număr irațional- acest numar real, care nu este rațional, adică nu poate fi reprezentat ca fracție, unde sunt numere întregi, . Un număr irațional poate fi reprezentat ca o zecimală infinită care nu se repetă.
Multe numere irationale de obicei notat cu o literă latină majusculă îngroșată fără umbrire. Astfel: , i.e. set de numere iraționale este diferența de mulțimi de numere reale și raționale.
Despre existența numerelor iraționale, mai exact segmentele, incomensurabile cu un segment de unitate de lungime, erau deja cunoscute de matematicienii antici: ei cunoșteau, de exemplu, incomensurabilitatea diagonalei și a laturii pătratului, ceea ce echivalează cu iraționalitatea numărului.
Proprietăți
- Orice număr real poate fi scris ca o fracție zecimală infinită, în timp ce ir numere rationaleși numai ele sunt scrise în fracții zecimale infinite neperiodice.
- Numerele iraționale definesc tăieturile Dedekind în mulțimea numerelor raționale care nu au cel mai mare număr în clasa inferioară și nici cel mai mic număr în clasa superioară.
- Fiecare număr transcendental real este irațional.
- Fiecare număr irațional este fie algebric, fie transcendental.
- Mulțimea numerelor iraționale este peste tot densă pe linia reală: între oricare două numere există un număr irațional.
- Ordinea în mulțimea numerelor iraționale este izomorfă cu ordinea în mulțimea numerelor reale transcendentale.
- Mulțimea numerelor iraționale este de nenumărat, este o mulțime de a doua categorie.
Exemple
| Numere irationale - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - - |
Iraționale sunt:
Exemple de dovezi de iraționalitate
Rădăcina lui 2
Presupunem contrariul: este rațional, adică este reprezentat ca o fracție ireductibilă, unde este un număr întreg și este un număr natural. Să punem la pătrat presupusa egalitate:
.Din aceasta rezultă că chiar, deci, chiar și . Lasă unde întregul. Apoi
Prin urmare, chiar, deci, chiar și . Am obținut că și suntem pari, ceea ce contrazice ireductibilitatea fracției . Prin urmare, presupunerea inițială a fost greșită și este un număr irațional.
Logaritmul binar al numărului 3
Presupunem contrariul: este rațional, adică este reprezentat ca o fracție, unde și sunt numere întregi. Din moment ce , și poate fi considerat pozitiv. Apoi
Dar e clar, e ciudat. Primim o contradicție.
e
Istorie
Conceptul de numere iraționale a fost adoptat implicit de matematicienii indieni în secolul al VII-lea î.Hr., când Manawa (c. 750 î.Hr. - c. 690 î.Hr.) a constatat că rădăcinile pătrate ale unor numere naturale, precum 2 și 61, nu pot fi exprimate în mod explicit.
Prima dovadă a existenței numerelor iraționale este de obicei atribuită lui Hippasus din Metapontus (c. 500 î.Hr.), un pitagoreean care a găsit această dovadă studiind lungimile laturilor unei pentagrame. Pe vremea pitagoreenilor, se credea că există o singură unitate de lungime, suficient de mică și indivizibilă, care este un număr întreg de ori inclus în orice segment. Cu toate acestea, Hippasus a susținut că nu există o singură unitate de lungime, deoarece presupunerea existenței sale duce la o contradicție. El a arătat că dacă ipotenuza unui isoscel triunghi dreptunghic conţine un număr întreg segmente unice, atunci acest număr trebuie să fie și par și impar în același timp. Dovada arăta astfel:
- Raportul dintre lungimea ipotenuzei și lungimea catetei unui triunghi dreptunghic isoscel poate fi exprimat ca A:b, Unde AȘi b selectat ca cel mai mic posibil.
- Conform teoremei lui Pitagora: A² = 2 b².
- pentru că A² chiar, A trebuie să fie par (deoarece pătratul unui număr impar ar fi impar).
- În măsura în care A:b ireductibil b trebuie să fie ciudat.
- pentru că A chiar, denotă A = 2y.
- Apoi A² = 4 y² = 2 b².
- b² = 2 y², prin urmare b este chiar, atunci b chiar.
- Cu toate acestea, s-a dovedit că b ciudat. Contradicţie.
Matematicienii greci au numit acest raport de cantități incomensurabile alogos(inexprimabil), dar conform legendelor, lui Hippasus nu i s-a acordat respectul cuvenit. Există o legendă conform căreia Hippasus a făcut descoperirea în timpul unei călătorii pe mare și a fost aruncat peste bord de alți pitagoreici „pentru a crea un element al universului, care neagă doctrina conform căreia toate entitățile din univers pot fi reduse la numere întregi și rapoartele lor. " Descoperirea lui Hippasus a pus o problemă serioasă pentru matematica pitagoreică, distrugând ipoteza care stă la baza întregii teorii conform căreia numerele și obiectele geometrice sunt una și inseparabile.
Dacă polinom
Dovada
Fie toți coeficienții unui polinom să fie numere întregi, iar întregul a să fie rădăcina acestui polinom. Deoarece în acest caz rezultă că coeficientul este divizibil cu a.
cometariu. Această teoremă vă permite de fapt să găsiți rădăcinile polinoamelor grade superioareîn cazul în care coeficienții acestor polinoame sunt numere întregi și rădăcina este un număr rațional. Teorema poate fi reformulată astfel: dacă știm că coeficienții unui polinom sunt numere întregi, iar rădăcinile sale sunt raționale, atunci aceste rădăcini raționale pot fi doar de forma în care p este un divizor al unui număr (termen liber) și numărul q este un divizor al unui număr (cel mai mare coeficient) .
Teorema rădăcinii întregi, conținând
Dacă un număr întreg α este rădăcina unui polinom cu coeficienți întregi, atunci α este un divizor al termenului său liber.
