/

Logaritmul unui număr complex. Logaritm - proprietăți, formule, grafic

Dovada formulei .

=

= =

întrucât sinusul și cosinusul nu depind de adăugarea unui unghi care este multiplu al

Și această egalitate este deja evidentă, deoarece aceasta este forma trigonometrică număr complex.

Astfel, logaritmul există pentru toate punctele din plan, cu excepția zero. Pentru valabil număr pozitiv, argumentul este 0, deci această mulțime infinită de puncte are forma , adică una dintre valori, și anume, la , va cădea pe axa reală. Dacă calculăm logaritmul unui număr negativ, obținem , adică setul de puncte este deplasat în sus și niciunul dintre ele nu cade pe axa reală.

Din formula se poate observa că numai atunci când argumentul numărului inițial este zero, una dintre valorile logaritmului cade pe axa reală. Și aceasta corespunde semiaxei drepte, și de aceea în cursul matematicii școlare au fost luate în considerare doar logaritmii numerelor pozitive. Există și logaritmii numerelor negative și imaginare, dar nu au o singură valoare pe axa reală.

Următorul desen arată unde în plan sunt situate toate valorile logaritmului unui număr pozitiv. Unul dintre ele se află pe axa reală, restul sunt deasupra și dedesubt cu , și așa mai departe. Pentru un număr negativ sau complex, argumentul este diferit de zero, astfel încât această secvență de puncte este deplasată vertical, rezultând niciun punct pe axa reală.

Exemplu. Calculati .

Soluţie. Să definim modulul numărului (egal cu 2) și argumentul 180 0 , adică . Apoi = .


Anexa 1. Întrebări pentru dovezi (pentru bilete).

Prelegerea #1

1. Demonstrați formula pentru integrarea pe părți.

Prelegerea #2

1. Demonstrați că înlocuirea , unde r = LCM (r 1 ,...,r k) reduce integrala

2. Demonstrați că substituția reduce integrala formei la integrala unei fracții raționale.

3. Deduceți formulele de transformare pentru sinus și cosinus

Pentru schimbarea trigonometrică universală .

4. Demonstrați că în cazul în care funcția este impară față de cosinus, înlocuirea reduce integrala la o fracție rațională.

5. Demonstrați că în cazul în care

înlocuire: reduce integrala la o fracție rațională.

6. Demonstrați că pentru o integrală a formei

7. Demonstrați formula

8. Demonstrați că pentru o integrală a formei înlocuirea are propria sa integrală la o fracție rațională.

9. Demonstrați că pentru o integrală a formei înlocuirea reduce integrala la o fracție rațională.

Prelegerea #3

1. Demonstrați că funcția este antiderivata functiei .

2. Demonstrați formula Newton-Leibniz: .

3. Demonstrați formula pentru lungimea unei curbe date explicit:

.

4. Demonstrați formula pentru lungimea unei curbe dată în coordonate polare

Prelegerea #4

Demonstrați teorema: converge, converge.

Prelegerea #5

1. Deduceți (demonstrați) formula zonei în mod explicit suprafata data .

2. Derivarea formulelor pentru trecerea la coordonatele polare.

3. Derivarea determinantului Jacobi al coordonatelor polare.

4. Derivarea formulelor pentru trecerea la coordonatele cilindrice.

5. Derivarea determinantului Jacobi coordonate cilindrice.

6. Derivarea formulelor pentru trecerea la coordonatele sferice:

.

Prelegerea #6

1. Demonstrați că înlocuirea reduce ecuația omogenă la o ecuație cu variabile separabile.

2. Retragere forma generala liniar ecuație omogenă.

3. Obțineți o vedere generală a soluției liniarului ecuație neomogenă prin metoda Lagrange.

4. Demonstrați că înlocuirea reduce ecuația lui Bernoulli la o ecuație liniară.

Cursul numărul 7.

1. Demonstrați că înlocuirea scade ordinea ecuației cu k.

2. Demonstrați că înlocuirea scade ordinea ecuației cu unu .

3. Demonstrați teorema: Funcția este o soluție a unei ecuații diferențiale liniare omogene și are o rădăcină caracteristică.

4. Demonstrați teorema că combinație liniară soluții ale unui dif liniar omogen. ecuația este și soluția ei.

5. Demonstrați teorema privind impunerea soluțiilor: Dacă este soluția unei ecuații diferențiale liniare neomogene cu partea dreaptă și este soluția aceleiași ecuații diferențiale, dar cu partea dreaptă, atunci suma este soluția a ecuației cu partea dreaptă.

Cursul numărul 8.

1. Demonstrați teorema că sistemul de funcții este dependent liniar.

2. Demonstrați teorema că există n soluții liniar independente ale unei ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul n.

3. Demonstrați că dacă 0 este o rădăcină a multiplicității , atunci sistemul de soluții corespunzător acestei rădăcini are forma .

Cursul numărul 9.

1. Demonstrați folosind forma exponențială că la înmulțirea numerelor complexe se înmulțesc modulele și se adună argumentele.

2. Demonstrați formula lui De Moivre pentru gradul n

3. Demonstrați formula pentru rădăcina de ordin n a unui număr complex

.

4. Demonstrează că Și

sunt generalizări ale sinusului și cosinusului, i.e. pentru numere reale conform acestor formule se va obtine un sinus (cosinus).

5. Demonstrați formula pentru logaritmul unui număr complex:


Anexa 2

Întrebări mici și orale despre cunoașterea teoriei (pentru colocvii).

Prelegerea #1

1. Ce este un antiderivat și integrală nedefinită, Care este diferența?

2. Explicați de ce este și antiderivat.

3. Scrieți o formulă de integrare pe părți.

4. Ce înlocuire este necesară în forma integrală și cum elimină rădăcinile?

5. Scrieți tipul de expansiune al integrandului unei fracții raționale în cele mai simple în cazul în care toate rădăcinile sunt diferite și reale.

6. Scrieți tipul de expansiune al integranților fracțiilor raționale în fracții simple în cazul în care toate rădăcinile sunt reale și există o rădăcină multiplă a multiplicității k.

Cursul numărul 2.

1. Scrieți care este descompunerea unei fracții raționale în cele mai simple în cazul în care numitorul are un factor de 2 grade cu discriminant negativ.

2. Care înlocuire reduce integrala la o fracție rațională?

3. Ce este o substituție trigonometrică universală?

4. Ce înlocuiri se fac în cazurile în care funcția sub semnul integral este impară față de sinus (cosinus)?

5. Ce substituții se fac dacă integrandul conține expresiile , , sau .

Cursul numărul 3.

