Suma seriei n 2. §4

Să fie dată o succesiune de numere R 1 , R 2 , R 3 ,…,R n ,…. Se numește expresia R 1 + R 2 + R 3 +…+ R n +… nesfârșit aproape, sau pur și simplu aproape, iar numerele R 1 , R 2 , R 3 ,… - membri ai unui număr. În același timp, ele înseamnă că acumularea sumei seriei începe cu primii ei membri. Se numește suma S n = suma parțială rând: pentru n=1 - prima sumă parțială, pentru n=2 - a doua sumă parțială și așa mai departe.

numit serie convergentă, dacă succesiunea parțială a acestuia sumele are o limită și divergente- in caz contrar. Conceptul de sumă a unei serii poate fi extins, iar apoi unele serii divergente vor avea și sume. Exact extins înţelegere sume rând va fi utilizat în dezvoltarea algoritmilor cu următoarea enunţare a problemei: acumularea sumei trebuie efectuată până când următorul termen al seriei este mai mare în valoare absolută decât valoarea dată ε.

În cazul general, toți sau parțial membrii seriei pot fi dați prin expresii în funcție de numărul membrului seriei și variabile. De exemplu,

Apoi se pune întrebarea cum să minimizeze cantitatea de calcule - să se calculeze valoarea următorului membru al seriei prin formula generală a unui membru al seriei(în exemplul dat, este reprezentat printr-o expresie sub semnul sumei), printr-o formulă recursivă (derivarea acesteia este prezentată mai jos) sau folosiți formule recursive numai pentru părți din expresia unui membru al seriei (vezi mai jos).

Derivarea unei formule recursive pentru calcularea unui termen dintr-o serie

Să fie necesar să se găsească o serie de numere R 1 , R 2 , R 3 ,…, calculându-le secvenţial după formulele

,
, …,

Pentru a scurta calculele în acest caz, este convenabil de utilizat recurent formulă drăguț
, permițând să se calculeze valoarea lui R N pentru N>1, cunoscând valoarea membrului anterior al seriei R N-1 , unde
- o expresie care se poate obține după simplificarea relației dintre expresia din formula (3.1) pentru N cu expresia pentru N-1:

Astfel, formula recursivă va lua forma
.

O comparație a formulei generale pentru termenul seriei (3.1) și a celei recursive (3.2) arată că formula recursivă simplifică foarte mult calculele. Să o aplicăm pentru N=2, 3 și 4 știind asta
:

Metode de calcul a valorii unui membru al unei serii

Pentru a calcula valoarea unui membru al seriei, în funcție de tipul acestuia, poate fi de preferat să folosiți fie formula generală a unui membru al seriei, fie o formulă recursivă sau metoda mixtă de calcul a valorii unui membru al unei serii, atunci când formulele recurente sunt utilizate pentru una sau mai multe părți ale unui membru al seriei, iar apoi valorile lor sunt înlocuite în formula generală a unui membru al seriei. De exemplu, - pentru o serie, este mai ușor să se calculeze valoarea unui membru al seriei
conform formulei sale generale
(compara cu
- formula recurenta); - pentru un rând
este mai bine să folosiți formula recursivă
; - pentru o serie, ar trebui să se aplice o metodă mixtă, calculând A N \u003d X 3N folosind formula recursivă
, N=2, 3,… cu A 1 =1 și B N =N! - tot prin formula recursivă
, N=2, 3,... la B 1 =1 și apoi - un membru al seriei
- conform formulei generale, care va lua forma
.

Exemplul 3.2.1 executarea sarcinii

Calculați cu precizie ε pentru 0 o  X  45 o

folosind o formulă recursivă pentru a calcula un termen dintr-o serie:

valoarea exactă a funcției cos X,

erori absolute și relative ale valorii aproximative.

program Project1;

($APPTYPE CONSOLA)

K=Pi/180; //Factor pentru a converti din grade în radiani

EPS: Extins=1E-8;

X: Extins=15;

R, S, Y, D: extins;

($IFNDEF DBG) //Instrucțiunile nu sunt utilizate pentru depanare

Write("Introduceți precizia necesară: ");

Write("Introduceți valoarea unghiului în grade: ");

D:=Sqr(K*X); // Convertiți X în radiani și pătrat

//Setați valorile inițiale pentru variabile

//Bucla pentru calcularea membrilor seriei și acumularea sumei acestora.

//Execută în timp ce modulul următorului membru al seriei este mai mare decât Eps.

