De la Wikipedia, enciclopedia liberă

atractor Rössler- atractor haotic, care are un sistem de ecuații diferențiale Rössler:

$\backslash left\; \backslash (\; \backslash begin(matrix)\; \backslash frac(dx)(dt)\; =\; -y\; -\; z\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dy)(dt)\; =\; x\; +\; ay\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dz)(dt)\; =\; b\; +\; z\; (x-c)\; \backslash end(matrice)\; \backslash right.$ ;

Unde $a,b,c$ sunt constante pozitive. Pentru valorile parametrilor $a=b=0,2$și $2.6\backslash le\; c\backslash le\; 4.2$ ecuațiile lui Rössler au un ciclu limită stabil. Cu aceste valori ale parametrilor, perioada și forma ciclului limită realizează o secvență de dublare a perioadei. Imediat după punct $c\; =\; 4,2$ apare fenomenul unui atractor haotic. Liniile bine definite ale ciclurilor limită estompează și umplu spațiul fazelor cu un set infinit numărabil de traiectorii care au proprietățile unui fractal.

Uneori, atractorii Rössler sunt construiti pentru un avion, adică cu $z\; =\; 0$.

$\backslash left\; \backslash (\; \backslash begin(matrix)\; \backslash frac(dx)(dt)\; =\; -y\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dy)(dt)\; =\; x\; +\; ay\; \backslash end(matrix)\; \backslash right.$

Soluții durabile pentru $X\; y$ poate fi găsit prin calcularea vectorului propriu al matricei Jacobi a formei , pentru care $\backslash frac\; (a\; \backslash pm\; \backslash sqrt(a^2\; -\; 4))\; (2)$.

{2}

Din aceasta se vede clar că atunci când , vectori proprii sunt complexe și au componente reale pozitive, ceea ce face ca atractorul să fie instabil. Acum vom lua în considerare avionul $Z$în aceeași gamă $A$. Pa $X$ Mai puțin $c$, parametru $c$ va menţine traiectoria aproape de avion $X\; y$. O singura data $X$ va deveni mai mult $c$, $z$-coordonata va incepe sa creasca, iar putin mai tarziu parametrul $-z$ va încetini creșterea $X$în $\backslash frac\; (dx)\; (dt)$.

Puncte de echilibru

Pentru a găsi punctele de echilibru, cele trei ecuații Rössler sunt egale cu zero și $xyz$-coordonatele fiecărui punct de echilibru se găsesc prin rezolvarea ecuaţiilor rezultate. În cele din urmă:

$\backslash left\; \backslash (\; \backslash begin(matrix)\; x\; =\; \backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2-4ab))(2)\; \backslash \backslash \; y\; =\; -\backslash left(\backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2)\; -4ab))(2a)\backslash right)\; \backslash \backslash \; z\; =\; \backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2-4ab))(2a)\; \backslash end(matrix)\; \backslash right.$

Așa cum se arată în ecuații generale Atractor Rössler, unul dintre acestea puncte fixe situat în centrul atractorului, în timp ce altele se află relativ departe de centru.

Modificarea parametrilor a, b și c

Comportamentul atractorului Rössler depinde în mare măsură de valorile parametrilor constanți. Modificarea fiecărui parametru dă un anumit efect, în urma căruia sistemul poate converge către o orbită periodică, către un punct fix sau se poate grăbi la infinit. Numărul de perioade ale atractorului Rössler este determinat de numărul de spire în jurul punctului central care apar înaintea seriei de bucle.

Diagramele de bifurcație sunt un instrument standard pentru analizarea comportamentului sistemelor dinamice care includ atractorul Rössler. Ele sunt create prin rezolvarea ecuațiilor unui sistem în care două variabile sunt fixe și una este schimbată. La construirea unei astfel de diagrame, se obțin regiuni aproape complet „umbrite”; acesta este tărâmul haosului dinamic.

Modificarea parametrului a

Să reparăm $b\; =\; 0,2$, $c=5,7$ si ne vom schimba $A$.

Ca rezultat, din punct de vedere empiric, obținem următorul tabel:

• $a\backslash leq\; 0$: Convergând către un punct stabil.
• $a\; =\; 0,1$: Învârtire cu o perioadă de 2.
• $a\; =\; 0,2$: Haos (parametru standard al ecuațiilor Rössler) .
• $a\; =\; 0,3$: atractor haotic.
• $a\; =\; 0,35$: Similar cu precedentul, dar haosul este mai pronunțat.
• $a\; =\; 0,38$: Similar cu precedentul, dar haosul este și mai puternic.

Modificați parametrul b

Să reparăm $a\; =\; 0,2$, $c=5,7$ iar acum vom schimba parametrul $b$. După cum se poate observa din figură, la $b$ tinzând spre zero, atractorul este instabil. Când $b$ va deveni mai mult $A$și $c$, sistemul va fi echilibrat și va trece în starea staționară.

Modificarea parametrului c

Să reparăm $a=b=0,1$ si ne vom schimba $c$. Din diagrama de bifurcație se vede că pentru mici $c$ sistemul este periodic, dar devine rapid haotic pe măsură ce crește. Cifrele arată exact cum se modifică aleatoritatea sistemului odată cu creșterea $c$. De exemplu, când $c$= 4 atractorul va avea o perioadă egală cu unu și va fi o singură linie pe diagramă, același lucru se va întâmpla atunci când $c$= 3 și așa mai departe; pa $c$ nu va deveni mai mult de 12: ultimul comportament periodic este caracterizat de această valoare, apoi haosul merge peste tot.

Oferim ilustrări ale comportamentului atractorului în intervalul specificat de valori $c$, care ilustrează comportamentul general al unor astfel de sisteme - tranziții frecvente de la periodicitate la haos dinamic.

Scrieți o recenzie la articolul „Rössler Attractor”

Note

Legături

• Constructor

Literatură

• Voronov V.K., Podoplelov A.V. Fizica modernă: Tutorial. M., KomKniga, 2005, 512 p., ISBN 5-484-00058-0, cap. 2 Fizica sisteme deschise. pp 2.4 Atractorul haotic al lui Rössler.

Un fragment care caracterizează atractorul Rössler

„Lasă-mă să trec, îți spun”, a repetat prințul Andrei, strângându-și buzele.
- Si cine esti tu? deodată ofiţerul se întoarse spre el cu o furie beată. - Cine eşti tu? Tu (el s-a odihnit mai ales pe tine) ești șeful, sau ce? Eu sunt șeful aici, nu tu. Tu, înapoi, - repetă el, - voi sparge o prăjitură.
Se pare că această expresie l-a încântat pe ofițer.
- Adjutantul s-a bărbierit important, - se auzi o voce din spate.
Prințul Andrei a văzut că ofițerul era în acel acces beat de furie fără motiv, în care oamenii nu-și amintesc ce spun. A văzut că mijlocirea lui pentru soția doctorului în căruță era plină de ceea ce se temea cel mai mult în lume, ceea ce se numește ridicol [amuzant], dar instinctul îi spunea altfel. Înainte ca ofițerul să aibă timp să-și termine ultimele cuvinte, prințul Andrei, cu chipul desfigurat de rabie, s-a apropiat de el și a ridicat biciul:
- Lasă-mă să ies din voia ta!
Ofițerul a făcut semn cu mâna și a plecat în grabă.
„Totul din astea, din personal, toată mizeria”, mormăi el. - Fa ce vrei.
Prințul Andrei în grabă, fără să ridice ochii, s-a îndepărtat de soția doctorului, care îl numea mântuitor și, amintindu-și cu dezgust cele mai mici detalii ale acestei scene umilitoare, a mers în galop spre sat unde, după cum i s-a spus, comandantul... şeful a fost.
Intrând în sat, s-a dat jos de pe cal și s-a dus la prima casă cu intenția de a se odihni măcar un minut, mâncând ceva și lămurind toate aceste gânduri jignitoare care îl chinuiau. „Aceasta este o mulțime de ticăloși, nu o armată”, gândi el, urcând la fereastra primei case, când o voce cunoscută l-a strigat pe nume.
S-a uitat înapoi. Chipul frumos al lui Nesvitsky ieșea dintr-o fereastră mică. Nesvitsky, mestecând ceva cu gura lui suculentă și fluturând mâinile, l-a chemat la el.
- Bolkonsky, Bolkonsky! Nu auzi, nu? Du-te mai repede, strigă el.
Intrând în casă, prințul Andrei i-a văzut pe Nesvitsky și un alt adjutant mâncând ceva. S-au întors în grabă către Bolkonsky cu o întrebare dacă știe ceva nou. Pe chipurile lor atât de cunoscute, prințul Andrei a citit o expresie de alarmă și anxietate. Această expresie era vizibilă mai ales pe chipul mereu râzând al lui Nesvitsky.
Unde este comandantul șef? întrebă Bolkonsky.
— Aici, în casa aceea, răspunse adjutantul.
- Ei bine, este adevărat că pacea și capitularea? întrebă Nesvitsky.
- Te intreb. Nu știu nimic decât că am ajuns la tine cu forța.
- Dar noi, frate? Groază! Îmi pare rău, frate, au râs de Mack, dar pentru ei înșiși este și mai rău ”, a spus Nesvitsky. - Stai jos și mănâncă ceva.
„Acum, prințe, nu vei găsi nicio căruță, iar Dumnezeul tău Peter știe unde”, a spus un alt adjutant.
- Unde este apartamentul principal?
- Vom petrece noaptea în Znaim.
„Așa că am împachetat tot ce aveam nevoie pentru mine pe doi cai”, a spus Nesvitsky, „și au făcut pachete excelente pentru mine. Deși prin munții Boemii pentru a scăpa. Rău, frate. Ce ești, cu adevărat rău, de ce tremuri așa? întrebă Nesvitsky, observând cum prințul Andrei se zvâcni, ca și cum ar fi atins un borcan de Leyden.
„Nimic”, a răspuns prințul Andrei.
În acel moment și-a amintit de recenta sa întâlnire cu soția medicului și cu ofițerul Furshtat.
Ce caută comandantul-șef aici? - el a intrebat.
„Nu înțeleg nimic”, a spus Nesvitsky.
„Înțeleg doar că totul este josnic, josnic și ticălos”, a spus prințul Andrei și s-a dus la casa în care stătea comandantul șef.
Trecând pe lângă trăsura lui Kutuzov, caii de călărie chinuiți ai alaiului și cazacii, care vorbeau tare între ei, prințul Andrei a intrat în pasaj. Kutuzov însuși, după cum i s-a spus prințului Andrei, se afla în colibă ​​cu prințul Bagration și Weyrother. Weyrother a fost generalul austriac care l-a înlocuit pe Schmitt ucis. În pasaj, micuțul Kozlovsky stătea ghemuit în fața funcționarului. Funcționarul, pe o cadă răsturnată, și-a ridicat manșetele uniformei, a scris în grabă. Fața lui Kozlovsky era epuizată - el, se pare, nici el nu a dormit noaptea. Îi aruncă o privire prințului Andrei și nici nu dădu din cap spre el.
- Al doilea rând... Ai scris? - a continuat, dictându-i funcționarului, - Grenadier de la Kiev, Podolsky...
„Nu veți ajunge la timp, onoratăreală”, a răspuns grefierul și furios, uitându-se înapoi la Kozlovsky.
În acel moment, din spatele ușii se auzi vocea animată de nemulțumită a lui Kutuzov, întreruptă de o altă voce, necunoscută. Prin sunetul acestor voci, prin neatenția cu care îl privea Kozlovsky, prin ireverenta funcționarului epuizat, prin faptul că funcționarul și Kozlovsky stăteau atât de aproape de comandantul șef pe podea lângă cadă. , și prin faptul că cazacii care țineau caii râdeau zgomotos sub fereastra casei - cu toate acestea, prințul Andrei simțea că ceva important și nefericit era pe cale să se întâmple.
Prințul Andrei l-a îndemnat pe Kozlovsky cu întrebări.
— Acum, prințe, spuse Kozlovsky. - Dispoziție la Bagration.
Ce zici de capitulare?
- Nu există; s-au dat ordine de luptă.
Prințul Andrei s-a dus la ușă, prin care s-au auzit voci. Dar tocmai când era gata să deschidă ușa, vocile din cameră au tăcut, ușa s-a deschis de la sine și Kutuzov, cu nasul acvilin pe fața lui plinuță, a apărut în prag.
Prințul Andrei stătea chiar vizavi de Kutuzov; dar din expresia singurului ochi văzător al comandantului-șef, era limpede că gândul și grija îl ocupau atât de mult, încât părea că vederea îi era întunecată. S-a uitat direct la fața adjutantului său și nu l-a recunoscut.
- Ei bine, ai terminat? se întoarse către Kozlovsky.
„Doar o secundă, Excelența Voastră.
Bagration, scund, cu chipul tare și nemișcat de tip oriental, uscat, nu încă bătrân, îl urma pe comandantul șef.
„Am onoarea să apar”, a repetat prințul Andrei destul de tare, întinzând plicul.
„Ah, de la Viena?” Bun. După, după!
Kutuzov a ieșit cu Bagration în verandă.
— Ei bine, la revedere, prințe, îi spuse el lui Bagration. „Hristos este cu tine. Vă binecuvântez pentru o mare realizare.
Fața lui Kutuzov s-a înmuiat brusc și lacrimi au apărut în ochi. L-a tras pe Bagration spre sine cu mâna stângă, iar cu mâna dreaptă, pe care era un inel, se pare că l-a încrucișat cu un gest obișnuit și i-a oferit un obraz plinuț, în loc de care Bagration l-a sărutat pe gât.

Salutare tuturor!