1. Definiția unei integrale determinate.

2. Enumeraţi câteva dintre principalele proprietăţi ale integralei definite.

3. Scrieți formula Newton-Leibniz.

4. Scrieți formula pentru volumul unui corp de revoluție.

5. Scrieți formula pentru lungimea unei curbe explicite.

6. Scrieți formula lungimii unei curbe parametrice.

Cursul numărul 4.

1. Definirea unei integrale improprie (cu ajutorul unei limite).

2. Care este diferența dintre integralele improprie de primul și al doilea fel.

3. Dați exemple simple de integrale convergente de primul și al doilea fel.

4. Pentru care converg integralele (T1).

5. Cum este legată convergența de limita finită a antiderivatei (T2)

6. Ce este caracteristică necesară convergenţa, formularea ei.

7. Semn de comparație în forma finală

8. Test de comparatie in forma limitativa.

9. Definirea unei integrale multiple.

Cursul numărul 5.

1. Schimbarea ordinii de integrare, arătați în cel mai simplu exemplu.

2. Scrieți formula pentru suprafața.

3. Ce este coordonate polare, scrieți formule de tranziție.

4. Care este jacobianul sistemului de coordonate polare?

5. Care sunt coordonatele cilindrice și sferice, care este diferența lor.

6. Care este iacobianul coordonatelor cilindrice (sferice).

Cursul numărul 6.

1. Ce este o ecuație diferențială de ordinul 1 (vedere generală).

2. Ce este o ecuație diferențială de ordinul I, rezolvată în raport cu derivata. Dați un exemplu.

3. Ce este o ecuație cu variabile separabile.

4. Care este o soluție generală, particulară, condiții Cauchy.

5. Ce este o ecuație omogenă, care este metoda generală de rezolvare a acesteia.

6. Ce este ecuație liniară, care este algoritmul de rezolvare, care este metoda Lagrange.

7. Care este ecuația lui Bernoulli, algoritmul de rezolvare a acesteia.

Cursul numărul 7.

1. Ce înlocuire este necesară pentru o ecuație de forma .

2. Ce înlocuire este necesară pentru o ecuație de formă .

3. Arată cu exemple cum poate fi exprimat ca .

4. Ce este o ecuație diferențială liniară de ordinul n.

5. Ce este polinom caracteristic, ecuația caracteristică.

6. Formulați o teoremă pe care r funcția este o soluție a unei ecuații diferențiale liniare omogene.

7. Formulați o teoremă conform căreia o combinație liniară de soluții a unei ecuații liniare omogene este și soluția ei.

8. Formulați teorema de impunere a soluției și corolarele acesteia.

9. Care sunt sistemele de funcții liniar dependente și liniar independente, dați câteva exemple.

10. Care este determinantul Wronsky al unui sistem de n funcții, dați un exemplu de determinant Wronsky pentru sistemele LZS și LNS.

Cursul numărul 8.

1. Ce proprietate are determinantul Wronsky dacă sistemul este o funcție dependentă liniar.

2. Câte soluții liniar independente ale unei ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul n există.

3. Definiția FSR ( sistem fundamental soluții) unei ecuații liniare omogene de ordinul n.

4. Câte funcții sunt conținute în SRF?

5. Notați forma sistemului de ecuații pentru găsirea prin metoda Lagrange pentru n=2.

6. Notați tipul de soluție particulară în cazul în care

7. Ce este un sistem liniar ecuatii diferentiale scrie un exemplu.

8. Ce este un sistem autonom de ecuații diferențiale.

9. sens fizic sisteme de ecuații diferențiale.

10. Notați în ce funcții constă FSR-ul unui sistem de ecuații dacă sunt cunoscute valorile proprii și vectorii proprii ai matricei principale a acestui sistem.

Cursul numărul 9.

1. Ce este o unitate imaginară.

2. Ce este un număr conjugat și ce se întâmplă când este înmulțit cu originalul.

3. Care este forma trigonometrică, exponențială a unui număr complex.

4. Scrieți formula lui Euler.

5. Care este modulul, argumentul unui număr complex.

6. ce se întâmplă cu modulele și argumentele în timpul înmulțirii (împărțirii).

7. Scrieți formula lui De Moivre pentru gradul n.

8. Scrieți formula pentru rădăcina ordinului n.

9. Scrieți formulele generalizate de sinus și cosinus pentru argumentul complex.

10. Scrieți formula pentru logaritmul unui număr complex.


Anexa 3. Sarcini de la prelegeri.

Prelegerea #1

Exemplu. . Exemplu. .

Exemplu. . Exemplu. .

Exemplu. Exemplu. .

Exemplu. . Exemplu. .

Prelegerea #2

Exemplu. . Exemplu. .

Exemplu. . Exemplu. .

Exemplu. . Exemplu.. , unde, număr .

Exemplu. Distribuie forma indicativa.

Exemplu. Găsiți după formula lui De Moivre.

Exemplu. Găsiți toate valorile rădăcină.

Definiție și proprietăți

Complexul zero nu are logaritm deoarece exponentul complex nu ia valoare zero. diferit de zero texvc poate fi reprezentat în formă exponențială:

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): z=r \cdot e^(i (\varphi + 2 \pi k))\;\;, Unde Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): k- întreg arbitrar

Apoi Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \mathrm(Ln)\,z se gaseste dupa formula:

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor pentru reglare.): \mathrm(Ln)\,z = \ln r + i \left(\varphi + 2 \pi k \right)

Aici Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): \ln\,r= \ln\,|z| este logaritmul real. Din aceasta rezultă:

Din formula se poate observa că una și numai una dintre valori are o parte imaginară în interval Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc . Această valoare este numită importanta principala logaritm natural complex. Funcția corespunzătoare (deja cu o singură valoare) este apelată ramura principală logaritm și se notează Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \ln\,z. Uneori prin Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \ln\, z denotă, de asemenea, valoarea logaritmului care nu se află pe ramura principală. Dacă Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): z este un număr real, atunci valoarea principală a logaritmului său coincide cu logaritmul real obișnuit.

De asemenea, din formula de mai sus rezultă că partea reală a logaritmului este determinată după cum urmează prin componentele argumentului:

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru configurare.): \operatorname(Re)(\ln(x+iy)) = \frac(1)(2) \ln(x^2+y^2)

Figura arată că partea reală în funcție de componente este simetrică central și depinde doar de distanța până la origine. Se obține prin rotirea graficului logaritmului real în jurul axei verticale. Pe măsură ce se apropie de zero, funcția tinde să Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): -\infty.

