Conceptul de număr complex este asociat în primul rând cu ecuația. Nu exista numere reale, care ar satisface această ecuație.
Astfel, numerele complexe au apărut ca o generalizare (extindere) a câmpului numerelor reale atunci când se încearcă rezolvarea unor ecuații pătratice (și mai generale) arbitrare prin adăugarea de numere noi, astfel încât mulțimea extinsă să formeze un câmp numeric în care acțiunea de extragere. rădăcina ar fi întotdeauna fezabilă.
Definiție.Un număr al cărui pătrat este - 1, de obicei notat cu literai si suna unitate imaginară.
Definiție. camp numere complexe Cu se numește extensia minimă a câmpului numerelor reale care conține rădăcina ecuației.
Definiție. Camp Cu numit câmp al numerelor complexe daca indeplineste urmatoarele conditii:
Teorema. (Despre existența și unicitatea câmpului numerelor complexe). Există doar unul, până la notarea rădăcinii ecuației câmp al numerelor complexe Cu .
Fiecare element poate fi reprezentat unic după cum urmează:
unde , este rădăcina ecuației i 2 +1=0.
Definiție. Orice element numit număr complex, se numește numărul real x parte reală numărul z și se notează cu , se numește numărul real y parte imaginară numărul z și se notează cu .
Astfel, un număr complex este o pereche ordonată, un complex format din numere reale Xși y.
În cazul în care un X=0, apoi numărul z= 0+iy=iy numit pur imaginar sau imaginar. În cazul în care un y=0, apoi numărul z=x+ 0i=x este identificat cu un număr real X.
Două numere complexe și sunt considerate egale dacă părțile lor reale și imaginare sunt egale:
Un număr complex este zero atunci când ambele părți reale și imaginare sunt zero:
Definiție. Două numere complexe care au același parte reală, ale căror părți imaginare sunt egale ca valoare absolută, dar opuse ca semn, se numesc conjugare complexa sau pur și simplu conjugat.
Numărul conjugat z, se notează cu . Astfel, dacă , atunci .
1.3. Modulul și argumentul unui număr complex.
Reprezentarea geometrică a numerelor complexe
Geometric, un număr complex este reprezentat pe un plan (Fig. 1) ca punct M cu coordonate ( X, y).
Definiție. Se numește planul pe care sunt desenate numerele complexe plan complex C, axele Ox și Oy, pe care sunt situate numerele reale și numere pur imaginare , sunt numite valabilși imaginar axe, respectiv.
Poziția punctului poate fi determinată și folosind coordonate polare rși φ , adică folosind lungimea vectorului de rază și valoarea unghiului de înclinare a vectorului de rază a punctului M(X y) la semiaxa reală pozitivă Oh.
Definiție. modul număr complex este lungimea vectorului care reprezintă numărul complex pe planul de coordonate (complex).
Modulul unui număr complex este notat cu sau prin literă r si este egal cu valoare aritmetică rădăcina pătrată a sumei pătratelor părților sale reale și imaginare.
se consideră mulțimea R2 a tuturor perechilor ordonate posibile (x» Y) de numere reale xxy € R. Pentru astfel de perechi (a, b) = (c, d) dacă și numai dacă a = c și b - d. Sa introducem pe aceasta multime R2 legile interne de compozitie sub forma operatiilor de adunare si inmultire. Definim adunarea prin egalitatea £faa operatia este asociativa si comutativa; are (conform Definiției 4.5) un element neutru (0, 0), iar, prin Definiția 4.6, pentru fiecare pereche (a, 6) se poate specifica un element simetric (opus) (-a, -6). Într-adevăr, V(a, 6) £ R2 În plus, sau Câmpul numerelor complexe. Definim multiplicarea prin egalitate Este ușor de verificat că operația introdusă în acest fel este asociativă, comutativă și distributivă în raport cu adunarea. Această operație are un element neutru, care este perechea (1, 0), întrucât Deci, în raport cu operațiile introduse de adunare și înmulțire, mulțimea R2 este un inel abelian cu unitate (vezi Tabelul 4.1). u* Între mulțimea de perechi (x, 0) € R2 și mulțimea numerelor reale x G R este ușor de stabilit o corespondență unu-la-unu (x, 0) x) din care rezultă că, Câmpul de numere complexe. acestea. adunarea și înmulțirea unor astfel de perechi se efectuează în același mod ca și pentru numerele reale. Să înlocuim perechile de forma (x, 0) cu numere reale, i.e. în loc de (x, 0) vom scrie pur și simplu x, în special, în loc de (1, 0), vom scrie pur și simplu 1. Perechea (0, 1) ocupă un loc special în mulțimea R2. Conform (4.3), are proprietățile și a primit o denumire specială i, iar Apoi, ținând cont de (4.2) și (4.3), orice pereche (x, y) ∈ R2 poate fi reprezentată ca câmp al numerelor complexe . Notează z. Elementul z se numește conjugatul complex al elementului z. Ținând cont de (4.3) z-z = x2 -by2. Dacă z nu se potrivește cu elementul neutru (0, 0), adică. dacă x și y nu sunt egale cu 0 în același timp (se notează 2^0), atunci x2 + + y2 φ 0. Atunci inversul (simetric, opus față de operația de înmulțire - vezi 4.1) elementului z \u003d x + iy va fi un astfel de element r "1, încât zz~l = 1 sau zzz~l =z, adică (x2 + y2)z~l = x - y Prin urmare -1_ X 2 Y \ Prin urmare, orice element al lui gf O are inversul lui svb în ceea ce privește operația de înmulțire, iar mulțimea R2 cu operațiile de adunare și înmulțire unite pe el în conformitate cu (4.1) și (4.3) este astfel un câmp (vezi Tabelul 4.1). ) Se numește câmp (sau mulțime) de numere complexe și se notează C. B În virtutea corespondenței unu-la-unu de mai sus (r, 0) € R2 ++ x € R la fracția de numere complexe este un extinderea câmpului numerelor reale. Orice element r din C se numește număr complex, iar reprezentarea lui sub forma z = x + iy> unde x, y £ R și i2 = -l,- algebric formă reprezentată printr-un număr complex. În acest caz, £ se numește partea reală a numărului complex și se notează cu Re z, iar y este numită parte imaginară și se notează cu Imz (t se numește unitatea imaginară). Rețineți că partea imaginară a unui număr complex este un număr real. Numele lui y nu este în întregime de succes, dar ca un tribut adus tradiției istorice, a rămas până în zilele noastre. Termenul „număr complex”44 a fost introdus în 1803 de către matematicianul francez JI. Carnot (1753-1823), dar K. Gauss a început să folosească acest termen în mod sistematic din 1828 pentru a înlocui „numărul imaginar” mai puțin reușit44. În literatura matematică rusă a secolului al XIX-lea. a folosit termenul „număr compus”44. Deja în R. Descartes, părțile reale și imaginare ale unui număr complex sunt opuse. Mai târziu, primele litere ale cuvintelor franceze reele (real) și imagimaire (imaginar) au devenit denumirile acestor părți, deși mulți matematicieni au considerat esența cantităților imaginare neclară și chiar misterioasă și mistică. Deci, I. Newton nu le-a inclus în conceptul de număr, iar G. Leibniz aparține Expresiei: „Numerele imaginare sunt un minunat și minunat refugiu al spiritului divin, aproape ca un amfibian al ființei cu neființa44. Deoarece mulțimea R2 a tuturor perechilor posibile de numere reale poate fi identificată cu puncte din plan, fiecare număr complex z =? x + iy corespunde punctului y) (Fig. 4.1), ceea ce ne permite să vorbim despre forma geometrică a reprezentării unui număr complex. Când numerele complexe sunt identificate cu puncte ale planului, se numește plan complex sau planul numerelor complexe. Numerele reale sunt plasate pe axa x, adică numerele z, pentru care lmz = y = 0, iar pe axa Oy - numerele z = iy, numite pur imaginare, pentru care Re r = x = 0. Poeto-Fig. 4,1 mu axele de coordonateîn plan complex sunt numite reale și, respectiv, imaginare. Punctele planului corespunzătoare elementelor conjugate complexe z și z (numerele conjugate complexe) sunt simetrice față de axa reală, iar punctele reprezentând z și -z sunt simetrice față de origine. Câmp de distanță al numerelor complexe. punctul M(x, y), reprezentând un număr complex z = x + iy pe plan, de la origine se numește modulul numărului complex și se notează \z\ sau r. Unghiul care formează vectorul rază al punctul M cu direcția pozitivă a axei Ox se numește argumentul unui număr complex și se notează Argz sau (p (vezi Fig. 4.1). Unghiul se citește ca în trigonometrie: direcția în sens invers acelor de ceasornic este considerată a fi direcția pozitivă a modificarea unghiului.Este clar că Arg z nu este definit în mod unic, ci până la un multiplu de 2n\ Singura valoare a argumentului care satisface condiția (uneori 0 se numește principal și se notează cu argz. Astfel, Arg * = arg2: + 2mg, m € Z. Pentru z - 0, valoarea lui Args nu este definită.Punctul corespunzător acestui număr (originea) se caracterizează doar prin condiția \z\ = r = 0. Astfel , pentru fiecare număr complex z pe plan complex corespunde vectorului raza punctului M(x, y), care poate fi specificat prin sa coordonate polare: raza polară r ≥ 0, egală cu modulul numărului complex și un unghi polar care coincide cu valoarea principală a argumentului