SECVENȚE NUMERICE VI

§ l48. Suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare

Până acum, vorbind de sume, am presupus întotdeauna că numărul de termeni din aceste sume este finit (de exemplu, 2, 15, 1000 etc.). Dar atunci când rezolvi unele probleme (în special matematica superioară), trebuie să te ocupi de sumele unui număr infinit de termeni

S= A 1 + A 2 + ... + A n + ... . (1)

Care sunt aceste sume? Prin definitie suma unui număr infinit de termeni A 1 , A 2 , ..., A n , ... se numește limita sumei S n primul P numere când P -> ∞ :

S=S n = (A 1 + A 2 + ... + A n ). (2)

Limita (2), desigur, poate exista sau nu. În consecință, se spune că suma (1) există sau nu există.

Cum să aflăm dacă suma (1) există în fiecare caz particular? O soluție generală la această întrebare depășește cu mult scopul programului nostru. Cu toate acestea, există un caz special important pe care trebuie să îl luăm în considerare acum. Vom vorbi despre însumarea termenilor unei progresii geometrice infinit descrescătoare.

Lasa A 1 , A 1 q , A 1 q 2 , ... este o progresie geometrică infinit descrescătoare. Aceasta înseamnă că | q |< 1. Сумма первых P membrii acestei progresii este egal cu

Din teoremele de bază privind limitele variabilelor (vezi § 136) obținem:

Dar 1 = 1, a q n = 0. Prin urmare

Deci, suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare este egală cu primul termen al acestui progres împărțit la unu minus numitorul acestei progresii.

1) Suma progresiei geometrice 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... este

iar suma unei progresii geometrice este 12; -6; 3; - 3 / 2 , ... egal

2) O fracție periodică simplă 0,454545 ... se transformă într-una obișnuită.

Pentru a rezolva această problemă, reprezentăm această fracție ca o sumă infinită:

Partea dreaptă a acestei egalități este suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare, al cărei prim termen este 45/100, iar numitorul este 1/100. De aceea

În modul descris, se poate obține și regula generală pentru transformarea fracțiilor periodice simple în fracții obișnuite (vezi Capitolul II, § 38):

Pentru a converti o fracție periodică simplă într-una obișnuită, trebuie să procedați după cum urmează: puneți perioada fracției zecimale la numărător, iar la numitor - un număr format din nouă luate de câte ori există cifre în perioadă. a fracției zecimale.

3) Fracția periodică mixtă 0,58333 .... se transformă într-o fracție obișnuită.

Să reprezentăm această fracție ca o sumă infinită:

În partea dreaptă a acestei egalități, toți termenii, începând de la 3/1000, formează o progresie geometrică infinit descrescătoare, al cărei prim termen este 3/1000, iar numitorul este 1/10. De aceea

În modul descris, se poate obține și regula generală pentru conversia fracțiilor periodice mixte în fracții obișnuite (vezi Capitolul II, § 38). Nu îl includem în mod deliberat aici. Nu este nevoie să memorezi această regulă greoaie. Este mult mai util să știm că orice fracție periodică mixtă poate fi reprezentată ca suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare și a unui număr. Și formula

pentru suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare, trebuie, desigur, să ne amintim.

Ca exercițiu, vă sugerăm ca, pe lângă problemele nr. 995-1000 prezentate mai jos, să apelați din nou la problema nr. 301 § 38.

Exerciții

995. Ce se numește suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare?

996. Găsiți sume ale progresiilor geometrice infinit descrescătoare:

997. Pentru ce valori X progresie

scade la infinit? Găsiți suma unei astfel de progresii.

998. Într-un triunghi echilateral cu o latură dar un nou triunghi este înscris prin conectarea punctelor medii ale laturilor sale; un nou triunghi este înscris în acest triunghi în același mod și așa mai departe la infinit.

a) suma perimetrelor tuturor acestor triunghiuri;

b) suma suprafețelor acestora.

