Efectele neliniare se pot manifesta în multe moduri diferite. Un exemplu clasic este un arc neliniar, în care forța de restabilire este dependentă neliniar de extensie. În cazul neliniarității simetrice (același răspuns la compresie și tensiune), ecuația mișcării ia forma

Dacă nu există amortizare și există soluții periodice în care, pentru , frecvența naturală crește odată cu amplitudinea.

Orez. 1.7. Curba de rezonanță clasică a unui oscilator neliniar cu arc rigid în cazul în care oscilațiile sunt periodice și au aceeași perioadă cu forța motrice (a și sunt definite în ecuația (1.2.4)).

Acest model este adesea numit ecuația Duffing după matematicianul care l-a studiat.

Dacă asupra sistemului acţionează o forţă periodică, atunci teoria clasică se presupune că răspunsul va fi şi periodic. Rezonanța unui arc neliniar la o frecvență de răspuns care coincide cu frecvența forței este prezentată în fig. 1.7. După cum se arată în această figură, pentru o amplitudine constantă a forței de antrenare, există o gamă de frecvențe de antrenare în care sunt posibile trei amplitudini de răspuns diferite. Se poate arăta că linia întreruptă din fig. 1.7 este instabil, iar pe măsură ce frecvența crește și scade, apare histerezisul. Acest fenomen se numește depășire și a fost observat în experimente cu multe sisteme mecanice și electrice.

Există și alte soluții periodice, cum ar fi oscilațiile subarmonice și superarmonice. Dacă forța motrice are forma , atunci oscilațiile subarmonice pot avea forma plus armonici superioare (- întreg). După cum vom vedea mai jos, subarmonicele joacă rol importantîn vibraţii pre-haotice.

Teoria rezonanței neliniare se bazează pe presupunerea că o acțiune periodică provoacă un răspuns periodic. Cu toate acestea, acest postulat este contestat noua teorie vibratii haotice.

Oscilațiile autoexcitate sunt o altă clasă importantă de fenomene neliniare. Acestea sunt mișcări oscilatorii care apar în sisteme fără influențe externe periodice sau forțe periodice. Pe fig. 1.8 prezintă câteva exemple.

Orez. 1.8. Exemple de oscilații autoexcitate: a - frecare uscată între masă și roul în mișcare; b - forte aeroelastice care actioneaza asupra unei aripi subtiri; c - rezistența negativă în circuitul cu elementul activ.

În primul exemplu, frecarea creată de mișcare relativă masa si centura in miscare. Al doilea exemplu ilustrează o întreagă clasă de oscilații aeroelastice, în care oscilațiile staționare sunt cauzate de un flux staționar de fluid pentru solid pe o suspensie elastică. În exemplul electric clasic prezentat în Fig. 1.9 și investigat de Van der Pol, circuitul include un tub de electroni.

În toate aceste exemple, sistemul conține o sursă de energie staționară și o sursă de disipare, sau un mecanism de amortizare neliniar. În cazul oscilatorului Van der Pol, sursa de energie este o tensiune constantă.

Orez. 1.9. Diagrama unui circuit de tuburi vid care oscilează într-un ciclu limită de același tip pe care l-a investigat van der Pol.

ÎN model matematicÎn acest circuit, sursa de energie intră sub forma unei rezistențe negative:

Energia poate pătrunde în sistem la amplitudini mici, dar pe măsură ce amplitudinea crește, creșterea sa este limitată de amortizarea neliniară.

În cazul unui pendul Froude (vezi, de exemplu, ), energia este furnizată prin rotația staționară a axei. Pentru oscilații mici, frecarea neliniară joacă rolul de amortizare negativă; între timp, pentru oscilații puternice, amplitudinea oscilațiilor este limitată de termenul neliniar

Mișcări oscilatorii astfel de sisteme sunt adesea numite cicluri limită. Pe fig. 1.10 prezintă traiectoriile oscilatorului Van der Pol pe planul de fază. Mici fluctuații se rotesc într-o spirală, apropiindu-se de o traiectorie asimptotică închisă, iar mișcările de amplitudine mare se contractă într-o spirală la același ciclu limită (vezi Figurile 1.10 și 1.11, unde ).