Acest articol este dedicat caracteristicilor uimitoare din lumea haosului. Voi încerca să vorbesc despre cum să frânezi un lucru atât de ciudat și complex ca un proces haotic și să învăț cum să-ți creezi propriile generatoare de haos simple. Împreună cu tine, vom trece de la o teorie uscată la o vizualizare excelentă a proceselor haotice din spațiu. În special, folosind exemplul unor atractori haotici bine-cunoscuți, voi arăta cum să creez sisteme dinamice și să le folosesc în sarcini legate de circuitele integrate logice programabile în câmp (FPGA).

Introducere

Teoria haosului este o știință neobișnuită și tânără care descrie comportamentul sistemelor dinamice neliniare. În procesul de început, teoria haosului pur și simplu sa transformat stiinta moderna! A entuziasmat mințile oamenilor de știință și i-a făcut din ce în ce mai cufundați în studiul haosului și al proprietăților acestuia. Spre deosebire de zgomot, care este un proces aleatoriu, haosul este determinist. Adică, pentru haos, există o lege a schimbării cantităților incluse în ecuațiile pentru descrierea unui proces haotic. S-ar părea că, cu o astfel de definiție, haosul nu este diferit de orice alte oscilații descrise ca o funcție. Dar nu este. Sistemele haotice sunt foarte sensibile la condițiile inițiale, iar cea mai mică modificare a acestora poate duce la diferențe enorme. Aceste diferențe pot fi atât de puternice încât va fi imposibil de spus dacă unul sau mai multe sisteme au fost testate. Din surse populare din știință, această proprietate a haosului descrie cel mai bine un proces numit „ Efect de fluture„. Mulți au auzit despre asta și chiar au citit cărți și au vizionat filme care au folosit tehnica folosind efectul fluture. În esență, efectul fluture reflectă principala proprietate a haosului.

Omul de știință american Edward Lorenz, unul dintre pionierii în domeniul haosului, a spus odată:

Un fluture care bate din aripi în Iowa poate provoca o avalanșă de efecte care poate culmina în sezonul ploios din Indonezia.

Așadar, să ne afundăm în teoria haosului și să vedem ce mijloace improvizate pot genera haos.

Teorie

Înainte de a prezenta materialul principal, aș dori să dau câteva definiții care vor ajuta la înțelegerea și clarificarea unor puncte din articol.

sistem dinamic este un set de elemente pentru care dependenta functionalaîntre coordonata timpului şi poziţia în spaţiul fazelor fiecărui element al sistemului. Mai simplu spus, un sistem dinamic este unul în care starea în spațiu se schimbă în timp.
Multe procese fizice din natură sunt descrise de sisteme de ecuații, care sunt sisteme dinamice. De exemplu, acestea sunt procesele de ardere, fluxurile de lichide și gaze, comportamentul câmpurilor magnetice și oscilații electrice, reacții chimice, fenomene meteorologice, modificări ale populației la plante și animale, turbulențe ale curenților marini, mișcarea planetelor și chiar a galaxiilor. După cum puteți vedea, multe fenomene fizice pot fi descrise într-o oarecare măsură ca un proces haotic.

Portret de fază- aceasta este plan de coordonate, în care fiecare punct corespunde stării sistemului dinamic la un anumit moment în timp. Cu alte cuvinte, asta model spațial sisteme (pot fi bidimensionale, tridimensionale și chiar patrudimensionale și mai mult).

atractor este un set al spațiului de fază al sistemului dinamic, pentru care toate traiectoriile sunt atrase de acest set în timp. Dacă este deloc limbaj simplu, atunci aceasta este o zonă în care se concentrează comportamentul sistemului în spațiu. Multe procese haotice sunt atractoare, deoarece sunt concentrate într-o anumită regiune a spațiului.

Implementarea

În acest articol, aș dori să vorbesc despre cei patru atractori principali - Lorentz, Ressler, Rikitaka și Nose-Hoover. Inafara de descriere teoretică articolul reflectă aspecte ale creării de sisteme dinamice în mediu MATLAB Simulinkși integrarea lor în continuare în FPGA al companiei Xilinx cu ajutorul unui instrument Generator de sistem. De ce nu VHDL/Verilog? De asemenea, puteți sintetiza atractori folosind limbaje RTL, dar pentru o mai bună vizualizare a tuturor proceselor, MATLAB este varianta ideala. Nu mă voi atinge momente dificile asociat cu calculul spectrului exponenților Lyapunov sau construcția secțiunilor Poincare. Și cu atât mai mult, nu vor exista formule și concluzii matematice greoaie. Deci sa începem.

Pentru a crea generatoare de haos, avem nevoie de următorul software:

• MATLAB R2014 licențiat pentru Simulink și DSP Toolbox.
• Xilinx ISE Design Suite 14.7 cu licență System-Generator (DSP Edition).

Aceste programe sunt destul de grele, așa că aveți răbdare când le instalați. Este mai bine să încep instalarea cu MATLAB și abia apoi să instalez software-ul Xilinx (cu o secvență diferită, unii dintre prietenii mei nu au reușit să integreze o aplicație în alta). La instalarea acestuia din urmă, apare o fereastră în care puteți conecta Simulink și System Generator. Nu este nimic complicat și neobișnuit în instalare, așa că vom sări peste acest proces.

atractor Lorentz

atractor Lorentz- acesta este poate cel mai faimos sistem dinamic din teoria haosului. De câteva decenii încoace, a atras atenția multor cercetători pentru descrierea anumitor procese fizice. Prima mențiune a atractorului este dată în 1963 în lucrările lui E. Lorenz, care era angajat în modelarea fenomenelor atmosferice. Atractorul Lorentz este un sistem dinamic tridimensional de ecuații diferențiale autonome neliniare de ordinul întâi. Are o structură topologică complexă, este asimptotic stabil și este stabil în sensul lui Lyapunov. Atractorul Lorentz este descris de următorul sistem de ecuații diferențiale:

În formulă, punctul de deasupra parametrului înseamnă luarea derivatei, care reflectă rata de modificare a valorii în raport cu parametrul ( sens fizic derivat).

Pentru valorile parametrilor σ = 10, r= 28 și b= 8/3 acest sistem dinamic simplu a fost obţinut de E. Lorenz. Multă vreme nu a putut înțelege ce se întâmplă cu computerul său, până când și-a dat seama în sfârșit că sistemul prezintă proprietăți haotice! A fost obținut în cursul experimentelor pentru problema modelării convecției fluidelor. În plus, acest sistem dinamic descrie comportamentul următoarelor procese fizice:

• este un model laser monomod,
• – convecție într-o buclă închisă și un strat plat,
• – rotirea roții cu apă,
• – oscilator armonic cu neliniaritate inerțială,
• – vârtejuri de mase de nori etc.

