FUNCȚIA DELTA

Definiție. funcția delta

(2.1)

A functie generalizata

Fig.1. funcția delta

Condiție de normalizare

, . (2.2)

A, așa cum se arată în Figura 1, b

Paritatea funcției rezultă din (2.1)

. (2.2a)

, (2.2b)

așa cum se arată în figura 1, b.

ortonormalitate. O mulțime de caracteristici

Proprietăți FUNCȚIE DELTA

proprietatea filtrului

primim

b, găsim

, . (2.5)

Baza ortonormala

În (2.5) setăm

, ,

. (2.7)

Efectuat

, (2.8)

Dovada

Simplificarea argumentului

Dacă sunt rădăcinile funcției , apoi

. (2.9)

Dovada

Într-un cartier mic, ne extindem într-o serie Taylor

și ne restrângem la primii doi termeni

Folosim (2.8)

Comparăm integranții și obținem (2.9).

Convoluţie

Din definiția convoluției (1.22)

la primim

Noi credem , si gaseste

. (2.35a)

și (2.35a) da

. (2.35b)

primim

. (2.36a)

și (2.36a) da

. (2.36b)

. (2.37a)

primim

. (2.37b)

functia pieptene

(2.53)

Modelează o rețea cristalină nelimitată, antenă și alte structuri periodice.

Transformarea Fourier transformă funcția pieptene într-o funcție pieptene.

(2.8)

primim

. (2.54)

Proprietăți

Funcția este egală

periodic

perioada . Proprietatea de filtrare a funcțiilor delta dă

. (2.55)

transformata Fourier

Pentru o funcție periodică cu punct L Imaginea Fourier este exprimată în termeni de coeficienți Fourier

, (1.47)

, (1.49)

Pentru o funcție de pieptene cu punct, obținem

unde se ia in considerare proprietatea de filtrare a functiei delta. Din (1.47) găsim transformata Fourier

. (2.56)

Transformarea Fourier a funcției comb este funcția comb.

Din (2.56), prin teorema Fourier asupra scalarii argumentului, se obtine

. (2.59)

Creșterea perioadei funcției pieptene ()reduce perioada și mărește amplitudinea spectrului său .

Seria Fourier

Folosim

Pentru , primim

FUNCȚIA DELTA

Definiție. funcția delta

modelează o perturbare punctuală și este definită ca

(2.1)

Funcția este zero în toate punctele, cu excepția cazului în care argumentul său este zero și unde funcția este infinită, așa cum se arată în Fig. unu, A. Specificarea valorilor în punctele argumentului este ambiguă datorită mersului la infinit, deci funcția delta este functie generalizata , și necesită o definiție suplimentară sub forma unei normalizări.

Fig.1. funcția delta

Condiție de normalizare

, . (2.2)

Aria de sub graficul funcției este egală cu unu în orice interval care conține un punct A, așa cum se arată în Figura 1, b. Prin urmare, funcția delta modelează o perturbare punctuală a unei singure valori.

Paritatea funcției rezultă din (2.1)

. (2.2a)

Din simetria unui punct, obținem

, (2.2b)

așa cum se arată în figura 1, b.

ortonormalitate. O mulțime de caracteristici

formează o bază ortonormală infinit-dimensională.

Funcția delta a fost aplicată în optică de Kirchhoff în 1882, în teoria electromagnetică de Heaviside în anii 90. anii XIXîn.

Gustav Kirchhoff (1824–1887) Oliver Heaviside (1850–1925)

Oliver Heaviside - un om de știință autodidact, a folosit pentru prima dată vectori în fizică, a dezvoltat analiza vectorială, a introdus conceptul de operator și a dezvoltat calculul operațional - o metodă de soluție a operatorului ecuatii diferentiale. El a introdus funcția de includere, numită ulterior după el, a folosit funcția de impuls punctual - funcția delta. aplicat numere complexeîn teoria circuitelor electrice. Pentru prima dată, el a scris ecuațiile lui Maxwell sub forma a 4 egalități în loc de 20 de ecuații, așa cum a făcut Maxwell. Termeni introduși: conductivitate, impedanță, inductanță, electret . El a dezvoltat teoria comunicației telegrafice pe distanțe lungi, a prezis prezența unei ionosfere în apropierea Pământului - stratul Kennelly-Heaviside.

