Unele proprietăți ale operațiilor pe matrice.
Expresii matriceale

Și acum va urma continuarea subiectului, în care vom lua în considerare nu numai material nou, dar vom lucra operații cu matrice.

Unele proprietăți ale operațiilor pe matrice

Există destul de multe proprietăți care se referă la operațiuni cu matrice, în aceeași Wikipedia puteți admira rândurile subțiri ale regulilor corespunzătoare. Cu toate acestea, în practică, multe proprietăți sunt într-un anumit sens „moarte”, deoarece doar unele dintre ele sunt folosite în cursul rezolvării problemelor reale. Scopul meu este să mă uit la aplicarea proprietăților cu exemple concrete, iar dacă aveți nevoie de o teorie riguroasă, vă rugăm să folosiți o altă sursă de informații.

Luați în considerare câteva excepții de la regulă necesare pentru îndeplinirea sarcinilor practice.

Dacă o matrice pătrată are matrice inversă, atunci înmulțirea lor este comutativă:

matrice de identitate se numește matrice pătrată cu diagonala principală unitățile sunt localizate, iar elementele rămase sunt egale cu zero. De exemplu: , etc.

în care următoarea proprietate este adevărată: dacă se înmulțește o matrice arbitrară stanga sau dreapta printr-o matrice de identitate de dimensiuni adecvate, atunci rezultatul este matricea originală:

După cum puteți vedea, aici are loc și comutativitatea înmulțirii matricei.

Să luăm o matrice, ei bine, să spunem matricea din problema anterioară: .

Cei interesați pot verifica și se pot asigura că:

Matricea de identitate pentru matrice este un analog al unității numerice pentru numere, ceea ce se vede în mod deosebit din exemplele luate în considerare.

Comutativitatea unui factor numeric în raport cu înmulțirea matriceală

Pentru matrice și numar real următoarea proprietate este adevărată:

Adică, factorul numeric poate (și ar trebui) să fie mutat înainte, astfel încât să „nu interfereze” cu matricele de înmulțire.

Notă : În general, formularea proprietății este incompletă - „lambda” poate fi plasată oriunde între matrice, chiar și la sfârșit. Regula rămâne valabilă dacă se înmulțesc trei sau mai multe matrice.

Exemplul 4

Calculați produsul

Soluţie:

(1) După proprietate mutați factorul numeric înainte. Matricele în sine nu pot fi rearanjate!

(2) - (3) Efectuați înmulțirea matricei.

(4) Aici puteți împărți fiecare număr 10, dar apoi printre elementele matricei va exista zecimale ceea ce nu este bine. Totuși, observăm că toate numerele din matrice sunt divizibile cu 5, așa că înmulțim fiecare element cu .

Răspuns:

O mică șaradă de rezolvat singur:

Exemplul 5

Calculați dacă

Soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

Ce tehnică este importantă în cursul rezolvării exemple similare? A face cu numerele ultimul .

Să atașăm un alt vagon la locomotivă:

Cum se înmulțesc trei matrici?

În primul rând, CARE ar trebui să fie rezultatul înmulțirii a trei matrici? O pisică nu va da naștere unui șoarece. Dacă înmulțirea matricei este fezabilă, atunci rezultatul va fi și o matrice. Ei bine, profesorul meu de algebră nu vede cum explic închiderea structurii algebrice în raport cu elementele sale =)

Produsul a trei matrici poate fi calculat în două moduri:

1) găsiți și apoi înmulțiți cu matricea „ce”: ;

2) fie mai întâi găsiți, apoi efectuați înmulțirea.

Rezultatele vor coincide în mod necesar, și în teorie această proprietate se numește asociativitatea înmulțirii matriceale:

Exemplul 6

Înmulțiți matrice în două moduri

Algoritm solutiiîn doi pași: găsiți produsul a două matrici, apoi găsiți din nou produsul a două matrici.

1) Folosiți formula

Acțiunea unu:

Acțiunea a doua:

2) Folosiți formula

Acțiunea unu:

Acțiunea a doua:

Răspuns:

Mai familiar și mai standard, desigur, este primul mod de a rezolva, acolo „ca și cum totul ar fi în ordine”. Apropo, despre comandă. În sarcina luată în considerare, apare adesea iluzia că vorbim despre un fel de permutare a matricelor. Ei nu sunt aici. Vă reamintesc din nou că în general NU ÎNLOCUIȚI MATRIXELE. Deci, în al doilea paragraf, la a doua etapă, efectuăm înmulțirea, dar în niciun caz. Cu numerele obișnuite, un astfel de număr ar trece, dar nu și cu matrice.

Proprietatea asociativității înmulțirii este valabilă nu numai pentru pătrat, ci și pentru matrici arbitrare - atâta timp cât acestea sunt înmulțite:

Exemplul 7

Aflați produsul a trei matrici

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. În soluția eșantion, calculele au fost efectuate în două moduri, analizați care este calea mai profitabilă și mai scurtă.

Proprietatea asociativității înmulțirii matricelor are loc pentru un număr mai mare de factori.

Acum este timpul să revenim la puterile matricelor. Pătratul matricei este luat în considerare chiar de la început și pe ordinea de zi se află întrebarea:

Cum se cubează o matrice și puteri mai mari?