999. Într-un pătrat cu o latură dar un nou pătrat este înscris prin conectarea punctelor medii ale laturilor sale; un pătrat este înscris în acest pătrat în același mod și așa mai departe la infinit. Aflați suma perimetrelor tuturor acestor pătrate și suma ariilor lor.

1000. Faceți o progresie geometrică infinit descrescătoare, astfel încât suma ei să fie egală cu 25 / 4, iar suma pătratelor termenilor săi să fie egală cu 625 / 24.

O progresie geometrică este o succesiune numerică, al cărei prim termen este diferit de zero și fiecare termen următor este egal cu termenul anterior înmulțit cu același număr diferit de zero.

Conceptul de progresie geometrică

Progresia geometrică se notează cu b1,b2,b3, …, bn, … .

Raportul dintre orice termen al erorii geometrice și termenul anterior este egal cu același număr, adică b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/bn = …. Aceasta rezultă direct din definiția unei progresii aritmetice. Acest număr se numește numitorul unei progresii geometrice. De obicei, numitorul unei progresii geometrice este notat cu litera q.

Suma unei progresii geometrice infinite pentru |q|<1

O modalitate de a seta o progresie geometrică este de a stabili primul său termen b1 și numitorul erorii geometrice q. De exemplu, b1=4, q=-2. Aceste două condiții dau o progresie geometrică de 4, -8, 16, -32, … .

Dacă q>0 (q nu este egal cu 1), atunci progresia este o secvență monotonă. De exemplu, secvența, 2, 4,8,16,32, ... este o secvență crescătoare monoton (b1=2, q=2).

Dacă numitorul q=1 în eroarea geometrică, atunci toți membrii progresiei geometrice vor fi egali între ei. În astfel de cazuri, se spune că progresia este o secvență constantă.

Pentru ca șirul numeric (bn) să fie o progresie geometrică, este necesar ca fiecare dintre membrii săi, începând de la al doilea, să fie media geometrică a elementelor învecinate. Adică este necesar să se îndeplinească următoarea ecuație
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), pentru orice n>0, unde n aparține mulțimii numerelor naturale N.

Acum să punem (Xn) - o progresie geometrică. Numitorul progresiei geometrice q, cu |q|∞).
Dacă notăm acum cu S suma unei progresii geometrice infinite, atunci următoarea formulă va fi valabilă:
S=x1/(1-q).

Luați în considerare un exemplu simplu:

Aflați suma unei progresii geometrice infinite 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ... .

Pentru a găsi S, folosim formula pentru suma unei progresii infinit aritmetice. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

Luați în considerare acum problema însumării unei progresii geometrice infinite. Să numim suma parțială a unei progresii infinite date suma primilor săi termeni. Notați suma parțială prin simbol

Pentru fiecare progresie infinită

se poate compune o succesiune (de asemenea infinită) a sumelor sale parțiale

Lasă o secvență cu creștere nelimitată să aibă o limită

În acest caz, numărul S, adică limita sumelor parțiale ale progresiei, se numește suma unei progresii infinite. Vom demonstra că o progresie geometrică descrescătoare infinită are întotdeauna o sumă și vom obține o formulă pentru această sumă (putem arăta și că pentru o progresie infinită nu are sumă, nu există).

Scriem expresia pentru suma parțială ca sumă a membrilor progresiei conform formulei (91.1) și considerăm limita sumei parțiale la

Din teorema articolului 89 se ştie că pentru o progresie descrescătoare ; prin urmare, aplicând teorema limitei diferenței, găsim

( aici se folosește și regula: factorul constant este scos din semnul limitei). Se dovedește existența și, în același timp, se obține formula pentru suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare:

Egalitatea (92.1) poate fi scrisă și ca

Aici poate părea paradoxal că o valoare finită bine definită este atribuită sumei unui set infinit de termeni.

