Împărțim segmentul de integrare într-un număr par de segmente elementare de lungime egală cu puncte cu pas
(
). Pe fiecare segment
Aproximăm integrandul printr-un polinom de gradul doi, care pe acest segment are forma
. observa asta i ia doar valori impare de la 1 la
. Astfel, integrandul este aproximat printr-un set de polinoame pătrate sau o spline de gradul doi.

Calculăm o integrală arbitrară din partea dreaptă.

Cote ,și poate fi găsită din condiția de interpolare, adică din ecuații

Rețineți că ideea este punctul de mijloc al segmentului
, prin urmare
. Înlocuiți această expresie în a doua ecuație de interpolare:

Înmulțiți această ecuație cu 4 și adăugați-o la restul:

Ultima expresie coincide exact cu expresia dintre paranteze pătrate a formulei (5.1). Prin urmare,

Care înseamnă

Astfel, formula lui Simpson are forma:

Estimarea erorii formulelor de cuadratura.

Să estimăm eroarea atunci când folosim metoda dreptunghiurilor medii în ipoteza că funcția
infinit diferentiabil.

Să extindem integrand
într-o serie Taylor în vecinătatea punctului ,
.

Ultimul rând conține doar puteri impare X. Apoi

Cu un pas mic h principala contribuție la eroare R va contribui la valoare
, numit termenul principal al erorii R.

Să aplicăm metoda dreptunghiurilor mijlocii funcției
pe segment
pas cu pas h. Apoi

Asa de,
, Unde
este o valoare constantă. Eroare în egalitatea aproximativă
este o cantitate infinitezimală de ordin superior în comparație cu la
.

Gradul de pas h, care este proporțional cu restul R, se numește ordinea de precizie a metodei de integrare. Metoda dreptunghiurilor mijlocii are al doilea ordin de precizie.

Să estimăm eroarea atunci când folosim metoda trapezului și în ipoteza că funcția
infinit diferentiabil.

Să extindem integrandul într-o serie Taylor în vecinătatea punctului (
).

Termenul de eroare principal R:

Prin aplicarea metodei casetei din stânga unei funcții
pe segment
pas cu pas h, primim

Deci, metoda trapezoidală are și ordinul doi de precizie.

În mod similar, se poate demonstra că metodele dreptunghiurilor din stânga și din dreapta au prima, metoda lui Simpson - al patrulea ordin de precizie.

Cursul 17

„Regula lui Runge de evaluare a erorilor practice.

Conceptul de algoritmi adaptativi.

Cazuri speciale de integrare numerică.

metoda celulară. Calculul integralelor multiple.»

Regula lui Runge de estimare a erorilor practice.

Fie ca o metodă de integrare să aibă ordinea preciziei k, adică
, Unde - eroare, A este un coeficient care depinde de metoda de integrare și de integrand, h este pasul de divizare. Apoi

si la un pas

Formula derivată se numește prima formulă Runge. Are o mare importanță practică. Dacă trebuie să calculați integrala cu precizie  , atunci trebuie să calculăm valorile aproximative ale integralei, dublând numărul de segmente elementare, până când ajungem la îndeplinirea inegalității

Apoi, neglijând mărimile infinitezimale, putem presupune că

Dacă dorim să obținem o valoare mai precisă a integralei dorite, atunci pentru valoarea rafinată J putem lua în schimb
Cantitate

Aceasta este a doua formulă Runge. Din păcate, eroarea acestei valori revizuite rămâne incertă, dar este de obicei un ordin de mărime mai mare decât acuratețea metodei originale (când valoarea J noi acceptam
).

De exemplu, luați în considerare metoda trapezului. După cum se arată mai sus, ordinea preciziei k această metodă este 2.

Unde
. Conform celei de-a doua formule Runge

Unde
este valoarea aproximativă a integralei găsite prin metoda Simpson cu un pas. Deoarece ordinea acestei metode este 4, în acest exemplu, aplicarea celei de-a doua formule Runge a crescut ordinea preciziei cu 2.

Există o problemă despre calcul numeric o integrală definită, rezolvată cu ajutorul unor formule numite cuadratura.

Amintiți-vă cele mai simple formule de integrare numerică.

Să calculăm valoarea numerică aproximativă a lui . Împărțim intervalul de integrare [а, b] în n părți egale prin împărțirea punctelor
, numite noduri ale formulei de cuadratura. Să fie cunoscute valorile din noduri
:

Valoare

se numește interval sau pas de integrare. Rețineți că în practica calculelor -, numărul i este ales mic, de obicei nu este mai mare de 10-20. Pe un interval parțial

integrandul este înlocuit cu polinomul de interpolare

care reprezintă aproximativ funcţia f(x) pe intervalul luat în considerare.

a) Păstrați un singur prim termen în polinomul de interpolare, atunci

Formula pătratică rezultată

numită formula dreptunghiurilor.

b) Păstrați primii doi termeni în polinomul de interpolare, atunci

(2)

Formula (2) se numește formula trapezoidală.

c) Interval de integrare
împărțim într-un număr par de 2n părți egale, în timp ce pasul de integrare h va fi egal cu . Pe interval
de lungime 2h, înlocuim integrandul cu un polinom de interpolare de gradul doi, adică păstrăm primii trei termeni în polinom:

Formula de cuadratura rezultată se numește formula lui Simpson

(3)

Formulele (1), (2) și (3) au un simplu sens geometric. În formula dreptunghiurilor, integralul f(x) pe interval
este înlocuit cu un segment de linie dreaptă y \u003d uk, paralel cu axa x, iar în formula trapezoidală - de un segment de linie dreaptă
și se calculează aria unui dreptunghi și respectiv a unui trapez rectiliniu, care sunt apoi însumate. În formula lui Simpson, funcția f(x) pe interval
lungimea 2h este înlocuită cu un trinom pătrat - o parabolă
se calculează aria unui trapez parabolic curbiliniu, apoi se însumează ariile.

CONCLUZIE

În concluzie, aș dori să remarc o serie de caracteristici ale aplicării metodelor discutate mai sus. Fiecare metodă pentru rezolvarea aproximativă a unei integrale definite are avantajele și dezavantajele sale, în funcție de sarcina în cauză, trebuie utilizate metode specifice.

Metoda substituției variabile este una dintre principalele metode de calcul a integralelor nedefinite. Chiar și atunci când integrăm printr-o altă metodă, de multe ori trebuie să apelăm la o schimbare de variabile în calculele intermediare. Succesul integrării depinde în mare măsură de dacă putem găsi o modificare atât de bună a variabilelor care să simplifice integrala dată.

În esență, studiul metodelor de integrare se rezumă la a afla ce fel de schimbare a variabilei ar trebui făcută pentru o formă sau alta a integrandului.

Prin urmare, integrarea fiecărei fracții raționale se reduce la integrarea unui polinom și a câtorva fracții simple.

Integrala oricărei funcții raționale poate fi exprimată în termeni de funcții elementare în forma finală și anume:

prin logaritmi - în cazurile celor mai simple fracții de tip 1;

prin funcţii raţionale – în cazul fracţiilor simple de tip 2

prin logaritmi și arctangente – în cazul fracțiilor simple de tip 3

prin funcții raționale și arctangente – în cazul celor mai simple fracții de tip 4. Substituția trigonometrică universală raționalizează întotdeauna integrandul, dar adesea duce la fracții raționale foarte greoaie, pentru care, în special, este practic imposibil de găsit rădăcinile numitorului. Prin urmare, dacă este posibil, se folosesc substituții parțiale, care raționalizează și integrandul și conduc la fracții mai puțin complexe.

formula Newton-Leibniz reprezintă abordare generală pentru a găsi integrale definite.

În ceea ce privește metodele de calcul a integralelor definite, acestea practic nu diferă de toate acele metode și metode.

Același lucru este valabil metode de substituție(schimbarea variabilei), metoda de integrare pe părți, aceleași metode de găsire a antiderivatelor pentru funcții trigonometrice, iraționale și transcendentale. Singura particularitate este că atunci când se aplică aceste tehnici, este necesar să se extindă transformarea nu numai la funcția sub-integrală, ci și la limitele integrării. Când schimbați variabila de integrare, nu uitați să modificați limitele de integrare în consecință.

Bine din teoremă, condiția de continuitate a funcției este o condiție suficientă pentru integrabilitatea funcției. Dar asta nu înseamnă asta integrala definita există numai pentru funcții continue. Clasa de funcții integrabile este mult mai largă. Deci, de exemplu, există o integrală definită a funcțiilor care au un număr finit de puncte de discontinuitate.