Aceste operațiuni sunt, de asemenea, definite numai pentru matrici pătrate. Pentru a ridica o matrice pătrată la un cub, trebuie să calculați produsul:

De fapt, acesta este un caz special de înmulțire a trei matrici, conform proprietății de asociativitate a înmulțirii matricelor: . Și o matrice înmulțită cu ea însăși este pătratul matricei:

Astfel, obținem formula de lucru:

Adică, sarcina este efectuată în doi pași: mai întâi, matricea trebuie să fie pătrată, iar apoi matricea rezultată este înmulțită cu matricea.

Exemplul 8

Ridicați matricea la un cub.

Aceasta este o mică problemă de rezolvat singur.

Ridicarea unei matrice la a patra putere se realizează într-un mod natural:

Folosind asociativitatea înmulțirii matriceale, obținem două formule de lucru. În primul rând: este produsul a trei matrici.

unu) . Cu alte cuvinte, mai întâi găsim, apoi îl înmulțim cu „fi” - obținem un cub și, în cele din urmă, efectuăm din nou înmulțirea - va exista un al patrulea grad.

2) Dar există o soluție cu un pas mai scurtă: . Adică la primul pas găsim pătratul și, ocolind cubul, efectuăm înmulțirea

Sarcină suplimentară la Exemplul 8:

Ridicați matricea la a patra putere.

După cum am menționat, acest lucru se poate face în două moduri:

1) De îndată ce cubul este cunoscut, atunci efectuăm înmulțirea.

2) Totuși, dacă, în funcție de starea problemei, este necesară construirea unei matrice numai în gradul al patrulea, atunci este avantajos să scurtați calea - găsiți pătratul matricei și folosiți formula .

Ambele soluții și răspunsul sunt la sfârșitul lecției.

În mod similar, matricea este ridicată la a cincea sau mai mult grade înalte. Din experiența practică, pot spune că uneori există exemple de ridicare la gradul al patrulea, dar nu îmi amintesc deja ceva de gradul al cincilea. Dar pentru orice eventualitate, voi da algoritmul optim:

1) găsi;
2) găsi ;
3) ridicați matricea la puterea a cincea: .

Iată, poate, toate proprietățile principale ale operațiilor cu matrice care pot fi utile în probleme practice.

În a doua secțiune a lecției, nu se așteaptă o petrecere mai puțin colorată.

Expresii matriceale

Să repetăm ​​expresiile școlare obișnuite cu numere. O expresie numerică constă din numere, simboluri matematice și paranteze, de exemplu: . În calcule, prioritatea algebrică familiară este valabilă: în primul rând, the parantezele, apoi executat exponentiarea / extragerea radacinilor, Apoi înmulțire / împărțireși în cele din urmă - adunare/scădere.

Dacă o expresie numerică are sens, atunci rezultatul evaluării sale este un număr, de exemplu:

Expresii matriceale aproape exact la fel! Cu diferența că principalul actori apar matrici. Plus câteva operații specifice matricei, cum ar fi transpunerea și găsirea inversului unei matrice.

Luați în considerare expresia matriceală , unde sunt unele matrice. Această expresie matriceală are trei termeni și operațiile de adunare/scădere sunt efectuate ultimele.

În primul termen, mai întâi trebuie să transpuneți matricea „fi”: , apoi efectuați înmulțirea și adăugați „două” la matricea rezultată. Rețineți că operația de transpunere are prioritate mai mare decât operația de înmulțire. Parantezele, ca și în expresiile numerice, schimbă ordinea operațiilor: - aici, mai întâi, se efectuează înmulțirea, apoi matricea rezultată este transpusă și înmulțită cu 2.

În al doilea termen, înmulțirea matricei este efectuată mai întâi, iar matricea inversă este deja găsită din produs. Dacă parantezele sunt îndepărtate: , atunci mai întâi trebuie să găsiți matrice inversă, iar apoi înmulțiți matricele: . Găsirea matricei inverse are, de asemenea, prioritate față de înmulțire.

Cu al treilea termen, totul este evident: ridicăm matricea într-un cub și adăugăm „cinci” la matricea rezultată.

Dacă expresia matriceală are sens, atunci rezultatul evaluării sale este o matrice.

Toate sarcinile vor fi din real lucrări de control, și vom începe cu cel mai simplu:

Exemplul 9

Date matrice . A găsi:

Soluţie: ordinea operatiilor este evidenta, se face mai intai inmultirea, apoi adunarea.

Adăugarea nu este posibilă deoarece matricele au dimensiuni diferite.

Nu fi surprins, evident că acțiunile imposibile sunt adesea oferite în sarcini de acest tip.

Să încercăm să calculăm a doua expresie:

Totul este bine aici.

Răspuns: acțiunea nu poate fi efectuată, .

Matrici și determinanți

1.1 Matrici. Concepte.

Matrice de dimensiuni dreptunghiulare m X n se numeste totalitate mn numere dispuse într-un tabel dreptunghiular care conţine m linii şi n coloane. Vom scrie matricea ca

sau prescurtat ca A = (a ij) (i = ; j = ). Numerele a ij care alcătuiesc această matrice se numesc elementele ei; primul index indică numărul rândului, al doilea index către numărul coloanei. Două matrice A = (a ij) și B = (b ij) de aceeași dimensiune sunt numite egale dacă elementele lor din aceleași locuri sunt egale în perechi, adică A = B dacă a ij = b ij .

O matrice formată dintr-un rând sau o coloană se numește vector rând sau, respectiv, vector coloană. Vectorii coloană și vectorii rând sunt numiți pur și simplu vectori.

