Unele probleme de matematică necesită abilitatea de a calcula valoarea rădăcinii pătrate. Aceste probleme includ rezolvarea ecuațiilor de ordinul doi. În acest articol, vă prezentăm o metodă eficientă pentru calcularea rădăcinilor pătrate și o folosim atunci când lucrați cu formule pentru rădăcinile unei ecuații pătratice.
Ce este o rădăcină pătrată?
În matematică, acest concept corespunde simbolului √. Datele istorice spun că a început să fie folosit pentru prima dată în jurul primei jumătate a secolului al XVI-lea în Germania (prima lucrare germană despre algebră a lui Christoph Rudolf). Oamenii de știință cred că acest simbol este o literă latină transformată r (radix înseamnă „rădăcină” în latină).
Rădăcina oricărui număr este egală cu o astfel de valoare, al cărei pătrat corespunde expresiei rădăcinii. În limbajul matematicii, această definiție va arăta astfel: √x = y dacă y 2 = x.
Rădăcina unui număr pozitiv (x > 0) este, de asemenea, un număr pozitiv (y > 0), dar dacă luați rădăcina unui număr negativ (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.
Iată două exemple simple:
√9 = 3 deoarece 3 2 = 9; √(-9) = 3i deoarece i 2 = -1.
Formula iterativă a lui Heron pentru găsirea valorilor rădăcinilor pătrate
Exemplele de mai sus sunt foarte simple, iar calculul rădăcinilor din ele nu este dificil. Dificultățile încep să apară deja la găsirea valorilor rădăcinii pentru orice valoare care nu poate fi reprezentată ca pătrat al unui număr natural, de exemplu √10, √11, √12, √13, ca să nu mai vorbim de faptul că în practică este necesar să găsim rădăcini pentru numere non-întregi: de exemplu √(12.15), √(8.5) și așa mai departe.
În toate cazurile de mai sus, trebuie utilizată o metodă specială pentru calcularea rădăcinii pătrate. În prezent, sunt cunoscute mai multe astfel de metode: de exemplu, extinderea într-o serie Taylor, împărțirea pe o coloană și unele altele. Dintre toate metodele cunoscute, poate cea mai simplă și eficientă este utilizarea formulei iterative a lui Heron, care este cunoscută și ca metoda babiloniană pentru determinarea rădăcinilor pătrate (există dovezi că vechii babilonieni au folosit-o în calculele lor practice).
Să fie necesar să se determine valoarea lui √x. Formula pentru găsirea rădăcinii pătrate este următoarea:
a n+1 = 1/2(a n +x/a n), unde lim n->∞ (a n) => x.
Să descifrăm această notație matematică. Pentru a calcula √x, ar trebui să luați un număr a 0 (poate fi arbitrar, totuși, pentru a obține rapid rezultatul, ar trebui să îl alegeți astfel încât (a 0) 2 să fie cât mai aproape posibil de x. Apoi înlocuiți-l în formula indicată pentru calcularea rădăcinii pătrate și obțineți un nou număr a 1, care va fi deja mai aproape de valoarea dorită. După aceea, este necesar să înlocuiți un 1 în expresie și să obțineți un 2. Această procedură trebuie repetată până când se obtine precizia ceruta.
Un exemplu de aplicare a formulei iterative a lui Heron
Pentru mulți, algoritmul de obținere a rădăcinii pătrate a unui număr dat poate suna destul de complicat și confuz, dar în realitate totul se dovedește a fi mult mai simplu, deoarece această formulă converge foarte repede (mai ales dacă se alege un număr bun un 0).
Să dăm un exemplu simplu: este necesar să se calculeze √11. Alegem un 0 \u003d 3, deoarece 3 2 \u003d 9, care este mai aproape de 11 decât de 4 2 \u003d 16. Înlocuind în formulă, obținem:
a 1 \u003d 1/2 (3 + 11/3) \u003d 3,333333;
a 2 \u003d 1/2 (3,33333 + 11 / 3,33333) \u003d 3,316668;
a 3 \u003d 1/2 (3,316668 + 11 / 3,316668) \u003d 3,31662.