O ilustrare clară poate fi dată pentru a explica această situație. Considerăm un pătrat cu latura egală cu unu (Fig. 72). Să împărțim acest pătrat printr-o linie orizontală în două părți egale și să aplicăm partea superioară pe cea inferioară astfel încât să se formeze un dreptunghi cu laturile 2 și . După aceea, împărțim din nou jumătatea dreaptă a acestui dreptunghi în jumătate printr-o linie orizontală și atașăm partea superioară la cea inferioară (așa cum se arată în Fig. 72). Continuând acest proces, transformăm în mod constant pătratul original cu suprafața egală cu 1 în figuri de dimensiuni egale (luând forma unei scări cu trepte subțiate).

Cu o continuare infinită a acestui proces, întreaga zonă a pătratului se descompune într-un număr infinit de termeni - ariile dreptunghiurilor cu baze egale cu 1 și înălțimi. Ariile dreptunghiurilor formează doar o progresie descrescătoare infinită, suma sa

adică, așa cum era de așteptat, este egală cu aria pătratului.

Exemplu. Aflați sumele următoarelor progresii infinite:

Rezolvare, a) Observăm că această progresie Prin urmare, prin formula (92.2) găsim

b) Aici înseamnă că prin aceeași formulă (92.2) avem

c) Constatăm că această progresie Prin urmare, această progresie nu are sumă.

În secțiunea 5, a fost prezentată aplicarea formulei pentru suma termenilor unei progresii infinit descrescătoare la conversia unei fracții zecimale periodice într-o fracție obișnuită.

Exerciții

1. Suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare este 3/5, iar suma primilor patru termeni ai săi este 13/27. Găsiți primul termen și numitorul progresiei.

2. Găsiți patru numere care formează o progresie geometrică alternativă, în care al doilea termen este mai mic decât primul cu 35, iar al treilea este mai mare decât al patrulea cu 560.

3. Arată ce se întâmplă dacă secvența

formează o progresie geometrică infinit descrescătoare, apoi succesiunea

pentru orice formă o progresie geometrică infinit descrescătoare. Este valabilă această afirmație pentru

Deduceți o formulă pentru produsul termenilor unei progresii geometrice.

Matematica este ceea ceoamenii controlează natura și pe ei înșiși.

Matematicianul sovietic, academicianul A.N. Kolmogorov

Progresie geometrică.

Alături de sarcinile pentru progresii aritmetice, sarcinile legate de conceptul de progresie geometrică sunt, de asemenea, frecvente la testele de admitere la matematică. Pentru a rezolva cu succes astfel de probleme, trebuie să cunoașteți proprietățile unei progresii geometrice și să aveți bune abilități în utilizarea lor.

Acest articol este dedicat prezentării principalelor proprietăți ale unei progresii geometrice. De asemenea, oferă exemple de rezolvare a unor probleme tipice, împrumutat din sarcinile probelor de admitere la matematică.

Să notăm în prealabil principalele proprietăți ale unei progresii geometrice și să amintim cele mai importante formule și enunțuri, asociat cu acest concept.

Definiție. O succesiune numerică se numește progresie geometrică dacă fiecare dintre numerele sale, începând de la al doilea, este egal cu precedentul, înmulțit cu același număr. Numărul se numește numitorul unei progresii geometrice.

Pentru o progresie geometricăformulele sunt valabile

, (1)

Unde . Formula (1) se numește formula termenului general al unei progresii geometrice, iar formula (2) este proprietatea principală a unei progresii geometrice: fiecare membru al progresiei coincide cu media geometrică a membrilor săi vecini și .

Notă, că tocmai din cauza acestei proprietăţi progresia în cauză se numeşte „geometrică”.

Formulele (1) și (2) de mai sus sunt rezumate după cum urmează:

, (3)

Pentru a calcula suma primul membrii unei progresii geometricese aplica formula

Dacă desemnăm

Unde . Deoarece , formula (6) este o generalizare a formulei (5).