în timp ce Abs(R)>Eps fac

daca N<10 then //Вывод, используемый при отладке

WriteLn("N=", N, " R=", R:14:11, "S=", S:14:11);

//Ieșirea rezultatelor calculului:

WriteLn(N:14," = Numărul de pași atinși",

„acuratețea specificată”);

WriteLn(S:14:11," = Valoarea aproximativă a funcției");

WriteLn(Cos(K*X):14:11," = Valoarea exactă a funcției");

WriteLn(Abs(Cos(K*X)-S):14:11," = Eroare absolută");

ScrieLn(Abs((Cos(K*X)-S)/Cos(K*X)):14:11,

" = eroare relativă");

Concepte de bază și definiții

Să fie dată o succesiune infinită de numere:

, … (1.1)

Anul trecut am definit o secvență de numere ca o funcție a unui argument natural. Aceasta înseamnă că fiecare membru al secvenței este o funcție a numărului său P: . În cele ce urmează, vom lua în considerare uneori P egal cu zero, deci secvența numerică va fi definită ca o funcție întreg argument (din cuvintele „întreg”).

Definiția 1. Expresie

(1.2)

numit linie numerică nesfârșită sau, pe scurt, aproape. Membrii secvenței ,… sunt numite membri ai unui număr; expresie cu index P- membru comun al seriei.

Este ușor să distingem o secvență de o serie: membrii șirului sunt scrisi despărțiți prin virgule, membrii seriei sunt legați prin semne plus.

Astfel, conceptul de serie este o generalizare a însumării în cazul unui număr infinit de termeni.

O serie este considerată dată dacă formula termenului său comun este cunoscută (dată). Termenul comun al seriei (1.2) coincide cu termenul comun al șirului (1.1) și este, de asemenea, o funcție a argumentului întreg n, adică . De exemplu, dacă un termen comun este dat ca

, (1.3)

apoi, introducând această formulă n= 1, 2, 3,..., se poate găsi orice membru al seriei, și astfel întreaga serie:

- membrii secvenței sau membrii seriei,

(1.4)

Rând de numere.

Definiție. Sumă n primii membri ai seriei se numesc n- Oh suma parțială a unei seriiși este notat cu simbolul:

Se poate scrie asa: .

În special,

Din toate sumele parțiale ale seriei (1.2) compunem o succesiune numerică:

(1.7)

Se numeste succesiune de sume parțiale. Ca orice succesiune de numere, poate avea o limită, adică converg sau nu au limită, adică diverge. Limita unei secvențe de sume parțiale, dacă există, se va nota cu litera S.

Definiție. Rândul este numit convergente(rând converge) dacă succesiunea sumelor parțiale ale acestei serii converge. În același timp, limita S secvențe de sume parțiale se numește suma acestei serii, adică

. (1.8)

Pentru o serie convergentă cu sumă S, putem scrie formal egalitatea:

Se numește o serie care nu are o sumă (1.8). divergente. În special, dacă , apoi spunem că seria diverge către , iar în acest caz folosim egalitatea simbolică

Cometariu. Din egalitatea (1.6) rezultă că orice membru al seriei poate fi reprezentat ca diferența dintre sumele parțiale și:

. (1.10)

Să reprezentăm geometric succesiunea sumelor parțiale. În Fig. 1.1, a și b, seria converge, în Fig. 1.1, c diverge.

Fig.1.1

Observația 3. Uneori, numărul unui membru al seriei începe de la zero: .

Exemple de serii de numere. Calcularea sumei unei serii

Exemplul 1º.

1 + 1 + 1 + . . . + 1 + . . .

Aici , .

Această serie diverge Þ 1 + 1 + 1 + . . . + 1 + . . .=+¥.

Exemplul 2º .

Ca de obicei, alternanța semnelor + și - este specificată folosind gradul (-1). Aici succesiunea sumelor parțiale are forma:

acestea. valoarea sumei parțiale depinde de paritatea numărului P:

Astfel, sumele parțiale par și impare tind la două limite diferite:

par la zero, impar la unu:

Fig.1.2

Prin urmare, succesiunea nu are limită, iar seria dată diverge.

Exemplul 3º .

1 + 2 + 3 + ... + n + ...

Aceasta este o progresie aritmetică cu o diferență. Amintiți-vă că denumirea de „aritmetică” provine de la faptul că fiecare termen al acestei progresii, începând cu al doilea, este egal cu medie aritmetică membri vecini:

În această progresie , iar succesiunea sumelor parțiale are forma:

Exemplul 6º.