Teoria matematică a funcțiilor generalizate a fost dezvoltată de Serghei L'vovich Sobolev în 1936. A fost unul dintre fondatorii Academgorodok din Novosibirsk. Institutul de Matematică al SB RAS poartă numele lui.

Serghei Lvovich Sobolev (1908–1989)

Proprietăți FUNCȚIE DELTA

proprietatea filtrului

Pentru o funcție lină fără discontinuități, de la (2.1)

primim

Presupunând și folosind funcția delta sub forma unei limite la , prezentată în Fig. unu, b, găsim

Integrarea dă proprietatea filtrului în formă integrală

, . (2.5)

Baza ortonormala

În (2.5) setăm

, ,

și obținem condiția de ortonormalitate pentru o bază cu spectru continuu

. (2.7)

Scalarea argumentului

Efectuat

, (2.8)

Dovada

Se integrează produsul funcției delta cu o funcție netedă pe interval, unde:

unde se face o substituție variabilă și se folosește proprietatea de filtrare. Compararea expresiilor inițiale și finale dă (2.8).

Simplificarea argumentului

Dacă sunt rădăcinile funcției , apoi

. (2.9)

Dovada

Funcția este diferită de zero numai în apropierea punctelor , în aceste puncte este infinită.

Pentru a găsi greutatea cu care intră infinitul, integrăm produsul cu o funcție lină pe intervalul . Contribuțiile sunt diferite de zero doar în cartierele de puncte

. , (2.10) .. (2.35a)

Teorema de schimbare a argumentului lui Fourier

și (2.35a) da

. (2.35b)

Din (1.1) și reprezentarea integrală (2.24)

primim

. (2.36a)

Teorema lui Fourier asupra defazajului unei funcții

și (2.36a) da

. (2.36b)

Din (2.35a) și teorema de diferențiere Fourier

. (2.37a)

Din (2.36a) și teorema Fourier privind înmulțirea cu un argument

primim

. (2.37b)

1. Funcția de includere a unității grele, funcția Dirac delta și principalele lor proprietăți

Funcția de identitate grea

Funcția Heaviside (funcția pas de unitate, funcția de salt de unitate, unitate inclusă) este o funcție constantă pe bucăți egală cu zero pentru valorile negative ale argumentului și una pentru cele pozitive. La zero, această funcție nu este definită, dar este de obicei extinsă în acest punct cu un anumit număr, astfel încât domeniul funcției să conțină toate punctele axei reale. Cel mai adesea, nu contează ce valoare ia funcția la zero, așa că pot fi utilizate diverse definiții ale funcției Heaviside, convenabile dintr-un motiv sau altul, de exemplu:

O altă definiție comună:

Funcția Heaviside este utilizată pe scară largă în aparatul matematic al teoriei controlului și al teoriei procesării semnalului pentru a reprezenta semnale care trec de la o stare la alta la un anumit moment în timp. În statistica matematică, această funcție este folosită pentru a scrie funcția de distribuție empirică.

Funcția Heaviside este antiderivată pentru funcția delta Dirac, H" = δ, aceasta poate fi scrisă și ca:

funcția delta

δ -funcţie(sauFuncția delta,δ -Funcția Dirac, Dirac delta, funcție de impuls unitar) vă permite să scrieți densitatea spațială cantitate fizica(masa, sarcina, intensitatea sursei de caldura, forta etc.) concentrata sau aplicata intr-un punct.

De exemplu, densitatea unei unități de masă punctuală situată într-un punct A Spațiul euclidian , se scrie folosind funcția δ sub forma δ( X − A). Se aplică și pentru a descrie distribuțiile de sarcină, masă etc. pe suprafețe sau linii.

Funcția δ este o funcție generalizată, ceea ce înseamnă că este definită formal ca o funcțională liniară continuă pe spațiul funcțiilor diferențiabile.

Funcția δ nu este o funcție în sensul clasic; cu toate acestea, nu este dificil să găsiți secvențe de funcții clasice obișnuite care converg slab către funcția δ.