În cazul când și progresie geometricăeste în scădere infinită. Pentru a calcula sumadintre toți membrii unei progresii geometrice infinit descrescătoare, se utilizează formula

. (7)

De exemplu , folosind formula (7), se poate arăta, ce

Unde . Aceste egalități se obțin din formula (7) cu condiția ca , (prima egalitate) și , (a doua egalitate).

Teorema. Daca atunci

Dovada. Daca atunci ,

Teorema a fost demonstrată.

Să trecem la luarea în considerare a exemplelor de rezolvare a problemelor pe tema „Progresiune geometrică”.

Exemplul 1 Având în vedere: , și . A găsi .

Soluţie. Dacă se aplică formula (5), atunci

Răspuns: .

Exemplul 2 Lasă și . A găsi .

Soluţie. Deoarece și , folosim formulele (5), (6) și obținem sistemul de ecuații

Dacă a doua ecuație a sistemului (9) este împărțită la prima, apoi sau . Din aceasta rezultă . Să luăm în considerare două cazuri.

1. Dacă , atunci din prima ecuație a sistemului (9) avem.

2. Dacă , atunci .

Exemplul 3 Să , și . A găsi .

Soluţie. Din formula (2) rezultă că sau . De când , atunci sau .

După condiție. Cu toate acestea , prin urmare . Pentru că și, atunci aici avem un sistem de ecuații

Dacă a doua ecuație a sistemului este împărțită la prima, atunci sau .

Deoarece , ecuația are o singură rădăcină adecvată . În acest caz, prima ecuație a sistemului implică .

Ținând cont de formula (7), obținem.

Răspuns: .

Exemplul 4 Având în vedere: și . A găsi .

Soluţie. De atunci .

Pentru că, atunci sau

Conform formulei (2), avem . În acest sens, din egalitatea (10) obținem sau .

Cu toate acestea, prin condiție, prin urmare.

Exemplul 5 Se știe că . A găsi .

Soluţie. Conform teoremei, avem două egalități

De când , atunci sau . Pentru că atunci .

Răspuns: .

Exemplul 6 Având în vedere: și . A găsi .

Soluţie.Ținând cont de formula (5), obținem

De atunci . De când , și , atunci .

Exemplul 7 Lasă și . A găsi .

Soluţie. Conform formulei (1), putem scrie

Prin urmare, avem sau . Se știe că și , prin urmare și .

Răspuns: .

Exemplul 8 Aflați numitorul unei progresii geometrice descrescătoare infinite dacă

Și .

Soluţie. Din formula (7) rezultăȘi . De aici și din starea problemei, obținem sistemul de ecuații

Dacă prima ecuație a sistemului este la pătrat, și apoi împărțiți ecuația rezultată la a doua ecuație, apoi primim

Sau .

Răspuns: .

Exemplul 9 Găsiți toate valorile pentru care șirul , , este o progresie geometrică.

Soluţie. Să , și . Conform formulei (2), care definește proprietatea principală a unei progresii geometrice, putem scrie sau .

De aici obținem ecuația pătratică, ale căror rădăcini suntȘi .

Să verificăm: dacă, apoi , și ; dacă , atunci , și .

În primul caz avemși , iar în al doilea - și .

Răspuns: , .

Exemplul 10rezolva ecuatia

, (11)

unde si .

Soluţie. Partea stângă a ecuației (11) este suma unei progresii geometrice descrescătoare infinite, în care și , cu condiția: și .

Din formula (7) rezultă, ce . În acest sens, ecuația (11) ia forma sau . rădăcină potrivită ecuația pătratică este

Răspuns: .

Exemplul 11. P succesiune de numere pozitiveformează o progresie aritmetică, dar - progresie geometrică, ce legatura are cu . A găsi .

Soluţie. pentru că succesiune aritmetică, apoi (proprietatea principală a unei progresii aritmetice). În măsura în care, apoi sau . Asta implică , că progresia geometrică este. Conform formulei (2), apoi scriem asta .

De când și , atunci . În acest caz, expresia ia forma sau . După condiție, deci din ecuațieobţinem soluţia unică a problemei luate în considerare, adică .