Rezultatul va fi dat mai jos. Aici, numitorul sunt doar numere impare.

Exemplul 7º.

. Rezultatul va fi dat mai jos.

Exemplul 8º.

Rezultatul va fi dat mai jos. Suma seriei este egală cu numărul e- baza logaritmului natural.

Suma unei serii nu este întotdeauna ușor de calculat și chiar nu este întotdeauna posibilă. Prin urmare, în teoria seriilor, se rezolvă adesea o problemă mai simplă - a se afla dacă seria converge sau diverge. Se numeste studiul convergenţei seriei.

O secvență este o mulțime numerică foarte ordonată, formată conform unei legi date. Termenul „serie” denotă rezultatul adunării termenilor secvenței corespunzătoare. Pentru diverse secvențe numerice, putem găsi suma tuturor membrilor săi sau numărul total de elemente până la o limită dată.

Urmare

Acest termen se referă la un set dat de elemente ale spațiului numeric. Fiecărui obiect matematic îi este dată o anumită formulă pentru determinarea elementului comun al șirului, iar pentru majoritatea mulțimilor numerice finite există formule simple pentru determinarea sumei lor. Programul nostru este o colecție de 8 calculatoare online concepute pentru a calcula sumele celor mai populare seturi numerice. Să începem cu cel mai simplu - seria naturală, pe care o folosim în viața de zi cu zi pentru a număra obiecte.

secvență naturală

Când elevii învață numere, primul lucru pe care îl învață este să numere obiecte, cum ar fi merele. Numerele naturale apar în mod natural la numărarea obiectelor și fiecare copil știe că 2 mere sunt întotdeauna 2 mere, nici mai mult, nici mai puțin. Seria naturală este dată de o lege simplă care arată ca n. Formula spune că al n-lea membru al mulțimii de numere este egal cu n: primul este 1, al doilea este 2, patru sute cincizeci și unu este 451 și așa mai departe. Rezultatul însumării primelor n numere naturale, adică începând de la 1, este determinat de o formulă simplă:

∑ = 0,5n × (n+1).

Calculul sumei seriei naturale

Pentru calcule, va trebui să selectați formula seriei naturale n în meniul calculatorului și să introduceți numărul de termeni din succesiune. Să calculăm suma seriei naturale de la 1 la 15. Specificând n = 15, veți obține rezultatul sub forma secvenței în sine:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15

iar suma seriei naturale egală cu 120.

Este ușor să verificați corectitudinea calculelor folosind formula de mai sus. Pentru exemplul nostru, rezultatul adunării va fi 0,5 × 15 × 16 = 0,5 × 240 = 120. Așa este.

Secvență de pătrate

O secvență pătratică se formează dintr-una naturală prin pătrarea fiecărui termen. Un număr de pătrate este format conform legii n 2, prin urmare, al n-lea membru al secvenței va fi egal cu n 2: primul - 1, al doilea - 2 2 \u003d 4, al treilea - 3 2 \ u003d 9 și așa mai departe. Rezultatul însumării celor n elemente inițiale ale șirului pătratic se calculează conform legii:

∑ = (n × (n+1) × (2n+1)) / 6.

Cu această formulă, puteți calcula cu ușurință suma pătratelor de la 1 la n pentru n arbitrar mare. Este evident că această succesiune este, de asemenea, infinită și, pe măsură ce n crește, la fel va crește și valoarea totală a mulțimii numerice.

Calculul sumei unei serii pătrate

În acest caz, va trebui să selectați legea secvenței pătrate n 2 în meniul programului și apoi să selectați valoarea lui n. Să calculăm suma primilor zece termeni ai șirului (n=10). Programul va da secvența în sine:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100

precum și o sumă egală cu 385.

serie cubică

Un rând de cuburi este o succesiune de numere naturale în cuburi. Legea de formare a unui element comun al șirului se scrie ca n 3 . Astfel, primul membru al seriei este 1 3 = 1, al doilea este 2 3 = 8, al treilea este 3 3 = 27 și așa mai departe. Suma primelor n elemente ale seriei cubice este determinată de formula:

∑ = (0,5n × (n+1)) 2

Ca și în cazurile anterioare, elementele spațiului numeric tind spre infinit, iar cu cât numărul de termeni este mai mare, cu atât rezultatul însumării este mai mare.