Nu are rost să continuăm calculele, deoarece am constatat că un 2 și un 3 încep să difere doar la a 5-a zecimală. Astfel, a fost suficient să aplicați formula doar de 2 ori pentru a calcula √11 cu o precizie de 0,0001.
În prezent, calculatoarele și calculatoarele sunt utilizate pe scară largă pentru a calcula rădăcinile, cu toate acestea, este util să rețineți formula marcată pentru a putea calcula manual valoarea exactă a acestora.
Ecuații de ordinul doi
Înțelegerea ce este o rădăcină pătrată și capacitatea de a o calcula este folosită atunci când rezolvați ecuații pătratice. Aceste ecuații sunt egalități cu o necunoscută, a căror formă generală este prezentată în figura de mai jos.
Aici c, b și a sunt niște numere, iar a nu trebuie să fie egal cu zero, iar valorile lui c și b pot fi complet arbitrare, inclusiv fiind egale cu zero.
Orice valoare a lui x care satisface egalitatea indicată în figură se numește rădăcinile sale (acest concept nu trebuie confundat cu rădăcina pătrată √). Deoarece ecuația luată în considerare are ordinul 2 (x 2), atunci nu pot exista mai multe rădăcini pentru ea decât două numere. Vom lua în considerare mai târziu în articol cum să găsim aceste rădăcini.
Găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice (formula)
Această metodă de rezolvare a tipului de egalități luate în considerare se mai numește și universală, sau metoda prin discriminant. Poate fi aplicat oricăror ecuații pătratice. Formula pentru discriminantul și rădăcinile ecuației pătratice este următoarea:
Din aceasta se poate observa că rădăcinile depind de valoarea fiecăruia dintre cei trei coeficienți ai ecuației. Mai mult, calculul lui x 1 diferă de calculul lui x 2 doar prin semnul din fața rădăcinii pătrate. Expresia radicală, care este egală cu b 2 - 4ac, nu este altceva decât discriminantul egalității considerate. Discriminantul din formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice joacă un rol important deoarece determină numărul și tipul soluțiilor. Deci, dacă este zero, atunci va exista o singură soluție, dacă este pozitivă, atunci ecuația are două rădăcini reale și, în sfârșit, un discriminant negativ duce la două rădăcini complexe x 1 și x 2.
Teorema lui Vieta sau unele proprietăți ale rădăcinilor ecuațiilor de ordinul doi
La sfârșitul secolului al XVI-lea, unul dintre fondatorii algebrei moderne, un francez, care studia ecuațiile de ordinul doi, a reușit să obțină proprietățile rădăcinilor sale. Din punct de vedere matematic, ele pot fi scrise astfel:
x 1 + x 2 = -b / a și x 1 * x 2 = c / a.
Ambele egalități pot fi obținute cu ușurință de către oricine; pentru aceasta, este necesar doar să se efectueze operațiile matematice corespunzătoare cu rădăcinile obținute printr-o formulă cu discriminant.
Combinația acestor două expresii poate fi numită pe bună dreptate a doua formulă a rădăcinilor unei ecuații pătratice, ceea ce face posibilă ghicirea soluțiilor acesteia fără a utiliza discriminantul. Aici trebuie remarcat faptul că, deși ambele expresii sunt întotdeauna valabile, este convenabil să le folosiți pentru a rezolva o ecuație doar dacă aceasta poate fi factorizată.
Sarcina de a consolida cunoștințele dobândite
Vom rezolva o problemă de matematică în care vom demonstra toate tehnicile discutate în articol. Condițiile problemei sunt următoarele: trebuie să găsiți două numere pentru care produsul este -13, iar suma este 4.
Această condiție amintește imediat de teorema lui Vieta, folosind formulele pentru suma rădăcinilor pătrate și produsul lor, scriem:
x 1 + x 2 \u003d -b / a \u003d 4;
x 1 * x 2 \u003d c / a \u003d -13.
Presupunând a = 1, atunci b = -4 și c = -13. Acești coeficienți ne permit să compunem o ecuație de ordinul doi:
x 2 - 4x - 13 = 0.
Folosim formula cu discriminantul, obținem următoarele rădăcini:
x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.
Adică, sarcina a fost redusă la găsirea numărului √68. Rețineți că 68 = 4 * 17, atunci, folosind proprietatea rădăcinii pătrate, obținem: √68 = 2√17.
