Plan:

Introducere

• 1 Logaritm real
  • 1.1 Proprietăți
  • 1.2 funcţie logaritmică
  • 1.3 logaritmi naturali
  • 1.4 Logaritmi zecimali
• 2 Logaritm complex
  • 2.1 Definiție și proprietăți
  • 2.2 Exemple
  • 2.3 Continuare analitică
  • 2.4 Suprafata Riemann
• 3 Contur istoric
  • 3.1 Logaritm real
  • 3.2 Logaritm complex
• 4 Tabelele logaritmice
• 5 Aplicații
Literatură
Note

Introducere

Orez. 1. Grafice ale funcțiilor logaritmice

Logaritmul unui număr b prin rațiune A (din greaca. λόγος - „cuvânt”, „atitudine” și ἀριθμός - „număr”) este definit ca un indicator al gradului în care trebuie ridicată baza A pentru a obține numărul b. Denumire: . Din definiție rezultă că intrările și sunt echivalente.

De exemplu, pentru că .

1. Logaritm real

Logaritmul unui log de numere reale A b are sens când . După cum știți, funcția exponențială y = A X este monotonă și fiecare valoare ia o singură dată, iar intervalul valorilor sale conține toate numerele reale pozitive. Rezultă că valoarea logaritmului real număr pozitiv există întotdeauna și este determinat în mod unic.

Cele mai utilizate sunt următoarele tipuri de logaritmi.

1.1. Proprietăți

Dovada

Să demonstrăm că.

(deoarece prin condiția bc > 0). ■

Dovada

Să demonstrăm asta

(deoarece prin condiția ■

Dovada

Să folosim identitatea pentru a o dovedi. Logaritmăm ambele părți ale identității la baza c. Primim:

Dovada

Să demonstrăm că.

(deoarece b p> 0 prin condiție). ■

Dovada

Să demonstrăm asta

Dovada

Luați logaritmul părților din stânga și din dreapta la bază c :

Partea stângă: Partea dreaptă:

Egalitatea expresiilor este evidentă. Deoarece logaritmii sunt egali, atunci, din cauza monotonității funcției logaritmice, expresiile în sine sunt egale. ■

1.2. funcţie logaritmică

Dacă considerăm un număr logaritmic ca o variabilă, obținem funcţie logaritmică y= jurnal A X (vezi fig. 1). Este definit la . Interval de valori: .

Funcția crește strict pentru A> 1 și în scădere strictă la 0< A < 1 . График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0) . Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Drept X= 0 este asimptota verticală stângă, deoarece la A> 1 și la 0< A < 1 .

Derivata functiei logaritmice este:

Dovada

I. Să dovedim asta

Să scriem identitatea e ln X = X și diferențiază-și laturile stânga și dreapta

Obținem asta, de unde rezultă că

II. Să demonstrăm asta

Funcția logaritmică implementează un izomorfism grup multiplicativ pozitiv numere realeși grupul aditiv al tuturor numerelor reale.

1.3. logaritmi naturali

Relația cu logaritmul zecimal: .

După cum sa menționat mai sus, derivata logaritmului natural are o formulă simplă:

Din acest motiv, logaritmii naturali sunt utilizați în principal în cercetarea matematică. Ele apar adesea atunci când se rezolvă ecuații diferențiale, se studiază dependențele statistice (de exemplu, distribuțiile numere prime) etc.

Integrala nedefinită a logaritmului natural este ușor de găsit prin integrarea pe părți:

Expansiunea seriei Taylor poate fi reprezentată după cum urmează:
când egalitatea

(1)

În special,

Această serie converge mai repede și, în plus, partea stângă a formulei poate exprima acum logaritmul oricărui număr pozitiv.

1.4. Logaritmi zecimali

Orez. 2a. Scară logaritmică

Orez. 2b. Scară logaritmică cu simboluri

Logaritmi la baza 10 (simbol: lg A) înainte de inventarea calculatoarelor erau utilizate pe scară largă pentru calcule. Scara neuniformă a logaritmilor zecimal este de obicei aplicată și regulilor de calcul. O scară similară este utilizată în multe domenii ale științei, de exemplu:

• Fizica - intensitatea sunetului (decibeli).
• Astronomia este o scară pentru luminozitatea stelelor.
• Chimie - activitatea ionilor de hidrogen (pH).
• Seismologie - scara Richter.
• Teoria muzicală - scara muzicală, în raport cu frecvențele sunetelor muzicale.
• Istoria este o scară de timp logaritmică.

Scara logaritmică este, de asemenea, utilizată pe scară largă pentru a identifica exponentul în dependențe exponențiale și coeficientul în exponent. În același timp, un grafic trasat pe o scară logaritmică de-a lungul uneia sau două axe ia forma unei linii drepte, care este mai ușor de studiat.

2. Logaritm complex

2.1. Definiție și proprietăți

Pentru numerele complexe, logaritmul este definit în același mod ca și cel real. În practică, se folosește aproape exclusiv logaritmul complex natural, pe care îl notăm și îl definim ca mulțime a tuturor numerelor complexe. z astfel încât e z = w . Logaritmul complex există pentru orice , iar partea sa reală este determinată în mod unic, în timp ce imaginarul are un număr infinit de valori. Din acest motiv, se numește funcție cu mai multe valori. Dacă vă imaginați wîn forma indicativa:

,

atunci logaritmul se găsește prin formula:

Iată logaritmul real, r = | w | , k este un întreg arbitrar. Valoarea obţinută când k= 0 este numit importanta principala logaritm natural complex; se obișnuiește să se ia valoarea argumentului în intervalul (− π,π] . Funcția corespunzătoare (deja cu o singură valoare) se numește ramura principală logaritm și se notează cu . Uneori denotă și valoarea logaritmului, care nu se află pe ramura principală.