O matrice formată dintr-un număr este identificată cu acest număr. Matricea dimensiunilor m X n, ale căror toate elementele sunt egale cu zero, se numește matrice zero și se notează cu 0. Elementele matricei cu aceiași indici se numesc elemente ale diagonalei principale. Dacă numărul de rânduri al matricei este egal cu numărul de coloane, adică m = n, atunci matricea se numește pătrat de ordine n. Matricele pătrate, în care doar elementele diagonalei principale sunt nenule, se numesc matrici diagonale și se scriu după cum urmează:

Dacă toate elementele a ii ale matricei diagonale sunt egale cu 1, atunci matricea se numește matrice de identitate și se notează cu litera E:

O matrice pătrată se numește triunghiulară dacă toate elementele de deasupra (sau dedesubt) diagonalei principale sunt egale cu zero. O transpunere este o transformare a unei matrice în care rândurile și coloanele sunt schimbate, păstrându-și numărul. Transpunerea este indicată de un T în partea de sus.

Fie dată matricea (4.1). Schimbați rândurile cu coloanele. Obțineți matricea

care va fi transpus faţă de matricea A. În special, la transpunerea unui vector coloană se obţine un vector rând şi invers.

Operații de bază pe matrice.

Principalele operații aritmetice pe matrice sunt înmulțirea unei matrici cu un număr, adunarea și înmulțirea matricelor.

Să trecem la definirea operațiilor de bază pe matrice.

Adăugarea matricei : Suma a două matrice, de exemplu: A și B, având același număr de rânduri și coloane, cu alte cuvinte, de aceleași ordine m și n, este matricea С = (Сij) (i = 1, 2, ... m; j = 1, 2, …n) de aceleași ordine m și n, ale căror elemente Cij sunt egale.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) (1.2)

Notația C = A + B este folosită pentru a desemna suma a două matrici.Operația de alcătuire a sumei matricelor se numește adunarea lor.

Deci prin definiție avem:

Rezultă direct din definiția sumei matricelor, sau mai degrabă din formula (1.2), că operația de adunare a matricei are aceleași proprietăți ca și operația de adunare. numere reale, și anume:

1) proprietate comutativă: A + B = B + A

2) proprietate asociativă: (A + B) + C = A + (B + C)

Aceste proprietăți fac posibil să nu vă faceți griji cu privire la ordinea termenilor matricilor atunci când adăugați două sau Mai mult matrici.

Înmulțirea unei matrice cu un număr :

Produsul matricei A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) printr-un număr real este matricea C = (Cij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n), ale căror elemente sunt egale

Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). (1,3)

Pentru a desemna produsul unei matrice printr-un număr, se utilizează notația C \u003d A sau C \u003d A. Operația de compilare a produsului unei matrice cu un număr se numește înmulțirea unei matrice cu acest număr.

Din formula (1.3) rezultă clar că înmulțirea unei matrice cu un număr are următoarele proprietăți:

1) proprietatea distribuției în raport cu suma matricelor:

(A + B) = A + B

2) proprietate asociativă față de factorul numeric:

3) proprietatea distributivă în raport cu suma numerelor:

( + ) A = A + A.

Cometariu: Diferența a două matrice A și B de aceleași ordine, este firesc să se numească o astfel de matrice C de aceleași ordine, care, împreună cu matricea B, dă matricea A. Pentru a desemna diferența a două matrice se folosește notația naturală: C = A – B.

Înmulțirea matricei :

Produsul matricei A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n), care are ordine egale cu m, respectiv n, prin matricea B = (Bij ) (i = 1, 2 , …, n;

j = 1, 2, …, p), care are ordine egale cu n și, respectiv, p, se numește matricea C = (Сij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p), care are ordinele , respectiv egale cu m si p, si elementele Cij definite prin formula

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) (1,4)

Pentru a desemna produsul unei matrice A cu o matrice B, utilizați notația

C=AB. Operația de compilare a produsului matricei A cu matricea B se numește înmulțirea acestor matrici. Din definiția formulată mai sus rezultă că matricea A nu poate fi înmulțită cu nicio matrice B: este necesar ca numărul de coloane ale matricei A să fie egală numărul de rânduri ale matricei B. Pentru ca ambele produse AB și BA nu numai să fie definite, ci și să aibă aceeași ordine, este necesar și suficient ca ambele matrici A și B să fie matrici pătrate de același ordin.

Formula (1.4) este o regulă pentru compilarea elementelor matricei C,

care este produsul matricei A și matricei B. Această regulă poate fi formulată și verbal: Elementul Cij care stă pe i-a intersecție rândul și j-a coloană a matricei C = AB, este egală cu suma produselor pe perechi ale perechilor corespunzătoare elementele i-ale rânduri ale matricei A și j-a coloană a matricei B. Ca exemplu de aplicare a acestei reguli, vă prezentăm formula de înmulțire a matricelor pătrate de ordinul doi

Formula (1.4) implică următoarele proprietăți ale produsului dintre matricea A și matricea B:

1) proprietate asociativă: (AB) C = A (BC);

2) proprietate distributivă în raport cu suma matricelor:

(A + B) C = AC + BC sau A (B + C) = AB + AC.

Întrebarea proprietății de permutare a produsului de matrice are sens numai pentru matrici pătrate de același ordin. Exemplele elementare arată că produsele a două matrici pătrate de același ordin nu au, în general, proprietatea de permutare. Într-adevăr, dacă punem

A = , B = , apoi AB = , și BA =

Aceleași matrice, pentru produsul căruia proprietatea de permutare este adevărată, sunt de obicei numite navetă.

Dintre matricele pătrate, evidențiem o clasă de așa-numite matrici diagonale, fiecare dintre ele având elemente situate în afara diagonalei principale egale cu zero. Printre toate matricele diagonale cu intrări coincidente pe diagonala principală, în special rol important juca două matrice. Prima dintre aceste matrice se obține atunci când toate elementele diagonalei principale sunt egale cu unul, se numește matrice de identitate de ordinul al n-lea și se notează cu simbolul E . A doua matrice se obține cu toate elementele egale cu zero și se numește matrice zero de ordinul n-a și se notează cu simbolul O. Să presupunem că există o matrice arbitrară A, atunci

AE=EA=A, AO=OA=O.

Prima dintre formule caracterizează rolul deosebit al matricei identitare E, asemănător cu rolul jucat de numărul 1 la înmulțirea numerelor reale. În ceea ce privește rolul special al matricei zero O, acesta este relevat nu numai de a doua dintre formule, ci și de egalitatea elementar verificabilă: A + O = O + A = A. Conceptul de matrice zero poate fi și el introdus pentru matrici nepătrate.

Rangul matricei

Se consideră o matrice dreptunghiulară (4.1). Dacă selectăm în mod arbitrar k rânduri din această matrice și k coloane, apoi elementele de la intersecția rândurilor și coloanelor selectate formează o matrice pătrată k-a comanda. Determinantul acestei matrice se numește minor de ordinul k al matricei A. Evident, matricea A are minore de orice ordin de la 1 la cel mai mic dintre numere. mȘi n. Dintre toți minorii non-zero ai matricei A, există cel puțin un minor a cărui ordine este cea mai mare. Cel mai mare dintre ordinele diferite de zero ale minorilor unei matrice date se numește rangul matricei. Dacă rangul matricei A este r, atunci aceasta înseamnă că matricea A are un minor de ordin diferit de zero r, dar fiecare minor de ordin mai mare decât r este egal cu zero. Rangul unei matrice A este notat cu r(A). Este evident că relația

0 ≤ r(A) ≤ min(m,n).

Rangul unei matrice este găsit fie prin metoda marginilor minore, fie prin metodă transformări elementare. Când se calculează rangul unei matrice în primul mod, ar trebui să se treacă de la minori de ordin inferior la minori de mai mult. ordin înalt. Dacă un D minor diferit de zero de ordinul k al matricei A a fost deja găsit, atunci trebuie calculate numai minorele de ordinul (k + 1) care se învecinează cu minorul D, adică. conținând-o ca minor. Dacă toate sunt egale cu zero, atunci rangul matricei este k.

Următoarele transformări matriceale sunt numite elementare:

1) permutarea oricăror două rânduri (sau coloane),

2) înmulțirea unui rând (sau coloană) cu altceva decât număr zero,

3) adăugarea la un rând (sau coloană) a unui alt rând (sau coloană) înmulțit cu un număr.

Se spune că două matrici sunt echivalente dacă una dintre ele este obținută de la cealaltă printr-un set finit de transformări elementare.

Matricele echivalente nu sunt, în general, egale, dar rangurile lor sunt egale. Dacă matricele A și B sunt echivalente, atunci aceasta se scrie după cum urmează:

O matrice canonică este o matrice a cărei inițială

diagonala principală sunt mai multe unități pe rând (al căror număr

poate fi egal cu zero), iar toate celelalte elemente sunt egale cu zero,

de exemplu, .

Cu ajutorul transformărilor elementare ale rândurilor și coloanelor, orice matrice poate fi redusă la una canonică. Rangul matricei canonice este egal cu numărul unități pe diagonala sa principală.

matrice inversă

Luați în considerare o matrice pătrată

Se notează Δ = detA.

O matrice pătrată A se numește nedegenerată sau nesingulară, dacă determinantul ei este diferit de zero și degenerată sau specială, dacă Δ = 0.

O matrice pătrată B se numește inversul unei matrice pătrate A de același ordin dacă produsul lor A B = B A = E, unde E este matricea de identitate de același ordin ca și matricele A și B.

Teorema. Pentru ca matricea A să aibă inversă, este necesar și suficient ca determinantul ei să fie diferit de zero.

Inversa de matrice a matricei A se notează cu A -1 . Matricea inversă se calculează prin formula

A -1 \u003d 1 / Δ, (4,5)

unde А ij - complemente algebrice ale elementelor a ij .

Calculul matricei inverse prin formula (4.5) pentru matrice de ordin înalt este foarte laborios, deci în practică este convenabil să se găsească matricea inversă folosind metoda transformărilor elementare (ET). Orice matrice nesingulară A poate fi redusă prin EP numai coloanelor (sau numai rândurilor) la matricea de identitate E. Dacă EP-urile perfecte peste matricea A sunt aplicate în aceeași ordine matricei de identitate E, atunci rezultatul este o matrice inversă. Este convenabil să se efectueze un EP pe matricele A și E simultan, scriind ambele matrici una lângă alta prin linie. Observăm încă o dată că la căutarea formei canonice a unei matrice pentru a găsi rangul acesteia, se pot folosi transformări de rânduri și coloane. Dacă trebuie să găsiți matricea inversă, ar trebui să utilizați numai rânduri sau numai coloane în procesul de transformare.

