7.1. Definiţia cross product
Trei vectori necoplanari a , b și c , luați în ordinea indicată, formează un triplu drept dacă de la sfârșitul celui de-al treilea vector c se vede cea mai scurtă rotație de la primul vector a la al doilea vector b în sens invers acelor de ceasornic și unul stâng dacă este în sensul acelor de ceasornic (vezi Fig. 16).
Produsul vectorial al unui vector a și al vectorului b se numește vector c, care:
1. Perpendicular pe vectorii a și b, adică c ^ a și c ^ b;
2. Are o lungime egală numeric cu aria paralelogramului construit pe vectorii a șib ca pe laterale (vezi fig. 17), i.e.
3. Vectorii a , b și c formează un triplu drept.
produs vectorial notat a x b sau [a,b]. Din definiția unui produs vectorial, următoarele relații între ortele pe care le urmez direct, jȘi k(vezi fig. 18):
i x j \u003d k, j x k \u003d i, k x i \u003d j.
Să demonstrăm, de exemplu, că i xj \u003d k.
1) k ^ i , k ^ j;
2) |k |=1, dar | eu x j| = |i | |J| sin(90°)=1;
3) vectorii i , j și k formează un triplu drept (vezi Fig. 16).
7.2. Proprietăți încrucișate ale produsului
1. Când factorii sunt rearanjați, produsul vectorial își schimbă semnul, adică. și xb \u003d (b xa) (a se vedea Fig. 19).
Vectorii a xb și b xa sunt coliniari, au aceleași module (aria paralelogramului rămâne neschimbată), dar sunt direcționați opus (triplii a, b și xb și a, b, b x a de orientare opusă). Acesta este axb = -(bxa).
2. Produsul vectorial are o proprietate de combinație în raport cu un factor scalar, adică l (a xb) \u003d (l a) x b \u003d a x (l b).
Fie l >0. Vectorul l (a xb) este perpendicular pe vectorii a și b. Vector ( l topor b este de asemenea perpendiculară pe vectorii a şi b(vectorii a, l dar se află în același plan). Deci vectorii l(a xb) și ( l topor b coliniare. Este evident că direcțiile lor coincid. Au aceeasi lungime:
De aceea l(a xb)= l un xb. Se dovedește în mod similar pentru l<0.
3. Doi vectori nenuli a și b sunt coliniare dacă și numai dacă produsul lor vectorial este egal cu vectorul zero, adică și ||b<=>și xb \u003d 0.
În special, i *i =j *j =k *k =0 .
4. Produsul vectorial are o proprietate de distribuție:
(a+b) xs = a xs + b xs .
Accept fara dovezi.
7.3. Expresia încrucișată a produsului în termeni de coordonate
Vom folosi tabelul de produse încrucișate vectoriale i, jși k:
dacă direcția drumului cel mai scurt de la primul vector la al doilea coincide cu direcția săgeții, atunci produsul este egal cu al treilea vector, dacă nu se potrivește, al treilea vector este luat cu semnul minus.
Fie doi vectori a =a x i +a y j+az kși b=bx i+de către j+bz k. Să găsim produsul vectorial al acestor vectori înmulțindu-i ca polinoame (în funcție de proprietățile produsului vectorial):
Formula rezultată poate fi scrisă și mai scurt:
întrucât partea dreaptă a egalității (7.1) corespunde expansiunii determinantului de ordinul trei în ceea ce privește elementele din primul rând.Egalitatea (7.2) este ușor de reținut.
7.4. Unele aplicații ale produsului încrucișat
Stabilirea coliniarității vectorilor
Aflarea ariei unui paralelogram și a unui triunghi
Conform definiției produsului încrucișat al vectorilor darși b |a xb | =| a | * |b |sin g , adică S par = |a x b |. Și, prin urmare, D S \u003d 1/2 | a x b |.
Determinarea momentului de forță în jurul unui punct
Să fie aplicată o forță în punctul A F =AB lăsați-l să plece DESPRE- un punct din spațiu (vezi Fig. 20).
Din fizică se știe că cuplu F relativ la punct DESPRE numit vector M, care trece prin punct DESPREȘi:
1) perpendicular pe planul care trece prin puncte O, A, B;
2) egal numeric cu produsul dintre forță și umăr
3) formează un triplu drept cu vectorii OA și A B .
Prin urmare, M \u003d OA x F.
Aflarea vitezei liniare de rotație
Viteză v punctul M al unui corp rigid care se rotește cu o viteză unghiulară wîn jurul unei axe fixe, este determinată de formula Euler v \u003d w x r, unde r \u003d OM, unde O este un punct fix al axei (vezi Fig. 21).
Unghiul dintre vectori
Pentru a introduce conceptul de produs încrucișat al doi vectori, trebuie să ne ocupăm mai întâi de un astfel de concept precum unghiul dintre acești vectori.
Să ne dăm doi vectori $\overline(α)$ și $\overline(β)$. Să luăm un punct $O$ din spațiu și să lăsăm deoparte vectorii $\overline(α)=\overline(OA)$ și $\overline(β)=\overline(OB)$ din el, apoi unghiul $AOB $ va fi numit unghi între acești vectori (Fig. 1).
Notație: $∠(\overline(α),\overline(β))$
Conceptul de produs încrucișat al vectorilor și formula de găsire
Definiția 1
Produsul vectorial al doi vectori este un vector perpendicular pe ambii vectori dați, iar lungimea lui va fi egală cu produsul lungimilor acestor vectori cu sinusul unghiului dintre acești vectori, iar acest vector cu doi inițiali are același orientare ca sistem de coordonate carteziene.
Notație: $\overline(α)х\overline(β)$.
Matematic arata asa:
- $|\overline(α)x\overline(β)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin∠(\overline(α),\overline(β))$
- $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(β)$
- $(\overline(α)x\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ și $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ sunt aceeași orientată (Fig. 2)
Evident, produsul exterior al vectorilor va fi egal cu vectorul zero în două cazuri:
- Dacă lungimea unuia sau a ambilor vectori este zero.