Dovada. Lasa:
P (x)=a 0 xⁿ +a 1 xⁿ -1 +…+a n-1 x +a n
un polinom cu coeficienți întregi și un număr întreg α este rădăcina acestuia.
Atunci, prin definiția rădăcinii, egalitatea P (α)=0;
a 0 αⁿ+a 1 αⁿ -1 +…+a n-1 α +a n =0.
Luând factorul comun α din paranteze, obținem egalitatea:
α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)+a n =0 , Unde
a n = -α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)
Deoarece numerele a 0 , a 1 ,...a n-1 , an și α sunt numere întregi, atunci există un număr întreg în paranteză și, prin urmare, a n este divizibil cu α, ceea ce trebuia demonstrat.
Teorema demonstrată poate fi formulată și după cum urmează: fiecare rădăcină întreagă a unui polinom cu coeficienți întregi este un divizor al termenului său liber.
Algoritmul pentru găsirea rădăcinilor întregi ale unui polinom cu coeficienți întregi se bazează pe teorema: scrieți toți divizorii termenului liber și scrieți pe rând valorile polinoamelor acestor numere.
2.Teoremă suplimentară asupra rădăcinilor întregi
Dacă un număr întreg α este o rădăcină a unui polinom P(x) cu coeficienți întregi, atunci α-1 este un divizor al numărului P(1), α+1 este un divizor al numărului P(-1)
Dovada. Din identitate
xⁿ-yⁿ=(x-y)(xⁿ -1 +xⁿ -2 y+…+ xyⁿ -2 +yⁿ -1)
rezultă că pentru numerele întregi b și c numărul bⁿ-cⁿ este divizibil cu b∙c. Dar pentru orice polinom P diferența
P (b)-P(c)= (a 0 bⁿ+a 1 bⁿ -1 +…+a n-1 b+an)-(a 0 cⁿ+a 1 cⁿ -1 +…+a n-1 c +an)=
=a 0 (bⁿ- cⁿ)+a 1 (bⁿ -1 -cⁿ -1)+…+a n-1 (b-c)
și, prin urmare, pentru un polinom P cu coeficienți întregi și numere întregi b și c, diferența P(b)-P(c) este divizibilă cu b-c.
Atunci: pentru b = α , с=1, P (α)-P (1)= -P(1), ceea ce înseamnă că P(1) este divizibil cu α-1. Al doilea caz este considerat în mod similar.
Schema lui Horner
Teorema: Fie fracția ireductibilă p/q rădăcina ecuației a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n =0 cu coeficienți întregi, apoi numărul q este un divizor al coeficientului principal a0 și al numărului R este un divizor al termenului liber a n .
Observație 1. Orice rădăcină întreagă a unei ecuații cu coeficienți întregi este un divizor al termenului său liber.
Observația 2.Dacă coeficientul principal al unei ecuații cu coeficienți întregi este egal cu 1, atunci toate rădăcinile raționale, dacă există, sunt numere întregi.
Rădăcina polinomială. Rădăcina polinomului f(x)= a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n este o x = c , astfel încât f (c)=0 .
Observația 3. Dacă x = c rădăcină polinomială , atunci polinomul poate fi scris ca: f(x)=(x−c)q(x) , Unde este câtul de împărțire a polinomului f(x) într-un monom x-c
Împărțirea unui polinom cu un monom poate fi efectuată după schema lui Horner:
Dacă f(x)=a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n , a0 ≠0 , g(x)=x−c , apoi la împărțire f (X) pe g (X) privat q(x) are forma q(x)=b 0 x n − 1 +b 1 x n − 2 + +b n−2 x+b n−1 , Unde b 0 = a 0 ,
b k =c b k − 1 + a k , k=1, 2, ,n−1. Rest r se gaseste dupa formula r=c b n − 1 +a n
Soluţie: Coeficientul la gradul cel mai înalt este 1, deci rădăcinile întregi ale ecuației trebuie căutate între divizorii termenului liber: 1; 2; 3; 4; 6; 12. folosind schema Horner, găsim rădăcinile întregi ale ecuației:
Dacă o rădăcină este selectată conform schemei lui Horner. atunci poți decide așa x 3 −x 2 −8x+12=(x−2)(x 2 +x−6)=0 (x−2) 2 (x−3)=0 x=2;x=3
Acest polinom are coeficienți întregi. Dacă un număr întreg este rădăcina acestui polinom, atunci este un divizor de 16. Astfel, dacă polinomul dat are rădăcini întregi, atunci acestea pot fi doar numere ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Prin verificare directă, ne asigurăm că numărul 2 este rădăcina acestui polinom, adică x 3 - 5x 2 - 2x + 16 \u003d (x - 2)Q (x), unde Q (x) este un polinom de gradul II. Prin urmare, polinomul este factorizat, dintre care unul este (x - 2) . Pentru a căuta tipul de polinom Q (x), folosim așa-numita schemă Horner. Principalul avantaj al acestei metode este compactitatea notației și capacitatea de a împărți rapid un polinom într-un binom. De fapt, schema Horner este o altă formă de înregistrare a metodei de grupare, deși, spre deosebire de aceasta din urmă, este complet non-descriptivă. Răspunsul (factorizarea) aici se dovedește de la sine și nu vedem chiar procesul de obținere. Nu ne vom ocupa de o justificare riguroasă a schemei lui Horner, ci doar arătăm cum funcționează.
