Ideea fundamentală cu care se confruntă cercetătorul proceselor și fenomenelor socio-economice este înțelegerea naturii relațiilor dintre variabilele economice. Cererea emergentă pentru un anumit produs pe piață este considerată în funcție de preț, rentabilitatea activelor depinde de gradul de risc investițional, cheltuielile consumatorilor pot fi în funcție de venit.
În curs analize statistice iar previzionarea fenomenelor socio-economice este necesară descrierea cantitativă a celor mai semnificative relaţii. Pentru o reflectare fiabilă a esenței și naturii fenomenelor și proceselor, ar trebui identificate relațiile cauză-efect. cauzalitate caracterizat printr-o succesiune temporală de cauză și efect: cauza precede întotdeauna efectul. Cu toate acestea, pentru o înțelegere corectă, coincidențele evenimentelor care nu au o relație cauzală trebuie excluse.
Multe fenomene socio-economice sunt rezultatul unor cauze care acționează simultan și cumulativ. În astfel de cazuri, cauzele principale sunt separate de cele secundare, nesemnificative.
Există două tipuri de fenomene dependențe: funcționale, sau rigid determinată, și statistică, sau stocastic determinat. La dependenta functionala fiecare valoare nu este dependent variabila x corespunde în mod unic complet o anumită valoare dependent variabila y. Acest dependenta poate fi descris ca o egalitate y \u003d f (x) . Un exemplu dependențe pot exista legi ale mecanicii care sunt valabile pentru fiecare unitate individuală a populației fără abateri aleatorii.
statistic, sau dependență stocastică, se manifestă numai în fenomene de masă, cu numere mari unități agregate. La stocastică dependențele pentru valorile date nu sunt dependent variabilei x i se poate da o serie de valori y împrăștiate aleatoriu pe interval. Fiecare valoare fixă ​​a argumentului corespunde unei anumite distribuții statistice a valorilor funcției. Acest lucru se datorează faptului că dependent variabila, pe lângă variabila distinsă x, este afectată și de alți factori necontrolați sau necontabilizați, precum și de faptul că erorile de măsurare sunt suprapuse. (2, p. 12). Din moment ce valorile dependent variabilele sunt supuse răspândirii aleatoare, nu pot fi prezise cu suficientă acuratețe, ci doar indicate cu o anumită probabilitate. Valori care apar dependent variabile sunt realizări ale unei variabile aleatorii.
Unilateral dependență stocastică o variabilă aleatoare din alta sau mai multe alte variabile aleatoare este considerată ca o regresie. O funcție care exprimă un singur sens dependență stocastică, se numește funcție de regresie sau pur și simplu regresie.
Există o diferență între dependenta functionalași regresie. Pe lângă faptul că variabila x dependenta functionala^=f(x) determină complet valoarea funcției^, funcția este inversabilă, adică. există funcție inversă x = f(y). Funcția de regresie nu are această proprietate. Numai în cazul limitativ când dependență stocastică intră în dependență funcțională, Puteți trece de la o ecuație de regresie la alta.
Formalizarea tipului de ecuație de regresie este inadecvată pentru scopurile asociate cu măsurători în economie și cu analiza anumitor forme dependențeîntre variabile. Soluţionarea unor astfel de probleme devine posibilă ca urmare a introducerii în relaţiile economice stocastică membru:
Când studiezi dependențe rețineți că funcția de regresie stabilește doar formal o corespondență între variabile, în timp ce acestea nu pot fi într-o relație cauzală. În acest caz, pot apărea regresii false din cauza coincidențelor aleatorii ale variațiilor variabilelor care nu au sens semnificativ. Prin urmare, un pas obligatoriu înainte de selectarea ecuației de regresie este o analiză calitativă dependențe intre nu dependent variabila x și dependent variabila y pe baza ipotezelor preliminare.

Să fie necesar să se investigheze dependența și ambele cantități sunt măsurate în aceleași experimente. În acest scop, o serie de experimente sensuri diferiteîncercând să păstreze celelalte condiţii ale experimentului neschimbate.