- Dacă unghiul dintre acești vectori este egal cu $180^\circ$ sau $0^\circ$ (pentru că în acest caz sinusul este egal cu zero).
Pentru a vedea clar cum se găsește produsul încrucișat al vectorilor, luați în considerare următoarele exemple de soluție.
Exemplul 1
Aflați lungimea vectorului $\overline(δ)$, care va fi rezultatul produsului încrucișat al vectorilor, cu coordonatele $\overline(α)=(0,4,0)$ și $\overline(β) =(3,0,0 )$.
Soluţie.
Să descriem acești vectori în spațiul de coordonate carteziene (Fig. 3):
Figura 3. Vectorii în spațiul de coordonate carteziene. Autor24 - schimb online de lucrări ale studenților
Vedem că acești vectori se află pe axele $Ox$ și, respectiv, $Oy$. Prin urmare, unghiul dintre ele va fi egal cu $90^\circ$. Să aflăm lungimile acestor vectori:
$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$
$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$
Apoi, prin Definiția 1, obținem modulul $|\overline(δ)|$
$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$
Răspuns: $12$.
Calculul produsului încrucișat prin coordonatele vectorilor
Definiția 1 implică imediat o modalitate de a găsi produsul încrucișat pentru doi vectori. Deoarece un vector, pe lângă o valoare, are și o direcție, este imposibil să-l găsim doar folosind o valoare scalară. Dar, pe lângă aceasta, există o altă modalitate de a găsi vectorii pe care ni le-au dat folosind coordonatele.
Să ni se dea vectorii $\overline(α)$ și $\overline(β)$, care vor avea coordonatele $(α_1,α_2,α_3)$ și, respectiv, $(β_1,β_2,β_3)$. Apoi vectorul produsului încrucișat (și anume coordonatele sale) poate fi găsit prin următoarea formulă:
$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$
În caz contrar, extinzând determinantul, obținem următoarele coordonate
$\overline(α)х\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$
Exemplul 2
Găsiți vectorul produsului încrucișat al vectorilor coliniari $\overline(α)$ și $\overline(β)$ cu coordonatele $(0,3,3)$ și $(-1,2,6)$.
Soluţie.
Să folosim formula de mai sus. obține
$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\\-1&2&6\end(vmatrix)=(18 -6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k) )=(12,-3,3)$
Răspuns: $(12,-3,3)$.
Proprietăți ale produsului încrucișat al vectorilor
Pentru trei vectori amestecați arbitrar $\overline(α)$, $\overline(β)$ și $\overline(γ)$, precum și $r∈R$, sunt valabile următoarele proprietăți:
Exemplul 3
Găsiți aria unui paralelogram ale cărui vârfuri au coordonatele $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ și $(3,8,0) $.
Soluţie.
Mai întâi, desenați acest paralelogram în spațiul de coordonate (Fig. 5):
Figura 5. Paralelogram în spațiul de coordonate. Autor24 - schimb online de lucrări ale studenților
Vedem că cele două laturi ale acestui paralelogram sunt construite folosind vectori coliniari cu coordonatele $\overline(α)=(3,0,0)$ și $\overline(β)=(0,8,0)$. Folosind a patra proprietate, obținem:
$S=|\overline(α)x\overline(β)|$
Găsiți vectorul $\overline(α)х\overline(β)$:
$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$
prin urmare
$S=|\overline(α)x\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$
Utilizarea produsului încrucișat al VECTORS
pentru a calcula aria
unele forme geometrice
Lucrări de cercetare în matematică
Elevul 10 clasa B
MOU scoala gimnaziala №73
Perevoznikov Mihail
Lideri:
Profesor de matematică MOU școala secundară №73 Dragunova Svetlana Nikolaevna
Asistent de departament. Analiza Matematică a Facultății de Mecanică și Matematică, SSU N.G. Cernîșevski Berdnikov Gleb Sergheevici
Saratov, 2015
Introducere.
1. Revizuire teoretică.
1.1. Vectori și calcule cu vectori.
1.2. Utilizarea produsului scalar al vectorilor în rezolvarea problemelor
1.3 Produsul punctual al vectorilor în coordonate
1.4. Produs vectorial al vectorilor în spațiul euclidian tridimensional: definiția conceptului.
1.5. Coordonatele vectoriale produse ale vectorilor.
2. Partea practică.
2.1. Relația dintre produsul încrucișat și aria unui triunghi și a unui paralelogram. Derivarea formulei și semnificația geometrică a produsului vectorial al vectorilor.
2.2. Cunoscând doar coordonatele punctelor, găsiți aria triunghiului. Demonstrarea teoremei
2.3. Verificarea pe exemple a corectitudinii formulei.
2.4. Utilizarea practică a algebrei vectoriale și a produsului vectorilor.
Concluzie
Introducere
După cum știți, multe probleme geometrice au două soluții cheie - grafică și analitică. Metoda grafică este asociată cu construcția de grafice și desene, iar metoda analitică presupune rezolvarea problemelor în principal cu ajutorul operațiilor algebrice. În acest din urmă caz, algoritmul de rezolvare a problemelor este legat de geometria analitică. Geometria analitică este o ramură a matematicii, sau mai degrabă algebrei liniare, care are în vedere rezolvarea problemelor geometrice prin intermediul algebrei pe baza metodei coordonatelor în plan și în spațiu. Geometria analitică vă permite să analizați imagini geometrice, să explorați linii și suprafețe care sunt importante pentru aplicații practice. Mai mult, în această știință, pentru a extinde înțelegerea spațială a figurilor, în plus, se folosește uneori produsul vectorial al vectorilor.
Datorită utilizării pe scară largă a tehnologiilor spațiale tridimensionale, studiul proprietăților unor forme geometrice folosind un produs vectorial pare relevant.