Din formula urmează:

• Partea reală a logaritmului este determinată de formula:

• Logaritmul unui număr negativ se găsește prin formula:

Deoarece funcțiile trigonometrice complexe sunt asociate cu exponențiala (formula lui Euler), logaritmul complex, ca inversul funcției exponențiale, este asociat cu inversul funcții trigonometrice. Un exemplu de astfel de conexiune:

2.2. Exemple

Iată valoarea principală a logaritmului pentru unele argumente:

Ar trebui să fiți atenți când convertiți logaritmi complecși, ținând cont de faptul că aceștia sunt multivalori și, prin urmare, egalitatea logaritmilor oricăror expresii nu implică egalitatea acestor expresii. Un exemplu de raționament eronat:

iπ = ln(− 1) = ln((− i) 2) = 2ln(− i) = 2(− iπ / 2) = − iπ - o absurditate evidentă.

Rețineți că valoarea principală a logaritmului este în stânga, iar valoarea din ramura subiacentă este în dreapta ( k= − 1). Motivul erorii este utilizarea neglijentă a proprietății, care, în general, în cazul complex implică întregul set infinit de valori ale logaritmului, și nu doar valoarea principală.

2.3. Continuare analitică

Orez. 3. Logaritm complex (partea imaginară)

Logaritmul unui număr complex poate fi definit și ca continuarea analitică a logaritmului real la întregul plan complex. Fie ca curba Γ să înceapă de la 1, să nu treacă prin zero și să nu intersecteze partea negativă a axei reale. Apoi valoarea principală a logaritmului la punctul final w curba Γ poate fi determinată prin formula:

Dacă Γ este o curbă simplă (fără auto-intersecții), atunci pentru numerele care se află pe ea, identitățile logaritmice pot fi aplicate fără teamă, de exemplu

Dacă curbei Γ i se permite să intersecteze partea negativă a axei reale, atunci prima astfel de intersecție transferă rezultatul de la ramura principală a valorii la ramura vecină, iar fiecare intersecție ulterioară provoacă o deplasare similară de-a lungul ramurilor funcției logaritmice ( Vezi figura).

Din formula de continuare analitică rezultă că pe orice ramură a logaritmului

Pentru orice cerc S anexând punctul 0:

Integrala este luată în sens pozitiv (în sens invers acelor de ceasornic). Această identitate stă la baza teoriei reziduurilor.

De asemenea, se poate defini continuarea analitică a logaritmului complex folosind seria (1) de mai sus, generalizată la caz argument complex. Cu toate acestea, din tipul de expansiune rezultă că este egală cu zero la unitate, adică seria se referă numai la ramura principală a funcției multivalorice a logaritmului complex.

2.4. Suprafata Riemann

Funcția logaritmică complexă este un exemplu de suprafață Riemann; partea sa imaginară (Fig. 3) este formată dintr-un număr infinit de ramuri răsucite sub formă de spirală. Această suprafață este pur și simplu conectată; singurul său zero (de ordinul întâi) este obţinut prin z= 1 , puncte speciale: z= 0 și (puncte de ramificare de ordin infinit).

Suprafața Riemann a logaritmului este acoperirea universală pentru plan complex fara punctul 0.

3. Contur istoric

3.1. Logaritm real

Nevoia de calcule complexe în secolul al XVI-lea a crescut rapid și o mare parte din dificultate a fost asociată cu înmulțirea și împărțirea numerelor cu mai multe cifre, precum și cu extragerea rădăcinilor. La sfârșitul secolului, mai mulți matematicieni, aproape simultan, au venit cu ideea: să înlocuiască înmulțirea consumatoare de timp cu adunarea simplă, comparând progresiile geometrice și aritmetice folosind tabele speciale, în timp ce cea geometrică va fi cea originală. Apoi împărțirea este înlocuită automat cu o scădere nemăsurat mai simplă și mai de încredere și extragerea rădăcinii gradului n reduce la împărțirea logaritmului expresiei radicalului cu n. El a fost primul care a publicat această idee în cartea sa Aritmetica integra» Michael Stiefel, care, însă, nu a făcut eforturi serioase pentru a-și pune în aplicare ideea.

În 1614, matematicianul amator scoțian John Napier a publicat pe latin eseu intitulat " Descrierea uimitoarei tabele logaritmice„(lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ). A avut scurta descriere logaritmi și proprietățile acestora, precum și tabele de 8 cifre ale logaritmilor de sinusuri, cosinusuri și tangente, cu un pas de 1". Termen logaritm, propus de Napier, s-a impus în știință. Napier a subliniat teoria logaritmilor în cealaltă carte a sa " Construirea unui tabel uimitor de logaritmi„(lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ), publicat postum în 1619 de fiul său.

Conceptul de funcție nu exista încă, iar Napier a determinat logaritmul cinematic, comparând mișcarea uniformă și logaritmică lentă; de exemplu, el a definit logaritmul sinusului după cum urmează:

Logaritmul unui sinus dat este un număr care crește întotdeauna aritmetic în aceeași rată cu care sinusul complet a început să scadă geometric.

În notația modernă, poate fi reprezentat modelul cinematic Napier ecuație diferențială: dx/x = -dy/M, unde M este factorul de scalare introdus pentru a face din valoare un număr întreg cu numărul dorit de cifre ( zecimaleîncă nefolosit pe scară largă). Napier a luat M = 10000000.

Strict vorbind, Napier a tabulat funcția greșită, care se numește acum logaritm. Dacă notăm funcția sa ca LogNap(x), atunci este legată de logaritmul natural după cum urmează:

Evident, LogNap (M) = 0, adică logaritmul „sinusului complet” este zero - asta a căutat Napier cu definiția sa. .

