Rezolvarea ecuațiilor folosind metoda „transferului”.

Luați în considerare ecuația pătratică

ax 2 + bx + c \u003d 0, unde a? 0.

Înmulțind ambele părți ale sale cu a, obținem ecuația

a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Fie ax = y, de unde x = y/a; apoi ajungem la ecuație

y 2 + de + ac = 0,

echivalent cu acesta. Găsim rădăcinile sale la 1 și la 2 folosind teorema Vieta.

În cele din urmă obținem x 1 = y 1 /a și x 1 = y 2 /a. Cu această metodă, coeficientul a este înmulțit cu termenul liber, ca și cum ar fi „transferat” acestuia, de aceea se numește metoda „transferului”. Această metodă este folosită atunci când este ușor de găsit rădăcinile unei ecuații folosind teorema lui Vieta și, cel mai important, când discriminantul este un pătrat exact.

* Exemplu.

Rezolvăm ecuația 2x 2 - 11x + 15 = 0.

Soluţie. Să „transferăm” coeficientul 2 la termenul liber, ca rezultat obținem ecuația

y 2 - 11y + 30 = 0.

Conform teoremei lui Vieta

y 1 = 5 x 1 = 5/2 x 1 = 2,5

y 2 = 6 x 2 = 6/2 x 2 = 3.

Răspuns: 2,5; 3.

Proprietățile coeficienților unei ecuații pătratice

DAR. Să fie dată o ecuație pătratică ax 2 + bx + c = 0, unde a? 0.

1) Dacă, a + b + c \u003d 0 (adică, suma coeficienților este zero), atunci x 1 \u003d 1,

Dovada. Împărțiți ambele părți ale ecuației cu a? 0, obținem ecuația pătratică redusă

x 2 + b/a * x + c/a = 0.

Conform teoremei lui Vieta

x 1 + x 2 \u003d - b / a,

x 1 x 2 = 1*c/a.

Prin condiția a - b + c = 0, de unde b = a + c. În acest fel,

x 1 + x 2 \u003d - a + b / a \u003d -1 - c / a,

x 1 x 2 \u003d - 1 * (- c / a),

acestea. x 1 \u003d -1 și x 2 \u003d c / a, pe care m trebuia să le demonstreze.

* Exemple.
1) Să rezolvăm ecuația 345x 2 - 137x - 208 = 0.

Soluţie. Deoarece a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), atunci

x 1 = 1, x 2 = c / a = -208/345.

Raspunsul 1; -208/345.

2) Rezolvați ecuația 132x 2 - 247x + 115 = 0.

Soluţie. Deoarece a + b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), atunci

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a \u003d 115/132.

Raspunsul 1; 115/132.

B. Dacă al doilea coeficient b = 2k este un număr par, atunci formula rădăcinii

* Exemplu.

Să rezolvăm ecuația 3x2 - 14x + 16 = 0.

Soluţie. Avem: a = 3, b = - 14, c = 16, k = - 7;

Continuăm să studiem subiectul rezolvarea ecuatiilor". Ne-am familiarizat deja cu ecuațiile liniare și acum ne vom familiariza cu ecuații pătratice.

În primul rând, vom discuta ce este o ecuație pătratică, cum este scrisă în formă generală și vom da definiții aferente. După aceea, folosind exemple, vom analiza în detaliu cum se rezolvă ecuațiile pătratice incomplete. În continuare, trecem la rezolvarea ecuațiilor complete, obținem formula rădăcinilor, ne familiarizăm cu discriminantul unei ecuații pătratice și luăm în considerare soluții la exemple tipice. În cele din urmă, urmărim conexiunile dintre rădăcini și coeficienți.

Navigare în pagină.

Ce este o ecuație pătratică? Tipurile lor

Mai întâi trebuie să înțelegeți clar ce este o ecuație pătratică. Prin urmare, este logic să începem să vorbim despre ecuații pătratice cu definiția unei ecuații pătratice, precum și definiții legate de aceasta. După aceea, puteți lua în considerare principalele tipuri de ecuații pătratice: reduse și nereduse, precum și ecuații complete și incomplete.

Definiție și exemple de ecuații pătratice

Definiție.

Ecuație cuadratică este o ecuație a formei a x 2 +b x+c=0, unde x este o variabilă, a , b și c sunt niște numere, iar a este diferit de zero.

Să spunem imediat că ecuațiile pătratice sunt adesea numite ecuații de gradul doi. Acest lucru se datorează faptului că ecuația pătratică este ecuație algebrică gradul doi.

Definiția sunată ne permite să dăm exemple de ecuații pătratice. Deci 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 etc. sunt ecuații pătratice.

Definiție.

Numerele a , b și c sunt numite coeficienții ecuației pătratice a x 2 +b x + c=0, iar coeficientul a se numește primul, sau senior, sau coeficientul la x 2, b este al doilea coeficient sau coeficientul la x și c este un membru liber.

De exemplu, să luăm o ecuație pătratică de forma 5 x 2 −2 x−3=0 , aici coeficientul principal este 5 , al doilea coeficient este −2 , iar termenul liber este −3 . Rețineți că atunci când coeficienții b și/sau c sunt negativi, ca în exemplul recent dat, se utilizează forma scurtă a ecuației pătratice de forma 5 x 2 −2 x−3=0, nu 5 x 2 +(− 2 )x+(−3)=0 .

Este de remarcat faptul că, atunci când coeficienții a și / sau b sunt egali cu 1 sau -1, atunci ei nu sunt de obicei prezenți în mod explicit în notația ecuației pătratice, ceea ce se datorează particularităților notării unui astfel de . De exemplu, în ecuația pătratică y 2 −y+3=0, coeficientul principal este unul, iar coeficientul la y este −1.

Ecuații patratice reduse și nereduse

În funcție de valoarea coeficientului conducător, se disting ecuațiile pătratice reduse și nereduse. Să dăm definițiile corespunzătoare.

Definiție.

Se numește o ecuație pătratică în care coeficientul principal este 1 ecuație pătratică redusă. În caz contrar, ecuația pătratică este neredus.

Conform acestei definiții, ecuațiile pătratice x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 etc. - redus, în fiecare dintre ele primul coeficient este egal cu unu. Și 5 x 2 −x−1=0 , etc. - ecuații pătratice nereduse, coeficienții lor conducători sunt diferiți de 1 .

Din orice ecuație pătratică neredusă, împărțind ambele părți la coeficientul de conducere, puteți trece la cea redusă. Această acțiune este o transformare echivalentă, adică ecuația pătratică redusă obținută în acest fel are aceleași rădăcini ca și ecuația pătratică neredusă inițială sau, ca și ea, nu are rădăcini.