Logaritmul unui număr negativ se găsește prin formula:

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor pentru reglare.): \mathrm(Ln) (-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x>0,\ k = 0, \pm 1 , \ pm2\puncte)

Exemple de valori logaritmice complexe

Oferim valoarea principală a logaritmului ( Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): \ln) și expresia sa generală ( Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor pentru configurare.): \mathrm(Ln)) pentru unele argumente:

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): \ln (1) = 0;\; \mathrm(Ln) (1) = 2k\pi i Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): \ln (-1) = i \pi;\; \mathrm(Ln) (-1) = (2k+1)i \pi Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \ln (i) = i \frac(\pi) (2);\; \mathrm(Ln) (i) = i \frac(4k+1)(2) \pi

Ar trebui să fiți atenți când convertiți logaritmi complecși, ținând cont de faptul că aceștia sunt multivalori și, prin urmare, egalitatea logaritmilor oricăror expresii nu implică egalitatea acestor expresii. Exemplu eronat raţionament:

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): i\pi = \ln(-1) = \ln((-i)^2) = 2\ln(-i) = 2(-i\pi/2 ) = -i\pi este o eroare evidentă.

Rețineți că valoarea principală a logaritmului este în stânga, iar valoarea din ramura subiacentă este în dreapta ( Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): k=-1). Motivul erorii este utilizarea neglijentă a proprietății Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor pentru configurare.): \log_a((b^p)) = p~\log_a b, care, în general, implică în cazul complex întregul set infinit de valori ale logaritmului, și nu doar valoarea principală.

Funcția logaritmică complexă și suprafața Riemann

În virtutea faptului că este pur și simplu conectată, suprafața Riemann a logaritmului este o acoperire universală pentru planul complex fără punct Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc .

Continuare analitică

Logaritmul unui număr complex poate fi definit și ca continuarea analitică a logaritmului real la întregul plan complex. Lasă curba Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc începe de la unu, nu trece prin zero și nu traversează partea negativă a axei reale. Apoi valoarea principală a logaritmului la punctul final Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): w strâmb Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \Gamma poate fi determinat prin formula:

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor pentru configurare.): \ln z = \int\limits_\Gamma (du \over u)

Dacă Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \Gamma- o curbă simplă (fără auto-intersecții), apoi pentru numerele care se află pe ea, identitățile logaritmice pot fi aplicate fără teamă, de exemplu:

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): \ln (wz) = \ln w + \ln z, ~\forall z,w\in\Gamma\colon zw\in \Gamma

Ramura principală a funcției logaritmice este continuă și diferențiabilă pe întregul plan complex, cu excepția părții negative a axei reale, pe care sare în partea imaginară. Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): 2\pi. Dar acest fapt este o consecință a limitării artificiale a părții imaginare a valorii principale de către interval Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematică/README pentru ajutor pentru configurare.): (-\pi, \pi]. Dacă luăm în considerare toate ramurile funcției, atunci continuitatea are loc în toate punctele cu excepția zero, unde funcția nu este definită. Dacă se permite curba Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \Gamma traversează partea negativă a axei reale, apoi prima astfel de intersecție transferă rezultatul de la ramura valorii principale la ramura vecină, iar fiecare intersecție ulterioară provoacă o deplasare similară de-a lungul ramurilor funcției logaritmice (vezi figura).

Din formula de continuare analitică rezultă că pe orice ramură a logaritmului:

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru configurare.): \frac(d)(dz) \ln z = (1\peste z)

Pentru orice cerc Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): S anexând punctul Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): 0 :

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \oint\limits_S (dz \over z) = 2\pi i

Integrala este luată în sens pozitiv (în sens invers acelor de ceasornic). Această identitate stă la baza teoriei reziduurilor.

De asemenea, se poate defini continuarea analitică a logaritmului complex folosind seria cunoscută pentru cazul real:

Totuși, din forma acestor serii rezultă că la unitate suma seriei este egală cu zero, adică seria se referă doar la ramura principală a funcției multivalorice a logaritmului complex. Raza de convergență a ambelor serii este 1.

Relația cu funcțiile trigonometrice și hiperbolice inverse

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \operatorname(Arcsin) z = -i \operatorname(Ln) (i z + \sqrt(1-z^2)) Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): \operatorname(Arccos) z = -i \operatorname(Ln) (z + i\sqrt(1-z^2)) Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \operatorname(Arctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(1+z i)(1-z i) + k \pi \; (z \ne \pm i) Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \operatorname(Arcctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(z i-1)(z i+1) + k \pi \; (z \ne \pm i) Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): \operatorname(Arsh)z = \operatorname(Ln)(z+\sqrt(z^2+1))- sinus hiperbolic invers Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): \operatorname(Arch)z=\operatorname(Ln) \left(z+\sqrt(z^(2)-1) \right)- cosinus hiperbolic invers Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru configurare.): \operatorname(Arth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(1+z)(1-z)\right)- tangenta hiperbolica inversa Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru configurare.): \operatorname(Arcth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(z+1)(z-1)\right)- cotangentă hiperbolică inversă

Contur istoric

Primele încercări de a extinde logaritmii la numere complexe au fost făcute la începutul secolelor XVII-XVIII de către Leibniz și Johann Bernoulli, dar nu au reușit să creeze o teorie holistică - în primul rând din cauza faptului că însuși conceptul de logaritm nu era încă clar. definit. Discuția pe acest subiect a avut loc mai întâi între Leibniz și Bernoulli, iar la mijlocul secolului al XVIII-lea între d'Alembert și Euler. Bernoulli și d'Alembert credeau că este necesar să se definească Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru configurare.): \log(-x) = \log(x), în timp ce Leibniz a susținut că logaritmul unui număr negativ este număr imaginar. Teorie completă logaritmii numerelor negative și complexe a fost publicat de Euler în 1747-1751 și nu este în esență diferit de cel modern. Deși controversa a continuat (d'Alembert și-a apărat punctul de vedere și l-a argumentat în detaliu într-un articol din Enciclopedia sa și în alte lucrări), abordarea lui Euler până la sfârșitul secolului al XVIII-lea a primit recunoaștere universală.

Scrieți o recenzie la articolul „Logaritm complex”

Literatură

Teoria logaritmilor
  • Korn G., Korn T.. - M .: Nauka, 1973. - 720 p.
  • Sveșnikov A. G., Tihonov A. N. Teoria funcțiilor unei variabile complexe. - M .: Nauka, 1967. - 304 p.
  • Fikhtengolts G. M. Curs de calcul diferențial și integral. - ed. al 6-lea. - M .: Nauka, 1966. - 680 p.
Istoria logaritmilor
  • Matematica secolului al XVIII-lea // / Editat de A.P. Yushkevich, în trei volume. - M .: Nauka, 1972. - T. III.
  • Kolmogorov A. N., Iuşkevici A. P. (ed.). Matematica secolului al XIX-lea. Geometrie. Teoria funcţiilor analitice. - M .: Nauka, 1981. - T. II.