2. Determinanți

Pentru fiecare matrice pătrată, se definește un număr, numit determinant al matricei, determinant al matricei sau pur și simplu determinant (determinant).

Definiție. Determinantul unei matrici pătrate de ordinul întâi este un număr egal cu singurul element al acestei matrice: A=(a), detA=|A|=a.

Fie A o matrice pătrată arbitrară de ordin n, n>1:

Definiție Determinantul de ordinul n (determinantul matricei pătrate de ordinul n), n>1, este numărul egal cu

unde este determinantul matricei pătrate obținute din matricea A prin ștergerea primului rând și a j-a coloană.

Pentru determinanții de ordinul 2 și 3, este ușor să se obțină expresii simple în ceea ce privește elementele matriceale.

determinant de ordinul 2:

determinant de ordinul 3:

2.1. Complementul elementului minor și algebric

Definiție. Minorul unui element de matrice este determinantul matricei obținut prin ștergerea rândului și coloanei în care se află elementul. Se notează: minorul elementului a ij - .

Definiție. Complementul algebric al unui element de matrice este minorul său înmulțit cu -1 la o putere egală cu suma numerelor rândurilor și coloanelor în care se află elementul. Notăm: complement algebric al elementului a ij - .

Astfel, putem reformula definiția determinantului de ordinul n:

determinantul de ordinul al n-lea, n>1, este egal cu suma produselor elementelor din primul rând și a complementelor lor algebrice.

Exemplu.

Teoremă privind calculul determinantului prin expansiune pe orice rând

Teorema. Determinantul de ordin al n-lea, n>1, este egal cu suma produselor elementelor oricărui rând (coloană) și a complementelor lor algebrice.

Exemplu. Să calculăm determinantul din exemplul anterior extinzându-ne pe al doilea rând:

Consecinţă. Determinantul unei matrici triunghiulare este egal cu produsul elementelor diagonale. (Demonstrează-te).

Matrice dimensiunea se numește masă dreptunghiulară, constând din elemente dispuse în m linii şi n coloane.

Elemente de matrice (primul index i− numărul rândului, al doilea indice j− numărul coloanei) pot fi numere, funcții etc. Matricele sunt notate cu majuscule ale alfabetului latin.

Matricea se numește pătrat dacă numărul său de rânduri este egal cu numărul de coloane ( m = n). În acest caz, numărul n se numește ordinea matricei, iar matricea însăși se numește matrice n-a comanda.

Elemente cu același indice formă diagonala principală matrice pătrată și elementele (adică având suma indicilor egală cu n+1) − diagonala secundara.

Solitar matrice se numește matrice pătrată, ale cărei toate elementele diagonalei principale sunt egale cu 1, iar elementele rămase sunt egale cu 0. Se notează cu litera E.

Zero matricea este o matrice, toate elementele care sunt egale cu 0. Matricea zero poate fi de orice dimensiune.

La număr operații liniare pe matrici raporta:

1) adunarea matricei;

2) înmulțirea matricelor cu un număr.

Operația de adăugare a matricei este definită numai pentru matrice de aceeași dimensiune.

Suma a două matrice DARȘi ÎN numită matrice DIN, ale căror toate elementele sunt egale cu sumele elementelor corespunzătoare ale matricelor DARȘi ÎN:

.

Produs Matrix DAR pe număr k numită matrice ÎN, ale căror toate elementele sunt egale cu elementele corespunzătoare ale matricei date DARînmulțit cu numărul k:

Operațiune inmultirile matriceale se introduce pentru matricele care îndeplinesc condiția: numărul de coloane din prima matrice este egal cu numărul de rânduri al celei de-a doua.

Produs Matrix DAR dimensiuni la matrice ÎN dimensiunea se numește matrice DIN dimensiuni, element i-a linia și j a cărei coloană este egală cu suma produselor elementelor i al-lea rând al matricei DAR asupra elementelor relevante j-a coloană a matricei ÎN:

Produsul matricelor (spre deosebire de produsul numerelor reale) nu se supune legii comutative, i.e. în general DAR ÎN ÎN DAR.

1.2. Determinanți. Proprietăți calificative

Conceptul de determinant introdus numai pentru matrice pătrată.

Determinantul unei matrice de ordinul 2 este un număr calculat conform următoarei reguli

.

determinant matricei de ordinul 3 este un număr calculat după următoarea regulă:

Primul dintre termenii cu semnul „+” este produsul elementelor situate pe diagonala principală a matricei (). Cele două rămase conțin elemente situate la vârfurile triunghiurilor cu o bază paralelă cu diagonalele principale. Cu semnul „-” sunt incluse produsele elementelor diagonalei secundare () și elementele care formează triunghiuri cu baze paralele cu această diagonală (și).

Această regulă pentru calcularea determinantului de ordinul 3 se numește regula triunghiurilor (sau regula lui Sarrus).

Proprietăți calificative Luați în considerare exemplul determinanților de ordinul 3.

1. Când înlocuiți toate rândurile determinantului cu coloane cu aceleași numere ca și rândurile, determinantul nu își modifică valoarea, adică. rândurile și coloanele determinantului sunt egale

.

