Definiția 8.3 (1).

Lungimea |z| vectorul z = (x, y) se numește modulul numărului complex z = x + yi

Deoarece lungimea fiecărei laturi a triunghiului nu depășește suma lungimilor celorlalte două laturi ale sale, iar valoarea absolută a diferenței dintre lungimile celor două laturi ale triunghiului nu este mai mică decât lungimea celei de-a treia laturi. , atunci pentru oricare două numere complexe z 1 și z 2 inegalitățile sunt valabile

Definiția 8.3 (2).

Argumentul numărului complex. Dacă φ este unghiul format dintr-un vector z diferit de zero cu axa reală, atunci orice unghi de forma (φ + 2πn, unde n este un număr întreg și numai un astfel de unghi) va fi, de asemenea, un unghi format de vector z cu axa reală.

Mulțimea tuturor unghiurilor pe care le formează un vector diferit de zero z = (x, y) cu axa reală se numește argumentul numărului complex z = x + yi și se notează cu arg z. Fiecare element al acestei mulțimi se numește valoarea argumentului numărului z (Fig. 8.3(1)).

Orez. 8.3(1).

Deoarece un vector plan diferit de zero este determinat în mod unic de lungimea sa și de unghiul pe care îl formează cu axa x, atunci două numere complexe, care sunt diferite de zero, sunt egale dacă și numai dacă valorile lor absolute și argumentele sunt egale.

Dacă, de exemplu, condiția 0≤φ este impusă valorilor argumentului φ al numărului z<2π или условие -π<φ≤π, то значение аргумента будет определено однозначно. Такое значение называется главным значением аргумента.

Definiția 8.3.(3)

Forma trigonometrică a unui număr complex. Părțile reale și imaginare ale unui număr complex z = x + yi ≠ 0 sunt exprimate prin modulul său r= |z| iar argumentul φ după cum urmează (din definiția sinusului și cosinusului):

Partea dreaptă a acestei egalități se numește forma trigonometrică a numărului complex z. O vom folosi și pentru z = 0; în acest caz r = 0, iar φ poate lua orice valoare - argumentul numărului 0 nu este definit. Deci, orice număr complex poate fi scris în formă trigonometrică.

De asemenea, este clar că dacă numărul complex z se scrie ca

atunci numărul r este modulul său, deoarece

Și φ este una dintre valorile argumentului său

Forma trigonometrică de scriere a numerelor complexe poate fi convenabilă de utilizat la înmulțirea numerelor complexe, în special, vă permite să aflați semnificația geometrică a produsului numerelor complexe.

Să găsim formule pentru înmulțirea și împărțirea numerelor complexe în forma trigonometrică a notației lor. Dacă

apoi prin regula înmulțirii numerelor complexe (folosind formulele pentru sinusul și cosinusul sumei)

Astfel, atunci când numerele complexe sunt înmulțite, valorile lor absolute sunt înmulțite și argumentele sunt adăugate:

Aplicând această formulă succesiv la n numere complexe, obținem

Dacă toate n numere sunt egale, obținem

Unde sa

efectuat

Prin urmare, pentru un număr complex a cărui valoare absolută este 1 (prin urmare, are forma

Această egalitate se numește Formule De Moivre

Cu alte cuvinte, la împărțirea numerelor complexe, modulele lor sunt împărțite,

iar argumentele se scad.

Exemplele 8.3(1).

Desenați pe planul complex C o mulțime de puncte care îndeplinesc următoarele condiții:

Un număr complex este un număr de forma z = x + i * y, unde x și y sunt reale numerele, și i = unitate imaginară (adică, un număr al cărui pătrat este -1). Pentru a defini conceptul argument integrat numerele, este necesar să se ia în considerare numărul complex pe plan complex în sistemul de coordonate polare.

Instruire

Planul pe care se află complexul numerele, se numește complex. Pe acest plan, axa orizontală este ocupată de real numerele(x), iar axa verticală - imaginară numerele(y). Pe un astfel de plan, numărul este dat de două coordonate z = (x, y). În sistemul de coordonate polar, coordonatele unui punct sunt modulul și argumentul. Modulul este distanța |z| de la punct la origine. Argumentul este unghiul dintre vectorul care leagă punctul și originea și axa orizontală a sistemului de coordonate (vezi figura).

Din figură se poate observa că modulul complexului numerele z = x + i * y se găsește prin teorema lui Pitagora: |z| = ? (x^2 + y^2). Argument suplimentar numerele z se găsește ca unghi ascuțit al unui triunghi - prin valorile funcțiilor trigonometrice sin, cos, tg:sin = y / ? (x^2 + y^2),
cos = x/? (x^2 + y^2),
tg = y / x.