Calculul sumei seriei cubice

Pentru a începe, selectați legea seriei cubice n 3 din meniul calculatorului și setați orice valoare pentru n. Să determinăm suma unei serii de 13 termeni. Calculatorul ne va da rezultatul sub forma unei secvențe:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197

și suma seriei corespunzătoare acestuia, egală cu 8281.

Succesiunea numerelor impare

Mulțimea numerelor naturale conține o submulțime de elemente impare, adică cele care nu sunt divizibile cu 2 fără rest. Secvența numerelor impare este determinată de expresia 2n - 1. Conform legii, primul termen al șirului va fi egal cu 2 × 1 - 1 = 1, al doilea - 2 × 2 - 1 = 3, al treilea - 2 × 3 - 1 = 5 și așa mai departe. Suma celor n elemente inițiale ale unui rând impar se calculează folosind o formulă simplă:

Luați în considerare un exemplu.

Calcularea sumei numerelor impare

Mai întâi, selectați legea de formare a seriei impare 2n−1 în meniul programului, apoi introduceți n. Să aflăm primii 12 termeni ai seriei impare și suma acesteia. Calculatorul va da instantaneu rezultatul ca un set de numere:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23,

precum și suma seriei impare, care este 144. Și într-adevăr, 12 2 = 144. Așa este.

Numerele dreptunghiulare

Numerele dreptunghiulare aparțin clasei numerelor ondulate, care sunt o clasă de elemente numerice necesare pentru a construi forme geometrice și corpuri. De exemplu, pentru a construi un triunghi ai nevoie de 3, 6 sau 10 puncte, un pătrat - 4, 9 sau 16 puncte, iar pentru a așeza un tetraedru ai nevoie de 4, 10 sau 20 de bile sau cuburi. Dreptunghiurile sunt ușor de construit folosind două numere consecutive, de exemplu, 1 și 2, 7 și 8, 56 și 57. Numerele dreptunghiulare sunt exprimate ca produs a două numere naturale consecutive. Formula pentru termenul comun al seriei arată ca n × (n+1). Primele zece elemente ale unui astfel de set numeric arată astfel:

2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110…

Odată cu o creștere a n, crește și valoarea numerelor dreptunghiulare, prin urmare, va crește și suma unei astfel de serii.

secvență inversă

Pentru numerele dreptunghiulare, există o succesiune inversă definită prin formula 1 / (n × (n+1)). Setul de numere este transformat într-un set de fracții și arată astfel:

1/2 , 1/6, 1/12, 1/20, 1/30, 1/42, 1/56, 1/72, 1/90, 1/110…

Suma unei serii de fracții este determinată de formula:

∑ = 1 - 1/(n+1).

Evident, pe măsură ce numărul de elemente din serie crește, valoarea fracției 1/(n + 1) tinde spre zero, iar rezultatul adunării se apropie de unu. Luați în considerare exemple.

Suma unei serii dreptunghiulare și inversul acesteia

Să calculăm valoarea unei secvențe dreptunghiulare pentru n = 20. Pentru a face acest lucru, selectați legea pentru specificarea membrului comun al mulțimii numerice n × (n + 1) în meniul calculatorului online și specificați n. Programul va returna rezultatul instantaneu ca 3080. Pentru a calcula seria inversă, modificați legea la 1 / (n × (n+1)). Suma elementelor numerice reciproce va fi egală cu 0,952.

Serii de produse de trei numere consecutive

Un set de numere dreptunghiulare poate fi modificat prin adăugarea unui alt multiplicator consecutiv. Prin urmare, formula de calcul al celui de-al n-lea membru al mulțimii va fi transformată în n × (n+1) × (n+2). Conform acestei formule, elementele unei serii sunt formate ca un produs de trei numere consecutive, de exemplu, 1 × 2 × 3 sau 10 × 11 × 12. Primele zece elemente ale unei astfel de serii arată astfel:

6, 24, 60, 120, 210, 336, 504, 720, 990, 1320

Acesta este o mulțime numerică în creștere rapidă, iar suma seriei corespunzătoare merge la infinit pe măsură ce n crește.

secvență inversă

Ca și în cazul precedent, putem inversa formula celui de-al n-lea termen și obținem expresia 1 / (n × (n+1) × (n+2)). Apoi setul de valori întregi va fi transformat într-o serie de fracții, al căror numitor va fi produsul a trei numere consecutive. Începutul unui astfel de set arată astfel:

1/6, 1/24, 1/60, 1/120, 1/210, 1/336…

Suma seriei corespunzătoare este determinată de formula:

∑ = 0,5 × (0,5 - 1 / (n+1) × (n+2)).