2. Când două rânduri (coloane) sunt schimbate, determinantul își schimbă semnul.

3. Dacă toate elementele unui anumit rând (coloană) sunt zerouri, atunci determinantul este 0.

4. Factorul comun al tuturor elementelor unui rând (coloană) poate fi scos din semnul determinantului.

5. Determinantul care conține două rânduri (coloane) identice este 0.

6. Determinantul care conține două rânduri (coloane) proporționale este egal cu zero.

7. Dacă fiecare element al unei anumite coloane (rând) a unui determinant reprezintă suma a doi termeni, atunci determinantul este egal cu suma a doi determinanți, dintre care unul conține primii termeni din aceeași coloană (rând), iar al doilea - al doilea. Elementele rămase ale ambilor determinanți sunt aceleași. Asa de,

.

8. Determinantul nu se modifică dacă elementele corespunzătoare unei alte coloane (rânduri) înmulțite cu același număr sunt adăugate elementelor oricăreia dintre coloanele (rândurile) acesteia.

Următoarea proprietate a determinantului este legată de conceptele de complement minor și algebric.

Minor elementul unui determinant este determinantul obținut din dat prin ștergerea rândului și coloanei la intersecția cărora se află acest element.

De exemplu, elementul minor al determinantului se numeste determinant.

Adunarea algebrică elementul determinantului se numește minorul său înmulțit cu unde i− numărul rândului, j− numărul coloanei la intersecția căreia se află elementul. Complementul algebric este de obicei notat. Pentru un element determinant de ordinul 3, complementul algebric

9. Determinantul este egal cu suma produselor elementelor oricărui rând (coloană) și adunările algebrice corespunzătoare.

De exemplu, determinantul poate fi extins peste elementele primului rând

,

sau a doua coloană

Proprietățile determinanților sunt utilizate pentru a le calcula.

În acest articol, vom înțelege cum se efectuează operația de adunare pe matrici de același ordin, operația de înmulțire a unei matrici cu un număr și operația de înmulțire a matricelor de ordin adecvat, vom seta axiomatic proprietățile operațiilor, și discutați, de asemenea, prioritatea operațiunilor pe matrice. În paralel cu teoria, vom prezenta soluții detaliate exemple în care se efectuează operaţii pe matrice.

Observăm imediat că toate următoarele se aplică matricelor ale căror elemente sunt numere reale (sau complexe).

Navigare în pagină.

Operația de adăugare a două matrice.

Definirea operatiei de adunare a doua matrici.

Operația de adăugare este definită NUMAI PENTRU MATRICE ACEEAȘI ORDINE. Cu alte cuvinte, este imposibil să găsim suma matricelor de dimensiuni diferite și, în general, este imposibil să vorbim despre adăugarea matricelor de dimensiuni diferite. De asemenea, nu se poate vorbi despre suma unei matrice și a unui număr sau despre suma unei matrice și a unui alt element.

Definiție.

Suma a două matriceși este o matrice ale cărei elemente sunt egale cu suma elementelor corespunzătoare ale matricelor A și B, adică .

Astfel, rezultatul operației de adunare a două matrice este o matrice de același ordin.

Proprietăți ale operației de adunare a matricei.

Care sunt proprietățile operației de adăugare a matricei? La această întrebare este destul de ușor de răspuns, pornind de la definirea sumei a două matrici de ordin dat și amintindu-ne proprietățile operației de adunare a numerelor reale (sau complexe).

1. Pentru matricele A, B și C de același ordin, proprietatea asociativității adunării este caracteristică A + (B + C) \u003d (A + B) + C.
2. Pentru matrice de un ordin dat, există un element neutru în raport cu adunarea, care este matricea zero. Adică, proprietatea A + O \u003d A este adevărată.
3. Pentru o matrice A diferită de zero de un ordin dat, există o matrice (-A), suma lor este o matrice zero: A + (-A) \u003d O .
4. Pentru matricele A și B de ordin dat, proprietatea comutativității adunării A+B=B+A este adevărată.

În consecință, mulțimea de matrice de un ordin dat generează un grup Abel aditiv (un grup Abelian în raport cu operația algebrică de adunare).

Adunarea matricei - exemple de rezolvare.

Să ne uităm la câteva exemple de adăugare de matrice.

Exemplu.

Aflați suma matricelor și .

Soluţie.

Ordinele matricelor A și B sunt aceleași și egale cu 4 cu 2, deci putem efectua operația de adunare a matricei și ca rezultat ar trebui să obținem o matrice de ordinul 4 cu 2. Conform definiției operației de adăugare a două matrici, efectuăm adunarea element cu element:

Exemplu.

Aflați suma a două matrici Și ale căror elemente sunt numere complexe.

Soluţie.

Deoarece ordinele matricei sunt egale, putem efectua adunarea.

Exemplu.

Efectuați adăugarea a trei matrici .

Soluţie.

Mai întâi, adăugați matricea A cu B, apoi adăugați C la matricea rezultată:

Avem o matrice zero.

Operația de înmulțire a unei matrice cu un număr.

Definiția operației de înmulțire a unei matrice cu un număr.

Operația de înmulțire a unei matrice cu un număr este definită PENTRU MATRICE DE ORICE ORDINE.

Definiție.

Produsul unei matrice și al unui număr real (sau complex). este o matrice ale cărei elemente se obțin prin înmulțirea elementelor corespunzătoare ale matricei originale cu un număr, adică .

Astfel, rezultatul înmulțirii unei matrice cu un număr este o matrice de același ordin.