Note

  1. funcţie logaritmică. // . - M .: Enciclopedia Sovietică, 1982. - T. 3.
  2. , Volumul II, p. 520-522..
  3. , din. 623..
  4. , din. 92-94..
  5. , din. 45-46, 99-100..
  6. Boltyansky V. G., Efremovici V. A.. - M .: Nauka, 1982. - S. 112. - (Biblioteca cuantică, numărul 21).
  7. , Volumul II, p. 522-526..
  8. , din. 624..
  9. , din. 325-328..
  10. Rybnikov K. A. Istoria matematicii. În două volume. - M .: Ed. Universitatea de Stat din Moscova, 1963. - T. II. - S. 27, 230-231 ..
  11. , din. 122-123..
  12. Klein F.. - M .: Nauka, 1987. - T. II. Geometrie. - S. 159-161. - 416 p.

Un fragment care caracterizează logaritmul complex

Din groaza sălbatică care ne-a cuprins, ne-am repezit ca gloanțele printr-o vale largă, fără să ne gândim măcar că am putea merge rapid la un alt „etajul”... Pur și simplu nu am avut timp să ne gândim la asta - ne-am speriat prea mult.
Creatura a zburat chiar deasupra noastră, zburând zgomotos cu ciocul său căscat, cu dinți, și ne-am repezit cât am putut, împroșcând spray-uri sclipitoare în lateral și rugându-ne mental ca altceva să intereseze brusc această teribilă „pasăre minune”... S-a simțit că este mult mai rapid și pur și simplu nu am avut nicio șansă să ne despărțim de el. Ca rău, nu creștea un singur copac în apropiere, nu erau tufișuri, nici măcar pietre în spatele cărora să se poată ascunde, doar o stâncă neagră de rău augur se vedea în depărtare.
- Acolo! - strigă Stella, arătând cu degetul spre aceeași stâncă.
Dar dintr-o dată, pe neașteptate, chiar în fața noastră, a apărut de undeva o creatură, a cărei vedere ne-a înghețat literalmente sângele în vene... A apărut, parcă, „direct din aer” și a fost cu adevărat terifiant. .. Uriașa carcasă neagră era complet acoperită cu păr lung și rigid, făcându-l să arate ca un urs cu burtă, doar că acest „urs” era înalt ca o casă cu trei etaje... Capul accidentat al monstrului era „căsătorit ” cu două coarne uriașe curbate, și o pereche de colți incredibil de lungi, ascuțiți ca cuțitele, îi împodobeau gura cumplită, doar privind la care, cu o sperietură, picioarele cedau... Și apoi, surprinzându-ne nespus, monstrul cu ușurință. a sărit în sus și.... a ridicat „noroiul” zburător de pe unul dintre colții lui uriași... Am încremenit uluiți.
- Să fugim!!! țipă Stella. - Hai să alergăm cât e „ocupat”! ..
Și eram deja gata să ne grăbim din nou fără să ne uităm înapoi, când deodată o voce subțire se auzi în spatele nostru:
- Fetelor, stați! Nu e nevoie să fugi! .. Dean te-a salvat, nu este un dușman!
Ne-am întors brusc - o fetiță minusculă, foarte frumoasă, cu ochi negri, stătea în spate... și mângâia calm monstrul care s-a apropiat de ea! .. Ochii ni s-au surprins de surprindere... A fost incredibil! Cu siguranță – a fost o zi de surprize!.. Fata, privindu-ne, zâmbi amabil, deloc teamă de monstrul blănos care stătea în apropiere.
Te rog să nu-ți fie frică de el. El este foarte blând. Am văzut că Ovara te urmărea și am decis să ajutăm. Dean este un tip bun, a reușit la timp. Serios, bunul meu?
„Bine” toarcă, care a sunat ca un ușor cutremur și, aplecându-și capul, a lins fața fetei.
„Și cine este Owara și de ce ne-a atacat?” Am întrebat.
Ea atacă pe toată lumea, este un prădător. Și foarte periculos”, a răspuns fata calmă. „Pot să te întreb ce cauți aici?” Nu sunteți de aici, fetelor, nu?
- Nu, nu de aici. Doar mergeam. Dar aceeași întrebare pentru tine - ce cauți aici?
Mă duc la mama... - fetița s-a întristat. „Am murit împreună, dar din anumite motive ea a ajuns aici. Și acum locuiesc aici, dar nu-i spun asta, pentru că nu va fi niciodată de acord cu asta. Ea crede că tocmai vin...
„Nu este mai bine să vii?” E atât de groaznic aici! .. - Stella îşi zvâcni umerii.
„Nu pot să o las aici singură, o privesc ca să nu i se întâmple nimic. Și iată-l pe Dean cu mine... El mă ajută.
Pur și simplu nu-mi venea să cred... Această fetiță curajoasă și-a părăsit de bunăvoie „potajul” frumos și amabil pentru a trăi în această lume rece, teribilă și străină, protejându-și mama, care era foarte „vinovată” de ceva! Nu mulți, cred, ar fi fost atât de curajoși și dezinteresați (chiar și adulți!) Oameni care s-ar fi hotărât la o astfel de ispravă... Și m-am gândit imediat - poate că pur și simplu nu a înțeles la ce avea de gând să se condamne. ?!
- Și de cât timp ești aici, fato, dacă nu e un secret?
„Recent...”, a răspuns tristă fetița cu ochi negri, trăgând cu degetele de șuvița neagră a părului ei creț. - Am intrat în asta lume frumoasă când a murit! .. Era atât de bun și de strălucitor! .. Și atunci am văzut că mama nu era cu mine și m-am repezit să o caute. La început a fost atât de înfricoșător! Dintr-un motiv oarecare, ea nu a fost găsită nicăieri... Și apoi am căzut în această lume teribilă... Și apoi am găsit-o. Eram atât de îngrozită aici... Atât de singură... Mama mi-a spus să plec, ba chiar m-a certat. Dar nu pot să o părăsesc... Acum am un prieten, bunul meu Decan, și pot să exist cumva aici.
„Prietenul ei bun” a mârâit din nou, ceea ce a provocat pielea de găină uriașă „astrală inferior” în Stella și în mine... După ce m-am adunat, am încercat să mă calmez puțin și am început să privesc acest miracol blănos... Și el, simțindu-mă imediat că a observat, și-a scos îngrozitor gura cu colți... Am sărit înapoi.
- Oh, te rog nu te teme! El este cel care îți zâmbește, - a „liniștit” fata.
Da... Dintr-un asemenea zâmbet vei învăța să alergi repede... - mi-am zis.
„Dar cum s-a întâmplat să te împrietenești cu el?” întrebă Stella.
- Când am venit prima oară aici, mi-a fost foarte frică, mai ales când monștri ca tine au fost atacați astăzi. Și apoi, într-o zi, când aproape am murit, Dean m-a salvat de o grămadă de „păsări” zburătoare înfiorătoare. Mi-a fost și frică de el la început, dar apoi mi-am dat seama ce inimă de aur avea... El este cel mai cel mai bun prieten! Nu am avut niciodată așa ceva, chiar și când am trăit pe Pământ.
Cum te-ai obișnuit atât de repede? Aspectul lui nu este destul de familiar, să spunem...
- Și aici am înțeles un adevăr foarte simplu, pe care din anumite motive nu l-am observat pe Pământ - aspectul nu contează dacă o persoană sau o creatură are o inimă bună... Mama mea era foarte frumoasă, dar uneori și foarte supărată . Și apoi toată frumusețea ei a dispărut undeva... Și Dean, deși înfricoșător, este întotdeauna foarte amabil și întotdeauna mă protejează, îi simt bunătatea și nu mi-e frică de nimic. Te poți obișnui cu aspectul...