Să luăm un exemplu despre cum se realizează tranziția de la o ecuație pătratică neredusă la una redusă.

Exemplu.

Din ecuația 3 x 2 +12 x−7=0, mergeți la ecuația pătratică redusă corespunzătoare.

Soluţie.

Este suficient să facem împărțirea ambelor părți ale ecuației inițiale cu coeficientul principal 3, acesta este diferit de zero, așa că putem efectua această acțiune. Avem (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , care este același cu (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 , și așa mai departe (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , de unde . Deci am obținut ecuația pătratică redusă, care este echivalentă cu cea inițială.

Răspuns:

Ecuații pătratice complete și incomplete

Există o condiție a≠0 în definiția unei ecuații pătratice. Această condiție este necesară pentru ca ecuația a x 2 +b x+c=0 să fie exact pătrată, deoarece cu a=0 devine de fapt o ecuație liniară de forma b x+c=0 .

În ceea ce privește coeficienții b și c, aceștia pot fi egali cu zero, atât separat, cât și împreună. În aceste cazuri, ecuația pătratică se numește incompletă.

Definiție.

Ecuația pătratică a x 2 +b x+c=0 se numește incomplet, dacă cel puțin unul dintre coeficienții b , c este egal cu zero.

La randul lui

Definiție.

Ecuație pătratică completă este o ecuație în care toți coeficienții sunt diferiți de zero.

Aceste nume nu sunt date întâmplător. Acest lucru va deveni clar din următoarea discuție.

Dacă coeficientul b este egal cu zero, atunci ecuația pătratică ia forma a x 2 +0 x+c=0 , și este echivalentă cu ecuația a x 2 +c=0 . Dacă c=0 , adică ecuația pătratică are forma a x 2 +b x+0=0 , atunci poate fi rescrisă ca a x 2 +b x=0 . Și cu b=0 și c=0 obținem ecuația pătratică a·x 2 =0. Ecuațiile rezultate diferă de ecuația pătratică completă prin faptul că părțile lor din stânga nu conțin nici un termen cu variabila x, nici un termen liber sau ambele. De aici și numele lor - ecuații patratice incomplete.

Deci, ecuațiile x 2 +x+1=0 și −2 x 2 −5 x+0,2=0 sunt exemple de ecuații patratice complete și x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 sunt ecuații pătratice incomplete.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

Din informațiile din paragraful anterior rezultă că există trei tipuri de ecuații pătratice incomplete:

a x 2 =0 , îi corespund coeficienții b=0 și c=0;
a x 2 +c=0 când b=0;
și a x 2 +b x=0 când c=0 .

Să analizăm în ordine cum se rezolvă ecuațiile pătratice incomplete ale fiecăruia dintre aceste tipuri.

a x 2 \u003d 0

Să începem prin a rezolva ecuații pătratice incomplete în care coeficienții b și c sunt egali cu zero, adică cu ecuații de forma a x 2 =0. Ecuația a·x 2 =0 este echivalentă cu ecuația x 2 =0, care se obține din original prin împărțirea ambelor părți la un număr diferit de zero a. Evident, rădăcina ecuației x 2 \u003d 0 este zero, deoarece 0 2 \u003d 0. Această ecuație nu are alte rădăcini, ceea ce se explică, într-adevăr, pentru orice număr diferit de zero p are loc inegalitatea p 2 >0, ceea ce implică că pentru p≠0, egalitatea p 2 =0 nu este niciodată atinsă.

Deci, ecuația pătratică incompletă a x 2 \u003d 0 are o singură rădăcină x \u003d 0.

Ca exemplu, dăm soluția unei ecuații pătratice incomplete −4·x 2 =0. Este echivalent cu ecuația x 2 \u003d 0, singura sa rădăcină este x \u003d 0, prin urmare, ecuația originală are o singură rădăcină zero.

O soluție scurtă în acest caz poate fi emisă după cum urmează:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0.

a x 2 +c=0

Acum luați în considerare cum sunt rezolvate ecuațiile pătratice incomplete, în care coeficientul b este egal cu zero și c≠0, adică ecuații de forma a x 2 +c=0. Știm că transferul unui termen dintr-o parte a ecuației în cealaltă cu semnul opus, precum și împărțirea ambelor părți ale ecuației cu un număr diferit de zero, dau o ecuație echivalentă. Prin urmare, pot fi efectuate următoarele transformări echivalente ale ecuației pătratice incomplete a x 2 +c=0:

mutați c în partea dreaptă, ceea ce dă ecuația a x 2 =−c,
și împărțim ambele părți cu a , obținem .

Ecuația rezultată ne permite să tragem concluzii despre rădăcinile sale. În funcție de valorile lui a și c, valoarea expresiei poate fi negativă (de exemplu, dacă a=1 și c=2, atunci) sau pozitivă (de exemplu, dacă a=−2 și c=6 , atunci ), nu este egal cu zero , deoarece prin condiția c≠0 . Vom analiza separat cazurile și .

Dacă , atunci ecuația nu are rădăcini. Această afirmație rezultă din faptul că pătratul oricărui număr este un număr nenegativ. De aici rezultă că atunci când , atunci pentru orice număr p egalitatea nu poate fi adevărată.

Dacă , atunci situația cu rădăcinile ecuației este diferită. În acest caz, dacă ne amintim despre, atunci rădăcina ecuației devine imediat evidentă, este numărul, deoarece. Este ușor de ghicit că numărul este și rădăcina ecuației, într-adevăr, . Această ecuație nu are alte rădăcini, care pot fi arătate, de exemplu, prin contradicție. S-o facem.

Să notăm rădăcinile exacte ale ecuației ca x 1 și −x 1 . Să presupunem că ecuația are o altă rădăcină x 2 diferită de rădăcinile indicate x 1 și −x 1 . Se știe că înlocuirea în ecuație în loc de x a rădăcinilor sale transformă ecuația într-o egalitate numerică adevărată. Pentru x 1 și −x 1 avem , iar pentru x 2 avem . Proprietățile egalităților numerice ne permit să efectuăm scăderea termen cu termen a egalităților numerice adevărate, astfel încât scăderea părților corespunzătoare ale egalităților dă x 1 2 − x 2 2 =0. Proprietățile operațiilor cu numere ne permit să rescriem egalitatea rezultată ca (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Știm că produsul a două numere este egal cu zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre ele este egal cu zero. Prin urmare, din egalitatea obținută rezultă că x 1 −x 2 =0 și/sau x 1 +x 2 =0 , care este același, x 2 =x 1 și/sau x 2 = −x 1 . Deci am ajuns la o contradicție, deoarece la început am spus că rădăcina ecuației x 2 este diferită de x 1 și −x 1 . Aceasta dovedește că ecuația nu are alte rădăcini decât și .