Următoarea figură prezintă sistemul atractor Lorentz în mediul MATLAB:

Figura folosește un număr dintre următoarele simboluri:

• scadente: SUB0-3;
• multiplicatori constanți: SIGMA, B, R;
• multiplicatori: MULT0-1;
• integratori cu o celulă pentru specificarea condiției inițiale: INTEGRATOR X,Y,Z;
• porturi de ieșire OUT: DATE X,Y,Z pentru semnale XSIG, YSIG, ZSIG;

În plus, diagrama prezintă instrumente auxiliare de analiză, acestea sunt:

• salvarea rezultatelor calculului într-un fișier: În spațiul de lucru X,Y,Z;
• construirea graficelor spațiale: Graficul XY, YZ, XZ;
• construirea graficelor de timp: Scopul XYZ;
• instrumente pentru estimarea resurselor ocupate ale cristalului și generarea codului HDL din model " Estimator de resurse" și " Generator de sistem».

În interiorul fiecărui nod de operații matematice, trebuie să specificați adâncimea de biți a datelor intermediare și tipul acestora. Din păcate, nu este atât de ușor să lucrezi cu virgulă mobilă în FPGA-uri și în majoritatea cazurilor toate operațiunile sunt efectuate în format de virgulă fixă. Setarea incorectă a parametrilor poate duce la rezultate incorecte și vă poate frustra atunci când vă construiți sistemele. Am experimentat cu diferite valori, dar m-am hotărât următorul tip date: vector pe 32 de biți de numere semnate în format fix. 12 biți sunt alocați pentru partea întreagă, 20 de biți pentru partea fracțională.

Prin setarea integratorilor X, Y, Z din blocul de declanșare la valoarea inițială a sistemului, de exemplu, {10, 0, 0} , am rulat modelul. În baza de timp, pot fi observate următoarele trei semnale:


Chiar dacă timpul de simulare tinde spre infinit, realizarea în timp nu se va repeta niciodată. Procesele haotice sunt neperiodice.

LA spatiu tridimensional Atractorul Lorenz arată astfel:

Se poate observa că atractorul are două puncte de atracție, în jurul cărora se desfășoară întregul proces. Cu o ușoară modificare a condițiilor inițiale, procesul se va concentra și în jurul acestor puncte, dar traiectoriile sale vor diferi semnificativ față de versiunea anterioară.

atractor Rössler

Al doilea atractor prin numărul de referințe în articole și publicații științifice. Pentru atractor Rössler caracteristică este prezența unui punct de limită pentru manifestarea proprietăților haotice sau periodice. La anumiți parametri ai sistemului dinamic, oscilațiile încetează să mai fie periodice și apar oscilații haotice. Una dintre proprietățile remarcabile ale atractorului Rössler este structura fractală în planul de fază, adică fenomenul de auto-similaritate. Se poate observa că alți atractori, de regulă, au această proprietate.

Atractorul Rössler este observat în multe sisteme. De exemplu, este folosit pentru a descrie fluxurile de fluide, precum și pentru a descrie comportamentul diferitelor reacții chimiceși procese moleculare. Sistemul Rössler este descris de următoarele ecuații diferențiale:

În mediul MATLAB, atractorul este construit după cum urmează:

Implementarea temporală a mărimilor spațiale:

Model tridimensional al atractorului Rössler:

Bang! Valorile s-au schimbat puțin:

Atractor în condiții inițiale ușor modificate (traiectoriile sunt diferite!)

Atractor cu alți coeficienți în sistemul de ecuații (un proces haotic s-a transformat într-unul periodic!)

Comparați imaginile Atractori 3Dîn diferite condiţii iniţiale şi coeficienţi în sistemul de ecuaţii. Vedeți cum s-au schimbat dramatic traiectorii de mișcare în primul caz? Dar într-un fel sau altul, ele sunt concentrate în apropierea unei singure zone de atracție. În al doilea caz, atractorul a încetat în general să mai dea semne de haos, transformându-se într-o buclă periodică închisă (ciclu limită).

Atractorul Rikitake

Dinamo Rikitake este unul dintre binecunoscutele sisteme dinamice de ordinul trei cu comportament haotic. Este un model al unui dinam cu două discuri și a fost propus pentru prima dată în probleme de inversare haotică a câmpului geomagnetic al Pământului. Omul de știință Rikitake a investigat un sistem dinam cu două discuri interconectate construite în așa fel încât curentul de la o bobină a discului să curgă în cealaltă și să producă excitația celui de-al doilea disc și invers. La un moment dat, sistemul a început să eșueze și să arate lucruri imprevizibile. Studiile active ale atractorului au făcut posibilă proiectarea dinamului Rikitake pe un model de conectare a vortexurilor mari de câmp magnetic din miezul Pământului.

Dinamo Rikitake este descris de următorul sistem de ecuații:

Model de dinam Rikitake în MATLAB:

Implementare temporara:

Atractor (prima versiune):

Dinamo (a doua versiune)

Puteți vedea că dinamul Rikitake este oarecum similar cu atractorul Lorenz, dar acestea sunt sisteme complet diferite și descriu procese fizice diferite!

Atractor Nose-Hoover

Un sistem dinamic tridimensional mai puțin faimos, dar nu mai puțin important este Termostat Nose-Hoover. Este folosit în teoria moleculară ca sistem termostatic reversibil în timp. Din păcate, nu știu atât de multe despre acest atractor cât despre ceilalți, dar mi s-a părut interesant și l-am inclus în recenzie.

Termostatul Nose-Hoover este descris de următorul sistem de ecuații:

Modelul Nose-Hoover în MATLAB:

Implementare temporara:

1

Articolul este dedicat aplicării metodei de proiectare analitică a controlerelor agregate pentru dezvoltarea legilor de control pentru sisteme dinamice neliniare tipice cu dinamică haotică, care asigură stabilizarea stărilor de echilibru în astfel de sisteme. Articolul prezintă o soluție la una dintre problemele caracteristice controlului antihaotic și anume problema suprimării oscilațiilor aperiodice în astfel de sisteme. Au fost dezvoltate legi de control sinergic pentru modelele haotice Lorentz și Ressler, care asigură stabilizarea variabilelor de fază în aceste modele. Introducerea sintetizată părere conduce la apariţia unei stări de echilibru în sisteme. S-a realizat simularea pe calculator a sistemelor dinamice închise sintetizate, ceea ce confirmă prevederile teoretice ale teoriei controlului sinergetic. Legile de control sintetizate pot fi utilizate în diverse aplicații tehnice pentru a crește eficiența funcționării lor.

model Lorenz

Modelul Ressler

sistem dinamic

Control

sinergie

Părere

autooscilații

1. Anishchenko V.S., Vadivasova T.E. Prelegeri despre dinamica neliniară // Izvestiya Vysshikh institutii de invatamant. Dinamica neliniară aplicată. - 2010. - T. 18. - Nr. 3. - S. 186–191.

2. Kolesnikov A.A. Sinergetică aplicată: elemente fundamentale ale sintezei sistemului. - Taganrog: Editura TTI SFU, 2007. - 384 p.