„Știi că vei fi aici foarte mult timp, mult mai mult decât trăiesc oamenii pe Pământ?” Chiar vrei să stai aici?
„Mama este aici, așa că trebuie să o ajut. Și când ea „pleacă” să trăiască din nou pe Pământ, voi pleca și eu... Unde este mai multă bunătate. În această lume teribilă, oamenii sunt foarte ciudați - de parcă nu ar trăi deloc. De ce este asta? Știi ceva despre asta?
- Și cine ți-a spus că mama ta va pleca să trăiască din nou? întrebă Stella.
Dean, desigur. Știe multe, locuiește aici de foarte mult timp. El a mai spus că atunci când noi (mama și cu mine) vom trăi din nou, familiile noastre vor fi diferite. Și atunci nu voi mai avea această mamă... De aceea vreau să fiu cu ea acum.
— Și cum vorbești cu el, cu decanul tău? întrebă Stella. — Și de ce nu vrei să ne spui numele tău?
Dar este adevărat – încă nu știam numele ei! Și de unde a venit ea - nici ei nu știau...
– Mă numesc Maria... Dar chiar contează aici?
- Sigur! Stella a râs. - Și cum să comunic cu tine? Când pleci, îți vor da un nou nume, dar cât vei fi aici, va trebui să trăiești cu cel vechi. Ai vorbit cu altcineva de aici, fata Maria? - Din obişnuinţă, sărind de la un subiect la altul, a întrebat Stella.
„Da, am făcut...”, spuse fetița nesigură. „Dar sunt atât de ciudați aici. Și atât de nenorociți... De ce sunt atât de nenorociți?
„Dar ceea ce vezi aici conduce la fericire?” Am fost surprins de întrebarea ei. – Chiar și „realitatea” locală în sine ucide orice speranță dinainte!... Cum să fii fericit aici?
- Nu știu. Când sunt cu mama, mi se pare că aș putea fi fericit și aici... Adevărat, este foarte înfricoșător aici și ei chiar nu-i place aici... Când am spus că am fost de acord să rămân cu ea, a țipat la mine și a spus că eu sunt „ghinionul ei fără creier”... Dar nu sunt jignit... Știu că e doar speriată. Ca si mine...
- Poate că a vrut doar să te salveze de la decizia ta „extremă” și a vrut doar să te întorci la „etajul” tău? - Cu grijă, ca să nu jignesc, întrebă Stella.
– Nu, desigur că nu... Dar mulțumesc pentru cuvintele tale amabile. Mama îmi spunea adesea nume nu prea bune, chiar și pe Pământ... Dar știu că asta nu este din răutate. Era doar nefericită pentru că m-am născut și îmi spunea adesea că i-am distrus viața. Dar nu a fost vina mea, nu-i așa? Am încercat întotdeauna să o fac fericită, dar din anumite motive nu am reușit cu adevărat... Dar nu am avut niciodată un tată. Maria era foarte tristă, iar vocea îi tremura, de parcă ar fi fost pe punctul de a plânge.
Eu și Stella ne-am uitat una la cealaltă și eram aproape sigur că o vizitaseră gânduri similare... Deja îmi displăcea cu adevărat această „mamă” răsfățată și egoistă, care, în loc să-și facă griji însăși pentru copilul ei, nu-i păsa de eroismul său. sacrificiu deloc.Am înțeles și, în plus, m-am rănit mai dureros.
- Dar Dean spune că sunt bun, și că îl fac foarte fericit! - murmură fetița mai veselă. Și vrea să fie prieten cu mine. Iar ceilalți pe care i-am întâlnit aici sunt foarte reci și indiferenți, și uneori chiar supărați... Mai ales cei care au monștri atașați...
- Monștri - ce? .. - nu am înțeles.
„Ei bine, au monștri înfricoșători pe spate și le spun ce ar trebui să facă. Și dacă nu ascultă, monștrii își bat joc de ei îngrozitor... Am încercat să vorbesc cu ei, dar acești monștri nu mă lasă.
Nu am înțeles absolut nimic din această „explicație”, dar însuși faptul că unele ființe astrale torturează oamenii nu puteau rămâne „explorate” de noi, prin urmare, am întrebat-o imediat cum am putea vedea acest fenomen uimitor.
- O, peste tot! Mai ales la Muntele Negru. Iată-l, în spatele copacilor. Vrei să mergem și noi cu tine?
– Desigur, vom fi fericiți! – a răspuns imediat încântată Stella.
Sincer să fiu, nici nu am zâmbit cu adevărat la perspectiva de a mă întâlni cu altcineva, „înfiorător și de neînțeles”, mai ales singur. Dar interesul a învins frica și noi, bineînțeles, am fi plecat, în ciuda faptului că ne era puțin frică... Dar când un fundaș precum Dean era alături de noi, a devenit imediat mai distractiv...
Și acum, într-o clipă scurtă, în fața ochilor noștri larg deschiși s-a desfășurat cu uimire... lume... Desigur, nu era nebun, ci era pur și simplu un văzător care, dintr-un motiv oarecare, putea vedea doar Astralul inferior. Dar trebuie să-i dăm cuvenția - l-a portretizat superb... I-am văzut picturile într-o carte care se afla în biblioteca tatălui meu și mi-am amintit totuși acel sentiment teribil pe care îl aveau majoritatea picturilor lui...
- Ce groază! .. - șopti Stella șocată.
S-ar putea spune probabil că am văzut deja multe aici, pe „podele”... Dar nici măcar noi nu am putut să ne imaginăm așa ceva în cel mai teribil coșmar al nostru! .. În spatele „stâncii negre” s-a deschis ceva complet de neconceput. ... Arăta ca o „căldare” uriașă și plată săpată în stâncă, în fundul căreia clocotea „lavă” purpurie... Aerul fierbinte „a izbucnit” peste tot cu bule stranii și roșiatice sclipitoare, din care scăpau aburi opărțitori și a căzut în picături mari pe pământ, sau asupra oamenilor care au căzut sub el în acel moment... S-au auzit strigăte sfâșietoare, dar au tăcut imediat, în vreme ce cele mai dezgustătoare făpturi stăteau pe spatele acelorași oameni, care , cu o privire mulțumită, își „gestionau” victimele, fără să acorde nici cea mai mică atenție suferințelor lor... Sub picioarele goale ale oamenilor se înroșau pietrele înroșite, pământul roșu încins clocotea și se „topea”... înalt, evaporându-se cu o ceață ușoară... Și chiar în mijlocul „groapei” curgea un râu de foc, roșu strălucitor, larg, în care, din când în când, aceiași monștri dezgustători aruncau pe neașteptate una sau alta entitate chinuită, care , căzând, a provocat doar o stropire scurtă de scântei portocalii, iar apoi, transformându-se pentru o clipă într-un nor alb pufos, a dispărut... pentru totdeauna... A fost un adevărat Iad, iar eu și Stella am vrut să „dispărăm” de acolo cat mai repede...
- Ce o să facem? .. - șopti Stella îngrozită. - Vrei să mergi acolo jos? Putem face ceva pentru a-i ajuta? Uite cati sunt!...
Stăteam pe o stâncă negru-maro, uscată de căldură, urmărind „mizeria” durerii, deznădejdii și violenței care se întindea dedesubt, inundate de groază și ne simțeam atât de neputincios de neputincioși, încât până și Stella mea războinică și-a împăturit categoric de data aceasta ciufulit. aripi” și era gata la prima chemare să se grăbească la propriul „etaj” superior, atât de drag și de încredere...