În acest sens, a fost identificat scopul acestui proiect - utilizarea produsului încrucișat al vectorilor pentru a calcula aria unor forme geometrice.
În legătură cu acest obiectiv, au fost rezolvate următoarele sarcini:
1. Studiați teoretic fundamentele necesare ale algebrei vectoriale și definiți produsul vectorial al vectorilor într-un sistem de coordonate;
2. Analizați prezența unei conexiuni între un produs vectorial și aria unui triunghi și a unui paralelogram;
3. Deduceți formula pentru aria unui triunghi și a unui paralelogram în coordonate;
4. Verificați pe exemple specifice corectitudinea formulei derivate.
1. Revizuire teoretică.
Vectori și calcule cu vectori
Un vector este un segment direcționat, pentru care sunt indicate începutul și sfârșitul:
În acest caz, începutul segmentului este punctul DAR, sfârșitul segmentului este un punct ÎN. Vectorul în sine este notat cu 
sau 
. Pentru a afla coordonatele unui vector , cunoscând coordonatele punctelor sale de început A și ale punctului final B, este necesar să se scadă coordonatele corespunzătoare ale punctului de plecare din coordonatele punctului final:
= {
B
X
- A
X
; B
y
- A
y
}
Vectorii care se află pe drepte paralele sau pe aceeași linie se numesc coliniari. În acest caz, vectorul este un segment caracterizat prin lungime și direcție.
Lungimea segmentului direcționat determină valoarea numerică a vectorului și se numește lungimea vectorului sau modulul vectorului.
Lungimea vectorului || în coordonate carteziene dreptunghiulare este egală cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor coordonatelor sale.
Vectorii pot fi manipulați în multe moduri.
De exemplu, adaos. Pentru a le adăuga, mai întâi trebuie să desenați al doilea vector de la sfârșitul primului și apoi să conectați începutul primului la sfârșitul celui de-al doilea (Fig. 1). Suma vectorilor este un alt vector cu coordonate noi.
Suma vectorilor = {A X ; A y) Și 
= {b X ; b y) poate fi găsit folosind următoarea formulă:
+
= (a
X
+b
X
; A
y
+b
y
}
Orez. 1. Acțiuni cu vectori
Când scădeți vectori, trebuie mai întâi să le desenați dintr-un punct și apoi să conectați sfârșitul celui de-al doilea la sfârșitul primului.
Diferența de vector = {A X ; A y) Și 
= {b X ; b y }
poate fi găsit folosind formula:
-
= {
A
X
-b
X
; A
y
-b
y
}
De asemenea, vectorii pot fi înmulțiți cu un număr. Rezultatul va fi, de asemenea, un vector care este de k ori mai mare (sau mai mic) decât cel dat. Direcția sa va depinde de semnul lui k: dacă k este pozitiv, vectorii sunt în aceeași direcție, iar dacă k este negativ, ei sunt direcționați opus.
Produs vectorial = {A X ; A y }
iar numărul k poate fi găsit folosind următoarea formulă:
k = (k A
X
; k a
y
}
Este posibil să înmulțim un vector cu un vector? Desigur, și chiar două opțiuni!
Prima opțiune este produsul scalar.
Orez. 2. Punctați produsul în coordonate
Pentru a găsi produsul vectorilor, puteți utiliza unghiul dintre acești vectori, prezentat în Figura 3.
Din formula rezultă că produsul scalar este egal cu produsul lungimilor acestor vectori și cosinusul unghiului dintre ei, rezultatul său este un număr. Este important ca dacă vectorii sunt perpendiculari, atunci produsul lor scalar este egal cu zero, deoarece cosinusul unghiului drept dintre ele este zero.
În planul de coordonate, vectorul are și coordonate.ÎN vectorii, coordonatele lor și produsul punctual sunt unele dintre cele mai convenabile metode pentru calcularea unghiului dintre linii (sau segmentele acestora) dacă este introdus un sistem de coordonate.Iar dacă coordonatele 
, atunci produsul lor scalar este:
În spațiul tridimensional, există 3 axe și, în consecință, punctele și vectorii într-un astfel de sistem vor avea 3 coordonate, iar produsul scalar al vectorilor este calculat prin formula:
1.2. Produs vectorial al vectorilor în spațiul tridimensional.
A doua opțiune pentru calcularea produsului vectorilor este produsul vectorial. Dar pentru a-l determina nu mai este necesar un plan, ci un spațiu tridimensional în care începutul și sfârșitul vectorului au câte 3 coordonate.
Spre deosebire de produsul scalar al vectorilor din spațiul tridimensional, operația de „înmulțire a vectorilor” pe vectori conduce la un rezultat diferit. Dacă în cazul precedent al înmulțirii scalare a doi vectori rezultatul a fost un număr, atunci în cazul înmulțirii vectoriale a vectorilor rezultatul va fi un alt vector perpendicular pe ambii vectori care au intrat în produs. Prin urmare, acest produs al vectorilor se numește produs vectorial.
Evident, la construirea vectorului rezultat 
, perpendicular pe cele două care au intrat în produs - și , se pot alege două direcții opuse. În acest caz, direcția vectorului rezultat este determinată de regula mâinii drepte sau de regula gimlet.Dacă desenați vectorii astfel încât începutul lor să coincidă și rotiți primul vector multiplicator în cel mai scurt mod la al doilea vector multiplicator, iar patru degete ale mâinii drepte arată sensul de rotație (ca și cum ar acoperi un cilindru rotativ), atunci un degetul mare proeminent va arăta direcția vectorului produs (Fig. 7).
Orez. 7. Regula pentru mâna dreaptă
1.3. Proprietăți ale produsului încrucișat al vectorilor.
Lungimea vectorului rezultat este determinată de formula
.
în care 
produs vectorial. După cum sa menționat mai sus, vectorul rezultat va fi perpendicular 
, iar direcția sa este determinată de regula mâinii drepte.