3. Kolesnikov A.A. Teoria controlului sinergetic. – M.: Energoatomizdat, 1994. – 344 p.

4. Malinetsky G.G. Haos. structurilor. Experiment de calcul: Introducere în dinamica neliniară. – M.: Editorial URSS, 2002. – 255 p.

5. Neimark Yu.I., Landa P.S. Oscilații stocastice și haotice. – M.: Nauka, 1987. – 424 p.

6. Teoria controlului aplicat modern. Partea a II-a: Abordare sinergetică în teoria controlului / sub. ed. A.A. Kolesnikov. - M.-Taganrog: Editura TRTU, 2000. - 558 p.

7. Lorenz E.N. Flux neperiodic determinist // J. Atmos. sci. - 1963. - Nr. 20. - P. 130–133.

8 Rossler O.E. O ecuație pentru haos continuu // Phys. Lett. A. - 1976. - Vol. 57A, nr 5. - p. 397-398.

Până în prezent, utilizarea termenului „haos” în cercetare științifică asociat cu nevoia de a descrie astfel de sisteme, care se caracterizează printr-o dinamică complet aleatorie, la prima vedere, și în același timp prezența unei ordini ascunse în ele.

Suficient de relevant problema stiintifica controlul dinamicii haotice nu a fost rezolvat în prezent. Din un numar mare aspectele existente ale soluției sale, este extrem de important să se evidențieze studiul diferitelor metode și legi care suprimă oscilațiile neregulate în sistemele neliniare, care se caracterizează prin prezența dinamicii haotice.

Problema controlului sistemelor neliniare cu dinamică haotică este de mare importanță practică. Este de remarcat faptul că punctul aici nu este doar în lupta împotriva haosului, care adesea încalcă calitatea funcționării. sisteme complexe, dar și în ideea apariției așa-numitei „ordine din haos”, care este oportună pentru o serie de procese tehnologice.

Problema suprimării oscilațiilor neregulate este una dintre cele mai caracteristice probleme ale modelelor de control cu ​​dinamică haotică și constă în astfel de formare a acțiunilor de control care să asigure stabilizarea modelului inițial haotic într-o stare staționară stabilă. În cele ce urmează, se presupune că este posibilă influențarea dinamicii modelului cu ajutorul unor acțiuni externe de control, care este inclusă aditiv în partea dreaptă a uneia dintre ecuațiile sale diferențiale.

Scopul studiului. În această lucrare, rezolvăm problema construirii legilor de control scalare care asigură suprimarea oscilațiilor haotice în sistemele haotice tipice ale lui Lorentz și Ressler, sub care are loc stabilizarea oscilațiilor neregulate ale modelelor originale într-o stare de echilibru. Probleme de tip similar apar atunci când este necesară eliminarea vibrațiilor nedorite ale structurilor, diferite zgomote etc. .

Materiale și metode de cercetare

Una dintre metodele de rezolvare eficientă a problemei complexe de control al haosului și sintetizarea legilor de control obiectiv pentru sistemele neliniare cu dinamică haotică este metoda de proiectare analitică a controlerelor agregate (ACAR), propusă de profesorul A.A. Kolesnikov.

Construcția controlerelor scalare prin metoda proiectării analitice a controlerelor agregate se bazează pe introducerea unei secvențe de varietăți invariante de dimensiune geometrică descrescătoare și descompunerea dinamică ulterioară pas cu pas a sistemului dinamic inițial. În acest caz, punctul reprezentativ (IP) al sistemului, începând să se deplaseze dintr-o stare inițială arbitrară, se deplasează succesiv de la o suprafață de atracție la alta până când lovește suprafața de finisare de forma ψ1 = 0 → ψ2 = 0 → . .. → ψm = 0. Varietățile „interioare” sunt încorporate topologic în cele „exterioare”. Astfel, în sistemul sintetizat ia naștere un proces intern de autogestionare. Ca rezultat, are loc o formare în cascadă a unei secvențe de controale interne, care comprimă volumul de fază al sistemului în direcția de la regiunea exterioară a spațiului de fază către setul de regiuni interioare imbricate una în cealaltă până când IT-ul intră în starea dorită a sistemului.

Să presupunem că în spațiul stărilor unui sistem închis există o varietate invariantă atrăgătoare de forma ψ(x) = 0, care este limita asimptotică a traiectoriilor de fază. În general, pot exista mai multe astfel de soiuri. De regulă, numărul de varietăți invariante coincide cu numărul de canale de control. Apoi punctul reprezentativ al sistemului începe să tindă spre intersecția varietăților invariante. Stare necesara lovind punctul reprezentativ al sistemului închis „obiect-regulator” pe varietatea invariantă ψ(x) = 0 este că mișcarea sa satisface o ecuație diferențială stabilă scrisă în raport cu variabila macro agregată ψ(x). O astfel de ecuație în teoria controlului sinergetic se numește funcțională sau evolutivă. De obicei, un sistem de ecuații funcționale este dat ca un sistem de ecuații diferențiale ordinare de ordinul întâi de forma

S = 1, 2, ..., m, Ts > 0.

Aici m este numărul de varietăți invariante date; Ts este un parametru de control, φ s (ψ s) este o funcție care trebuie să îndeplinească următorul set de condiții:

1) φ s (ψ s ) trebuie să fie continuu, cu o singură valoare și diferențiabil pentru toți ψs;

2) φ s (0) = 0;

3) φ s (ψ s ) > 0 pentru orice 0,

acestea. ele dispar numai pe varietăți φ s = 0, față de care sistemul de ecuații funcționale date este stabil asimptotic în ansamblu.

De regulă, metoda ACAR utilizează ecuații funcționale:

acestea. φ s (ψ s ) = ψ s 0. Ecuațiile de acest tip, după cum se poate observa, sunt caracterizate de stabilitate asimptotică în raport cu varietatea ψ s = 0 cu condiția Ts > 0.

În această situație, problema sintetizării legilor controlului stabilizator al modelelor haotice în cazul general se formulează astfel. Este necesar să se găsească funcția uS(x) ca un anumit set de feedback-uri care asigură transferul punctului reprezentativ al modelului haotic inițial din condiții inițiale arbitrare dintr-o anumită regiune admisibilă la o stare dată (mult de stări), care corespunde unui regim stabil . În chiar caz simplu controlul intră într-o singură ecuație diferențială a sistemului original. Pot exista opțiuni atunci când aceeași acțiune de control se află în linii diferite ale sistemului original.

Un aspect distinctiv al formulării problemei sintezei sinergice a legilor de control este prezența unei cerințe suplimentare pentru deplasarea sistemului din starea inițială în cea finală, care constă în atracția asimptotică a traiectoriilor de fază ale sistemului. la o varietate invariantă (intersecția varietăților) în spațiul stărilor (PS) al sistemului.

Introducerea feedback-ului stabilizator în ecuațiile modelului original duce la o schimbare intenționată a topologiei spațiului său de stare. Ca urmare a unei astfel de rearanjari, atractorul haotic dispare și se formează un atractor obișnuit de tip „punct”, care corespunde modului de comportament de echilibru dorit.

