Dacă este dată o integrală curbilinie și curba de-a lungul căreia are loc integrarea este închisă (numită contur), atunci o astfel de integrală se numește integrală peste un contur închis și se notează după cum urmează:

Zona delimitată de contur L denota D. Dacă funcţiile P(X, y) , Q(X, y) și derivatele lor parțiale și sunt funcții continue în domeniu D, apoi pentru a calcula integrala curbilinie, puteți folosi formula Green:

Astfel, calculul unei integrale curbilinii peste un contur închis se reduce la calculul unei integrale duble pe suprafață D.

Formula lui Green rămâne valabilă pentru orice zonă închisă, care poate fi desenat prin trasarea unor linii suplimentare pe un număr finit de regiuni simple închise.

Exemplul 1 Calculați integrala curbilinie

,

dacă L- conturul triunghiului OAB, Unde O(0; 0) , A(1; 2) și B(zece). Direcția de ocolire a conturului este în sens invers acelor de ceasornic. Rezolvați problema în două moduri: a) calculați integralele curbilinii de pe fiecare parte a triunghiului și adăugați rezultatele; b) prin formula lui Green.

a) Calculați integralele curbilinii de pe fiecare parte a triunghiului. Latură OB este pe axă Bou, deci ecuația sa este y= 0 . De aceea dy= 0 și putem calcula integrala curbilinie peste latură OB :

ecuația laterală BA va fi X= 1 . De aceea dx= 0 . Calculăm integrala curbilinie peste latură BA :

ecuația laterală AO compunem, folosind formula ecuației unei drepte care trece prin două puncte:

.

În acest fel, dy = 2dx. Calculăm integrala curbilinie peste latură AO :

Această integrală curbilinie va fi egală cu suma integralelor de-a lungul marginilor triunghiului:

.

b) Aplicam formula lui Green. pentru că , , apoi . Avem totul pentru a calcula această integrală în buclă închisă folosind formula lui Green:

După cum puteți vedea, am obținut același rezultat, dar conform formulei lui Green, calculul integralei pe un contur închis este mult mai rapid.

Exemplul 2

,

Unde L- contur OAB , OB- arc de parabolă y = X² , de la punct O(0; 0) la obiect A(1; 1) , ABși BO- segmente de linie B(0; 1) .

Soluţie. Deoarece funcțiile , , și derivatele lor parțiale , , D- zona delimitată de contur L, avem totul pentru a folosi formula lui Green și a calcula această integrală în buclă închisă:

Exemplul 3 Folosind formula lui Green, calculați integrala curbilinie

, dacă L- conturul pe care îl formează linia y = 2 − |X| si axa Oi .

Soluţie. Linia y = 2 − |X| constă din două grinzi: y = 2 − X, dacă X≥ 0 și y = 2 + X, dacă X < 0 .

Avem funcții , și derivatele lor parțiale și . Înlocuim totul în formula lui Green și obținem rezultatul.

Fie π un plan în , - vector unitar normale la π, D- un domeniu simplu conectat pe π (adică, o curbă închisă pe bucăți fără auto-intersecții situată la D, limitează zona, toate punctele fiind de asemenea D). Lăsa D indeplineste conditiile:

1) graniță DIN zone D este o curbă netedă închisă pe bucăți fără puncte singulare;

2) pe π se poate alege un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian astfel încât toate liniile paralele cu axele de coordonate să se intersecteze D nu mai mult de 2 puncte.

Lăsa t- DIN,în concordanță cu , adică direcția pozitivă a curbei DIN t cu direcție t DIN

T1 (formula lui Green). LăsaA - 1), 2), direcția este continuă în . Apoi formula

Pe dreapta - circulația câmpului vectorial de-a lungul curbei DIN, stânga - curgere câmp vectorial prin D.

Doc. Toate funcțiile incluse în (1) sunt continue => ambele integrale . Integralele din stânga și din dreapta din (1) sunt invariante în ceea ce privește alegerea unui sistem de coordonate dreptunghiular, deoarece si invariante, elementele ariei si lungimea arcului nu depind de alegerea sistemului de coordonate carteziene => este suficient sa se demonstreze (1) intr-un sistem special ales.

