Esența matricei

Definiția 1

O matrice este un tabel dreptunghiular care conține numere și are un anumit număr de rânduri ($m$) și coloane ($n$). Rândurile matricei sunt elementele de pe aceeași linie care merge de la stânga la dreapta, iar coloanele sunt elementele de pe aceeași linie care merge de sus în jos.

Numerele m și n determină ordinea (dimensiunea) matricei.

Un analog al unei matrice este un tabel bidimensional obișnuit.

Operații de bază pe matrice

Este posibil să efectuați următoarele acțiuni de bază pe matrice:

Adăugarea matricei;
Înmulțirea unei matrice cu un număr;
Înmulțirea matricelor între ele (aplicabil dacă matricele sunt consistente între ele - adică matricea $A$ trebuie să aibă numărul de coloane egal cu numărul de rânduri din matricea $B$);
Transpunerea matricei; *Înmulțirea matricei prin vector coloană sau rând;
Calculul determinantului matriceal.

De regulă, o matrice de ordinul $m\xn$ se scrie după cum urmează:

$\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (...) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_( 22) ) & (...) & (a_(2n) ) \\ (...) & (...) & (...) & (...) \\ (a_(m1) ) & (a_(m2) ) & (...) & (a_(mn) ) \end(array)\right)$ sau $\left(a_(ij) \right)$ unde $i=1... m ,j=1..n$.

Mai rar, liniile verticale duble sunt folosite în loc de paranteze pentru a scrie o matrice, de exemplu, $\left\| a_(ij)\dreapta\| $, unde $i=1...m,j=1..n$.

Observație 1

Numerele $a_(ij)$ din intrarea matricei sunt numite elemente de matrice, unde $i$ este numărul rândului, $j$ este numărul coloanei.

Pentru a desemna o matrice, se folosesc adesea majuscule ale alfabetului latin: $A, B, C$ etc.

Exemplul 1

Dată o matrice $A=\left(\begin(array)(cc) (1) & (3) \\ (6) & (-2) \end(array)\right)$

Stabiliți ce dimensiune are matricea și scrieți elementele matricei cu numerele lor.

Decizie:

Ordinea matricei $A$: $2\x ori 2$.

Elementele matricei A: $a_(11) =1,a_(12) =3,a_(21) =6,a_(22) =-2$.

Există mai multe tipuri de matrice:

Pătrat și dreptunghiular;
Vector rând și vector coloană;
Scalar;
Diagonală;
Singur și zero;
Triunghiular.

Matrice pătrată de ordin $n$ este o matrice cu dimensiunea $n\x n$, i.e. numărul de rânduri și coloane este același, adică numărul de elemente din rânduri și coloane este egal.

Matrice dreptunghiulară se numeste matrice de dimensiune $m\times n$, i.e. numărul de rânduri și coloane nu este același.

Vector rând este o matrice care constă dintr-un singur rând de elemente, adică dimensiunea matricei este $1\n$.

Vector coloană este o matrice care constă dintr-o singură coloană, adică dimensiunea matricei este $m\xtime 1$.

scalar se numește matrice care conține un singur element, adică. dimensiunea matricei este $1\time 1$.

Exemplul 2

Date matrice:

$A=\left(\begin(array)(ccc) (3) & (1) & (19) \\ (-3) & (2) & (1) \\ (1) & (4) & ( 3) \end(array)\right), B=\left(\begin(array)(ccc) (3) & (-4) & (3) \\ (0) & (5) & (-4) \end(matrice)\right),$ $C=\left(\begin(array)(c) (1) \\ (-4) \\ (5) \end (matrice)\right), D=\ stânga(\begin(array)(cccc) (-2) & (-3) & (0) & (9) \end(array)\right), F=\left(1\right).$

Decizie:

$A=\left(\begin(array)(ccc) (3) & (1) & (19) \\ (-3) & (2) & (1) \\ (1) & (4) & ( 3) \end(array)\right)$ - matrice pătrată;

$B=\left(\begin(array)(ccc) (3) & (-4) & (3) \\ (0) & (5) & (-4) \end(array)\right)$ - matrice dreptunghiulară;

$C=\left(\begin(array)(c) (1) \\ (-4) \\ (5) \end(array)\right)$ - vector coloană; $D=\left(\begin(array)(cccc) (-2) & (-3) & (0) & (9) \end(array)\right)$ - vector rând;

$F=\left(1\right)$ este un scalar.

matrice pătrată are o diagonală principală și secundară și:

Elementele diagonalei principale sunt situate pe o linie care este îndreptată din colțul din stânga sus al matricei (element $a_(11) $) către colțul din dreapta jos al matricei (element $a_(nn) $);
Elementele diagonalei secundare sunt situate pe o linie care este îndreptată din colțul din dreapta sus al matricei (element $a_(1n) $) către colțul din stânga jos al matricei (element $a_(n1) $).