Rezultatele cercetării și discuții

Să luăm în considerare etapele procedurii implementate pentru sinteza legii de control stabilizator prin metoda ACAR pentru sistemul haotic Lorentz.

Modelul Lorenz a fost derivat inițial din ecuațiile Navier-Stokes și de conducere a căldurii pentru a investiga posibilitatea de a prezice condițiile meteorologice cu parametri de control variați. Modelul descrie mișcarea rolelor convective într-un lichid cu un gradient de temperatură.

Modelul este următorul sistem de trei ecuații diferențiale obișnuite:

unde σ este numărul Prandtl; ρ este numărul Rayleigh normalizat; parametrul b depinde de distanța dintre planuri și perioada orizontală.

Orez. 1. Atractor haotic al sistemului Lorentz

În acest sistem, în anumite condiții, are loc formarea de oscilații haotice. Pe fig. Figura 1 prezintă traiectoria de fază a sistemului pentru parametrii σ = 10, ρ = 24, b = 8/3 în modul haos determinist. În acest sistem dinamic, auto-oscilațiile stocastice au fost studiate pentru prima dată. Atractorul haotic al sistemului (1) este fundamental diferit de atractorii haotici ai majorității modelelor de dinamică neliniară. Structura sa corespunde pe deplin atractorului ciudat și se caracterizează prin prezența doar a unei mișcări de tip șa.

Să presupunem că acțiunea de control u1 intră în prima ecuație a sistemului (1) sub forma unui feedback intern:

Să introducem o varietate invariantă de formă

unde μ este un parametru de control.

Dacă diferențiam funcția ψ1 (3) în funcție de timp și înlocuim derivata ei în ecuația funcțională

obținem legea de control dorită:

Legea de control (5) asigură transferul punctului reprezentativ al sistemului (2), închis prin feedback (5), către varietatea invariantă ψ1 = 0.

Dinamica mișcării punctului reprezentativ al modelului de-a lungul acestei varietăți invariante este descrisă folosind ecuațiile diferențiale ale modelului descompus, care se formează după înlocuirea expresiei din egalitatea ψ1 = 0 (3) în a doua și a treia ecuație a sistem (2):

(6)

Orez. 2. Portrete de fază ale sistemelor (2), (5) și (6)

Orez. Figura 2 ilustrează rezultatele simulării numerice a sistemului (2), (5) pentru valorile parametrilor de control σ = 10, ρ = 24, b = 8/3, caracteristice existenței unui atractor Lorentz haotic , și valorile parametrilor controlerului T1 = 0,1, μ = 4, care confirmă eficacitatea principiilor teoretice ale metodei ACAR. Prima ecuație din sistemul descompus (6) este complet identică cu ecuația evolutivă de bază a sinergeticii cu o bifurcație „furcă”.

Să construim o lege de control stabilizator prin metoda ACAR pentru modelul Ressler. Modelul Ressler este un sistem dinamic neliniar de ecuații diferențiale de ordinul trei de forma:

unde a, b, c sunt parametri de control.

Sistemul (7) a fost propus de Ressler pentru modelarea proceselor de interacțiune a seriei substanțe chimice. Acest sistem Destul de des este folosit în diferite studii științifice ale fenomenelor de natură diferită în legătură cu prezența semnelor apariției și existenței unei dinamici haotice caracteristice acestora. Orez. 3 prezintă atractorul haotic al sistemului Ressler pentru valorile parametrilor a = b = 0,2; c = 9.

Să presupunem că acțiunea de control este inclusă în a doua ecuație a sistemului original (7):

Tip de varietate invariantă

și ecuația funcțională (4) ne permit să obținem legea de control dorită:

(10)

Legea de control (10) garantează transferul punctului reprezentativ al sistemului controlat (8), care este închis prin feedback (10), către varietatea invariantă ψ2 = 0 (9).

Orez. 3. Atractor haotic al sistemului Roessler

Natura mișcării sistemului de-a lungul varietății invariante ψ2 = 0 este descrisă de modelul descompus:

(11)

unde ecuația de bifurcație de tip „furcă” este prezentă în prima linie.

Orez. 4. Portrete de fază ale sistemelor (8), (10) și (11)

Orez. 4 ilustrează rezultatele obținute ale simulării numerice a unui sistem închis (8), (10) pentru valorile parametrilor de control ai modelului a = b = 0,2; c = 9, care sunt tipice pentru apariția unui atractor de tip haotic, precum și valorile parametrilor controlerului T2 = 0,1; μ = 25.

În ambele modele descompuse obținute (6), (11), ecuațiile situate în primul rând coincid cu ecuația evolutivă de bază a sinergeticii cu o bifurcație de tip furcă. În acest sens, putem afirma natura naturală a legilor sintetizate de control stabilizator al sistemelor haotice inițiale și unitatea existentă și interconectarea internă a ecuațiilor de evoluție universală. teorie neliniară auto-organizare și sinergie.

Caracterul natural al legilor de control sintetizate se datorează, în primul rând, prezenței unui set de proprietăți tipice de bifurcare în sistemele închise.

În urma studiului, a fost sintetizat un set de feedback-uri, la închiderea cărora sistemele haotice inițiale își schimbă natura comportamentului și transformarea unui atractor de tip haotic într-un atractor de tip „punctual”. Legile de control rezultate u1 (5) și u2 (10) sunt garantate pentru a oferi stabilitate asimptotică în întreg spațiul fazelor în raport cu stările de echilibru dorite pentru valorile parametrului μ< 0 или μ >0 pentru modelele haotice inițiale corespunzătoare. Legile rezultate u1 (5) și u2 (10) aparțin clasei legilor de control obiectiv care transformă sistemele Lorentz și Ressler, care au dinamică haotică, în ecuațiile evolutive de bază ale teoriei auto-organizării și sinergetice.

Legile de control sintetizate u1 (5) și u2 (10) sunt originale și universale. Ele pot fi folosite în design sisteme gestionateîn diverse scopuri, crescând semnificativ eficienţa funcţionării acestora.

Link bibliografic

Kucherova V.Yu., Petkov V.N., Artamonov P.A. APLICAREA METODEI AKAR PENTRU REZOLVAREA PROBLEMEI DE STABILIZARE A STĂRILOR DE ECHILIBRI ALE SISTEMELOR NELINIARE TIPICE // Cercetare fundamentală. - 2016. - Nr. 5-2. – P. 264-268;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=40286 (data accesului: 15/01/2020). Vă aducem la cunoștință jurnale publicate de editura „Academia de Istorie Naturală”

În această carte am adoptat o abordare empirică a oscilațiilor haotice și am prezentat o serie de diferite fenomene fizice, în care joacă dinamica haotică rol important. Desigur, nu toți cititorii au acces la un laborator sau au înclinație pentru experimentare, deși cei mai mulți dintre ei pot folosi computere digitale. Având în vedere acest lucru, prezentăm în această anexă o serie de experimente numerice care pot fi efectuate fie pe un computer personal, fie pe un microcomputer, în speranța că vor ajuta cititorul să exploreze dinamica modelelor haosului de acum clasice.