Evident, pe măsură ce numărul elementelor crește, fracția 1 / ((n + 1) × (n + 2)) tinde spre zero, iar suma seriei se apropie de valoarea 0,5 × 0,5 = 0,25. Luați în considerare exemple.

O serie de produse a trei numere consecutive și inversul acesteia

Pentru a lucra cu această mulțime, trebuie să alegeți legea pentru determinarea elementului comun n × (n + 1) × (n + 2) și să setați n, de exemplu, 100. Calculatorul vă va oferi și secvența în sine. ca valoare a rezultatului adunării a sute de numere, egală cu 26 527 650. Dacă alegem legea inversă 1 / (n × (n + 1) × (n + 2)), suma unei serii de 100 de termeni va fi egal cu 0,250.

Concluzie

Problema însumării unui set de termeni este rezolvată în teoria seriilor.

Unde u 1, u 2, u 3 …., u n ... sunt membri ai unei succesiuni numerice infinite, se numeste serii numerice.

Numerele u 1, u 2, u 3 …., u n ... sunt numite membri ai unui număr, A u n este termenul comun al seriei.

Suma unui număr finit n din primii termeni ai seriei se numește a n-a sumă parțială a seriei.

S n = u 1 + u 2 +… + u n

acestea. S 1 \u003d u 1; S2 = u 1 + u 2

S n = u 1 + u 2 +…+ u n

O serie se numește convergentă dacă există o limită finită a sumei parțiale S n pentru n, adică

Număr S se numește suma seriei.

In caz contrar:

Atunci seria se numește divergentă.

Liniile de referință.

1. Seria geometrică (progresiune geometrică)

Exemplu.

2. Seria armonică.

3. Serii armonice generalizate.

Exemplu.

Semne de convergență a seriei semn-pozitive

Teorema 1. Un criteriu necesar pentru convergenţă.

Cu această caracteristică, puteți seta divergența seriei.

Exemplu.

Semne suficiente

Teorema 1. Semnul comparației de serie.

Să fie date două serii pozitive:

Mai mult, dacă seria (2) converge, atunci și seria (1) converge.

Dacă seria (1) diverge, atunci și seria (2) diverge.

Exemplu. Examinați seria pentru convergență:

Comparați această serie cu seria geometrică:

Prin urmare, prin comparație, seria dorită converge.

Teorema 2. testul d'Alembert.

Exemplu. Examinați seria pentru convergență:

conform testului d'Alembert, seria converge.

Teorema 3. Testul radical al lui Cauchy.

3) pentru , chestiunea convergenței rămâne deschisă.

Exemplu: examinați convergența seriei numerice:

Decizie:

Prin urmare, seria converge în sensul lui Cauchy.

Teorema 4. Testul integral al lui Cauchy.

Lăsați membrii seriei

sunt pozitive și nu cresc, adică și sunt valorile unei funcții continue necrescătoare f(X) la X= 1, 2, …, n.

Atunci pentru convergența seriei este necesar și suficient ca integrala improprie să converge:

Exemplu.

Decizie:

Prin urmare, seria diverge deoarece integrala improprie diverge.

Rânduri variabile. Conceptul de convergență absolută și condiționată a unei serii alternative.

Rândul este numit alternativ, dacă oricare dintre termenii săi poate fi atât pozitiv, cât și negativ.

Luați în considerare alternarea serii:

Teorema 1. Testul Leibniz (testul suficient).

Dacă o serie alternativă

termenii scad în valoare absolută, adică

atunci seria converge si suma ei nu depaseste primul termen, i.e. S ≤ .

Exemplu.

Decizie:

Aplicam semnul Leibniz:

Prin urmare, seria converge în sensul lui Leibniz.

Teorema 2. Criteriu suficient pentru convergența unei serii alternative.

Dacă pentru o serie alternativă converge o serie compusă din valorile absolute ale membrilor săi, atunci această serie alternativă converge.

Exemplu: examinați seria pentru convergență:

Decizie:

din valorile absolute ale termenilor seriei originale converge ca o serie armonică generalizată la .

Prin urmare, seria originală converge.

Acest semn este suficient, dar nu necesar, adică există serii alternative care converg, deși serii compuse din valori absolute diverg.