acestui număr complex. Conform definiţiilor cunoscute din cursul şcolar de trigonometrie funcții trigonometriceși invers acestora (vezi 3.5), pentru orice locație a punctului z pe plan complex, avem x=rcosy>= X Ținând cont de restricțiile impuse valorii principale a argumentului numărului complex, obținem dacă x > 0; dacă x 0; dacă x = 0 și y. Din (4.6) rezultă că este valabilă notația + tsiny>), (4.8), care se numește forma trigonometrică a reprezentării unui număr complex. Pentru trecerea de la forma algebrică de reprezentare la forma trigonometrică, utilizați (4.5) și (4.7) ”și pentru tranziția inversă - (4.6). Rețineți că două numere complexe diferite de zero sunt egale dacă și numai dacă modulele lor sunt egale și argumentele diferă prin termeni care sunt multipli ai lui 2n. Conform (4.1), suma numerelor complexe z \ și r2 va fi un număr complex și diferența lor - Din aceste formule rezultă că adunarea (sau scăderea) numerelor complexe este similară cu adunarea (sau scăderea) a vectori în plan complex conform regulii paralelogramului (Fig. 4.2) (în timp ce coordonatele corespunzătoare ale vectorilor se adună sau se scad). Prin urmare, pentru modulele numerelor complexe, inegalitățile triunghiulare a sunt valabile sub forma (lungimea oricărei laturi a unui triunghi nu este mai mare decât suma lungimilor celorlalte două laturi ale sale). Totuși, aici se termină analogia dintre numerele complexe și vectori. Suma sau diferența numerelor complexe poate fi un număr real (de exemplu, suma conjugatelor complexe numerele r-f z = = 2x, x = Rez e R). Conform (4.3), produsul numerelor complexe z\ și z2 este un număr complex. coeficientul Z1/22 pentru V*2 φ 0 se înţelege a fi un număr complex -r care satisface egalitatea z^z = z\. După înmulțirea ambelor părți ale acestei egalități cu 22, obținem. Ridicarea unui număr complex z la puterea n ∈ N înseamnă înmulțirea lui z cu sine de n ori, ținând cont de faptul că pentru k 6 N este câmpul numerelor complexe. Notația trigonometrică (4.8) face posibilă simplificarea înmulțirii, împărțirii și exponențiarii numerelor complexe. Deci, pentru z\ \u003d r\ (cos (p\ + isiny?i) și Z2 \u003d Г2 (co + -f isin no (4.3) se poate stabili că Pe planul complex (Fig. 4.3) înmulțirea corespunde la rotația segmentului OM prin unghi (în sens invers acelor de ceasornic la 0) și o modificare a lungimii acestuia cu r2 = \z2\ ori; exponențiația n £ N ca înmulțirea z cu el însuși de n ori, semi-nay grad rațional q = m/n, q € Q, m € Z, n6N, este legat de ridicarea acestui număr la puterea 1/n sau, după cum se spune, de extragerea rădăcină a n-a puteri dintr-un număr complex. Extragerea unei rădăcini este operația inversă de exponențiere, adică. = w dacă wn = z. Lasa). Apoi din (4.13) avem și, ținând cont de egalitatea numerelor complexe, obținem Din expresia (4.14), numită formula Moivre pentru extragerea rădăcinii unui grad întreg pozitiv dintr-un număr complex, rezultă că dintre cele posibile valori ale lui y/z, vor exista n valori corespunzătoare k = = 0, n - 1. Toate n valori distincte pentru $fz au același modul, iar argumentele lor diferă prin unghiuri care sunt multiple de 2jr/n. Valorile corespund punctelor planului complex de la vârfuri n-gon regulatînscris într-un cerc de rază 1/f centrat la origine. În acest caz, vectorul rază al unuia dintre vârfuri formează un unghi (p/n) cu axa Ox. Din (4.13) și (4.14) urmează formula de ridicare a numărului complex z /0 la o putere rațională g € Q. Beli g = m/n, unde m € Z și n € N, ținând cont de (4.7) obținem (Prin urmare, sub formă trigonometrică. Conform (4.11) și (4.12) aflăm: Folosind (4.13) , ridicăm z\ la puterea n = 4, aplicând (4.14), extragem rădăcina de grad n = 3 din z2 Rezultatele calculelor prezentate în Fig. 4.4. Cele trei valori ale rădăcinii a treia a lui zi corespund vârfurile triunghi dreptunghic ABC, înscris într-un cerc de rază și unghiurile polare ale acestor vârfuri = n*/18, 4>v = 13m/18 și = 25m/18 (sau = -11^/18).
Definiții . Lasa A, b sunt numere reale, i este un personaj. Un număr complex este o înregistrare a formei A+bi.
Plusși multiplicare numere din setul de numere complexe: (A+bi)+(c+di)=(A+c)+(b+d) eu,
(A+bi)(c+di)=(ac–bd)+(anunț+bc)i. .
Teorema 1 . Set de numere complexe Cu cu operaţiile de adunare şi înmulţire formează un câmp. Proprietăți de adaos
1) comutativitatea b: (A+bi)+(c+di)=(A+c)+(b+d)i=(c+di)+(A+bi).