B.1. ECUAȚIA LOGISTICĂ: DUBLAREA PERIOADAI

Una dintre cele mai simple probleme cu care să începeți în noua dinamică trebuie să fie modelul de creștere a populației, sau ecuația logistică

Fenomenele de dublare a perioadei au fost observate de diverși cercetători (vezi, de exemplu, lucrarea lui May) și, bineînțeles, de Feigenbaum, care a descoperit celebrele legi de similaritate a parametrilor (vezi cap. 1 și 5). Un computer personal facilitează reproducerea a două experimente numerice.

În primul experiment, avem un grafic al dependenței de în intervalul . Modul de dublare a perioadei este observat la valorile de mai jos. Începând cu puteți vedea o traiectorie cu o perioadă de 1. Pentru a vedea traiectorii mai lungi, marcați primele 30-50 de iterații cu puncte, iar iterațiile ulterioare cu un simbol diferit.

Desigur, graficând dependența de , puteți observa tranziția și regimuri staţionare. Traiectorii haotice pot fi detectate la . În vecinătate, se poate detecta o traiectorie cu o perioadă de 3 .

Următorul experiment numeric este legat de construcția unei diagrame de bifurcație. Pentru a face acest lucru, este necesar să graficați dependența în general de parametrul de control. Alegeți o condiție inițială (de exemplu, și faceți 100 de iterații de afișare. Apoi trasați valorile obținute din următoarele 50 de iterații pe axa verticală și valoarea corespunzătoare pe axa orizontală (sau invers). Alegeți pas cu 0,01 și parcurgeți intervalul Pe diagrama la perioada de dublare a punctelor ar trebui să producă bifurcații clasice de tip furcă. Puteți determina numărul Feigenbaum din datele unui experiment numeric?

May oferă, de asemenea, o listă de experimente numerice cu alte mapări unidimensionale, de exemplu, cu maparea

El descrie această cartografiere ca un model de creștere a populației unei singure specii, reglementată de o boală epidemică. Explorați zona. Punctul de acumulare de dublare a perioadei și începutul haosului corespund cu . Articolul lui May conține și date despre alte experimente numerice.

B.2. ECUATII LORENTZ

Un experiment numeric remarcabil, care, fără îndoială, merită repetat, este conținut în lucrarea originală a lui Lorentz. Lorentz a simplificat ecuațiile derivate de Saltzman din ecuațiile convecției termice într-un lichid (vezi cap. 3). Prioritatea în descoperirea soluțiilor neperiodice ale ecuațiilor de convecție, după Lorentz, îi aparține lui Salzman. Pentru a studia mișcările haotice, Lorentz a ales valorile acum clasice ale parametrilor din ecuații

Datele prezentate în fig. 1 și 2 din lucrarea lui Lorenz, pot fi reproduse prin selectare condiții inițiale iar pasul de timp și proiectarea soluției fie în plan, fie în plan

Pentru a obține maparea unidimensională indusă de acest flux, Lorentz a luat în considerare maximele succesive ale variabilei z, pe care a etichetat-o ​​Graficul de dependență pe care a arătat că în acest caz maparea este dată de o curbă asemănătoare formei acoperișului unui casa. Lorentz a explorat apoi o versiune simplificată a acestei hărți, numită „harta tipului casei”, o versiune biliniară a ecuației logistice.

B.3. Intermitența și ecuațiile Lorentz

Un exemplu ilustrativ de intermitență poate fi găsit prin integrarea numerică a ecuațiilor Lorentz folosind un computer:

cu parametri conform metodei Runge-Kutta. La , veți obține o traiectorie periodică, dar la și mai mult, vor apărea „explozi” sau zgomote haotice (vezi lucrarea lui Manneville și Pomo). Măsurând numărul mediu N de cicluri periodice între explozii (fază laminară), ar trebui să obțineți legea de scalare

B.4. ATRACTOR OENON

O generalizare a mapării pătratice pe linie pentru cazul bidimensional (pe plan) a fost propusă de astronomul francez Hénon:

Când , maparea Hénon se reduce la maparea logistică explorată de May și Feigenbaum. Valorile lui a și b la care apare un atractor ciudat includ, în special, . Construiți un grafic al acestei mapări pe plan, delimitându-l cu un dreptunghi. După ce ați primit un atractor, concentrați-vă atenția pe o mică parte a acestuia și creșteți această parte folosind o transformare de similaritate. Urmăriți în esență un numar mare iterații ale mapărilor și încearcă să dezvăluie structura fractală la scară mică. Dacă aveți răbdare sau aveți un computer rapid la îndemână, atunci efectuați o altă transformare de similaritate și repetați din nou pentru o zonă și mai mică a atractorului (vezi Fig. 1.20, 1.22).

Dacă aveți un program pentru calcularea exponenților Lyapunov, atunci este util să rețineți că valoarea exponentului Lyapunov este dată în literatură, iar dimensiunea fractală a atractorului din harta Hénon este . Variind parametrii a și b, se poate încerca să se determine aria acelor valori pentru care există atractorul și să se găsească aria de dublare a perioadei pe plan (a, b).

B.5. ECUAȚIA DUFFING: ATRACTOR UEDA

Acest model de circuit electric cu o inductanță neliniară a fost considerat în cap. 3. Ecuațiile acestui model, scrise ca un sistem de ecuații de ordinul întâi, au forma

Oscilațiile haotice din acest model au fost studiate în detaliu de către Ueda. Utilizați un algoritm standard de integrare numerică, cum ar fi schema Runge-Kutta al patrulea ordin, și luați în considerare cazul . La , ar trebui să obțineți o traiectorie periodică cu o perioadă de 3. (Plasați secțiunea Poincaré la ) În vecinătatea valorii, o traiectorie cu o perioadă de 3 ar trebui, după o bifurcare, să se transforme într-o mișcare haotică.

La , periodicitatea este restabilită cu un regim haotic tranzitoriu (vezi Fig. 3.13).

Comparați natura fractală a atractorului pe măsură ce amortizarea scade, presupunând și 0,05. Rețineți că la , rămâne doar o mică parte din atractor, iar la , mișcarea devine periodică.