Produsul vectorial depinde de ordinea factorilor și anume:
Produsul încrucișat al vectorilor non-zero este 0 dacă aceștia sunt coliniari, atunci sinusul unghiului dintre ei va fi 0.
Coordonatele vectorilor din spațiul tridimensional se exprimă astfel: . Apoi coordonatele vectorului rezultat sunt găsite prin formula
Lungimea vectorului rezultat se găsește prin formula:
.
2. Partea practică.
2.1. Legătura produsului vectorial cu aria unui triunghi și a unui paralelogram într-un plan. Semnificația geometrică a produsului încrucișat al vectorilor.
Să ni se dă un triunghi ABC (Fig. 8). Se știe că .
Dacă reprezentăm laturile triunghiului AB și AC ca doi vectori, atunci în formula ariei triunghiului găsim expresia produsului încrucișat al vectorilor:
Din cele de mai sus, putem determina semnificația geometrică a produsului vectorial (Fig. 9):
lungimea produsului încrucișat al vectorilor este egală cu dublul aria unui triunghi cu laturile vectorilor și , dacă aceștia sunt deoparte dintr-un punct.
Cu alte cuvinte, lungimea produsului încrucișat al vectorilor și este egală cu aria paralelogramului,construit pe vectoriȘi , cu laturile si si un unghi intre ele egal cu .
Orez. 9. Sensul geometric al produsului vectorial al vectorilor
În acest sens, putem da o altă definiție a produsului vectorial al vectorilor :
Produsul încrucișat al unui vector pe un vector se numește vector 
, a cărui lungime este numeric egală cu aria paralelogramului construit pe vectori și , perpendicular pe planul acestor vectori și direcționat astfel încât cea mai mică rotație de la k în jurul vectorului a fost efectuat în sens invers acelor de ceasornic atunci când este privit de la capătul vectorului (Fig. 10).
Orez. 10. Definirea produsului încrucișat al vectorilor
folosind un paralelogram
2.2. Derivarea unei formule pentru găsirea ariei unui triunghi în coordonate.
Deci, ni se dă un triunghi ABC în plan și coordonatele vârfurilor sale. Să găsim aria acestui triunghi (Fig. 11).
Orez. 11. Un exemplu de rezolvare a problemei de a găsi aria unui triunghi prin coordonatele vârfurilor sale
Soluţie.
În primul rând, luați în considerare coordonatele vârfurilor din spațiu și calculați coordonatele vectorilor AB și AC.
Conform formulei de mai sus, calculăm coordonatele produsului lor vectorial. Lungimea acestui vector este egală cu 2 zone ale triunghiului ABC. Aria unui triunghi este 10.
Mai mult, dacă luăm în considerare un triunghi pe un plan, atunci primele 2 coordonate ale produsului vectorial vor fi întotdeauna zero, deci putem formula următoarea teoremă.
Teoremă: Să fie dat un triunghi ABC și coordonatele vârfurilor sale (Fig. 12).
Apoi .
Orez. 12. Demonstrarea teoremei
Dovada.
Luați în considerare punctele din spațiu și calculați coordonatele vectorilor BC și BA. . Folosind formula de mai sus, calculăm coordonatele produsului încrucișat al acestor vectori. Rețineți că toți termenii care conținz 1 sau z 2 sunt egale cu 0, deoarece z 1i z 2 = 0. ELIMINA!!!
Astfel prin urmare,
2.3. Verificarea corectitudinii formulei pe exemple
Aflați aria unui triunghi format din vectori a = (-1; 2; -2) și b = (2; 1; -1).
Soluţie: Să găsim produsul încrucișat al acestor vectori:
A ×b=
I(2 (-1) - (-2) 1) - j((-1) (-1) - (-2) 2) + k((-1) 1 - 2 2) =
I(-2 + 2) - j(1 + 4) + k(-1 - 4) = -5 j - 5 k = (0; -5; -5)
Din proprietățile produsului vectorial:
SΔ =
| a×b| =
√ 02 + 52 + 52 =
√ 25 + 25 =
√ 50 =
5√ 2
Răspuns: SΔ = 2,5√2.
Concluzie
2.4. Aplicații ale algebrei vectoriale
și produsul scalar și încrucișat al vectorilor.
Unde sunt necesari vectorii? Spațiul vectorial și vectorii nu sunt doar teoretice, ci au și o aplicație practică foarte reală în lumea modernă.
În mecanică și fizică, multe mărimi au nu numai o valoare numerică, ci și o direcție. Astfel de mărimi se numesc mărimi vectoriale. Împreună cu utilizarea conceptelor mecanice elementare, bazate pe semnificația lor fizică, multe cantități sunt considerate vectori de alunecare, iar proprietățile lor sunt descrise atât prin axiome, așa cum este obișnuit în mecanica teoretică, cât și cu ajutorul proprietăților matematice ale vectorilor. Cele mai izbitoare exemple de mărimi vectoriale sunt viteza, impulsul și forța (Fig. 12). De exemplu, momentul unghiular și forța Lorentz sunt scrise matematic folosind vectori.
În fizică, nu numai vectorii înșiși sunt importanți, ci și produsele lor sunt importanți în mare măsură, ceea ce ajută la calcularea unor cantități. Produsul încrucișat este util pentru determinarea coliniarității vectorilor.Modulul produsului încrucișat a doi vectori este egal cu produsul modulelor lor dacă aceștia sunt perpendiculari și scade la zero dacă vectorii sunt co-direcționați sau direcționați opus.
Ca un alt exemplu, produsul scalar este utilizat pentru a calcula lucrul folosind formula de mai jos, unde F este vectorul forță și s este vectorul deplasării.
Un exemplu de utilizare a produsului vectorilor este momentul forței, care este egal cu produsul vectorului rază tras de la axa de rotație până la punctul de aplicare al forței și vectorul acestei forțe.