Matricea diagonală este o matrice pătrată în care toate elementele din afara diagonalei principale sunt egale cu zero.

Matrice de identitate este o matrice diagonală în care toate elementele de pe diagonala principală sunt egale cu unul, o astfel de matrice putând fi folosită pentru transpunere. Notația pentru matricea de identitate este $E$.

Matrice zero este o matrice cu toate elementele egale cu zero.

matrice triunghiulară este o matrice pătrată ale cărei elemente sub sau deasupra diagonalei principale sunt egale cu zero.

Observația 2

Există matrici triunghiulare superioare și matrici triunghiulare inferioare. În primul caz, elementele zero sunt sub diagonala principală, în al doilea caz sunt deasupra diagonalei principale.

Exemplul 3

Date matrice:

$A=\left(\begin(array)(ccc) (3) & (0) & (0) \\ (0) & (2) & (0) \\ (0) & (0) & (3) ) \end(array)\right), B=\left(\begin(array)(ccc) (3) & (0) & (0) \\ (-2) & (2) & (0) \\ (1) & (4) & (3) \end(array)\right), C=\left(\begin(array)(ccc) (3) & (5) & (2) \\ (0) & (2) și (-1) \\ (0) și (0) și (3) \end(array)\right), E=\left(\begin(array)(ccc) (1) și (0) & (0) \\ (0) & (1) & (0) \\ (0) & (0) & (1) \end(array)\right), D=\left(\begin(array)( ccc) (0) și (0) și (0) \\ (0) și (0) și (0) \\ (0) și (0) și (0) \end(array)\right).$

Determinați tipul fiecărei matrice.

Decizie:

$A=\left(\begin(array)(ccc) (3) & (0) & (0) \\ (0) & (2) & (0) \\ (0) & (0) & (3) ) \end(array)\right)$ - matrice diagonală;

$B=\left(\begin(array)(ccc) (3) & (0) & (0) \\ (-2) & (2) & (0) \\ (1) & (4) & ( 3) \end(array)\right)$ - matrice triunghiulară inferioară;

$C=\left(\begin(array)(ccc) (3) & (5) & (2) \\ (0) & (2) & (-1) \\ (0) & (0) & ( 3) \end(array)\right)$ - matrice triunghiulară superioară;

$E=\left(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (0) \\ (0) & (1) & (0) \\ (0) & (0) & (1) ) \end(array)\right)$ - matrice de identitate;

$D=\left(\begin(array)(ccc) (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) ) \end(array)\right)$ - matrice zero.

În acest subiect, vom lua în considerare conceptul de matrice, precum și tipurile de matrice. Deoarece există o mulțime de termeni în acest subiect, voi adăuga rezumat pentru a facilita navigarea materialului.

Definirea unei matrice și a elementului ei. Notaţie.

Matrice este un tabel cu $m$ rânduri și $n$ coloane. Elementele unei matrice pot fi obiecte de natură complet diversă: numere, variabile sau, de exemplu, alte matrici. De exemplu, matricea $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ are 3 rânduri și 2 coloane; elementele sale sunt numere întregi. Matricea $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ conține 2 rânduri și 4 coloane.

Diferite moduri de a scrie matrice: show\hide

Matricea poate fi scrisă nu numai în paranteze rotunde, ci și în paranteze drepte pătrate sau duble. Mai jos este aceeași matrice în notație diferită:

$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right \Vert $$

Se numește produsul $m\n$ dimensiunea matricei. De exemplu, dacă matricea conține 5 rânduri și 3 coloane, atunci se vorbește despre o matrice $5\times 3$. Matricea $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ are dimensiunea $3 \times 2$.

Matricele sunt de obicei notate cu majuscule ale alfabetului latin: $A$, $B$, $C$ și așa mai departe. De exemplu, $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. Numerotarea liniilor merge de sus în jos; coloane - de la stânga la dreapta. De exemplu, primul rând al matricei $B$ conține elementele 5 și 3, iar a doua coloană conține elementele 3, -87, 0.

Elementele matricelor sunt de obicei notate cu litere mici. De exemplu, elementele matricei $A$ sunt notate cu $a_(ij)$. Indicele dublu $ij$ contine informatii despre pozitia elementului in matrice. Numărul $i$ este numărul rândului, iar numărul $j$ este numărul coloanei, la intersecția căreia se află elementul $a_(ij)$. De exemplu, la intersecția celui de-al doilea rând și a cincea coloană a matricei $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ element $ a_(25)= 59 USD:

În mod similar, la intersecția primului rând și a primei coloane, avem elementul $a_(11)=51$; la intersecția celui de-al treilea rând și a doua coloană - elementul $a_(32)=-15$ și așa mai departe. Rețineți că $a_(32)$ este citit ca „un trei doi”, dar nu „un treizeci și doi”.