De exemplu, să fie dat numărul z = 5 * (1 + ?3 * i). În primul rând, selectați părțile reale și imaginare: z = 5 +5 * ?3 * i. Rezultă că partea reală x = 5, iar partea imaginară y = 5 * ?3. Calculați modulul numerele: |z| = ?(25 + 75) = ?100 =10. Apoi, găsiți sinusul unghiului: sin \u003d 5 / 10 \u003d 1 / 2. Acest lucru dă argumentul numerele z este 30°.

Exemplul 2. Fie dat numărul z = 5 * i. Figura arată că unghiul = 90°. Verificați această valoare cu formula de mai sus. Notați coordonatele acestuia numerele pe planul complex: z = (0, 5). Modul numerele|z| = 5. Tangenta unghiului tg = 5 / 5 = 1. Rezultă că = 90°.

Exemplul 3. Să fie necesar să găsim argumentul sumei a două numere complexe z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i. Conform regulilor de adăugare, adăugați aceste două complexe numerele: z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i. În plus, conform schemei de mai sus, calculați argumentul: tg = 9 / 3 = 3.

Corespunzător acestui număr: .
Modulul unui număr complex z este de obicei notat cu | z| sau r.

Fie și să fie numere reale astfel încât un număr complex (notație obișnuită). Apoi

Fundația Wikimedia. 2010 .

Vedeți ce este „Modulul unui număr complex” în alte dicționare:

modulul numerelor complexe- kompleksinio skaičiaus modulis statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. modulul numărului complex vok. Betrag der complexen Zahl, m rus. modulul numărului complex, m pranc. module du nombre complex, m … Fizikos terminų žodynas

- (modul) Mărimea unui număr în funcție de distanța sa de la 0. Modulul, sau valoarea absolută a numărului real x (notat cu |x|), este diferența dintre x și 0, indiferent de semn. Prin urmare, dacă x0, atunci |x|=x și dacă x 0, atunci |x|=–x... Dicționar economic

Pentru un număr complex, vezi valoarea absolută. Modulul tranziției de la un sistem de logaritmi la baza a la un sistem la baza b este numărul 1/logab... Dicţionar enciclopedic mare

Valoarea absolută sau modulul unui număr real sau complex x este distanța de la x la origine. Mai precis: Valoarea absolută a unui număr real x este un număr nenegativ notat cu |x| și definit după cum urmează: ... ... Wikipedia

Modulul de matematică, 1) M. (sau valoarea absolută) a numărului complex z \u003d x + iy este numărul ═ (rădăcina este luată cu semnul plus). Când se reprezintă un număr complex z în formă trigonometrică z \u003d r (cos j + i sin j), numărul real r este ... ...

- (la matematică) o măsură de comparare a mărimilor omogene și de exprimare a uneia dintre ele folosind cealaltă; m. se exprimă ca număr. Dicționar de cuvinte străine incluse în limba rusă. Pavlenkov F., 1907. MODUL (lat.). 1) numărul cu care se înmulțesc ...... Dicționar de cuvinte străine ale limbii ruse

MODULUL unui număr complex, vezi Valoare absolută (vezi VALOARE ABSOLUTĂ). Modulul tranziției de la un sistem de logaritmi la baza a la un sistem la baza b este numărul 1/logab... Dicţionar enciclopedic

I Modul (din latină modulus measure) în arhitectură, unitate convențională adoptată pentru a coordona dimensiunile părților unei clădiri sau complex. În arhitectura diferitelor popoare, în funcție de caracteristicile echipamentelor de construcții și de compoziția clădirilor pentru M. ... ... Marea Enciclopedie Sovietică

eu; m. [din lat. măsura modulului] 1. ce. Specialist. Valoarea care caracterizează ceea ce l. proprietatea unui corp rigid. M. compresie. M. elasticitate. 2. Matematică. Un număr real, valoarea absolută a unui număr negativ sau pozitiv. M. număr complex. M... Dicţionar enciclopedic

Caracteristica numerică a oricărui matematic. obiect. De obicei valoarea lui M. este un număr real nenegativ, un element care are o anumită caracteristică. proprietăţi datorate proprietăţilor mulţimii de obiecte luate în considerare. Conceptul de M...... Enciclopedie matematică

Care reprezintă un număr complex dat $z=a+bi$ se numește modulul numărului complex dat.

Modulul unui număr complex dat se calculează folosind următoarea formulă:

Exemplul 1

Calculați modulul numerelor complexe date $z_(1) =13,\, \, z_(2) =4i,\, \, \, z_(3) =4+3i$.

Modulul numărului complex $z=a+bi$ se calculează prin formula: $r=\sqrt(a^(2) +b^(2) ) $.