funcţie logaritmică

O funcție logaritmică este o funcție de forma f(x) = logax, definită pentru

Domeniu: . Interval de valori: . Funcția este strict crescătoare pentru a > 1 și strict descrescătoare pentru 0< a < 1. График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0). Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Linia x = 0 este asimptota verticală stângă, deoarece pentru a > 1 și pentru 0< a < 1.

Derivata functiei logaritmice este:

Funcția logaritmică implementează un izomorfism grup multiplicativ pozitiv numere realeși grupul aditiv al tuturor numerelor reale.

Logaritm complex

Definiție și proprietăți

Pentru numerele complexe, logaritmul este definit în același mod ca și cel real. În practică, se folosește aproape exclusiv logaritmul complex natural, pe care îl notăm și îl definim ca mulțime a tuturor numerelor complexe z astfel încât ez = w. Logaritmul complex există pentru oricine, iar partea sa reală este determinată în mod unic, în timp ce imaginarul are un număr infinit de valori. Din acest motiv, se numește funcție cu mai multe valori. Dacă reprezentăm w în formă exponențială:

atunci logaritmul se găsește prin formula:

Aici -- logaritm real, r = | w | , k este un întreg arbitrar. Valoarea obținută când k = 0 se numește valoarea principală a logaritmului natural complex; se obișnuiește să se ia valoarea argumentului din el în intervalul (? p, p). Funcția corespunzătoare (deja cu o singură valoare) se numește ramura principală a logaritmului și se notează. Uneori valoarea logaritmului care nu se întinde pe ramura principală este de asemenea notat cu.

Din formula urmează:

Partea reală a logaritmului este determinată de formula:

Logaritmul unui număr negativ se găsește prin formula.

Funcția exponențială a unei variabile reale (pentru teren pozitiv) se determină în mai multe etape. În primul rând, pentru valorile naturale - ca un produs al factorilor egali. Definiția este apoi extinsă la valori întregi negative și non-zero pentru prin reguli. În plus, sunt considerați indicatori fracționari, la care valoarea functie exponentiala determinată de rădăcini: . Pentru valorile iraționale, definiția este deja legată de conceptul de bază al analizei matematice - cu trecerea la limită, din motive de continuitate. Toate aceste considerații nu sunt în niciun caz aplicabile încercărilor de a extinde funcția exponențială la valorile complexe ale indicatorului și ceea ce, de exemplu, este complet de neînțeles.

Pentru prima dată, un grad cu un exponent complex cu bază naturală a fost introdus de Euler pe baza analizei unui număr de construcții ale calculului integral. Uneori, expresii algebrice foarte asemănătoare, atunci când sunt integrate, dau răspunsuri complet diferite:

În același timp, aici se obține formal a doua integrală din prima prin înlocuirea ei cu

Din aceasta putem concluziona că, cu o definire corectă a unei funcții exponențiale cu un exponent complex, funcțiile trigonometrice inverse sunt legate de logaritmi și astfel funcția exponențială este legată de funcțiile trigonometrice.

Euler a avut curajul și imaginația să dea o definiție rezonabilă pentru funcția exponențială cu bază, și anume,

Aceasta este o definiție și, prin urmare, această formulă nu este dovedită, se pot căuta doar argumente în favoarea caracterului rezonabil și oportunității unei astfel de definiții. Analiza matematică ofera o multime de argumente de acest gen. Ne vom limita la unul singur.

Se știe că în realitate, relația limită se ține: . În partea dreaptă există un polinom care are sens chiar și pentru valori complexe pentru . Limita unei secvențe de numere complexe este definită într-un mod natural. O secvență este considerată convergentă dacă șirurile părților reale și imaginare converg și este luată

Sa gasim . Pentru a face acest lucru, ne întoarcem la forma trigonometrică, iar pentru argument vom alege valori din intervalul . Cu această alegere, este clar că pentru . Mai departe,

Pentru a trece la limită, trebuie să verificați existența limitelor pentru și și să găsiți aceste limite. Este clar că și

Deci în expresie

partea reală tinde spre , imaginarul - la astfel încât

Acest argument simplu oferă unul dintre argumentele în favoarea definiției lui Euler a funcției exponențiale.

Să stabilim acum că atunci când înmulțim valorile funcției exponențiale, exponenții se adună. Într-adevăr:

2. Formule Euler.

Introducem în definiția funcției exponențiale . Primim:

Înlocuind b cu -b, obținem

Adunând și scăzând aceste egalități termen cu termen, găsim formulele

numite formule Euler. Ele stabilesc o legătură între funcții trigonometriceși exponențial cu indicatori imaginari.