O mare parte din ceea ce se calculează în fizică prin regula mâinii drepte este un produs încrucișat. Găsiți dovezi, dați exemple.
De asemenea, este de remarcat faptul că posibilele variante ale spațiilor vectoriale nu se limitează la spațiul bidimensional și tridimensional. Matematica superioară are în vedere spații de dimensiuni mai mari, în care sunt definiți și analogi de formule pentru produsele scalare și vectoriale. În ciuda faptului că spațiile de dimensiune mai mare de 3, mintea umană nu este capabilă să vizualizeze, ele găsesc în mod surprinzător aplicații în multe domenii ale științei și industriei.
În același timp, rezultatul produsului încrucișat al vectorilor din spațiul euclidian tridimensional nu este un număr, ci vectorul rezultat cu propriile coordonate, direcție și lungime.
Direcția vectorului rezultat este determinată de regula mâinii drepte, care este una dintre cele mai surprinzătoare prevederi ale geometriei analitice.
Produsul încrucișat al vectorilor poate fi utilizat pentru a găsi aria unui triunghi sau paralelogram având în vedere coordonatele vârfurilor, care a fost confirmată prin derivarea unei formule, demonstrarea unei teoreme și rezolvarea unor probleme practice.
Vectorii sunt folosiți pe scară largă în fizică, unde indicatori precum viteza, impulsul și forța pot fi reprezentați ca mărimi vectoriale și calculați geometric.
Lista surselor utilizate
Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B. și colab. Geometrie. Clasele 7-9: un manual pentru instituțiile de învățământ. M.: , 2013. 383 p.
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. și colab., Geometrie. Clasele 10-11: un manual pentru organizațiile educaționale: niveluri de bază și de profil. M.: , 2013. 255 p.
Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Matematică superioară. Volumul unu: Elemente de algebră liniară și geometrie analitică.
Kletenik D.V. Culegere de probleme de geometrie analitică. Moscova: Nauka, Fizmatlit, 1998.
Geometrie analitică.
Matematica. Trifoi.
Învățarea matematicii online.
http://ru.onlinemschool.com/math/library/vector/multiply1/
Site-ul lui V. Glaznev.
http://glaznev.sibcity.ru/1kurs/analit/common/html/anlek7.htm
Wikipedia.
https://ru.wikipedia.org/wiki/%C2%E5%EA%F2%EE%F0%ED%EE%E5_%EF%F0%EE%E8%E7%E2%E5%E4%E5%ED %E8%E5
În această lecție, ne vom uita la alte două operații cu vectori: produs încrucișat al vectorilorȘi produs mixt al vectorilor (link imediat pentru cei care au nevoie). E în regulă, se întâmplă uneori ca pentru fericire deplină, pe lângă produs scalar al vectorilor, este nevoie din ce în ce mai mult. Așa este dependența de vectori. Se poate avea impresia că intrăm în jungla geometriei analitice. Nu este adevarat. În această secțiune a matematicii superioare, în general există puține lemne de foc, cu excepția poate suficient pentru Pinocchio. De fapt, materialul este foarte comun și simplu - cu greu mai dificil decât același produs scalar, chiar și vor fi mai puține sarcini tipice. Principalul lucru în geometria analitică, așa cum mulți vor vedea sau au văzut deja, este să nu greșești CALCULELE. Repetați ca o vrajă și veți fi fericit =)
Dacă vectorii scânteie undeva departe, ca fulgerul la orizont, nu contează, începe cu lecția Vectori pentru manechine pentru a restabili sau redobândi cunoștințe de bază despre vectori. Cititorii mai pregătiți se pot familiariza cu informațiile în mod selectiv, am încercat să colectez cea mai completă colecție de exemple care se găsesc adesea în lucrările practice
Ce te va face fericit? Când eram mică, puteam jongla cu două și chiar trei bile. A mers bine. Acum nu este nevoie să jonglam deloc, deoarece vom lua în considerare numai vectori spațiali, iar vectorii plati cu două coordonate vor fi lăsați afară. De ce? Așa s-au născut aceste acțiuni - vectorul și produsul mixt al vectorilor sunt definite și funcționează în spațiul tridimensional. Deja mai ușor!
În această operație, în același mod ca și în produsul scalar, doi vectori. Să fie litere nepieritoare.
Acțiunea în sine notatîn felul următor: . Există și alte opțiuni, dar sunt obișnuit să desemnez produsul încrucișat al vectorilor în acest fel, între paranteze drepte cu o cruce.
Și imediat întrebare: dacă în produs scalar al vectorilor sunt implicați doi vectori și aici se înmulțesc și doi vectori, atunci Care este diferența? O diferență clară, în primul rând, în REZULTAT:
Rezultatul produsului scalar al vectorilor este un NUMĂR:
Rezultatul produsului încrucișat al vectorilor este un VECTOR: , adică înmulțim vectorii și obținem din nou un vector. Club închis. De fapt, de aici și numele operațiunii. În diverse literaturi educaționale, denumirile pot varia, de asemenea, voi folosi litera .
Definiţia cross product
Mai întâi va fi o definiție cu o imagine, apoi comentarii.
Definiție: produs încrucișat necoliniare vectori, luate în această ordine, se numește VECTOR, lungime care este numeric egală cu aria paralelogramului, construit pe acești vectori; vector ortogonală la vectori, și este îndreptată astfel încât baza să aibă o orientare corectă: 
Analizăm definiția după oase, sunt o mulțime de lucruri interesante!
Deci, putem evidenția următoarele puncte semnificative:
1) Vectori sursă, indicați prin săgeți roșii, prin definiție nu coliniare. Va fi potrivit să luăm în considerare cazul vectorilor coliniari puțin mai târziu.
2) Vectorii luați într-o ordine strictă: – „a” se înmulțește cu „fi”, nu „fi” la „a”. Rezultatul înmulțirii vectoriale este VECTOR , care este notat cu albastru. Dacă vectorii sunt înmulțiți în ordine inversă, atunci obținem un vector egal în lungime și opus în direcție (culoare purpurie). Adică egalitatea 
.
3) Acum să ne familiarizăm cu semnificația geometrică a produsului vectorial. Acesta este un punct foarte important! LUNGIMEA vectorului albastru (și, prin urmare, a vectorului purpuriu ) este numeric egală cu AREA paralelogramului construit pe vectorii . În figură, acest paralelogram este umbrit în negru.
Notă : desenul este schematic și, desigur, lungimea nominală a produsului încrucișat nu este egală cu aria paralelogramului.
Reamintim una dintre formulele geometrice: aria unui paralelogram este egală cu produsul laturilor adiacente și sinusul unghiului dintre ele. Prin urmare, pe baza celor de mai sus, formula pentru calcularea LUNGIMEI unui produs vectorial este valabilă:
Subliniez că în formulă vorbim despre LUNGIMEA vectorului, și nu despre vectorul în sine. Care este sensul practic? Și semnificația este de așa natură încât, în problemele de geometrie analitică, aria unui paralelogram este adesea găsită prin conceptul de produs vectorial:
Obținem a doua formulă importantă. Diagonala paralelogramului (linia punctată roșie) îl împarte în două triunghiuri egale. Prin urmare, aria unui triunghi construit pe vectori (umbrire roșie) poate fi găsită prin formula:
4) Un fapt la fel de important este că vectorul este ortogonal cu vectorii , adică 
. Desigur, vectorul direcționat opus (săgeata purpurie) este, de asemenea, ortogonal cu vectorii originali.
5) Vectorul este îndreptat astfel încât bază Are dreapta orientare. Într-o lecție despre trecerea la o nouă bază Am vorbit în detaliu despre orientarea planului, iar acum ne vom da seama care este orientarea spațiului. Îți voi explica pe degete mana dreapta. Combinați mental degetul arătător cu vector şi degetul mijlociu cu vector . Degetul inelar și degetul mic apăsați în palmă. Ca rezultat deget mare- produsul vectorial va căuta în sus. Aceasta este baza orientată spre dreapta (este în figură). Acum schimbați vectorii ( degetele arătător și mijlociu) în unele locuri, ca rezultat, degetul mare se va întoarce, iar produsul vectorial va privi deja în jos. Aceasta este, de asemenea, o bază orientată spre dreapta. Poate ai o întrebare: ce bază are o orientare spre stânga? „Atribuiți” aceleași degete mâna stângă vectori și obțineți baza stângă și orientarea spațiului stâng (în acest caz, degetul mare va fi situat în direcția vectorului inferior). Figurat vorbind, aceste baze „întorc” sau orientează spațiul în direcții diferite. Și acest concept nu ar trebui considerat ceva exagerat sau abstract - de exemplu, cea mai obișnuită oglindă schimbă orientarea spațiului și, dacă „trageți obiectul reflectat din oglindă”, atunci, în general, nu va fi posibil să combinați-l cu „originalul”. Apropo, aduceți trei degete la oglindă și analizați reflexia ;-)
... cât de bine este despre care știi acum orientat spre dreapta si stanga baze, deoarece afirmațiile unor lectori despre schimbarea de orientare sunt groaznice =)
Produs vectorial al vectorilor coliniari
Definiția a fost elaborată în detaliu, rămâne de aflat ce se întâmplă când vectorii sunt coliniari. Dacă vectorii sunt coliniari, atunci pot fi plasați pe o linie dreaptă și paralelogramul nostru se „pliază” într-o singură linie dreaptă. Zona de astfel de, așa cum spun matematicienii, degenerat paralelogramul este zero. Același lucru rezultă din formula - sinusul lui zero sau 180 de grade este egal cu zero, ceea ce înseamnă că aria este zero
Astfel, dacă , atunci 
Și 
. Vă rugăm să rețineți că produsul încrucișat în sine este egal cu vectorul zero, dar în practică acest lucru este adesea neglijat și scris că este, de asemenea, egal cu zero.
Un caz special este produsul vectorial al unui vector și însuși:
Folosind produsul încrucișat, puteți verifica coliniaritatea vectorilor tridimensionali și vom analiza și această problemă, printre altele.
Pentru a rezolva exemple practice, poate fi necesar tabel trigonometric pentru a afla valorile sinusurilor din ea.
Ei bine, hai să pornim un foc:
Exemplul 1
a) Aflați lungimea produsului vectorial al vectorilor dacă 
b) Aflați aria unui paralelogram construit pe vectori dacă 
Soluţie: Nu, aceasta nu este o greșeală de tipar, am făcut în mod intenționat datele inițiale din elementele de stare la fel. Pentru că designul soluțiilor va fi diferit!
a) După condiție, se cere să se constate lungime vector (produs vectorial). Conform formulei corespunzătoare:
Răspuns:
Deoarece a fost întrebat despre lungime, atunci în răspuns indicăm dimensiunea - unități.
b) După condiţie se cere să se constate zonă paralelogram construit pe vectori . Aria acestui paralelogram este numeric egală cu lungimea produsului încrucișat:
Răspuns:
Vă rugăm să rețineți că în răspunsul despre produsul vectorial nu se vorbește deloc, despre care am fost întrebați zona figurii, respectiv, dimensiunea este unități pătrate.
Ne uităm mereu la CE trebuie să fie găsit de condiție și, pe baza acesteia, formulăm clar Răspuns. Poate părea literalism, dar există destui literaliști printre profesori, iar sarcina cu șanse mari va fi returnată pentru revizuire. Deși aceasta nu este o problemă deosebit de tensionată - dacă răspunsul este incorect, atunci avem impresia că persoana nu înțelege lucruri simple și/sau nu a aprofundat în esența sarcinii. Acest moment trebuie ținut mereu sub control, rezolvând orice problemă la matematică superioară, dar și la alte materii.