Răspuns: .

Exemplul 12. Calculați suma

. (12)

Soluţie. Înmulțiți ambele părți ale egalității (12) cu 5 și obțineți

Dacă scădem (12) din expresia rezultată, apoi

sau .

Pentru a calcula, înlocuim valorile în formula (7) și obținem . De atunci .

Răspuns: .

Exemplele de rezolvare a problemelor prezentate aici vor fi utile candidaților în pregătirea examenelor de admitere. Pentru un studiu mai profund al metodelor de rezolvare a problemelor, asociat cu o progresie geometrică, puteți folosi tutorialele din lista de literatură recomandată.

1. Culegere de sarcini la matematică pentru solicitanții la universitățile tehnice / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 p.

2. Suprun V.P. Matematică pentru liceeni: secțiuni suplimentare din programa școlară. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 p.

3. Medynsky M.M. Un curs complet de matematică elementară în sarcini și exerciții. Cartea 2: Secvențe de numere și progresii. – M.: Editus, 2015. - 208 p.

Aveti vreo intrebare?

Pentru a obține ajutorul unui tutore - înregistrați-vă.

site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Să luăm în considerare o serie.

7 28 112 448 1792...

Este absolut clar că valoarea oricăruia dintre elementele sale este exact de patru ori mai mare decât cea precedentă. Deci această serie este o progresie.

O progresie geometrică este o succesiune infinită de numere, a cărei caracteristică principală este că următorul număr se obține din cel anterior prin înmulțirea cu un anumit număr. Aceasta este exprimată prin următoarea formulă.

a z +1 =a z q, unde z este numărul elementului selectat.

În consecință, z ∈ N.

Perioada în care o progresie geometrică este studiată la școală este clasa a 9-a. Exemplele vă vor ajuta să înțelegeți conceptul:

0.25 0.125 0.0625...

Pe baza acestei formule, numitorul progresiei poate fi găsit după cum urmează:

Nici q, nici b z nu pot fi zero. De asemenea, fiecare dintre elementele progresiei nu trebuie să fie egal cu zero.

În consecință, pentru a afla următorul număr din serie, trebuie să-l înmulțiți pe ultimul cu q.

Pentru a specifica această progresie, trebuie să specificați primul ei element și numitorul. După aceea, este posibil să găsiți oricare dintre termenii următori și suma lor.

Soiuri

În funcție de q și a 1, această progresie este împărțită în mai multe tipuri:

• Dacă atât a 1 cât și q sunt mai mari decât unu, atunci o astfel de secvență este o progresie geometrică care crește cu fiecare element următor. Un exemplu în acest sens este prezentat mai jos.

Exemplu: a 1 =3, q=2 - ambii parametri sunt mai mari decât unul.

Apoi șirul numeric poate fi scris astfel:

3 6 12 24 48 ...

• Dacă |q| mai puțin de unu, adică înmulțirea cu ea echivalează cu împărțirea, atunci o progresie cu condiții similare este o progresie geometrică descrescătoare. Un exemplu în acest sens este prezentat mai jos.

Exemplu: a 1 =6, q=1/3 - a 1 este mai mare decât unu, q este mai mic.

Apoi, succesiunea numerică poate fi scrisă după cum urmează:

6 2 2/3 ... - orice element este de 3 ori mai mare decât elementul care îl urmează.

• Variabila semnului. Dacă q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Exemplu: a 1 = -3 , q = -2 - ambii parametri sunt mai mici decât zero.

Apoi secvența poate fi scrisă astfel:

3, 6, -12, 24,...

Formule

Pentru utilizarea convenabilă a progresiilor geometrice, există multe formule:

• Formula membrului z. Vă permite să calculați elementul sub un anumit număr fără a calcula numerele anterioare.

Exemplu:q = 3, A 1 = 4. Este necesar să se calculeze al patrulea element al progresiei.