Alegem un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian Ohz astfel încât condiția 2 este îndeplinită) și Oz hai să mergem împreună. Deoarece câmpul vectorial este plat, atunci =>

Pentru o zonă plată și , unde l- lungimea arcului DIN, ales ca parametru, a cărui creștere este în concordanță cu direcția de ocolire DIN =>

Pentru a demonstra formula lui Green, este suficient să demonstrați 2 egalități:

Fie o linie paralelă cu axa OU, cruci DIN la puncte . Lăsa - cea mai mică și cea mai mare abscisă a punctelor curbei zonei DIN 1 se conectează la , iar curba DIN 2 - cu și , sunt orientate în conformitate cu C => după formula de reducere a integralei duble la cea repetată:

Integrala este calculată într-un mod similar J.

Z1. Din doc => formula (1) poate fi scrisă ca (1"):

O, „y”; A are coordonate R"și Q", apoi

Jacobian al transformării în tranziția la un nou sistem de coordonate modulo = 1, parametrizarea folosind lungimea arcului nu este legată de sistemul de coordonate =>

Lăsa D- un domeniu simplu conectat în (adică, pentru o curbă închisă netedă pe bucăți C situat în D, se poate specifica o suprafață netedă orientabilă în bucăți G situat în D, mărginit DIN), suprafaţă S- limita sa care îndeplinește condițiile:

1) S- în bucăți netede bifață complet delimitat închis și fără puncte singulare;

2) se poate alege un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare astfel încât pentru fiecare dintre axele de coordonate să se intersecteze o linie dreaptă paralelă cu această axă S nu mai mult de 2 puncte.

Lăsa n este vectorul unitar al normalei exterioare la S.

T2 ( Formula Ostrogradsky - Gauss ). LăsaAeste un câmp vectorial diff-mine în D care satisface condițiile 1), 2), și astfel încât derivata cu privire la direcția este continuă în . Apoi

Dreapta - fluxul câmpului vectorial prin suprafata S, în stânga este integrala de volum a divergenței vectoriale asupra zonei D => Integrala de volum a divergenței vectorului asupra zonei D este egală cu fluxul câmpului vectorial prin suprafața S – limita acestei zone.

Doc-in Toate funcțiile incluse în (2) sunt continue => ambele integrale . Formula (2) este invariantă în raport cu alegerea unui sistem de coordonate dreptunghiular, deoarece toate cantitățile incluse în el sunt invariante => este suficient să se demonstreze (2) pentru vreo 1 alegere a sistemului cartezian. Alegem un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian Ohz astfel încât condiția 2) este îndeplinită; lasa => dat:

Am nevoie de un document:

Să dovedim pentru L altele en-dar. Lăsa D"- proiecție D spre avion Ohu. prin punctele de limita D" trage linii drepte paralele Oz. Fiecare dintre ele se intersectează cu S doar la 1 punct. Multe dintre aceste puncte se separă Sîn 2 părți: . Dacă trasezi o linie dintr-un punct interior D", paralel Oz, atunci va trece S la 2 puncte: și . și funcții de diferență pe bucăți și continuu în D". Conform formulei de reducere a integralei triple la integrală repetată:

Am folosit faptul că , și relația

corect, pentru că normala exterioară la formează un unghi obtuz cu Oz(=> ).

Z2. Din doc => formula (2) se poate scrie:

Doc-in-un-dar Z1.

Formula Stokes.

Lăsa S pur și simplu conectat (adică, o curbă netedă pe bucăți, închisă fără auto-intersecții, situată pe S, limitează setul, dintre care toate punctele S) suprafata in , indeplinirea conditiilor:

1) S- suprafață mărginită completă, netedă, pe două fețe, fără puncte singulare; limita sa este un contur neted în bucăți închis DIN;

2) sistemul de coordonate carteziene poate fi ales astfel încât S proiectat unic pe din 3 planuri de coordonate.

Lăsa n- vector normal unitar la S, t- vector unitar al tangentei la C, în concordanță cu n, adică direcția pozitivă a curbei DIN coincide în punctul de aplicare a vectorului t cu direcție t, iar dacă te uiți de la capăt , atunci conturul DIN orientat pozitiv (în sens invers acelor de ceasornic în jurul lui).

T (formula Stokes). LăsaA - câmp vectorial diff-mine continuu într-o vecinătate a suprafeței S(adică pe un set deschis în conţinând S). Apoi

Sau: Fluxul vectorial prin suprafaţa S este egală cu circulaţia vectoruluiA într-o buclă închisă C.