2) Asociativitatea :[(A+bi)+(c+di)]+(e+fi)=(A+c+e)+(b+d+f)i=(A+bi)+[(c+di)+(e+fi)].
3) Existenta element neutru :(A+bi)+(0 +0i)=(A+bi). Număr 0 +0 i vom numi zero și vom nota 0 .
4) Existenta element opus : (A+bi)+(–A–bi)=0 +0i=0 .
5) Comutativitatea înmulțirii : (A+bi)(c+di)=(ac–bd)+(î.Hr+ad)i=(c+di)(a+bi).
6) Asociativitatea înmulțirii :dacă z1=A+bi, z2=c+di, z3=e+fi, apoi (z 1 z 2) z 3=z 1 (z 2 z 3).
7) Distributivitatea: dacă z1=A+bi, z2=c+di, z3=e+fi, apoi z 1 (z 2+z3)=z 1 z 2+z 1 z 3.
8) Element neutru pentru multiplicare :(A+bi)(1+0i)=(a 1–b 0)+(a 0+b 1)i=A+bi.
9) Număr 1 +0i=1 - unitate.
9) Existenta element invers : „z¹ 0 $z –1 :Z Z –1 =1 .
Lasa z=A+bi. Numere reale A, numit valabil, A b - părți imaginare număr complex z. Se folosesc notatii: A=Rez, b=imz.
În cazul în care un b=0 , apoi z=A+ 0i=A este un număr real. Prin urmare, mulțimea numerelor reale R face parte din setul de numere complexe C: R Í C.
Notă: eu 2=(0 +1i)(0+1i)=–1 +0i=–1 . Folosind această proprietate de număr i, precum și proprietățile operațiilor dovedite în teorema 1, se pot efectua operații cu numere complexe după regulile uzuale, înlocuind eu 2 pe - 1 .
cometariu. Relațiile £, ³ („mai puțin decât”, „mai mare decât”) pentru numerele complexe nu sunt definite.
2 Notație trigonometrică .
Se numește notația z = a+bi algebric notarea unui număr complex . Luați în considerare un avion cu un ales Sistemul cartezian coordonate. Să reprezentăm numărul z punct cu coordonate (a,b). Apoi numerele reale A=A+0i vor fi reprezentate prin puncte ale axei BOU- se numeste valabil axă. Axă OY numit imaginar axa, punctele sale corespund numerelor din formă bi, care se numesc uneori pur imaginar . Se numește întregul avion plan complex .Se cheamă numărul modul numerele z: ,
unghi polar j numit argument numerele z: j=argz.
Argumentul este determinat până la termen 2kp; valoare pentru care - p< j £ p , se numește importanta principala argument. Numerele r, j sunt coordonatele polare ale punctului z. Este clar că A=r cosj, b=r sinj, și obținem: z=A+b i=r (cosj+eu sinj). formă trigonometrică notarea unui număr complex.
Numerele conjugate . Un număr complex se numește conjugat al unui număr.z = A + bi . Este clar că. Proprietăți : .
cometariu. Suma și produsul numerelor conjugate sunt numere reale:
Def. Sistemul numerelor complexe este câmpul min-al-lea, care este o extensie a câmpului numerelor reale și în care există un element i (i 2 -1 = 0)
Def. Algebră<ℂ, +, ∙, 0, 1, ℝ, ⊕, ⊙, i>numite sys-th comp-th numere, dacă emiteți următoarele condiții (axiome):
1. a,b∊ℂ∃!m∊ℂ: a+b=m
2. a,b,c∊ℂ (a+b)+c=a+(b+c)
3. a,b∊ℂa+b=b+a
4. ∃ 0∊ℂ a∊ℂ a+0=a
5. a∊ℂ ∃(-a)∊ℂ a+(-a)=0
6. a,b∊ℂ ∃! n∊ℂa∙b=n
7. a,b,c∊ℂ (a∙b)∙c=a∙(b∙c)
8. a,b∊ℂa∙b=b∙a
9. ∃1∊ℂ a∊ℂ a∙1=a
10. a∊ℂ ∃a -1 ∊ℂ a∙a -1 =1
11. a,b,c∊ℂ (a+b)c=ac+bc
12.
13. Rєℂ, a,b∊R a⊕b=a+b, a⊙b=a∙b
14. ∃i∊ℂ:i 2 +1=0
15. ℳ≠⌀ 1)ℳ⊂ℂ,R⊂ℳ 2) α,β∊ℳ⇒(α+β)∊ℳ și (α∙β)∊ℳ)⇒ℳ=ℂ
Sf. va ℂ numere:
1. α∊ℂ∃! (a,b) ∊ R:α=a+b∙i
2. Câmpul numerelor comp nu poate fi ordonat liniar, adică. α∊ℂ, α≥0 |+1, α 2 +1≥1, i 2 +1=0, 0≥1-imposibil.
3. Teorema fundamentală a algebrei: Câmpul ℂ de numere este închis algebric, adică orice pl. grade peste câmpul ℂ de numere are cel puțin un set. rădăcină
Următorul din principal. teoreme alg.: Orice poziție la plural. grade peste câmpul numerelor complexe pot fi descompuse într-un produs ... de gradul I cu un coeficient pozitiv.
În continuare: orice pătrat ur-e are 2 rădăcini: 1) D>0 2-a dif. acțiune rădăcină 2)D=0 2-a reală. rădăcină-x coincidentă 3)D<0 2-а компл-х корня.
4. Axiome. teoria numerelor complexe este categorica si consistenta
Metodologie.
În orele de învățământ general, conceptul de număr complex nu este luat în considerare, ele se limitează doar la studiul numerelor reale. Dar în clasele superioare, școlarii au deja o educație matematică destul de matură și sunt capabili să înțeleagă necesitatea extinderii conceptului de număr. Din punct de vedere al dezvoltării generale, cunoștințele despre numerele complexe sunt folosite în științele naturii și tehnologie, ceea ce este important pentru un student în procesul de alegere a unei viitoare profesii. Autorii unor manuale includ studiul acestei teme ca fiind obligatoriu în manualele lor de algebră și principiile analizei matematice pentru niveluri de specialitate, care este prevăzut de standardul de stat.
Din punct de vedere metodologic, tema „Numere complexe” dezvoltă și aprofundează ideile despre polinoame și numere expuse la cursul de bază de matematică, completând într-un fel dezvoltarea conceptului de număr în liceu.
Cu toate acestea, chiar și în liceu, mulți școlari au gândirea abstractă slab dezvoltată, sau este foarte greu să vă imaginați o unitate „imaginară, imaginară”, să înțelegeți diferențele dintre planurile coordonate și cele complexe. Sau invers, studentul operează cu concepte abstracte izolat de conținutul lor real.
După ce au studiat subiectul „Numere complexe”, elevii ar trebui să aibă o înțelegere clară a numerelor complexe, să cunoască formele algebrice, geometrice și trigonometrice ale unui număr complex. Elevii ar trebui să fie capabili să efectueze adunarea, înmulțirea, scăderea, împărțirea, ridicarea la o putere, extragerea unei rădăcini dintr-un număr complex pe numere complexe; traduceți numere complexe din forma algebrică în trigonometrică, aveți o idee despre modelul geometric al numerelor complexe
În manualul pentru orele de matematică de N.Ya. Vilenkin, O.S. Ivashev-Musatov, S.I. Shvartsburd „Algebra și începutul analizei matematice”, tema „Numerele complexe” este introdusă în clasa a XI-a. Studiul temei este oferit în a doua jumătate a clasei a XI-a după ce în clasa a X-a s-a studiat secțiunea de trigonometrie, iar în clasa a XI-a - ecuațiile integrale și diferențiale, funcțiile exponențiale, logaritmice și de putere, polinoamele. În manual, tema „Numere complexe și operații asupra lor” este împărțită în două secțiuni: Numere complexe în formă algebrică; Forma trigonometrică a numerelor complexe. Luarea în considerare a subiectului „Numere complexe și operații pe ele” începe cu luarea în considerare a problemei rezolvării ecuațiilor pătratice, ecuațiilor de gradul al treilea și al patrulea și, ca urmare, este relevată necesitatea introducerii unui „nou număr i”. Conceptele de numere complexe și operațiile asupra lor sunt date imediat: găsirea sumei, produsul și câtul numerelor complexe. În continuare, este dată o definiție riguroasă a conceptului de număr complex, proprietățile operațiilor de adunare și înmulțire, scădere și împărțire. Următoarea subsecțiune tratează numerele complexe conjugate și unele dintre proprietățile lor. În continuare, luăm în considerare problema extragerii rădăcinilor pătrate din numere complexe și a rezolvării ecuațiilor pătratice cu coeficienți complecși. Următorul paragraf tratează: reprezentarea geometrică a numerelor complexe; sistemul de coordonate polare și forma trigonometrică a numerelor complexe; înmulțirea, exponențiarea și împărțirea numerelor complexe în formă trigonometrică; formula lui de Moivre, aplicarea numerelor complexe la demonstrarea identităților trigonometrice; extragerea unei rădăcini dintr-un număr complex; teorema fundamentală a algebrei polinomiale; numere complexe și transformări geometrice, funcții ale unei variabile complexe.
În manualul S.M. Nikolsky, M.K. Potapova, N.N. Reşetnikova, A.V. Shevkin „Algebra și începuturile analizei matematice”, tema „Numerele complexe sunt luate în considerare în clasa a XI-a după studierea tuturor subiectelor, adică. la sfârşitul cursului şcolar de algebră. Tema este împărțită în trei secțiuni: Forma algebrică și interpretarea geometrică a numerelor complexe; Forma trigonometrică a numerelor complexe; Rădăcinile polinoamelor, formă exponențială a numerelor complexe. Conținutul paragrafelor este destul de voluminos, conține multe concepte, definiții, teoreme. Paragraful „Forma algebrică și interpretarea geometrică a numerelor complexe” conține trei secțiuni: forma algebrică a unui număr complex; conjuga numere complexe; interpretarea geometrică a unui număr complex. Paragraful „Forma trigonometrică a unui număr complex” conține definiții și concepte necesare pentru introducerea conceptului de formă trigonometrică a unui număr complex, precum și un algoritm pentru trecerea de la o formă algebrică de notație la o formă trigonometrică a unui număr complex. În ultimul paragraf „Rădăcinile polinoamelor. Forma exponențială a numerelor complexe” conține trei secțiuni: rădăcinile din numerele complexe și proprietățile acestora; rădăcinile polinoamelor; forma exponenţială a unui număr complex.
Materialul manual este prezentat într-un volum mic, dar destul de suficient pentru ca elevii să înțeleagă esența numerelor complexe și să stăpânească cunoștințele minime despre acestea. Manualul are un număr mic de exerciții și nu abordează problema ridicării unui număr complex la o putere și formula lui De Moivre
În manualul A.G. Mordkovich, P.V. Semenov „Algebra și începuturile analizei matematice”, nivel de profil, nota 10, tema „Numere complexe” este introdusă în a doua jumătate a clasei a 10-a imediat după studierea subiectelor „Numere reale” și „Trigonometrie”. Această plasare nu este întâmplătoare: atât cercul numeric, cât și formulele de trigonometrie sunt utilizate în mod activ în studiul formei trigonometrice a unui număr complex, formula Moivre, la extragerea rădăcinilor pătrate și cubice dintr-un număr complex. Tema „Numere complexe” este prezentată în capitolul 6 și este împărțită în 5 secțiuni: numere complexe și operații aritmetice asupra acestora; numere complexe și plan de coordonate; forma trigonometrică de scriere a unui număr complex; numere complexe și ecuații pătratice; ridicarea unui număr complex la o putere, extragerea rădăcinii cubice a unui număr complex.
Conceptul de număr complex este introdus ca o extensie a conceptului de număr și imposibilitatea de a efectua anumite operații în numere reale. Manualul contine un tabel cu seturile numerice principale si operatiunile permise in acestea. Sunt enumerate condițiile minime pe care numerele complexe trebuie să le îndeplinească, iar apoi se introduc conceptul de unitate imaginară, definiția unui număr complex, egalitatea numerelor complexe, suma, diferența, produsul și câtul lor.
De la modelul geometric al multimii numerelor reale se trec la modelul geometric al multimii numerelor complexe. Luarea în considerare a subiectului „Forma trigonometrică de scriere a unui număr complex” începe cu definirea și proprietățile modulului unui număr complex. În continuare, luăm în considerare forma trigonometrică de scriere a unui număr complex, definiția argumentului unui număr complex și forma trigonometrică standard a unui număr complex.
În continuare, studiem extragerea rădăcinii pătrate a unui număr complex, soluția ecuațiilor pătratice. Și în ultimul paragraf este introdusă formula Moivre și se derivă un algoritm pentru extragerea rădăcinii cubice dintr-un număr complex.
Tot în manualul luat în considerare, în fiecare paragraf, în paralel cu partea teoretică, sunt luate în considerare câteva exemple care ilustrează teoria și dau o percepție mai semnificativă a temei. Sunt date scurte fapte istorice.
număr complex z numit expresie, unde Ași în- numere reale, i este o unitate imaginară sau un semn special.
Se respectă următoarele acorduri:
1) cu expresia a + bi se pot efectua operații aritmetice după regulile care sunt acceptate pentru expresiile literale în algebră;
5) egalitatea a+bi=c+di, unde a, b, c, d sunt numere reale, are loc dacă și numai dacă a=c și b=d.
Se numește numărul 0+bi=bi imaginar sau pur imaginar.
Orice număr real a este un caz special al unui număr complex, deoarece poate fi scris ca a=a+ 0i. În special, 0=0+0i, dar atunci dacă a+bi=0, atunci a+bi=0+0i, deci a=b=0.
Astfel, un număr complex a+bi=0 dacă și numai dacă a=0 și b=0.
Legile de transformare a numerelor complexe rezultă din convențiile:
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;
(a+bi)+(c+di)=ac+bci+adi-bd=(ac-bd)+(bc+ad)i;
Vedem că suma, diferența, produsul și câtul (unde divizorul nu este egal cu zero) numerelor complexe, la rândul lor, este un număr complex.
Număr A numit parte reală a unui număr complex z(notat) în este partea imaginară a numărului complex z (notat cu ).
Se numește un număr complex z cu parte reală zero. pur imaginar, cu zero imaginar - pur real.
Se numesc două numere complexe. egal, dacă au aceleași părți reale și imaginare.
Se numesc două numere complexe. conjugat daca au substante. părțile coincid, iar cele imaginare diferă în semne. , apoi conjugatul la acesta .
Suma numerelor conjugate este numărul de substanțe, iar diferența este un număr pur imaginar. Pe multimea numerelor complexe se definesc in mod firesc operatiile de inmultire si adunare a numerelor. Și anume, dacă și sunt două numere complexe, atunci suma este: ; muncă: .
Definim acum operațiile de scădere și împărțire.
Rețineți că produsul a două numere complexe este numărul de substanțe.
(deoarece i=-1). Acest număr este numit patrat modul numerele. Astfel, dacă un număr , atunci modulul său este un număr real.
Spre deosebire de numerele reale, pentru numerele complexe nu este introdus conceptul de „mai mult”, „mai puțin”.
Reprezentarea geometrică a numerelor complexe. Numerele reale sunt reprezentate prin puncte de pe dreapta numerică:
Aici este ideea Aînseamnă numărul -3, punct B este numărul 2 și O- zero. În schimb, numerele complexe sunt reprezentate prin puncte pe planul de coordonate. Pentru aceasta, alegem coordonate dreptunghiulare (carteziane) cu aceleași scale pe ambele axe. Apoi numărul complex a + bi va fi reprezentat printr-un punct P cu abscisa a si ordonata b(orez.). Acest sistem de coordonate este numit plan complex.
modul număr complex se numește lungimea vectorului OP, ilustrând un număr complex pe coordonată ( integrat) avion. Modulul numărului complex a + bi notat cu | a + bi| sau scrisoare r si este egal cu:
Numerele complexe conjugate au același modul. __
Argument număr complex este unghiul dintre axă BOUși vector OP reprezentând acest număr complex. Prin urmare, tan = b / A .
Forma trigonometrică a unui număr complex. Odată cu scrierea unui număr complex în formă algebrică, se mai folosește și altul, numit trigonometric.
Fie numărul complex z=a+bi reprezentat de vectorul ОА cu coordonatele (a,b). Să desemnăm lungimea vectorului OA ca r: r=|OA|, și unghiul pe care îl formează cu direcția pozitivă a axei Ox prin unghiul φ.
Folosind definițiile funcțiilor sinφ=b/r, cosφ=a/r, numărul complex z=a+bi poate fi scris ca z=r(cosφ+i*sinφ), unde , iar unghiul φ este determinat din condițiile
formă trigonometrică numărul complex z este reprezentarea sa sub forma z=r(cosφ+i*sinφ), unde r și φ sunt numere reale și r≥0.
Într-adevăr, numărul r este numit modul număr complex și se notează cu |z|, iar unghiul φ se notează cu argumentul numărului complex z. Argumentul φ al unui număr complex z este notat cu Arg z.
Operații cu numere complexe reprezentate în formă trigonometrică:
Este faimos Formula Moivre.
8 .Spatiu vectorial. Exemple și proprietăți simple ale spațiilor vectoriale. Dependența liniară și independența sistemului de vectori. Baza și rangul unui sistem finit de vectori
Spațiu vectorial - concept matematic care generalizează conceptul de totalitate a tuturor vectorilor (liberi) ai spațiului tridimensional obișnuit.
Pentru vectorii din spațiul tridimensional sunt date regulile de adunare a vectorilor și de înmulțire a acestora cu numere reale. Se aplică oricăror vectori x, y, zși orice numere α, β aceste reguli satisfac urmatoarele conditii:
1) X+la=la+X(comutativitatea adunării);
2)(X+la)+z=X+(y+z) (asociativitatea adunării);
3) există un vector zero 0 (sau vector nul) care satisface condiția X+0 =X: pentru orice vector X;
4) pentru orice vector X există un vector opus la astfel încât X+la =0 ,
5) 1 x=X,unde 1 este unitatea de câmp
6) α (βx)=(αβ )X(asociativitatea înmulțirii), unde produsul αβ este produsul scalarilor
7) (α +β )X=αх+βx(proprietate distributivă în raport cu un factor numeric);
8) α (X+la)=αх+αy(proprietatea distributivă în raport cu factorul vectorial).
Un spațiu vectorial (sau liniar) este o mulțime R, format din elemente de orice natură (numiți vectori), care definește operațiile de adunare a elementelor și de înmulțire a elementelor cu numere reale care îndeplinesc condițiile 1-8.
Exemple de astfel de spații sunt mulțimea numerelor reale, mulțimea vectorilor pe plan și în spațiu, matricele etc.
Teorema „Cele mai simple proprietăți ale spațiilor vectoriale”
1. Există un singur vector nul într-un spațiu vectorial.
2. Într-un spațiu vectorial, orice vector are un opus unic.
4. .
Doc-in
Fie 0 vectorul zero al spațiului vectorial V. Atunci . Fie un alt vector zero. Apoi . Să luăm în primul caz , iar în al doilea - . Apoi și , de unde rezultă că , p.t.d.
Mai întâi demonstrăm că produsul dintre un scalar zero și orice vector este egal cu un vector zero.
Lasa . Apoi, aplicând axiomele spațiului vectorial, obținem:
În ceea ce privește adăugarea, un spațiu vectorial este un grup abelian, iar legea anulării este valabilă în orice grup. Aplicând legea reducerii, rezultă din ultima egalitate 0 * x \u003d 0
Demonstrăm acum afirmația 4). Fie un vector arbitrar. Apoi
Aceasta implică imediat că vectorul (-1)x este opusul vectorului x.
Fie acum x=0. Apoi, aplicând axiomele spațiului vectorial, obținem:
Să presupunem că. Deoarece , unde K este un câmp, există . Să înmulțim egalitatea din stânga cu: , ceea ce implică fie 1*x=0, fie x=0
Dependența liniară și independența sistemului de vectori. Un set de vectori se numește sistem vectorial.
Un sistem de vectori se numește dependent liniar dacă există numere, nu toate egale cu zero în același timp, astfel încât (1)
Un sistem de k vectori se numește liniar independent dacă egalitatea (1) este posibilă numai pentru , i.e. când combinația liniară din partea stângă a egalității (1) este trivială.
Note:
1. Un vector formează și un sistem: pentru dependent liniar și pentru independent liniar.
2. Orice parte a unui sistem de vectori se numește subsistem.
Proprietățile vectorilor liniar dependenți și liniar independenți:
1. Dacă sistemul de vectori include un vector zero, atunci acesta este dependent liniar.
2. Dacă există doi vectori egali într-un sistem de vectori, atunci acesta este dependent liniar.
3. Dacă există doi vectori proporționali în sistemul de vectori, atunci acesta este dependent liniar.
4. Un sistem de k>1 vectori este dependent liniar dacă și numai dacă cel puțin unul dintre vectori este o combinație liniară a celorlalți.
5. Orice vectori incluși într-un sistem liniar independent formează un subsistem liniar independent.
6. Un sistem de vectori care conțin un subsistem dependent liniar este dependent liniar.
7. Dacă sistemul de vectori este liniar independent și, după adăugarea unui vector la el, se dovedește a fi liniar dependent, atunci vectorul poate fi extins în vectori și, în plus, singura cale, adică coeficienții de expansiune se găsesc în mod unic.
Să demonstrăm, de exemplu, ultima proprietate. Deoarece sistemul de vectori este dependent liniar, există numere care nu sunt toate egale cu 0, adică. în această egalitate. Într-adevăr, dacă , atunci. Aceasta înseamnă că o combinație liniară netrivială de vectori este egală cu vectorul zero, ceea ce contrazice independența liniară a sistemului. Prin urmare, și apoi, adică. vectorul este o combinație liniară de vectori. Rămâne să arătăm unicitatea unei astfel de reprezentări. Să presupunem contrariul. Să fie două expansiuni și , și nu toți coeficienții de expansiune sunt, respectiv, egali între ei (de exemplu, ).
Apoi din egalitate obținem .
Prin urmare, combinația liniară de vectori este egală cu vectorul nul. Deoarece nu toți coeficienții săi sunt egali cu zero (cel puțin ), această combinație este netrivială, ceea ce contrazice condiția independenței liniare a vectorilor . Contradicția rezultată confirmă unicitatea descompunerii.
Rang și baza sistemului de vectori. Rangul unui sistem de vectori este numărul maxim vectori liniar independenți sisteme.
Baza sistemului de vectori este subsistemul maxim liniar independent al sistemului dat de vectori.
Teorema. Orice vector de sistem poate fi reprezentat ca combinație liniară vectori de bază de sistem. (Orice vector al sistemului poate fi descompus în vectori de bază.) Coeficienții de expansiune sunt determinați în mod unic pentru un vector dat și o bază dată.
Doc-in:
Lasă sistemul să aibă o bază.
1 caz. Vector - de la bază. Prin urmare, este egal cu unul dintre vectorii de bază, să spunem . Atunci = .
al 2-lea caz. Vectorul nu este de la bază. Atunci r>k.
Luați în considerare un sistem de vectori. Acest sistem este dependent liniar, deoarece este o bază, adică subsistem maxim liniar independent. Prin urmare, există numere cu 1 , cu 2 , …, cu k , cu, nu toate egale cu zero, astfel încât
Este evident că (dacă c=0, atunci baza sistemului este dependentă liniar).
Să demonstrăm că expansiunea unui vector în termeni de bază este unică. Să presupunem contrariul: există două expansiuni ale vectorului în ceea ce privește baza.
Scăzând aceste egalități, obținem
Luand in considerare independență liniară vectori de bază, obținem
Prin urmare, expansiunea unui vector în termeni de bază este unică.
Numărul de vectori din orice bază a sistemului este același și egal cu rangul sistemului de vectori.