Acum folosim formula rădăcină pătrată considerată: a 0 \u003d 4, atunci:
a 1 \u003d 1/2 (4 + 17/4) \u003d 4,125;
a 2 \u003d 1/2 (4,125 + 17 / 4,125) \u003d 4,1231.
Nu este nevoie să calculați un 3 deoarece valorile găsite diferă doar cu 0,02. Astfel, √68 = 8,246. Înlocuindu-l în formula pentru x 1,2, obținem:
x 1 \u003d (4 + 8,246) / 2 \u003d 6,123 și x 2 \u003d (4 - 8,246) / 2 \u003d -2,123.
După cum puteți vedea, suma numerelor găsite este într-adevăr egală cu 4, dar dacă găsiți produsul lor, atunci acesta va fi egal cu -12,999, ceea ce satisface condiția problemei cu o precizie de 0,001.
Sper că după ce ați studiat acest articol, veți învăța cum să găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice complete.
Cu ajutorul discriminantului se rezolvă doar ecuații pătratice complete; pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete se folosesc alte metode, pe care le veți găsi în articolul „Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete”.
Ce ecuații pătratice se numesc complete? aceasta ecuații de forma ax 2 + b x + c = 0, unde coeficienții a, b și c nu sunt egali cu zero. Deci, pentru a rezolva ecuația pătratică completă, trebuie să calculați discriminantul D.
D \u003d b 2 - 4ac.
În funcție de ce valoare are discriminantul, vom nota răspunsul.
Dacă discriminantul este un număr negativ (D< 0),то корней нет.
Dacă discriminantul este zero, atunci x \u003d (-b) / 2a. Când discriminantul este un număr pozitiv (D > 0),
atunci x 1 = (-b - √D)/2a și x 2 = (-b + √D)/2a.
De exemplu. rezolva ecuatia x 2– 4x + 4= 0.
D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0
x = (- (-4))/2 = 2
Raspuns: 2.
Rezolvați ecuația 2 x 2 + x + 3 = 0.
D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23
Răspuns: fără rădăcini.
Rezolvați ecuația 2 x 2 + 5x - 7 = 0.
D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81
x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5
x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1
Răspuns: - 3,5; unu.
Deci, să ne imaginăm soluția ecuațiilor pătratice complete după schema din figura 1.
Aceste formule pot fi folosite pentru a rezolva orice ecuație pătratică completă. Trebuie doar să fii atent ecuația a fost scrisă ca un polinom de formă standard
A x 2 + bx + c, altfel poți face o greșeală. De exemplu, scriind ecuația x + 3 + 2x 2 = 0, puteți decide în mod eronat că
a = 1, b = 3 și c = 2. Atunci
D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 și atunci ecuația are două rădăcini. Și acest lucru nu este adevărat. (Vezi exemplul 2 soluția de mai sus).
Prin urmare, dacă ecuația nu este scrisă ca un polinom al formei standard, mai întâi trebuie scrisă ecuația pătratică completă ca un polinom al formei standard (în primul rând ar trebui să existe un monom cu cel mai mare exponent, adică A x 2 , apoi cu mai putin – bx, iar apoi termenul liber Cu.
La rezolvarea ecuației pătratice de mai sus și a ecuației pătratice cu un coeficient par pentru al doilea termen, pot fi folosite și alte formule. Să ne familiarizăm cu aceste formule. Dacă în ecuația pătratică completă cu al doilea termen coeficientul este par (b = 2k), atunci ecuația poate fi rezolvată folosind formulele prezentate în diagrama din figura 2.
O ecuație pătratică completă se numește redusă dacă coeficientul la x 2 este egal cu unitatea și ecuația ia forma x 2 + px + q = 0. O astfel de ecuație poate fi dată de rezolvat sau se obține prin împărțirea tuturor coeficienților ecuației la coeficient A stând la x 2 .
Figura 3 prezintă o diagramă a soluției pătratului redus 
ecuații. Luați în considerare exemplul aplicării formulelor discutate în acest articol.
Exemplu. rezolva ecuatia
3x 2 + 6x - 6 = 0.
Să rezolvăm această ecuație folosind formulele prezentate în figura 1.