Să rezumam informațiile din acest paragraf. Ecuația pătratică incompletă a x 2 +c=0 este echivalentă cu ecuația , care

nu are rădăcini dacă,
are două rădăcini și dacă .

Luați în considerare exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice incomplete de forma a·x 2 +c=0 .

Să începem cu ecuația pătratică 9 x 2 +7=0 . După transferul termenului liber în partea dreaptă a ecuației, acesta va lua forma 9·x 2 =−7. Împărțind ambele părți ale ecuației rezultate la 9, ajungem la . Deoarece se obține un număr negativ în partea dreaptă, această ecuație nu are rădăcini, prin urmare, ecuația pătratică incompletă inițială 9 x 2 +7=0 nu are rădăcini.

Să rezolvăm încă o ecuație pătratică incompletă −x 2 +9=0. Transferăm cele nouă în partea dreaptă: -x 2 \u003d -9. Acum împărțim ambele părți la −1, obținem x 2 =9. În partea dreaptă este un număr pozitiv, din care concluzionăm că sau . După ce scriem răspunsul final: ecuația pătratică incompletă −x 2 +9=0 are două rădăcini x=3 sau x=−3.

a x 2 +b x=0

Rămâne să ne ocupăm de soluția ultimului tip de ecuații pătratice incomplete pentru c=0 . Ecuațiile patratice incomplete de forma a x 2 +b x=0 vă permit să rezolvați metoda factorizării. Evident, putem, situat în partea stângă a ecuației, pentru care este suficient să scoatem factorul comun x din paranteze. Acest lucru ne permite să trecem de la ecuația pătratică incompletă inițială la o ecuație echivalentă de forma x·(a·x+b)=0 . Și această ecuație este echivalentă cu mulțimea de două ecuații x=0 și a x+b=0 , ultima dintre acestea fiind liniară și având rădăcina x=−b/a .

Deci, ecuația pătratică incompletă a x 2 +b x=0 are două rădăcini x=0 și x=−b/a.

Pentru a consolida materialul, vom analiza soluția unui exemplu concret.

Exemplu.

Rezolvați ecuația.

Soluţie.

Scoatem x din paranteze, aceasta dă ecuația. Este echivalentă cu două ecuații x=0 și . Rezolvăm ecuația liniară rezultată: , iar după împărțirea numărului mixt la o fracție obișnuită, găsim . Prin urmare, rădăcinile ecuației originale sunt x=0 și .

După practicarea necesară, soluțiile unor astfel de ecuații pot fi scrise pe scurt:

Răspuns:

x=0, .

Discriminant, formula rădăcinilor unei ecuații pătratice

Pentru a rezolva ecuații pătratice, există o formulă rădăcină. Să scriem formula rădăcinilor ecuației pătratice: , Unde D=b 2 −4 a c- așa-zisul discriminant al unei ecuații pătratice. Notația înseamnă în esență că .

Este util să știm cum a fost obținută formula rădăcinii și cum este aplicată în găsirea rădăcinilor ecuațiilor pătratice. Să ne ocupăm de asta.

Derivarea formulei rădăcinilor unei ecuații pătratice

Trebuie să rezolvăm ecuația pătratică a·x 2 +b·x+c=0 . Să efectuăm câteva transformări echivalente:

Putem împărți ambele părți ale acestei ecuații la un număr diferit de zero a, ca rezultat obținem ecuația pătratică redusă.
Acum selectați un pătrat complet pe partea stângă: . După aceea, ecuația va lua forma .
În această etapă, este posibil să se efectueze transferul ultimilor doi termeni în partea dreaptă cu semnul opus, avem .
Și să transformăm și expresia din partea dreaptă: .

Ca rezultat, ajungem la ecuația , care este echivalentă cu ecuația pătratică inițială a·x 2 +b·x+c=0 .

Am rezolvat deja ecuații similare ca formă în paragrafele anterioare când am analizat . Acest lucru ne permite să tragem următoarele concluzii cu privire la rădăcinile ecuației:

dacă , atunci ecuația nu are soluții reale;
dacă , atunci ecuația are forma , prin urmare, , din care este vizibilă singura sa rădăcină;
dacă , atunci sau , care este același cu sau , adică ecuația are două rădăcini.

Astfel, prezența sau absența rădăcinilor ecuației și, prin urmare, a ecuației pătratice originale, depinde de semnul expresiei din partea dreaptă. La rândul său, semnul acestei expresii este determinat de semnul numărătorului, întrucât numitorul 4 a 2 este întotdeauna pozitiv, adică semnul expresiei b 2 −4 a c . Această expresie b 2 −4 a c se numește discriminant al unei ecuații pătraticeși marcat cu litera D. De aici, esența discriminantului este clară - prin valoarea și semnul său, se ajunge la concluzia dacă ecuația pătratică are rădăcini reale și, dacă da, care este numărul lor - unul sau doi.

Revenim la ecuația , o rescriem folosind notația discriminantului: . Și conchidem:

daca D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
dacă D=0, atunci această ecuație are o singură rădăcină;
în sfârșit, dacă D>0, atunci ecuația are două rădăcini sau , care pot fi rescrise sub forma sau , iar după extinderea și reducerea fracțiilor la un numitor comun obținem .

Deci am derivat formulele pentru rădăcinile ecuației pătratice, ele arată ca , unde discriminantul D este calculat prin formula D=b 2 −4 a c .

Cu ajutorul lor, cu un discriminant pozitiv, puteți calcula ambele rădăcini reale ale unei ecuații pătratice. Când discriminantul este egal cu zero, ambele formule dau aceeași valoare a rădăcinii corespunzătoare singurei soluții a ecuației pătratice. Iar cu un discriminant negativ, atunci când încercăm să folosim formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, ne confruntăm cu extragerea rădăcinii pătrate dintr-un număr negativ, ceea ce ne duce dincolo de sfera programului școlar. Cu un discriminant negativ, ecuația pătratică nu are rădăcini reale, ci are o pereche conjugare complexa rădăcini, care pot fi găsite folosind aceleași formule de rădăcină pe care le-am obținut.

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice cu ajutorul formulelor rădăcinilor

În practică, atunci când rezolvați o ecuație pătratică, puteți utiliza imediat formula rădăcină, cu care să le calculați valorile. Dar este mai mult despre găsirea rădăcinilor complexe.

Cu toate acestea, într-un curs de algebră școlară, de obicei nu vorbim despre complexe, ci despre rădăcinile reale ale unei ecuații pătratice. În acest caz, este indicat să găsiți mai întâi discriminantul înainte de a utiliza formulele pentru rădăcinile ecuației pătratice, asigurați-vă că acesta este nenegativ (în caz contrar, putem concluziona că ecuația nu are rădăcini reale), iar după aceea calculați valorile rădăcinilor.

Raționamentul de mai sus ne permite să scriem algoritm pentru rezolvarea unei ecuații pătratice. Pentru a rezolva ecuația pătratică a x 2 + b x + c \u003d 0, aveți nevoie de:

folosind formula discriminantă D=b 2 −4 a c calculați valoarea acesteia;
trageți concluzia că ecuația pătratică nu are rădăcini reale dacă discriminantul este negativ;
calculați singura rădăcină a ecuației folosind formula dacă D=0 ;
găsiți două rădăcini reale ale unei ecuații pătratice folosind formula rădăcinii dacă discriminantul este pozitiv.

Aici observăm doar că dacă discriminantul este egal cu zero, se poate folosi și formula, va da aceeași valoare ca .

Puteți trece la exemple de aplicare a algoritmului pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice.

Exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice

Luați în considerare soluțiile a trei ecuații pătratice cu discriminant pozitiv, negativ și zero. După ce ne-am ocupat de soluția lor, prin analogie va fi posibilă rezolvarea oricărei alte ecuații pătratice. Să începem.

Exemplu.

Aflați rădăcinile ecuației x 2 +2 x−6=0 .

Soluţie.

În acest caz, avem următorii coeficienți ai ecuației pătratice: a=1 , b=2 și c=−6 . Conform algoritmului, mai întâi trebuie să calculați discriminantul, pentru aceasta înlocuim a, b și c indicate în formula discriminantă, avem D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Deoarece 28>0, adică discriminantul este mai mare decât zero, ecuația pătratică are două rădăcini reale. Să le găsim după formula rădăcinilor , obținem , aici putem simplifica expresiile obținute făcând factorizarea semnului rădăcinii urmată de reducerea fracției:

Răspuns:

Să trecem la următorul exemplu tipic.

Exemplu.

Rezolvați ecuația pătratică −4 x 2 +28 x−49=0 .

Soluţie.

Începem prin a găsi discriminantul: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Prin urmare, această ecuație pătratică are o singură rădăcină, pe care o găsim ca , adică

Răspuns:

x=3,5.

Rămâne de luat în considerare soluția ecuațiilor pătratice cu discriminant negativ.

Exemplu.

Rezolvați ecuația 5 y 2 +6 y+2=0 .

Soluţie.

Iată coeficienții ecuației pătratice: a=5 , b=6 și c=2 . Înlocuind aceste valori în formula discriminantă, avem D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Discriminantul este negativ, prin urmare, această ecuație pătratică nu are rădăcini reale.

Dacă trebuie să specificați rădăcini complexe, atunci folosim formula binecunoscută pentru rădăcinile ecuației pătratice și efectuăm operatii cu numere complexe:

Răspuns:

nu există rădăcini reale, rădăcinile complexe sunt: .

Încă o dată, observăm că, dacă discriminantul ecuației pătratice este negativ, atunci școala de obicei notează imediat răspunsul, în care indică faptul că nu există rădăcini reale și nu găsesc rădăcini complexe.

Formula rădăcină pentru coeficienți chiar și doi

Formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice , unde D=b 2 −4 ac vă permite să obțineți o formulă mai compactă care vă permite să rezolvați ecuații pătratice cu un coeficient par la x (sau pur și simplu cu un coeficient care arată ca 2 n , de exemplu, sau 14 ln5=2 7 ln5 ). Să o scoatem afară.

Să presupunem că trebuie să rezolvăm o ecuație pătratică de forma a x 2 +2 n x + c=0 . Să-i găsim rădăcinile folosind formula cunoscută nouă. Pentru a face acest lucru, calculăm discriminantul D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), iar apoi folosim formula rădăcină:

Notați expresia n 2 −a c ca D 1 (uneori se notează D "). Atunci formula pentru rădăcinile ecuației pătratice considerate cu al doilea coeficient 2 n ia forma , unde D 1 =n 2 −a c .

Este ușor de observat că D=4·D 1 , sau D 1 =D/4 . Cu alte cuvinte, D 1 este a patra parte a discriminantului. Este clar că semnul lui D 1 este același cu semnul lui D . Adică, semnul D 1 este, de asemenea, un indicator al prezenței sau absenței rădăcinilor ecuației pătratice.

Deci, pentru a rezolva o ecuație pătratică cu al doilea coeficient 2 n, aveți nevoie

Calculați D 1 =n 2 −a·c ;
Dacă D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Dacă D 1 =0, atunci calculați singura rădăcină a ecuației folosind formula;
Dacă D 1 >0, atunci găsiți două rădăcini reale folosind formula.

Luați în considerare soluția exemplului folosind formula rădăcinii obținută în acest paragraf.

Exemplu.

Rezolvați ecuația pătratică 5 x 2 −6 x−32=0 .

Soluţie.

Al doilea coeficient al acestei ecuații poate fi reprezentat ca 2·(−3) . Adică, puteți rescrie ecuația pătratică originală sub forma 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , aici a=5 , n=−3 și c=−32 , și calculați a patra parte a discriminant: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Deoarece valoarea sa este pozitivă, ecuația are două rădăcini reale. Le găsim folosind formula rădăcină corespunzătoare:

Rețineți că a fost posibil să se folosească formula obișnuită pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, dar în acest caz, ar trebui făcută mai multă muncă de calcul.

Răspuns:

Simplificarea formei ecuațiilor pătratice

Uneori, înainte de a te lansa în calculul rădăcinilor unei ecuații pătratice folosind formule, nu strica să pui întrebarea: „Este posibil să simplificăm forma acestei ecuații”? De acord că din punct de vedere al calculelor va fi mai ușor de rezolvat ecuația pătratică 11 x 2 −4 x −6=0 decât 1100 x 2 −400 x−600=0 .

De obicei, o simplificare a formei unei ecuații pătratice se realizează prin înmulțirea sau împărțirea ambelor părți ale acesteia cu un anumit număr. De exemplu, în paragraful anterior, am reușit să realizăm o simplificare a ecuației 1100 x 2 −400 x −600=0 împărțind ambele părți la 100 .