Doc-in. În virtutea condițiilor teoremei, integralele din (1) există. Formula (1) este invariantă în ceea ce privește alegerea bazei => este suficient să o demonstrăm pentru orice alegere a bazei. Alegem un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare Ohz astfel încât S concepute unic pentru toate trei planuri de coordonate. Lăsa

Să coordonăm alegerea sistemului de coordonate astfel încât vectorul normal să formeze unghiuri ascuțite cu axele de coordonate. Având în vedere expresia pentru în coordonate carteziene

Este suficient să demonstrezi:

S- netedă în bucăți și proiectat unic pe Ohu. Lăsa D- proiecția sa, G - proiecția DIN spre avion Ohu => diff-may f-i care definește ecuația suprafeței S. în care

iar suprafaţa integrală peste S= integrală dublă peste D. Conform formulei lui Green*:

Z1. δ > 0 astfel încât pentru părți F Mărimea S< δ (poate fi plasat într-o sferă cu raza δ/2) se poate alege un sistem de coordonate carteziene în aşa fel încât F este proiectat în mod unic pe toate planurile de coordonate. Lăsa - punct fix S. Desenați un plan tangent prin , fie vectorul normal unitar al suprafeței în . Să alegem un sistem de coordonate dreptunghiular pentru a face unghiuri ascuțite cu axele. pentru că câmpul normal este continuu, atunci vecinătatea este astfel încât toate normalele din punctele acestei vecinătăți formează unghiuri ascuțite cu axele => vreo vecinătate de raza δ/2 a punctului , care se proiectează unic pe toate planurile de coordonate.

Puteți alege un număr universal δ > 0 care nu depinde de. Fie astfel de δ => pentru fiecare poate indica o parte a suprafeței S, ale căror dimensiuni< и которая не проектируется однозначно на все координатные плоскости декартовой системы коор­динат.

Alegem în fiecare punct , din succesiunea rezultată alegem o succesiune convergentă către unele M S. La M o vecinătate proiectată în mod unic pe planurile de coordonate ale unui sistem dreptunghiular. Acest cartier pentru un număr oarecare P conţine o parte care va fi proiectată în mod unic pe toate cele trei planuri de coordonate => o contradicţie cu alegerea lui .

Să zdrobim Sîntr-un număr finit de părți netede, de dimensiunea fiecăreia< δ, указанного выше. однозначно проектируется на все координатные плос­кости некоторой декартовой системы координат =>Formula lui Stokes este valabilă pentru fiecare . Să însumăm părțile din stânga și din dreapta acestor formule. Integrale peste secțiuni comune ale graniței sunt luate în direcții opuse și, prin urmare, se anulează => în stânga obținem integrala peste suprafața lui , iar în dreapta - integrala peste graniță DIN de la , adică formula Stokes pentru cazul general => formula Stokes este valabilă pentru suprafețele care îndeplinesc condiția 1) și nu, în general, satisface condiția 2).

Z 2. Formula Stokes este corectă pentru suprafețe S, admițând împărțirea prin intermediul curbelor netede pe bucăți într-un număr finit de suprafețe simple conectate cu proprietatea 1). Doctrină: însumați integralele din stânga și din dreapta în formulele Stokes pentru suprafețele simple conectate și luați în considerare că integralele peste curbele incluse în partiție sunt luate în direcții diferite și, prin urmare, se anulează.

Z3. Din doc => formula (1) poate fi scrisă ca (1"):

Integralele din stânga și din dreapta în (1") sunt invariante, deoarece valorile integranților sunt egale, respectiv, cu valori invariante. Forma integranților din formula (1") nu se schimbă, de asemenea, atunci când trecând la sistem nou Ox"y"z"; dacă în noua bază câmpul vectorial A are coordonate R", Q" și R", apoi

Jacobianul transformării în tranziția la un nou sistem de coordonate modulo = 1, parametrizarea folosind lungimea arcului nu este legată de sistemul de coordonate => integralele stânga și dreapta din (1") nu își schimbă sensul și forma.

*: π - plan în , - vector normal unitar la π, D- pur și simplu domeniul conectat pe π . Lăsa Dîndeplineşte condiţiile: 1) hotar DIN zone D este o curbă netedă închisă pe bucăți fără puncte singulare; 2) pe π se poate alege un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian astfel încât toate liniile paralele cu axele de coordonate să se intersecteze D nu mai mult de 2 puncte.

Lăsa t- vector unitar de tangentă la curbă DIN,în concordanţă cu .

T1 (formula lui Green). LăsaA - câmp vectorial diff-mine în D satisfacând condițiile 1), 2), și astfel încât derivatul său cu privire la direcția este continuă în . Apoi formula

Delimitat de această suprafață:

acesta este integrală a divergenței câmpului vectorial, extinsă pe un anumit volum T, este egal cu curgere vector prin suprafață S limitând acest volum.