Pentru numărul complex original $z_(1) =13$ obținem $r_(1) =|z_(1) |=|13+0i|=\sqrt(13^(2) +0^(2) ) = \sqrt (169) =13$

Pentru numărul complex original $\, z_(2) =4i$ obținem $r_(2) =|z_(2) |=|0+4i|=\sqrt(0^(2) +4^(2) ) = \sqrt(16) =4$

Pentru numărul complex original $\, z_(3) =4+3i$ obținem $r_(3) =|z_(3) |=|4+3i|=\sqrt(4^(2) +3^() 2) ) =\sqrt(16+9) =\sqrt(25) =5$

Definiția 2

Unghiul $\varphi $ format din direcția pozitivă a axei reale și vectorul rază $\overrightarrow(OM) $, care corespunde unui număr complex dat $z=a+bi$, se numește argumentul acestui număr și se notează cu $\arg z$.

Nota 1

Modulul și argumentul unui număr complex dat sunt utilizate în mod explicit atunci când se reprezintă un număr complex în formă trigonometrică sau exponențială:

• $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)$ - formă trigonometrică;
• $z=r\cdot e^(i\varphi ) $ este forma exponențială.

Exemplul 2

Scrieți un număr complex în forme trigonometrice și exponențiale date de următoarele date: 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $.

1) Înlocuiți datele $r=3;\varphi =\pi $ în formulele corespunzătoare și obțineți:

$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi)$ - formă trigonometrică

$z=3\cdot e^(i\pi ) $ este forma exponențială.

2) Înlocuiți datele $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $ în formulele corespunzătoare și obțineți:

$z=13\cdot (\cos \frac(3\pi )(4) +i\sin \frac(3\pi )(4))$ - formă trigonometrică

$z=13\cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ este forma exponențială.

Exemplul 3

Determinați modulul și argumentul numerelor complexe date:

1) $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$; 2) $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$; 3) $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $; 4) $z=13\cdot e^(i\pi ) $.

Găsim modulul și argumentul folosind formulele pentru scrierea unui număr complex dat în forme trigonometrice și, respectiv, exponențiale

\ \

1) Pentru numărul complex original $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$ obținem $r=\sqrt(2) ;\varphi =2\pi $ .

2) Pentru numărul complex original $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$ avem obține $ r=\frac(5)(3) ;\varphi =\frac(2\pi )(3) $.

3) Pentru numărul complex original $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ obținem $r=\sqrt(13) ;\varphi =\frac( 3\ pi )(4) $.

4) Pentru numărul complex original $z=13\cdot e^(i\pi ) $ obținem $r=13;\varphi =\pi $.

Argumentul $\varphi $ al unui număr complex dat $z=a+bi$ poate fi calculat folosind următoarele formule:

\[\varphi =tg\frac(b)(a) ;\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ;\sin \varphi =\frac (b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) .\]

În practică, pentru a calcula valoarea argumentului unui număr complex dat $z=a+bi$, se utilizează de obicei următoarea formulă:

$\varphi =\arg z=\left\(\begin(array)(c) (arctg\frac(b)(a) ,a\ge 0) \\ (arctg\frac(b)(a) +\ pi ,a

sau rezolvarea sistemului de ecuații

$\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ) \\ (\sin \varphi = \frac(b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ) \end(matrice)\right. $. (**)

Exemplul 4

Calculați argumentul numerelor complexe date: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.

Deoarece $z=3$, atunci $a=3,b=0$. Calculați argumentul numărului complex original folosind formula (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(3) =arctg0=0.\]

Deoarece $z=4i$, atunci $a=0,b=4$. Calculați argumentul numărului complex original folosind formula (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(4)(0) =arctg(\infty)=\frac(\pi )(2) .\]

Deoarece $z=1+i$, atunci $a=1,b=1$. Calculați argumentul numărului complex original rezolvând sistemul (**):

\[\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) =\frac(1)(\ sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \\ (\sin \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) = \frac(1)(\sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \end(matrice)\right. .\]

Din cursul de trigonometrie se știe că $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac(\sqrt(2) )(2) $ pentru unghiul corespunzător primului cadran de coordonate și egal cu $\varphi =\frac (\pi )( 4) $.

Deoarece $z=-5$, atunci $a=-5,b=0$. Calculați argumentul numărului complex original folosind formula (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(-5) +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]

Deoarece $z=-2i$, atunci $a=0,b=-2$. Calculați argumentul numărului complex original folosind formula (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(-2)(0) =arctg(-\infty)=\frac(3\pi )(2) .\]

Nota 2

Numărul $z_(3) $ este reprezentat de punctul $(0;1)$, prin urmare, lungimea vectorului cu rază corespunzător este egală cu 1, adică. $r=1$, iar argumentul $\varphi =\frac(\pi )(2) $ conform Notei 3.