Calculul unei integrale definite a unei funcții continue folosind formula Newton-Leibniz se reduce la găsirea unei antiderivate, care există întotdeauna, dar nu este întotdeauna o funcție elementară sau o funcție pentru care se întocmesc tabele care fac posibilă obținerea valorii. a integralei. În numeroase aplicații, funcția integrabilă este dată într-un tabel, iar formula Newton-Leibniz nu este direct aplicabilă.

Dacă vrei cel mai precis rezultat, ideal metoda lui Simpson.

Din cele studiate mai sus, se poate trage următoarea concluzie că integrala este utilizată în științe precum fizica, geometria, matematica și alte științe. Cu ajutorul integralei se calculează munca forței, se găsesc coordonatele centrului de masă, drumul parcurs de punctul material. În geometrie, este folosit pentru a calcula volumul unui corp, a găsi lungimea unui arc de curbă etc.

Metoda parabolelor (Simpson)

Esența metodei, formulei, estimarea erorii.

Fie funcția y = f(x) continuă pe un segment și trebuie să calculăm o integrală definită.

Împărțiți segmentul în n elementar

segmente [;], i = 1., n de lungime 2*h = (b-a)/ n puncte

a =< < < < = b. Пусть точки, i = 1., n являются серединами отрезков [;], i = 1., n соответственно. В этом случае все «узлы» определяются из равенства = a + i*h, i = 0,1., 2*n.

Pe fiecare interval [;], i = 1,2., n integrandul

se aproximează printr-o parabolă pătratică y = a* + b*x + c care trece prin punctele (; f ()), (; f ()), (; f ()). De aici și numele metodei - metoda parabolelor.

Acest lucru se face pentru a lua ca valoare aproximativă a unei anumite integrale, pe care o putem calcula folosind formula Newton-Leibniz. Acesta este ce esența metodei parabolelor.

Derivarea formulei lui Simpson.

Pentru a obține formula pentru metoda parabolelor (Simpson), trebuie să calculăm

Să arătăm că prin punctele (; f ()), (; f ()), (; f ()) doar unul parabolă pătratică y = a* + b*x + c. Cu alte cuvinte, demonstrăm că coeficienții sunt definiți singura cale.

Deoarece (; f ()), (; f ()), (; f ()) sunt puncte ale parabolei, atunci fiecare dintre ecuațiile sistemului

Sistemul scris de ecuații este un sistem liniar ecuații algebrice cu privire la variabilele necunoscute, . Determinantul matricei principale a acestui sistem de ecuații este determinantul Vandermonde și este diferit de zero pentru punctele nepotrivite. Aceasta indică faptul că sistemul de ecuații are o soluție unică (aceasta este discutată în articolul rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare), adică coeficienții sunt determinați în mod unic și prin punctele (; f ()), (; f ( )), (; f ()) trece printr-o singură parabolă pătratică.

Să trecem la găsirea integralei.

Evident:

f() = f(0) = + + =

f() = f(h) = + +

f() = f(2*h) = + +

Folosim aceste egalități pentru a face ultima tranziție în următorul lanț de egalități:

= = (++) = h/3*(f()+4*f()+f())

Astfel, puteți obține formula metodei parabolelor:

Un exemplu de metoda lui Simpson.

Calculați integrala aproximativă folosind formula lui Simpson la cel mai apropiat 0,001. Împărțirea începe cu două segmente

Integrala, de altfel, nu este luată.

Decizie: Atrage imediat atenția asupra tipului de sarcină - este necesar să se calculeze o integrală definită cu o anumită precizie. Ca și în cazul metodei trapezului, există o formulă care vă va permite imediat să determinați numărul necesar de segmente pentru a garanta acuratețea necesară. Adevărat, va trebui să găsim derivata a patra și să rezolvăm problema extremală. În practică, aproape întotdeauna se utilizează o metodă simplificată de estimare a erorii.

Încep să mă hotărăsc. Dacă avem două segmente de partiție, atunci nodurile vor fi încă una: , . Și formula lui Simpson ia o formă foarte compactă:

Să calculăm pasul de partiție:

Să completăm tabelul de calcul:

În linia de sus scriem „contorul” indicilor

În a doua linie, scriem mai întâi limita inferioară de integrare a = 1,2, apoi adăugăm succesiv pasul h = 0,4.