D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108
√D = √108 = √(36 3) = 6√3
x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3
x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3
Răspuns: -1 - √3; –1 + √3
Puteți vedea că coeficientul de la x din această ecuație este un număr par, adică b \u003d 6 sau b \u003d 2k, de unde k \u003d 3. Apoi, să încercăm să rezolvăm ecuația folosind formulele prezentate în diagrama figură. D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27
√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3
x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3
x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3
Răspuns: -1 - √3; –1 + √3. Observând că toți coeficienții din această ecuație pătratică sunt divizibili cu 3 și împărțind, obținem ecuația pătratică redusă x 2 + 2x - 2 = 0 Rezolvăm această ecuație folosind formulele pentru ecuația pătratică redusă. 
ecuații figura 3.
D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12
√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3
x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3
x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3
Răspuns: -1 - √3; –1 + √3.
După cum puteți vedea, atunci când rezolvăm această ecuație folosind formule diferite, am primit același răspuns. Prin urmare, stăpânind bine formulele prezentate în diagrama din figura 1, puteți rezolva oricând orice ecuație pătratică completă.
site-ul, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.
Ecuație cuadratică sau o ecuație de gradul doi cu o necunoscută este o ecuație care, după transformări, poate fi redusă la următoarea formă:
topor 2 + bx + c = 0 - ecuație pătratică
Unde X este necunoscutul, și A, bși c- coeficienții ecuației. În ecuațiile pătratice A se numește primul coeficient ( A ≠ 0), b se numește al doilea coeficient și c este numit membru cunoscut sau liber.
Ecuația:
topor 2 + bx + c = 0
numit complet ecuație pătratică. Dacă unul dintre coeficienţi b sau c este zero, sau ambii acești coeficienți sunt egali cu zero, atunci ecuația este prezentată ca o ecuație pătratică incompletă.
Ecuație pătratică redusă
Ecuația pătratică completă poate fi redusă la o formă mai convenabilă prin împărțirea tuturor termenilor ei la A, adică pentru primul coeficient:
Ecuația X 2 + px + q= 0 se numește ecuație pătratică redusă. Prin urmare, orice ecuație pătratică în care primul coeficient este egal cu 1 poate fi numită redusă.
De exemplu, ecuația:
X 2 + 10X - 5 = 0
se reduce, iar ecuația:
3X 2 + 9X - 12 = 0
poate fi înlocuită cu ecuația de mai sus împărțind toți termenii săi la -3:
X 2 - 3X + 4 = 0
Rezolvarea ecuațiilor pătratice
Pentru a rezolva o ecuație pătratică, trebuie să o aduceți la una dintre următoarele forme:
topor 2 + bx + c = 0
topor 2 + 2kx + c = 0
X 2 + px + q = 0
Fiecare tip de ecuație are propria formulă pentru găsirea rădăcinilor:
Atenție la ecuație:
topor 2 + 2kx + c = 0
aceasta este ecuația convertită topor 2 + bx + c= 0, în care coeficientul b- chiar, ceea ce permite înlocuirea acestuia cu tipul 2 k. Prin urmare, formula pentru găsirea rădăcinilor acestei ecuații poate fi simplificată prin înlocuirea cu 2 kîn loc de b:
Exemplul 1 Rezolvați ecuația:
3X 2 + 7X + 2 = 0
Deoarece al doilea coeficient din ecuație nu este un număr par, iar primul coeficient nu este egal cu unu, vom căuta rădăcinile folosind chiar prima formulă, numită formula generală pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice. Primul
A = 3, b = 7, c = 2
Acum, pentru a găsi rădăcinile ecuației, pur și simplu înlocuim valorile coeficienților în formula:
| X 1 = | -2 | = - | 1 | , X 2 = | -12 | = -2 |
| 6 | 3 | 6 |
| Răspuns: - | 1 | , -2. |
| 3 |
Exemplul 2:
X 2 - 4X - 60 = 0
Să determinăm cu ce coeficienți sunt egali:
A = 1, b = -4, c = -60
Deoarece al doilea coeficient din ecuație este un număr par, vom folosi formula pentru ecuațiile pătratice cu un al doilea coeficient par:
X 1 = 2 + 8 = 10, X 2 = 2 - 8 = -6
Răspuns: 10, -6.