Măsurarea fiecărei mărimi conține erori aleatorii (erorile sistematice nu vor fi luate în considerare aici); prin urmare, aceste cantități sunt aleatorii.

Conexiunea regulată a variabilelor aleatoare se numește stocastică. Vom lua în considerare două sarcini:

a) să stabilească dacă există (cu o anumită probabilitate) dependență de sau dacă valoarea lui nu depinde de;

b) dacă există dependență, descrieți-o cantitativ.

Prima sarcină se numește analiza varianței, iar dacă se ia în considerare o funcție a mai multor variabile, atunci analiza varianței multivariate. A doua sarcină se numește analiză de regresie. Dacă erorile aleatoare sunt mari, atunci pot masca dependența dorită și nu este ușor să o identifici.

Astfel, este suficient să luăm în considerare o variabilă aleatoare în funcție de ca parametru. Așteptarea matematică a acestei valori depinde de această dependență este cea dorită și se numește legea regresiei.

Analiza dispersiei. Să efectuăm o serie mică de măsurători la fiecare valoare și să determinăm.

În prima metodă, sunt calculate standardele de eșantionare măsurare unică pentru fiecare serie separat și pentru întregul set de măsurători:

unde este numărul total de dimensiuni și

sunt valorile medii pentru fiecare serie și, respectiv, pentru întregul set de măsurători.

Să comparăm varianța setului de măsurători cu variațiile serii individuale. Dacă se dovedește că la nivelul de fiabilitate ales este posibil să se calculeze pentru tot i, atunci există o dependență a lui z de.

Dacă nu există un exces semnificativ, atunci dependența nu poate fi detectată (cu acuratețea dată experimentului și metoda acceptată de procesare).

Dispersiile sunt comparate prin testul lui Fisher (30). Deoarece standardul s este determinat de numărul total de măsurători N, care este de obicei destul de mare, este aproape întotdeauna posibil să se utilizeze coeficienții Fisher din Tabelul 25.

A doua metodă de analiză este de a compara mediile la valori diferite între ele. Valorile sunt aleatorii și independente, cu propriile standarde de eșantionare egale cu

Prin urmare, ele sunt comparate conform schemei de măsurători independente descrisă la paragraful 3. Dacă diferențele sunt semnificative, adică depășesc intervalul de încredere, atunci se stabilește faptul dependenței de; dacă diferențele dintre toate cele 2 sunt nesemnificative, atunci dependența nu este detectabilă.

Analiza multivariată are unele particularități. Este recomandabil să se măsoare valoarea în nodurile unei grile dreptunghiulare pentru a face mai convenabilă investigarea dependenței de un argument, fixând celălalt argument. Este prea laborios să se efectueze o serie de măsurători la fiecare nod al unei grile multidimensionale. Este suficient să se efectueze o serie de măsurători la mai multe noduri ale grilei pentru a estima varianța unei singure măsurători; în alte noduri, se poate limita la măsurători individuale. Analiza varianței se efectuează conform primei metode.

Observație 1. Dacă există multe măsurători, atunci în ambele metode, măsurătorile individuale sau serii se pot abate destul de puternic de la propriile lor, cu o probabilitate vizibilă. așteptări matematice. Acest lucru trebuie luat în considerare atunci când alegeți o probabilitate de încredere suficient de apropiată de 1 (cum s-a făcut în stabilirea limitelor care separă erorile aleatoare admisibile de cele brute).

Analiza de regresie. Fie ca analiza varianței să indice că există o dependență a lui z de. Cum se cuantifică?

Pentru a face acest lucru, aproximăm dependența dorită printr-o funcție.Găsim valorile optime ale parametrilor prin metoda celor mai mici pătrate, rezolvând problema

unde sunt greutățile de măsurare alese invers proporțional cu pătratul erorii de măsurare la un punct dat (adică ). Această problemă a fost tratată în Capitolul II, § 2. Aici ne oprim doar asupra acelor caracteristici care sunt cauzate de prezența unor erori aleatoare mari.