Proprietatea principală a logaritmului Napier: dacă mărimile formează progresie geometrică, atunci logaritmii lor formează o progresie aritmetică. Totuși, regulile pentru logaritmul pentru funcția non-Pieriană diferă de regulile pentru logaritmul modern.

De exemplu, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).

Din păcate, toate valorile din tabelul lui Napier conțineau o eroare de calcul după a șasea cifră. Cu toate acestea, acest lucru nu a împiedicat noua metodă de calcul să câștige o mare popularitate, iar mulți matematicieni europeni, inclusiv Kepler, au preluat compilarea tabelelor logaritmice. Deja 5 ani mai târziu, în 1619, profesorul de matematică londonez John Spydell ( John Spidell) a republicat tabelele lui Napier, transformate astfel încât acestea să devină de fapt tabele de logaritmi naturali (deși Spydell a păstrat scalarea la numere întregi). Termenul „logaritm natural” a fost inventat de matematicianul italian Pietro Mengoli ( Pietro Mengoli)) la mijlocul secolului al XVI-lea.

În anii 1620, Edmund Wingate și William Oughtred au inventat prima regulă de calcul, înainte de apariția calculatoarelor de buzunar, un instrument indispensabil pentru un inginer.

Aproape de înțelegerea modernă a logaritmului - ca operație inversă ridicării la putere - a apărut pentru prima dată la Wallis și Johann Bernoulli și a fost în cele din urmă legalizat de Euler în secolul al XVIII-lea. În Introducere în analiza infinitelor (1748), Euler a dat definiții moderne atât funcțiile exponențiale, cât și cele logaritmice, au condus extinderea lor în serie de puteri, a subliniat rolul logaritmului natural.

Euler are și meritul de a extinde funcția logaritmică la domeniul complex.

3.2. Logaritm complex

Primele încercări de a extinde logaritmii la numere complexe Leibniz și Johann Bernoulli s-au angajat la începutul secolelor al XVII-lea și al XVIII-lea, dar nu au reușit să creeze o teorie holistică - în primul rând pentru că la acea vreme însuși conceptul de logaritm nu era încă clar definit. Discuția pe această problemă a avut loc mai întâi între Leibniz și Bernoulli, iar la mijlocul secolului al XVIII-lea - între d'Alembert și Euler. Bernoulli și d'Alembert credeau că este necesar să se definească log(-x) = log(x). Teorie completă logaritmii numerelor negative și complexe a fost publicat de Euler în 1747-1751 și nu este în esență diferit de cel modern.

Deși disputa a continuat (D'Alembert și-a apărat punctul de vedere și l-a argumentat în detaliu într-un articol din Enciclopedia sa și în alte lucrări), punctul de vedere al lui Euler a câștigat rapid recunoașterea generală.

4. Tabele logaritmice

Tabelele logaritmice

Din proprietățile logaritmului rezultă că, în loc de înmulțirea consumatoare de timp a numerelor cu mai multe valori, este suficient să găsiți (din tabele) și să adăugați logaritmii acestora și apoi să efectuați potențarea folosind aceleași tabele, adică să găsiți valoarea rezultatului prin logaritmul său. Efectuarea împărțirii diferă doar prin faptul că logaritmii sunt scăzuți. Laplace a spus că inventarea logaritmilor „a prelungit viața astronomilor” prin accelerarea mult procesul de calcul.

Când mutați punctul zecimal într-un număr la n cifre, valoarea logaritmului zecimal al acestui număr se modifică cu n. De exemplu, lg8314,63 = lg8,31463 + 3 . Rezultă că este suficient să faci un tabel cu logaritmi zecimal pentru numerele din intervalul de la 1 la 10.

Primele tabele de logaritmi au fost publicate de John Napier (1614) și conțineau doar logaritmii funcțiilor trigonometrice și cu erori. Independent de el, Joost Burgi, un prieten al lui Kepler, și-a publicat tabelele (1620). În 1617 profesorul de matematică de la Oxford Henry Briggs a publicat tabele care includeau deja logaritmii zecimali ai numerelor în sine, de la 1 la 1000, cu 8 (mai târziu 14) cifre. Dar au existat și erori în tabelele Briggs. Prima ediție infailibilă bazată pe tabelele Vega (1783) a apărut abia în 1857 la Berlin (tabelele Bremiver).

În Rusia, primele tabele de logaritmi au fost publicate în 1703, cu participarea lui L. F. Magnitsky. Mai multe colecții de tabele de logaritmi au fost publicate în URSS.

• Bradis V. M. Tabelele matematice din patru cifre. Ediția a 44-a, M., 1973.

Tabelele lui Bradys (1921) au fost folosite în institutii de invatamant iar în calculele de inginerie care nu necesită o mare precizie. Ele conțineau mantise de logaritmi zecimali ai numerelor și funcții trigonometrice, logaritmi naturali și alte câteva instrumente utile de calcul.

• Vega G. Tabele de logaritmi cu șapte cifre, ediția a IV-a, M., 1971.

Colecție profesională pentru calcule precise.

• Tabelele cu cinci cifre ale valorilor naturale ale mărimilor trigonometrice, logaritmii lor și logaritmii numerelor, ed. a 6-a, M .: Nauka, 1972.
• Tabele de logaritmi naturali, ediția a II-a, în 2 volume, Moscova: Nauka, 1971.

În prezent, odată cu răspândirea calculatoarelor, nevoia de a folosi tabele de logaritmi a dispărut.

M, Caracteristică (analiza complexă).