Exemplul 3
y 2 + 11y = y - 25
Să aducem ecuația într-o formă generală:
y 2 + 11y = y - 25
y 2 + 11y - y + 25 = 0
y 2 + 10y + 25 = 0
Să determinăm cu ce coeficienți sunt egali:
A = 1, p = 10, q = 25
Deoarece primul coeficient este egal cu 1, vom căuta rădăcinile folosind formula pentru ecuațiile de mai sus cu un al doilea coeficient par:
Răspuns: -5.
Exemplul 4
X 2 - 7X + 6 = 0
Să determinăm cu ce coeficienți sunt egali:
A = 1, p = -7, q = 6
Deoarece primul coeficient este egal cu 1, vom căuta rădăcinile folosind formula pentru ecuațiile date cu un al doilea coeficient impar:
X 1 = (7 + 5) : 2 = 6, X 2 = (7 - 5) : 2 = 1
Lecția video 2: Rezolvarea ecuațiilor pătratice
Lectura: Ecuații cuadratice
Ecuația
Ecuația- acesta este un fel de egalitate, în expresiile căreia există o variabilă.
rezolva ecuatia- înseamnă a găsi un astfel de număr în locul unei variabile care să-l conducă la egalitatea corectă.
O ecuație poate avea o soluție, mai multe sau deloc.
Pentru a rezolva orice ecuație, ar trebui simplificată pe cât posibil la forma:
Liniar: a*x = b;
Pătrat: a*x 2 + b*x + c = 0.
Adică, orice ecuație înainte de rezolvare trebuie convertită într-o formă standard.
Orice ecuație poate fi rezolvată în două moduri: analitic și grafic.
Pe grafic, soluția ecuației este considerată a fi punctele în care graficul intersectează axa x.
Ecuații cuadratice
O ecuație poate fi numită pătratică dacă, atunci când este simplificată, ia forma:
a*x 2 + b*x + c = 0.
în care a, b, c sunt coeficienți ai ecuației care diferă de zero. DAR "X"- rădăcina ecuației. Se crede că o ecuație pătratică are două rădăcini sau poate să nu aibă deloc o soluție. Rădăcinile rezultate pot fi aceleași.
"A"- coeficientul care stă în fața rădăcinii în pătrat.
"b"- stă înaintea necunoscutului în gradul I.
"Cu"- termenul liber al ecuaţiei.
Dacă, de exemplu, avem o ecuație de forma:
2x 2 -5x+3=0
În ea, „2” este coeficientul la cel mai înalt termen al ecuației, „-5” este al doilea coeficient și „3” este termenul liber.
Rezolvarea unei ecuații pătratice
Există multe moduri de a rezolva o ecuație pătratică. Totuși, la cursul școlar de matematică, soluția este studiată folosind teorema Vieta, precum și folosind discriminantul.
Soluție discriminantă:
Când rezolvați folosind această metodă, este necesar să calculați discriminantul folosind formula:
Dacă în timpul calculelor ați constatat că discriminantul este mai mic decât zero, aceasta înseamnă că această ecuație nu are soluții.
Dacă discriminantul este zero, atunci ecuația are două soluții identice. În acest caz, polinomul poate fi restrâns conform formulei de înmulțire prescurtată în pătratul sumei sau al diferenței. Apoi rezolvați-o ca pe o ecuație liniară. Sau folosiți formula:
Dacă discriminantul este mai mare decât zero, atunci trebuie utilizată următoarea metodă:
teorema lui Vieta
Dacă ecuația este redusă, adică coeficientul la cel mai mare termen este egal cu unu, atunci puteți utiliza teorema lui Vieta.
Deci, să presupunem că ecuația este:
Rădăcinile ecuației se găsesc după cum urmează:
Ecuație pătratică incompletă
Există mai multe opțiuni pentru obținerea unei ecuații pătratice incomplete, a cărei formă depinde de prezența coeficienților.
1. Dacă al doilea și al treilea coeficienți sunt egali cu zero (b=0, c=0), atunci ecuația pătratică va arăta astfel:
Această ecuație va avea o soluție unică. Egalitatea va fi adevărată numai dacă soluția ecuației este zero.