Cu un segment de lungime unitară, matematicienii antici știau deja: cunoșteau, de exemplu, incomensurabilitatea diagonalei și a laturii pătratului, ceea ce este echivalent cu iraționalitatea numărului.
Iraționale sunt:
Exemple de dovezi de iraționalitate
Rădăcina lui 2
Presupunem contrariul: este rațional, adică este reprezentat ca o fracție ireductibilă, unde și sunt numere întregi. Să punem la pătrat presupusa egalitate:
.Din aceasta rezultă că chiar, deci, chiar și . Lasă unde întregul. Apoi
Prin urmare, chiar, deci, chiar și . Am obținut că și suntem pari, ceea ce contrazice ireductibilitatea fracției . Prin urmare, presupunerea inițială a fost greșită și este un număr irațional.
Logaritmul binar al numărului 3
Presupunem contrariul: este rațional, adică este reprezentat ca o fracție, unde și sunt numere întregi. Din moment ce , și poate fi considerat pozitiv. Apoi
Dar e clar, e ciudat. Primim o contradicție.
e
Poveste
Conceptul de numere iraționale a fost adoptat implicit de matematicienii indieni în secolul al VII-lea î.Hr., când Manawa (c. 750 î.Hr. - c. 690 î.Hr.) a constatat că rădăcinile pătrate ale unor numere naturale, precum 2 și 61, nu pot fi exprimate în mod explicit.
Prima dovadă a existenței numerelor iraționale este de obicei atribuită lui Hippasus din Metapontus (c. 500 î.Hr.), un pitagoreean care a găsit această dovadă studiind lungimile laturilor unei pentagrame. Pe vremea pitagoreenilor, se credea că există o singură unitate de lungime, suficient de mică și indivizibilă, care este un număr întreg de ori inclus în orice segment. Cu toate acestea, Hippasus a susținut că nu există o singură unitate de lungime, deoarece presupunerea existenței sale duce la o contradicție. El a arătat că dacă ipotenuza unui triunghi dreptunghic isoscel conține un număr întreg de segmente unitare, atunci acest număr trebuie să fie atât par, cât și impar în același timp. Dovada arăta astfel:
- Raportul dintre lungimea ipotenuzei și lungimea catetei unui triunghi dreptunghic isoscel poate fi exprimat ca A:b, Unde Ași b selectat ca cel mai mic posibil.
- Conform teoremei lui Pitagora: A² = 2 b².
- La fel de A² chiar, A trebuie să fie par (deoarece pătratul unui număr impar ar fi impar).
- În măsura în care A:b ireductibil b trebuie să fie ciudat.
- La fel de A chiar, denotă A = 2y.
- Apoi A² = 4 y² = 2 b².
- b² = 2 y², prin urmare b este chiar, atunci b chiar.
- Cu toate acestea, s-a dovedit că b ciudat. Contradicţie.
Matematicienii greci au numit acest raport de cantități incomensurabile alogos(inexprimabil), dar conform legendelor, lui Hippasus nu i s-a acordat respectul cuvenit. Există o legendă conform căreia Hippasus a făcut descoperirea în timpul unei călătorii pe mare și a fost aruncat peste bord de alți pitagoreici „pentru a crea un element al universului, care neagă doctrina conform căreia toate entitățile din univers pot fi reduse la numere întregi și rapoartele lor. " Descoperirea lui Hippasus a pus o problemă serioasă pentru matematica pitagoreică, distrugând ipoteza care stă la baza că numerele și obiectele geometrice sunt una și inseparabile.
Vezi si
Note
| Sisteme numerice | |
|---|---|
| Socoteală seturi |
numere întregi () |
Înțelegerea numerelor, în special a numerelor naturale, este una dintre cele mai vechi „abilități” matematice. Multe civilizații, chiar și cele moderne, au atribuit numerelor unele proprietăți mistice datorită importanței mari a acestora în descrierea naturii. Deși știința și matematica modernă nu confirmă aceste proprietăți „magice”, semnificația teoriei numerelor este de netăgăduit.
Din punct de vedere istoric, au apărut mai întâi multe numere naturale, apoi, destul de curând, li s-au adăugat fracții și numere iraționale pozitive. Numerele zero și negative au fost introduse după aceste submulțimi ale mulțimii de numere reale. Ultimul set, mulțimea numerelor complexe, a apărut abia odată cu dezvoltarea științei moderne.
În matematica modernă, numerele sunt introduse nu în ordine istorică, deși destul de aproape de ea.
Numere naturale $\mathbb(N)$
Setul de numere naturale este adesea notat ca $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $ și este adesea completat cu zero pentru a indica $\mathbb(N)_0$.
$\mathbb(N)$ definește operațiile de adunare (+) și înmulțire ($\cdot$) cu următoarele proprietăți pentru orice $a,b,c\în \mathbb(N)$:
1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ multimea $\mathbb(N)$ este închisă sub adunare și înmulțire
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ comutativitate
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ asociativitate
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ distributivitate
5. $a\cdot 1=a$ este elementul neutru pentru înmulțire
Deoarece mulțimea $\mathbb(N)$ conține un element neutru pentru înmulțire, dar nu pentru adunare, adăugarea zero la această mulțime asigură că include un element neutru pentru adunare.
Pe lângă aceste două operații, pe mulțimea $\mathbb(N)$ relațiile „mai puțin decât” ($
1. $a b$ tricotomie
2. dacă $a\leq b$ și $b\leq a$, atunci $a=b$ este o antisimetrie
3. dacă $a\leq b$ și $b\leq c$, atunci $a\leq c$ este tranzitiv
4. dacă $a\leq b$, atunci $a+c\leq b+c$
5. dacă $a\leq b$, atunci $a\cdot c\leq b\cdot c$
Numerele întregi $\mathbb(Z)$
Exemple de numere întregi:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$
Rezolvarea ecuației $a+x=b$, unde $a$ și $b$ sunt numere naturale cunoscute, iar $x$ este un număr natural necunoscut, necesită introducerea unei noi operații - scăderea(-). Dacă există un număr natural $x$ care satisface această ecuație, atunci $x=b-a$. Cu toate acestea, această ecuație particulară nu are neapărat o soluție pentru mulțimea $\mathbb(N)$, așa că considerentele practice necesită extinderea mulțimii numerelor naturale în așa fel încât să includă soluții la o astfel de ecuație. Aceasta duce la introducerea unui set de numere întregi: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.
Deoarece $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$, este logic să presupunem că operațiile introduse anterior $+$ și $\cdot$ și relația $ 1. $0+a=a+0=a$ există un element neutru pentru adăugiri
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ există un număr opus $-a$ pentru $a$
5. Proprietate:
5. dacă $0\leq a$ și $0\leq b$, atunci $0\leq a\cdot b$
Mulțimea $\mathbb(Z) $ este de asemenea închisă sub scădere, adică $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.
Numere raționale $\mathbb(Q)$
Exemple de numere raționale:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$
Acum luați în considerare ecuații de forma $a\cdot x=b$, unde $a$ și $b$ sunt numere întregi cunoscute și $x$ este necunoscut. Pentru a face posibilă soluția, este necesar să se introducă operația de împărțire ($:$), iar soluția devine $x=b:a$, adică $x=\frac(b)(a)$. Din nou, se pune problema că $x$ nu aparține întotdeauna lui $\mathbb(Z)$, deci mulțimea numerelor întregi trebuie extinsă. Astfel, introducem mulțimea numerelor raționale $\mathbb(Q)$ cu elemente $\frac(p)(q)$, unde $p\in \mathbb(Z)$ și $q\in \mathbb(N) $. Mulțimea $\mathbb(Z)$ este o submulțime în care fiecare element $q=1$, deci $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ și operațiile de adunare și înmulțire se aplică și acestei mulțimi conform la următoarele reguli, care păstrează toate proprietățile de mai sus și pe mulțimea $\mathbb(Q)$:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$
Diviziunea se introduce astfel:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$
Pe mulțimea $\mathbb(Q)$, ecuația $a\cdot x=b$ are o soluție unică pentru fiecare $a\neq 0$ (nu este definită nicio împărțire la zero). Aceasta înseamnă că există un element invers $\frac(1)(a)$ sau $a^(-1)$:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\există \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$
Ordinea mulțimii $\mathbb(Q)$ poate fi extinsă în acest fel:
$\frac(p_1)(q_1)
Mulțimea $\mathbb(Q)$ are o proprietate importantă: între oricare două numere raționale există infinite alte numere raționale, prin urmare, nu există două numere raționale învecinate, în contrast cu mulțimile de numere naturale și întregi.