Unde s-a dus litera mare „en”? În principiu, ar putea fi în plus lipit de soluție, dar pentru a scurta înregistrarea, nu am făcut-o. Sper că toată lumea înțelege asta și este denumirea aceluiași lucru.
Un exemplu popular pentru o soluție do-it-yourself:
Exemplul 2
Găsiți aria unui triunghi construit pe vectori dacă 
Formula pentru găsirea ariei unui triunghi prin produsul vectorial este dată în comentariile la definiție. Soluție și răspuns la sfârșitul lecției.
În practică, sarcina este într-adevăr foarte comună, triunghiurile pot fi în general torturate.
Pentru a rezolva alte probleme, avem nevoie de:
Proprietăți ale produsului încrucișat al vectorilor
Am luat în considerare deja unele proprietăți ale produsului vectorial, totuși, le voi include în această listă.
Pentru vectorii arbitrari și un număr arbitrar, următoarele proprietăți sunt adevărate:
1) În alte surse de informații, acest articol nu este de obicei distins în proprietăți, dar este foarte important în termeni practici. Asa ca lasa sa fie.
2) 
- mai sus se discuta si proprietatea, uneori se numeste anticomutativitatea. Cu alte cuvinte, ordinea vectorilor contează.
3) - combinație sau asociativ legile produselor vectoriale. Constantele sunt ușor scoase din limitele produsului vectorial. Serios, ce fac ei acolo?
4) - distributie sau distributie legile produselor vectoriale. Nici cu deschiderea consolelor nu sunt probleme.
Ca o demonstrație, luați în considerare un exemplu scurt:
Exemplul 3
Găsiți dacă 
Soluţie: Prin condiție, este din nou necesar să se găsească lungimea produsului vectorial. Să ne pictăm miniatura: 
(1) Conform legilor asociative, scoatem constantele dincolo de limitele produsului vectorial.
(2) Scoatem constanta din modul, în timp ce modulul „mâncă” semnul minus. Lungimea nu poate fi negativă.
(3) Ceea ce urmează este clar.
Răspuns: 
E timpul să arunci lemne pe foc:
Exemplul 4
Calculați aria unui triunghi construit pe vectori dacă 
Soluţie: Găsiți aria unui triunghi folosind formula 
. Problema este că vectorii „ce” și „te” sunt ei înșiși reprezentați ca sume de vectori. Algoritmul de aici este standard și amintește oarecum de exemplele nr. 3 și 4 ale lecției. Produsul punctual al vectorilor. Să o împărțim în trei pași pentru claritate:
1) La primul pas, exprimăm produsul vectorial prin produsul vectorial, de fapt, exprimă vectorul în termeni de vector. Nu există încă niciun cuvânt despre lungime!
(1) Înlocuim expresii ale vectorilor .
(2) Folosind legi distributive, deschidem parantezele după regula înmulțirii polinoamelor.
(3) Folosind legile asociative, scoatem toate constantele dincolo de produsele vectoriale. Cu puțină experiență, acțiunile 2 și 3 pot fi efectuate simultan.
(4) Primul și ultimul termen sunt egali cu zero (vector zero) datorită proprietății plăcute . În al doilea termen, folosim proprietatea de anticomutativitate a produsului vectorial:
(5) Prezentăm termeni similari.
Ca rezultat, vectorul s-a dovedit a fi exprimat printr-un vector, care era ceea ce trebuia să fie realizat: 
2) La a doua etapă, găsim lungimea produsului vectorial de care avem nevoie. Această acțiune este similară cu Exemplul 3: 
3) Găsiți aria triunghiului necesar: 
Pașii 2-3 ai soluției ar putea fi aranjați într-o singură linie.
Răspuns:
Problema luată în considerare este destul de comună în teste, iată un exemplu pentru o soluție independentă:
Exemplul 5
Găsiți dacă
Soluție scurtă și răspuns la sfârșitul lecției. Să vedem cât de atent ai fost când ai studiat exemplele anterioare ;-)
Produsul încrucișat al vectorilor în coordonate
, dat în baza ortonormală , este exprimat prin formula:
Formula este foarte simplă: scriem vectorii de coordonate în linia superioară a determinantului, „împachetăm” coordonatele vectorilor în a doua și a treia linie și punem în ordine strictă- mai întâi, coordonatele vectorului „ve”, apoi coordonatele vectorului „dublu-ve”. Dacă vectorii trebuie înmulțiți într-o ordine diferită, atunci liniile ar trebui, de asemenea, schimbate: 
Exemplul 10
Verificați dacă următorii vectori spațiali sunt coliniari:
dar)
b) 
Soluţie: Testul se bazează pe una dintre afirmațiile din această lecție: dacă vectorii sunt coliniari, atunci produsul lor încrucișat este zero (vector zero): 
.
a) Găsiți produsul vectorial: 
Deci vectorii nu sunt coliniari.
b) Găsiți produsul vectorial: 
Răspuns: a) nu este coliniar, b)
Iată, probabil, toate informațiile de bază despre produsul vectorial al vectorilor.
Această secțiune nu va fi foarte mare, deoarece există puține probleme în care se utilizează produsul mixt al vectorilor. De fapt, totul se va baza pe definiție, sens geometric și câteva formule de lucru.
Produsul mixt al vectorilor este produsul a trei vectori:
Așa s-au aliniat ca un tren și așteaptă, nu pot aștepta până vor fi calculate.
În primul rând, definiția și imaginea:
Definiție: produs amestecat necoplanare vectori, luate în această ordine, se numește volumul paralelipipedului, construit pe acești vectori, echipat cu un semn „+” dacă baza este dreapta și un semn „-” dacă baza este stângă.
Hai să facem desenul. Liniile invizibile pentru noi sunt trasate de o linie punctată: 
Să ne aruncăm în definiție:
2) Vectorii luați într-o anumită ordine, adică permutarea vectorilor în produs, după cum ați putea ghici, nu este fără consecințe.