Se poate distinge între funcțiile delta unidimensionale și multidimensionale, totuși, acestea din urmă pot fi reprezentate ca un produs al celor unidimensionale într-o cantitate egală cu dimensiunea spațiului pe care este definită cea multidimensională.

Proprietăți

Antiderivată a funcției delta unidimensionale este funcția Heaviside:

Proprietatea de filtrare a funcției delta:

2. Filtrutripla(HPF)- un filtru electronic sau orice alt filtru care trece frecvențele înalte ale semnalului de intrare, în timp ce suprimă frecvențele semnalului mai mici decât frecvența de tăiere. Gradul de suprimare depinde de tipul specific de filtru. Filtru pasiv - Un filtru electronic care constă numai din componente pasive, cum ar fi condensatoare și rezistențe. Filtrele pasive nu necesită nicio sursă de energie pentru a funcționa. Spre deosebire de filtrele active, filtrele pasive nu amplifică semnalul din punct de vedere al puterii. Aproape întotdeauna filtrele pasive sunt liniare.

Cel mai simplu filtru trece-înalt electronic constă dintr-un condensator și un rezistor conectate în serie. Condensatorul trece doar curent alternativ, iar tensiunea de ieșire este preluată de la rezistor. Produsul rezistenței și capacității (R×C) este constanta de timp pentru un astfel de filtru, care este invers proporțională cu frecvența de tăiere în herți.

(Oricum)

Convertiți răspunsul LPF în răspunsul HPF se poate face folosind schimbarea variabilei: unde n este frecvența de tăiere a benzii de trecere LPF și

Convertiți circuitele pasiveLC-filtre. Modificarea variabilelor (2.31) și (2.32) în expresia răspunsului în frecvență la pătrat |H p (j )| 2 filtre trece-jos, la implementarea acestei funcții, conduc la conversia circuitului trece-jos în filtru trece-înalt și circuite PF. Rezistența inductivă a filtrului trece-jos j n.h. L n.h. trece la transformarea frecvențelor (17.31) în rezistență: adică în capacitatea filtrului de înaltă frecvență, unde C v.ch = 1/ p 2 L n.h.

Conductanță capacitivă: se transformă în conducție inductivă a filtrului de trecere înaltă cu inductanță L frecvență înaltă = 1/ n 2 C frecvență joasă.

Transformarea funcției de transfer a filtrelor active RC. În filtrele RC active, pentru a trece de la funcția de transfer a prototipului LPF la funcțiile de transfer ale HPF și PF, variabila complexă p trebuie înlocuită. Din (17.31) obținem pentru HPF

sau (17.34) unde n.h = n.h/p și v.h = v.h/p.

(Sau cum au scris la opțiunea)

Definiție. funcția delta

modelează o perturbare punctuală și este definită ca

(2.1)

Funcția este egală cu zero în toate punctele, cu excepția
, unde argumentul său este zero și unde funcția este infinită, așa cum se arată în Fig. unu, A. Exercițiu
valorile în punctele argumentului sunt ambigue datorită mersului la infinit, deci funcția delta este functie generalizata , și necesită o definiție suplimentară sub forma unei normalizări.

Fig.1. funcția delta

Condiție de normalizare

,
. (2.2)

Paritatea funcției rezultă din (2.1)

. (2.2a)

Din simetrie
relativ la punct
primim

, (2.2b)

așa cum se arată în figura 1, b.

ortonormalitate. O mulțime de caracteristici

,
,

formează o bază ortonormală infinit-dimensională.

Funcția delta a fost aplicată în optică de Kirchhoff în 1882 și în teoria electromagnetică de Heaviside în anii 1990.

Gustav Kirchhoff (1824–1887) Oliver Heaviside (1850–1925)

Oliver Heaviside este un om de știință autodidact care a folosit pentru prima dată vectorii în fizică, a dezvoltat analiza vectorială, a introdus conceptul de operator și a dezvoltat calculul operațional, o metodă de operare pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale. El a introdus funcția de includere, numită ulterior după el, a folosit funcția de impuls punctual - funcția delta. A aplicat numerele complexe în teoria circuitelor electrice. Pentru prima dată, el a scris ecuațiile lui Maxwell sub forma a 4 egalități în loc de 20 de ecuații, așa cum a făcut Maxwell. Termeni introduși: conductivitate, impedanță, inductanță, electret . El a dezvoltat teoria comunicației telegrafice pe distanțe lungi, a prezis prezența unei ionosfere în apropierea Pământului - Kennelly – Strat de partea grea .