Pentru denumirea prescurtată a matricei $A$, a cărei mărime este egală cu $m\times n$, se folosește notația $A_(m\times n)$. Următoarea notație este adesea folosită:

$$ A_(m\times(n))=(a_(ij)) $$

Aici $(a_(ij))$ indică desemnarea elementelor matricei $A$, adică. spune că elementele matricei $A$ se notează cu $a_(ij)$. În formă extinsă, matricea $A_(m\times n)=(a_(ij))$ poate fi scrisă după cum urmează:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$

Să introducem un alt termen - matrici egale.

Două matrice de aceeași dimensiune $A_(m\times n)=(a_(ij))$ și $B_(m\times n)=(b_(ij))$ sunt numite egal dacă elementele lor corespunzătoare sunt egale, i.e. $a_(ij)=b_(ij)$ pentru toți $i=\overline(1,m)$ și $j=\overline(1,n)$.

Explicație pentru intrarea $i=\overline(1,m)$: show\hide

Intrarea „$i=\overline(1,m)$” înseamnă că parametrul $i$ se modifică de la 1 la m. De exemplu, intrarea $i=\overline(1,5)$ spune că parametrul $i$ ia valorile 1, 2, 3, 4, 5.

Deci, pentru egalitatea matricelor sunt necesare două condiții: coincidența dimensiunilor și egalitatea elementelor corespunzătoare. De exemplu, matricea $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ nu este egală cu matricea $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ deoarece matricea $A$ este $3\xtime 2$ iar matricea $B$ este 2$\ori 2$. De asemenea, matricea $A$ nu este egală cu matricea $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end(array)\right) $ deoarece $a_( 21)\neq c_(21)$ (adică $0\neq 98$). Dar pentru matricea $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$, putem scrie în siguranță $A =F$ deoarece atât dimensiunile, cât și elementele corespunzătoare ale matricelor $A$ și $F$ coincid.

Exemplul #1

Determinați dimensiunea matricei $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \ 4 & 0 & -10 \\ \end(matrice) \right)$. Specificați cu ce sunt egale elementele $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$.

Această matrice conține 5 rânduri și 3 coloane, deci dimensiunea sa este $5\times 3$. Notația $A_(5\times 3)$ poate fi folosită și pentru această matrice.

Elementul $a_(12)$ se află la intersecția primului rând și a celei de-a doua coloane, deci $a_(12)=-2$. Elementul $a_(33)$ se află la intersecția celui de-al treilea rând și a treia coloană, deci $a_(33)=23$. Elementul $a_(43)$ se află la intersecția celui de-al patrulea rând și a treia coloană, deci $a_(43)=-5$.

Răspuns: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

Tipuri de matrice în funcție de mărimea acestora. Diagonalele principale și laterale. Urmă matriceală.

Să fie dată o matrice $A_(m\n)$. Dacă $m=1$ (matricea constă dintr-un rând), atunci se numește matricea dată matrice-rând. Dacă $n=1$ (matricea constă dintr-o coloană), atunci se numește o astfel de matrice matricea coloanei. De exemplu, $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ este o matrice de rânduri, iar $\left(\begin(array) ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ - matricea coloanei.

Dacă condiția $m\neq n$ este adevărată pentru matricea $A_(m\times n)$ (adică numărul de rânduri nu este egal cu numărul de coloane), atunci se spune adesea că $A$ este o matrice dreptunghiulară. De exemplu, matricea $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ are dimensiunea $2\times 4 $, acelea. conține 2 rânduri și 4 coloane. Deoarece numărul de rânduri nu este egal cu numărul de coloane, această matrice este dreptunghiulară.

Dacă condiția $m=n$ este adevărată pentru matricea $A_(m\times n)$ (adică numărul de rânduri este egal cu numărul de coloane), atunci $A$ se spune că este o matrice pătrată de comanda $n$. De exemplu, $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ este o matrice pătrată de ordinul doi; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ este o matrice pătrată de ordinul 3. LA vedere generala matricea pătrată $A_(n\times n)$ poate fi scrisă după cum urmează:

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$

Elementele $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ se spune că sunt pe diagonala principală matrice $A_(n\ori n)$. Aceste elemente sunt numite elementele diagonale principale(sau doar elemente diagonale). Elementele $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ sunt activate diagonală laterală (secundară).; ei sunt numiti, cunoscuti elemente diagonale secundare. De exemplu, pentru matricea $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( matrice) \right)$ avem:

Elementele $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ sunt principalele elemente diagonale; elementele $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ sunt elemente diagonale secundare.