Proprietățile operației de înmulțire a unei matrice cu un număr.

Din proprietățile operației de înmulțire a unei matrice cu un număr, rezultă că înmulțirea unei matrice zero cu un număr zero va da o matrice zero, iar produsul număr arbitrar iar o matrice zero este o matrice zero.

Înmulțirea unei matrice cu un număr - exemple și soluția lor.

Să ne ocupăm de operația de înmulțire a unei matrice cu un număr folosind exemple.

Exemplu.

Aflați produsul dintre numărul 2 și matricea .

Soluţie.

Pentru a înmulți o matrice cu un număr, trebuie să înmulți fiecare dintre elementele sale cu acest număr:

Exemplu.

Efectuați înmulțirea matricei cu un număr.

Soluţie.

Înmulțim fiecare element al matricei date cu numărul dat:

Operația de înmulțire a două matrici.

Definirea operației de înmulțire a două matrici.

Operația de înmulțire a două matrice A și B este definită numai pentru cazul în care NUMĂRUL DE COLOANE ALE MATRIEI A ESTE EGAL CU NUMĂRUL DE RANDURI ALE MATRIEI B.

Definiție.

Produsul unei matrice A de ordin și a unei matrice B de ordin- aceasta este o astfel de matrice C de ordin, fiecare element al cărei element este egal cu suma produselor elementelor din rândul i al matricei A cu elementele corespunzătoare ale coloanei j a matricei B, adică ,

Astfel, rezultatul operației de înmulțire a unei matrice de ordine cu o matrice de ordine este o matrice de ordine.

Înmulțirea unei matrice cu o matrice - soluții de exemple.

Ne vom ocupa de înmulțirea matriceală folosind exemple, după care vom trece la enumerarea proprietăților operației de înmulțire a matricelor.

Exemplu.

Aflați toate elementele matricei C, care se obține prin înmulțirea matricelor Și .

Soluţie.

Ordinea matricei A este p=3 cu n=2 , ordinea matricei B este n=2 cu q=4 , prin urmare, ordinea ordinii produsului acestor matrici va fi p=3 cu q=4 . Să folosim formula

Secvențial luăm valorile i de la 1 la 3 (deoarece p=3 ) pentru fiecare j de la 1 la 4 (deoarece q=4 ), și n=2 în cazul nostru, atunci

Așa se calculează toate elementele matricei C, iar matricea obținută prin înmulțirea a două matrice date are forma .

Exemplu.

Efectuați înmulțirea matricelor și .

Soluţie.

Ordinele matricelor originale ne permit să efectuăm operația de înmulțire. Ca rezultat, ar trebui să obținem o matrice de ordinul 2 cu 3.

Exemplu.

Matricele date și . Aflați produsul matricelor A și B, precum și al matricelor B și A.

Soluţie.

Deoarece ordinea matricei A este 3 cu 1 și matricea B este 1 cu 3, atunci A⋅B va avea ordinul 3 cu 3, iar produsul matricelor B și A va avea ordin 1 cu 1.

După cum puteți vedea, . Aceasta este una dintre proprietățile operației de multiplicare a matricei.

Proprietăți ale operației de înmulțire a matricei.

Dacă matricele A, B și C sunt de ordine adecvată, atunci următoarele sunt adevărate proprietăţile operaţiei de înmulţire a matricei.

Trebuie remarcat faptul că, pentru ordinele adecvate, produsul dintre matricea zero O și matricea A dă o matrice zero. Produsul lui A cu O dă și o matrice zero dacă ordinele permit operația de înmulțire a matricei.

Printre matricele pătrate există așa-numitele matrici de permutare, operația de înmulțire pentru ele este comutativă, adică . Un exemplu de matrice de permutare este o pereche de matrice de identitate și orice altă matrice de același ordin, deoarece .

Prioritatea operațiunilor pe matrice.

Operațiile de înmulțire a unei matrici cu un număr și de înmulțire a unei matrice cu o matrice sunt înzestrate cu prioritate egală. În același timp, aceste operații au o prioritate mai mare decât operația de adăugare a două matrici. Astfel, mai întâi matricea este înmulțită cu număr și matricele sunt înmulțite, iar abia apoi matricele sunt adăugate. Cu toate acestea, ordinea în care sunt efectuate operațiile pe matrice poate fi specificată explicit folosind paranteze.

Deci, prioritatea operațiilor pe matrice este similară cu prioritatea atribuită operațiilor de adunare și înmulțire a numerelor reale.

Exemplu.

Date matrice . Efectuați acțiunile specificate cu matricele date .

Soluţie.

Începem prin înmulțirea matricei A cu matricea B:

Acum înmulțim matricea de identitate de ordinul doi E ​​cu două:

Adăugăm cele două matrice rezultate:

Rămâne de efectuat operația de înmulțire a matricei rezultate cu matricea A:

De remarcat că operația de scădere a matricilor de același ordin A și B ca atare nu există. Diferența a două matrice este în esență suma matricei A și a matricei B înmulțită preliminar cu minus unu: .

Operația de pătrare a unei matrice în grad natural de asemenea, nu este independent, deoarece este o înmulțire matrice succesivă.

Rezuma.

Pe setul de matrici sunt definite trei operații: adăugarea matricelor de același ordin, înmulțirea unei matrici cu un număr și înmulțirea matricelor de ordine adecvate. Operația de adăugare pe un set de matrice de un ordin dat generează un grup Abel.