| 1 | −5 | −2 | 16 | |
| 2 | 1 | −3 | −8 | 0 |
Numărul din celula de deasupra acestuia, adică 1, este „demolat” în a doua celulă a liniei de jos, apoi fac acest lucru. Rădăcina ecuației (numărul 2) se înmulțește cu ultimul număr scris (1) și rezultatul se adaugă la numărul care se află în rândul de sus deasupra următoarei celule libere, în exemplul nostru avem:
Gradul polinomului obținut ca urmare a împărțirii este întotdeauna cu 1 mai mic decât gradul celui inițial. Asa de:
etc. este de natură generală şi mare importanță a studia TOT cursul matematica superioara. Astăzi vom repeta ecuațiile „școală”, dar nu doar pe cele „școală” - ci pe acelea dintre ele care se găsesc peste tot în diverse sarcini ale vyshmat-ului. Ca de obicei, povestea va merge într-un mod aplicat, adică. Nu mă voi concentra pe definiții, clasificări, ci vă voi împărtăși exact experienta personala solutii. Informațiile sunt destinate în primul rând începătorilor, dar cititorii mai pregătiți vor găsi și multe puncte interesante pentru ei înșiși. Și bineînțeles că va exista material nou, fara scop liceu.
Deci ecuația... Mulți oameni își amintesc acest cuvânt cu un înfior. Care sunt ecuațiile „fanteziste” cu rădăcini... ...uitați de ele! Pentru că mai departe vei întâlni cei mai inofensivi „reprezentanți” ai acestei specii. Sau plictisitor ecuații trigonometrice cu zeci de solutii. Sincer sa fiu nici mie nu prea mi-au placut... Fara panica! - atunci ești așteptat în principal de „păpădie” cu o soluție evidentă în 1-2 pași. Deși „brusturele”, desigur, se agață - aici trebuie să fii obiectiv.
Destul de ciudat, în matematica superioară este mult mai comun să se ocupe de ecuații foarte primitive, cum ar fi liniar ecuații.
Ce înseamnă să rezolvi această ecuație? Aceasta înseamnă - să găsiți O AȘA valoare a lui "x" (rădăcină), care o transformă într-o egalitate adevărată. Să întoarcem „troica” la dreapta cu o schimbare de semn:
și aruncați „doi” în partea dreaptă (sau, același lucru - înmulțiți ambele părți cu)
:
Pentru a verifica, înlocuim trofeul câștigat în ecuația originală: 
Se obține egalitatea corectă, ceea ce înseamnă că valoarea găsită este într-adevăr rădăcina ecuația dată. Sau, după cum se spune, satisface această ecuație.
Rețineți că rădăcina poate fi scrisă și ca fracție zecimală:
Și încercați să nu rămâneți la acest stil urât! Am repetat motivul de multe ori, în special, chiar la prima lecție despre algebră superioară.
Apropo, ecuația poate fi rezolvată și „în arabă”:
Și ceea ce este cel mai interesant - această înregistrare este complet legală! Dar dacă nu ești profesor, atunci este mai bine să nu faci asta, pentru că originalitatea se pedepsește aici =)
Și acum puțin despre
metoda de rezolvare grafica
Ecuația are forma și rădăcina ei este coordonata „x”. puncte de intersecție graficul funcției liniare cu graficul funcției liniare (axa absciselor):
S-ar părea că exemplul este atât de elementar încât nu mai este nimic de analizat aici, dar încă o nuanță neașteptată poate fi „storsă” din el: reprezentăm aceeași ecuație în formă și trasăm graficele funcției: 
în care, va rog sa nu le confundati pe cele doua: o ecuație este o ecuație și funcţie este o funcție! Funcții doar ajutor găsiți rădăcinile ecuației. Dintre care pot fi două, trei, patru și chiar infinite. Cel mai apropiat exemplu în acest sens este că toată lumea știe ecuație pătratică, al cărui algoritm de soluție a primit un articol separat formule școlare „fierbinte”.. Și acesta nu este un accident! Dacă poți rezolva o ecuație pătratică și știi teorema lui Pitagora, atunci, s-ar putea spune, „etajul matematicii superioare e deja în buzunar” =) Exagerat, desigur, dar nu atât de departe de adevăr!
Și, prin urmare, nu suntem prea leneși și rezolvăm o ecuație pătratică conform algoritm standard:
, deci ecuația are două diferite valabil rădăcină: 
Este ușor de verificat că ambele valori găsite satisfac cu adevărat această ecuație: 
Ce să faci dacă ai uitat brusc algoritmul de soluție și nu există instrumente/mâini de ajutor la îndemână? O astfel de situație poate apărea, de exemplu, într-un test sau examen. Folosim metoda grafica! Și există două moduri: poți construirea punctual parabolă 
, aflând astfel unde intersectează axa (daca trece deloc). Dar este mai bine să acționăm mai viclean: prezentăm ecuația sub formă, desenăm grafice cu funcții mai simple - și coordonatele „x”. punctele lor de intersecție, dintr-o privire! 
Dacă se dovedește că linia atinge parabola, atunci ecuația are două rădăcini (multiple) care coincid. Dacă se dovedește că linia nu intersectează parabola, atunci nu există rădăcini reale.
Pentru a face acest lucru, desigur, trebuie să fiți capabil să construiți grafice ale funcţiilor elementare, dar pe de altă parte, aceste abilități sunt în puterea chiar și a unui școlar.
Și din nou - o ecuație este o ecuație, iar funcțiile , sunt funcții care doar ajutat rezolva ecuatia!
Și aici, apropo, ar fi potrivit să ne amintim încă un lucru: dacă toți coeficienții ecuației sunt înmulțiți cu un număr diferit de zero, atunci rădăcinile sale nu se vor schimba.
Deci, de exemplu, ecuația 
are aceleasi radacini. Ca cea mai simplă „dovadă”, voi scoate constanta din paranteze: 
și îndepărtați-l fără durere (Voi împărți ambele părți în „minus doi”):
DAR! Dacă luăm în considerare funcția , atunci aici este deja imposibil să scapi de constantă! Este posibil doar să scoateți multiplicatorul din paranteze: 
.