În a treia linie introducem valorile integrandului. De exemplu, dacă = 1,6, atunci. Câte zecimale să lăsați?Într-adevăr, condiția din nou nu spune nimic despre asta. Principiul este același ca și în metoda trapezoidală, ne uităm la precizia necesară: 0,001. Și adăugați încă 2-3 cifre. Adică, trebuie să rotunjiți până la 5-6 zecimale.

Ca urmare:

Primul rezultat a fost obținut. Acum dubla număr de segmente până la patru: . Formula lui Simpson pentru această partiție ia următoarea formă:

Să calculăm pasul de partiție:

Să completăm tabelul de calcul:

Prin urmare:

Estimăm eroarea:

Eroarea este mai mare decât precizia cerută: 0,002165 > 0,001, deci este necesar să se dubleze din nou numărul de segmente: .

Formula lui Simpson devine mai mare:

Să calculăm pasul:

Să completăm din nou foaia de calcul:

Prin urmare:

Rețineți că aici este de dorit să descriem calculele mai detaliat, deoarece formula Simpson este destul de greoaie:

Estimăm eroarea:

Eroarea este mai mică decât precizia necesară: 0,000247< 0,001. Осталось взять наиболее точное приближение, округлить его до трёх знаков после запятой и записать.

Esența metodei lui Simpson este aproximarea integrandului pe un segment printr-un polinom de interpolare de gradul II p2(x), adică. aproximarea graficului unei funcții pe un segment printr-o parabolă. Trei puncte sunt folosite pentru a interpola integrandul.

Luați în considerare o integrală arbitrară. Să folosim schimbarea variabilei astfel încât limitele segmentului de integrare să devină [-1,1] în schimb. Pentru a face acest lucru, introducem variabila z:

Luați în considerare problema interpolării integrandului folosind trei puncte nodale echidistante z = -1, z = 0, z = +1 ca noduri (pasul este 1, lungimea segmentului de integrare este 2). Să notăm valorile corespunzătoare ale integrandului la nodurile de interpolare:

Sistemul de ecuații pentru găsirea coeficienților unui polinom care trece prin trei puncte (-1, f-1), (0, f0) și (1, f-+1) are forma:

Coeficienții pot fi obținuți cu ușurință:

Să calculăm acum valoarea integralei polinomului de interpolare:

Prin schimbarea inversă a variabilei, revenim la integrala inițială. Să luăm în considerare că:

corespunde

Obținem formula Simpson pentru un interval de integrare arbitrar:

Valoarea rezultată coincide cu aria trapezului curbiliniu delimitată de axa x, liniile drepte x = x0, x = x2 și parabola care trece prin puncte

Dacă este necesar, segmentul inițial de integrare poate fi împărțit în N segmente duble, cărora li se aplică formula Simpson. Etapa de interpolare în acest caz va fi:

Pentru primul segment de integrare, nodurile de interpolare vor fi punctele a, a+h, a+2h, pentru al doilea a+2h, a+3h, a+4h, al treilea a+4h, a+5h, a+ 6h, etc. Valoarea aproximativă a integralei se obține prin însumarea N arii:

integrare metoda numerică simpson

Această sumă include aceiași termeni (pentru nodurile interne cu o valoare a indicelui par - 2i). Prin urmare, putem rearanja termenii din această sumă în acest fel:

Având în vedere ce obținem:

Să estimăm acum eroarea de integrare prin formula Simpson. Presupunem că funcția de pe interval are derivate continue. Să facem diferența:

Aplicând succesiv teorema valorii medii acestei diferențe și diferențiind R(h), obținem eroarea metodei lui Simpson:

Eroarea metodei scade proporțional cu lungimea pasului de integrare la a patra putere, adică. prin dublarea numărului de intervale, eroarea scade cu un factor de 16.

Avantaje și dezavantaje

Formulele Simpson și Newton-Cotes sunt un instrument bun pentru a calcula integrala definită de un număr suficient de ori a unei funcții diferențiabile continuu. Deci, cu condiția ca derivata a patra să nu fie prea mare, metoda lui Simpson vă permite să obțineți o precizie destul de mare. În același timp, ordinea sa algebrică de precizie este 3, iar formula lui Simpson este exactă pentru polinoamele de gradul de cel mult trei.

