de ordinul doi cu coeficienți variabili

(1.12)

Observație: o clasă destul de largă de funcții poate fi reprezentată ca

unde sunt unele constante. Această expresie se numește serie de puteri.

Să presupunem că funcțiile pot fi extinse în serii convergente în intervalul:

Următoarea teoremă este valabilă (omițând demonstrația, prezentăm doar formularea acesteia).

Teorema 1.5: dacă funcțiile au forma (1.13), atunci orice soluție a EDO (1.12) poate fi reprezentată ca o serie de puteri convergând la:

(1.14)

Această teoremă nu numai că face posibilă reprezentarea soluției sub forma unei serii de puteri, dar, cel mai important, justifică convergența seriei (1.14). Pentru simplitate, introducem (1.13) și (1.14) și căutăm o soluție pentru ODE (1.12) sub forma

(1.15)

Înlocuind (1.15) în (1.12), obținem egalitatea

Pentru ca (1.16) să fie satisfăcută, este necesar ca coeficientul la fiecare putere să fie egal cu zero.

Din această condiție obținem un sistem infinit de ecuații algebrice liniare

din care pot fi găsite succesiv dacă se precizează valorile și (în cazul problemei Cauchy pentru ODE (1.12) acestea sunt incluse în condițiile inițiale ).

Dacă funcțiile sunt raționale, i.e.

unde sunt polinoame, atunci în vecinătatea punctelor în care fie soluția sub forma unei serii de puteri poate să nu existe, iar dacă există, poate diverge peste tot, cu excepția punctului. Această împrejurare era cunoscută chiar și de L. Euler, care a considerat ecuația de ordinul întâi

Această ecuație este satisfăcută de seria de puteri

Cu toate acestea, este ușor de observat că această serie diferă pentru oricare

Rezolvarea unei EDO sub forma unei serii de puteri divergente se numește formală.

2. EXEMPLE DE UTILIZARE A SERIELOR DE PUTERE ÎN INTEGRAREA ECUATIILOR DIFERENȚIALE

Ecuație aerisită

Rezolvarea ecuației lui Airy

vom căuta sub forma unei serii de puteri (1.15). Atunci egalitatea (1.16) ia forma

Coeficientul la egal Prin urmare, de la egalitatea la zero a coeficientului la, găsim coeficientul la egal De aici

Din această formulă obținem

În mod similar, găsim

Coeficienții și rămân nedefiniti. Pentru a găsi sistemul fundamental de soluții, stabilim mai întâi si apoi invers. În primul caz avem

iar în al doilea

Pe baza teoremei 1.5, aceste serii sunt convergente peste tot pe linia reală

Funcțiile se numesc funcții Airy. Pentru valori mari, comportamentul asimptotic al acestor funcții este descris de formule

Graficele acestor funcții sunt prezentate în Figura 1.

Poza 1

Cu o creștere nelimitată, zerourile oricărei soluții ale ecuației Airy converg la nesfârșit, ceea ce este evident din reprezentarea asimptotică a acestor soluții, dar nu este deloc evident din reprezentarea funcțiilor Airy sub formă de serii de puteri convergente. Rezultă că metoda de găsire a unei soluții a unei EDO folosind o serie este, în general, de puțină utilitate în rezolvarea problemelor aplicate, iar însăși reprezentarea soluției sub forma unei serii face dificilă analiza proprietăților calitative ale solutia rezultata.

2.1 Ecuația Bessel

Ecuație diferențială liniară cu coeficienți variabili, având forma

se numește ecuația Bessel.

Vom căuta soluția ecuației (2.1) sub forma unei serii de puteri generalizate, i.e. produse într-un anumit grad din seria stepei:

(2.2)

Înlocuind seria generalizată de puteri în ecuația (2.1) și egalând cu zero coeficienții la fiecare putere din partea stângă a ecuației, obținem sistemul

Presupunând că din acest sistem găsim Fie Atunci din a doua ecuație a sistemului pe care o găsim și din ecuație, dând valorile 3,5,7, ..., concluzionăm că pentru coeficienți cu numere pare se obține expresii

Înlocuind coeficienții găsiți în seria (2.2), obținem soluția

unde coeficientul rămâne arbitrar.

Pentru că toți coeficienții sunt determinați în mod similar numai în cazul în care nu este egal cu un număr întreg. Apoi soluția poate fi obținută prin înlocuirea valorii din soluția anterioară cu:

Seriile de putere rezultate converg pentru toate valorile lui , care este ușor de stabilit pe baza criteriului d'Alembert. Soluțiile și sunt liniar independente, deoarece raportul lor nu este constant.

Soluție înmulțită cu o constantă se numește funcția Bessel (sau funcție cilindrică) de ordinul primului fel și se notează prin simbolul Soluția se notează

Alegerea general acceptată a unei constante implică funcția gamma, care este determinată de o integrală improprie:

În consecință, soluția generală a ecuației (2.1) atunci când nu este egală cu un întreg are forma unde și sunt constante arbitrare .

2.2 Exemple de integrare

În cazurile în care ecuația necesită rezolvarea problemei Cauchy în condiția inițială, soluția poate fi căutată folosind seria Taylor:

unde și alte derivate sunt găsite prin diferențierea succesivă a ecuației inițiale și substituirea în rezultatul diferențierii în locul valorilor și a tuturor celorlalte derivate ulterioare găsite. În mod similar, ecuațiile de ordin superior pot fi integrate folosind seria Taylor.

Exemplul 2.1. Integrați ecuația aproximativ folosind seria Taylor, luând primii șase termeni diferiti de zero ai expansiunii.