O transformare similară este efectuată cu ecuații pătratice, ai căror coeficienți nu sunt . În acest caz, ambele părți ale ecuației sunt de obicei împărțite la valorile absolute ale coeficienților săi. De exemplu, să luăm ecuația pătratică 12 x 2 −42 x+48=0. valorile absolute ale coeficienților săi: mcd(12, 42, 48)= mcd(mcd(12, 42), 48)= mcd(6, 48)=6 . Împărțind ambele părți ale ecuației pătratice originale la 6 , ajungem la ecuația pătratică echivalentă 2 x 2 −7 x+8=0 .

Și înmulțirea ambelor părți ale ecuației pătratice se face de obicei pentru a scăpa de coeficienții fracționali. În acest caz, înmulțirea se efectuează pe numitorii coeficienților săi. De exemplu, dacă ambele părți ale unei ecuații pătratice sunt înmulțite cu LCM(6, 3, 1)=6 , atunci aceasta va lua o formă mai simplă x 2 +4 x−18=0 .

În încheierea acestui paragraf, observăm că aproape întotdeauna scăpați de minus la cel mai mare coeficient al ecuației pătratice prin schimbarea semnelor tuturor termenilor, ceea ce corespunde înmulțirii (sau împărțirii) ambelor părți cu −1. De exemplu, de obicei din ecuația pătratică −2·x 2 −3·x+7=0 mergeți la soluția 2·x 2 +3·x−7=0 .

Relația dintre rădăcini și coeficienți ai unei ecuații pătratice

Formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice exprimă rădăcinile unei ecuații în termeni de coeficienți. Pe baza formulei rădăcinilor, puteți obține alte relații între rădăcini și coeficienți.

Cele mai cunoscute și aplicabile formule din teorema Vieta a formei și . În special, pentru ecuația pătratică dată, suma rădăcinilor este egală cu al doilea coeficient cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este termenul liber. De exemplu, prin forma ecuației pătratice 3 x 2 −7 x+22=0, putem spune imediat că suma rădăcinilor sale este 7/3, iar produsul rădăcinilor este 22/3.

Folosind formulele deja scrise, puteți obține o serie de alte relații între rădăcinile și coeficienții ecuației pătratice. De exemplu, puteți exprima suma pătratelor rădăcinilor unei ecuații pătratice în termeni de coeficienți: .

Bibliografie.

Algebră: manual pentru 8 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A. G. Algebră. clasa a 8-a. La 14:00 Partea 1. Un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, șters. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

Formule pentru rădăcinile unei ecuații pătratice. Sunt luate în considerare cazurile de rădăcini reale, multiple și complexe. Factorizarea unui trinom pătrat. Interpretare geometrică. Exemple de determinare a rădăcinilor și factorizării.

Conţinut

Vezi si: Rezolvarea ecuațiilor pătratice online

Formule de bază

Luați în considerare ecuația pătratică:
(1) .
Rădăcinile unei ecuații pătratice(1) sunt determinate de formulele:
; .
Aceste formule pot fi combinate astfel:
.
Când rădăcinile ecuației pătratice sunt cunoscute, atunci polinomul de gradul doi poate fi reprezentat ca produs de factori (factorizați):
.

În plus, presupunem că sunt numere reale.
Considera discriminant al unei ecuații pătratice:
.
Dacă discriminantul este pozitiv, atunci ecuația pătratică (1) are două rădăcini reale diferite:
; .
Atunci factorizarea trinomului pătrat are forma:
.
Dacă discriminantul este zero, atunci ecuația pătratică (1) are două rădăcini reale multiple (egale):
.
Factorizare:
.
Dacă discriminantul este negativ, atunci ecuația pătratică (1) are două rădăcini conjugate complexe:
;
.
Iată unitatea imaginară, ;
și sunt părțile reale și imaginare ale rădăcinilor:
; .
Apoi

.

Interpretare grafică

Dacă graficăm funcția
,
care este o parabolă, atunci punctele de intersecție ale graficului cu axa vor fi rădăcinile ecuației
.
Când , graficul traversează axa (axa) absciselor în două puncte ().
Când , graficul atinge axa x într-un punct ().
Când , graficul nu traversează axa x ().

Formule utile legate de ecuația cuadratică

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Derivarea formulei pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Efectuăm transformări și aplicăm formulele (f.1) și (f.3):

,
Unde
; .

Deci, am obținut formula pentru polinomul de gradul doi sub forma:
.
Din aceasta se poate observa că ecuația

efectuat la
Și .
Adică și sunt rădăcinile ecuației pătratice
.

Exemple de determinare a rădăcinilor unei ecuații pătratice

Exemplul 1

(1.1) .

.
Comparând cu ecuația noastră (1.1), găsim valorile coeficienților:
.
Găsirea discriminantului:
.
Deoarece discriminantul este pozitiv, ecuația are două rădăcini reale:
;
;
.

De aici obținem descompunerea trinomului pătrat în factori:

.

Graficul funcției y = 2 x 2 + 7 x + 3 traversează axa x în două puncte.

Să diagramăm funcția
.
Graficul acestei funcții este o parabolă. Acesta traversează axa x (axa) în două puncte:
Și .
Aceste puncte sunt rădăcinile ecuației inițiale (1.1).

;
;
.

Exemplul 2

Găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice:
(2.1) .

Scriem ecuația pătratică în formă generală:
.
Comparând cu ecuația inițială (2.1), găsim valorile coeficienților:
.
Găsirea discriminantului:
.
Deoarece discriminantul este zero, ecuația are două rădăcini multiple (egale):
;
.

Atunci factorizarea trinomului are forma:
.

Graficul funcției y = x 2 - 4 x + 4 atinge axa x la un moment dat.

Să diagramăm funcția
.
Graficul acestei funcții este o parabolă. Atinge axa x (axa) la un moment dat:
.
Acest punct este rădăcina ecuației inițiale (2.1). Deoarece această rădăcină este factorizată de două ori:
,
atunci o astfel de rădăcină se numește multiplu. Adică, ei consideră că există două rădăcini egale:
.

;
.

Exemplul 3

Găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice:
(3.1) .

Scriem ecuația pătratică în formă generală:
(1) .
Să rescriem ecuația inițială (3.1):
.
Comparând cu (1), găsim valorile coeficienților:
.
Găsirea discriminantului:
.
Discriminantul este negativ, . Prin urmare, nu există rădăcini reale.

Puteți găsi rădăcini complexe:
;
;
.