De asemenea, metodele Newton-Cotes și, în special, metoda Simpson vor fi cele mai eficiente în cazurile în care nu există informații a priori despre netezimea integrandului, i.e. când integrandul este dat într-un tabel.

Când se calculează o integrală definită, nu obținem întotdeauna o soluție exactă. Nu este întotdeauna posibil să se reprezinte în formă functie elementara. Formula Newton-Leibniz nu este potrivită pentru calcul, așa că trebuie utilizate metode de integrare numerică. Această metodă permite obținerea datelor cu o precizie ridicată. Metoda lui Simpson este așa.

Pentru a face acest lucru, este necesar să oferiți o reprezentare grafică a derivării formulei. Urmează înregistrarea estimării erorii absolute folosind metoda Simpson. În concluzie, vom compara trei metode: Simpson, dreptunghiuri, trapeze.

Metoda parabolelor - esență, formulă, estimare, erori, ilustrații

Este dată o funcţie de forma y = f (x), care are continuitate pe intervalul [ a ; b ] , este necesar să se calculeze integrala definită ∫ a b f (x) d x

Este necesar să se împartă segmentul [ a ; b ] în n segmente de forma x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n cu lungimea 2 h = b - a n și punctele a = x 0< x 2 < x 4 < . . . < x 2 π - 2 < x 2 π = b . Тогда точки x 2 i - 1 , i = 1 , 2 , . . . , n считаются серединами отрезков x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n . Данный случай показывает, что определение узлов производится через x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n .

Fiecare interval x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n al integrandului se aproximează prin parabola definită de y = a i x 2 + b i x + c i , trecând prin punctele cu coordonatele x 2 i - 2 ; f (x2i-2), x2i-1; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i). Prin urmare, metoda are un astfel de nume.

Aceste acțiuni sunt efectuate pentru a lua integrala ∫ x 2 i - 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x ca valoare aproximativă ∫ x 2 i - 2 x 2 i f (x) d x . Putem calcula folosind formula Newton-Leibniz. Aceasta este esența metodei parabolelor Luați în considerare figura de mai jos.

Ilustrare grafică a metodei parabolelor (Simpson)

Linia roșie arată graficul funcției y = f (x), linia albastră arată aproximarea graficului y = f (x) folosind parabole pătratice.

Pe baza proprietății a cincea a integralei definite, obținem ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 dacă f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x

Pentru a obține o formulă folosind metoda parabolelor, este necesar să se calculeze:

∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x

Fie x 2 i - 2 = 0 . Luați în considerare figura de mai jos.

Să descriem că prin puncte cu coordonatele x 2 i - 2 ; f (x2i-2), x2i-1; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) poate exista o parabolă pătratică de forma y = a i x 2 + b i x + c i . Cu alte cuvinte, este necesar să se demonstreze că coeficienții pot fi determinați doar într-un mod unic.

Avem că x 2 i - 2 ; f (x2i-2), x2i-1; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) sunt puncte ale parabolei, atunci fiecare dintre ecuațiile prezentate este valabilă. Înțelegem asta

a i (x 2 i - 2) 2 + b i x 2 i - 2 + c i = f (x 2 i - 2) a i (x 2 i - 1) 2 + b i x 2 i - 1 + c i = f ( x 2 i - 1) a i (x 2 i) 2 + b i x 2 i + c i = f (x 2 i)

Sistemul rezultat este rezolvat în raport cu a i , b i , c i , unde este necesar să se caute determinantul Vandermonde al matricei. Înțelegem asta

(x 2 i - 2) 2 x 2 i - 2 1 x 2 i - 1) 2 x 2 i - 1 1 (x 2 i) 2 x 2 i 1 și este considerat diferit de zero și nu coincide cu punctele x 2 i - 2 , x 2 i - 1 , x 2 i . Acesta este un semn că ecuația are o singură soluție, apoi coeficienții aleși a i ; b i ; c i poate fi definit doar într-un mod unic, apoi prin punctele x 2 i - 2 ; f (x2i-2), x2i-1; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) poate trece o singură parabolă.

Puteți continua la găsirea integralei ∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x .