B.6. ECUAȚIA DUFFING CU DOUĂ FUNȚII POTENȚIALE: ATRACTOR HOLMES

Acest exemplu a fost luat în considerare în cartea noastră. Mai multe experimente numerice merită repetate. Ecuațiile adimensionale în acest caz au forma

(Presumând și introducând o ecuație suplimentară z = w, ele pot fi scrise ca un sistem autonom de ordinul al treilea.) Factorul 1/2 face ca frecvența naturală a oscilațiilor mici din fiecare puț de potențial să fie egală cu unu. Criteriul haosului pentru un coeficient fix de atenuare și variabile a fost considerat de noi în Cap. 5. Zona de interes pentru cercetare este . În această regiune ar trebui să existe o tranziție de la regimul periodic la cel haotic, ferestre periodice în regimul haotic și ieșirea din regimul haotic la . Mai există și altul zona interesanta: În toate studiile, recomandăm insistent cititorului să folosească maparea Poincaré. Când se utilizează un computer personal, se poate obține o viteză mare de procesare a informațiilor prin trucuri speciale la compilarea unui program (vezi Fig. 5.3).

Un alt experiment numeric interesant este acela de a fixa parametrii, de exemplu, pentru a seta și a varia faza mapării Poincaré, adică reprezentați punctele la prin schimbarea de la 0 la Rețineți inversarea mapării la Este aceasta legată de simetria ecuației ? (A se vedea figura 4.8.)

B.7. HARTARE CUBICĂ (HOLMES)

Am ilustrat multe concepte ale teoriei oscilațiilor haotice prin exemplul unui atractor într-un model cu două puțuri potențiale. Dinamica unui astfel de model este descrisă de un neliniar obișnuit ecuație diferențială al doilea ordin (vezi cap.

2 și 3), dar o formulă explicită pentru harta Poincaré a unui astfel de atractor este necunoscută. Holmes a propus o mapare cubică bidimensională care are unele dintre proprietățile unui oscilator Duffing cu rigiditate negativă:

Atractorul haotic poate fi găsit lângă valorile parametrilor

B.8. AFIȘARE MINGE care sări (AFIȘARE STANDARD)

(Vezi articolul lui Holmes și cartea lui Lichtenberg și Lieberman.) După cum s-a menționat în cap. 3, maparea Poincaré pentru o minge care sare pe o masă vibrantă poate fi scrisă exact în termeni de viteza adimensională a mingii care lovește masa și faza de mișcare a mesei.

unde este pierderea de energie în timpul coliziunii.

Caz (haos conservator). Acest caz este investigat în cartea lui Lichtenberg și Lieberman ca model al accelerației electronilor în câmpuri electromagnetice. După repetarea afișajului, aplicați punctele obținute în plan.Pentru a calcula, utilizați expresia

într-o versiune îmbunătățită a BASIC. Pentru a obține o imagine bună, trebuie să variați condițiile inițiale. De exemplu, selectați și urmați câteva sute de iterații de mapare la diferite v din intervalul -

Veți găsi cazuri interesante cu. La , se pot observa traiectorii închise cvasi-periodice în jurul punctelor fixe periodice ale hărții. La , regiunile de haos conservator ar trebui să apară în apropierea punctelor separatoarelor (vezi Fig. 5.21).

caz. Acest caz corespunde unei mapări disipative, în care energia se pierde la fiecare ciocnire între minge și masă. Începe cu . Rețineți că, deși primele iterații par haotice, ca în cazul 1, mișcarea devine periodică. Pentru a obține un haos asemănător fractalului, valorile lui K trebuie crescute la . Un atractor ciudat, care amintește și mai mult de un fractal, îl obțineți prin așezare.

B.9. CARTAREA CERCULUI PE SINE: SINCRONIZAREA NUMĂRULUI DE ROȚIUNI ȘI A ARBOCILOR DE ZÂNE

Un punct care se deplasează de-a lungul suprafeței unui tor poate servi ca model matematic abstract al dinamicii a două oscilatoare cuplate. Amplitudinile mișcării oscilatorului servesc ca raze mici și mari ale torusului și adesea se presupune că sunt fixe. Fazele oscilatoarelor corespund două unghiuri care definesc poziția unui punct de-a lungul unui cerc mic (meridian) și cerc mare(paralele) pe suprafața torusului. Secțiunea Poincaré de-a lungul cercurilor mici ale torusului generează o ecuație a diferenței unidimensionale numită autocartarea cercului:

unde este o funcție periodică.

Fiecare iterație a acestei mapări corespunde traiectoriei unui oscilator de-a lungul cercului mare al torului. Un obiect de studiu popular este așa-numita mapare a cercului standard (normalizată la )

Posibilele mișcări observate în această cartografiere sunt: ​​moduri periodice, cvasi-periodice și haotice. Pentru a vedea ciclurile periodice, trasați puncte pe un cerc cu coordonate dreptunghiulare

Când parametrul este 0, nu există altceva decât numărul de rotații - raportul a două frecvențe ale oscilatoarelor neînrudite.

Când afișajul poate fi periodic și când - număr irațional. În acest caz, se spune că oscilatorii sunt blocați sau că s-a produs tragerea în mod. La , se pot observa mișcări sincronizate sau periodice în regiuni de lățime finită de-a lungul axei O, care, desigur, conțin valori iraționale ale parametrului . De exemplu, când un ciclu cu perioada 2 poate fi găsit în interval și un ciclu cu perioada 3 poate fi găsit în interval Pentru a găsi aceste intervale la calculați numărul de rotații W în funcție de parametrul la 0 01. Calculăm numărul de rotații dacă renunțăm la acțiunea de comparare cu și trecem la limită

În practică, pentru a obține numărul de rotații cu suficientă precizie, trebuie să luați N > 500. Trasând W față de , veți vedea o serie de platouri corespunzătoare zonelor de sincronizare. Pentru a vedea mai multe regiuni de sincronizare, ar trebui să selectați o regiune AP mică și să reprezentați W pentru un numar mare puncte din această zonă mică.

Fiecare platou de sincronizare de pe grafic ) îi corespunde Numar rational- raportul dintre ciclurile unui oscilator și q cicluri ale altui oscilator. Relațiile sunt ordonate într-o secvență cunoscută sub numele de Arborele Zânelor. Dacă sunt specificate două regiuni de sincronizare a modului pentru valorile parametrilor, atunci între ele în interval va exista cu siguranță încă o regiune de sincronizare cu numărul de rotații

Începând cu 0/1 la și 1/1 la , se poate construi întreaga secvență infinită de regiuni de sincronizare. Cele mai multe dintre ele sunt foarte înguste.

Rețineți că lățimea acestor regiuni tinde spre zero și devine mai mare la Sincronizarea regiunilor din planul () sunt sub formă de proeminențe lungi și sunt uneori numite limbi Arnold.

B.10. Rössler ATRACTOR: REACȚII CHIMICE, APROXIMAREA UNIDIMENSIONALĂ A SISTEMELOR MULTIDIMENSIONALE

Fiecare dintre principalele domenii ale fizicii clasice și-a creat propriul model de dinamică haotică: hidromecanica - ecuații Lorentz, mecanica structurala- atractor Duffing-Holmes cu două puțuri de potențial, electrotehnică - atractor Duffing-Ueda. Un alt model simplu a apărut în dinamica reacțiilor chimice care au loc într-un anumit recipient cu agitare. Rbssler a sugerat-o.