Apoi

.

Graficul funcției nu traversează axa x. Nu există rădăcini reale.

Să diagramăm funcția
.
Graficul acestei funcții este o parabolă. Nu traversează abscisa (axa). Prin urmare, nu există rădăcini reale.

Nu există rădăcini reale. Rădăcini complexe:
;
;
.

Vezi si:

Ecuații cuadratice. discriminant. Soluție, exemple.

Atenţie!
Sunt suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Tipuri de ecuații pătratice

Ce este o ecuație pătratică? Cu ce seamănă? În termen ecuație pătratică cuvântul cheie este "pătrat".Înseamnă că în ecuație neapărat trebuie să existe un x pătrat. În plus, în ecuație poate exista (sau poate să nu existe!) Doar x (la primul grad) și doar un număr (membru liber).Și nu ar trebui să existe x într-un grad mai mare de doi.

În termeni matematici, o ecuație pătratică este o ecuație de forma:

Aici a, b și c- unele numere. b și c- absolut orice, dar dar- orice în afară de zero. De exemplu:

Aici dar =1; b = 3; c = -4

Aici dar =2; b = -0,5; c = 2,2

Aici dar =-3; b = 6; c = -18

Ei bine, ai înțeles ideea...

În aceste ecuații pătratice, în stânga, există Set complet membrii. x pătrat cu coeficientul dar, x la prima putere cu coeficient bȘi membru liber al

Astfel de ecuații pătratice se numesc complet.

Si daca b= 0, ce vom obține? Avem X va dispărea în gradul I. Acest lucru se întâmplă de la înmulțirea cu zero.) Se dovedește, de exemplu:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

etc. Și dacă ambii coeficienți bȘi c sunt egale cu zero, atunci este și mai simplu:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Astfel de ecuații, unde lipsește ceva, sunt numite ecuații pătratice incomplete. Ceea ce este destul de logic.) Vă rugăm să rețineți că x pătrat este prezent în toate ecuațiile.

Apropo de ce dar nu poate fi zero? Și tu înlocuiești în schimb dar zero.) X-ul din pătrat va dispărea! Ecuația va deveni liniară. Și se face altfel...

Acestea sunt toate tipurile principale de ecuații pătratice. Complet și incomplet.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice complete.

Ecuațiile cuadratice sunt ușor de rezolvat. După formule și reguli clare simple. În prima etapă, este necesar să aducem ecuația dată la forma standard, adică. la vedere:

Dacă ecuația vă este deja dată în această formă, nu trebuie să faceți prima etapă.) Principalul lucru este să determinați corect toți coeficienții, dar, bȘi c.

Formula pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice arată astfel:

Expresia de sub semnul rădăcinii se numește discriminant. Dar mai multe despre el mai jos. După cum puteți vedea, pentru a găsi x, folosim doar a, b și c. Acestea. coeficienții din ecuația pătratică. Doar înlocuiți cu atenție valorile a, b și cîn această formulă și numărați. Substitui cu semnele tale! De exemplu, în ecuația:

dar =1; b = 3; c= -4. Aici scriem:

Exemplu aproape rezolvat:

Acesta este răspunsul.

Totul este foarte simplu. Și ce crezi, nu poți greși? Ei bine, da, cum...

Cele mai frecvente greșeli sunt confuzia cu semnele de valori a, b și c. Sau, mai degrabă, nu cu semnele lor (unde trebuie confundat?), Ci cu înlocuirea valorilor negative în formula de calcul a rădăcinilor. Aici, o înregistrare detaliată a formulei cu numere specifice salvează. Dacă există probleme cu calculele, atunci, fă-o!

Să presupunem că trebuie să rezolvăm următorul exemplu:

Aici A = -6; b = -5; c = -1

Să presupunem că știi că rar primești răspunsuri prima dată.

Ei bine, nu fi leneș. Va dura 30 de secunde pentru a scrie o linie suplimentară și numărul de erori va scădea brusc. Așa că scriem în detaliu, cu toate parantezele și semnele:

Pare incredibil de dificil să pictezi atât de atent. Dar doar pare. Incearca-l. Ei bine, sau alege. Care este mai bine, rapid sau corect? În plus, te voi face fericit. După un timp, nu va mai fi nevoie să pictezi totul atât de atent. Pur și simplu se va dovedi corect. Mai ales dacă aplicați tehnici practice, care sunt descrise mai jos. Acest exemplu rău cu o grămadă de minusuri va fi rezolvat ușor și fără erori!

Dar, adesea, ecuațiile pătratice arată ușor diferit. De exemplu, așa:

Știai?) Da! Acest ecuații pătratice incomplete.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete.

Ele pot fi rezolvate și prin formula generală. Trebuie doar să vă dați seama corect ce este egal aici a, b și c.

Realizat? În primul exemplu a = 1; b = -4; dar c? Nu există deloc! Ei bine, da, așa este. În matematică, asta înseamnă că c = 0 ! Asta e tot. Înlocuiți zero în formulă în loc de c,și totul se va rezolva pentru noi. La fel și cu al doilea exemplu. Numai zero nu avem aici din, dar b !

Dar ecuațiile pătratice incomplete pot fi rezolvate mult mai ușor. Fără nicio formulă. Luați în considerare prima ecuație incompletă. Ce se poate face pe partea stângă? Puteți scoate X-ul din paranteze! Hai să-l scoatem.

Și ce-i cu asta? Și faptul că produsul este egal cu zero dacă și numai dacă oricare dintre factori este egal cu zero! Nu crezi? Ei bine, atunci veniți cu două numere diferite de zero care, atunci când sunt înmulțite, vor da zero!
Nu funcționează? Ceva...
Prin urmare, putem scrie cu încredere: x 1 = 0, x 2 = 4.

Tot. Acestea vor fi rădăcinile ecuației noastre. Ambele se potrivesc. Când înlocuim oricare dintre ele în ecuația originală, obținem identitatea corectă 0 = 0. După cum puteți vedea, soluția este mult mai simplă decât formula generală. Observ, apropo, care X va fi primul și care al doilea - este absolut indiferent. Ușor de scris în ordine x 1- oricare e mai puțin x 2- ceea ce este mai mult.

A doua ecuație poate fi, de asemenea, rezolvată cu ușurință. Ne deplasăm cu 9 în partea dreaptă. Primim:

Rămâne să extragem rădăcina din 9 și atât. Obține:

de asemenea două rădăcini . x 1 = -3, x 2 = 3.