Definiție și proprietăți

Complexul zero nu are logaritm deoarece exponentul complex nu ia valoare zero. diferit de zero texvc poate fi reprezentat în formă exponențială:

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): z=r \cdot e^(i (\varphi + 2 \pi k))\;\;, Unde Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): k- întreg arbitrar

Apoi Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \mathrm(Ln)\,z se gaseste dupa formula:

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor pentru reglare.): \mathrm(Ln)\,z = \ln r + i \left(\varphi + 2 \pi k \right)

Aici Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): \ln\,r= \ln\,|z| este logaritmul real. Din aceasta rezultă:

Din formula se poate observa că una și numai una dintre valori are o parte imaginară în interval Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc . Această valoare este numită importanta principala logaritm natural complex. Funcția corespunzătoare (deja cu o singură valoare) este apelată ramura principală logaritm și se notează Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \ln\,z. Uneori prin Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \ln\, z denotă, de asemenea, valoarea logaritmului care nu se află pe ramura principală. Dacă Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): z este un număr real, atunci valoarea principală a logaritmului său coincide cu logaritmul real obișnuit.

De asemenea, din formula de mai sus rezultă că partea reală a logaritmului este determinată după cum urmează prin componentele argumentului:

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru configurare.): \operatorname(Re)(\ln(x+iy)) = \frac(1)(2) \ln(x^2+y^2)

Figura arată că partea reală în funcție de componente este simetrică central și depinde doar de distanța până la origine. Se obține prin rotirea graficului logaritmului real în jurul axei verticale. Pe măsură ce se apropie de zero, funcția tinde să Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): -\infty.

Logaritmul unui număr negativ se găsește prin formula:

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor pentru reglare.): \mathrm(Ln) (-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x>0,\ k = 0, \pm 1 , \ pm2\puncte)

Exemple de valori logaritmice complexe

Oferim valoarea principală a logaritmului ( Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): \ln) și expresia sa generală ( Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor pentru configurare.): \mathrm(Ln)) pentru unele argumente:

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): \ln (1) = 0;\; \mathrm(Ln) (1) = 2k\pi i Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): \ln (-1) = i \pi;\; \mathrm(Ln) (-1) = (2k+1)i \pi Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \ln (i) = i \frac(\pi) (2);\; \mathrm(Ln) (i) = i \frac(4k+1)(2) \pi

Ar trebui să fiți atenți când convertiți logaritmi complecși, ținând cont de faptul că aceștia sunt multivalori și, prin urmare, egalitatea logaritmilor oricăror expresii nu implică egalitatea acestor expresii. Exemplu eronat raţionament:

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): i\pi = \ln(-1) = \ln((-i)^2) = 2\ln(-i) = 2(-i\pi/2 ) = -i\pi este o eroare evidentă.

Rețineți că valoarea principală a logaritmului este în stânga, iar valoarea din ramura subiacentă este în dreapta ( Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): k=-1). Motivul erorii este utilizarea neglijentă a proprietății Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor pentru configurare.): \log_a((b^p)) = p~\log_a b, care, în general, implică în cazul complex întregul set infinit de valori ale logaritmului, și nu doar valoarea principală.

Funcția logaritmică complexă și suprafața Riemann

În virtutea faptului că este pur și simplu conectată, suprafața Riemann a logaritmului este o acoperire universală pentru planul complex fără punct Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc .

Continuare analitică

Logaritmul unui număr complex poate fi definit și ca continuarea analitică a logaritmului real la întregul plan complex. Lasă curba Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc începe de la unu, nu trece prin zero și nu traversează partea negativă a axei reale. Apoi valoarea principală a logaritmului la punctul final Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): w strâmb Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \Gamma poate fi determinat prin formula:

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor pentru configurare.): \ln z = \int\limits_\Gamma (du \over u)

Dacă Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \Gamma- o curbă simplă (fără auto-intersecții), apoi pentru numerele care se află pe ea, identitățile logaritmice pot fi aplicate fără teamă, de exemplu:

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): \ln (wz) = \ln w + \ln z, ~\forall z,w\in\Gamma\colon zw\in \Gamma

Ramura principală a funcției logaritmice este continuă și diferențiabilă pe întregul plan complex, cu excepția părții negative a axei reale, pe care sare în partea imaginară. Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): 2\pi. Dar acest fapt este o consecință a limitării artificiale a părții imaginare a valorii principale de către interval Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematică/README pentru ajutor pentru configurare.): (-\pi, \pi]. Dacă luăm în considerare toate ramurile funcției, atunci continuitatea are loc în toate punctele cu excepția zero, unde funcția nu este definită. Dacă se permite curba Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \Gamma traversează partea negativă a axei reale, apoi prima astfel de intersecție transferă rezultatul de la ramura valorii principale la ramura vecină, iar fiecare intersecție ulterioară provoacă o deplasare similară de-a lungul ramurilor funcției logaritmice (vezi figura).

Din formula de continuare analitică rezultă că pe orice ramură a logaritmului:

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru configurare.): \frac(d)(dz) \ln z = (1\peste z)

Pentru orice cerc Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): S anexând punctul Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): 0 :

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \oint\limits_S (dz \over z) = 2\pi i

Integrala este luată în sens pozitiv (în sens invers acelor de ceasornic). Această identitate stă la baza teoriei reziduurilor.

De asemenea, se poate defini continuarea analitică a logaritmului complex folosind seria cunoscută pentru cazul real:

Totuși, din forma acestor serii rezultă că la unitate suma seriei este egală cu zero, adică seria se referă doar la ramura principală a funcției multivalorice a logaritmului complex. Raza de convergență a ambelor serii este 1.