Este clar că

f (x 2 i - 2) = f (0) = a i 0 2 + b i 0 + c i = c i f (x 2 i - 1) = f (h) = a i h 2 + b i h + c i f ( x 2 i) = f (0) = 4 a i h 2 + 2 b i h + c i

Pentru a implementa ultima tranziție, este necesar să folosiți o inegalitate a formei

∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x = ∫ 0 2 h (a i x 2 + b i x + c i) d x = = a i x 3 3 + b i x 2 2 + c i x 0 2 h = 8 a i h 3 3 + 2 b i h 2 + 2 c i h = = h 3 8 a i h 2 + 6 b i h + 6 c i = h 3 f x 2 i - 2 + 4 f 2 2 i - 1 + f x 2 i

Deci, obținem formula folosind metoda parabolelor:

∫ a b f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x = = ∑ i = 1 n h 3 (f (x 2 i - 2) + 4 f (x 2 i - 1) + f (x 2 i)) = = h 3 f (x 0) + 4 f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + 4 f (x 3) + f (x 4) + . . . + + f (x 2 n - 2) + 4 f (x 2 n - 1) + f (x 2 n) = = h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n)

Definiția 1

Formula pentru metoda lui Simpson este ∫ a b f (x) d x ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n) .

Formula de estimare a erorii absolute este δ n ≤ m a x [ a ; b ] f (4) (x) (b - a) 5 2880 n 4 .

Exemple de calcul aproximativ al integralelor definite prin metoda parabolică

Metoda lui Simpson presupune calculul aproximativ al anumitor integrale. Cel mai adesea, există două tipuri de probleme pentru care se aplică această metodă:

în calculul aproximativ al unei integrale definite;
la găsirea unei valori aproximative cu o precizie de δ n .

Precizia calculului este afectată de valoarea lui n, cu cât n este mai mare, cu atât valorile intermediare sunt mai precise.

Exemplul 1

Calculați integrala definită ∫ 0 5 x d x x 4 + 4 folosind metoda Simpson, împărțind segmentul de integrare în 5 părți.

Decizie

Prin conditie se stie ca a = 0 ; b=5; n = 5 , f(x) = x x 4 + 4 .

Apoi scriem formula Simpson sub forma

∫ a b f (x) d x ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n)

Pentru a-l aplica pe deplin, este necesar să se calculeze pasul folosind formula h = b - a 2 n, să se determine punctele x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , 2 n și găsiți valorile integrandului f (x i) , i = 0 , 1 , . . . , 2n.

Calculele intermediare trebuie rotunjite la 5 zecimale. Înlocuiți valorile și obțineți

h \u003d b - a 2 n \u003d 5 - 0 2 5 \u003d 0. 5

Să aflăm valoarea funcției în puncte

i = 0: x i = x 0 = a + i h = 0 + 0 0 . 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 0 0 4 + 4 = 0 i = 1: x i = x 1 = a + i h = 0 + 1 0 . 5 = 0 . 5 ⇒ f (x 1) = f (0 . 5) = 0 . cincizeci . 5 4 + 4 ≈ 0 . 12308 . . . i = 10: x i = x 10 = a + i h = 0 + 10 0 . 5 = 5 ⇒ f (x 10) = f (5) = 5 5 4 + 4 ≈ 0 . 00795

Claritatea și comoditatea sunt prezentate în tabelul de mai jos.

i	1	2	3	4	5
x i	0 . 5	1	1 . 5	2	2 . 5
f x i	0 . 12308	0 . 2	0 . 16552	0 . 1	0 . 05806

i	6	7	8	9	10
x i	3	3 . 5	4	4 . 5	5
f x i	0 . 03529	0 . 02272	0 . 01538	0 . 01087	0 . 00795

Este necesar să înlocuiți rezultatele în formula metodei parabolelor:

∫ 0 5 x d x x 4 + 4 ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n ) = = 0 . 5 3 0 + 4 0 . 12308 + 0 . 16552 + 0 . 05806 ++ 0 . 02272 + 0 . 01087 + 2 0 . 2 + 0. 1 + + 0 . 03529 + 0 . 01538 + 0 . 00795 ≈ ≈ 0 . 37171

Pentru calcul am ales o integrală definită, care poate fi calculată după Newton-Leibniz. Primim:

∫ 0 5 x d x x 4 + 4 = 1 2 ∫ 0 5 d (x 2) x 2 2 + 4 = 1 4 a r c t g x 2 2 0 5 = 1 4 a r c t g 25 2 ≈ 0 . 37274

Răspuns: Rezultatele se potrivesc până la sutimi.