Formula este utilizată pentru a converti o integrală de volum într-o integrală pe o suprafață închisă.

În lucrarea lui Ostrogradsky, formula este scrisă în următoarea formă:

unde ω și s sunt diferențele de volum și respectiv de suprafață. În notația modernă ω = dΩ - element de volum, s = dS - element de suprafata. - funcții care sunt continue împreună cu derivatele lor parțiale de ordinul întâi într-o regiune închisă a spațiului delimitată de o suprafață netedă închisă.

O generalizare a formulei Ostrogradsky este Formula Stokes pentru soiuri cu muchie.

Poveste

Pentru prima dată a fost prezentată metoda generală de conversie a unei integrale triple într-o integrală de suprafață Carl Friedrich Gauss( , ani) pe exemplul sarcinilor electrodinamică.

LA 1826 M. V. Ostrogradsky a derivat formula vedere generala, prezentându-l ca o teoremă (publicat în 1831). M. V. Ostrogradsky a publicat o generalizare multidimensională a formulei în 1834. Folosind această formulă, Ostrogradsky a găsit o expresie pentru derivată în raport cu parametrul lui n-fold integral cu limite variabileși am primit formula pentru variație n-fold integrală.

În străinătate, se numește formula Formula Gauss sau „formula (teorema) lui Gauss-Ostrogradsky”.

Vezi si

Literatură

• Ostrogradsky M.V. Note sur les integrales definies. //Mem. 1'Acad. (VI), 1, p. 117-122, 29/X 1828 (1831).
• Ostrogradsky M.V. Memoire sur le calcul des variations des integrales multiples. //Mem. 1'Acad., 1, p. 35-58, 24/1 1834 (1838).

Note

Fundația Wikimedia. 2010 .

• Ostrogradsky
• Numele ei era Nikita (serie TV)

Vedeți ce este „Formula Ostrogradsky” în alte dicționare:

Formula Ostrogradsky

Formula Gauss-Ostrogradsky- Teorema Ostrogradsky Gauss este o afirmație a calculului integral al funcțiilor multor variabile, care stabilește o conexiune între integrala de n ori peste un domeniu și integrala multiplă (n − 1) peste granița acestuia. Fie V = (v1,v2,...,vn) un câmp vectorial ...... Wikipedia

Formula Stokes- Teorema lui Stokes este una dintre teoremele fundamentale ale geometriei diferenţiale şi analiză matematică privind integrarea formelor diferențiale, care generalizează mai multe teoreme de analiză. Numit după J. G. Stokes. Cuprins 1 Formulare generală 2 ... ... Wikipedia

Formula lui Green- Teorema lui Green stabilește o legătură între integrală curbilinie de-a lungul unui contur închis C şi integrală dublă de-a lungul zonei D delimitate de acest contur. De fapt, această teoremă este un caz special al teoremei Stokes mai generale. Teorema este numită în ... Wikipedia

Formula Liouville-Ostrogradsky- Formula Liouville Ostrogradsky este o formulă care pune în legătură determinantul Wronsky (Wronskian) pentru soluțiile unei ecuații diferențiale și coeficienții din această ecuație. Să fie ecuație diferențială de forma y(n) + P1(x)y(n − 1) + P2(x)y(n − 2) ... Wikipedia

Formula Liouville- Formula Ostrogradsky care raportează determinantul Wronsky (Wronskian) pentru soluțiile unei ecuații diferențiale și coeficienții din această ecuație. Să existe o ecuație diferențială de forma atunci unde este determinantul Vronsky Pentru liniar ... ... Wikipedia

FORMULA OSTROHRADSKY- o formulă pentru calculul integral al funcțiilor multor variabile, stabilind o conexiune între integrala de n ori peste regiune și integrala multiplă (n 1) de-a lungul limitei sale. Fie funcțiile Xi=Xi(x1,x2,..., x n).împreună cu derivatele lor parțiale, i=1, 2 … Enciclopedie matematică

FORMULA OSTROHRADSKY- conectează integrală triplă(vezi Integrală multiplă) peste un anumit volum cu o integrală de suprafață peste suprafața care limitează acest volum. Propus de M. V. Ostrogradsky (1828 31) ... Dicţionar enciclopedic mare

Formula Ostrogradsky- o formulă care oferă transformarea integralei preluate asupra volumului Q, limitat de suprafață S, într-o integrală preluată pe această suprafață: aici X, Y, Z sunt funcții ale unui punct (x, y, z) aparținând regiunii tridimensionale Ω. De. găsite... Marea Enciclopedie Sovietică

Comunicarea intre dv. Int. În zona D și curvilină. Int. Formula Ostrogradsky-Green este stabilită pentru regiunea L.