Se numește suma elementelor diagonale principale urmată de o matriceși notat cu $\Tr A$ (sau $\Sp A$):

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

De exemplu, pentru matricea $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ avem:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

Conceptul de elemente diagonale este folosit și pentru matrici nepătrate. De exemplu, pentru matricea $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ elementele diagonale principale vor fi $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.

Tipuri de matrice în funcție de valorile elementelor lor.

Dacă toate elementele matricei $A_(m\times n)$ sunt egale cu zero, atunci o astfel de matrice se numește nulși este de obicei notat cu litera $O$. De exemplu, $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ sunt matrice zero.

Luați în considerare un rând diferit de zero al matricei $A$, adică. un șir care conține cel puțin un element diferit de zero. element conducător a unui șir diferit de zero, să-l numim primul (numărând de la stânga la dreapta) element diferit de zero. De exemplu, luați în considerare următoarea matrice:

$$W=\left(\begin(array)(cccc) 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 12\\ 0 & -9 & 5 & 9 \end(array)\right)$ $

În a doua linie, al patrulea element va fi lider, adică. $w_(24)=12$, iar în a treia linie elementul conducător va fi al doilea element, adică. $w_(32)=-9$.

Matricea $A_(m\times n)=\left(a_(ij)\right)$ se numește călcat daca indeplineste doua conditii:

Rândurile nule, dacă există, sunt situate sub toate rândurile non-nule.
Numerele elementelor conducătoare ale șirurilor diferite de zero formează o secvență strict crescătoare, adică dacă $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ sunt elemente principale ale rândurilor nenule ale matricei $A$, atunci $k_1\lt(k_2)\lt\ldots\ lt(k_r)$.

Exemple de matrice de etape:

$$ \left(\begin(array)(cccccc) 0 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right);\; \left(\begin(array)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -10 \end(array)\right). $$

Pentru comparație: matricea $Q=\left(\begin(array)(ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & 0 & 0 & 7 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6\end(array)\right)$ nu este o matrice de pas, deoarece a doua condiție din definiția unei matrice de pas este încălcată. Elementele de conducere din rândurile a doua și a treia $q_(24)=7$ și $q_(32)=10$ sunt numerotate $k_2=4$ și $k_3=2$. Pentru o matrice de pas, trebuie îndeplinită condiția $k_2\lt(k_3)$, care este încălcată în acest caz. Observ că dacă schimbăm al doilea și al treilea rând, obținem o matrice în trepte: $\left(\begin(array)(ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6 \\0 & 0 & 0 & 7 & 9\end(matrice)\right)$.

Se numește matricea pașilor trapezoidal sau trapezoidal, dacă elementele conducătoare $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ îndeplinesc condițiile $k_1=1$, $k_2=2$,..., $k_r = r$, adică elementele diagonale conduc. În general, o matrice trapezoidală poate fi scrisă după cum urmează:

$$ A_(m\times(n)) =\left(\begin(array) (cccccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1r) & \ldots & a_(1n)\\ 0 & a_(22) & \ldots & a_(2r) & \ldots & a_(2n)\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & a_(rr) & \ldots & a_(rn)\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \end(array)\right) $$

Exemple de matrici trapezoidale:

$$ \left(\begin(array)(cccccc) 4 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & -2 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right);\; \left(\begin(array)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -3 & -10 \end(array)\right). $$

Să dăm mai multe definiții pentru matricele pătrate. Dacă toate elementele matrice pătrată situate sub diagonala principală sunt egale cu zero, atunci se numește o astfel de matrice matricea triunghiulară superioară. De exemplu, $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ - matrice triunghiulară superioară. Rețineți că definiția matricei triunghiulare superioare nu spune nimic despre valorile elementelor situate deasupra diagonalei principale sau a diagonalei principale. Ele pot fi sau nu zero, nu contează. De exemplu, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ este, de asemenea, o matrice triunghiulară superioară.

Dacă toate elementele unei matrice pătrate situate deasupra diagonalei principale sunt egale cu zero, atunci o astfel de matrice se numește matricea triunghiulară inferioară. De exemplu, $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - matrice triunghiulară inferioară. Rețineți că definiția unei matrici triunghiulare inferioare nu spune nimic despre valorile elementelor de dedesubt sau de pe diagonala principală. Ele pot fi sau nu nule, nu contează. De exemplu, $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ și $\left(\ begin (array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ sunt, de asemenea, matrici triunghiulare inferioare.

Matricea pătrată se numește diagonală dacă toate elementele acestei matrice care nu se află pe diagonala principală sunt egale cu zero. Exemplu: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ sfârşit(matrice)\dreapta)$. Elementele de pe diagonala principală pot fi orice (egale cu zero sau nu) - acest lucru nu este esențial.

Matricea diagonală se numește singur dacă toate elementele acestei matrice situate pe diagonala principală sunt egale cu 1. De exemplu, $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - matrice de identitate de ordinul 4; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ este matricea de identitate de ordinul doi.