Serghei Lvovich Sobolev (1908–1989)

Delta Function Properties Proprietatea filtrului

Pentru o funcționare lină
, care nu are discontinuități, din (2.1)

primim proprietatea de filtrare a funcției delta în formă diferențială afectând un punct
:

Noi credem
, și utilizați limita pentru funcția delta la
prezentată în fig. unu, b. Găsim

. (2.4)

Integram (2.3) pe interval
, inclusiv punctul A, luăm în considerare normalizarea (2.2) și obținem proprietatea de filtrare a funcției delta în formă integrală

,
. (2.5)

Baza ortonormala

În (2.5) setăm

,
,

și obținem condiția de ortonormalitate pentru bază
cu un interval continuu de valori

. (2.7)

Introducere

Dezvoltarea științei necesită pentru fundamentarea ei teoretică din ce în ce mai mult matematică înaltă”, una dintre realizările cărora sunt funcții generalizate, în special, funcția Dirac. În prezent, teoria funcțiilor generalizate este relevantă în fizică și matematică, deoarece are o serie de proprietăți remarcabile care extind posibilitățile clasicului analiză matematică, extinde gama de probleme luate în considerare și, în plus, duce la simplificări semnificative în calcule, automatizarea operațiilor elementare.

Obiectivele acestei lucrări:

1) studiază conceptul funcției Dirac;

2) luați în considerare abordările fizice și matematice ale definiției sale;

3) arătați aplicația pentru găsirea derivatelor de funcții discontinue.

Sarcinile lucrării: să arate posibilitățile de utilizare a funcției delta în matematică și fizică.

Lucrarea prezintă diferite căi definiții și introducere a funcției delta Dirac, aplicarea acesteia în rezolvarea problemelor.

Definiția funcției Dirac

Noțiuni de bază.

În diverse întrebări de analiză matematică, termenul „funcție” trebuie înțeles cu diferite grade de generalitate. Uneori sunt luate în considerare funcții continue, dar nediferențiabile, în alte întrebări trebuie să presupunem că vorbim de funcții care sunt diferențiabile o dată sau de mai multe ori și așa mai departe. Cu toate acestea, în unele cazuri concept clasic funcții, chiar interpretate în sensul cel mai larg, adică de regulă arbitrară, atribuirea fiecărei valori x din domeniul acestei funcții a unui anumit număr y=f(x), se dovedește a fi insuficientă.

Iată un exemplu important: atunci când aplicăm aparatul de analiză matematică la anumite probleme, trebuie să ne confruntăm cu o situație în care anumite operații de analiză se dovedesc imposibile; de exemplu, o funcție care nu are derivată (în anumite puncte sau chiar peste tot) nu poate fi diferențiată dacă derivata este înțeleasă ca functie elementara. Dificultățile de acest tip ar putea fi evitate prin limitarea luării în considerare numai a funcțiilor analitice. Cu toate acestea, o astfel de restrângere a stocului de funcții admisibile este extrem de nedorită în multe cazuri. Necesitatea extinderii în continuare a conceptului de funcție a devenit deosebit de acută.

În 1930, pentru a rezolva problemele de fizică teoretică, cel mai mare fizician teoretic englez P. Dirac, unul dintre fondatorii mecanicii cuantice, nu avea aparatul matematicii clasice și a introdus un nou obiect numit „funcția delta”, care a mers. mult dincolo de definiție clasică funcții.

P. Dirac în cartea „Principles of Quantum Mechanics” a definit funcția delta q(x) după cum urmează:

În plus, condiția este stabilită:

Puteți vizualiza graficul unei funcții similare cu q(x), așa cum se arată în Figura 1. Cu cât banda dintre ramurile stânga și dreapta este mai îngustă, cu atât această bandă trebuie să fie mai înaltă pentru aria benzii. (adică, integrala) pentru a-și păstra valoarea dată egală cu 1. Pe măsură ce banda se îngustează, ne apropiem de condiție q(x) = 0 la X? 0, funcția se apropie de funcția delta.