Tipul este selectat fie din considerații teoretice despre natura dependenței, fie formal, prin compararea graficului cu graficele funcțiilor cunoscute. Dacă formula este selectată din considerente teoretice și transmite corect (din punct de vedere al teoriei) asimptoticele, atunci de obicei permite nu numai aproximarea bine a setului de date experimentale, ci și extrapolarea dependenței găsite la alte game de valori. O funcție selectată în mod formal poate descrie în mod satisfăcător experimentul, dar este rareori potrivită pentru extrapolare.

Este cel mai ușor de rezolvat problema (34) dacă polinom algebric Cu toate acestea, o astfel de alegere formală a funcției este rareori satisfăcătoare. De obicei, formulele bune depind de parametrii neliniar (regresie transcendentală). Cel mai convenabil este să construiți o regresie transcendentală alegând o astfel de modificare de egalizare a variabilelor, astfel încât dependența să fie aproape liniară (vezi Capitolul II, § 1, itemul 8). Atunci este ușor să o aproximezi cu un polinom algebric: .

Se caută o modificare de egalizare a variabilelor folosind considerații teoretice și ținând cont de asimptotice.În continuare, vom presupune că o astfel de modificare a fost deja făcută.

Observația 2. La trecerea la variabile noi, problema celor mai mici pătrate (34) ia forma

unde noile ponderi sunt legate de relaţiile originale

Prin urmare, chiar dacă în declarația inițială (34) toate măsurătorile au avut aceeași acuratețe, atunci ponderile pentru variabilele de egalizare nu vor fi aceleași.

Analiza corelației. Este necesar să se verifice dacă modificarea variabilelor a fost într-adevăr de nivelare, adică dacă dependența este aproape de liniară. Acest lucru se poate face prin calcularea coeficientului de corelație de pereche

Este ușor să arăți că relația este întotdeauna valabilă

Dacă dependența este strict liniară (și nu conține erori aleatoare), atunci sau în funcție de semnul pantei dreptei. Cu cât este mai mică, cu atât dependența este mai mică similară cu liniară. Prin urmare, dacă , și numărul de măsurători N este suficient de mare, atunci variabilele de egalizare sunt alese satisfăcător.

Astfel de concluzii despre natura dependenței de coeficienții de corelație se numesc analiză de corelație.

Analiza corelației nu necesită luarea unei serii de măsurători în fiecare punct. Este suficient să faceți o măsurătoare în fiecare punct, dar apoi să luați mai multe puncte pe curba studiată, ceea ce se face adesea în experimente fizice.

Observația 3. Există criterii de apropiere, care permit să se indice dacă dependența este practic liniară. Nu ne oprim asupra lor, deoarece alegerea gradului polinomului de aproximare va fi luată în considerare mai jos.

Observația 4. Relația indică absența dependență liniară dar nu înseamnă absenţa vreunei dependenţe. Deci, dacă pe segment - atunci

Gradul optim de polinom a. Să substituim în problema (35) un polinom aproximativ de grad:

Apoi, valorile optime ale parametrilor satisfac sistemul ecuatii lineare (2.43):

și este ușor să le găsești. Dar cum să alegi gradul unui polinom?

Pentru a răspunde la această întrebare, să revenim la variabilele inițiale și să calculăm varianța formulei de aproximare cu coeficienții găsiți. Estimarea imparțială a acestei variații este

Evident, pe măsură ce gradul polinomului crește, dispersia (40) va scădea: cu cât se iau mai mulți coeficienți, cu atât punctele experimentale pot fi aproximate mai precis.

relație între variabile aleatoare, la care se produce o modificare a legii de distribuție a unuia dintre ele sub influența unei modificări a celuilalt.