Numere iraționale $\mathbb(I)$
Exemple de numere iraționale:
$\sqrt(2) \aproximativ 1,41422135...$
$\pi \aproximativ 3,1415926535...$
Deoarece există o infinitate de alte numere raționale între oricare două numere raționale, este ușor să concluzionați în mod eronat că mulțimea numerelor raționale este atât de densă încât nu este nevoie să o extindeți mai mult. Chiar și Pitagora a făcut odată o astfel de greșeală. Cu toate acestea, contemporanii săi au infirmat deja această concluzie când au studiat soluțiile ecuației $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) pe mulțimea numerelor raționale. Pentru a rezolva o astfel de ecuație, este necesar să introducem conceptul de rădăcină pătrată, iar apoi soluția acestei ecuații are forma $x=\sqrt(2)$. O ecuație de tipul $x^2=a$, unde $a$ este un număr rațional cunoscut și $x$ este unul necunoscut, nu are întotdeauna o soluție pe mulțimea numerelor raționale și, din nou, este nevoie pentru a extinde setul. Apare un set de numere iraționale și numere precum $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... aparțin acestei mulțimi.
Numere reale $\mathbb(R)$
Unirea mulțimilor de numere raționale și iraționale este mulțimea numerelor reale. Deoarece $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$, este din nou logic să presupunem că operațiile și relațiile aritmetice introduse își păstrează proprietățile pe noua mulțime. Dovada formală a acestui lucru este foarte dificilă, astfel încât proprietățile menționate mai sus ale operațiilor și relațiilor aritmetice pe mulțimea numerelor reale sunt introduse ca axiome. În algebră, un astfel de obiect se numește câmp, deci se spune că mulțimea numerelor reale este un câmp ordonat.
Pentru ca definiția mulțimii numerelor reale să fie completă, este necesar să se introducă o axiomă suplimentară care să distingă mulțimile $\mathbb(Q)$ și $\mathbb(R)$. Să presupunem că $S$ este o submulțime nevidă a mulțimii de numere reale. Un element $b\in \mathbb(R)$ se numește limita superioară a lui $S$ dacă $\forall x\in S$ satisface $x\leq b$. Apoi se spune că mulțimea $S$ este mărginită de sus. Cea mai mică limită superioară a unei mulțimi $S$ se numește supremum și se notează cu $\sup S$. Noțiunile de o limită inferioară, o mulțime mărginită mai jos și un infinit $\inf S$ sunt introduse în mod similar. Acum axioma lipsă este formulată după cum urmează:
Orice submulțime nevide și mărginită de mai sus a mulțimii de numere reale are un supremum.
De asemenea, se poate demonstra că câmpul numerelor reale definit mai sus este unic.
Numere complexe$\mathbb(C)$
Exemple de numere complexe:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ unde $i = \sqrt(-1)$ sau $i^2 = -1$
Mulțimea numerelor complexe este toate perechile ordonate de numere reale, adică $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, pe care operațiile de adunare și înmulțirea sunt definite după cum urmează:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$
Există mai multe moduri de a scrie numere complexe, dintre care cea mai comună este $z=a+ib$, unde $(a,b)$ este o pereche de numere reale și numărul $i=(0,1)$ se numește unitatea imaginară.
Este ușor de arătat că $i^2=-1$. Extinderea mulțimii $\mathbb(R)$ la mulțimea $\mathbb(C)$ permite determinarea rădăcinii pătrate a numerelor negative, care a fost motivul pentru introducerea mulțimii de numere complexe. De asemenea, este ușor să arătăm că o submulțime a mulțimii $\mathbb(C)$ dat ca $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$ satisface toate axiomele pentru numerele reale, deci $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$ sau $R\subset\mathbb(C)$.
Structura algebrică a mulțimii $\mathbb(C)$ în raport cu operațiile de adunare și înmulțire are următoarele proprietăți:
1. comutativitatea adunării și înmulțirii
2. asociativitatea adunării și înmulțirii
3. $0+i0$ - element neutru pentru adunare
4. $1+i0$ - element neutru pentru înmulțire
5. înmulțirea este distributivă în raport cu adunarea
6. Există un singur element invers atât pentru adunare, cât și pentru înmulțire.
Definiția unui număr irațional
Numerele iraționale sunt acele numere care, în notație zecimală, sunt fracții zecimale neperiodice infinite.
Deci, de exemplu, numerele obținute prin luarea rădăcinii pătrate a numerelor naturale sunt iraționale și nu sunt pătrate ale numerelor naturale. Dar nu toate numerele iraționale sunt obținute prin extragerea rădăcinilor pătrate, deoarece numărul „pi” obținut prin împărțire este și el irațional și este puțin probabil să îl obțineți atunci când încercați să extrageți rădăcina pătrată dintr-un număr natural.
Proprietățile numerelor iraționale
Spre deosebire de numerele scrise în fracții zecimale infinite, numai numerele iraționale sunt scrise în fracții zecimale infinite neperiodice.
Suma a două numere iraționale nenegative poate fi în cele din urmă un număr rațional.