Să trecem la definiția operațiilor pe matrice.

1) Adăugarea matricei . Suma a două matrice A=(A ij) Și B=(b ij) de aceeași dimensiune m× n numită matrice C=(c ij) de aceeași dimensiune m× n, ale căror elemente sunt egale

din ij = a ij +b ij (i= 1,2, … ,m; j= 1,2, … ,n). (1)

Pentru a desemna suma matricelor, folosim notația C=A+ B.

2) Înmulțirea unei matrice cu un număr . Produs ( m× n)- matrici DAR la numărul λ se numește ( m× n)-matricea C= (c ij), ale căror elemente sunt egale

din ij = λ A ij (i= 1,2, … , m;j= 1,2, … ,n). (2)

Pentru a desemna produsul unei matrice cu un număr, se folosește notația C= λ∙ A.

Din formulele (1) și (2) rezultă clar că cele două operații introduse au următoarele proprietăți:

dar) A+B = B+A – comutativitatea adunării;

b) ( A+B)+C \u003d A +(B+C) este asociativitatea adunării;

c) (λμ) DAR=λ(μ DAR) este asociativitatea înmulțirii cu un număr;

d) λ( A+B) = λ DAR+λ ÎN este distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea.

Observație 1. Diferența matricei poate fi definită după cum urmează:

A-B = A+(–1)ÎN.

Pe scurt, adunarea, scăderea matricelor și înmulțirea unei matrice cu un număr se fac element cu element.

Exemplu:

3) Înmulțirea matricei . Produs ( m× n)-matrice DAR=(dar ij) pe ( n× p)- matrice B=(b ij) se numește ( m× p)-matricea DIN=(din ij), ale căror elemente se calculează prin formula

c ij = A i 1 b 1 j + A i 2 b 2 j +…+ A în b nj ,

care, folosind simbolul însumării, poate fi scris ca

(i= 1,2, … , m; j= 1,2, … ,p).

Pentru a desemna produsul unei matrice DAR la matrice ÎN utilizați înregistrarea C=A∙B.

Observăm imediat că matricea DAR poate fi înmulțit cu orice matrice ÎN: este necesar ca numărul de coloane ale matricei DAR a fost egal cu numărul de rânduri ale matricei ÎN.

Formula (3) reprezintă regula pentru găsirea elementelor matricei A∙B. Să formulăm verbal această regulă: elementul c ij stând înăuntru i-a linia și j-a coloană a matricei A∙B, este egal cu suma produselor perechi ale elementelor corespondente i- al-lea rând al matricei DARȘi j-a coloană a matricei ÎN.

Iată un exemplu de înmulțire a matricilor pătrate de ordinul doi:

.

Înmulțirea prin matrice are următoarele proprietăți:

dar) ( AB)DIN = DAR(soare) – asociativitate;

b) ( A+B)DIN = AC+soare sau DAR(B+C) = AB+AC este distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea.

Este logic să ridicăm problema comutativității înmulțirii numai pentru matrici pătrate de același ordin, deoarece numai pentru astfel de matrici DARȘi ÎN ambele lucrari AB Și VA sunt definite și sunt matrici de același ordin. Exemplele elementare arată că înmulțirea matriceală este, în general, necomutativă. De exemplu, dacă

apoi

Exemplu . Pentru matrice
găsiți toate matricele ÎN astfel încât

AB = BA.

Soluţie . Introducem notația
Apoi

Egalitate AB = BA este echivalent cu sistemul de ecuații

care, la rândul său, este echivalent cu sistemul

Deci, matricea dorită are forma
Unde XȘi z sunt numere arbitrare. Se poate scrie si asa: ÎN = zA+(X– z)E.

Cometariu. Identitate și matrice zero n ordinul este permutabil din orice matrice pătrată de același ordin și AE = =EA = A, DAR∙0 = 0∙DAR = 0.

Folosind operația de înmulțire, dăm cea mai scurtă - matrice - formă de scriere a sistemului de ecuații liniare (1.1). Să introducem notația: DAR=(dar ij) – (m× n)-matricea coeficienților sistemului de ecuații; –m-coloana dimensională a termenilor liberi şi

–n-coloana dimensională a necunoscutelor. Prin definiție, o lucrare A∙X reprezintă m-coloană dimensională. Elementul său, stând înăuntru i-a linia are forma

A i 1 X 1 + A i 2 X 2 +…+ A în X n .

Dar această sumă nu este altceva decât partea stângă i ecuația sistemului (1.1) și prin presupunere este egală cu b i, adică element în i- al-lea rând al coloanei ÎN. De aici obținem: A∙ X = B . Aceasta este notația matriceală pentru sistemul liniar

ecuații. Aici: DAR este matricea de coeficienți a sistemului, ÎN – coloana de membri liberi, X este o coloană de necunoscute.

4) Transpunerea matricei. Transpunerea oricărei matrice este o operație, în urma căreia rândurile și coloanele sunt schimbate, păstrând ordinea lor. Ca urmare a transpunerii ( m× n)-matrice DAR se dovedește ( m× n)-matrice, notată prin simbol DARși numită transpusă față de matrice DAR.

Exemplu . Pentru DAR= (dar 1 dar 2 dar 3) găsiți A∙AȘi DAR´∙ DAR.

Soluţie . Rândul transpus este o coloană. De aceea:

este o matrice pătrată de ordinul I.

–matricea pătrată a 3-a