Soluţie:A 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Suma primelor elemente al căror număr este z. Vă permite să calculați suma tuturor elementelor unei secvențe până laa zinclusiv.

Din moment ce (1-q) este la numitor, atunci (1 - q)≠ 0, prin urmare q nu este egal cu 1.

Notă: dacă q=1, atunci progresia ar fi o serie de un număr care se repetă la infinit.

Suma unei progresii geometrice, exemple:A 1 = 2, q= -2. Calculați S 5 .

Soluţie:S 5 = 22 - calcul prin formula.

• Suma dacă |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Exemplu:A 1 = 2 , q= 0,5. Găsiți suma.

Soluţie:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Unele proprietăți:

• proprietate caracteristică. Dacă apare următoarea condiție efectuat pentru oricez, atunci seria de numere dată este o progresie geometrică:

a z 2 = a z -1 · Az+1

• De asemenea, pătratul oricărui număr al unei progresii geometrice se găsește prin adăugarea pătratelor oricăror alte două numere dintr-o serie dată, dacă acestea sunt echidistante de acest element.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , Undeteste distanța dintre aceste numere.

• Elementediferă în qo singura data.
• Logaritmii elementelor de progresie formează și ele o progresie, dar deja aritmetică, adică fiecare dintre ele este mai mare decât precedentul cu un anumit număr.

Exemple de probleme clasice

Pentru a înțelege mai bine ce este o progresie geometrică, exemplele cu o soluție pentru clasa a 9-a pot ajuta.

• Termeni:A 1 = 3, A 3 = 48. Găsițiq.

Soluție: fiecare element următor este mai mare decât cel anterior înq o singura data.Este necesară exprimarea unor elemente prin altele folosind un numitor.

Prin urmare,A 3 = q 2 · A 1

La înlocuireq= 4

• Termeni:A 2 = 6, A 3 = 12. Calculați S 6 .

Soluţie:Pentru a face acest lucru, este suficient să găsiți q, primul element și să îl înlocuiți în formulă.

A 3 = q· A 2 , Prin urmare,q= 2

a 2 = q a 1,de aceea a 1 = 3

S 6 = 189

• · A 1 = 10, q= -2. Găsiți al patrulea element al progresiei.

Soluție: pentru a face acest lucru, este suficient să exprimați al patrulea element prin primul și prin numitor.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Exemplu de aplicare:

• Clientul băncii a făcut un depozit în valoare de 10.000 de ruble, în condițiile căreia în fiecare an clientul va adăuga 6% din aceasta la suma principală. Câți bani vor fi în cont după 4 ani?

Soluție: Suma inițială este de 10 mii de ruble. Deci, la un an de la investiție, contul va avea o sumă egală cu 10.000 + 10.000 · 0,06 = 10000 1,06

În consecință, suma din cont după un alt an va fi exprimată după cum urmează:

(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000

Adică în fiecare an suma crește de 1,06 ori. Aceasta înseamnă că pentru a găsi suma de fonduri în cont după 4 ani, este suficient să găsiți al patrulea element al progresiei, care este dat de primul element egal cu 10 mii, iar numitorul egal cu 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Exemple de sarcini pentru calcularea sumei:

În diverse probleme se folosește o progresie geometrică. Un exemplu pentru găsirea sumei poate fi dat după cum urmează:

A 1 = 4, q= 2, calculeazăS5.

Soluție: toate datele necesare pentru calcul sunt cunoscute, trebuie doar să le înlocuiți în formulă.

S 5 = 124

• A 2 = 6, A 3 = 18. Calculați suma primelor șase elemente.

Soluţie:

Geom. progresie, fiecare element următor este de q ori mai mare decât cel anterior, adică pentru a calcula suma, trebuie să cunoașteți elementulA 1 și numitorulq.

A 2 · q = A 3

q = 3

În mod similar, trebuie să găsimA 1 , știindA 2 Șiq.

A 1 · q = A 2

a 1 =2

S 6 = 728.