Relația cu funcțiile trigonometrice și hiperbolice inverse

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \operatorname(Arcsin) z = -i \operatorname(Ln) (i z + \sqrt(1-z^2)) Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): \operatorname(Arccos) z = -i \operatorname(Ln) (z + i\sqrt(1-z^2)) Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \operatorname(Arctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(1+z i)(1-z i) + k \pi \; (z \ne \pm i) Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \operatorname(Arcctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(z i-1)(z i+1) + k \pi \; (z \ne \pm i) Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): \operatorname(Arsh)z = \operatorname(Ln)(z+\sqrt(z^2+1))- sinus hiperbolic invers Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): \operatorname(Arch)z=\operatorname(Ln) \left(z+\sqrt(z^(2)-1) \right)- cosinus hiperbolic invers Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru configurare.): \operatorname(Arth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(1+z)(1-z)\right)- tangenta hiperbolica inversa Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru configurare.): \operatorname(Arcth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(z+1)(z-1)\right)- cotangentă hiperbolică inversă

Contur istoric

Primele încercări de a extinde logaritmii la numere complexe au fost făcute la începutul secolelor XVII-XVIII de către Leibniz și Johann Bernoulli, dar nu au reușit să creeze o teorie holistică - în primul rând din cauza faptului că însuși conceptul de logaritm nu era încă clar. definit. Discuția pe acest subiect a avut loc mai întâi între Leibniz și Bernoulli, iar la mijlocul secolului al XVIII-lea între d'Alembert și Euler. Bernoulli și d'Alembert credeau că este necesar să se definească Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru configurare.): \log(-x) = \log(x), în timp ce Leibniz a susținut că logaritmul unui număr negativ este un număr imaginar. Teoria completă a logaritmilor numerelor negative și complexe a fost publicată de Euler în 1747-1751 și nu este în esență diferită de cea modernă. Deși controversa a continuat (d'Alembert și-a apărat punctul de vedere și l-a argumentat în detaliu într-un articol din Enciclopedia sa și în alte lucrări), abordarea lui Euler până la sfârșitul secolului al XVIII-lea a primit recunoaștere universală.

Scrieți o recenzie la articolul „Logaritm complex”

Literatură

Teoria logaritmilor

• Korn G., Korn T.. - M .: Nauka, 1973. - 720 p.
• Sveșnikov A. G., Tihonov A. N. Teoria funcțiilor unei variabile complexe. - M .: Nauka, 1967. - 304 p.
• Fikhtengolts G. M. Curs de calcul diferențial și integral. - ed. al 6-lea. - M .: Nauka, 1966. - 680 p.

Istoria logaritmilor

• Matematica secolului al XVIII-lea // / Editat de A.P. Yushkevich, în trei volume. - M .: Nauka, 1972. - T. III.
• Kolmogorov A. N., Iuşkevici A. P. (ed.). Matematica secolului al XIX-lea. Geometrie. Teoria funcţiilor analitice. - M .: Nauka, 1981. - T. II.

Note

1. Funcția logaritmică. // . - M .: Enciclopedia Sovietică, 1982. - T. 3.
2. , Volumul II, p. 520-522..
3. , din. 623..
4. , din. 92-94..
5. , din. 45-46, 99-100..
6. Boltyansky V. G., Efremovici V. A.. - M .: Nauka, 1982. - S. 112. - (Biblioteca cuantică, numărul 21).
7. , Volumul II, p. 522-526..
8. , din. 624..
9. , din. 325-328..
10. Rybnikov K. A. Istoria matematicii. În două volume. - M .: Ed. Universitatea de Stat din Moscova, 1963. - T. II. - S. 27, 230-231 ..
11. , din. 122-123..
12. Klein F.. - M .: Nauka, 1987. - T. II. Geometrie. - S. 159-161. - 416 p.