Când studiezi astfel de probleme, apar adesea două întrebări. Care este amplitudinea și frecvența oscilațiilor pe ciclul limită? La ce valori ale parametrilor există cicluri limită stabile?

Orez. 1.10. Soluție cu un ciclu limită pentru oscilatorul Van der Pol reprezentat în planul de fază.

Orez. 1.11. Oscilații de relaxare ale oscilatorului Van der Pol.

În cazul ecuației van der Pol, este convenabil să normalizați variabila spațiu la și timpul până la , astfel încât ecuația să ia forma

Unde . Pentru mic, ciclul limită este un cerc cu raza 2 pe planul de fază, adică.

unde sunt armonicile de ordinul trei și superior. În general, mișcarea ia forma oscilațiilor de relaxare prezentate în Fig. 1,11, cu o perioadă adimensională de aproximativ 1,61 at

Problema cu o forță periodică în sistemul Van der Pol este mai complicată:

Deoarece acest sistem este neliniar, principiul suprapunerii lui liber și vibratii fortate. În schimb, mișcarea periodică rezultată este captată la frecvența de antrenare atunci când aceasta din urmă este aproape de frecvența ciclului limită. Cu o acțiune externă slabă, există trei soluții periodice, dar numai una dintre ele este stabilă (Fig. 1.12). Pentru valori mari ale amplitudinii forței, există o singură soluție. În orice caz, odată cu creșterea detonării - la fix, soluția periodică capturată se dovedește a fi instabilă și alte tipuri de mișcare devin posibile.

Orez. 1.12. Curbele de amplitudine pentru mișcarea forțată a oscilatorului Van der Pol (1.2.9).

Cu diferențe mari între frecvențele de conducere și cele naturale în sistemul Van der Pol, apare un nou fenomen - oscilații combinate, numite uneori soluții aproape periodice sau cvasi-periodice. Oscilațiile combinate au forma

Când frecvențele și sunt incomensurabile, adică - număr irațional, soluția se numește cvasi-periodică. Pentru ecuația Van der Pol, unde este frecvența ciclului limită vibratii libere(vezi, de exemplu,).

Ministerul Educației al Republicii Belarus

instituție educațională

Brest Universitate de stat numit după A.S. Pușkin

Facultatea de Fizică

Departamentul de Metode de Predare a Fizicii și OTD

LUCRARE DE CURS

OSCILAȚII NELINIARE ȘI SINCRONIZAREA OSCILATIILOR

Realizat de un student din grupa FI-51

Pashkevich A.Ya.

Consilier stiintific:

c.f.-m. D., conf. univ. Vorsin N.N.

Brest, 2012

Introducere

1.1 Oscilații liniare în prezența unei forțe externe deterministe

2. Vibrații libere ale sistemelor conservatoare cu forțe de restabilire neliniare

2.1 Oscilații neliniare libere ale sistemelor cu forță de amortizare și restabilire neliniară

2.2 tipuri diferite caracteristici0

3. Oscilații neamortizate și de relaxare

3.1 Analiza calitativă a ecuației Van der Pol

3.2 Oscilații neliniare cuplate, receptor regenerativ blocat în fază și principiu de sincronizare

3.3 Ecuații de bază

3.4 Oscilații mari de deacord

3.5 Oscilații combinate de amplitudine constantă

3.6 Probleme electrice care conduc la ecuația Hill

Concluzie

Bibliografie

Introducere

Nu este nimic surprinzător în faptul că un fizician ar trebui să poată găsi o soluție la problemele neliniare, deoarece multe dintre fenomenele care apar în lumea din jurul său sunt guvernate de dependențe neliniare. În cursul dezvoltării științelor matematice, dificultățile analizei neliniare au împiedicat formularea unor idei despre mișcările neliniare care să permită o înțelegere mai profundă a unor astfel de fenomene.

Privind înapoi la istoria realizărilor științifice, este izbitor că principalele eforturi ale cercetătorilor s-au concentrat doar pe studiu sisteme liniareși în termeni liniari. Dacă, în același timp, aruncați o privire asupra lumii din jurul nostru, literalmente la fiecare pas întâlniți fenomene care sunt de natură neliniară. Reprezentările liniare oferă doar o înțelegere superficială a mult din ceea ce se găsește în natură. Pentru a face analiza mai realistă, este necesar să se obțină mai mult nivel inaltși o mai mare ușurință în înțelegerea și utilizarea reprezentărilor neliniare.

In spate anul trecut s-au dezvoltat metode computerizate de analiză, iar în multe cazuri s-a crezut că soluţiile obţinute ar putea da o mai bună înţelegere a manifestărilor neliniarităţii. În general, s-a dovedit că o simplă enumerare a soluțiilor numerice duce doar la o înțelegere puțin mai mare a proceselor neliniare decât, de exemplu, observarea naturii însăși, „slefuirea” soluțiilor la o problemă neliniară atât de specifică precum vremea. Se pare că înțelegerea noastră nu se bazează pe ecuații sau pe soluțiile lor, ci mai degrabă pe idei fundamentale și bine înțelese. De obicei înțelegem mediul doar atunci când îl putem descrie în termeni atât de simpli încât pot fi bine înțeleși și atât de largi încât să putem opera cu el fără a ne referi la o situație specifică. Lista acestor concepte este extinsă și include, de exemplu, termeni precum rezonanță, histerezis, unde, Părere, straturi limită, turbulențe, unde de șoc, deformare, fronturi meteorologice, imunitate, inflație, depresie etc. Cele mai multe dintre cele mai utile procese sunt de natură neliniară, iar incapacitatea noastră de a descrie într-un limbaj matematic precis fenomene cotidiene precum fluxul. de apă într-un jgheab sau vârtejul de fum de țigară, se datorează parțial faptului că nu eram dispuși anterior să ne scufundăm în matematica neliniară și să o înțelegem.

Fenomenul de rezonanță, așa cum se știe, apare adesea în materia vie. În urma lui Wiener, Szent-Györgyi a sugerat importanța rezonanței în aranjarea mușchilor. Se dovedește că substanțele cu proprietăți rezonante puternice au de obicei o capacitate excepțională de a stoca atât energie, cât și informații, iar o astfel de acumulare are loc, fără îndoială, în mușchi.

Oscilațiile neliniare, oscilațiile neliniare aleatorii și oscilațiile neliniare cuplate (blocate în fază) sunt esența fenomenelor din multe domenii ale științei și tehnologiei, cum ar fi comunicațiile și energia; procesele ritmice au loc în sistemele biologice şi fiziologice. Un biofizician, un meteorolog, un geofizician, un fizician atomic, un seismolog - toți se ocupă de oscilații neliniare, adesea sincronizate în fază într-o formă sau alta. De exemplu, un inginer energetic se ocupă de problema stabilității mașinilor sincrone, un inginer de comunicații se ocupă de instabilitatea selecției sau sincronizării timpului, un fiziolog se ocupă de clonus, un neurolog se ocupă de ataxie, un meteorolog se ocupă de frecvența oscilațiilor. presiune atmosferică, un cardiolog - cu fluctuații cauzate de munca inimii, un biolog - cu fluctuații datorate cursului ceasului biologic.

Scopul principal al tezei este de a lua în considerare o serie de probleme din teoria oscilațiilor neliniare asociate cu concepte fundamentale precum captarea (sau sincronizarea), urmărirea, demodularea, sistemele de comunicații coerente în fază. Se va încerca să se ofere o imagine de ansamblu asupra problemelor neliniare de interes practic, ale căror soluții sunt scrise într-o formă accesibilă. Revizuirea nu este exhaustivă, dar include exemple de probleme care ilustrează conceptele de bază necesare pentru a înțelege proprietățile neliniare ale sistemelor blocate în fază. Problema existenței și unicității soluțiilor este atinsă doar superficial; atenţia principală se acordă metodelor de obţinere a soluţiilor.

Materialul revizuit poate fi grupat în trei teme principale. Primul subiect include o prezentare a rezultatelor teoriei oscilațiilor liniare în sisteme cu un grad de libertate și parametri constanți. Acest material este folosit ca referință și pentru comparare cu rezultatele obținute din teoria oscilațiilor neliniare. Al doilea subiect este dedicat sistemelor neliniare ușor integrabile care nu sunt afectate de forțele externe care depind de timp. Aici, cu ajutorul aparatului planului de fază, sunt studiate în detaliu oscilațiile libere ale sistemelor neliniare. Prevăzut rezumat Teoria lui Poincaré asupra punctelor singulare ale ecuațiilor diferențiale de ordinul întâi. Utilitatea conceptului de punct singular este ilustrată prin rezolvarea unui număr de probleme fizice. În cele din urmă, al treilea subiect acoperă oscilațiile forțate, auto-susținute (auto-oscilații) și oscilațiile neliniare de relaxare. În special, aplicarea teoriei lui Van der Pol la problemele de sincronizare și urmărire va fi discutată, iar capitolul va fi încheiat cu o considerație a ecuației Hill.

1. Vibrații libere în sisteme liniare

Pare valoros și interesant să rezum principalele caracteristici ale oscilațiilor liniare. Există o serie de motive pentru a face acest lucru aici. Una dintre sarcinile noastre fundamentale este să comparăm metode liniare și neliniare pentru studierea oscilațiilor. În plus, practica s-a dezvoltat pentru a aplica, pe cât posibil, terminologia folosită în problemele liniare, și în cele neliniare. În cele din urmă, este util să aveți un rezumat al ideilor și formulelor principale ale teoriei liniare pentru ușurință de referință.

Poate cel mai simplu exemplu de problemă de oscilație liniară este dat de un circuit electric simplu format dintr-un inductor conectat în serie cu o capacitate și un rezistor (Fig. 1). Analogul mecanic prezentat în fig. 1 constă dintr-un corp cu o masă atașată unui arc care dezvoltă o forță (numită forță de restabilire) proporțională cu deplasarea corpului. Pentru acest sistem electric, folosind legea lui Kirchhoff, avem

Dacă presupunem că un corp dintr-un sistem mecanic se mișcă într-un mediu care oferă rezistență proporțională cu viteza (frecare vâscoasă), atunci ecuația de mișcare pentru vibrațiile sistemului mecanic este dată de relația

Prin analogie, avem că; ; și, în plus, curentul este analog cu deplasarea.

Orez. 1.Sisteme electrice și mecanice liniare

Presupunând deocamdată că forța externă și introducând notația

reducem (1.2) la forma

Deoarece, oscilațiile determinate de acest liniar ecuație omogenă, se numesc vibrații liniare libere. Decizie comună ecuație liniară din coeficienți constanți mânca combinație liniară doua functii exponentiale:

unde și sunt constante arbitrare care sunt definite condiții inițiale, a și sunt rădăcinile ecuației caracteristice

Astfel, și sunt date de relații

Dacă vrem să reprezentăm soluția (1.5) în formă reală, avem în vedere trei cazuri în care mărimea este: a) reală, b) zero, c) imaginară. Este ușor de arătat că soluțiile iau forma

unde și sunt reale; și sunt constante arbitrare, care sunt determinate prin setarea valorilor deplasării (curentului) și vitezei la un moment inițial.

Ecuația (1.8 - a) apare cel mai des în practică. Este ușor de observat din (1.3) că acest caz are loc dacă factorul de amortizare este mic în comparație cu . Ecuația (1.8 - a) în acest caz descrie o astfel de mișcare oscilativă încât fiecare două maxime și deplasări succesive satisfac relația

OSCILAȚII NELINIARE

Neliniaritatea proceselor, inclusiv oscilațiile, este exprimată matematic în neliniaritatea ecuațiilor de mișcare corespunzătoare. Din punct de vedere al fizicii, neliniaritatea oscilațiilor se caracterizează prin două proprietăți complet diferite: anarmonicitate și nonizocronism. Sub anarmonicitate să înțeleagă prezența în spectru a fluctuațiilor de frecvență care sunt multipli ai celei principale, - armonică Fourier, sau acorduri. Non-izocron Se numesc oscilații ale căror frecvențe (ale armonicilor fundamentale și superioare) depind de amplitudinea sau energia oscilațiilor.

Un exemplu clasic de oscilații neliniare este revoluția planetelor în jurul Soarelui - o problemă cu soluția căreia a început mecanica și fizica modernă. Conform celei de-a treia legi a lui Kepler, frecvența de revoluție a planetelor în jurul Soarelui este dată de energia lor totală:

w=│ E│ 3/2 .

Nonizocronismul, în general, nu are legătură cu anarmonicitatea. Astfel, o particulă încărcată care se mișcă de-a lungul unei orbite circulare într-un câmp magnetic constant cu o viteză apropiată de viteza luminii, efectuează oscilații pur armonice, iar frecvența circulației sale este invers proporțională cu energia.

OSCILATOR NELINEAR

Oscilator liniar (în absența amortizarii - armonice) - modelul principal al teoriei liniare a oscilațiilor. Ecuația sa de mișcare (conform celei de-a doua legi a lui Newton):

Unde X- valoarea ale cărei fluctuații sunt descrise de model (amplitudinea deplasării pendulului, curent sau tensiune în circuitul oscilator, mărimea populației etc.), - „accelerația” acesteia.

Oscilatorul neliniar este modelul principal al teoriei neliniare a oscilațiilor. Ecuația sa de mișcare este:

Unde f(.X) este o funcție neliniară care conține cel puțin o funcție neliniară (nu de gradul întâi în X) membru. Energia totală a sistemului nu depinde de timp, adică de sistem conservator.

Oscilațiile neizocrone sunt efectuate, de exemplu, de o particulă într-un puț de potențial plat - o cutie cu pereți infinit de înalți:

U(x)=0 la - l/ 2<х< l/ 2; U(X)=¥ la X£ - l/ 2, X>l/ 2.

Particula se mișcă cu o viteză constantă în interiorul cutiei, reflectându-se instantaneu elastic la granițe. A ei energie kinetică E k \u003dmv 2/2, adică viteza V= Ö (2E la /m) depinde de energie. Perioada de oscilație a unei particule este exprimată prin formula

Din formula (3) se poate observa că perioada de oscilații scade odată cu creșterea energiei (pentru alte sisteme, aceasta poate crește).

Legea conservării energiei E oscilator (sistem neliniar conservator) are forma

O imagine calitativă completă a mișcării unui oscilator neliniar este oferită de portretul său de fază. Din legea conservării energiei se poate deduce

LEONID ISAAKOVICH MANDELSHTAM

Chiar și o listă incompletă de descoperiri și lucrări fundamentale academicianul Leonid Isaakovich Mandelstam (1879-1944) este izbitor prin diversitatea sa: împrăștierea luminii Raman și fluctuația, teoria microscopului, oscilațiile neliniare și inginerie radio, teoria rezonanței, geodezia radio, noul fel generatoare de unde electromagnetice - mașini parametrice. Excepționala, ca să nu spun dureroasă, exigența a lui L. I. Mandelstam față de rezultatele lucrării nu a permis includerea în această listă a altora, nu mai puțin. descoperiri importante, - de exemplu, descoperirea experimentală în 1912 (cu câțiva ani înainte de experimentele clasice ale lui Stewart și Tolman) a inerției electronilor în metale.

Dar în spatele întregii varietăți impresionante de realizări și a lărgirii intereselor în munca științifică a lui Mandelstam, se poate vedea clar subiectul principal- teoria vibraţiilor. Familiarizându-se pentru prima dată cu acest domeniu din Teoria sunetului în două volume de Lord Rayleigh, Mandelstam a fost impregnată de frumusețea ideilor sale și a recurs în mod repetat la „ajutor oscilator”, ceea ce a făcut posibilă găsirea de analogii între rezultatele din diferite secțiuni ale fizică.

Mandelstam a întruchipat fericit o combinație rară de teoretician și experimentator, cercetător și lector. El a spus că există o înțelegere de primul fel, atunci când ei citesc și înțeleg tot ce este scris, pot obține orice formulă, dar nu sunt încă capabili să răspundă independent la nicio întrebare din ceea ce citesc și o înțelegere de al doilea fel. , când întreaga imagine este clară, întreaga legătură de idei, fenomene . Gânditor profund și subtil, Mandelstam a realizat o înțelegere a celui de-al doilea tip de fizică și și-a împărtășit cu generozitate cunoștințele cu numeroși studenți (printre ei A. A. Andronov, A. A. Witt, G. S. Gorelik, G. S. Landsberg, M. A. Leontovich, VV Migulin, SM Rytov, SP). Strelkov, IE Tamm, SE Khaikin, SP Shubin etc.) și studenți.

Mandelstam s-a născut la Mogilev într-o familie care a dat lumii oameni de știință, medici și scriitori. În curând, familia s-a mutat la Odesa. Până la 12 ani, băiatul a studiat acasă, apoi la gimnaziu, pe care l-a absolvit cu medalie de aur. În 1897 a intrat în departamentul de matematică al Facultății de Fizică și Matematică a Universității Novorossiysk (din Odesa). Doi ani mai târziu, din cauza tulburărilor studenților, tânărul a fost dat afară din universitate. La sfatul părinților săi, Mandelstam a plecat la Strasbourg, unul dintre centre cercetare fizică unde și-a continuat studiile. Matematicianul Heinrich Weber (un student al lui Riemann și autorul cursului clasic " Ecuatii diferentiale Fizica Matematică”), fizicianul Ferdinand Braun (director cu jumătate de normă al Institutului de Fizică), Departamentul de Fizică Teoretică a fost condus de Emil Kohn (autorul binecunoscutei lucrări „Câmpul Electromagnetic”).

Departe de orice fluctuații, forța de restabilire este proporțională cu abaterea (adică se modifică conform legii (- kx)). Luați în considerare, de exemplu, arcul prezentat în Figura 2.74. Este format din mai multe plăci. Cu deformări mici, doar plăcile lungi se îndoaie. Sub sarcini mari, plăcile mai scurte (și mai rigide) sunt, de asemenea, supuse la îndoire. Forța de restabilire poate fi acum descrisă după cum urmează:

modul baterie comută la aperiodic, când oscilațiile dispar și corpul se apropie încet de poziția de echilibru (Fig. 2.72, b, c).

Introduceți în locul liniei în care sunt plasate punctele (t, x), linia unde vor fi plasate punctele ( x,v) și obțineți portrete de fază ale oscilațiilor amortizate pentru diferite frecări. De asemenea, puteți utiliza unul dintre programele gata făcute Phaspdem* sau Phport* dintre cele disponibile în pachetul PAKPRO. Ar trebui obținute diagrame de tipul prezentat în Figura 2.73.

Pentru ca acesta să se întoarcă, i.e. FȘi Xîntotdeauna a avut semne diferite, ar trebui extins într-o serie în puteri impare X.În măsura în care energie potențială U legat de putere prin formula F = - dU/dx, înseamnă că

adică, oscilațiile apar într-un puț de potențial cu pereți mai abrupți decât cei ai unei parabole (Fig. 2.75, a). Frecarea plăcilor una față de cealaltă asigură amortizarea necesară pentru a amortiza oscilațiile.

Oscilaţiile sunt posibile şi într-un puţ asimetric, când

(Fig. 2.75, b). Forța de restabilire va fi egală cu

La rezolvarea problemelor pentru oscilații neliniare, utilizarea unui computer este inevitabilă, deoarece nu există soluții analitice. Pe un computer, soluția nu este deloc dificilă. Este necesar doar în linia în care se realizează creșterea vitezei (v = v + F At/m), scrieți expresia completă pentru F, de exemplu -kh-gh 2 - px 3 .

Exemplu. Programul pentru desenarea unui grafic al oscilațiilor neliniare este dat în pachetul PAKPRO sub numele Nlkol. Pune-o la treaba. Ar trebui să obțineți o serie de curbe pentru diferite abateri inițiale. La x 0 mai mare decât o anumită valoare, particula oscilantă pleacă gaura potentiala depășirea unei potențiale bariere.

Incearca si programele Ncol*Și Nlosc.*, disponibile în pachetul PAKPRO, precum și programe care pot fi utilizate pentru a obține portrete de fază ale oscilațiilor neliniare: Phaspnl*, Phportnl*.

Rețineți că, strict vorbind, aproape orice oscilații sunt neliniare. Numai la amplitudini mici pot fi considerate liniare (neglijați termenii c x 2 , x 3 etc. în formule ca (2.117)).

Fie ca oscilatorul, pe lângă forța de restabilire, care asigură oscilații naturale cu o frecvență C00, să fie afectat și de o forță externă, care se modifică periodic cu o frecvență co, egală sau nu egală cu (Oo. Această forță va balansa corpul). cu o frecvenţă co. Oscilaţiile rezultate se numesc forţat.