Astăzi este într-adevăr prea ușor: poți merge până la un computer și, cu puține sau deloc cunoștințe despre ceea ce faci, poți crea prostii cu o viteză cu adevărat uluitoare. (J. Box)

Bazele matricei

În această secțiune, oferim informațiile de bază despre matricele necesare pentru înțelegerea statisticilor și analiza datelor.

matricea dimensiunilorm X n (citit m pe n) se numește tabel dreptunghiular de numere care conținem linii şi n coloane.

Numerele care alcătuiesc o matrice se numesc elemente de matrice.

Matricele sunt notate cu litere mari (majuscule) ale alfabetului latin, de exemplu, A, B, C,….

Elementele matricei sunt notate cu litere mici cu un index dublu, de exemplu: aij , Unde i - numărul liniei, j- numărul coloanei.

De exemplu, matricea:

În notație prescurtată, notăm A =( aij) ; i=1,2,...m ; j =1,2,…,n

Iată un exemplu de matrice 2 cu 2:

Vedeți că a 11 = 1, a 12 = 0, a 21 = 2, a 22 = 5

Alături de paranteze, sunt folosite și alte notații matriceale:

Se numesc două matrice A și B de aceeași dimensiune egal dacă se potrivesc element cu element, aij = b ij pentru orice i=1,2,...m ; j =1,2,...n

Tipuri de matrice

O matrice formată dintr-un rând se numește matrice (vector) - rând, iar dintr-o coloană - o matrice (vector) - coloană:

A =(a 11 ,a 12 ,…,a 1n) - matrice - rând

Matricea se numește pătrat n Ordinea a treia, dacă numărul rândurilor sale este egal cu numărul de coloane și este egal cu n.

De exemplu,

Elemente de matrice aij , al cărui număr de coloană egal cu numărul liniei formă diagonala principală matrici. Pentru o matrice pătrată, diagonala principală este formată din elemente a 11 , a 22 ,…, Ann.

Dacă toate intrările în afara diagonalei unei matrice pătrate sunt zero, atunci matricea este numită diagonală.

Operații cu matrice

Pe matrice, precum și pe numere, pot fi efectuate o serie de operații, dintre care unele sunt similare cu operațiile pe numere, iar unele sunt specifice.

1. Înmulțirea unei matrice cu un număr. Produsul matricei A cu un număr se numește matrice B=A, ale cărei elemente bij=aij pentru i=1,2,...m; j=1,2,...n

Consecință: Factorul comun al tuturor elementelor matricei poate fi scos din semnul matricei.

În special, produsul dintre matricea A și numărul 0 este o matrice zero.

2. Adunarea matricei. Suma a două matrice A și B de aceeași dimensiune m este matricea C \u003d A + B, ale cărei elemente c ij =a ij +b ij pentru i=1,2,...m; j=1,2,...n(adică matricele sunt adăugate element cu element).

3. Scăderea matricei. Diferența a două matrice de aceeași dimensiune se determină prin operațiile anterioare: A -B =A +(-1)∙B .

4. Înmulțirea matricei.Înmulțirea matricei A cu matricea B este definită atunci când numărul de coloane din prima matrice este egal cu numărul de rânduri din a doua. Atunci produsul matricelor A m ∙B k este o astfel de matrice C m , fiecare element al cărei cij este egal cu suma produselor elementelor din rândul i al matricei A cu elementele corespunzătoare ale j -a coloană a matricei B:

i=1,2,…,m; j=1,2,…,n

Multe proprietăți inerente operațiilor pe numere sunt valabile și pentru operațiunile pe matrice (ceea ce decurge din aceste operații):

A+B=B+A

(A+B)+C=A +(B+C)

λ (A+B)= λA + λB

A( B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ (AB)=( λA )B=A(λB )

A( BC)=(AB)C

Cu toate acestea, există și proprietăți specifice ale matricelor. Deci, operația de înmulțire a matricei are unele diferențe față de înmulțirea numerelor:

a) Dacă AB există, atunci după rearanjarea factorilor este posibil ca produsul matriceal BA să nu existe.

Acest subiect va acoperi operații precum adunarea și scăderea matricelor, înmulțirea unei matrice cu un număr, înmulțirea unei matrice cu o matrice, transpunerea matricei. Toate simbolurile folosite pe această pagină sunt preluate din subiectul anterior.

Adunarea și scăderea matricelor.

Suma $A+B$ a matricelor $A_(m\times n)=(a_(ij))$ și $B_(m\times n)=(b_(ij))$ este matricea $C_(m \times n) =(c_(ij))$, unde $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ pentru toate $i=\overline(1,m)$ și $j=\overline( 1,n) $.