Așa se rezolvă toate ecuațiile pătratice incomplete. Fie scoțând X dintre paranteze, fie pur și simplu transferând numărul la dreapta, urmat de extragerea rădăcinii.
Este extrem de dificil să confundăm aceste metode. Pur și simplu pentru că în primul caz va trebui să extragi rădăcina din X, ceea ce este cumva de neînțeles, iar în al doilea caz nu este nimic de scos din paranteze...

discriminant. Formula discriminantă.

cuvântul magic discriminant ! Un elev de liceu rar nu a auzit acest cuvânt! Expresia „decide prin discriminant” este liniștitoare și liniștitoare. Pentru că nu este nevoie să așteptați trucuri de la discriminant! Este simplu și fără probleme de utilizat.) Vă reamintesc cea mai generală formulă de rezolvare orice ecuații pătratice:

Expresia de sub semnul rădăcinii se numește discriminant. Discriminantul este de obicei notat prin literă D. Formula discriminantă:

D = b 2 - 4ac

Și ce este atât de special la această expresie? De ce merită un nume special? Ce sensul discriminantului? La urma urmelor -b, sau 2aîn această formulă ei nu numesc în mod specific... Litere și litere.

Ideea este aceasta. Când rezolvați o ecuație pătratică folosind această formulă, este posibil doar trei cazuri.

1. Discriminantul este pozitiv. Aceasta înseamnă că puteți extrage rădăcina din ea. Dacă rădăcina este extrasă bine sau prost este o altă întrebare. Este important ce se extrage in principiu. Atunci ecuația ta pătratică are două rădăcini. Două soluții diferite.

2. Discriminantul este zero. Atunci ai o soluție. Deoarece adăugarea sau scăderea zero la numărător nu schimbă nimic. Strict vorbind, aceasta nu este o singură rădăcină, dar două identice. Dar, într-o versiune simplificată, se obișnuiește să se vorbească despre o singura solutie.

3. Discriminantul este negativ. Un număr negativ nu ia rădăcina pătrată. Ei bine, bine. Asta înseamnă că nu există soluții.

Sincer să fiu, cu o simplă soluție a ecuațiilor pătratice, conceptul de discriminant nu este cu adevărat necesar. Înlocuim valorile coeficienților din formulă și luăm în considerare. Acolo totul se dovedește de la sine, și două rădăcini, și una, și nu una singură. Cu toate acestea, atunci când rezolvați sarcini mai complexe, fără cunoștințe sens și formulă discriminantă insuficient. Mai ales - în ecuații cu parametri. Astfel de ecuații sunt acrobații pentru GIA și examenul de stat unificat!)

Asa de, cum se rezolvă ecuații pătratice prin discriminantul de care ti-ai amintit. Sau învățat, ceea ce nu este rău.) Știi să identifici corect a, b și c. Știi cum cu grijaînlocuiți-le în formula rădăcină și cu grija numărați rezultatul. Ai înțeles că cuvântul cheie aici este: cu grija?

Acum luați notă de tehnicile practice care reduc dramatic numărul de erori. Chiar acelea care se datorează neatenției... Pentru care apoi este dureros și jignitor...

Prima recepție . Nu fi leneș înainte de a rezolva o ecuație pătratică pentru a o aduce la o formă standard. Ce inseamna asta?
Să presupunem că, după orice transformări, obțineți următoarea ecuație:

Nu vă grăbiți să scrieți formula rădăcinilor! Aproape sigur vei amesteca șansele a, b și c. Construiți exemplul corect. Mai întâi, x pătrat, apoi fără pătrat, apoi un membru liber. Asa:

Și din nou, nu te grăbi! Minusul dinaintea x pătratului te poate supăra foarte mult. A uita este ușor... Scăpați de minus. Cum? Da, așa cum a fost predat în subiectul anterior! Trebuie să înmulțim întreaga ecuație cu -1. Primim:

Și acum puteți scrie în siguranță formula rădăcinilor, puteți calcula discriminantul și completați exemplul. Decide pe cont propriu. Ar trebui să ajungeți cu rădăcinile 2 și -1.

A doua recepție. Verifică-ți rădăcinile! Conform teoremei lui Vieta. Nu vă faceți griji, vă explic totul! Control ultimul lucru ecuația. Acestea. cea prin care am notat formula rădăcinilor. Dacă (ca în acest exemplu) coeficientul a = 1, verificați ușor rădăcinile. Este suficient să le înmulțim. Ar trebui să obțineți un termen gratuit, de ex. în cazul nostru -2. Atenție, nu 2, ci -2! membru liber cu semnul tău . Dacă nu a funcționat, înseamnă că s-au încurcat deja undeva. Căutați o eroare.

Dacă a funcționat, trebuie să îndoiți rădăcinile. Ultima si ultima verificare. Ar trebui să fie un raport b din opus semn. În cazul nostru -1+2 = +1. Un coeficient b, care este înaintea lui x, este egal cu -1. Deci, totul este în regulă!
Este păcat că este atât de simplu doar pentru exemplele în care x pătrat este pur, cu un coeficient a = 1. Dar măcar verificați astfel de ecuații! Vor fi mai puține greșeli.

Recepția a treia . Dacă ecuația ta are coeficienți fracționali, scapă de fracții! Înmulțiți ecuația cu numitorul comun așa cum este descris în lecția „Cum se rezolvă ecuații? Transformări de identitate”. Când lucrați cu fracții, erori, din anumite motive, urcați...

Apropo, am promis un exemplu rău, cu o grămadă de minusuri de simplificat. Vă rog! Aici era.

Pentru a nu ne confunda în minusuri, înmulțim ecuația cu -1. Primim:

Asta e tot! A decide este distractiv!

Deci, să recapitulăm subiectul.

Sfaturi practice:

1. Înainte de a rezolva, aducem ecuația pătratică la forma standard, construim-o dreapta.

2. Dacă există un coeficient negativ în fața lui x în pătrat, îl eliminăm înmulțind întreaga ecuație cu -1.

3. Dacă coeficienții sunt fracționali, eliminăm fracțiile înmulțind întreaga ecuație cu factorul corespunzător.

4. Dacă x pătrat este pur, coeficientul pentru acesta este egal cu unu, soluția poate fi verificată cu ușurință prin teorema lui Vieta. Fă-o!

Acum poți decide.)

Rezolvarea ecuațiilor:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Răspunsuri (în dezordine):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - orice număr

x 1 = -3
x 2 = 3

fara solutii

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Se potrivește totul? Amenda! Ecuațiile cuadratice nu sunt durerea ta de cap. Primele trei s-au dovedit, dar restul nu? Atunci problema nu este în ecuații pătratice. Problema este în transformări identice ale ecuațiilor. Aruncă o privire pe link, este util.