Fie dată limita domeniului D pe planul OXY. Curbă care se intersectează cu cordoane drepte paralele. Axele la cel mult 2 puncte, adică zona D este corectă.

T1.Dacă f. P(x,y), Q(x,y) este continuă cu multiplele sale derivate,

Zona D este atunci forme corecte. (f.Ostr.-Gr.)

L este limita regiunii D iar integrarea de-a lungul curbei L se realizează în sens pozitiv.Dovo.

T2.Dacă = (2), atunci subintegr. Expresia P*dx+Q*dy yavl. Diferența completă. Funcții U=U(x,y).

P*dx+Q*dy =U(x.y)

Satisface condiția (2) poate fi găsit folosind f.

Nota 1 Pentru a nu confunda variabila integr. X cu prednl superior desemnatorul său. O altă scrisoare.

Adjunct 2 ca punct de plecare (x0,Y0) ia de obicei punctul (0,0)

Condiția de independență a curbiliniei int. al 2-lea fel din calea integr.

Fie t. A (X1, Y1), B(X2, Y2),. Lăsați produsul punctele ariei D. Punctele A și B pot fi legate prin linii diferite. Pentru fiecare dintre ei, Int. va avea propria sa valoare, dacă valoarea este aceeași pentru toate curbele, atunci integrala nu depinde de tipul de cale int., în acest caz este suficient să notăm inițiala. Punctul A (X1, Y1) și punctul final B(X2, Y2).

T. Pentru ca cr. Int.

Nu depinde de calea int. Zona D la pisică. F. P(X,Y), Q(X,Y) sunt continue împreună cu derivatele lor și este necesar ca în fiecare punct al regiunii = Dok-in

Cr. Int. Al doilea fel nu depinde de calea integrării

Adjunct = prin urmare obținem asta

Pov. Int. felul 1. Sf. lui. şi calc.

Să la punctele pov. S C PL. S space oxyz def. continuu f. f(x,y.z).

Să rupem pov. S în n părți Si, PL. FIECARE PARTE delta Si, iar diametrul Di i=1..m în fiecare parte Si alegeți un punct arbitrar Mi din (xi, yi, zi) și faceți suma . Suma se numește integrală pentru f. f(x,y.z) peste suprafața S dacă pentru integrală. Suma are o limită, se numește. Pov integrală de primul fel din f. f(x,y.z) peste suprafața S și notat cu =

Proprietățile suprafeței Int.

2) 3) S=s1+s2, apoi 4) f1<=f2 , т о 5) 6) 7) Ф. f непрерывна на поверхности S , то на этой поверхности сущ. Точка M(x0,y0,z0) S, такая, что .

Calculul int de primul fel se reduce la calculul celui de-al doilea int conform regiunii D, care este proiecția ep S pe planul oxi, dacă ep s este dat de Ur z=z(x, y), atunci ep este egal cu .

Dacă S este dat ca y=y(x, z), atunci...

Pov int al 2-lea fel

Să fie dată o suprafață cu două fețe, după ce ocolește o astfel de suprafață fără a-i trece granița, direcția normalei la ea nu se schimbă. Pov unilateral: este o bandă Möbius. Fie definită φ într-un punct al suprafeței bifață considerate S în spațiul oxyz. F(x,y,z). Împărțim partea ejectată a suprafeței în părți Si i=1..m și le proiectăm pe cordonul planului. În acest caz, pl pov, luăm cu semnul „+” dacă este selectată partea superioară a povului (dacă normalul formează un unghi ascuțit cu oz, selectați cu semnul „-” dacă partea inferioară a pov este selectat (OBTE ANGLE)). Să compunem o sumă int Unde - pl pov Si -părți pentru că dacă există și nu depinde de metoda de împărțire a suprafeței în părți și de alegerea punctelor din ele, numim int de felul 2 din f. f(x,y,z) peste s și se notează: prin definiție, integrala va fi = limita integralei sumei. În mod similar, int peste s

, atunci vederea generală a int de al 2-lea fel este int unde P, Q, R sunt funcții continue definite în punctele suprafeței cu două fețe s. Dacă S este pov închis, atunci int pe exterior este notat și pe interior. ds. Unde ds este elementul de zonă al lui S și cos, cos cos de exemplu cos este n. Partea selectată a pov.