Valoarea ceasului Dependență Stochasticăîn alte dicționare

Dependenta- robie
supunere
subordonare
Dicţionar de sinonime

dependenta J.- 1. Distragerea atenției. substantiv după valoare adj.: dependent (1). 2. Condiționalitatea ceva. niste circumstanțe, motive etc.
Dicţionar explicativ al Efremova

Dependenta- -Și; bine.
1. la Dependent. Politic, economic, material h. Z. din smth. mă asuprește, mă asuprește. Z. teorie din practică. Trăiește în dependență. Fortăreață (condiție........
Dicţionar explicativ al lui Kuznetsov

Dependenta- - starea unei entități economice în care existența și activitățile acesteia depind de sprijinul material și financiar sau de interacțiunea cu alte entități.
Dicţionar de drept

Dependența de Fisher- - dependenţă, stabilindu-se că creşterea nivelului inflaţiei aşteptate tinde să crească ratele dobânzilor nominale. În cea mai strictă versiune - dependență ........
Dicţionar de drept

Dependența liniară- - modele economice și matematice sub formă de formule, ecuații în care mărimile economice, parametrii (argument și funcție) sunt interconectați funcție liniară. Cel mai simplu........
Dicţionar de drept

Dependența de droguri- un sindrom observat în abuzul de droguri sau substanțe și caracterizat printr-o nevoie patologică de a lua un psihotrop pentru a evita dezvoltarea ........
Dicţionar medical mare

Dependenta de droguri psihic- L. h. fără simptome de sevraj în cazul întreruperii medicamentului.
Dicţionar medical mare

dependența de droguri fizice- L. h. cu simptome de sevraj în cazul întreruperii medicamentului sau după introducerea antagoniștilor acestuia.
Dicţionar medical mare

Dependența de cetate- dependenţa personală, funciară şi administrativă a ţăranilor de proprietarii de pământ din Rusia (sec. XI - 1861).Încadrat legal în con. secolele al XV-lea - al XVII-lea legea cetatii.

Dependența liniară- o relatie de forma C1u1 + C2u2 + ... + Cnun?0, unde C1, C2, ..., Cn sunt numere, dintre care cel putin unul? 0, și u1, u2, ..., un - unele obiecte matematice, de exemplu. vectori sau funcţii.
Mare Dicţionar enciclopedic

Dependența de cetate- - dependența personală, funciară și administrativă a țăranilor de domnii feudali din Rusia în secolul al XI-lea. -1861 Formalizată legal la sfârşitul secolelor XV-XVII. legea cetatii.
Dicționar istoric

Dependența de cetate- dependenţa personală a ţăranilor în vâlvă. ob-ve de la domnii feudali. Vezi iobăgie.
Enciclopedia istorică sovietică

Dependența liniară- - vezi articolul Independență liniară.
Enciclopedie matematică

Funcția Stochastică Lyapunov este o funcție nenegativă V(t, x), pentru care perechea (V(t, X(t)), Ft) este o supermartingală pentru un proces aleatoriu X(t), Ft este s-algebra evenimentelor generat de procesul de flux Xto........
Enciclopedie matematică

Aproximație Stochastică este o metodă de rezolvare a unei clase de probleme statistice. evaluare, în care noua valoare a evaluării este o modificare a unei evaluări deja existente, pe baza unei noi observații .........
Enciclopedie matematică

Geometrie Stochastică este o disciplină matematică care studiază relația dintre geometrie și teoria probabilității. Anul acesta s-a dezvoltat din clasic. geometrie integrală și probleme despre geometrie ........
Enciclopedie matematică

Dependența Stochastică- (probabilistă, statistică) - dependența dintre variabilele aleatoare, care se exprimă într-o modificare a distribuțiilor condiționate ale oricăreia dintre mărimile atunci când valorile se schimbă ........
Enciclopedie matematică

Joc Stohastic— este un joc dinamic pentru care funcția de distribuție a tranziției nu depinde de preistoria jocului, adică S. și. au fost identificate pentru prima dată de L. Shapley, care a considerat antagonistă .........
Enciclopedie matematică

Matricea Stochastică este o matrice pătrată (posibil infinită) cu intrări nenegative astfel încât pentru orice i. Mulțimea tuturor C. m. de ordinul al n-lea este o carcasă convexă........
Enciclopedie matematică

