Restabiliți forma unei funcții din diferența acesteia. Ecuație în diferențiale totale

Enunțarea problemei în cazul bidimensional

Recuperarea unei funcţii a mai multor variabile din diferenţialul ei total

9.1. Enunțarea problemei în cazul bidimensional. 72

9.2. Descrierea soluției. 72

Aceasta este una dintre aplicațiile integralei curbilinii de al doilea fel.

O expresie pentru diferența totală a unei funcții a două variabile este dată:

Funcția de căutare.

1. Deoarece nu orice expresie a formei este o diferenţială totală a unei funcţii U(X,y), atunci este necesar să se verifice corectitudinea enunţului problemei, adică să se verifice condiţia necesară şi suficientă pentru diferenţialul total, care pentru o funcţie de 2 variabile are forma . Această condiție rezultă din echivalența afirmațiilor (2) și (3) din teorema secțiunii precedente. Dacă condiția indicată este îndeplinită, atunci problema are o soluție, adică o funcție U(X,y) poate fi restaurat; dacă condiția nu este îndeplinită, atunci problema nu are soluție, adică funcția nu poate fi restabilită.

2. Puteți găsi o funcție prin diferența sa totală, de exemplu, folosind o integrală curbilinie de al doilea fel, calculând-o de-a lungul unei linii care leagă un punct fix ( X 0 ,y 0) și punct variabil ( X y) (Orez. optsprezece):

Astfel, se obţine că integrală curbilinie II fel din diferenţial total dU(X,y) este egală cu diferența valorile funcției U(X,y) la punctele de capăt și de început ale liniei de integrare.

Cunoscând acum acest rezultat, trebuie să înlocuim în loc de dUîntr-o expresie integrală curbilinie și calculați integrala de-a lungul unei linii întrerupte ( ACB), ținând cont de independența acesteia față de forma liniei de integrare:

pe ( AC): pe ( SW) :

(1)

S-a obţinut astfel o formulă cu ajutorul căreia se restabileşte o funcţie de 2 variabile din diferenţialul ei total.

3. Este posibil să se restabilească o funcţie din diferenţialul ei total doar până la un termen constant, deoarece d(U+ const) = dU. Prin urmare, în urma rezolvării problemei, obținem un set de funcții care diferă între ele printr-un termen constant.

Exemple (restaurarea unei funcții a două variabile din diferența sa totală)

1. Găsiți U(X,y), dacă dU = (X 2 – y 2)dx – 2xydy.

Verificăm starea diferenţialului total al unei funcţii a două variabile:

Condiţia diferenţialului total este satisfăcută, deci, funcţia U(X,y) poate fi restaurat.

Verificare: corecta.

Răspuns: U(X,y) = X 3 /3 – X y 2 + C.

2. Găsiți o funcție astfel încât

Verificăm necesarul conditii suficiente diferenţial total al unei funcţii de trei variabile: , , , dacă este dată expresia.

În problema care se rezolvă

toate condițiile diferenţialului total sunt îndeplinite, prin urmare, funcția poate fi restabilită (problema este setată corect).

Vom restabili funcția folosind o integrală curbilinie de al doilea fel, calculând-o de-a lungul unei anumite linii care leagă un punct fix și un punct variabil, deoarece

(această egalitate este derivată în același mod ca și în cazul bidimensional).

Pe de altă parte, integrala curbilinie a celui de-al doilea tip de diferenţial total nu depinde de forma liniei de integrare, deci este mai uşor să o calculăm de-a lungul unei linii întrerupte constând din segmente, paralel cu axele coordonate. În același timp, ca punct fix, puteți lua pur și simplu un punct cu coordonate numerice specifice, urmărind doar că în acest punct și pe întreaga linie de integrare să fie îndeplinită condiția existenței unei integrale curbilinii (adică că funcțiile și să fie continuu). Având în vedere această remarcă, în această problemă putem lua un punct fix, de exemplu, punctul M 0 . Apoi pe fiecare dintre legăturile liniei întrerupte vom avea

10.2. Calculul integralei de suprafață de primul fel. 79

10.3. Unele aplicații ale integralei de suprafață de primul fel. 81

Se poate întâmpla ca partea stângă ecuație diferențială

este diferența totală a unei funcții:

și deci ecuația (7) ia forma .