O definiție similară este introdusă pentru diferența de matrice:

Diferența $A-B$ a matricelor $A_(m\times n)=(a_(ij))$ și $B_(m\times n)=(b_(ij))$ este matricea $C_(m\times n)=( c_(ij))$, unde $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ pentru toți $i=\overline(1,m)$ și $j=\overline(1, n)$.

Explicație pentru intrarea $i=\overline(1,m)$: show\hide

Intrarea „$i=\overline(1,m)$” înseamnă că parametrul $i$ se modifică de la 1 la m. De exemplu, intrarea $i=\overline(1,5)$ spune că parametrul $i$ ia valorile 1, 2, 3, 4, 5.

Este de remarcat faptul că operațiile de adunare și scădere sunt definite numai pentru matrice de aceeași dimensiune. În general, adunarea și scăderea matricelor sunt operații intuitiv clare, deoarece înseamnă, de fapt, doar însumarea sau scăderea elementelor corespunzătoare.

Exemplul #1

Sunt date trei matrice:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \right). $$

Este posibil să găsim matricea $A+F$? Găsiți matrice $C$ și $D$ dacă $C=A+B$ și $D=A-B$.

Matricea $A$ conține 2 rânduri și 3 coloane (cu alte cuvinte, dimensiunea matricei $A$ este $2\time 3$), iar matricea $F$ conține 2 rânduri și 2 coloane. Dimensiunile matricei $A$ și $F$ nu se potrivesc, așa că nu le putem adăuga, i.e. operația $A+F$ pentru aceste matrice nu este definită.

Dimensiunile matricelor $A$ și $B$ sunt aceleași, adică. datele matricei conțin cantitate egală rânduri și coloane, astfel încât operația de adăugare le este aplicabilă.

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array) ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right) $$

Găsiți matricea $D=A-B$:

$$ D=A-B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)-\left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end(array) \right) $$

Răspuns: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.

Înmulțirea unei matrice cu un număr.

Produsul matricei $A_(m\times n)=(a_(ij))$ și numărul $\alpha$ este matricea $B_(m\times n)=(b_(ij))$, unde $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ pentru toți $i=\overline(1,m)$ și $j=\overline(1,n)$.

Mai simplu spus, a înmulți o matrice cu un anumit număr înseamnă a înmulți fiecare element al matricei date cu acel număr.

Exemplul #2

Dată o matrice: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Găsiți matrice $3\cdot A$, $-5\cdot A$ și $-A$.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( matrice) (ccc) 3\cdot(-1) și 3\cdot(-2) și 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 și 3\cdot 9 și 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (matrice) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right). $$

Notația $-A$ este prescurtarea pentru $-1\cdot A$. Adică, pentru a găsi $-A$, trebuie să înmulțiți toate elementele matricei $A$ cu (-1). De fapt, aceasta înseamnă că semnul tuturor elementelor matricei $A$ se va schimba la opus:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ stânga(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$

Răspuns: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Produsul a două matrici.

Definiția acestei operațiuni este greoaie și, la prima vedere, de neînțeles. Prin urmare, voi sublinia mai întâi definiție generală, iar apoi vom analiza în detaliu ce înseamnă și cum să lucrăm cu el.

Produsul matricei $A_(m\times n)=(a_(ij))$ și matricea $B_(n\times k)=(b_(ij))$ este matricea $C_(m\times k )=(c_( ij))$ pentru care fiecare element $c_(ij)$ este egal cu suma produselor corespunzătoare elementele i-ale rânduri ale matricei $A$ de elementele coloanei j-a a matricei $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_(p=1)^(n)a_(ip)b_(pj ), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Pas cu pas, vom analiza multiplicarea matricelor folosind un exemplu. Cu toate acestea, ar trebui să acordați atenție imediat că nu toate matricele pot fi multiplicate. Dacă dorim să înmulțim matricea $A$ cu matricea $B$, atunci trebuie mai întâi să ne asigurăm că numărul de coloane ale matricei $A$ este egal cu numărul de rânduri ale matricei $B$ (astfel de matrice sunt adesea numite de acord). De exemplu, matricea $A_(5\times 4)$ (matricea conține 5 rânduri și 4 coloane) nu poate fi înmulțită cu matricea $F_(9\times 8)$ (9 rânduri și 8 coloane), deoarece numărul de coloane de matricea $A $ nu este egală cu numărul de rânduri ale matricei $F$, adică. $4\neq 9$. Dar este posibil să se înmulțească matricea $A_(5\times 4)$ cu matricea $B_(4\times 9)$, deoarece numărul de coloane al matricei $A$ este egal cu numărul de rânduri ale matricei $A$. matricea $B$. În acest caz, rezultatul înmulțirii matricelor $A_(5\times 4)$ și $B_(4\times 9)$ este matricea $C_(5\times 9)$, care conține 5 rânduri și 9 coloane:

Exemplul #3

Matrici date: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (matrice) \right)$ și $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 și 3 \\ 6 și 20 \\ 7 și 0 \\ 12 și -4 \end (matrice) \right) $. Găsiți matricea $C=A\cdot B$.