3) Înainte de a comenta semnificația geometrică, voi remarca faptul evident: produsul mixt al vectorilor este un NUMĂR: . În literatura educațională, designul poate fi oarecum diferit, am folosit pentru a desemna un produs mixt prin, iar rezultatul calculelor cu litera „pe”.
Prin definitie produsul amestecat este volumul paralelipipedului, construit pe vectori (figura este desenată cu vectori roșii și linii negre). Adică, numărul este egal cu volumul paralelipipedului dat.
Notă : Desenul este schematic.
4) Să nu ne mai chinuim cu conceptul de orientare a bazei și a spațiului. Semnificația părții finale este că se poate adăuga un semn minus la volum. În termeni simpli, produsul mixt poate fi negativ: .
Formula de calcul a volumului unui paralelipiped construit pe vectori rezultă direct din definiție.
produs vectorial este un pseudovector perpendicular pe planul construit de doi factori, care este rezultatul operației binare „înmulțire vectorială” pe vectori din spațiul euclidian tridimensional. Produsul vectorial nu are proprietățile comutativității și asociativității (este anticomutativ) și, spre deosebire de produsul scalar al vectorilor, este un vector. Utilizat pe scară largă în multe aplicații tehnice și fizice. De exemplu, momentul unghiular și forța Lorentz sunt scrise matematic ca un produs încrucișat. Produsul încrucișat este util pentru „măsurarea” perpendicularității vectorilor - modulul produsului încrucișat a doi vectori este egal cu produsul modulelor lor dacă aceștia sunt perpendiculari și scade la zero dacă vectorii sunt paraleli sau antiparaleli.
Puteți defini un produs vectorial în diferite moduri și, teoretic, într-un spațiu de orice dimensiune n, puteți calcula produsul dintre n-1 vectori, obținând în același timp un singur vector perpendicular pe toți. Dar dacă produsul este limitat la produse binare non-triviale cu rezultate vectoriale, atunci produsul vectorial tradițional este definit doar în spații tridimensionale și șapte-dimensionale. Rezultatul produsului vectorial, ca și produsul scalar, depinde de metrica spațiului euclidian.
Spre deosebire de formula de calcul a produsului scalar din coordonatele vectorilor dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular tridimensional, formula pentru produsul vectorial depinde de orientarea sistemului de coordonate dreptunghiulare sau, cu alte cuvinte, de „chiralitatea” acestuia.
Definiție:
Produsul vectorial dintre un vector a și un vector b în spațiul R 3 se numește vector c care îndeplinește următoarele cerințe:
lungimea vectorului c este egală cu produsul dintre lungimile vectorilor a și b și sinusul unghiului φ dintre ei:
|c|=|a||b|sin φ;
vectorul c este ortogonal cu fiecare dintre vectorii a și b;
vectorul c este direcționat astfel încât triplul vectorilor abc să fie corect;
în cazul spaţiului R7 se cere asociativitatea triplului vectorilor a,b,c.
Desemnare:
c===a×b
Orez. 1. Aria unui paralelogram este egală cu modulul produsului încrucișat
Proprietățile geometrice ale produsului încrucișat:
O condiție necesară și suficientă pentru coliniaritatea a doi vectori nenuli este egalitatea produsului lor vectorial la zero.
Modul de produs încrucișat este egal cu suprafata S paralelogram construit pe vectori reduși la o origine comună AȘi b(vezi fig. 1).
Dacă e- vector unitar ortogonal cu vectorii AȘi bşi ales astfel încât triplul a fi- corect, și S- aria paralelogramului construit pe ele (redusă la o origine comună), atunci următoarea formulă este adevărată pentru produsul vectorial:
=S e
Fig.2. Volumul paralelipipedului atunci când se utilizează produsul vectorial și scalar al vectorilor; liniile punctate arată proiecțiile vectorului c pe a × b și ale vectorului a pe b × c, primul pas este găsirea produselor interioare
Dacă c- orice vector π
- orice plan care conține acest vector, e- vector unitar situat în plan π
și ortogonală la c,g- vector unitar ortogonal cu planul π
şi direcţionată astfel încât triplul vectorilor ecg este corect, atunci pentru orice culcat în avion π
vector A formula corecta este:
=Pr e a |c|g
unde Pr e a este proiecția vectorului e pe a
|c|-modul vectorului c
Când utilizați produse vectoriale și scalare, puteți calcula volumul unui paralelipiped construit pe vectori reduși la o origine comună a, bȘi c. Un astfel de produs de trei vectori se numește mixt.
V=|a (b×c)|
Figura arată că acest volum poate fi găsit în două moduri: rezultatul geometric este păstrat chiar și atunci când produsele „scalare” și „vectorale” sunt interschimbate:
V=a×b c=a b×c
Valoarea produsului încrucișat depinde de sinusul unghiului dintre vectorii inițiali, astfel încât produsul încrucișat poate fi considerat ca gradul de „perpendicularitate” al vectorilor, la fel cum produsul punctual poate fi considerat ca gradul de "paralelism". Produsul încrucișat a doi vectori unitari este egal cu 1 (un vector unitar) dacă vectorii inițiali sunt perpendiculari și egal cu 0 (vector zero) dacă vectorii sunt paraleli sau antiparaleli.
Exprimarea produsului încrucișat în coordonate carteziene
Dacă doi vectori AȘi b sunt definite prin coordonatele lor carteziene dreptunghiulare sau, mai precis, sunt reprezentate pe o bază ortonormală
a=(a x ,a y ,a z)
b=(b x ,b y ,b z)
iar sistemul de coordonate este corect, atunci produsul lor vectorial are forma
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
Pentru a reține această formulă:
i =∑ε ijk a j b k
Unde ε ijk- simbolul lui Levi-Civita.