Mulți subestimează metoda de rezolvare grafică, considerând-o ceva „nedemn”, iar unii chiar uită complet de această posibilitate. Și acest lucru este fundamental greșit, deoarece complot uneori salvează ziua!
Un alt exemplu: să presupunem că nu vă amintiți rădăcinile celei mai simple ecuații trigonometrice:. Formula generală este în manualele școlare, în toate cărțile de referință despre matematică elementară, dar nu vă sunt disponibile. Cu toate acestea, rezolvarea ecuației este critică (altfel „două”). Există o ieșire! - construim grafice de funcții: 
după care notăm calm coordonatele „x” ale punctelor lor de intersecție: 
Există infinit de rădăcini, iar notația lor pliată este acceptată în algebră:
, Unde ( – mulţime de numere întregi)
.
Și, fără „a pleca de la casierie”, câteva cuvinte despre metoda grafică de rezolvare a inegalităților cu o singură variabilă. Principiul este același. Deci, de exemplu, orice „x” este soluția inegalității, deoarece sinusoida se află aproape în întregime sub linia dreaptă. Soluția inegalității este setul de intervale pe care piesele sinusoidei se află strict deasupra liniei drepte. (abscisă):
sau, pe scurt:
Și iată setul de soluții la inegalitate - gol, deoarece niciun punct al sinusoidei nu se află deasupra liniei drepte.
Ceva nu este clar? Studiați urgent lecțiile despre seturiȘi grafice de funcții!
Încălzire:
Exercitiul 1
Rezolvați grafic următoarele ecuații trigonometrice:
Răspunsuri la sfârșitul lecției
După cum puteți vedea, pentru a studia științele exacte, nu este deloc necesar să înghesuiți formule și cărți de referință! În plus, aceasta este o abordare fundamental vicioasă.
După cum v-am asigurat deja la începutul lecției, ecuațiile trigonometrice complexe din cursul standard de matematică superioară trebuie rezolvate extrem de rar. Toată complexitatea, de regulă, se termină cu ecuații ca , a căror soluție este două grupuri de rădăcini, derivate din cele mai simple ecuații și 
. Nu vă faceți griji prea mult cu privire la soluția acesteia din urmă - căutați într-o carte sau găsiți-o pe Internet =)
Metoda grafică de rezolvare poate ajuta și în cazuri mai puțin banale. Luați în considerare, de exemplu, următoarea ecuație „pestriță”:
Perspectivele soluției sale arată ... nu se uită deloc, dar trebuie doar să prezinte ecuația sub forma , construct grafice de funcțiiși totul va fi incredibil de simplu. Desenul este la mijlocul articolului despre funcții infinitezimale (se deschide în fila următoare).
Folosind aceeași metodă grafică, puteți afla că ecuația are deja două rădăcini, iar una dintre ele este egală cu zero, iar cealaltă, aparent, iraţional si apartine segmentului . Această rădăcină poate fi calculată aproximativ, de exemplu, metoda tangentei. Apropo, în unele sarcini, se întâmplă să nu se găsească rădăcinile, ci să se afle ele există deloc. Și aici, un desen poate ajuta - dacă graficele nu se intersectează, atunci nu există rădăcini.
Rădăcini raționale ale polinoamelor cu coeficienți întregi.
Schema lui Horner
Și acum vă sugerez să vă întoarceți privirea către Evul Mediu și să simțiți atmosfera unică a algebrei clasice. Pentru o mai bună înțelegere a materialului, recomand măcar o mică familiarizare cu numere complexe.
Ele sunt cele mai multe. Polinomiale.
Obiectul nostru de interes vor fi cele mai comune polinoame de forma cu întreg coeficienți . Numar natural numit gradul polinom, număr - coeficient la cel mai înalt grad (sau doar cel mai mare coeficient), iar coeficientul este membru liber.
Voi desemna acest polinom pliat cu .
Rădăcinile polinomiale numite rădăcinile ecuației
Iubesc logica de fier =)
De exemplu, mergem chiar la începutul articolului: 
Nu există probleme cu găsirea rădăcinilor polinoamelor de gradul 1 și 2, dar pe măsură ce creșteți această sarcină devine din ce în ce mai dificilă. Dar, pe de altă parte, totul este mai interesant! Și acesta este ceea ce va fi dedicată a doua parte a lecției.
În primul rând, literalmente o jumătate de ecran de teorie:
1) Conform corolarului teorema fundamentală a algebrei, polinomul de grad are exact integrat rădăcini. Unele rădăcini (sau chiar toate) pot fi în special valabil. Mai mult, printre rădăcinile reale pot fi rădăcini identice (multiple). (minimum doua, maxim bucati).
Dacă un număr complex este o rădăcină a unui polinom, atunci conjuga numărul său este în mod necesar și rădăcina acestui polinom (conjugat rădăcini complexe arată ca ).
Cel mai simplu exemplu este ecuația pătratică, care a fost întâlnită pentru prima dată în 8 (ca) clasa, și pe care în cele din urmă l-am „terminat” în subiect numere complexe. Vă reamintesc: o ecuație pătratică are fie două rădăcini reale diferite, fie rădăcini multiple, fie conjugă rădăcini complexe.
2) De la teoremele lui Bezout rezultă că dacă numărul este rădăcina ecuației, atunci polinomul corespunzător poate fi factorizat:
, unde este un polinom de grad .
Și din nou, vechiul nostru exemplu: deoarece este rădăcina ecuației , atunci . După aceea, este ușor să obțineți binecunoscuta descompunere „școală”.
Consecința teoremei lui Bezout este de mare valoare practică: dacă cunoaștem rădăcina ecuației de gradul 3, atunci o putem reprezenta sub forma 
iar din ecuație pătratică este ușor de recunoscut restul rădăcinilor. Dacă cunoaștem rădăcina ecuației de gradul 4, atunci este posibil să extindem partea stângă într-un produs etc.