Dacă funcția este o soluție a ecuației (7), atunci , și, prin urmare,

unde este o constantă și invers, dacă o funcție transformă ecuația finală (8) într-o identitate, atunci, prin diferențierea identității rezultate, obținem , și, prin urmare, , unde este o constantă arbitrară, este o integrală generală a ecuația originală.

Dacă sunt date valorile inițiale, atunci constanta este determinată din (8) și

este integrala parțială dorită. Dacă în punctul , atunci ecuația (9) definește ca o funcție implicită a lui .

Pentru ca partea stângă a ecuației (7) să fie diferența totală a unei funcții, este necesar și suficient ca

Dacă această condiție, indicată de Euler, este îndeplinită, atunci ecuația (7) este ușor de integrat. Într-adevăr, . Pe de altă parte, . Prin urmare,

Când se calculează integrala, valoarea este considerată o constantă, prin urmare este o funcție arbitrară a . Pentru a determina funcția, diferențiem funcția găsită față de și, din moment ce , obținem

Din această ecuație, determinăm și, integrând, găsim .

După cum se știe de la curs analiză matematică, este chiar mai ușor să definiți o funcție prin diferența sa totală luând integrala curbilinie dintre un punct fix și un punct cu coordonate variabile de-a lungul oricărei căi:

Cel mai adesea, ca cale de integrare, este convenabil să se ia o linie întreruptă compusă din două legături paralele cu axele de coordonate; în acest caz,

Exemplu. .

Partea stângă a ecuației este diferența totală a unei funcții, deoarece

Prin urmare, integrala generală are forma

Puteți utiliza o altă metodă pentru definirea unei funcții:

In spate punct de start alegem, de exemplu, originea coordonatelor, ca cale de integrare - o linie întreruptă. Apoi

iar integrala generală are forma

Ceea ce coincide cu rezultatul anterior, conducând la un numitor comun.

În unele cazuri, când partea stângă a ecuației (7) nu este o diferență totală, este ușor să găsiți o funcție , după înmulțirea prin care partea stângă a ecuației (7) se transformă într-o diferență totală . O astfel de funcție este numită factor integrator. Rețineți că înmulțirea cu un factor de integrare poate duce la apariția unor soluții suplimentare speciale care transformă acest factor la zero.

Exemplu. .

Evident, după înmulțirea cu un factor, partea stângă se transformă într-un diferențial total. Într-adevăr, după înmulțirea cu obținem

sau, prin integrare, . Înmulțind cu 2 și potențand, vom avea .

Desigur, factorul de integrare nu este întotdeauna ales atât de ușor. În cazul general, pentru a găsi factorul de integrare, este necesar să alegeți cel puțin o soluție particulară a ecuației în derivate parțiale care nu este identic zero, sau în formă extinsă

care, după împărțirea și transferul unor termeni în cealaltă parte a egalității, se reduce la formă

În cazul general, integrarea acestei ecuații diferențiale parțiale nu este în niciun caz o sarcină mai simplă decât integrarea ecuației originale, dar în unele cazuri selectarea unei anumite soluții la ecuația (11) nu este dificilă.

În plus, presupunând că factorul de integrare este o funcție a unui singur argument (de exemplu, este o funcție a numai sau numai , sau o funcție a numai , sau numai etc.), putem integra cu ușurință ecuația (11) și indicaţi condiţiile în care există un factor integrator al formei luate în considerare. Astfel, sunt evidențiate clase de ecuații pentru care factorul de integrare poate fi găsit cu ușurință.

De exemplu, să găsim condițiile în care ecuația are un factor de integrare care depinde doar de , i.e. . În acest caz, ecuația (11) este simplificată și ia forma , de unde, presupunând functie continua de la , primim

Dacă este o funcție numai a lui , atunci factorul integrator care depinde numai de , există și este egal cu (12), în caz contrar factorul integrator al formei nu există.

Condiția existenței unui factor integrator care depinde numai de este îndeplinită, de exemplu, pt ecuație liniară sau . Într-adevăr, și, prin urmare, . În mod asemănător, pot fi găsite condiții pentru existența factorilor integratori ai formei etc.

Exemplu. Ecuația are un factor integrator de formă?

Să notăm. Ecuația (11) la ia forma , de unde sau

Pentru existența unui factor integrator de o formă dată este necesar și, sub ipoteza continuității, este suficient ca numai . În acest caz, deci, factorul de integrare există și este egal cu (13). Când primim. Înmulțind ecuația inițială cu , o aducem la forma

Integrând, obținem , iar după potențare avem , sau în coordonate polare- o familie de spirale logaritmice.

Exemplu. Găsiți forma unei oglinzi care reflectă paralel cu o direcție dată toate razele care ies dintr-un punct dat.

Punem originea coordonatelor la punct datşi direcţionaţi axa absciselor paralel cu direcţia specificată în condiţiile problemei. Lasă fasciculul să cadă pe oglindă în punctul . Considerăm o secțiune a oglinzii printr-un plan care trece prin axa absciselor și punctul . Să desenăm o tangentă la secțiunea considerată a suprafeței oglinzii în punctul . Deoarece unghiul de incidență al fasciculului este egal cu unghiul de reflexie, triunghiul este isoscel. Prin urmare,

Primit ecuație omogenă poate fi integrat ușor prin schimbarea variabilelor, dar este și mai ușor să scapi de iraționalitatea din numitor și să o rescrii în formă. Această ecuație are un factor de integrare evident , , , (o familie de parabole).

Această problemă este și mai ușor de rezolvat în coordonate și, unde , în timp ce ecuația pentru secțiunea suprafețelor dorite ia forma .

Este posibil să se demonstreze existența unui factor integrator sau, ceea ce este același lucru, existența unei soluții nenule a ecuației cu diferență parțială (11) într-un anumit domeniu, dacă funcțiile și au derivate continue și cel puțin una dintre acestea. funcțiile nu dispare. Prin urmare, metoda factorului de integrare poate fi considerată ca o metodă generală de integrare a ecuațiilor de forma , cu toate acestea, din cauza dificultății de a găsi factorul de integrare, această metodă este folosită cel mai adesea în cazurile în care factorul de integrare este evident.

În acest subiect, vom lua în considerare o metodă de recuperare a unei funcții din diferența sa totală, dăm exemple de probleme cu o analiză completă a soluției.

Se întâmplă că ecuațiile diferențiale (DE) de forma P (x, y) d x + Q (x, y) d y \u003d 0 pot conține diferențiale totale ale unor funcții în părțile din stânga. Atunci putem găsi integrala generală a DE dacă mai întâi restabilim funcția din diferenţialul ei total.

Exemplul 1

Se consideră ecuația P (x , y) d x + Q (x , y) d y = 0 . Înregistrarea părții sale stângi conține diferența unei anumite funcții U(x, y) = 0. Pentru aceasta, condiția ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x trebuie îndeplinită.

Diferenţialul total al funcţiei U (x , y) = 0 are forma d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y . Ținând cont de condiția ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x, obținem:

P (x , y) d x + Q (x , y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

Transformând prima ecuație din sistemul de ecuații rezultat, putem obține:

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

Putem găsi funcția φ (y) din a doua ecuație a sistemului obținut anterior:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) d x ∂ y + φ y "(y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y d y

Deci am găsit funcția dorită U (x, y) = 0.

Exemplul 2

Găsiți pentru DE (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0 soluția generală.

Decizie

P (x, y) \u003d x 2 - y 2, Q (x, y) \u003d - 2 x y

Să verificăm dacă este îndeplinită condiția ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

Condiția noastră este îndeplinită.

Pe baza calculelor, putem concluziona că partea stângă a originalului DE este diferența totală a unei funcții U (x , y) = 0 . Trebuie să găsim această funcție.

Deoarece (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y este diferența totală a funcției U (x, y) = 0, atunci

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

Integram prima ecuatie a sistemului in raport cu x:

U (x, y) \u003d ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) \u003d x 3 3 - x y 2 + φ (y)

Acum diferențiam rezultatul față de y:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y "(y)

Transformând a doua ecuație a sistemului, obținem: ∂ U ∂ y = - 2 x y . Înseamnă că
- 2 x y + φ y "(y) = - 2 x y φ y" (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

unde C este o constantă arbitrară.

Obținem: U (x, y) \u003d x 3 3 - x y 2 + φ (y) \u003d x 3 3 - x y 2 + C. Integrala generală a ecuației inițiale este x 3 3 - x y 2 + C = 0 .

Să analizăm o altă metodă pentru găsirea unei funcții dintr-o diferență totală cunoscută. Implica aplicarea unei integrale curbilinie de la un punct fix (x 0, y 0) la un punct cu coordonate variabile (x, y):

U (x , y) = ∫ (x 0 , y 0) (x , y) P (x , y) d x + Q (x , y) d y + C

În astfel de cazuri, valoarea integralei nu depinde în niciun fel de calea integrării. Putem lua o linie întreruptă ca cale de integrare, ale cărei legături sunt paralele cu axele de coordonate.

Exemplul 3

Aflați soluția generală a ecuației diferențiale (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0 .

Decizie

Să verificăm dacă condiția ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x este îndeplinită:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

Rezultă că partea stângă a ecuației diferențiale este reprezentată de diferența totală a unei funcții U (x, y) = 0. Pentru a găsi această funcție, este necesar să se calculeze integrala curbilinie din punct (1 ; 1) inainte de (X y). Să luăm ca cale de integrare o linie întreruptă, ale cărei secțiuni vor trece de-a lungul unei linii drepte y=1 de la punctul (1, 1) la (x, 1) și apoi de la punctul (x, 1) la (x, y):

∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) ) d y + + ∫ (x, 1) (x, y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2) x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x 1 - x 1 2) = x y - x y 2

Am obţinut soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale de forma x y - x y 2 + C = 0 .

Exemplul 4

Să se determine soluția generală a ecuației diferențiale y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 .

Decizie

Să verificăm dacă este îndeplinită condiția ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x.

Deoarece ∂ (y cos x) ∂ y = cos x , ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x cos x , condiția nu va fi îndeplinită. Aceasta înseamnă că partea stângă a ecuației diferențiale nu este diferența totală a funcției. Aceasta este o ecuație diferențială separabilă și alte soluții sunt potrivite pentru a o rezolva.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

unele functii. Dacă restabilim funcția din diferența sa totală, atunci găsim integrala generală a ecuației diferențiale. Mai jos vom vorbi despre metoda de recuperare a unei funcţii din diferenţialul ei total.

Partea stângă a ecuației diferențiale este diferența totală a unei funcții U(x, y) = 0 dacă condiția este îndeplinită.

pentru că diferenţialul total al unei funcţii U(x, y) = 0 Acest , ceea ce înseamnă că în condiţiile ei spun că .

Apoi, .

Din prima ecuație a sistemului obținem . Găsim funcția folosind a doua ecuație a sistemului:

Astfel, vom găsi funcția dorită U(x, y) = 0.

Exemplu.

Să găsim soluția generală a DE .

Decizie.

În exemplul nostru. Condiția este îndeplinită deoarece:

Apoi, partea stângă a DE inițială este diferența totală a unei funcții U(x, y) = 0. Trebuie să găsim această funcție.

pentru că este diferența totală a funcției U(x, y) = 0, mijloace:

Integrarea peste X Prima ecuație a sistemului și derivabilă în raport cu y rezultat:

Din ecuația a 2-a a sistemului obținem . Mijloace:

Unde Cu este o constantă arbitrară.

Astfel, și integrala generală ecuația dată voi .

Există o secundă metoda de calcul a unei functii din diferenta sa totala. Constă în luarea integralei curbilinii a unui punct fix (x0, y0) până la un punct cu coordonate variabile (X y): . În acest caz, valoarea integralei este independentă de calea integrării. Este convenabil să luăm ca traseu de integrare o linie întreruptă ale cărei legături sunt paralele cu axele de coordonate.

Exemplu.

Să găsim soluția generală a DE .

Decizie.

Verificăm îndeplinirea condiției:

Astfel, partea stângă a DE este diferența totală a unei anumite funcții U(x, y) = 0. Găsim această funcție calculând integrala curbilinie a punctului (1; 1) inainte de (X y). Luăm o polilinie ca cale de integrare: vom trece prin prima secțiune a poliliniei de-a lungul unei linii drepte y=1 din punct de vedere (1, 1) inainte de (x, 1), ca a doua secțiune a traseului luăm un segment de dreaptă din punct (x, 1) inainte de (X y):

Deci, soluția generală a DE arată astfel: .

Exemplu.

Să definim soluția generală a lui DE.

Decizie.

pentru că , atunci condiția nu este îndeplinită, atunci partea stângă a DE nu va fi diferența totală a funcției și trebuie să utilizați metoda a doua soluție (această ecuație este o ecuație diferențială cu variabile separabile).

Diferenţial se numește ecuație de formă

P(X y)dx + Q(X y)dy = 0 ,

unde partea stângă este diferența totală a unei funcții a două variabile.

Să notăm funcția necunoscută a două variabile (este ceea ce trebuie să găsim atunci când rezolvăm ecuații în diferențiale totale) prin Fși vom reveni la el în curând.

Primul lucru la care ar trebui să acordați atenție este că trebuie să existe zero în partea dreaptă a ecuației, iar semnul care leagă cei doi termeni din partea stângă trebuie să fie un plus.

În al doilea rând, trebuie să se respecte o oarecare egalitate, ceea ce este o confirmare că ecuația diferențială dată este o ecuație în diferențiale totale. Această verificare este o parte obligatorie a algoritmului de rezolvare a ecuațiilor în diferențiale totale (este în al doilea paragraf al acestei lecții), deci procesul de găsire a unei funcții F destul de consumator de timp și este important în stadiul inițial să ne asigurăm că nu pierdem timpul în zadar.

Deci, funcția necunoscută care trebuie găsită este notată cu F. Suma diferenţialelor parţiale asupra tuturor variabilelor independente dă diferenţialul total. Prin urmare, dacă ecuația este o ecuație diferențială totală, partea stângă a ecuației este suma diferențialelor parțiale. Apoi, prin definiție

dF = P(X y)dx + Q(X y)dy .

Reamintim formula de calcul a diferenţialului total al unei funcţii a două variabile:

Rezolvând ultimele două egalități, putem scrie

Prima egalitate este diferențiabilă în raport cu variabila „y”, a doua - în raport cu variabila „x”:

care este condiția ca ecuația diferențială dată să fie într-adevăr o ecuație în diferențiale totale.

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale în diferențiale totale

Pasul 1. Asigurați-vă că ecuația este o ecuație în diferențe totale. Pentru expresia a fost diferența totală a unei funcții F(X y) , este necesar şi suficient ca . Cu alte cuvinte, trebuie să luăm derivata parțială cu privire la X iar derivata parțială în raport cu y un alt termen și, dacă aceste derivate sunt egale, atunci ecuația este o ecuație în diferențiale totale.

Pasul 2 Scrieți sistemul de ecuații cu diferențe parțiale care alcătuiesc funcția F:

Pasul 3 Integrați prima ecuație a sistemului - peste X (y F:

,
y.

O opțiune alternativă (dacă este mai ușor să găsiți integrala în acest fel) este să integrați a doua ecuație a sistemului - prin y (X rămâne constantă și este scoasă din semnul integral). Astfel, funcția este de asemenea restabilită F:

,
de unde este o funcție necunoscută X.

Pasul 4 Rezultatul pasului 3 (integrala generală găsită) se diferențiază prin y(alternativ, de către X) și echivalează cu a doua ecuație a sistemului:

și, alternativ, la prima ecuație a sistemului:

Din ecuația rezultată, determinăm (într-o versiune alternativă)

Pasul 5 Rezultatul pasului 4 este integrat și găsit (alternativ găsiți).

Pasul 6Înlocuiți rezultatul pasului 5 în rezultatul pasului 3 - în funcția restaurată prin integrare parțială F. O constantă arbitrară C scris mai des după semnul egal – în partea dreaptă a ecuației. Astfel, obținem soluția generală a ecuației diferențiale în diferențiale totale. După cum am menționat deja, are forma F(X y) = C.

Exemple de soluții ale ecuațiilor diferențiale în diferențiale totale

Exemplul 1

Pasul 1. ecuație în diferențiale totale X un termen din partea stângă a expresiei

iar derivata parțială în raport cu y alt termen
ecuație în diferențiale totale .

Pasul 2 F:

Pasul 3 pe X (y rămâne constantă și este scoasă din semnul integral). Astfel, restabilim funcția F:

de unde este o funcție necunoscută y.

Pasul 4 y

Pasul 5

Pasul 6 F. O constantă arbitrară C :
.

Care este cea mai probabilă eroare aici? Cele mai frecvente greșeli sunt să luați integrala parțială peste una dintre variabile pentru integrala obișnuită a produsului de funcții și să încercați să integrați prin părți sau o variabilă de înlocuire și, de asemenea, să luați derivata parțială a doi factori ca derivată a produs al funcțiilor și căutați derivata folosind formula corespunzătoare.

Acest lucru trebuie reținut: atunci când se calculează o integrală parțială față de una dintre variabile, cealaltă este o constantă și este scoasă din semnul integral, iar când se calculează o derivată parțială față de una dintre variabile, cealaltă este, de asemenea, o constantă și derivata expresiei se găsește ca o derivată a variabilei „acționante” înmulțită cu o constantă.

Printre ecuații în diferențiale totale nu neobișnuit - exemple cu un exponent. Acesta este următorul exemplu. De asemenea, se remarcă prin faptul că în soluția sa este utilizată o opțiune alternativă.

Exemplul 2 Rezolvați ecuația diferențială

Pasul 1. Asigurați-vă că ecuația este ecuație în diferențiale totale . Pentru a face acest lucru, găsim derivata parțială cu privire la X un termen din partea stângă a expresiei

iar derivata parțială în raport cu y alt termen
. Aceste derivate sunt egale, deci ecuația este ecuație în diferențiale totale .

Pasul 2 Notăm sistemul de ecuații cu diferențe parțiale care alcătuiesc funcția F:

Pasul 3 Integram a doua ecuatie a sistemului - peste y (X rămâne constantă și este scoasă din semnul integral). Astfel, restabilim funcția F:

de unde este o funcție necunoscută X.

Pasul 4 Rezultatul pasului 3 (integrala generală găsită) este diferențiabil în raport cu X

și echivalează cu prima ecuație a sistemului:

Din ecuația rezultată determinăm:
.

Pasul 5 Integram rezultatul pasului 4 si gasim:
.

Pasul 6Înlocuim rezultatul pasului 5 în rezultatul pasului 3 - în funcția restaurată prin integrare parțială F. O constantă arbitrară C scrie după semnul egal. Așa obținem generalul rezolvarea unei ecuații diferențiale în diferențiale totale :
.

În exemplul următor, ne întoarcem de la alternativă la cea principală.

Exemplul 3 Rezolvați ecuația diferențială

Pasul 1. Asigurați-vă că ecuația este ecuație în diferențiale totale . Pentru a face acest lucru, găsim derivata parțială cu privire la y un termen din partea stângă a expresiei

iar derivata parțială în raport cu X alt termen
. Aceste derivate sunt egale, deci ecuația este ecuație în diferențiale totale .

Pasul 2 Notăm sistemul de ecuații cu diferențe parțiale care alcătuiesc funcția F:

Pasul 3 Integram prima ecuatie a sistemului - pe X (y rămâne constantă și este scoasă din semnul integral). Astfel, restabilim funcția F:

de unde este o funcție necunoscută y.

Pasul 4 Rezultatul pasului 3 (integrala generală găsită) este diferențiabil în raport cu y

și echivalează cu a doua ecuație a sistemului:

Din ecuația rezultată determinăm:
.

Pasul 5 Integram rezultatul pasului 4 si gasim:

Exemplul 4 Rezolvați ecuația diferențială

Pasul 1. Asigurați-vă că ecuația este ecuație în diferențiale totale . Pentru a face acest lucru, găsim derivata parțială cu privire la y un termen din partea stângă a expresiei

iar derivata parțială în raport cu X alt termen
. Aceste derivate sunt egale, ceea ce înseamnă că ecuația este o ecuație în diferențiale totale.

Pasul 2 Notăm sistemul de ecuații cu diferențe parțiale care alcătuiesc funcția F:

Pasul 3 Integram prima ecuatie a sistemului - pe X (y rămâne constantă și este scoasă din semnul integral). Astfel, restabilim funcția F:

de unde este o funcție necunoscută y.

Pasul 4 Rezultatul pasului 3 (integrala generală găsită) este diferențiabil în raport cu y

și echivalează cu a doua ecuație a sistemului:

Din ecuația rezultată determinăm:
.

Pasul 5 Integram rezultatul pasului 4 si gasim:

Exemplul 5 Rezolvați ecuația diferențială