Pentru început, determinăm imediat dimensiunea matricei $C$. Deoarece matricea $A$ are dimensiunea $3\x 4$ și matricea $B$ are dimensiunea $4\x 2$, dimensiunea matricei $C$ este $3\x 2$:

Deci, ca rezultat al produsului dintre matricele $A$ și $B$, ar trebui să obținem matricea $C$, formată din trei rânduri și două coloane: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_(11) și c_( 12) \\ c_(21) și c_(22) \\ c_(31) și c_(32) \end(array) \right)$. Dacă desemnările elementelor ridică întrebări, atunci puteți privi subiectul anterior: „Matrici. Tipuri de matrice. Termeni de bază”, la începutul căruia este explicată desemnarea elementelor matriceale. Scopul nostru este să găsim valorile tuturor elementelor matricei $C$.

Să începem cu elementul $c_(11)$. Pentru a obține elementul $c_(11)$, trebuie să găsiți suma produselor elementelor din primul rând al matricei $A$ și prima coloană a matricei $B$:

Pentru a găsi elementul $c_(11)$ în sine, trebuie să înmulțiți elementele primului rând al matricei $A$ cu elementele corespunzătoare din prima coloană a matricei $B$, adică. primul element la primul, al doilea la al doilea, al treilea la al treilea, al patrulea la al patrulea. Rezumam rezultatele obtinute:

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

Să continuăm soluția și să găsim $c_(12)$. Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți elementele din primul rând al matricei $A$ și din a doua coloană a matricei $B$:

Similar cu precedenta, avem:

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

Se găsesc toate elementele primului rând al matricei $C$. Trecem la a doua linie, care începe cu elementul $c_(21)$. Pentru a-l găsi, trebuie să înmulțiți elementele celui de-al doilea rând al matricei $A$ și prima coloană a matricei $B$:

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

Următorul element $c_(22)$ se găsește prin înmulțirea elementelor celui de-al doilea rând al matricei $A$ cu elementele corespunzătoare din a doua coloană a matricei $B$:

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

Pentru a găsi $c_(31)$ înmulțim elementele celui de-al treilea rând al matricei $A$ cu elementele primei coloane a matricei $B$:

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

Și, în sfârșit, pentru a găsi elementul $c_(32)$, trebuie să înmulțiți elementele celui de-al treilea rând al matricei $A$ cu elementele corespunzătoare din a doua coloană a matricei $B$:

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

Toate elementele matricei $C$ sunt găsite, rămâne doar să notăm că $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) ) \dreapta)$ . Sau, pentru a o scrie integral:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$

Răspuns: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.

Apropo, adesea nu există niciun motiv pentru a descrie în detaliu locația fiecărui element al matricei rezultate. Pentru matrice, a căror dimensiune este mică, puteți face următoarele:

$$ \left(\begin(array) (cc) 6 & 3 \\ -17 & -2 \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 4 & 9 \\ - 6 și 90 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 6\cdot(4)+3\cdot(-6) și 6\cdot(9)+3\cdot(90) ) \\ -17\cdot(4)+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot(9)+(-2)\cdot(90) \end(array) \right) =\left (\begin(array) (cc) 6 și 324 \\ -56 și -333 \end(array) \right) $$

De asemenea, este de remarcat faptul că înmulțirea matricei este necomutativă. Aceasta înseamnă că în general $A\cdot B\neq B\cdot A$. Numai pentru unele tipuri de matrice, care sunt numite permutațional(sau naveta), egalitatea $A\cdot B=B\cdot A$ este adevărată. Pe baza necomutativității înmulțirii se cere să indice exact modul în care înmulțim expresia cu una sau alta matrice: în dreapta sau în stânga. De exemplu, expresia „înmulțiți ambele părți ale egalității $3E-F=Y$ cu matricea $A$ din dreapta” înseamnă că doriți să obțineți următoarea egalitate: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.

Transpusă față de matricea $A_(m\times n)=(a_(ij))$ este matricea $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, pentru elementele în care $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

Mai simplu spus, pentru a obține matricea transpusă $A^T$, trebuie să înlocuiți coloanele din matricea originală $A$ cu rândurile corespunzătoare după acest principiu: a existat primul rând - prima coloană va deveni; a existat un al doilea rând - a doua coloană va deveni; a existat un al treilea rând - va fi o a treia coloană și așa mai departe. De exemplu, să găsim matricea transpusă în matricea $A_(3\times 5)$:

În consecință, dacă matricea inițială a avut dimensiunea $3\times 5$, atunci matricea transpusă are dimensiunea $5\times 3$.