Și aici sunt două întrebări:
Întrebarea unu. Cum să găsești această rădăcină? În primul rând, să-i definim natura: în multe probleme de matematică superioară se cere să se găsească raţional, în special întreg rădăcinile polinoamelor și, în acest sens, în continuare ne vom interesa în principal de ele .... …sunt atât de bune, atât de pufoase, încât vrei doar să le găsești! =)
Primul lucru care se sugerează este metoda de selecție. Luați în considerare, de exemplu, ecuația . Captura aici este în termenul liber - dacă ar fi egal cu zero, atunci totul ar fi ajurat - punem „x” din paranteze și rădăcinile înseși „cad” la suprafață: 
Dar termenul nostru liber este egal cu „trei” și, prin urmare, începem să substituim în ecuație diverse numere, pretinzând titlul de „rădăcină”. În primul rând, înlocuirea unor valori individuale se sugerează. Inlocuitor: 
Primit incorect egalitate, astfel, unitatea „nu se potrivea”. Bine, hai să-l punem în: 
Primit corect egalitate! Adică, valoarea este rădăcina acestei ecuații.
Pentru a găsi rădăcinile unui polinom de gradul 3, există o metodă analitică (așa-numitele formule Cardano), dar acum ne interesează o problemă puțin diferită.
Deoarece - este rădăcina polinomului nostru, atunci polinomul poate fi reprezentat sub formă și apare A doua întrebare: cum să-l găsesc pe „fratele mai mic”?
Cele mai simple considerații algebrice sugerează că pentru aceasta trebuie să împărțiți cu. Cum se împarte un polinom la un polinom? Aceeași metodă școlară care împarte numerele obișnuite - o „coloană”! Aceasta metoda Am analizat în detaliu în primele exemple ale lecției Limite complexe, iar acum vom lua în considerare o altă metodă, care se numește Schema lui Horner.
În primul rând, scriem polinomul „senior”. cu toata lumea
, inclusiv coeficienți zero:
, după care introducem acești coeficienți (strict în ordine) în rândul de sus al tabelului:
În stânga scriem rădăcina:
Voi face imediat o rezervare că schema lui Horner funcționează și dacă numărul „roșu”. nu este rădăcina polinomului. Totuși, să nu grăbim lucrurile.
Luăm coeficientul senior de sus:
Procesul de umplere a celulelor inferioare amintește oarecum de broderie, unde „minus unu” este un fel de „ac” care pătrunde în etapele următoare. Înmulțim numărul „demolat” cu (-1) și adăugăm numărul din celula de sus la produs:
Înmulțim valoarea găsită cu „acul roșu” și adăugăm următorul coeficient de ecuație la produs:
Și, în sfârșit, valoarea rezultată este din nou „procesată” cu un „ac” și un coeficient superior:
Zero din ultima celulă ne spune că polinomul s-a împărțit în fără urmă (cum ar trebui să fie), în timp ce coeficienții de expansiune sunt „eliminați” direct din linia de jos a tabelului:
Astfel, am trecut de la ecuație la o ecuație echivalentă și totul este clar cu cele două rădăcini rămase (în acest caz, se obțin rădăcini complexe conjugate).
Ecuația, de altfel, poate fi rezolvată și grafic: construiți "fermoar" 
și vezi că graficul traversează axa x ()
la punctul . Sau același truc „sprețuitor” - rescriem ecuația în formă, desen grafică elementarăși detectați coordonatele „x” a punctului lor de intersecție.
Apropo, graficul oricărei funcții polinomiale de gradul 3 traversează axa cel puțin o dată, ceea ce înseamnă că ecuația corespunzătoare are macar unu valabil rădăcină. Acest fapt este valabil pentru orice funcție polinomială de grad impar.
Și aici vreau să mă opresc punct important referitor la terminologie: polinomȘi funcţie polinomială – Nu este la fel! Dar, în practică, ei vorbesc adesea, de exemplu, despre „graful polinom”, care, desigur, este neglijent.
Dar să revenim la schema lui Horner. După cum am menționat recent, această schemă funcționează și pentru alte numere, dar dacă numărul nu este rădăcina ecuației, atunci în formula noastră apare un aditiv diferit de zero (restul):
Să „conducem” valoarea „nereușită” conform schemei lui Horner. În același timp, este convenabil să folosiți același tabel - notăm un nou „ac” în stânga, demolăm cel mai mare coeficient de sus (săgeata verde stânga)și plecăm: 
Pentru a verifica, deschidem parantezele și dăm termeni similari:
, BINE.
Este ușor de observat că restul („șase”) este exact valoarea polinomului la . Și de fapt - ce este: 
, și chiar mai frumos - așa:
Din calculele de mai sus, este ușor de înțeles că schema lui Horner permite nu numai factorizarea polinomului, ci și efectuarea unei selecții „civilizate” a rădăcinii. Vă sugerez să reparați independent algoritmul de calcul cu o sarcină mică:
Sarcina 2
Folosind schema lui Horner, găsiți întreaga rădăcină a ecuației și factorizați polinomul corespunzător
Cu alte cuvinte, aici trebuie să verificați succesiv numerele 1, -1, 2, -2, ... - până când un rest zero este „tras” în ultima coloană. Aceasta va însemna că „acul” acestei linii este rădăcina polinomului
Calculele sunt aranjate convenabil într-un singur tabel. Soluție detaliatăși răspunsul la sfârșitul lecției.
Metoda de selectare a rădăcinilor este bună pentru relativ cazuri simple, dar dacă coeficienții și/sau gradul polinomului sunt mari, atunci procesul poate fi întârziat. Sau poate unele valori din aceeași listă 1, -1, 2, -2 și nu are sens să le luăm în considerare? Și, în plus, rădăcinile se pot dovedi a fi fracționate, ceea ce va duce la o picătură complet neștiințifică.
Din fericire, există două teoreme puternice care pot reduce semnificativ enumerarea valorilor „candidate” pentru rădăcinile raționale:
Teorema 1 Considera ireductibil fracție , unde . Dacă numărul este rădăcina ecuației, atunci termenul liber este divizibil cu, iar coeficientul principal este divizibil cu.
În special, dacă coeficientul principal este , atunci această rădăcină rațională este întreg:
Și începem să exploatăm teorema doar din această particularitate gustoasă:
Să revenim la ecuație. Deoarece coeficientul său de conducere este , rădăcinile raționale ipotetice pot fi exclusiv întregi, iar termenul liber trebuie să fie divizibil cu aceste rădăcini fără rest. Iar „trei” pot fi împărțiți doar în 1, -1, 3 și -3. Adică avem doar 4 „candidați pentru rădăcini”. Și, conform Teorema 1, alte numere raționale nu pot fi rădăcini ale acestei ecuații ÎN PRINCIPIUL.
Există puțin mai mulți „solicitanți” în ecuație: termenul liber este împărțit în 1, -1, 2, -2, 4 și -4.
Vă rugăm să rețineți că numerele 1, -1 sunt „obișnuite” ale listei de rădăcini posibile (o consecință evidentă a teoremei) si majoritatea cea mai buna alegere pentru prima verificare.
Să trecem la exemple mai semnificative:
Sarcina 3
Soluţie: din moment ce coeficientul conducător , atunci rădăcinile raționale ipotetice nu pot fi decât numere întregi, în timp ce trebuie să fie divizori ai termenului liber. „Minus patruzeci” este împărțit în următoarele perechi de numere:
- în total 16 „candidați”.
Și aici apare imediat un gând tentant: este posibil să îndepărtați toate rădăcinile negative sau toate pozitive? În unele cazuri poți! Voi formula două semne:
1) Dacă toate coeficienții unui polinom sunt nenegativi sau toți nepozitivi, atunci nu poate avea rădăcini pozitive. Din păcate, acesta nu este cazul nostru (Acum, dacă ni s-a dat o ecuație - atunci da, atunci când înlocuirea oricărei valori a polinomului este strict pozitivă, ceea ce înseamnă că toate numere pozitive (și irațional) nu pot fi rădăcini ale ecuației.
2) Dacă coeficienții pentru puterile impare sunt nenegativi și pentru toate puterile pare (inclusiv membru gratuit) sunt negative, atunci polinomul nu poate avea rădăcini negative. Sau „oglindă”: coeficienții pentru gradele impare sunt nepozitivi, iar pentru toți cei pari sunt pozitivi.
Acesta este cazul nostru! Privind atent, puteți vedea că atunci când orice „x” negativ este înlocuit în ecuație, partea stângă va fi strict negativă, ceea ce înseamnă că rădăcinile negative dispar.
Astfel, 8 numere au rămas pentru cercetare:
„Încărcați” în mod constant conform schemei Horner. Sper că ai stăpânit deja calculele mentale: 
Norocul ne aștepta când testăm „deuce”. Astfel, este rădăcina ecuației luate în considerare și
Rămâne de investigat ecuația 
. Este ușor să faci acest lucru prin discriminant, dar voi efectua un test exponențial în același mod. În primul rând, rețineți că termenul liber este egal cu 20, ceea ce înseamnă că conform Teorema 1 numerele 8 și 40 ies din lista de rădăcini posibile, iar valorile rămân pentru cercetare (unul a fost eliminat conform schemei Horner).
Scriem coeficienții trinomului în rândul de sus al noului tabel și începem să verificăm cu același „doi”. De ce? Si pentru ca radacinile pot fi multiple, va rog: - aceasta ecuatie are 10 radacini identice. Dar să nu ne divagăm: 
Și aici, desigur, am fost puțin șmecher, știind că rădăcinile sunt raționale. La urma urmei, dacă ar fi iraționale sau complexe, atunci aș avea o verificare nereușită a tuturor numerelor rămase. Prin urmare, în practică, fiți ghidat de discriminant.
Răspuns: rădăcini raționale: 2, 4, 5
În problema analizată, am avut noroc, deoarece: a) valorile negative au căzut imediat și b) am găsit rădăcina foarte repede (și teoretic am putea verifica întreaga listă).
Dar, în realitate, situația este mult mai rea. Vă invit să urmăriți un joc interesant numit „Ultimul erou”:
Sarcina 4
Găsiți rădăcinile raționale ale unei ecuații
Soluţie: pe Teorema 1 numeratorii rădăcinilor raționale ipotetice trebuie să îndeplinească condiția (citiți „doisprezece este divizibil cu ale”), iar numitorii condiției . Pe baza acestui lucru, obținem două liste:
"list el":
și „lista-le”: (din fericire, aici numerele sunt naturale).
Acum să facem o listă cu toate rădăcinile posibile. În primul rând, împărțim „lista de bere” la . Este destul de clar că se vor dovedi aceleași numere. Pentru comoditate, să le punem într-un tabel:
Multe fracții au fost reduse, rezultând valori care sunt deja în „lista eroilor”. Adăugăm doar „noi veniți”: 
În mod similar, împărțim aceeași „listă de bere” la: 
și în sfârșit pe
Astfel, echipa de participanți la jocul nostru este dotată cu: 
Din păcate, polinomul acestei probleme nu satisface criteriul „pozitiv” sau „negativ” și, prin urmare, nu putem elimina rândul de sus sau de jos. Trebuie să lucrezi cu toate numerele.
Cum este starea ta de spirit? Haide, întoarce-ți nasul în sus - există o altă teoremă care poate fi numită figurativ „teorema ucigașului” .... ... „candidați”, desigur =)
Dar mai întâi trebuie să parcurgeți diagrama lui Horner pentru cel puțin una întregul numere. În mod tradițional, luăm unul. În linia de sus scriem coeficienții polinomului și totul este ca de obicei:
Deoarece patru nu este în mod clar zero, valoarea nu este rădăcina polinomului în cauză. Dar ea ne va ajuta foarte mult.
Teorema 2 Dacă pentru unii în general valoarea polinomului este nenulă: , apoi rădăcinile sale raționale (daca sunt) satisface condiția
În cazul nostru și prin urmare toate rădăcinile posibile trebuie să satisfacă condiția (să-i spunem Condiția #1). Acești patru vor fi „ucigașul” multor „candidați”. Ca o demonstrație, voi analiza câteva verificări:
Să verificăm candidatul. Pentru a face acest lucru, îl reprezentăm artificial ca o fracție , din care se vede clar că . Să calculăm diferența de verificare: . Patru este împărțit la „minus doi”: ceea ce înseamnă că rădăcina posibilă a trecut testul.
Să verificăm valoarea. Aici, diferența de test este: 
. Desigur, și, prin urmare, pe listă rămâne și al doilea „subiect de testare”.
Problema găsirii rădăcinilor raționale ale unui polinom f(X)Q[X] (cu coeficienți raționali) se reduce la problema găsirii rădăcinilor raționale ale polinoamelor k
∙
f(X)
Z[X] (cu coeficienți întregi). Iată numărul k este cel mai mic multiplu comun al coeficienților polinomului dat.
Necesar dar nu conditii suficiente existența rădăcinilor raționale ale unui polinom cu coeficienți întregi este dată de următoarea teoremă.
Teorema 6.1 (pe rădăcinile raționale ale unui polinom cu coeficienți întregi).
Dacă
–
rădăcina rațională a unui polinomf(X)
=
A n
X n +
+
…+
A 1
X
+
A 0
din
întreg
coeficienți și(p,
q)
= 1, apoi numărătorul fracțieipeste un divizor al termenului liber a 0
, și numitorulqeste divizorul coeficientului principal a 0
.
Teorema 6.2.Dacă
Q
(
Unde
(p,
q)
=
1)
este o rădăcină rațională a polinomului
f(X)
cu coeficienți întregi, atunci
–numere întregi.
Exemplu. Găsiți toate rădăcinile raționale ale unui polinom
f(X) = 6 X 4 + X 3 + 2 X 2 – 4 x+ 1.
1. Prin teorema 6.1: dacă
–
rădăcina rațională a unui polinom f(X),
( Unde( p,
q)
= 1),
apoi A 0
= 1
p,
A n
= 6
q. De aceea p 
{
1}, q 
(1, 2, 3, 6), deci
.
2. Se știe că (Corolarul 5.3) numărul dar este rădăcina polinomului f(X) dacă și numai dacă f(X) impartit de ( x - a).
Prin urmare, pentru a verifica dacă numerele 1 și -1 sunt rădăcinile polinomului f(X) puteți folosi schema lui Horner:
f(1)
= 6
0,f(–1)
= 12
0, deci 1 și -1 nu sunt rădăcini ale polinomului f(X).
3. Pentru a elimina unele dintre numerele rămase 
, folosim Teorema 6.2. Dacă expresiile 
sau 
ia valori întregi pentru valorile corespunzătoare numărătorului pși numitorul q, apoi în celulele corespunzătoare ale tabelului (vezi mai jos) vom scrie litera „c”, în caz contrar - „dr”.
|
|
|
|
|
|||
|
| ||||||
|
|
=
=
4. Utilizând schema lui Horner, verificăm dacă numerele rămase după cernere vor fi 
rădăcini f(X). Împărțiți mai întâi f(X) pe ( X
–
).
Ca urmare, avem: f(X) = (X – )(6 X 3 + 4 X 2 + 4 X - 2) și - rădăcină f(X). Privat q(X) = 6 X 3 + 4 X 2 + 4 X - 2 împărțiți la ( X + ).
pentru că q
(–)
= 3
0, atunci (-) nu este o rădăcină a polinomului q(X), și de aici polinomul f(X).
În cele din urmă, împărțim polinomul q(X) = 6 X 3 + 4 X 2 + + 4 X - 2 pe ( X – ).
Primit: q () = 0, adică rădăcina q(X), ceea ce înseamnă că rădăcina f (X). Deci polinomul f (X) are două rădăcini raţionale: şi.
Scutire de iraționalitate algebrică în numitorul unei fracții
La un curs școlar, la rezolvarea unor tipuri de probleme pentru a elibera de iraționalitate în numitorul unei fracții, este suficient să înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu numărul conjugat la numitor.
Exemple. 1.t
=
.
Aici, formula de înmulțire prescurtată (diferența de pătrate) funcționează la numitor, ceea ce vă permite să scăpați de iraționalitatea în numitor.
2. Scapă de iraționalitatea la numitorul unei fracții
t
=
. Expresie - pătrat incomplet al diferenței de numere dar=
Și b= 1. Folosind formula de înmulțire redusă dar 3
–
b 3
=
(un +b)
· ( A 2
–
ab
+
b 2
), putem defini multiplicatorul m
= (un +b)
=
+ 1, cu care trebuie înmulțit numărătorul și numitorul fracției t pentru a scăpa de iraționalitatea din numitorul fracției t. În acest fel,
În situațiile în care formulele de înmulțire redusă nu funcționează, pot fi folosite și alte trucuri. Mai jos vom formula o teoremă, a cărei demonstrație, în special, ne permite să găsim un algoritm de eliminare a iraționalității în numitorul unei fracții în situații mai complexe.
Definiție 6.1. Număr z numit algebric asupra unui câmp
F dacă există un polinom f(X)
F[X], a cărui rădăcină este z, în caz contrar numărul z numit transcendent asupra câmpuluiF.
Definiție 6.2.Gradul algebric peste câmp
F
numerele
z este gradul de ireductibil asupra câmpului F polinom p(X)
F[X], a cărui rădăcină este numărul z.
Exemplu. Să arătăm că numărul z = 
este algebrică asupra câmpului Qși găsiți-i gradul.
Să găsim ireductibilul peste câmp Q polinom p(X), a cărui rădăcină este X
=
. Ridicăm ambele părți ale egalității X
=
la a patra putere, ajungem X 4
= 2 sau X 4
–
2
= 0. Deci, p(X)
= X 4
–
2 și puterea numărului z este egal cu deg
p(X)
= 4.
Teorema 6.3
(privind eliberarea de iraţionalitatea algebrică în numitorul unei fracţii).Lasazeste un număr algebric peste un câmpFgradn. Exprimarea formeit
=
,Unde
f(X),
(X)
F[X],
(z) 
0
poate fi reprezentat doar sub forma:
t
= din n -1
z n -1
+
c n -2
z n -2
+ … +
c 1
z
+
c 0
,
c i
F.
Vom demonstra algoritmul pentru eliminarea iraționalității în numitorul unei fracții folosind un exemplu specific.
Exemplu. Scapă de iraționalitatea la numitorul unei fracții:
t
=
1. Numitorul fracției este valoarea polinomului 
(X)
= X 2
– X+1 când X
=
. Exemplul anterior arată că 
este un număr algebric peste un câmp Q gradul 4, deoarece este rădăcina unui peste ireductibil Q polinom p(X)
= X 4
–
2.
2. Aflați expansiunea liniară a mcd ( 
(X),
p(X)) folosind algoritmul Euclid.
_ X 4 – 2 | X 2 - X + 1
X 4 - X 3 + x 2 X 2 + x = q 1 (X)
_ X 3 - X 2 – 2
X 3 - X 2 + x
X 2 - X + 1 | – X –2 = r 1 (X )
X 2 + 2 X – x + 3 = q 2 (X)
_–3X+ 1
–3 X – 6
_ – X –2 |7 = r 2
– X –2 -X - =q 3 (X)
Deci, NU ( 
(X),
p(X))
= r 2
=
7. Găsiți expansiunea sa liniară.
Scriem șirul lui Euclid folosind notația polinoamelor.
p(X)
=
(X)
· q 1
(X)
+ r 1
(X)
r 1
(X)
=p(X)
–
(X)
· q 1
(X)
(X)
= r 1
(X)
· q 2
(X)
+ r 2
(X)
r 2
(X)
=
(X)
– r 1
(X)
· q 2
(X)
r 1 (X) = r 2 (X) · q 2 (X).
Înlocuiți în ecuația 7= r 2
(X)
=
(X)
– r 1
(X)
· q 2
(X) valoarea restului r 1
(X)
=
p(X)
–
(X)
· q 1
(X), după transformări obținem o expansiune liniară a gcd( 
(X),
p(X)):
7 = p(X)
· (– q 2
(X))
+
(X). Dacă înlocuim polinoamele corespunzătoare în ultima egalitate în loc de notație și ținem cont de faptul că p(
) = 0, atunci avem:
(1 –
+
)
· (– 
+ 2
+ 3
+ 1)] = 7 (1)
3. Din egalitatea (1) rezultă că dacă numitorul fracţiei tînmulțiți cu număr m= , atunci obținem 7. Astfel,
t
=
=.
METODA 16. Subiectul lecției: Forma standard a unui polinom
Tip de lecție: lecție de testare și control al cunoștințelor și abilităților
Obiectivele lecției:
Testați capacitatea de a aduce un polinom la o formă standard
Dezvoltați gândirea logică a elevilor, atenția
Cultivați independența
Structura lecției:
Organizarea timpului
briefing
Muncă independentă.
1. Completați propozițiile:
a) O expresie care conține suma monomiilor se numește ... (polinom).
b) Un polinom format din monoame standard și care nu conține termeni similari se numește ... (polinom standard).
c) Cel mai mare dintre gradele monomiilor incluse în polinomul formei standard se numește ... (gradul polinomului).
d) Înainte de a determina gradul unui polinom, aveți nevoie de ... (aduceți-l într-o formă standard).
e) Pentru a găsi valoarea unui polinom, trebuie să faceți primul ... (reprezentați polinomul în forma standard), al doilea ... (înlocuiți valoarea variabilei în această expresie).
2. Aflați valoarea polinomului:
dar) 2 A 4 - ab+2 b 2 la A=-1, b=-0,5
b) X 2 +2 X y+ y 2 la X=1,2, y=-1,2
3. Aduceți polinomul la forma standard:
dar) -5 ah 2 + 7a 2 x + 2a 2 x + 9ax 2 – 4 Ah 2 – 8a 2 X;
b) (5x 2 - 7x - 13) - (3x 2 - 8x + 17);
în) 2a - (1,4av + 2a 2 - 1) + (3a + 6.4av);
G) (2s 2 - 1,6 s + 4) - ((10,6 s 2 + 4,4 s - 0,3) - (3,6 s 2 - 7s - 0,7));
4. Aduceți polinomul la forma standard și aflați pentru ce valori X valoarea sa este 1:
dar) 2 X 2 -3 X- X 2 -5+2 X- X 2 +10;
b) 0,3 X 3 - X 2 + X- X 3 +3 X 2 +0,7 X 3 -2 X 2 +0,07
Biletul numărul 17.Divizibilitatea numerelor întregi