Ecuația mișcării în acest caz va fi:

În primul rând, există un proces de stabilire a oscilațiilor. De la prima apăsare, corpul începe să oscileze cu propria frecvență de la 0. Apoi, treptat, oscilațiile naturale se estompează, iar forța motrice începe să controleze procesul. Oscilațiile forțate nu mai sunt setate cu o frecvență (00, ci cu o frecvență a forței motrice ω. Procesul tranzitoriu este foarte complicat, nu există o soluție analitică. La rezolvarea problemei printr-o metodă numerică, programul nu va mai fi complicat decât, să zicem, programul pentru oscilații amortizate.linie, unde, în conformitate cu ecuația mișcării, viteza este mărită, se adaugă forța motrice sub forma FobiH = Focos(cot).

Exemplu. Pachetul PACG1RO conține un exemplu de program pentru obținerea unui grafic al oscilațiilor forțate pe ecranul unui computer. Vezi și programe Ustvcol.pasȘi UstvcoW.pas. Graficul x(?) rezultat și diagrama de fază v(x) prezentat în figura 2.76. Cu o selecție reușită a parametrilor, se vede clar cum se stabilesc treptat oscilațiile forțate. De asemenea, este interesant de observat stabilirea oscilațiilor forțate pe diagramă de fază(program Phpforce.pas).

Când oscilațiile cu frecvența ω au fost deja stabilite, putem găsi soluția ecuației (2.118) sub forma

Aici Jo este amplitudinea oscilațiilor constante. Dacă substituim (2.119) în (2.118), după ce am găsit anterior derivatele de timp X"Și X"și având în vedere că la= coo 2 m, atunci rezultă că (2.119) va fi o soluție a ecuației (2.118) cu condiția ca

Nu s-a luat în considerare frecarea, coeficient dar presupus a fi zero. Se poate observa că amplitudinea oscilațiilor crește brusc pe măsură ce ω se apropie de C0 (Fig. 2.77). Acest fenomen se numește rezonanţă.

Dacă într-adevăr nu ar exista frecare, amplitudinea la co = (Oo ar fi infinit de mare. În realitate, acest lucru nu se întâmplă. Aceeași figură 2.77 arată cum se modifică curba rezonantă odată cu creșterea frecării. Dar totuși, dacă co și coo coincid, amplitudinea poate deveni de zeci si sute de ori mai mare decat cu F Gânguri. În inginerie, acest fenomen este periculos, deoarece oscilațiile de antrenare ale motorului pot intra în rezonanță cu frecvența naturală a oricăror părți ale mașinii și se poate prăbuși.

Neliniar efectele se pot manifesta în multe moduri diferite. Un exemplu clasic este un arc neliniar, în care forța de restabilire este dependentă neliniar de extensie. În cazul neliniarității simetrice (același răspuns la compresie și tensiune), ecuația mișcării ia forma

Dacă nu există amortizare și , există soluții periodice în care, pentru , frecvența naturală crește cu amplitudinea. Acest model este adesea numit ecuație Duffing după numele matematicianului care a studiat-o (Figura 1.54).

Dacă asupra sistemului acționează o forță periodică, atunci în teoria clasică se crede că răspunsul va fi și periodic. Rezonanța unui arc neliniar la o frecvență de răspuns care coincide cu frecvența forței este prezentată în figură.

Figura 1.54 - Curba de rezonanță clasică neliniară oscilator cu arc rigid în cazul în care oscilațiile sunt periodice și au aceeași perioadă ca forța de antrenare (a și b sunt definite în ecuație)

Pentru o amplitudine constantă a forței de antrenare, există o gamă de frecvențe de antrenare în care sunt posibile trei amplitudini de răspuns diferite. Se poate demonstra că linia întreruptă este instabilă și, pe măsură ce frecvența crește și scade, histerezis. Acest fenomen se numește răsturna,și se observă în experimente cu multe sisteme mecanice și electrice.

Există și alte soluții periodice, cum ar fi subarmonicăȘi superarmonică fluctuatii.

Dacă forţa motrice are forma , atunci oscilațiile subarmonice pot avea forma plus armonici superioare (-integer).

Teoria rezonanței neliniare se bazează pe presupunerea că o acțiune periodică provoacă un răspuns periodic. Cu toate acestea, tocmai acest postulat este contestat de noua teorie a oscilațiilor haotice.

Oscilații autoexcitate - o altă clasă importantă de fenomene neliniare. Acestea sunt mișcări oscilatorii care apar în sisteme fără influențe externe periodice sau forțe periodice (Figura 1.55).

Figura 1.55 - Exemple de oscilații autoexcitate: dar - frecare uscată între masă și centura în mișcare;

b - forțe aeroelastice care acționează asupra unei aripi subțiri

În primul exemplu, frecarea este cauzată de mișcarea relativă a masei și a curelei în mișcare.

Al doilea exemplu ilustrează o întreagă clasă de oscilații aeroelastice, în care oscilațiile staționare sunt cauzate de un flux staționar de fluid în spatele unui corp solid pe o suspensie elastică.

În aceste exemple, sistemul are o sursă de energie staționară și o sursă de disipare sau un mecanism de amortizare neliniar. În modelul matematic al acestui circuit, sursa de energie intră sub forma unei rezistențe negative (ecuația Van der Pol):

Energia poate pătrunde în sistem la amplitudini mici, dar pe măsură ce amplitudinea crește, creșterea sa este limitată de amortizarea neliniară.

Când se analizează ecuația Van der Pol, este convenabil să se treacă la variabile adimensionale prin normalizarea variabilei de spațiu la și a timpului la , astfel încât ecuația să ia forma

,

La rezolvarea unei ecuații, aceasta este reprezentată ca un sistem de ecuații de ordinul întâi

Mișcările oscilatorii ale unor astfel de sisteme sunt adesea denumite ca cicluri limită. Figura 1.56 prezintă traiectoriile oscilatorului Van der Pol pe planul de fază. Spirale de oscilații mici, apropiindu-se de o traiectorie asimptotică închisă și mișcări de amplitudine mare spirală către același ciclu limită (unde ) .

Figura 1.56 - Soluție cu un ciclu limită pentru oscilatorul Van der Pol, reprezentată în planul de fază

Când studiezi astfel de probleme, apar adesea două întrebări. Care este amplitudinea și frecvența oscilațiilor pe ciclul limită? La ce valori ale parametrilor există cicluri limită stabile?

Pentru mic , ciclul limită este un cerc cu raza 2 pe planul de fază, adică unde + ... denotă armonici de ordinul trei și superior.

În general, mișcarea ia forma oscilații de relaxare, prezentată în figura 1.57 cu o perioadă adimensională de aproximativ 1.61 la .

Figura 1.57 Oscilații de relaxare ale oscilatorului Van der Pol

Problema cu o forță periodică în sistemul Van der Pol este mai complicată:

Deoarece sistemul este neliniar, principiul suprapunerii oscilaţiilor libere şi forţate este inaplicabil.În schimb, mișcarea periodică rezultată capturat la frecvenţa de conducere când este aproape de frecvenţa ciclului limită.

Cu o acțiune externă slabă, există trei soluții periodice, dar numai una dintre ele este stabilă (vezi figura). Pentru valori mari ale amplitudinii forței, există o singură soluție. În orice caz, pe măsură ce deacordarea crește, soluția periodică capturată se dovedește a fi instabilă și alte tipuri de mișcare devin posibile.

Cu diferențe mari între frecvențele de conducere și cele naturale în sistemul van der Pol, apare un nou fenomen - vibrații combinate, numite uneori solutii aproape periodice sau cvasi-periodice, de forma

Când frecvențele și sunt incomensurabile, adică un număr irațional, soluția se numește cvasiperiodică. Pentru ecuația Van der Pol , unde este frecvența ciclului limită al oscilațiilor libere (Figura 1.58).

Figura 1.58 - Curbele de amplitudine pentru forțat

mișcările oscilatorului van der Pol

Mai jos vom vorbi mai mult despre oscilațiile cvasi-periodice, dar întrucât nu sunt periodice, pot fi confundate cu soluții haotice, ceea ce nu sunt. (Pentru ei, spectrul Fourier al soluției constă din două vârfuri la , )

Când , și sunt incomensurabile, portretul de fază al soluției este o traiectorie deschisă, iar o altă metodă este folosită pentru a reprezenta grafic funcții cvasi-periodice.

Prelevarea de probe stroboscopice se face la intervale de timp; setează și notează , .

Apoi raportul se reduce la