Continuitate stocastică este o proprietate a funcțiilor eșantionului unui proces aleator. Un proces aleator X(t) definit pe o anumită mulțime numită. continuu stocastic pe acest set dacă pentru vreunul........
Enciclopedie matematică

Indistincbilitatea stocastică este o proprietate a două procese aleatorii și însemnând că set aleatoriu este neglijabilă, adică probabilitatea unei mulțimi care este egală cu zero. Dacă X și Y sunt stocastice........
Enciclopedie matematică

Limitare stocastică— marginea probabilității — o proprietate a unui proces aleatoriu X(t), care este exprimată prin condiția: pentru un proces arbitrar, există un C>0 astfel încât pentru toate AV Prohorov.
Enciclopedie matematică

Secvență stocastică este o succesiune de variabile aleatoare date pe un spațiu măsurabil cu o familie nedescrescătoare de -algebre distinse pe acesta având proprietatea consistenței........
Enciclopedie matematică

Convergența stocastică este aceeași cu convergența în probabilitate.
Enciclopedie matematică

Echivalența stocastică este o relație de echivalență între variabile aleatoare care diferă doar pe un set de probabilitate zero. Mai precis, variabile aleatoare X 1 și X 2. date pe una ........
Enciclopedie matematică

Dependența de alcool- Alcoolul este substanta narcotica, pentru o discuție vezi dependența de droguri.
Enciclopedie psihologică

Dependență halucinogenă- Dependența de droguri, în care drogurile sunt halucinogene.
Enciclopedie psihologică

Dependenta— (Dependență). O calitate pozitivă care promovează dezvoltarea psihologică sănătoasă și creșterea unei persoane.
Enciclopedie psihologică

Dependență (dependență), Dependență de droguri- (dependenta de droguri) - efecte fizice si/sau psihologice rezultate din dependenta de anumite substante medicamentoase; caracterizat prin impulsuri compulsive
Enciclopedie psihologică

Dependența empirică stocastică

Dependența dintre variabile aleatoare se numește dependență stocastică. Se manifestă printr-o modificare a legii de distribuție a unuia dintre ele (variabilă dependentă) când celelalte (argumente) se modifică.

Dependență empiric stochastică grafic, în sistemul de coordonate variabilă dependentă – argumente, este un set de puncte distribuite aleator, care reflectă tendința generală a comportamentului variabilei dependente atunci când argumentele se schimbă.

O dependență empirică stocastică de un argument se numește dependență de pereche, dacă există mai multe argumente - o dependență multivariată. Un exemplu de dependență liniară pereche este prezentat în fig. unu.()

Orez. unu.

Spre deosebire de dependența funcțională obișnuită, în care modificări ale valorii unui argument (sau mai multor argumente) corespund unei modificări a unei variabile dependente deterministe, într-o dependență stocastică, distribuția statistică a unei variabile dependente aleatoare modifică, în special, cea matematică. așteptare.

Problema modelării matematice (aproximații)

Construcția unei dependențe stocastice se numește altfel modelare matematică(aproximare) sau aproximare și constă în găsirea expresiei (formula) matematică a acesteia.

O formulă (funcție) stabilită empiric, care reflectă dependența adevărată nu întotdeauna cunoscută, dar existentă în mod obiectiv și care corespunde relației de bază, stabilă, recurentă dintre obiecte, fenomene sau proprietățile acestora, este considerată ca model matematic.

Relația stabilă a lucrurilor și adevărata lor dependență. indiferent dacă este modelat sau nu, există obiectiv, are o expresie matematică și este privit ca o lege sau o consecință a acesteia.

Dacă se cunoaște o lege adecvată sau o consecință a acesteia, atunci este firesc să le considerăm ca dependența analitică dorită. De exemplu, dependența empirică a puterii curente euîn circuit de la tensiune U si rezistenta la sarcina R rezultă din legea lui Ohm:

Din păcate, adevărata dependență a variabilelor în marea majoritate a cazurilor este a priori necunoscută, așa că devine necesară detectarea ei pe baza unor considerații generale și concepte teoretice, adică construirea model matematic regula luată în considerare. Acest lucru ia în considerare faptul că variabilele date și incrementele lor pe fondul fluctuațiilor aleatoare reflectă proprietățile matematice ale dependenței adevărate dorite (comportamentul tangentelor, extremelor, rădăcinilor, asimptotelor etc.)

Funcția de aproximare aleasă într-un fel sau altul netezește (medii) fluctuațiile aleatorii ale valorilor empirice inițiale ale variabilei dependente și, prin urmare, suprimând componenta aleatoare, este o aproximare a componentei obișnuite și, prin urmare, a dependenței adevărate dorite. .

Modelul matematic al dependenţei empirice are o teoretică şi valoare practică:

vă permite să stabiliți adecvarea datelor experimentale la una sau alta lege cunoscută și să identificați noi modele;

· rezolvă pentru variabila dependentă problema interpolării într-un interval dat a valorilor argumentului și previziunii (extrapolării) în afara intervalului.

Cu toate acestea, în ciuda interesului teoretic mare de a găsi o formulă matematică pentru dependența cantităților, în practică este adesea suficient doar să se determine dacă există o legătură între ele și care este puterea acesteia.

Sarcina analizei corelației

Metoda de studiu a relației dintre cantitățile în schimbare este analiza corelației.

Conceptul cheie al analizei corelației care descrie relația dintre variabile este corelația (din engleză corelație - acord, legătură, relație, raport, interdependență).

Analiza corelației este utilizată pentru a detecta o dependență stocastică și pentru a evalua puterea (semnificația) acesteia după mărimea coeficienților de corelație și a raportului de corelație.

Dacă se găsește o relație între variabile, atunci se spune că există o corelație sau că variabilele sunt corelate.

Indicatorii etanșeității conexiunii (coeficient de corelație, raport de corelație) modulo se modifică de la 0 (în absența unei conexiuni) la 1 (când dependența stocastică degenerează într-una funcțională).

O relație stocastică este considerată semnificativă (reala) dacă estimarea absolută a coeficientului de corelație (raportul de corelație) este semnificativă, adică depășește 2-3 deviație standard estimări de coeficienți.

Rețineți că, în unele cazuri, poate fi găsită o relație între fenomene care nu sunt în relații evidente cauză-efect.

De exemplu, pentru unele zone rurale, s-a constatat o relație stocastică directă între numărul de berze care cuibăresc și numărul de copii născuți. Numărul de primăvară al berzelor vă permite să preziceți câți copii se vor naște în acest an, dar dependența, desigur, nu dovedește credința binecunoscută și este explicată. procese paralele:

Nașterea copiilor este de obicei precedată de formarea și amenajarea de noi familii cu achiziționarea de case rurale și ferme;

· Oportunitățile sporite de cuibărit atrag păsările și le măresc numărul.

O astfel de corelație între caracteristici se numește o corelație falsă (imaginară), deși poate fi de importanță practică.

Instituția de învățământ de stat federală

studii profesionale superioare

Academia de Buget și Trezorerie

Ministerul de Finanțe al Federației Ruse

ramura Kaluga

ESEU

dupa disciplina:

Econometrie

Subiect: Metoda econometrică și utilizarea dependențelor stocastice în econometrie

Facultatea de contabilitate

Specialitate

contabilitate, analiză și audit

Departament part-time

consilier științific

Shvetsova S.T.

Kaluga 2007

Introducere

1. Analiza diferitelor abordări pentru determinarea probabilității: abordare a priori, abordare a posteriori-frecvență, abordare a posteriori-model

2. Exemple de dependențe stocastice în economie, trăsăturile lor și metode probabilistice pentru studierea lor

3. Verificarea unui număr de ipoteze despre proprietățile distribuției de probabilitate pentru o componentă aleatorie ca una dintre etapele cercetării econometrice

Concluzie

Bibliografie

Introducere

Formarea și dezvoltarea metodei econometrice s-au desfășurat pe baza așa-numitelor statistici superioare - pe metodele de regresie pereche și multiplă, pereche, corelație parțială și multiplă, detecție a tendințelor și alte componente ale seriei temporale, pe evaluarea statistică. . R. Fischer scria: „Metodele statistice sunt un element esenţial în ştiinţele sociale şi, practic, cu ajutorul acestor metode doctrinele sociale se pot ridica la nivelul ştiinţelor”.