3. Logaritmul natural al unui număr complex.

Un număr complex dat în formă trigonometrică poate fi scris sub forma Această formă de scriere a unui număr complex se numește exponențială. Ea păstrează toate proprietățile bune formă trigonometrică, dar și mai scurt. În plus, prin urmare, este firesc să presupunem că, deci, partea reală a logaritmului unui număr complex este logaritmul modulului său, parte imaginară este argumentul lui. Aceasta explică într-o oarecare măsură proprietatea „logaritmică” a argumentului - argumentul produsului este egal cu suma argumentelor factorilor.

logaritmi naturali

Derivata logaritmului natural are o formulă simplă:

Din acest motiv, logaritmii naturali sunt utilizați în principal în cercetarea matematică. Ele apar adesea la rezolvarea diferențială ecuații, studiul dependențelor statistice (de exemplu, distribuția simple numere), etc.

Pentru , egalitatea

Această serie converge mai repede și, în plus, partea stângă a formulei poate exprima acum logaritmul oricărui număr pozitiv.

Relația cu logaritmul zecimal: .

Logaritmi zecimali

Orez. 2. Scala logaritmică

Logaritmi la baza 10 (simbol: lg A) înainte de invenție calculatoare utilizat pe scară largă pentru calcul. scară neuniformă logaritmii zecimali se aplică de obicei la reguli de calcul. O scară similară este utilizată pe scară largă în diferite domenii ale științei, de exemplu:

    Fizică- intensitatea sunetului ( decibeli).

    Astronomie- scara luminozitatea stelei.

    Chimie- activitate hidrogen ionii (pH).

    Seismologie - scara Richter.

    Teoria muzicii- scara notei, in raport cu frecventele sunetelor muzicale.

    Istorie - scară de timp logaritmică.

Scara logaritmică este, de asemenea, utilizată pe scară largă pentru a identifica exponentul în dependențe exponențiale și coeficientul în exponent. În același timp, un grafic construit pe o scară logaritmică de-a lungul uneia sau două axe ia forma unei linii drepte, care este mai ușor de studiat.

funcţie logaritmică

O funcție logaritmică este o funcție a formei f(X) = jurnal A X, definit la

Studiul funcției logaritmice

Domeniu:

Interval de valori:

Graficul oricărei funcții logaritmice trece prin punctul (1; 0)

Derivata functiei logaritmice este:

Dovada [spectacol]

I. Să dovedim asta

Să scriem identitatea e ln X = Xși diferențiază-și laturile stânga și dreapta

Înțelegem asta , de unde rezultă că

II. Să demonstrăm asta

Funcția crește strict pentru A> 1 și strict descrescătoare la 0 a

Drept X= 0 a rămas asimptotă verticală, deoarece la A> 1 și la 0 a

Logaritm complex

Funcție cu mai multe valori

Pentru numere complexe Logaritmul este definit în același mod ca și cel real. Să începem cu logaritmul natural, pe care îl notăm și îl definim ca mulțime a tuturor numerelor complexe z astfel încât e z = w. Logaritmul complex există pentru orice , iar partea sa reală este determinată în mod unic, în timp ce imaginarul are un număr infinit de valori. Din acest motiv, se numește funcție cu mai multe valori. Dacă vă imaginați w sub forma exponentiala:

atunci logaritmul se găsește prin formula:

Iată logaritmul real, r = | w | , k- arbitrar întreg. Valoarea obţinută când k= 0 este numit importanta principala logaritm natural complex; se obișnuiește să se ia valoarea argumentului din el în intervalul (− π,π). Funcția corespunzătoare (deja cu o singură valoare) se numește ramura principală logaritm și se notează cu . Uneori denotă și valoarea logaritmului, care nu se află pe ramura principală.

Din formula urmează:

    Partea reală a logaritmului este determinată de formula:

    Logaritmul unui număr negativ se găsește prin formula:

Exemple (este dată valoarea principală a logaritmului):

Logaritmii complexi cu o bază diferită sunt considerați în mod similar. Cu toate acestea, ar trebui să fiți atenți la transformarea logaritmilor complecși, ținând cont de faptul că aceștia sunt multivalori și, prin urmare, egalitatea acestor expresii nu rezultă din egalitatea logaritmilor oricărei expresii. Un exemplu de raționament eronat:

iπ = ln(− 1) = ln((− i) 2) = 2ln(− i) = 2(− iπ / 2) = − iπ este o absurditate evidentă.

Rețineți că valoarea principală a logaritmului este în stânga, iar valoarea din ramura subiacentă este în dreapta ( k= − 1). Motivul erorii este utilizarea neglijentă a proprietății, care, în general, în cazul complex implică întregul set infinit de valori ale logaritmului, și nu doar valoarea principală.

Suprafata Riemann

Funcție logaritmică complexă - exemplu Suprafata Riemann; partea sa imaginară (Fig. 3) este formată dintr-un număr infinit de ramuri răsucite ca o spirală. Această suprafață pur și simplu conectat; singurul său zero (de ordinul întâi) este obţinut prin z= 1, puncte singulare: z= 0 și (puncte de ramificare de ordin infinit).

Suprafața Riemann a logaritmului este acoperire universală pentru planul complex fără punctul 0.

Contur istoric

Logaritm real

Necesitatea unor calcule complexe secolul al XVI-lea a crescut rapid și o mare parte din dificultate a fost asociată cu înmulțirea și împărțirea numerelor cu mai multe cifre. La sfârșitul secolului, mai mulți matematicieni, aproape simultan, au venit cu ideea: să înlocuiască înmulțirea consumatoare de timp cu adunarea simplă, compararea folosind tabele speciale. geometricȘi aritmetic progresie, în timp ce geometricul va fi originalul. Apoi împărțirea este înlocuită automat cu o scădere nemăsurat mai simplă și mai sigură. El a fost primul care a publicat această idee în cartea sa Aritmetica integra» Michael Stiefel, care, însă, nu a făcut eforturi serioase pentru a-și pune în aplicare ideea.

ÎN 1614 matematician amator scoțian John Napier publicat pe latin eseu intitulat " Descrierea uimitoarei tabele logaritmice". A avut scurta descriere logaritmi și proprietățile lor, precum și tabele cu 8 cifre ale logaritmilor sinusuri, cosinusȘi tangente, cu un pas de 1". Termen logaritm, propus de Napier, s-a impus în știință.

Conceptul de funcție nu exista încă, iar Napier a definit logaritmul din punct de vedere cinematic, comparând mișcarea uniformă și logaritmică lentă. În notația modernă, modelul Napier poate fi reprezentat printr-o ecuație diferențială: dx/x = -dy/M, unde M este un factor de scalare introdus pentru a face din valoare un număr întreg cu numărul necesar de cifre (zecimalele nu erau încă utilizate pe scară largă atunci). Napier a luat M = 10000000.