Această idee este în general acceptată în fizică.

Trebuie subliniat faptul că q(x) nu este o funcție în sensul obișnuit, deoarece această definiție implică condiții incompatibile din punctul de vedere al definiției clasice a unei funcții și a unei integrale:

la și.

În analiza clasică, nu există nicio funcție care să aibă proprietățile prescrise de Dirac. Doar câțiva ani mai târziu, în lucrările S.L. Sobolev și L. Schwartz, funcția delta și-a primit designul matematic, dar nu ca o funcție obișnuită, ci ca o funcție generalizată.

Înainte de a trece la considerarea funcției Dirac, introducem principalele definiții și teoreme de care vom avea nevoie:

Definiție 1. Imaginea funcției f(t) sau L - imagine funcţie dată f(t) este o funcție a variabilei complexe p definită de egalitatea:

Definiția 2. Funcţie f(t) definit astfel:

numit Funcția de identitate greași notat cu. Graficul acestei funcții este prezentat în Fig. 2

Sa gasim L- imaginea funcției Heaviside:

Fie funcția f(t) pentru t<0 тождественно равна нулю (рис.3). Тогда функция f(t-t 0) будет тождественно равна нулю при t

Pentru a găsi imaginea q(x) folosind o funcție auxiliară, luați în considerare teorema de întârziere:

Teorema 1. Dacă F(p) este o imagine a funcției f(t), atunci există o imagine a funcției f(t-t 0 ), adică dacă L(f(t))=F(p), atunci .

Dovada.

Prin definiția unei imagini, avem

Prima integrală este zero deoarece f(t-t 0 )=0 la t 0 . În ultima integrală facem schimbarea variabilei t-t 0 =z:

Prin urmare, .

Pentru funcția unității Heaviside s-a constatat că. Pe baza teoremei demonstrate, rezultă că pentru funcția, L- imaginea va fi, adică

Definiția 3. Funcție continuă sau continuă pe bucăți d(t,l) argument t, în funcție de parametru l, se numește în formă de ac, dacă:

Definiția 4. Funcția numerică f, definit pe un spațiu liniar L, numit funcţionalitate.

Să definim setul acelor funcții asupra cărora funcționalele vor acționa. Ca acest set, luați în considerare setul K toate funcțiile reale c(x), fiecare dintre acestea având derivate continue de toate ordinele și este finită, adică dispare în afara unei zone limitate (proprie pentru fiecare dintre funcții c(x)). Aceste funcții vor fi apelate principal, și întregul lor set La - spatiul principal.

Definiția 5. Funcția generalizată este orice funcțională liniară continuă definită pe spațiul de bază La.

Să descifrăm definiția unei funcții generalizate:

1) funcția generalizată f există funcționalitate pe funcțiile principale c, adică fiecare c mapează la un număr (complex). (f, c);

2) funcționalitate f liniară, adică pentru orice numere complexe l 1 și l 2 și orice funcții de bază c 1 și c 2 ;

3) funcționalitate f continuă, adică dacă.

Definiția 6.Puls- un singur salt, de scurtă durată, de curent electric sau tensiune.

Definiția 7.Densitate medie- raportul de greutate corporală m la volumul său V, adică

Teorema 2.(Teorema valorii medii generalizate).

Dacă f(t) este continuă și este o funcție integrabilă pe , și nu își schimbă semnul pe acest interval, atunci unde.

Teorema 3.Fie ca funcția f(x) să fie mărginită și să aibă cel mult un număr finit de puncte de discontinuitate. Atunci funcția este o antiderivată pentru funcția f(x) pe interval, iar pentru orice antiderivată Ф(x) formula.

Definiția 8. Mulțimea tuturor funcționalelor liniare continue definite pe un spațiu liniar E, formează un spațiu liniar. Se numește spațiu conjuga cu E, și este notat E * .

Definiția 9. spațiu liniar E, în care se dă o normă, se numește spațiu normat.

Definiția 10. Secvența este numită slab convergente k, dacă relația este valabilă pentru fiecare.

Teorema 4.Dacă (x n ) este o secvență slab convergentă într-un spațiu normat, atunci există un număr constant C astfel încât .

Funcția Dirac delta

Funcția delta (5-funcție) a fost introdusă de către fizicianul englez P. A. M. Dirac „din necesitate” când a creat aparatul matematic al mecanicii cuantice. Matematicienii „nu l-au recunoscut” de ceva vreme, după care au creat teoria funcțiilor generalizate, dintre care funcția δ este un caz special.

Conform definiției (naive), funcția δ este egală cu zero peste tot, cu excepția unui punct, dar aria acoperită de această funcție este egală cu unu:

Acestea conflictuale

cerinţele nu pot fi îndeplinite de o funcţie de tip „obişnuit”.

Zeldovich Ya.B. Matematică superioară pentru fizicienii și tehnicienii începători. -M.: Nauka, 1982.

De fapt, ca un diferențial δx nu este un număr (egal cu zero), iar expresia „valoare infinit de mică” este greu de înțeles calitativ, de înțeles corect δx nu ca număr, ci ca limită (proces), este de asemenea corect să înțelegem funcția δ ca limită (proces). Pe fig. 3.7.1 și 3.7.2 prezintă mai multe funcții (în funcție de parametru), a căror limită este funcția δ. Există o infinitate de astfel de funcții - fiecare își poate alege pe ale sale.

Funcția δ are multe proprietăți utile, fiind, în special, analogul continuum al simbolului Kronecker δkk

compara cu

O altă relație surprinzătoare indică modul în care puteți diferenția prin integrarea:

Unde 8 - derivat 8- funcții.

Orez. 3.7.1 - Două aproximări succesive la δ-

Funcții Dirac. Funcția ilustrată

Orez. 3.7.2 - Două funcții care sunt în limită A ->∞ dau funcții δ:

În cele din urmă, rețineți că intervalul funcției δ:

Unde in(x)- Funcția Heaviside,

pas, cu pauză la punct x= 0 .

Tranziții de fază

Pentru a vorbi despre tranziții de fază, este necesar să se definească ce faze sunt. Conceptul de faze apare în multe fenomene, prin urmare, în loc să dăm o definiție generală (cu cât este mai generală, cu atât mai abstractă și mai invizibilă, așa cum ar trebui să fie), vom da câteva exemple.

În primul rând, un exemplu al fizicii lor. Pentru lichidul obișnuit, cel mai comun din viața noastră - apa, sunt cunoscute trei faze: lichid, solid (gheață) și gazos (abur). Fiecare dintre ele este caracterizată de propriile valori ale parametrilor. Este esențial ca atunci când condițiile externe se schimbă, o fază (gheață) să treacă în alta (lichid). Un alt obiect preferat al teoreticienilor este un feromagnet (fier, nichel și multe alte metale și aliaje pure). La temperaturi scăzute (pentru nichel de mai jos T= 3600 Cu) o probă de nichel este un feromagnet; atunci când câmpul magnetic extern este îndepărtat, acesta rămâne magnetizat, adică poate fi folosit ca magnet permanent. La temperaturi peste Ts această proprietate se pierde, atunci când câmpul magnetic extern este oprit, acesta intră într-o stare paramagnetică și nu este un magnet permanent. Când temperatura se schimbă, are loc o tranziție - o tranziție de fază - de la o fază la alta.

Să mai dăm un exemplu geometric din teoria percolării. Decuparea aleatorie a conexiunilor din rețea, în cele din urmă, când concentrarea conexiunilor rămase - R devine mai mică decât o anumită valoare rs, nu se va mai putea trece de-a lungul zăbrelei „de la un capăt la altul”. Astfel, grila din starea de percolare - faza de „scurgere”, va intra în starea fazei de „fără scurgere”.

Din aceste exemple, este clar că pentru fiecare dintre sistemele luate în considerare există un așa-numit parametru de ordine care determină în care dintre fazele se află sistemul. În feromagnetism, parametrul de ordine este magnetizarea într-un câmp extern zero; în teoria percolării, este conectivitatea rețelei sau, de exemplu, conductivitatea acesteia sau densitatea unui cluster infinit.

Tranzițiile de fază sunt de diferite tipuri. Tranzițiile de fază de primul fel sunt o astfel de tranziție atunci când mai multe faze pot exista simultan în sistem. De exemplu, la o temperatură de 0° C gheața plutește în apă. Dacă sistemul este în echilibru termodinamic (fără furnizare și îndepărtare de căldură), atunci gheața nu se topește și nu crește. Pentru tranzițiile de fază de al doilea fel, existența mai multor faze simultan este imposibilă. O bucată de nichel este fie în stare paramagnetică, fie în stare feromagnetică. O plasă cu conexiuni tăiate aleatoriu este fie conectată, fie nu.

Decisiv în crearea teoriei tranzițiilor de fază de al doilea fel, al cărei început a fost pus de L.D. Landau, a existat o introducere a parametrului de comandă (îl vom nota G]) ca trăsătură distinctivă a fazei sistemului. Într-una dintre faze, de exemplu, paramagnetică, r] = 0, iar în celălalt, feromagnetic, G ^ 0. Pentru fenomene magnetice, parametrul de ordine ] este magnetizarea sistemului.

Pentru a descrie tranzițiile de fază, se introduce o anumită funcție a parametrilor care determină starea sistemului - G(n, T,...). În sistemele fizice, aceasta este energia Gibbs. În fiecare fenomen (percolare, o rețea de „lumi mici”, etc.), această funcție va fi determinată „independent”. Proprietatea principală a acestei funcții, prima ipoteză a lui L.D. Landau - în stare de echilibru, această funcție ia o valoare minimă:

În sistemele fizice se vorbește de echilibru termodinamic, în teoria lanțurilor complexe se poate vorbi de stabilitate. Rețineți că condiția de minimalitate este determinată prin modificarea parametrului de comandă.

A doua ipoteză a lui L.D. Landau - la o transformare de fază n = 0. Conform acestei ipoteze, funcția b(n, T, ...) în apropierea punctului de tranziție de fază poate fi extinsă într-o serie în puteri ale parametrului de ordin n:

unde n = 0 într-o fază (paramagnetică, dacă vorbim de magnetism și incoerent, dacă vorbim de grilă) și n ^ 0 în cealaltă (feromagnetică sau conectată).

Din condiție

care ne oferă două soluții

Pentru T > Tc trebuie să existe o soluție n = 0, iar pentru T< Тс soluţia n ^ 0. Aceasta poate fi satisfăcută dacă pentru cazul T > Tcși n = 0 alege A > 0 . În acest caz, nu există o a doua rădăcină. Și pentru caz T < Ts a doua soluție trebuie să aibă loc, adică. trebuie efectuată DAR< 0. Astfel:

A > 0 la T > Tc, DAR< 0 la T< Тс ,

A doua ipoteză a lui Landau necesită A(Tc) = 0. Cel mai simplu gen funcția A(T) care satisface aceste cerințe este

Așa-numitul indice critic și funcția C(g], T) ia forma:

Pe fig. 3.8.1 arată dependența b(n, T) pentru T > Tcși T< Тс .

Orez. 3.8.1 - Parametru Funcție Plots G(n, T) pentru T > Tc și T< Тс

Poston T., Stuart I. Teoria catastrofei și aplicațiile sale. - M.: Mir, 1980. Gilmour R. Teoria aplicată a catastrofei. - M.: Mir, 1984.

Dependența calitativă a parametrilor G(j], T) pe parametrul de comandă ] este prezentat în fig. 3.8.1 (G0 = 0). Dependența de temperatură a parametrului de comandă ] este prezentată în Fig. 3.8.2.

O teorie mai avansată ia în calcul că atunci când T > Tc parametrul de comandă ] , deși foarte mic, nu este exact zero.

Trecerea sistemului de la stat cu h = 0 la T > Tcîn stare cu h- 0 când scade Tși atingerea valorilor T £ Tc poate fi înțeles ca pierderea stabilității poziției h = 0 la T £ Tc. O teorie matematică recentă

cu denumirea sonoră „Teoria Catastrofelor” descriind dintr-un singur punct de vedere multe fenomene diferite. Din punctul de vedere al teoriei catastrofelor, o tranziție de fază de al doilea fel este o „catastrofă de asamblare”.

Orez. 3.8.2 - Dependența parametrilor de comandă n temperatura: at T< Tc si aproape Tc parametrul de comandă n Comporta-te ca functie de putere, și atunci când T > Tc n = 0