Scopul acestui eseu a fost de a studia metoda econometrică și utilizarea dependențelor stocastice în econometrie.

Obiectivele acestui eseu sunt de a analiza diferite abordări ale determinării probabilității, de a da exemple de dependențe stocastice din economie, de a identifica caracteristicile acestora și de a oferi metode probabilistice pentru studierea lor și de a analiza etapele cercetării econometrice.

1. Analiza diferitelor abordări de determinare a probabilității: abordare a priori, abordare a posteriori-frecvență, abordare a posteriori-model

Pentru o descriere completă a mecanismului experimentului aleatoriu studiat, nu este suficient să precizăm doar spațiul evenimentelor elementare. Evident, pe lângă enumerarea tuturor rezultatelor posibile ale experimentului aleatoriu studiat, trebuie să știm și cât de des pot avea loc anumite evenimente elementare într-o serie lungă de astfel de experimente.

Pentru a construi (în cazul discret) o teorie matematică completă și completă a unui experiment aleatoriu - teoria probabilității - pe lângă conceptele originale experiment aleatoriu, rezultat elementarȘi eveniment aleatoriu mai trebuie sa faca stocuri o presupunere inițială (axiomă), postulând existența probabilităților de evenimente elementare (satisfăcând o anumită normalizare), și definiție probabilitatea oricărui eveniment aleatoriu.

Axiomă. Fiecare element w i din spaţiul evenimentelor elementare Ω corespunde unei caracteristici numerice nenegative p i șansele de apariție a acestuia, numite probabilitatea evenimentului w eu si

p 1 + p 2 + . . . + p n + . . . = ∑ p i = 1 (1.1)

(prin urmare, în special, rezultă că 0 ≤ R i ≤ 1 pentru toate i ).

Determinarea probabilității unui eveniment. Probabilitatea oricărui eveniment DAR este definită ca suma probabilităților tuturor evenimentelor elementare care alcătuiesc evenimentul DAR, acestea. dacă folosim simbolismul P(A) pentru a desemna „probabilitatea unui eveniment DAR» , apoi

P(A) = ∑ P( w i } = ∑ p i (1.2)

De aici și din (1.1) rezultă imediat că întotdeauna 0 ≤ P(A) ≤ 1, iar probabilitatea unui anumit eveniment este egală cu unu, iar probabilitatea unui eveniment imposibil este egală cu zero. Toate celelalte concepte și reguli de acțiune cu probabilități și evenimente vor fi deja derivate din cele patru definiții inițiale introduse mai sus (un experiment aleatoriu, un rezultat elementar, un eveniment aleator și probabilitatea acestuia) și o axiomă.

Astfel, pentru o descriere exhaustivă a mecanismului experimentului aleator studiat (în cazul discret), este necesar să se precizeze un set finit sau numărabil al tuturor rezultatelor elementare posibile Ω și al fiecărui rezultat elementar. w atribui o caracteristică numerică nenegativă (care nu depășește una). p i , interpretată ca probabilitatea de apariție a rezultatului w i (vom nota această probabilitate prin simbolurile Р( w i )), și corespondența de tip stabilită w i ↔ p i trebuie să îndeplinească cerința de normalizare (1.1).

Spațiu de probabilitate este tocmai conceptul care formalizează o asemenea descriere a mecanismului unui experiment aleatoriu. Specificarea unui spațiu de probabilitate înseamnă specificarea spațiului evenimentelor elementare Ω și definirea în el a corespondenței de mai sus de tip

w i ↔ p i = P ( w i }. (1.3)

Să se determine din condițiile specifice ale problemei care se rezolvă, probabilitatea P { w i } evenimentele elementare individuale se utilizează una dintre următoarele trei abordări.