Din ecuația condițiilor inițiale găsim Diferențiând această ecuație, obținem succesiv

Setarea și utilizarea valorilor secvenţial găsim Soluţia dorită are forma

Exemplul 2.2. Găsiți primii patru termeni (alții decât zero) ai expansiunii. Și

Înlocuind valorile găsite în serie (2.3), obținem soluția dorită cu precizia specificată:

2.3 Exemple de integrare în Maple

Pentru a găsi soluții analitice la ecuațiile diferențiale din Maple, se folosește comanda dsolve(eq,var,options), unde eq este o ecuație diferențială, var sunt funcții necunoscute, iar opțiunile sunt opțiuni. Parametrii pot specifica o metodă de rezolvare a problemei, de exemplu, în mod implicit, se caută o soluție analitică: tip=exact. La compilarea ecuațiilor diferențiale, comanda diff este folosită pentru a indica derivata, de exemplu, o ecuație diferențială este scrisă ca: diff(y(x),x$2)+y(x)=x.

Pentru a găsi o soluție aproximativă a unei ecuații diferențiale sub forma unei serii de puteri, în comanda dsolve, specificați parametrul tip=serie (sau pur și simplu serie) după variabile. Pentru a preciza ordinea de extindere, i.e. ordinea gradului în care se efectuează descompunerea, înaintea comenzii dsolve se introduce definiția ordinii folosind comanda Order:=n.

Dacă se caută o soluție generală a unei ecuații diferențiale sub forma unei expansiuni într-o serie de puteri, atunci coeficienții la gradele de expansiune găsite vor conține valori necunoscute ale funcției la zero și derivatele acesteia și așa mai departe. Expresia obținută în linia de ieșire va avea o formă similară expansiunii Maclaurin a soluției dorite, dar cu coeficienți diferiți la puterile lui . Pentru a izola o anumită soluție, trebuie să setați condițiile inițiale etc., iar numărul acestor condiții inițiale trebuie să coincidă cu ordinea ecuației diferențiale corespunzătoare.

Expansiunea într-o serie de putere este de tip serie, deci pentru a lucra cu această serie în continuare, ar trebui convertită într-un polinom utilizând comanda convert(%,polynom), iar apoi partea dreaptă a expresiei rezultate ar trebui să fie selectată cu comanda rhs(%).

> cond:=y(0)=1, D(y)(0)=1, ( [email protected]@2)(y)(0)=1;

> dsolve((de,cond),y(x));

> y1:=rhs(%):

> dsolve((de,cond),y(x),serie);

Notă: tipul de soluție a unei ecuații diferențiale sub forma unei serii este serie, prin urmare, pentru utilizarea ulterioară a unei astfel de soluții (calcule sau reprezentare grafică), aceasta trebuie convertită într-un polinom folosind comanda convert.

gradul numărului ecuației diferențiale

> convert(%,polinom): y2:=rhs(%):

> p1:=plot(y1, x=-3..3, grosime=2, culoare=negru):

> p2:=plot(y2, x=-3..3, linestyle=3, grosime=2, culoare=negru):

> cu(parcele): afișare(p1,p2);

Figura 2 arată că cea mai bună aproximare a soluției exacte printr-o serie de puteri se realizează aproximativ pe interval

Figura 2

CONCLUZIE

Obiectivele stabilite în munca de curs au fost pe deplin atinse, au fost rezolvate următoarele sarcini:

Sunt definite conceptele de bază legate de serie și ecuații diferențiale.

Se are în vedere o metodă de integrare a ecuațiilor diferențiale cu ajutorul serii de puteri.

Probleme rezolvate pe acest subiect.

În acest curs, materialul a fost studiat și sistematizat pentru aplicarea sa de către studenți în timpul studiului independent al metodei de integrare a ecuațiilor diferențiale folosind seriile de puteri. Sunt luate în considerare conceptele de serie și ecuații diferențiale. Calculele aproximative sunt efectuate folosind serii.

Lucrarea poate fi folosită ca suport didactic pentru studenții specialităților tehnice și matematice.

Rezultatele lucrării pot servi drept bază pentru cercetări ulterioare.

LISTA LITERATURII UTILIZATE

1 Tricomi F. Ecuații diferențiale. Traducere din engleză. - M.: Bookinist, 2003. - 352 p.

Vlasova B. A., Zarubin V. C., Kuvyrkin G. N. Metode aproximative de fizică matematică: Manual pentru universități. - M.: Editura MSTU im. N. E. Bauman, 2001. - 700 p.

Budak BM Fomin SV Integrale și serii multiple. - M.: Fizmatlit, 2002. - 512 p.

Demidovich B.P. Culegere de probleme și exerciții despre analiză matematică. - M.: Editura Moscovei. Universitatea CheRo, 2000. - 624 p.

Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I., ș.a. All Higher Mathematics: Textbook. T. 3. - M.: Editorial URSS, 2005. - 240 p.

Yablonsky A. I., Kuznetsov A. V., Shilkina E. I. et al. Matematică superioară: Curs general: Manual. - M.: Mai sus. şcoală., 2000.- 351 p.

Malahov A. N., Maksyukov N. I., Nikishkin V. A. Matematică superioară. - M.: EAOI, 2008. - 315 p.

Markov L. N., Razmyslovich G. P. Matematică superioară. Partea 2. Fundamente ale analizei matematice și elemente ale ecuațiilor diferențiale. - M.: Amalfeya, 2003. - 352 p.

Agafonov S. A., German A. D., Muratova T. V. Ecuații diferențiale. - M.: Editura MSTU im. N.E. Bauman, 2004. - 352 p.

Coddington E. A., Levinson N. Teoria ecuațiilor diferențiale ordinare. - M.: Amalfeya, 2001. - 475 p.

Fikhtengol's G. M. Curs de calcul diferențial și integral. T. 2. - M.: Fizmatlit, 2001. - 810 p.