Un fragment care caracterizează logaritmul complex

Din groaza sălbatică care ne-a cuprins, ne-am repezit ca gloanțele printr-o vale largă, fără să ne gândim măcar că am putea merge rapid la un alt „etajul”... Pur și simplu nu am avut timp să ne gândim la asta - ne-am speriat prea mult.
Creatura a zburat chiar deasupra noastră, clacând zgomotos cu ciocul său cu dinți căscați, și ne-am repezit cât am putut, împroșcând spray-uri sclipitoare în lateral și rugându-ne mental ca altceva să intereseze brusc această teribilă „pasăre minune”... S-a simțit că este mult mai rapid și pur și simplu nu am avut nicio șansă să ne despărțim de el. Ca rău, nu creștea un singur copac în apropiere, nu erau tufișuri, nici măcar pietre în spatele cărora să se poată ascunde, doar o stâncă neagră de rău augur se vedea în depărtare.
- Acolo! - strigă Stella, arătând cu degetul spre aceeași stâncă.
Dar deodată, pe neașteptate, chiar în fața noastră, de undeva, a apărut o creatură, a cărei vedere ne-a înghețat literalmente sângele în vene... A apărut, parcă, „din aer” și a fost cu adevărat terifiant. ... Uriașa carcasă neagră era complet acoperită cu păr lung și rigid, făcându-l să arate ca un urs cu burtă, doar că acest „urs” era la fel de înalt ca o casă cu trei etaje... Capul accidentat al monstrului era „ căsătorit” cu două coarne uriașe curbate, și o pereche de colți incredibil de lungi, ascuțiți ca cuțitele, îi împodobeau gura cumplită, doar privind la care, de spaimă, picioarele cedau... Și apoi, surprinzându-ne nespus, monstrul cu ușurință. a sărit în sus și.... a ridicat „noroiul” zburător de pe unul dintre colții lui uriași... Am încremenit uluiți.
- Să fugim!!! țipă Stella. - Hai să alergăm cât e „ocupat”! ..
Și eram deja gata să ne grăbim din nou fără să ne uităm înapoi, când deodată se auzi o voce subțire în spatele nostru:
- Fetelor, stați! Nu e nevoie să fugi! .. Dean te-a salvat, nu este un dușman!
Ne-am întors brusc - o fetiță minusculă, foarte frumoasă, cu ochi negri, stătea în spate... și mângâia calm monstrul care s-a apropiat de ea! .. Ochii ni s-au surprins de surprindere... A fost incredibil! Cu siguranță – a fost o zi de surprize!.. Fata, privindu-ne, zâmbi amabil, deloc teamă de monstrul blănos care stătea în apropiere.
Te rog să nu-ți fie frică de el. El este foarte blând. Am văzut că Ovara te urmărea și am decis să ajutăm. Dean este un tip bun, a reușit la timp. Serios, bunul meu?
„Bine” toarcă, care a sunat ca un ușor cutremur și, aplecându-și capul, a lins fața fetei.
„Și cine este Owara și de ce ne-a atacat?” Am întrebat.
Ea atacă pe toată lumea, este un prădător. Și foarte periculos”, a răspuns fata calmă. „Pot să te întreb ce cauți aici?” Nu sunteți de aici, fetelor, nu?
- Nu, nu de aici. Doar mergeam. Dar aceeași întrebare pentru tine - ce cauți aici?
Mă duc la mama... - fetița s-a întristat. „Am murit împreună, dar din anumite motive ea a ajuns aici. Și acum locuiesc aici, dar nu-i spun asta, pentru că nu va fi niciodată de acord cu asta. Ea crede că tocmai vin...
„Nu este mai bine să vii?” E atât de groaznic aici! .. - Stella îşi zvâcni umerii.
„Nu pot să o las aici singură, o privesc ca să nu i se întâmple nimic. Și iată-l pe Dean cu mine... El mă ajută.
Pur și simplu nu-mi venea să cred... Această fetiță curajoasă și-a părăsit de bunăvoie „potajul” frumos și amabil pentru a trăi în această lume rece, teribilă și străină, protejându-și mama, care era foarte „vinovată” de ceva! Nu mulți, cred, ar fi fost atât de curajoși și dezinteresați (chiar și adulți!) Oameni care s-ar fi hotărât la o astfel de ispravă... Și m-am gândit imediat - poate că pur și simplu nu a înțeles la ce avea de gând să se condamne. ?!
- Și de cât timp ești aici, fato, dacă nu e un secret?
„Recent...” a răspuns tristă fetița cu ochi negri, trăgând cu degetele de șuvița neagră a părului creț. - Am intrat în asta lume frumoasă când a murit! .. Era atât de bun și de strălucitor! .. Și atunci am văzut că mama nu era cu mine și m-am repezit să o caute. La început a fost atât de înfricoșător! Dintr-un motiv oarecare, ea nu a fost găsită nicăieri... Și apoi am căzut în această lume teribilă... Și apoi am găsit-o. Eram atât de îngrozită aici... Atât de singură... Mama mi-a spus să plec, ba chiar m-a certat. Dar nu pot să o părăsesc... Acum am un prieten, bunul meu Decan, și pot exista cumva aici.
„Prietenul ei bun” a mârâit din nou, ceea ce a provocat pielea de găină uriașă „astrală inferior” în Stella și în mine... După ce m-am adunat, am încercat să mă calmez puțin și am început să privesc acest miracol blănos... Și el, simțindu-mă imediat că a observat, și-a dezvăluit îngrozitor gura cu colți... Am sărit înapoi.
- Oh, te rog nu te teme! El este cel care îți zâmbește, - a „liniștit” fata.
Da... Dintr-un asemenea zâmbet vei învăța să alergi repede... - mi-am zis.
„Dar cum s-a întâmplat să te împrietenești cu el?” întrebă Stella.
- Când am venit prima oară aici, mi-a fost foarte frică, mai ales când monștri ca tine au fost atacați astăzi. Și apoi, într-o zi, când aproape am murit, Dean m-a salvat de o grămadă de „păsări” zburătoare înfiorătoare. Mi-a fost și frică de el la început, dar apoi mi-am dat seama ce inimă de aur avea... El este cel mai cel mai bun prieten! Nu am avut niciodată așa ceva, chiar și când am trăit pe Pământ.
Cum te-ai obișnuit atât de repede? Aspectul lui nu este destul de familiar, să spunem...
- Și aici am înțeles un adevăr foarte simplu, pe care din anumite motive nu l-am observat pe Pământ - aspectul nu contează dacă o persoană sau o creatură are o inimă bună... Mama mea era foarte frumoasă, dar uneori și foarte supărată . Și apoi toată frumusețea ei a dispărut undeva... Și Dean, deși înfricoșător, este întotdeauna foarte amabil și întotdeauna mă protejează, îi simt bunătatea și nu mi-e frică de nimic. Te poți obișnui cu aspectul...
„Știi că vei fi aici foarte mult timp, mult mai mult decât trăiesc oamenii pe Pământ?” Chiar vrei să stai aici?
„Mama este aici, așa că trebuie să o ajut. Și când ea „pleacă” să trăiască din nou pe Pământ, voi pleca și eu... Unde este mai multă bunătate. În această lume teribilă, oamenii sunt foarte ciudați - de parcă nu ar trăi deloc. De ce este asta? Știi ceva despre asta?