Abordare a priori la calculul probabilităţilor P { w i } constă într-o analiză teoretică, speculativă a condițiilor specifice unui anumit experiment aleator dat (înainte de experimentul însuși). Într-o serie de situații, această analiză pre-experimentală face posibilă fundamentarea teoretică a metodei de determinare a probabilităților dorite. De exemplu, cazul este posibil când spațiul tuturor rezultatelor elementare posibile constă dintr-un număr finit N elementele, iar condițiile pentru producerea experimentului aleator studiat sunt astfel încât probabilitățile fiecăruia dintre acestea N rezultatele elementare ni se par egale (aceasta este situația în care ne aflăm când aruncăm o monedă simetrică, aruncăm un zar obișnuit, scoatem la întâmplare o carte de joc dintr-un pachet bine amestecat etc.). În virtutea axiomei (1.1), probabilitatea fiecărui eveniment elementar este egală în acest caz cu 1/ N . Acest lucru vă permite să obțineți o rețetă simplă pentru calcularea probabilității oricărui eveniment: dacă evenimentul DAR conţine N A evenimente elementare, apoi în conformitate cu definiția (1.2)

R (A) = N A / N . (1.2")

Sensul formulei (1.2') este că probabilitatea unui eveniment în această clasă de situaţii poate fi definit ca raportul dintre numărul de rezultate favorabile (adică, rezultatele elementare incluse în acest eveniment) și numărul tuturor rezultatelor posibile (așa-numitele definiţia clasică a probabilităţii).În interpretarea modernă, formula (1.2’) nu este o definiție a probabilității: este aplicabilă numai în cazul particular când toate rezultatele elementare sunt la fel de probabile.

Frecvența a posteriori abordare a calculului probabilităților R (w i } respinge, în esență, de la definiția probabilității adoptată de așa-numitul concept de frecvență al probabilității. Conform acestui concept, probabilitatea P { w i } determinat ca limită a frecvenței relative de apariție a rezultatului w i în procesul unei creșteri nelimitate a numărului total de experimente aleatorii n, adică

p i =P( w i ) = lim m n (w i ) / n (1,4)

Unde m n (w i) este numărul de experimente aleatorii (din numărul total n a efectuat experimente aleatorii) în care apariţia unui eveniment elementar w eu . În consecință, pentru o determinare practică (aproximativă) a probabilităților p i se propune să se ia frecvenţele relative ale producerii unui eveniment w eu într-o serie destul de lungă de experimente aleatorii.

Definițiile sunt diferite în aceste două concepte. probabilități: conform conceptului de frecvență, probabilitatea nu este obiectivă, existente înainte de experiență, proprietatea fenomenului studiat, dar apare numai în legătură cu experienţa sau observații; aceasta conduce la un amestec de caracteristici probabilistice teoretice (adevărate, datorită complexului real de condiții pentru „existența” fenomenului studiat) și analogii lor empirici (selectivi).

Abordare a posteriori-model a stabilirea probabilităților P { w i } , corespunzând în mod specific complexului real de condiții aflate în studiu, este în prezent, poate, cea mai comună și mai convenabilă în practică. Logica din spatele acestei abordări este următoarea. Pe de o parte, în cadrul unei abordări a priori, adică în cadrul unei analize teoretice, speculative a opțiunilor posibile pentru specificul unor complexe ipotetice reale de condiții, un set de model probabilistic spații (binom, Poisson, normal, exponențial etc.). Pe de altă parte, cercetătorul are rezultatele unui număr limitat de experimente aleatorii. Mai departe, cu ajutorul unor tehnici matematice și statistice speciale, cercetătorul, așa cum spune, adaptează modelele ipotetice ale spațiilor de probabilitate la rezultatele observației pe care le are și lasă pentru utilizare ulterioară doar modelul sau acele modele care nu contrazic aceste rezultate. și într-un sens le corespund cel mai bine.