Strict vorbind, Napier a tabulat funcția greșită, care se numește acum logaritm. Dacă notăm funcția sa ca LogNap(x), atunci este legată de logaritmul natural după cum urmează:

Evident, LogNap (M) = 0, adică logaritmul „sinusului complet” este zero - asta a căutat Napier cu definiția sa. LogNap(0) = ∞.

Proprietatea principală a logaritmului Napier: dacă mărimile formează progresie geometrică, apoi logaritmii lor formează o progresie aritmetic. Totuși, regulile pentru logaritmul pentru funcția non-Pieriană diferă de regulile pentru logaritmul modern.

De exemplu, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).

Din păcate, toate valorile din tabelul lui Napier conțineau o eroare de calcul după a șasea cifră. Cu toate acestea, acest lucru nu a împiedicat noua metodă de calcul să câștige o mare popularitate, iar mulți matematicieni europeni au preluat compilarea de tabele logaritmice, inclusiv Kepler.

În anii 1620, Edmund Wingate și William Otred a inventat primul rigla de calcul, înainte de apariția calculatoarelor de buzunar - un instrument indispensabil pentru un inginer.

Aproape de înțelegerea modernă a logaritmului - ca operație, invers exponentiare- a apărut prima dată în WallisaȘi Johann Bernoulli si in final aprobat Eulerîn secolul al XVIII-lea. În cartea „Introducere în analiza infinitului” ( 1748 ) Euler a dat definiții moderne Cum demonstrativ, și funcțiile logaritmice, au condus extinderea lor în serie de puteri, a subliniat rolul logaritmului natural.

Euler are și meritul de a extinde funcția logaritmică la domeniul complex.

Logaritm complex

Primele încercări de extindere a logaritmilor la numere complexe au fost făcute la începutul secolelor XVII-XVIII. LeibnizȘi Johann Bernoulli, cu toate acestea, ei nu au reușit să creeze o teorie holistică - în primul rând din motivul că la acea vreme însuși conceptul de logaritm nu era încă clar definit. Discuția pe acest subiect a avut loc mai întâi între Leibniz și Bernoulli, iar la mijlocul secolului al XVIII-lea - între d'Alembertși Euler. Bernoulli și d'Alembert credeau că este necesar să se definească log(-x) = log(x). Teoria completă a logaritmilor numerelor negative și complexe a fost publicată de Euler în 1747-1751 și nu este în esență diferită de cea modernă.

Deși disputa a continuat (D'Alembert și-a apărat punctul de vedere și l-a argumentat în detaliu într-un articol din Enciclopedia sa și în alte lucrări), punctul de vedere al lui Euler a câștigat rapid recunoașterea universală.

Tabelele logaritmice

Tabelele logaritmice

Din proprietățile logaritmului, rezultă că, în loc de înmulțirea laborioasă a numerelor cu mai multe valori, este suficient să găsiți (din tabele) și să adăugați logaritmii acestora, iar apoi să folosiți aceleași tabele pentru a executa potențare, adică găsiți valoarea rezultatului după logaritmul său. Efectuarea împărțirii diferă doar prin faptul că logaritmii sunt scăzuți. Laplace El a spus că inventarea logaritmilor „a prelungit viața astronomilor” prin accelerarea mult procesul de calcul.

Când mutați punctul zecimal într-un număr la n cifre, valoarea logaritmului zecimal al acestui număr se modifică cu n. De exemplu, lg8314.63 = lg8.31463 + 3. Rezultă că este suficient să faci un tabel cu logaritmi zecimali pentru numerele din intervalul de la 1 la 10.

Primele tabele de logaritmi au fost publicate de John Napier ( 1614 ), și au conținut doar logaritmii funcțiilor trigonometrice și cu erori. Independent de el, tabelele lui au fost publicate de Jost Bürgi, un prieten Kepler (1620 ). ÎN 1617 Oxford profesor de matematică Henry Briggs au publicat tabele care includeau deja logaritmii zecimali ai numerelor în sine, de la 1 la 1000, cu 8 (mai târziu - cu 14) cifre. Dar au existat și erori în tabelele Briggs. Prima ediție infailibilă bazată pe tabelele Vega ( 1783 ) a apărut numai în 1857 la Berlin (mesele Bremiver).

În Rusia, primele tabele de logaritmi au fost publicate în 1703 cu participarea L. F. Magnitsky. Mai multe colecții de tabele de logaritmi au fost publicate în URSS.

    Bradis V. M. Tabelele matematice din patru cifre. Ediția a 44-a, M., 1973.

mese Bradis ( 1921 ) au fost folosite în institutii de invatamant iar în calculele de inginerie care nu necesită o mare precizie. Au cuprins mantisa logaritmi zecimali de numere și funcții trigonometrice, logaritmi naturali și alte instrumente de calcul utile.

Literatură

    Uspensky Ya. V. Eseu despre istoria logaritmilor. Petrograd, 1923. −78 p.

    Vygodsky M. Ya. Manual de matematică elementară. - M.: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6

    Istoria Matematicii Editat A. P. Iuşkeviciîn trei volume, Moscova: Nauka.

    Volumul 1 Din cele mai vechi timpuri până la începutul timpurilor moderne. (1970) psihologia ca stiinta independenta (2)Rezumat >> Psihologie

    Obiectivele principale ale subiectului povestiri Psihologie 1. Analiză apariția si dezvoltare in continuare... sentimentul este proportional logaritm intensitatea stimulului: pentru ... a efectua o actiune, datorita aparitie necesitatea de a rezolva problema; -tinta...

  • Istorie psihologie (10)

    Rezumat >> Psihologie

    A devenit originile psihofizicii. masa logaritmi s-a dovedit a fi aplicabil fenomenelor sufletului... la care se întorc rădăcinile instinctelor istorie amabile, fără ele vii... rupte, „corespunzând oricărui fenomen dureros. aparitie noi tendințe în psihologie, sociologie...

  • Istorie psihologia ca știință independentă (1)

    Cheat sheet >> Psihologie

    Activitate: Sarcinile principale ale subiectului povestiri psihologie 1. Dializa aparițiași dezvoltarea în continuare a cunoștințelor științifice... cu care intensitatea senzației este proporțională logaritm intensitatea stimulului: pentru a...

  • Istorie psihologie sociala (2)

    Cheat sheet >> Psihologie

    Că amploarea senzației este proporțională logaritm intensitatea stimulului de acțiune (... secolul XX pentru prima dată în povestiri psihologia a încercat să investigheze experimental... identificând cauzele și condițiile specifice apariția nevroze, izolare într-un mod special...

Acțiune