Numerele iraționale definesc secțiunile Dedekind în mulțimea numerelor raționale, în clasa inferioară a cărora nu există cel mai mare număr, iar în clasa superioară nu există un număr mai mic.
Orice număr transcendental real este irațional.
Toate numerele iraționale sunt fie algebrice, fie transcendentale.
Setul de numere iraționale de pe linie este dens împachetat, iar între oricare dintre numerele sale trebuie să existe un număr irațional.
Mulțimea numerelor iraționale este infinită, nenumărabilă și este o mulțime din categoria a 2-a.
Când se efectuează orice operație aritmetică pe numere raționale, cu excepția împărțirii cu 0, rezultatul acesteia va fi un număr rațional.
Când adăugați un număr rațional la un număr irațional, rezultatul este întotdeauna un număr irațional.
Când adunăm numere iraționale, putem obține un număr rațional ca rezultat.
Mulțimea numerelor iraționale nu este par.
Cifrele nu sunt iraționale
Uneori este destul de dificil să răspunzi la întrebarea dacă un număr este irațional, mai ales în cazurile în care numărul este sub forma unei fracții zecimale sau sub forma unei expresii numerice, rădăcină sau logaritm.
Prin urmare, nu va fi de prisos să știm care numere nu sunt iraționale. Dacă urmăm definiția numerelor iraționale, atunci știm deja că numerele raționale nu pot fi iraționale.
Numerele iraționale nu sunt:
În primul rând, toate numerele naturale;
În al doilea rând, numere întregi;
În al treilea rând, fracțiile obișnuite;
În al patrulea rând, diferite numere mixte;
În al cincilea rând, acestea sunt fracții zecimale periodice infinite.
În plus față de toate cele de mai sus, orice combinație de numere raționale care este efectuată de semnele operațiilor aritmetice, cum ar fi +, -, , :, nu poate fi un număr irațional, deoarece în acest caz rezultatul a două numere raționale va fi un număr rațional.
Acum să vedem care dintre numere sunt iraționale:
Știți de existența unui fan club unde fanii acestui misterios fenomen matematic caută din ce în ce mai multe informații despre Pi, încercând să-i dezvăluie misterul. Orice persoană care știe pe de rost un anumit număr de numere Pi după virgulă poate deveni membru al acestui club;
Știați că în Germania, sub protecția UNESCO, există palatul Castadel Monte, datorită proporțiilor cărora puteți calcula Pi. Un întreg palat a fost dedicat acestui număr de regele Frederic al II-lea.
Se pare că au încercat să folosească numărul Pi în construcția Turnului Babel. Dar, spre marele nostru regret, acest lucru a dus la prăbușirea proiectului, deoarece la acel moment calculul exact al valorii lui Pi nu era suficient studiat.
Cântăreața Kate Bush a înregistrat pe noul său disc o melodie numită „Pi”, în care au sunat o sută douăzeci și patru de numere din celebra serie de numere 3, 141... ..
Însuși conceptul de număr irațional este astfel aranjat încât este definit prin negația proprietății „a fi rațional”, deci demonstrarea prin contradicție este cea mai firească aici. Este posibil, totuși, să oferim următorul raționament.
Cum diferă numerele fundamental raționale de cele iraționale? Ambele pot fi aproximate prin numere raționale cu orice precizie dată, dar pentru numerele raționale există o aproximare cu precizie „zero” (numărul în sine), dar pentru numerele iraționale nu mai este cazul. Să încercăm să ne jucăm cu el.
În primul rând, observăm un fapt atât de simplu. Fie $%\alpha$%, $%\beta$% două numere pozitive care se aproximează reciproc cu o precizie de $%\varepsilon$%, adică $%|\alpha-\beta|=\varepsilon$%. Ce se întâmplă dacă inversăm numerele? Cum schimbă acest lucru precizia? Este ușor de observat că $$\left|\frac1\alpha-\frac1\beta\right|=\frac(|\alpha-\beta|)(\alpha\beta)=\frac(\varepsilon)(\ alpha\ beta),$$ care va fi strict mai mic de $%\varepsilon$% pentru $%\alpha\beta>1$%. Această afirmație poate fi privită ca o lemă independentă.
Acum să punem $%x=\sqrt(2)$% și să fie $%q\in(\mathbb Q)$% o aproximare rațională a $%x$% cu precizie $%\varepsilon$%. Știm că $%x>1$%, iar în ceea ce privește aproximarea $%q$%, solicităm ca inegalitatea $%q\ge1$% să fie satisfăcută. Pentru toate numerele mai mici de $%1$%, acuratețea aproximării va fi mai slabă decât cea a $%1$% în sine și, prin urmare, nu le vom lua în considerare.
Să adăugăm $%1$% la fiecare dintre numerele $%x$%, $%q$%. Evident, precizia de aproximare va rămâne aceeași. Acum avem numerele $%\alpha=x+1$% și $%\beta=q+1$%. Trecând la reciproce și aplicând „lema”, vom ajunge la concluzia că precizia noastră de aproximare s-a îmbunătățit, devenind strict mai mică de $%\varepsilon$%. Condiția necesară $%\alpha\beta>1$% este îndeplinită chiar și cu o marjă: de fapt, știm că $%\alpha>2$% și $%\beta\ge2$%, din care putem concluziona că precizia este îmbunătățită de cel puțin $%4$% ori, adică nu depășește $%\varepsilon/4$%.
Și aici este punctul principal: după condiție, $%x^2=2$%, adică $%x^2-1=1$%, ceea ce înseamnă că $%(x+1)(x- 1) =1$%, adică numerele $%x+1$% și $%x-1$% sunt inverse unul față de celălalt. Și asta înseamnă că $%\alpha^(-1)=x-1$% va fi o aproximare a numărului (rațional) $%\beta^(-1)=1/(q+1)$% cu un precizie strict mai mică de $%\varepsilon$%. Rămâne să adăugați $%1$% la aceste numere și se dovedește că numărul $%x$%, adică $%\sqrt(2)$%, are o nouă aproximare rațională egală cu $%\beta ^(- 1)+1$%, adică $%(q+2)/(q+1)$%, cu precizie „îmbunătățită”. Aceasta completează demonstrația, deoarece numerele raționale, așa cum am observat mai sus, au o aproximare rațională „absolut exactă” cu o precizie de $%\varepsilon=0$%, unde precizia nu poate fi crescută în principiu. Și am reușit să o facem, ceea ce vorbește despre iraționalitatea numărului nostru.
De fapt, acest argument arată cum să construiți aproximări raționale concrete pentru $%\sqrt(2)$% cu o acuratețe din ce în ce mai bună. Mai întâi trebuie să luăm aproximarea $%q=1$%, apoi să aplicăm aceeași formulă de înlocuire: $%q\mapsto(q+2)/(q+1)$%. Acest proces produce următoarele: $$1,\frac32,\frac75,\frac(17)(12),\frac(41)(29),\frac(99)(70)$$ și așa mai departe.
Exemplu:
\(4\) este un număr rațional, deoarece poate fi scris ca \(\frac(4)(1)\) ;
\(0,0157304\) este de asemenea rațional deoarece poate fi scris ca \(\frac(157304)(10000000)\) ;
\(0,333(3)…\) - și acesta este un număr rațional: poate fi reprezentat ca \(\frac(1)(3)\) ;
\(\sqrt(\frac(3)(12))\) este rațional deoarece poate fi reprezentat ca \(\frac(1)(2)\) . Într-adevăr, putem efectua un lanț de transformări \(\sqrt(\frac(3)(12))\) \(=\)\(\sqrt(\frac(1)(4))\) \(= \) \ (\frac(1)(2)\)
număr irațional este un număr care nu poate fi scris ca fracție cu numărător și numitor întreg.
Imposibil pentru că fără sfârşit fracții și chiar neperiodice. Prin urmare, nu există numere întregi care, împărțite între ele, ar da un număr irațional.
Exemplu:
\(\sqrt(2)≈1,414213562…\) este un număr irațional;
\(π≈3,1415926… \) este un număr irațional;
\(\log_(2)(5)≈2,321928…\) este un număr irațional.
Exemplu
(Sarcina de la OGE). Valoarea căruia dintre expresii este un număr rațional?
1) \(\sqrt(18)\cdot\sqrt(7)\);
2)\((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))\);
3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))\);
4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)\).
Decizie:
1) \(\sqrt(18)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(9\cdot 2\cdot 7)=3\sqrt(14)\) este, de asemenea, imposibil de reprezentat un număr ca o fracție cu numere întregi , prin urmare numărul este irațional.
2) \((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))= (\sqrt(9)^2-\sqrt(14)^2)=9 -14=-5\) - nu au mai rămas rădăcini, numărul poate fi reprezentat cu ușurință ca o fracție, de exemplu, \(\frac(-5)(1)\) , deci este rațional.
3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))=\sqrt(\frac(22)(2))=\sqrt(\frac(11)(1))=\sqrt( 11) \) - rădăcina nu poate fi extrasă - numărul este irațional.
4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)=\sqrt(9\cdot 6)+3\sqrt(6)=3\sqrt(6)+3\sqrt(6)=6\sqrt (6)\) este de asemenea iraţional.