- Și cine ți-a spus că mama ta va pleca să trăiască din nou? întrebă Stella.
Dean, desigur. Știe multe, locuiește aici de foarte mult timp. El a mai spus că atunci când noi (mama și cu mine) vom trăi din nou, familiile noastre vor fi diferite. Și atunci nu voi mai avea această mamă... De aceea vreau să fiu cu ea acum.
— Și cum vorbești cu el, cu decanul tău? întrebă Stella. — Și de ce nu vrei să ne spui numele tău?
Dar este adevărat – încă nu știam numele ei! Și de unde a venit ea - nici ei nu știau...
– Mă numesc Maria... Dar chiar contează aici?
- Sigur! Stella a râs. - Și cum să comunic cu tine? Când pleci, îți vor da un nou nume, dar cât vei fi aici, va trebui să trăiești cu cel vechi. Ai vorbit cu altcineva de aici, fata Maria? - Din obişnuinţă, sărind de la un subiect la altul, a întrebat Stella.
„Da, am făcut...”, spuse fetița nesigură. „Dar sunt atât de ciudați aici. Și atât de nenorociți... De ce sunt atât de nenorociți?
„Dar ceea ce vezi aici conduce la fericire?” Am fost surprins de întrebarea ei. – Chiar și „realitatea” locală în sine ucide orice speranță dinainte!... Cum să fii fericit aici?
- Nu știu. Când sunt cu mama, mi se pare că aș putea fi fericit și aici... Adevărat, este foarte înfricoșător aici și ei chiar nu-i place aici... Când am spus că am fost de acord să rămân cu ea, a țipat la mine și a spus că eu sunt „ghinionul ei fără creier”... Dar nu sunt jignit... Știu că e doar speriată. Ca si mine...
- Poate că a vrut doar să te salveze de la decizia ta „extremă” și a vrut doar să te întorci la „etajul” tău? - Cu grijă, ca să nu jignesc, întrebă Stella.
– Nu, desigur că nu... Dar mulțumesc pentru cuvintele tale amabile. Mama îmi spunea adesea nume nu prea bune, chiar și pe Pământ... Dar știu că asta nu este din răutate. Era doar nefericită pentru că m-am născut și îmi spunea adesea că i-am distrus viața. Dar nu a fost vina mea, nu-i așa? Am încercat întotdeauna să o fac fericită, dar din anumite motive nu am reușit cu adevărat... Dar nu am avut niciodată un tată. Maria era foarte tristă, iar vocea îi tremura, de parcă ar fi fost pe punctul de a plânge.
Stella și cu mine ne-am uitat una la cealaltă și eram aproape sigur că o vizitaseră gânduri similare... Deja îmi displăcea această „mamă” răsfățată și egoistă, care, în loc să-și facă griji pentru copilul ei însăși, nu-i păsa de eroismul său. sacrificiu deloc.Am înțeles și, în plus, m-am rănit mai dureros.
- Dar Dean spune că sunt bun, și că îl fac foarte fericit! - murmură fetița mai veselă. Și vrea să fie prieten cu mine. Iar ceilalți pe care i-am întâlnit aici sunt foarte reci și indiferenți, și uneori chiar supărați... Mai ales cei care au monștri atașați...
- Monștri - ce? .. - nu am înțeles.
„Ei bine, au monștri înfricoșători pe spate și le spun ce ar trebui să facă. Și dacă nu ascultă, monștrii își bat joc de ei îngrozitor... Am încercat să vorbesc cu ei, dar acești monștri nu mă lasă.
Nu am înțeles absolut nimic din această „explicație”, dar chiar faptul că unele ființe astrale torturează oamenii nu puteau rămâne „explorate” de noi, prin urmare, am întrebat-o imediat cum am putea vedea acest fenomen uimitor.
- O, peste tot! Mai ales la Muntele Negru. Iată-l, în spatele copacilor. Vrei să mergem și noi cu tine?
– Desigur, vom fi fericiți! – a răspuns imediat încântată Stella.
Sincer să fiu, nici nu am zâmbit cu adevărat la perspectiva de a mă întâlni cu altcineva, „înfiorător și de neînțeles”, mai ales singur. Dar interesul a învins frica și noi, bineînțeles, am fi plecat, în ciuda faptului că ne era puțin frică... Dar când un fundaș precum Dean era alături de noi, a devenit imediat mai distractiv...
Și acum, într-o clipă scurtă, în fața ochilor noștri larg deschiși s-a desfășurat cu uimire... lume... Desigur, nu era nebun, ci era pur și simplu un văzător care, dintr-un motiv oarecare, putea vedea doar Astralul inferior. Dar trebuie să-i dăm cuvenția - l-a portretizat superb... I-am văzut picturile într-o carte care se afla în biblioteca tatălui meu și mi-am amintit totuși acel sentiment teribil pe care îl aveau majoritatea picturilor lui...
- Ce groază! .. - șopti Stella șocată.
S-ar putea spune probabil că am văzut deja multe aici, pe „podele”... Dar nici măcar noi nu am putut să ne imaginăm așa ceva în cel mai teribil coșmar al nostru! .. În spatele „stâncii negre” s-a deschis ceva complet de neconceput. ... Arăta ca o „căldare” uriașă și plată săpată în stâncă, în fundul căreia clocotea „lavă” purpurie... Aerul fierbinte „a izbucnit” peste tot cu bule stranii și roșiatice sclipitoare, din care scăpau aburi opărțitori și a căzut în picături mari pe pământ, sau asupra oamenilor care au căzut sub el în acel moment... S-au auzit strigăte sfâșietoare, dar au tăcut imediat, în vreme ce cele mai dezgustătoare făpturi stăteau pe spatele acelorași oameni, care , cu o privire mulțumită, își „gestionau” victimele, fără să acorde nici cea mai mică atenție suferințelor lor... Sub picioarele goale ale oamenilor se înroșau pietrele înroșite, pământul roșu încins clocotea și se „topea”... înalt, evaporându-se cu o ceață ușoară... Și chiar în mijlocul „groapei” curgea un râu de foc, roșu strălucitor, larg, în care, din când în când, aceiași monștri dezgustători aruncau pe neașteptate una sau alta entitate chinuită, care , căzând, a provocat doar o stropire scurtă de scântei portocalii, apoi, transformându-se pentru o clipă într-un nor alb pufos, a dispărut... pentru totdeauna... A fost un adevărat Iad, iar eu și Stella am vrut să „dispărăm” de acolo cat mai repede...
- Ce o să facem? .. - șopti Stella îngrozită. - Vrei să mergi acolo jos? Putem face ceva pentru a-i ajuta? Uite cati sunt!...
Stăteam pe o stâncă negru-maro, uscată de căldură, urmărind „mizeria” durerii, deznădejdii și violenței care se întindea dedesubt, inundate de groază și ne simțeam atât de neputincios de neputincioși, încât până și Stella mea războinică și-a împăturit categoric de data aceasta ciufulit. aripi” și era gata la prima chemare să se grăbească la propriul „etaj” superior, atât de drag și de încredere...