Exemplul 2

calculati integrală nedefinită∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x folosind metoda lui Simpson până la 0 , 001 .

Decizie

Prin condiție, avem că a \u003d 0, b \u003d π, f (x) \u003d sin 3 x 2 + 1 2, δ n ≤ 0. 001 . Trebuie să determinați valoarea lui n. Pentru aceasta, formula de estimare a erorii absolute a metodei Simpson de forma δ n ≤ m a x [ a ; b ] f (4) (x) (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001

Când găsim valoarea n , atunci inegalitatea m a x [ a ; b ] f (4) (x) (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001 va fi executat. Apoi, folosind metoda parabolelor, eroarea în calcul nu va depăși 0. 001 . Ultima inegalitate ia forma

n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2 . 88

Acum trebuie să aflăm care cea mai mare valoare poate lua modulul derivatei a patra.

f "(x) = sin 3 x 2 + 1 2" = 3 2 cos 3 x 2 ⇒ f "" (x) = 3 2 cos 3 x 2 " = - 9 4 sin 3 x 2 ⇒ f " "" ( x) = - 9 4 sin 3 x 2 " = - 27 8 cos 3 x 2 ⇒ f (4) (x) = - 27 8 cos 3 x 2 " = 81 16 sin 3 x 2

Domeniul de definiție f (4) (x) = 81 16 sin 3 x 2 aparține intervalului - 81 16 ; 81 16 , iar segmentul de integrare în sine [ 0 ; π) are un punct extremum, de aici rezultă că m a x [ 0 ; π ] f (4) (x) = 81 16 .

Facem o înlocuire:

n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2 . 88 ⇔ n 4 ≥ 81 16 π - 0 5 2 . 88 ⇔ ⇔ n 4 > 537 . 9252 ⇔ n > 4 . 8159

Avem acel n - numar natural, atunci valoarea sa poate fi egală cu n = 5 , 6 , 7 ... mai întâi trebuie să luați valoarea n = 5 .

Acțiunile sunt efectuate în mod similar cu exemplul anterior. Trebuie să calculați pasul. Pentru asta

h \u003d b - a 2 n \u003d π - 0 2 5 \u003d π 10

Găsiți nodurile x i = a + i h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n , atunci valoarea integrandului va arăta ca

i = 0: x i = x 0 = a + i h = 0 + 0 π 10 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = sin 3 0 2 + 1 2 = 0 . 5 i = 1: x i = x 1 = a + i h = 0 + 1 π 10 = π 10 ⇒ f (x 1) = f (π 10) = sin 3 π 10 2 + 1 2 ≈ 0. 953990 . . . i = 10: x i = x 10 = a + i h = 0 + 10 π 10 = π ⇒ f (x 10) = f (π) = sin 3 π 2 + 1 2 ≈ - 0. 5 7 π 10

4 π 5 9 π 10 π f (x i) 1 . 207107 0 . 809017 0 . 343566 - 0 . 087785 - 0 . 391007 - 0 . 5

Rămâne să înlocuiți valorile din formula soluției prin metoda parabolică și să obțineți

∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f ( x 2 n) \u003d \u003d π 30 0, 5 + 4 0. 953990 + 1 . 487688 + 1 . 207107 ++ 0 . 343566 - 0 . 391007 + 2 1 . 309017 + 1 . 451056 ++ 0 . 809017 - 0 . 87785 - 0 . 5 = = 2 . 237650

Metoda lui Simpson ne permite să obținem o valoare aproximativă a integralei definite ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2 . 237 până la 0,001 .

Când calculăm prin formula Newton-Leibniz, obținem ca rezultat

∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x = - 2 3 cos 3 x 2 + 1 2 x 0 π = = - 3 2 cos 3 π 2 + π 2 - - 2 3 cos 0 + 1 2 0 = π 2 + 2 3 ≈ 2 . 237463

Răspuns:∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2 . 237

cometariu

În cele mai multe cazuri, găsirea m a x [ a ; b ] f (4) (x) este problematică. Prin urmare, se folosește o alternativă - metoda parabolelor. Principiul său este explicat în detaliu în secțiunea despre metoda trapezoidală. Metoda parabolelor este considerată metoda preferată pentru rezolvarea integralei. Eroarea de calcul afectează rezultatul n . Cu cât valoarea sa este mai mică, cu atât numărul aproximativ dorit este mai precis.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter