Polinom ireductibil este un polinom care nu poate fi descompus în polinoame netriviale. Polinoamele ireductibile sunt elemente ireductibile ale unui inel polinomial.

Un polinom ireductibil peste un câmp este un polinom din variabile peste câmp este un element simplu al inelului , adică nu poate fi reprezentat ca un produs , unde și sunt polinoame cu coeficienți din , care sunt diferite de constante.

Un polinom f peste un câmp F se numește ireductibil (simplu) dacă are un grad pozitiv și nu are divizori netriviali (adică, orice divizor este fie asociat cu acesta, fie cu unitate)

Sugestie 1

Lasa R- ireductibil şi dar este orice polinom al inelului F[x]. Atunci fie R desparte dar, sau RȘi dar sunt coprime.

Sugestie 2

Lasa f∈ F[x], iar gradul f = 1, deci f este un polinom ireductibil.

De exemplu: 1. Luați un polinom x+1 peste câmpul Q. Gradul său este 1, ceea ce înseamnă că este ireductibil.

2. x2 +1 este ireductibil, deoarece nu are rădăcini

SLN. Soluție de sistem. Sisteme comune, incompatibile, definite și nedefinite. Sisteme echivalente

sistem ecuatii lineare peste un câmp F cu variabile х1,...хn este un sistem de formă

dar 11 X 1 + … + a 1n X n= b 1

………………………..

A m1 X 1 + … + a mn X n= b m

unde un ik,b i∈ F, m este numărul de ecuații, iar n este numărul de necunoscute. Pe scurt, acest sistem poate fi scris astfel: ai1x1 + … + a în X n= b i (i = 1,…m.)

Acest SLE este o condiție cu n variabile libere x 1,….хn.

SLN-urile sunt împărțite în incompatibile (nu au soluții) și comune (definite și nedefinite). Un sistem de vedere în comun se numește definit dacă are o soluție unică; dacă are cel puțin două soluții diferite, atunci se numește nedefinit.

De exemplu: peste câmpul Q

x + y \u003d 2 - sistem incompatibil

x - y \u003d 0 - definit comun (x, y \u003d ½)

2x + 2y \u003d 2 - comun nedefinit

Două sisteme L.O sunt echivalente dacă mulțimile de soluții ale acestor sisteme sunt aceleași, adică orice soluție a unui sistem este simultan o soluție a altuia. Se poate obține un sistem echivalent cu acesta:

1. prin înlocuirea uneia dintre ecuații cu această ecuație, înmulțită cu orice număr diferit de zero.

2. înlocuirea uneia dintre ecuații cu suma acestei ecuații cu o altă ecuație a sistemului.

Rezolvarea SLE se realizează prin metoda Gauss.

45* Transformări elementare sisteme de ecuații liniare (slu). metoda Gauss.

Def.Transformări elementare S.L.U n-Xia următoarele transformări:

1. Înmulțirea uneia dintre ecuațiile de sistem ale sistemului cu un element diferit de zero al câmpului.

2. Adunări la una dintre ecuațiile sistemului altei ecuații, înmulțite cu elementul câmp.

3. Adăugări la sistem sau excluderea din sistem a unei ecuații nenule 0*х1+0*х2+…+0*хn=0

4. Schimbarea ecuațiilor

SugestieFie obținut sistemul (**) sau sistemul (*) cu ajutorul unui număr finit. Transformări elementare. Apoi sistem (**) ~ sistem (*). (Fără andocare)

Adjunct Când scriem un sistem de ecuații liniare, vom folosi notația matriceală.

a11 a12 ... a1n in1

a21 a22 ... a2n v2

………………….... …

Am1 am2 ... amn inn

Exemple: 1) 2x1 - x3 = 1 2 0 -1 1

x1 - x2 - x3 = 0 1 -1 -1 0

3x1 + 2x2 + 4x3 = 2 3 2 4 2

2) 1 0 1 x1=1

0 1 2 x2=2

3) 1 0 1 2 x1+x3=2 x1=2-x3

0 1 -1 3 x2-x3=3 x2=3+x3

metoda Gauss

Sugestie Lasă sistemul (*)

(a) dacă toți termenii liberi sunt egali cu 0 toți vk=0 mn-în soluții = F n

(b) k inc=0 0x1+0x2+…+0xn= inc=0 (fără soluții)

2. nu toate aij=0

(a) dacă sistemul are o ecuație de forma 0х1+0х2+…+0хn= вк=0 0

(b) dacă nu există astfel de ecuații b1. Să excludem ecuațiile diferite de zero. Să găsim cel mai mic indice i1, astfel încât nu toți coeficienții la xij=0.

0……0……….. …. A doua coloană cu zerouri este i1.

0……0…..*=0….. ….

0……0 ...……… …

1. Prin rearanjarea ecuațiilor, vom obține ca a1i1 = 0

0 ….. 0… a1i1 = 0 .... .... (1). :=(atribuire) (1) 1/ a1i1 (2). :=(2)-(1)* a2i1

A2i1........... .... 0…. 0…1…. …. 0…. 0..1….. ….. ( călcat

0…. 0… а2i1 … 0…..0..0… …. Matricea)

0 ........... 0 .... ami1.. ... ……………… …. …………………… ….

0 ….0 ..ami1 ... 0……0…………0 ….

După un număr finit de pași, obținem fie că sistemul conține o ecuație de forma 0х1+0х2+…+0хn= вк=0 0sau

0……0 1………….. L1 „funcționare Gauss înainte” 0....0 1...0..0 .....0........0.... .. „revers

0.....0 0.....1..... L2 0....0 0.....1........0.... .... .0.... .. Gauss”

0 .......00........0....1 L2 0....0 0......0........1... ......0.... ..

.............................. .... ............................................ ..

0........0 0 ............0..1 Lk 0....0 0.......0....... ..0....0.......1 ..

Variabilele xi1, ...... xik se numesc principale, restul sunt libere.

k=n => c-o hotărâtă

k c-a nedefinit. Variabilelor libere li se pot da valori derivate, iar valorile variabilelor principale pot fi calculate.

2 0 -1 1 8 (-3) 1 -1 -1 0 *(-2) 1 -1 -1 0

1 -1 -1 0 ~ 2 0 -1 1 ~ 0 2 1 1

3 2 4 2 3 2 4 2 0 5 7 2

Algoritmi pentru înmulțirea și împărțirea numerelor în sistemul numeric zecimal

Determinarea abaterilor medii și limită și a numărului necesar de selecții

Răspuns Motovil despre cartea lui Peter Skarga „Despre unitatea Bisericii lui Dumnezeu” 1577(?) - primul tvir polemic al lui Ostrozky la mijloc.

Întrebarea nr. 1. Evaporarea umidității și descompunerea carbonaților într-un furnal. Termodinamica descompunerii carbonaților.

TOATE gradele lipsă (și (sau) termenii liberi) fără goluri sunt scrise în AMBELE polinoame cu coeficienți zero.

Un polinom peste inelul de numere întregi se numește primitiv, dacă cel mai mare divizor comun al coeficienților săi este 1. Un polinom cu coeficienți raționali singura cale reprezentat ca produs al unui număr rațional pozitiv, numit conţinut polinom și polinom primitiv. Produsul polinoamelor primitive este un polinom primitiv. Din acest fapt rezultă că dacă un polinom cu coeficienți întregi este reductibil peste un câmp numere rationale, atunci este reductibil peste inelul de numere întregi. Astfel, problema factorizării unui polinom în factori ireductibili în câmpul numerelor raționale se reduce la o problemă similară asupra inelului de numere întregi.

Fie un polinom cu coeficienți întregi și conținut 1 și fie rădăcina lui rațională. Să reprezentăm rădăcina polinomului ca o fracție ireductibilă. Polinom f(X) este reprezentat ca produs de polinoame primitive. Prin urmare,

A. numărătorul este divizorul,

B. numitor – divizor

C. pentru orice număr întreg k sens f(k) este un număr întreg care poate fi împărțit fără rest prin ( bk-A).

Proprietăți listate ne permit să reducem problema găsirii rădăcini raționale polinom până la enumerarea finală. O abordare similară este utilizată în extinderea polinomului f la factori ireductibili din domeniul numerelor raţionale prin metoda Kronecker. Dacă polinom f(X) grad n dăm, atunci unul dintre factori are cel mult grad n/2. Să notăm acest factor prin g(X). Deoarece toți coeficienții polinoamelor sunt numere întregi, pentru orice număr întreg A sens f(A) este divizibil fără rest prin g(A). Să alegem m= 1+n/2 numere întregi distincte A eu, i=1,…,m. Pentru numere g(A i) există un număr finit de posibilități (numărul de divizori ai oricărui număr diferit de zero este finit), deci există un număr finit de polinoame care pot fi divizori f(X). După ce am efectuat o enumerare completă, fie arătăm ireductibilitatea polinomului, fie îl extindem într-un produs a două polinoame. Aplicăm schema indicată fiecărui factor până când toți factorii devin polinoame ireductibile.

Ireductibilitatea unor polinoame asupra câmpului numerelor raționale poate fi stabilită folosind un criteriu Eisenstein simplu.

Lasa f(X) este un polinom peste inelul numerelor întregi. Dacă există un număr prim p, ce

I. Toți coeficienții polinomului f(X), cu excepția coeficientului la gradul cel mai înalt, se împart la p

II. Coeficientul de la cel mai înalt grad nu este divizibil cu p

III. Termenul liber nu este divizibil cu

Apoi polinomul f(X) este ireductibil în câmpul numerelor raționale.

De remarcat că criteriul Eisenstein dă conditii suficiente ireductibilitatea polinoamelor, dar nu este necesar. Deci polinomul este ireductibil în câmpul numerelor raționale, dar nu satisface criteriul Eisenstein.

Polinomul , conform criteriului Eisenstein, este ireductibil. În consecință, peste câmpul numerelor raționale există un polinom de grad ireductibil n, Unde n orice numar natural mai mult de 1.

Orice număr complex definește un punct pe plan. Argumentele vor fi localizate pe unul plan complex, valorile lui f-ii sunt situate pe un alt plan complex.

F(z)- complex complex variabil. Dintre funcțiile complexe ale unei variabile complexe se remarcă în special clasa funcțiilor continue.

Def: O funcție complexă a unei variabile complexe se numește continuă dacă , astfel încât .+

sens geometricîn cele ce urmează:

Specifică un cerc în plan complex, centrat la z0, cu rază< . Аналогично в другой комплексной плоскости неравенство задает круг с радиусом меньше .

Teorema 1: Se atribuie polinomul f(z). C(z) este continuă în orice punct al planului complex.

Corolar: modulul unui polinom dintr-un câmp numere complexe este o funcție continuă.

Teorema 2: - un inel de polinoame cu coeficienți complexi, apoi astfel de valori care .

Teorema 3. (cu privire la creșterea nelimitată a modulului unui polinom):

Teorema de bază a algebrei:

Orice polinom din câmpul numerelor complexe nu de gradul 0 are cel puțin o rădăcină în câmpul numerelor complexe.

(Vom folosi următoarele afirmații în demonstrație):

Î: 1. Dacă a n =0, atunci z=0 este rădăcina lui f(z).

2. dacă a n 0, , atunci, conform teoremei 3, inegalitatea definește o regiune în plan complex care se află în afara cercului cu raza S. Nu există rădăcini în această regiune, deoarece prin urmare, rădăcinile polinomului f(z) ar trebui căutate în interiorul regiunii .

Luați în considerare de la T1. rezultă că funcţia f(z) este continuă. Conform teoremei Weierstrass, ea atinge minimul la un moment dat în regiunea închisă, i.e. . Să arătăm că punctul este un punct minim. pentru că 0 Е, atunci , pentru că în afara ariei E a valorii lui f-ii, atunci z 0 este punctul minim, pe întreg planul complex. Să arătăm că f(z 0)=0. Presupunem că nu este cazul, atunci prin lema d'Alembert, obţinem o contradicţie, deoarece z 0 punct minim.

Închidere algebrică:

Def: Un câmp P se numește închis algebric dacă are cel puțin o rădăcină peste acest câmp.

Teorema: Câmpul numerelor complexe este închis algebric. (d-in rezultă din teorema fundamentală a algebrei).

Domeniile raționale și numere reale nu sunt închise algebric.

Descompunere:

Teoremă: orice polinom, din câmpul numerelor complexe, de grad mai mare decât 1, poate fi descompus într-un produs de factori liniari.

Corolarul 1. Un polinom de gradul n are exact n rădăcini peste câmpul numerelor complexe.

Următorul 2: orice polinom din câmpul numerelor complexe de grad mai mare decât 1 este întotdeauna reductibil.

Def: Numerele plural C \ R, i.e. numerele de forma a + bi, unde b nu este egal cu 0 - se numesc imaginare.

2. Polinoame peste un câmp. GCD a două polinoame și algoritmul lui Euclid. Descompunerea unui polinom într-un produs de factori ireductibili și unicitatea acestuia.

Def. Polinom (polinom) din necunoscut X peste câmp R numit Suma algebrică a puterilor întregi nenegative X, luate cu oarecare coeficient din teren R.

Unde aiÎP sau

Polinoamele se numesc egal, dacă coeficienții lor sunt egali la puterile corespunzătoare ale necunoscutelor.

Se numește gradul unui polinom. cea mai mare valoare exponent al necunoscutului, coeficientul la care este diferit de zero.

Desemnat: N(f(x))=n

Mulțimea tuturor polinoamelor dintr-un câmp R notat: P[x].

Polinoamele de grad zero coincid cu elementele câmpului R, altul decât zero este un polinom zero, gradul său este nedefinit.

Operații pe polinoame.

1. Adăugarea.

Fie n³s, atunci , N(f(x)+g(x))=n=max(n,s).

<P[x],+>

1. operația de adunare este fezabilă și unicitatea rezultă din unicitatea adunării elementelor câmpului
2. asociativitatea
3. element nul
4. polinom opus celui dat
5. comutativitatea

- grup abelian

2. Înmulțirea.

Explorarea structurii algebrice<P[x],*>

1. operaţiunea este fezabilă, deoarece câmpul este o operație de înmulțire. Unicitatea rezultă din unicitatea operațiunilor din teren R.
2. asociativitatea
3. polinom identitar
4. numai polinoamele până la gradul zero sunt inversabile

<P[x],*>- semigrup cu element de identitate (manoid)

Legile distributive sunt valabile, deci<P[x],+,*> este un inel comutativ cu identitate.

Divizibilitatea polinoamelor

AOD: polinom f(x), f(x)nP[x], P– câmpul este divizibil cu un polinom g(x), g(x)≠0, g(x)нP[x], dacă un astfel de polinom există h(x)нP[x] astfel încât f(x)=g(x)h(x)

Proprietăți de divizibilitate:

Exemplu:, împărțiți la o coloană gcd = ( x+3)

Teorema împărțirii cu rest: Pentru orice polinoame f (x), g(x)нP[x], există un singur polinom q(x) Și r(x) astfel încât f(x)=g(x)q(x)+r(x), N(r(x)) sau r(x)=0.

Ideea de andocare: luăm în considerare două cazuri existente n grad g(x))și împărțiți f (X) pe g (X). Unicitatea este o dovadă a contradicției.

AOD: f (x) și g(x), f(x), g(x)нP[x], h(x)нP[x] se numește gcd f (x) și g(x) dacă

algoritmul lui Euclid

Să notăm procesul de împărțire succesivă

f(x)=g(x)q 1 (x)+r 1 (x) (1)

g(x)= r 1 (x) q 2 (x)+r 2 (x) (2)

r 1 (x)= r 2 (x) q 3 (x)+r 3 (x) (3) etc.

r k-2 (x)= r k-1 (x) q k (x)+r k (x) (k)

r k-1 (x)= r k (x) q k+1 (x) (k+1)

mcd(f(x),g(x))=d(x)=r k (x)

Ideea dovezii: arătăm că 1 ) f(x):(intreg) d(x) Și g(x):(intreg) d(x); 2) f(x):(intreg) h(x) Și g(x):(intreg) h(x) arătăm că d(x):(în întregime) h(x).

Reprezentarea liniară a GCD

T: dacă d(x) - mcd de polinoame f (x) și g(x), atunci există polinoame v (x) și u(x)нP[x], ce f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x).

Def: f(x) și g(x)нP[x] au întotdeauna divizori comuni, și anume, polinoame de grade zero care coincid cu câmpul P; dacă nu există alți divizori comuni, atunci f(x) și g(x) sunt coprimi. (simbol: (f(x),g(x))=1)

T:f (X) Și g(x) coprime i.i.t.c. există polinoame v(x) și u(x)нP[x] astfel încât f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.

Proprietățile polinoamelor coprime

1. (f(x),g(x))=1, (f(x),q(x))=1, apoi (f(x),g(x)*q(x))=1
2. f(x)*g(x):(întreg)h(x) și (f(x),g(x))=1, apoi g(x):(întreg) h(x)
3. f(x):(întreg)g(x), f(x):(întreg)h(x) și ( g(x),h(x))=1, atunci f(x):(în întregime) g(x)*h(x)

AOD: Polinomul f(x), f(x)нP[x] este numit citat peste un câmp P dacă poate fi descompus în factori ale căror grade sunt mai mari decât 0 și mai mici decât gradul f(x), adică.

f (x)=f 1 (x)f 2 (x), unde gradele f 1 și f 2 >0,

Reductibilitatea polinoamelor depinde de domeniul în care sunt considerate. Un polinom este ireductibil (un polinom care nu se factorizează la factori mai mici) în câmpul Q și este reductibil în câmpul R.

Proprietățile polinoamelor ireductibile:

1. Un polinom de grad zero este reductibil în orice câmp
2. Dacă polinom f(x) nu aduce peste câmp R, apoi polinomul a f(x) nu este de asemenea dat peste teren R.
3. Fie polinoame f (X)Și p(x) deasupra câmpului R, și p(x) este ireductibil pe teren R, apoi sunt cazuri

1) polinoame f (X)Și p(x) coprime

2) f(x):(intreg) p(x)

Un câmp F se numește închis algebric dacă orice polinom de grad pozitiv peste F are rădăcină în F.

Teorema 5.1 (teorema de bază a algebrei polinomiale). Câmpul numerelor complexe este închis algebric.

Consecinţă 5 .1.1. De mai sus DIN există polinoame ireductibile doar de gradul I.

Corolarul 5.1.2. Polinom n gradul trecut DIN Are n rădăcini complexe.

Teorema 5.2. Dacă  este o rădăcină complexă a unui polinom f cu coeficienți reali, atunci conjugatul complex este și rădăcină f.

Consecinţă 5 .2.1. De mai sus R există polinoame ireductibile doar de gradul I sau II.

Corolarul 5.2.2. Rădăcinile imaginare ale unui polinom peste Rîmpărțite în perechi de conjugate complexe.

Exemplul 5.1. Factorizați în factori ireductibili peste DIN si peste R polinom X 4 + 4.

Soluţie. Avem

X 4 + 4 =X 4 + 4X 2 + 4 – 4X 2 = (X 2 + 2) 2 – 4X 2 = (X 2 – 2X+ 2)(X 2 + 2X+ 2) –

descompunerea peste R. Găsind în mod obișnuit rădăcinile complexe ale polinoamelor de gradul doi în paranteze, obținem o descompunere peste DIN:

X 4 + 4 = (X – 1 – i) (X – 1 + i) (X + 1 – i) (X + 1 + i).

Exemplul 5.2. Construiți un polinom de cel mai mic grad cu coeficienți reali având rădăcinile 2 și 1 + i.

Soluţie. Conform Corolarului 5.2.2, polinomul trebuie să aibă rădăcini 2, 1 - i și 1+ i. Coeficienții săi pot fi găsiți folosind formulele Vieta:

 1 \u003d 2 + (1 - i) + (1 +i) = 4;

 2 \u003d 2 (1 - i) + 2(1 + i) + (1 – i)(1 + i) = 6;

 3 \u003d 2 (1 - i)(1 + i) = 4.

De aici f =X 3 – 4X 2 + 6X– 4.

Exerciții.

5.1. Factorizați în factori ireductibili peste DIN si peste R polinomiale:

dar) X 3 – 6X 2 + 11X – 6;

b) X 4 – 10X 2 + 1.

5.2. Trasează un polinom de cel mai mic grad cu coeficienți reali având o rădăcină dublă de 1 și o rădăcină simplă de 1 – 2 i.

6. Polinoame din câmpul numerelor raționale

Teorema 6.1 (criteriul Eisenstein). Lasa f = a 0 + a 1 x +...+ A n X n este un polinom cu coeficienți întregi. Dacă există un astfel de număr prim p, ce A 0 , A 1 , … , A n-1 împărțit la p, A n nedivizibil cu p,A 0 nu este divizibil cu p 2, atunci f nu este reductibilă în câmpul numerelor raționale.

Exercițiul 6.1. Demonstrați ireductibilitatea peste Q polinomiale:

dar) f= 2X 5 + 3X 4 – 9X 3 – 6X+ 3;b) f= 5X 4 + 6X 3 – 18X 2 – 12X + 54.

Teorema 6.2. Lasa este o fracție ireductibilă care este rădăcina unui polinom f = A 0 + A 1 X + … + A n X n cu coeficienți întregi. Apoi

A 0  p, A n  q;

f(1)  p-q,f(–1)  p+q.

Această teoremă ne permite să rezolvăm problema găsirii rădăcinilor raționale ale unui polinom cu coeficienți întregi. Pentru a face acest lucru, determinăm toți divizorii termenului liber și coeficientul conducător și construim tot felul de fracții ireductibile din acestea. Toate rădăcinile raționale sunt conținute printre aceste fracții. Schema lui Horner poate fi folosită pentru a le determina. Pentru a evita calculele inutile, folosim afirmația 2) din teorema 6.2.

Exemplul 6.1. Găsiți rădăcini raționale ale unui polinom

f = 2X 4 + 7X 3 + 3X 2 – 15X– 18.

Soluţie. Scriem toate fracțiile ai căror numărători p sunt divizorii 18 și numitorii q- separatoare 2:

1, –1, 2, –2, 3, –3, 6, –6, 9, –9, 18, –18,
,
,
.

Le verificăm conform schemei Horner:

						Un comentariu
						f(1) = –21  p–q
						f(–1) = –3  p+q
						X 1 = –2
						X 2 = 3/2

Găsirea rădăcinii X 1 = -2 și împărțind polinomul la X+ 2, obținem un polinom cu un nou termen liber –9 (coeficienții acestuia sunt subliniați). Număratorii rădăcinilor rămase trebuie să fie divizori ai acestui număr, iar fracțiile care nu îndeplinesc această condiție pot fi excluse din listă. Valorile întregi rămase sunt excluse deoarece nu îndeplinesc condiția f(1)p – q sau f(–1)p + q. De exemplu, pentru 3 avem p = 3, q= 1 și condiția f(1) = –21p – q(precum și a doua condiție).

În mod similar, găsirea rădăcinii X 2 \u003d 3/2, am obținut un polinom cu un nou termen liber 3 și un coeficient principal de 1 (când rădăcina este fracțională, coeficienții polinomului rezultat ar trebui reduse). Niciun număr rămas din listă nu mai poate fi rădăcină, iar lista rădăcinilor raționale este epuizată.

Rădăcinile găsite trebuie verificate pentru multiplicitate.

Dacă în procesul de rezolvare am ajuns la un polinom de gradul doi, iar lista de fracții nu a fost încă epuizată, atunci rădăcinile rămase pot fi găsite folosind formulele obișnuite ca rădăcini ale unui trinom pătrat.

Exercițiul 6.2. Găsiți rădăcini raționale ale unui polinom

dar) X 3 – 6X 2 + 15X– 14;

b) X 5 – 7X 3 – 12X 2 + 6X+ 36;

in 2 X 4 – 11X 3 + 23X 2 – 24X+ 12;

d) 4 X 4 – 7X 2 – 5X– 1.