Unele proprietăți ale operațiilor pe matrice.

Se presupune aici că $\alpha$, $\beta$ sunt niște numere și $A$, $B$, $C$ sunt matrici. Pentru primele patru proprietăți am indicat numele, restul pot fi denumite prin analogie cu primele patru.

Definiția 1. Dimensiunea matricei Am n este un tabel dreptunghiular de m rânduri și n coloane, format din numere sau alte expresii matematice (numite elemente de matrice), i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

, sau

Definiția 2. Două matrice
și
se numesc aceeași dimensiune egal, dacă se potrivesc element cu element, i.e. =,i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

Cu ajutorul matricelor, este ușor să notăm unele dependențe economice, de exemplu, tabele de distribuție a resurselor pentru anumite sectoare ale economiei.

Definiția 3. Dacă numărul de rânduri ale matricei se potrivește cu numărul coloanelor sale, i.e. m = n, atunci se numește matricea ordine pătratăn, in caz contrar dreptunghiular.

Definiția 4. Trecerea de la o matrice A la o matrice A m, în care rândurile și coloanele sunt schimbate cu păstrarea ordinii, se numește transpunere matrici.

Tipuri de matrice: pătrat (dimensiunea 33) -
,

dreptunghiular (dimensiune 25) -
,

diagonala -
, singur -
, zero -
,

matrice-rând -
, matrice-coloană -.

Definiția 5. Elementele unei matrice pătrate de ordinul n cu aceiași indici se numesc elemente ale diagonalei principale, adică. acestea sunt elementele:
.

Definiția 6. Elementele unei matrice pătrate de ordinul n se numesc elemente diagonale secundare dacă suma indicilor lor este egală cu n + 1, adică. acestea sunt elementele: .

1.2. Operații pe matrice.

1 0 . sumă două matrice
și
de aceeași dimensiune se numește matrice С = (с ij), ale cărei elemente sunt determinate prin egalitate cu ij = a ij + b ij , (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2 ,3,…,n).

Proprietăți ale operației de adunare a matricei.

Pentru orice matricele A,B,C de aceeași mărime, sunt îndeplinite următoarele egalități:

1) A + B = B + A (comutativitate),

2) (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (asociativitate).

2 0 . muncă matrici
pe număr  numită matrice
aceeași dimensiune ca matricea A și b ij =  (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).

Proprietățile operației de înmulțire a unei matrice cu un număr.

(А) = ()А (asociativitatea înmulțirii);

(А+В) = А+В (distributivitatea înmulțirii față de adunarea matricei);

(+)A = A+A (distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea numerelor).

Definiția 7. Combinație liniară de matrici
și
de aceeași dimensiune se numește expresie de forma A + B, unde  și  sunt numere arbitrare.

3 0 . Produsul A  În matrice A și, respectiv, B de dimensiuni mn și nk, se numește matrice C de dimensiune mk, astfel încât elementul cu ij este egal cu suma produselor elementelor din rândul i. a matricei A și a j-a coloană a matricei B, adică. cu ij = a i 1 b 1 j +a i 2 b 2 j +…+a ik b kj .

Produsul AB există numai dacă numărul de coloane ale matricei A este același cu numărul de rânduri ale matricei B.

Proprietățile operației de înmulțire a matricei:

(АВ)С = А(ВС) (asociativitate);

(А+В)С = АС+ВС (distributivitatea în raport cu adunarea matricei);

А(В+С) = АВ+АС (distributivitatea în raport cu adunarea matricei);

АВ  ВА (nu comutativitate).

Definiția 8. Matricele A și B, pentru care AB = BA, se numesc comutație sau permutare.

Înmulțirea unei matrice pătrate de orice ordin cu matricea de identitate corespunzătoare nu schimbă matricea.

Definiția 9. Transformări elementare matricele se numesc urmatoarele operatii:

Schimbați două rânduri (coloane).

Înmulțiți fiecare element al unui rând (coloană) cu un număr diferit de zero.

Adăugarea elementelor unui rând (coloană) a elementelor corespunzătoare ale altui rând (coloană).

Definiția 10. Se numeste matricea B obtinuta din matricea A cu ajutorul transformarilor elementare echivalent(notat BA).

Exemplul 1.1. A găsi combinație liniară matricele 2A–3B, dacă

,
.

,
,

Exemplu 1.2. Găsiți produsul matricelor
, dacă

Soluție: deoarece numărul de coloane din prima matrice este același cu numărul de rânduri din a doua matrice, atunci produsul matricei există. Ca rezultat, obținem o nouă matrice
, Unde

Drept urmare, obținem
.

Curs 2. Determinanti. Calculul determinanților de ordinul doi, al treilea. Proprietăți calificativen-a comanda.