Nu prea merge? Sau nu merge deloc? Atunci vă va ajuta Secțiunea 555. Acolo, toate aceste exemple sunt sortate după oase. Se arată principal erori de solutie. Desigur, este descrisă și aplicarea transformărilor identice în rezolvarea diferitelor ecuații. Ajută mult!

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Ecuațiile cuadratice sunt studiate în clasa a 8-a, așa că nu este nimic complicat aici. Capacitatea de a le rezolva este esențială.

O ecuație pătratică este o ecuație de forma ax 2 + bx + c = 0, unde coeficienții a , b și c sunt numere arbitrare și a ≠ 0.

Înainte de a studia metode specifice de rezolvare, observăm că toate ecuațiile pătratice pot fi împărțite în trei clase:

Nu au rădăcini;
Au exact o rădăcină;
Au două rădăcini diferite.

Aceasta este o diferență importantă între ecuațiile pătratice și liniare, unde rădăcina există întotdeauna și este unică. Cum se determină câte rădăcini are o ecuație? Există un lucru minunat pentru asta - discriminant.

discriminant

Să fie dată ecuația pătratică ax 2 + bx + c = 0. Atunci discriminantul este pur și simplu numărul D = b 2 − 4ac .

Această formulă trebuie cunoscută pe de rost. De unde vine nu este important acum. Un alt lucru este important: prin semnul discriminantului, puteți determina câte rădăcini are o ecuație pătratică. Și anume:

Daca D< 0, корней нет;
Dacă D = 0, există exact o rădăcină;
Dacă D > 0, vor exista două rădăcini.

Vă rugăm să rețineți: discriminantul indică numărul de rădăcini și deloc semnele acestora, așa cum cred din anumite motive mulți oameni. Aruncă o privire la exemple și vei înțelege totul singur:

O sarcină. Câte rădăcini au ecuațiile pătratice:

x 2 - 8x + 12 = 0;

5x2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

Scriem coeficienții pentru prima ecuație și găsim discriminantul:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Deci, discriminantul este pozitiv, deci ecuația are două rădăcini diferite. Analizăm a doua ecuație în același mod:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Discriminantul este negativ, nu există rădăcini. Ultima ecuație rămâne:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Discriminantul este egal cu zero - rădăcina va fi una.

Rețineți că au fost notați coeficienți pentru fiecare ecuație. Da, este lung, da, este plictisitor - dar nu vei amesteca șansele și nu vei face greșeli stupide. Alegeți singuri: viteza sau calitatea.

Apropo, dacă vă „umpleți mâna”, după un timp nu va mai fi nevoie să scrieți toți coeficienții. Vei efectua astfel de operații în capul tău. Majoritatea oamenilor încep să facă asta undeva după 50-70 de ecuații rezolvate - în general, nu atât de multe.

Rădăcinile unei ecuații pătratice

Acum să trecem la soluție. Dacă discriminantul D > 0, rădăcinile pot fi găsite folosind formulele:

Formula de bază pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Când D = 0, puteți folosi oricare dintre aceste formule - obțineți același număr, care va fi răspunsul. În sfârșit, dacă D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 - 2x - 3 = 0;

15 - 2x - x2 = 0;

x2 + 12x + 36 = 0.

Prima ecuație:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ ecuația are două rădăcini. Să le găsim:

A doua ecuație:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ ecuația are din nou două rădăcini. Să le găsim

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

În sfârșit, a treia ecuație:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ecuația are o rădăcină. Se poate folosi orice formulă. De exemplu, primul:

După cum puteți vedea din exemple, totul este foarte simplu. Dacă știi formulele și poți număra, nu vor fi probleme. Cel mai adesea, erorile apar atunci când coeficienții negativi sunt înlocuiți în formulă. Aici, din nou, tehnica descrisă mai sus vă va ajuta: priviți formula literal, pictați fiecare pas - și scăpați de greșeli foarte curând.

Ecuații patratice incomplete

Se întâmplă ca ecuația pătratică să fie oarecum diferită de ceea ce este dat în definiție. De exemplu:

x2 + 9x = 0;
x2 − 16 = 0.

Este ușor de observat că unul dintre termeni lipsește din aceste ecuații. Astfel de ecuații pătratice sunt chiar mai ușor de rezolvat decât cele standard: nici măcar nu trebuie să calculeze discriminantul. Deci, să introducem un nou concept:

Ecuația ax 2 + bx + c = 0 se numește ecuație pătratică incompletă dacă b = 0 sau c = 0, adică. coeficientul variabilei x sau al elementului liber este egal cu zero.

Desigur, un caz foarte dificil este posibil atunci când ambii acești coeficienți sunt egali cu zero: b \u003d c \u003d 0. În acest caz, ecuația ia forma ax 2 \u003d 0. Evident, o astfel de ecuație are o singură ecuație. rădăcină: x \u003d 0.

Să luăm în considerare alte cazuri. Fie b \u003d 0, apoi obținem o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 + c \u003d 0. Să o transformăm ușor:

Deoarece rădăcina pătrată aritmetică există doar dintr-un număr nenegativ, ultima egalitate are sens doar atunci când (−c / a ) ≥ 0. Concluzie:

Dacă o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 + c = 0 satisface inegalitatea (−c / a ) ≥ 0, vor exista două rădăcini. Formula este dată mai sus;
Dacă (−c / a )< 0, корней нет.

După cum puteți vedea, discriminantul nu a fost necesar - nu există deloc calcule complexe în ecuațiile pătratice incomplete. De fapt, nici nu este necesar să ne amintim inegalitatea (−c / a ) ≥ 0. Este suficient să exprimăm valoarea lui x 2 și să vedem ce este de cealaltă parte a semnului egal. Dacă există un număr pozitiv, vor exista două rădăcini. Dacă este negativ, nu vor exista deloc rădăcini.

Acum să ne ocupăm de ecuații de forma ax 2 + bx = 0, în care elementul liber este egal cu zero. Totul este simplu aici: vor exista întotdeauna două rădăcini. Este suficient să factorizezi polinomul:

Scoaterea factorului comun din paranteză

Produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. De aici vin rădăcinile. În concluzie, vom analiza câteva dintre aceste ecuații:

O sarcină. Rezolvarea ecuațiilor pătratice:

x2 − 7x = 0;

5x2 + 30 = 0;

4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Nu există rădăcini, pentru că pătratul nu poate fi egal cu un număr negativ.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.