Numărul $z_(4) $ este reprezentat de punctul $(0;-1)$, prin urmare, lungimea vectorului cu rază corespunzător este egală cu 1, adică. $r=1$, iar argumentul $\varphi =\frac(3\pi )(2) $ conform Notei 3.

Numărul $z_(5) $ este reprezentat de punctul $(2;2)$, prin urmare, lungimea vectorului cu rază corespunzător este egală cu $\sqrt(2^(2) +2^(2) ) = \sqrt(4+4) = \sqrt(8) =2\sqrt(2) $, i.e. $r=2\sqrt(2) $, iar argumentul $\varphi =\frac(\pi )(4) $ prin proprietatea triunghiului dreptunghic.

Numere complexe

Imaginar Și numere complexe. Abscisa si ordonata

număr complex. Conjugați numere complexe.

Operații cu numere complexe. Geometric

reprezentarea numerelor complexe. plan complex.

Modulul și argumentul unui număr complex. trigonometric

formă de număr complex. Operatii cu complexe

numere în formă trigonometrică. Formula Moivre.

Informații de bază despre imaginar Și numere complexe sunt date în secțiunea „Numere imaginare și complexe”. Necesitatea acestor numere de tip nou a apărut la rezolvarea ecuațiilor pătratice pentru acest cazD< 0 (здесь Deste discriminantul ecuației pătratice). Multă vreme, aceste numere nu și-au găsit utilizare fizică, motiv pentru care au fost numite numere „imaginare”. Cu toate acestea, acum sunt foarte utilizate pe scară largă în diferite domenii ale fizicii.

și tehnologie: inginerie electrică, hidro- și aerodinamică, teoria elasticității etc.

Numere complexe sunt scrise ca:a+bi. Aici AȘi b – numere reale , dar i – unitate imaginară. e. i 2 = –1. Număr A numit abscisă, A b - ordonatănumăr complexa + b .Două numere complexea+biȘi a-bi numit conjuga numere complexe.

Principalele acorduri:

1. Număr realdarpoate fi scris și sub formănumăr complex:un + 0 i sau A - 0 i. De exemplu, intrările 5 + 0iși 5 - 0 iînseamnă același număr 5 .

2. Numărul complex 0 + binumit pur imaginar număr. Înregistrarebiînseamnă la fel ca 0 + bi.

3. Două numere complexea+bi Șic + disunt considerate egale dacăa = cȘi b = d. In caz contrar numerele complexe nu sunt egale.

Plus. Suma numerelor complexea+biȘi c + dise numește număr complex (a+c ) + (b+d ) eu .În acest fel, când se adaugă numerele complexe, abscisele și ordonatele lor sunt adăugate separat.

Această definiție urmează regulile pentru tratarea polinoamelor obișnuite.

Scădere. Diferența dintre două numere complexea+bi(redus) și c + di(scăzut) se numește număr complex (a-c ) + (b-d ) eu .

În acest fel, la scăderea a două numere complexe, abscisele și ordonatele acestora se scad separat.

Multiplicare. Produsul numerelor complexea+biȘi c + di se numește număr complex.

(ac-bd ) + (ad+bc ) eu .Această definiție provine din două cerințe:

1) numere a+biȘi c + diar trebui să se înmulțească ca algebric binoame,

2) număr iare principala proprietate:i 2 = – 1.

EXEMPLU ( a + bi )(a-bi) = a 2 +b 2 . Prin urmare, muncă

două numere complexe conjugate este egală cu realul

număr pozitiv.

Divizia. Împărțiți un număr complexa+bi (divizibil) cu altulc + di(divizor) - înseamnă a găsi al treilea număre + fi(chat), care, atunci când este înmulțit cu un divizorc + di, ceea ce are ca rezultat dividendula + b .

Dacă divizorul nu este zero, împărțirea este întotdeauna posibilă.

EXEMPLU Găsiți (8+i ) : (2 – 3 i) .

Soluție. Să rescriem acest raport ca o fracție:

Înmulțirea numărătorului și numitorului cu 2 + 3i

ȘI după efectuarea tuturor transformărilor, obținem:

Reprezentarea geometrică a numerelor complexe. Numerele reale sunt reprezentate prin puncte de pe dreapta numerică:

Aici este ideea Aînseamnă numărul -3, punctB este numărul 2 și O- zero. În schimb, numerele complexe sunt reprezentate prin puncte pe planul de coordonate. Pentru aceasta, alegem coordonate dreptunghiulare (carteziane) cu aceleași scale pe ambele axe. Apoi numărul complexa+bi va fi reprezentat printr-un punct P cu abscisă a si ordonata b (vezi fig.). Acest sistem de coordonate este numit plan complex .

modul număr complex se numește lungimea vectoruluiOP, ilustrând un număr complex pe coordonată ( integrat) avion. Modulul numărului complexa+bi notat cu | a+bi| sau scrisoare r