Funcția exponențială a unei variabile reale (pentru teren pozitiv) se determină în mai multe etape. În primul rând, pentru valorile naturale - ca un produs al factorilor egali. Definiția este apoi extinsă la valori întregi negative și non-zero pentru prin reguli. În plus, sunt considerați indicatori fracționari, la care valoarea functie exponentiala determinată de rădăcini: . Pentru valorile iraționale, definiția este deja legată de conceptul de bază al analizei matematice - cu trecerea la limită, din motive de continuitate. Toate aceste considerații nu sunt în niciun caz aplicabile încercărilor de a extinde funcția exponențială la valorile complexe ale indicatorului și ceea ce, de exemplu, este complet de neînțeles.

Pentru prima dată, un grad cu un exponent complex cu bază naturală a fost introdus de Euler pe baza unei analize a unui număr de construcții ale calculului integral. Uneori, expresii algebrice foarte asemănătoare, atunci când sunt integrate, dau răspunsuri complet diferite:

În același timp, aici se obține formal a doua integrală din prima prin înlocuirea ei cu

Din aceasta putem concluziona că, cu o definire corectă a unei funcții exponențiale cu un exponent complex, funcțiile trigonometrice inverse sunt legate de logaritmi și astfel funcția exponențială este legată de funcțiile trigonometrice.

Euler a avut curajul și imaginația să dea o definiție rezonabilă pentru funcția exponențială cu bază, și anume,

Aceasta este o definiție și, prin urmare, această formulă nu este dovedită, se pot căuta doar argumente în favoarea caracterului rezonabil și oportunității unei astfel de definiții. Analiza matematică ofera o multime de argumente de acest gen. Ne vom limita la unul singur.

Se știe că în realitate, relația limită se ține: . În partea dreaptă există un polinom care are sens chiar și pentru valori complexe pentru . Limita unei secvențe de numere complexe este definită într-un mod natural. Se spune că o secvență converge dacă șirurile reale și părți imaginare si acceptat

Sa gasim . Pentru a face acest lucru, ne întoarcem la forma trigonometrică, iar pentru argument vom alege valori din intervalul . Cu această alegere, este clar că pentru . Mai departe,

Pentru a trece la limită, trebuie să verificați existența limitelor pentru și și să găsiți aceste limite. Este clar că și

Deci în expresie

partea reală tinde spre , imaginarul - la astfel încât

Acest argument simplu oferă unul dintre argumentele în favoarea definiției lui Euler a funcției exponențiale.

Să stabilim acum că atunci când înmulțim valorile funcției exponențiale, exponenții se adună. Într-adevăr:

2. Formule Euler.

Introducem în definiția funcției exponențiale . Primim:

Înlocuind b cu -b, obținem

Adunând și scăzând aceste egalități termen cu termen, găsim formulele

numite formule lui Euler. Ele stabilesc o legătură între funcțiile trigonometrice și exponențiale cu exponenții imaginari.

3. Logaritmul natural al unui număr complex.

Un număr complex dat în formă trigonometrică poate fi scris sub forma Această formă de scriere a unui număr complex se numește exponențială. Ea păstrează toate proprietățile bune ale formei trigonometrice, dar este și mai concis. În plus, prin urmare, este firesc să presupunem că astfel partea reală a logaritmului unui număr complex este logaritmul modulului său, iar partea imaginară este argumentul său. Aceasta explică într-o oarecare măsură proprietatea „logaritmică” a argumentului - argumentul produsului este egal cu suma argumentelor factorilor.

funcţie logaritmică

O funcție logaritmică este o funcție de forma f(x) = logax, definită pentru

Domeniu: . Interval de valori: . Funcția este strict crescătoare pentru a > 1 și strict descrescătoare pentru 0< a < 1. График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0). Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Linia x = 0 este asimptota verticală stângă, deoarece pentru a > 1 și pentru 0< a < 1.

Derivata functiei logaritmice este:

Funcția logaritmică implementează un izomorfism între grupul multiplicativ al numerelor reale pozitive și grupul aditiv al tuturor numerelor reale.

Logaritm complex

Definiție și proprietăți

Pentru numerele complexe, logaritmul este definit în același mod ca și cel real. În practică, se folosește aproape exclusiv logaritmul complex natural, pe care îl notăm și îl definim ca mulțime a tuturor numerelor complexe z astfel încât ez = w. Logaritmul complex există pentru oricine, iar partea sa reală este determinată în mod unic, în timp ce imaginarul are un număr infinit de valori. Din acest motiv, se numește funcție cu mai multe valori. Dacă reprezentăm w în formă exponențială:

atunci logaritmul se găsește prin formula:

Aici -- logaritm real, r = | w | , k este un întreg arbitrar. Valoarea obținută când k = 0 se numește valoarea principală a logaritmului natural complex; se obișnuiește să se ia valoarea argumentului din el în intervalul (? p, p). Funcția corespunzătoare (deja cu o singură valoare) se numește ramura principală a logaritmului și se notează. Uneori valoarea logaritmului care nu se întinde pe ramura principală este de asemenea notat cu.

Din formula urmează:

Partea reală a logaritmului este determinată de formula:

Logaritmul unui număr negativ se găsește prin formula.