Probleme de găsire a punctelor intersecții orice figuri este ideologic primitiv. Dificultățile în ele apar numai din cauza aritmeticii, deoarece în aceasta se fac diverse greșeli de tipar și erori.

Instrucțiuni

1. Aceasta sarcina poate fi rezolvată analitic, prin urmare este posibil să nu se deseneze grafice deloc Dreptși parabole. Adesea, acest lucru oferă un avantaj imens în rezolvarea unui exemplu, deoarece problema poate conține astfel de funcții încât ar fi mai ușor și mai rapid să nu le desenați.

2. Conform manualelor de algebră, o parabolă este dată de o funcție de forma f(x)=ax^2+bx+c, unde a,b,c sunt numere reale, iar exponentul a este bun, este zero. Funcția g(x)=kx+h, unde k,h sunt numere reale, definește o dreaptă pe plan.

3. Punct intersecții Drept iar parabolele sunt punctul universal al ambelor curbe, prin urmare funcțiile din acesta vor lua valori identice, adică f(x)=g(x). Această afirmație ne permite să scriem ecuația: ax^2+bx+c=kx+h, care va da probabilitatea de a detecta o mulțime de puncte intersecții .

4. În ecuația ax^2+bx+c=kx+h trebuie să mutați toți termenii în partea stângă și să aduceți pe alții similari: ax^2+(b-k)x+c-h=0. Acum tot ce rămâne este să rezolvăm ecuația pătratică rezultată.

5. Toate „X-urile” detectate nu sunt încă un rezultat al problemei, deoarece un punct din plan este caracterizat de două numere reale(X y). Pentru a încheia soluția pe deplin, trebuie să calculați „jucătorii” corespunzători. Pentru a face acest lucru, trebuie să înlocuiți „x” fie în funcția f(x), fie în funcția g(x), ceai pentru punctul intersecții corect: y=f(x)=g(x). Mai târziu vei descoperi toate punctele universale ale parabolei și Drept .

6. Pentru a consolida materialul, este foarte important să vedeți soluția folosind un exemplu. Fie parabola definită de funcția f(x)=x^2-3x+3, iar linia dreaptă – g(x)=2x-3. Alcătuiți ecuația f(x)=g(x), adică x^2-3x+3=2x-3. Mutând toți termenii în partea stângă și aducând alții similari, obțineți: x^2-5x+6=0. Rădăcinile acestui lucru ecuație pătratică: x1=2, x2=3. Acum găsiți „jucătorii” corespunzători: y1=g(x1)=1, y2=g(x2)=3. Astfel, toate punctele sunt detectate intersecții: (2,1) și (3,3).

Punct intersecții liniile drepte pot fi determinate aproximativ din grafic. Cu toate acestea, coordonatele exacte ale acestui punct sunt adesea necesare sau nu este nevoie să construiți un grafic, atunci puteți detecta punctul intersecții, cunoscând doar ecuațiile dreptelor.

Instrucțiuni

1. Fie definite două drepte prin ecuațiile universale ale dreptei: A1*x + B1*y + C1 = 0 și A2*x + B2*y + C2 = 0. Punct intersecții aparține atât unei linii, cât și alteia. Să exprimăm dreapta x din prima ecuație, obținem: x = -(B1*y + C1)/A1. Înlocuiți valoarea rezultată în a doua ecuație: -A2*(B1*y + C1)/A1 + B2*y + C2 = 0. Sau -A2B1*y – A2C1 + A1B2*y + A1C2 = 0, în caz contrar y = ( A2C1 – A1C2)/(A1B2 – A2B1). Să substituim valoarea detectată în ecuația primei linii drepte: A1*x + B1(A2C1 – A1C2)/(A1B2 – A2B1) + C1 = 0.A1(A1B2 – A2B1)*x + A2B1C1 – A1B1C2 + A1B2C1 – A2B1C1 = 0(A1B2 – A2B1)*x – B1C2 + B2C1 = 0Atunci x = (B1C2 – B2C1)/(A1B2 – A2B1).

2. În cursurile școlare de matematică, liniile drepte sunt adesea date de o ecuație cu un exponent unghiular; să ne uităm la acest caz. Să fie date două drepte în acest fel: y1 = k1*x + b1 și y2 = k2*x + b2. Aparent, la punctul intersecții y1 = y2, atunci k1*x + b1 = k2*x + b2. Constatăm că ordonata punctului intersecții x = (b2 – b1)/(k1 – k2). Înlocuiți x în orice ecuație a dreptei și obțineți y = k1(b2 – b1)/(k1 – k2) + b1 = (k1b2 – b1k2)/(k1 – k2).

Video pe tema

Ecuația parabole este o funcție pătratică. Există mai multe opțiuni pentru a construi această ecuație. Totul depinde de ce parametri sunt prezentați în enunțul problemei.

Instrucțiuni

1. O parabolă este o curbă care seamănă cu un arc în forma sa și este un grafic functie de putere. Indiferent de ce colații are parabola, această funcție este pară. O funcție pară este aceea în care, pentru toate valorile argumentului din domeniul definiției, atunci când semnul argumentului se schimbă, valoarea nu se schimbă: f (-x) = f (x) Începeți cu cel mai funcția primitivă: y = x^2. Din apariția sa putem concluziona că crește atât cu valori corecte, cât și negative ale argumentului x. Punctul în care x=0 și, în același timp, y =0 este considerat punctul minim al funcției.

2. Mai jos sunt toate opțiunile principale pentru a construi această funcție și ecuația acesteia. Ca prim exemplu, mai jos luăm în considerare o funcție de forma: f(x)=x^2+a, unde a este un număr întreg. Pentru a reprezenta graficul acestei funcții, trebuie să mutați graficul funcției f(x) cu unități. Un exemplu este funcția y=x^2+3, unde de-a lungul axei y funcția este deplasată în sus cu două unități. Dacă este dată o funcție cu semnul opus, să spunem y=x^2-3, atunci graficul ei este deplasat în jos de-a lungul axei y.

3. Un alt tip de funcție căruia i se poate da o parabolă este f(x)=(x +a)^2. În astfel de cazuri, graficul, dimpotrivă, se deplasează de-a lungul abscisei (axa x) cu o unitate. De exemplu, puteți vedea funcțiile: y=(x +4)^2 și y=(x-4)^2. În primul caz, în care există o funcție cu semnul plus, graficul este deplasat de-a lungul axei x la stânga, iar în al doilea caz, la dreapta. Toate aceste cazuri sunt prezentate în figură.

4. Există și dependențe parabolice de forma y=x^4. În astfel de cazuri, x=const, iar y crește abrupt. Cu toate acestea, acest lucru se aplică numai funcțiilor egale. Grafică parabole sunt adesea prezente în problemele fizice, de exemplu, zborul unui corp descrie o linie care este similară cu o parabolă. De asemenea, vizualiza parabole are o secțiune longitudinală a reflectorului farului, lanternă. Spre deosebire de un sinusoid, acest grafic este neperiodic și crescător.

Sfat 4: Cum să determinați punctul de intersecție al unei linii și al unui plan

Această sarcină este de a construi un punct intersecții Drept cu un plan este un curs clasic de grafică inginerească și se realizează folosind metodele geometriei descriptive și soluția lor grafică în desen.

Instrucțiuni

1. Să ne uităm la definiția unui punct intersecții Drept cu planul de locație anume (Figura 1).Dreapta l intersectează planul de proiectare frontală?. Îndreptați-le intersecții lui K aparține Dreptși plan, ceea ce înseamnă că proiecția generală a lui K2 se află pe?2 și l2. Adică K2= l2??2, iar proiecția sa orizontală K1 se determină pe l1 folosind linia de legătură a proiecției.Astfel, punctul dorit intersecții K(K2K1) poate fi construit cu ușurință fără a utiliza planuri auxiliare.Punctele sunt determinate într-un mod similar intersecții Drept cu tot felul de planuri de aranjament special.

2. Să ne uităm la definiția unui punct intersecții Drept cu planul de localizare universală. În figura 2, sunt date planuri situate în mod arbitrar în spațiu? și linia dreaptă l. Pentru a determina un punct intersecții Drept cu un plan de locație universală, metoda planurilor de tăiere auxiliare este utilizată în următoarea ordine:

3. Un plan auxiliar de tăiere este trasat prin linia dreaptă l? Pentru a facilita construcția, acesta va fi planul proeminent.

5. Punctul K este marcat intersecții Drept l și linia construită intersecții MN. Ea este punctul dorit intersecții Drept si avioane.

6. Să aplicăm această regulă pentru a rezolva o problemă specifică într-un desen complex.Exemplu. Definiți punctul intersecții Drept l cu planul locației universale definit de triunghiul ABC (Figura 3).

7. Un plan de tăiere auxiliar este trasat prin linia dreaptă l?, perpendicular pe plan proiecţii?2. Proiecția sa?2 coincide cu proiecția Drept l2.

8. Se construiește linia MN. Avion? intersectează AB în punctul M. Se notează proiecția sa generală M2 = ?2?A2B2 și M1 orizontală pe A1B1 de-a lungul liniei de legătură de proiecție.Plan? intersectează latura AC în punctul N. Proiecția sa generală este N2 =? intersecții .

9. Se determină punctul K1 intersecții l1 si M1N1, dupa care se construieste punctul K2 cu sprijinul liniei de comunicatie. Se dovedește că K1 și K2 sunt proiecții ale punctului dorit intersecții K Drept eu și avioane? ABC:K(K1K2)= l(l1l2)? ? ABC(A1B1C1, A2B2C2). Vizibilitatea este determinată folosind punctele concurente M,1 și 2,3 Drept Sunt tangent la acest plan? ABC.

Video pe tema

Notă!
Utilizați un plan auxiliar atunci când rezolvați o problemă.

Sfaturi utile
Efectuați calcule folosind desene detaliate adecvate condițiilor problemei. Acest lucru vă va ajuta să navigați rapid în decizia.

Două drepte, dacă nu sunt paralele și nu coincid, se intersectează strict într-un punct. A găsi coordonatele acestui loc înseamnă a calcula puncte intersecții Drept Două drepte care se intersectează se află invariabil în același plan, de aceea este suficient să le vedem în planul cartezian. Să ne uităm la un exemplu despre cum să găsim punctul universal al unei linii drepte.

Instrucțiuni

1. Luați ecuațiile a 2 drepte, amintindu-ne că ecuația unei linii în Sistemul cartezian coordonate, ecuația unei drepte arată ca ax+bu+c=0, iar a, b, c sunt numere obișnuite, iar x și y sunt coordonatele punctelor. De exemplu, găsiți puncte intersecții drepte 4x+3y-6=0 și 2x+y-4=0. Pentru a face acest lucru, găsiți soluția sistemului acestor 2 ecuații.

2. Pentru a rezolva un sistem de ecuații, schimbați fiecare dintre ecuații astfel încât y să fie precedat de un exponent identic. Deoarece într-o ecuație exponentul înaintea lui y este 1, atunci pur și simplu înmulțiți această ecuație cu numărul 3 (exponentul înaintea lui y în altă ecuație). Pentru a face acest lucru, înmulțiți fiecare element al ecuației cu 3: (2x*3)+(y*3)-(4*3)=(0*3) și obțineți ecuație obișnuită 6x+3y-12=0. Dacă exponenții din fața lui y ar fi minunați din unul din ambele ecuații, ambele egalități ar trebui înmulțite.

3. Scădeți o ecuație din cealaltă. Pentru a face acest lucru, scădeți din partea stângă a unuia partea stângă a celeilalte și faceți același lucru cu dreapta. Obțineți următoarea expresie: (4x+3y-6) – (6x+3y-12)=0-0. Deoarece există un semn „-” în fața parantezei, schimbați toate semnele din paranteze la opus. Obțineți următoarea expresie: 4x+3y-6 – 6x-3y+12=0. Simplificați expresia și veți vedea că variabila y a dispărut. Noua ecuație arată astfel: -2x+6=0. Mută ​​numărul 6 într-o altă parte a ecuației și din egalitatea rezultată -2x=-6, exprimă x: x=(-6)/(-2). Deci obțineți x=3.

4. Înlocuiți valoarea x=3 în orice ecuație, să zicem, în a doua și obțineți următoarea expresie: (2*3)+y-4=0. Simplificați și exprimați y: y=4-6=-2.

5. Notați valorile x și y rezultate ca coordonate puncte(3;-2). Acestea vor fi soluția problemei. Verificați valoarea rezultată prin înlocuirea în ambele ecuații.

6. Dacă dreptele nu sunt date sub formă de ecuații, ci sunt date primitiv pe plan, descoperiți coordonatele puncte intersecții grafic. Pentru a face acest lucru, extindeți liniile drepte astfel încât să se intersecteze, apoi coborâți perpendicularele pe axele x și oy. Intersecția perpendicularelor cu axele ox și oy vor fi coordonatele acesteia puncte, uitați-vă la figură și veți vedea că coordonatele puncte intersecții x=3 și y=-2, adică punctul (3;-2) este soluția problemei.

Video pe tema

O parabolă este o curbă plană de ordinul doi, ecuație canonică care în sistemul de coordonate carteziene are forma y?=2px. Unde p este parametrul focal al parabolei, egal cu distanța de la un punct fix F, numit focar, la o dreaptă fixă ​​D în același plan, numită directrice. Vârful unei astfel de parabole trece prin prefața coordonatelor, iar curba în sine este simetrică față de axa x Ox. Într-un curs de algebră școlară, se obișnuiește să se ia în considerare o parabolă a cărei axă de simetrie coincide cu axa ordonatelor Oy: x? = 2py. Și ecuația se scrie oarecum invers: y=ax?+bx+c, a=1/(2p). Puteți desena o parabolă folosind mai multe metode, care pot fi numite algebrice și geometrice.

Instrucțiuni

1. Construcția algebrică a unei parabole.Aflați coordonatele vârfului parabolei. Calculați coordonatele de-a lungul axei Ox folosind formula: x0=-b/(2a) și de-a lungul axei Oy: y0=-(b?-4ac)/4a, sau înlocuiți valoarea x0 rezultată în ecuația parabolă y0= ax0?+bx0+c și calculați valoarea.

2. Pe planul de coordonate, construiți axa de simetrie a parabolei. Formula sa coincide cu formula coordonatei x0 a vârfului parabolei: x=-b/(2a). Determinați unde sunt îndreptate ramurile parabolei. Dacă a>0, atunci axele sunt îndreptate în sus, dacă a

3. Luați în mod arbitrar 2-3 valori pentru parametrul x astfel încât: x0

4. Plasați punctele 1′, 2′ și 3′ astfel încât să fie simetrice cu punctele 1, 2, 3 în ceea ce privește axa de simetrie.

5. Conectați punctele 1′, 2′, 3′, 0, 1, 2, 3 cu o linie oblică netedă. Continuați linia în sus sau în jos, în funcție de direcția parabolei. Parabola a fost construită.

6. Construcție geometrică parabole. Aceasta metoda se bazează pe definirea unei parabole ca o comunitate de puncte echidistante atât de focarul F cât și de directricea D. În consecință, găsiți mai întâi parametrul focal al parabolei date p = 1/(2a).

7. Construiți axa de simetrie a parabolei așa cum este descris în pasul 2. Pe el, plasați punctul F cu o coordonată de-a lungul axei Oy egală cu y=p/2 și punctul D cu coordonata y=-p/2.

8. Folosind un pătrat, construiți o dreaptă care trece prin punctul D, perpendicular pe axa de simetrie a parabolei. Această linie este directriza parabolei.

9. Luați un fir de lungime egală cu unul dintre picioarele pătratului. Fixați un capăt al firului cu un buton în partea de sus a pătratului cu care este adiacent acest picior, iar al 2-lea capăt - la focarul parabolei în punctul F. Așezați rigla astfel încât marginea superioară a acesteia să coincidă cu directriza D. Așezați pătratul pe riglă, cu piciorul liber de butonul .

10. Poziționați creionul astfel încât vârful său să apese firul pe partea laterală a pătratului. Mutați pătratul de-a lungul riglei. Creionul va desena parabola de care aveți nevoie.

Video pe tema

Notă!
Nu desenați vârful parabolei ca unghi. Ramurile sale converg unele cu altele, rotunjindu-se lin.

Sfaturi utile
Când construiți o parabolă folosind metoda geometrică, asigurați-vă că firul este întotdeauna întins.

Înainte de a începe studiul comportamentului unei funcții, este necesar să se determine regiunea de metamorfoză a cantităților luate în considerare. Să acceptăm presupunerea că variabilele aparțin mulțimii numerelor reale.

Instrucțiuni

1. O funcție este o variabilă care depinde de valoarea argumentului. Argumentul este o variabilă independentă. Limitele modificărilor argumentului se numesc interval de valori posibile (APV). Comportamentul unei funcții este considerat în cadrul ODZ deoarece în aceste limite legătura dintre două variabile nu este haotică, ci respectă anumite reguli și poate fi scrisă sub forma unei expresii matematice.

2. Să considerăm o conexiune funcțională arbitrară F=?(x), unde? – expresie matematică. O funcție poate avea puncte de intersecție cu axe de coordonate sau cu alte funcții.

3. În punctele de intersecție ale funcției cu axa x, funcția devine egală cu zero: F(x) = 0. Rezolvați această ecuație. Veți primi coordonatele punctelor de intersecție funcţie dată cu axa OX. Vor exista atâtea astfel de puncte câte rădăcini ale ecuației într-o secțiune dată a metamorfozei argumentului.

4. În punctele de intersecție ale funcției cu axa y, valoarea argumentului este zero. În consecință, problema se transformă în găsirea valorii funcției la x=0. Vor exista atâtea puncte de intersecție ale funcției cu axa OY câte valori ale funcției date la argument zero.

5. Pentru a găsi punctele de intersecție ale unei funcții date cu o altă funcție, trebuie să rezolvați sistemul de ecuații: F=?(x)W=?(x) Aici?(x) este o expresie care descrie funcția dată F, ? (x) este o expresie care descrie funcția W , punctele de intersecție cu care trebuie detectată o funcție dată. Aparent, în punctele de intersecție, ambele funcții iau valori egale cu valori egale ale argumentelor. Vor exista atâtea puncte universale pentru 2 funcții câte soluții există pentru sistemul de ecuații într-o zonă dată de modificări ale argumentului.

Video pe tema

În punctele de intersecție, funcțiile au valori egale cu o valoare identică a argumentului. A descoperi punctele de intersecție a funcțiilor înseamnă a determina coordonatele punctelor comune funcțiilor de intersectare.

Instrucțiuni

1. În termeni generali, sarcina de a găsi punctele de intersecție ale funcțiilor unui argument Y=F(x) și Y?=F?(x) pe avion XOY se reduce la rezolvarea ecuatiei Y= Y?, din faptul ca la punctul universal functiile au valori egale. Valorile x care satisfac egalitatea F(x)=F?(x), (dacă există) sunt abscisele punctelor de intersecție ale funcțiilor date.

2. Dacă funcțiile sunt date printr-o expresie matematică simplă și depind de un argument x, atunci problema găsirii punctelor de intersecție poate fi rezolvată grafic. Construiți grafice ale funcțiilor. Determinați punctele de intersecție cu axele de coordonate (x=0, y=0). Setați mai multe valori de argument, găsiți valorile funcției corespunzătoare și adăugați punctele rezultate la grafice. Cu cât sunt folosite mai multe puncte pentru construcție, cu atât graficul va fi mai precis.

3. Dacă graficele funcțiilor se intersectează, determinați coordonatele punctelor de intersecție din desen. Pentru a verifica, înlocuiți aceste coordonate în formulele care definesc funcțiile. Dacă expresiile matematice se dovedesc a fi obiective, punctele de intersecție sunt detectate pozitiv. Dacă graficele funcțiilor nu se intersectează, încercați să schimbați scara. Faceți un pas mai mare între punctele de construcție pentru a determina în ce parte a planului numeric liniile graficului se apropie. După aceasta, la locul de intersecție identificat, construiți un grafic mai detaliat cu pași mici pentru definiție precisă coordonatele punctelor de intersecție.

4. Dacă este necesar să detectați punctele de intersecție ale funcțiilor nu în plan, ci în spatiu tridimensional, trebuie să ne uităm la funcțiile a 2 variabile: Z=F(x,y) și Z?=F?(x,y). Pentru a determina coordonatele punctelor de intersecție ale funcțiilor, este necesar să se rezolve un sistem de ecuații cu două necunoscute x și y pentru Z = Z?.

Video pe tema

Deci, principalii parametri ai diagramei funcţie pătratică prezentat în figură:

Sa luam in considerare mai multe moduri de a construi o parabolă patrulată.În funcție de modul în care este specificată funcția pătratică, o puteți alege pe cea mai convenabilă.

1 . Funcția este dată de formula .

Sa luam in considerare algoritm general de trasare parabolă pătratică folosind exemplul trasării unei funcții

1 . Direcția ramurilor parabolei.

Deoarece ramurile parabolei sunt îndreptate în sus.

2 . Să găsim discriminantul trinom pătratic

Discriminantul unui trinom pătratic este mai mare decât zero, deci parabola are două puncte de intersecție cu axa OX.

Pentru a găsi coordonatele lor, rezolvăm ecuația:

,

3 . Coordonatele vârfurilor parabolei:

4 . Punctul de intersecție al parabolei cu axa OY: (0;-5), și este simetric față de axa de simetrie a parabolei.

Să reprezentăm aceste puncte plan de coordonateși conectați-le cu o curbă netedă:

Această metodă poate fi oarecum simplificată.

1. Aflați coordonatele vârfului parabolei.

2. Găsiți coordonatele punctelor din dreapta și stânga vârfului.

Să folosim rezultatele reprezentării grafice a funcției

Coordonatele vârfurilor unei parabole

Punctele cele mai apropiate de vârf, situate în stânga vârfului, au abscisele -1;-2;-3, respectiv

Punctele cele mai apropiate de vârf, situate în dreapta, au abscise, respectiv 0;1;2

Să introducem valorile x în ecuația funcției, să găsim ordonatele acestor puncte și să le introducem în tabel:

Să trasăm aceste puncte pe planul de coordonate și să le conectăm cu o linie netedă:

2 . Ecuația funcției pătratice are forma – în această ecuație – coordonatele vârfului parabolei

sau în ecuaţia unei funcţii pătratice , iar al doilea coeficient este un număr par.

Să construim un grafic al funcției ca exemplu .

Să ne amintim transformări liniare grafice de funcții. Pentru a reprezenta o funcție , trebuie sa

§ construiește mai întâi un grafic al funcției,

§ apoi înmulțiți aceleași valori ale tuturor punctelor de pe grafic cu 2,

§ apoi mutați-l de-a lungul axei OX 1 unitate spre dreapta,

§ și apoi de-a lungul axei OY cu 4 unități în sus:

Acum să ne uităm la trasarea funcției . În ecuația acestei funcții, iar al doilea coeficient este un număr par.