Definiția 1. absolut convergente, dacă o serie compusă din valorile absolute ale termenilor săi converge.

Definiția 2. Seria alternantă se numește convergent condiționat, dacă seria în sine converge, dar seria compusă din valorile absolute ale membrilor săi diverge.

Diferența dintre ele este că o serie absolut convergentă converge datorită faptului că termenii săi scad rapid, iar o serie convergentă condiționat converge datorită faptului că termenii pozitivi și negativi se anihilează reciproc.

Exemplu.

Decizie:

Aplicam semnul Leibniz:

Prin urmare, seria converge în sensul lui Leibniz. Dar o serie compusă din valorile absolute ale membrilor săi diverge ca armonică.

Deci seria originală converge condiționat.

Deoarece este departe de a fi întotdeauna posibil să se calculeze valoarea exactă a sumei unei serii (am luat în considerare astfel de probleme), se pune problema calculării aproximative a sumei unei serii cu o precizie dată.

Amintiți-vă că al-lea rest al seriei obtinut din seria originala aruncând primul termeni:

Apoi, din moment ce pentru o serie convergentă
,

restul unei serii convergente este egal cu diferența dintre suma seriei și acea sumă parțială:

și pentru suficient de mare avem o egalitate aproximativă

Din definiția restului seriei, rezultă că eroarea absolută la înlocuirea valorii exacte necunoscute a sumei suma sa parțială egal cu modulul restului seriei:

Astfel, dacă doriți să calculați suma unei serii cu o precizie dată , atunci trebuie să lăsați suma unui astfel de număr termeni astfel încât următoarea inegalitate să fie valabilă pentru restul aruncat al seriei:

Metoda de calcul aproximativă a sumei se alege în funcție de tipul de serie:

dacă seria este pozitivă și poate fi examinată pentru convergență printr-un criteriu integral (îndeplinește condițiile teoremei corespunzătoare), atunci pentru a estima suma, folosim formula

;

dacă aceasta este o serie Leibniz, atunci aplicăm estimarea:

În alte probleme, puteți folosi formula pentru suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare.

Sarcina numărul 1. Câți termeni ai seriei ar trebui luate
pentru a obține suma cu o precizie de 0,01.

Decizie.În primul rând, observăm că această serie converge. Considera -al-lea rest al seriei, care este eroarea în calcularea sumei seriei:

Să estimăm această serie folosind o progresie geometrică infinit descrescătoare. Pentru a face acest lucru, înlocuim factorul în fiecare termen pe , în timp ce fiecare termen va crește:

După ce a scos factorul comun din paranteză, paranteza a lăsat o serie compusă din membrii unei progresii geometrice infinit descrescătoare, suma căreia am calculat-o prin formula

Precizia specificată va fi atinsă dacă va satisface condiția

Rezolvăm inegalitatea, ținând cont de asta - întreg.

La
noi avem

Datorită monotonității funcției
, inegalitatea
se va face pentru toată lumea
.

Prin urmare, dacă în loc de valoarea exactă a sumei luăm primii cinci (sau mai mulți) termeni, atunci eroarea de calcul nu va depăși 0,01.

Răspuns:
.

Sarcina numărul 2. Estimați eroarea obținută la înlocuirea sumei seriei
suma primilor 100 de termeni.

Decizie. Rețineți că această serie este convergentă și alternativă în semn. Vom evalua seria
, format din modulele seriei originale, ceea ce mărește imediat eroarea de calcul. În plus, va trebui să trecem (folosind un test de comparație) la o serie convergentă mai mare și mai simplă:

Luați în considerare serialul . Deoarece această serie îndeplinește condițiile teoremei - criteriul integral al convergenței, atunci pentru a estima eroarea în calcularea sumei, folosim formula corespunzătoare:

Calculăm integrala improprie:

eroarea de calcul poate fi estimată prin formula

după condiție
, apoi.

Răspuns:
.

Sarcina numărul 3. Estimați eroarea obținută la înlocuirea sumei seriei
suma primilor 10 termeni.

Decizie. Subliniem încă o dată că problema calculului aproximativ al sumei are sens doar pentru o serie convergentă, de aceea, în primul rând, observăm că această serie converge. Deoarece seria studiată este alternantă de semne cu o regulă complexă de schimbare a semnelor, este necesar să se evalueze, ca în exemplul anterior, o serie de module din această serie: