Izv. universități „PND”, v. 15, nr. 1, 2007 UDC 517,9
ATRACTOR LORENTZ ÎN CURGE DE FORFECARE
A.M. Mukhamedov
În cadrul modelului propus anterior de dinamică haotică a unui mediu continuu, se obține o realizare a regimului tridimensional al fluctuațiilor vitezei curgerii corespunzător unui atractor de tip Lorentz. Soluția este un ansamblu de structuri care determină geometria colectorului stratificat redus la cazul tridimensional, format prin pulsații ale vitezelor medii de curgere. Dinamica atractorului Lorentz în sine se manifestă sub forma unei dependențe de timp a fluctuațiilor de viteză de-a lungul liniilor de curgere ale fluxului mediu.
După cum se știe, unul dintre exemplele clasice de haos determinist, atractorul Lorentz, descoperit ca urmare a cercetărilor hidrodinamice aplicate, nu a fost încă reprodus în mod adecvat în formalismul mecanicii turbulente existente. În lucrările autorului s-a exprimat o ipoteză că soluția hidrodinamică clasică a acestei probleme nu poate fi obținută în principiu și s-a propus o justificare pentru o astfel de concluzie. Sa bazat pe înțelegerea faptului că modelele atractoare ale dinamicii haotice afectează nivelul mezoscopic al mișcării unui mediu continuu și că acest nivel nu este reprezentat în ecuațiile clasice Navier-Stokes. Aceasta a condus la propunerea de a extinde opțiunile de rezolvare a problemei atractorului Lorentz prin includerea explicită a mezostructurilor suplimentare în formalismul matematic al hidrodinamicii, care duc aparatul acestei teorii dincolo de cadrul operațiilor clasice cu ecuațiile Navier-Stokes.
În prezent, regimurile atractoare ale dinamicii mediilor continue sunt construite în cadrul unor modele care sunt abstracții de amploare ale mișcării unui mediu continuu, aproape fără a utiliza conceptul de interacțiuni mecanice ale particulelor mediului între ele. . În unele cazuri, aceste abstracții reflectă proprietățile operatorilor de tip evolutiv care acționează într-o ierarhie de spații Hilbert imbricate. În alte cazuri, ele reflectă dinamica sistemelor cu dimensiuni finite care reproduc schimbări în stările mediului, dar în acest caz, fiecare dintre stări este de fapt reprezentată doar de un punct al varietății de fază corespunzătoare. O astfel de modelare nu corespunde scopului aplicat al hidromecanicii, care necesită reproducerea tuturor structurilor esențiale în mod direct, adică în spațiul ocupat de un mediu continuu. Dacă luăm în considerare argumentele datelor teoretice și experimentale în favoarea
existența unei astfel de reprezentări, atunci reproducerea atractorilor în contextul dinamicii caracteristicilor spațiu-timp ale mediului pare să fie o nevoie urgentă.
În această lucrare, atractorul Lorentz este construit în cadrul dinamicii turbulente propuse în model. Conform acestui model, spațiile de fază ale regimurilor turbulente sunt stratificări ale jeturilor de fluctuații ale cantităților hidrodinamice. Se presupune că geometria fasciculelor fluctuante este a priori arbitrară, determinată de trăsăturile modelate ale regimurilor haotice corespunzătoare. Obiectul principal al modelării este o structură haotică, care este un complex de traiectorii instabile de mișcare a punctelor în mediu. Se presupune că fiecărui regim turbulent stabilit corespunde unei structuri haotice bine definite. În traiectoria unei structuri haotice, acestea au fost identificate cu setul de curbe integrale ale unei distribuții de tip Pfaff neintegrabile (non-holonomice) definite pe un mănunchi de fluctuații ale variabilelor dinamice.
trăsătură caracteristică Modelul propus este modul lui Lagrange de a descrie mișcarea unui mediu, care, în cazul general, nu se reduce la descrierea mișcării în variabilele lui Euler. În același timp, s-a dovedit că descrierea lui Lagrange este admirabil adaptată pentru a reflecta dinamica sistemelor cu atractori ciudați. În locul restricțiilor rigide ale paradigmei Euler, descrierea lui Lagrange impune condiții mult mai relaxate care servesc la definirea obiectelor geometrice ale distribuțiilor nonholonomice corespunzătoare. O astfel de schimbare în accentul modelării face posibilă reproducerea diverșilor atractori în dinamica fasciculelor de particule în medii continuu.
1. Să stabilim ecuațiile pentru dinamica pulsațiilor regimului trimodal
(yi + 4 (x, y!) (xk = Ar(x, y^)(U (1,3,k = 1,2,3), (1)
unde xk și yz formează mulțimile de coordonate spațiale și dinamice ale stratificării pulsațiilor, iar obiectele mkk(x, yt)(xk și Ar(x, yt)M determină natura interacțiunilor intermodale ale regimului.Aceste obiecte iar ecuația (1) însăși poate fi considerată drept reguli de formare a derivatelor coordonatelor dinamice în raport cu coordonatele spațiale și timp, determinate de evoluția turbulentă reală. sens geometric dintre aceste obiecte este că în mănunchiul de pulsații definesc un obiect de conexiune internă și, respectiv, un câmp vectorial vertical.
Să presupunem că coordonatele dinamice introduse mai sus au semnificația unor fluctuații ale vitezei de curgere a mediului, adică viteza reală a mediului poate fi extinsă în câmpul de viteză al debitului mediu și fluctuații conform formulei
u (x, y) = u0 (x) + y. (2)
Vom lua ecuațiile de echilibru de masă și impuls sub forma ecuației standard de continuitate și a ecuației Navier-Stokes
Chr + udi. (4)
Acest sistem ecuațiile nu este încă completă, deoarece ecuația (4) include presiunea, care este o variabilă termodinamică, a cărei dinamică, în cazul general, depășește sfera cinematicii. Pentru a descrie fluctuațiile de presiune, sunt necesare noi coordonate dinamice, ceea ce crește numărul de grade de libertate necesare pentru a descrie regimul de mișcare turbulent corespunzător. Introducem o nouă variabilă dinamică care are sensul fluctuațiilor de presiune, adică luăm
p(x,y)= po(x) + y4. (5)
Astfel, setul inițial de coordonate dinamice necesare pentru afișarea mișcării unui mediu continuu este de patru dimensiuni.
Posibilitatea reducerii la un sistem tridimensional cu dinamică similară cu dinamica sistemului Lorentz constă în faptul că presiunea intră în ecuația (4) sub forma unui gradient. De aici rezultă că reducerea la dinamica tridimensională a fluctuațiilor vitezei poate fi efectuată dacă gradientul de presiune care intră în ecuația (4) conține doar primele trei coordonate dinamice. Pentru a face acest lucru, este suficient să ceri ca în ecuațiile de dinamică pentru a patra coordonată
dy4 + wj (x, y)dxk = A4 (x, y)dt (6)
coeficienții formelor de conexiune w4(x,yj)dxk au depins doar de primele trei coordonate dinamice. Rețineți că regimul tridimensional se poate dovedi instabil din punctul de vedere al unei descrieri mai complete, care include luarea în considerare a tuturor gradelor de libertate excitate. Cu toate acestea, ne vom restrânge la modelarea tocmai a acestei dinamici posibile a priori.
Să considerăm condițiile impuse de ecuațiile de echilibru (3), (4) asupra expresiilor pentru mărimile necunoscute wk(x,yj)dxk și Ai(x,yj)dt incluse în ecuația dinamică (1). Pentru a face acest lucru, înlocuim (2) și (5) în (3) și (4) și folosim ecuațiile (1) și (6). Pentru a simplifica expresiile rezultate, presupunem că coordonatele spațiale xk sunt carteziene. În acest caz, nu puteți distinge între superscripte și subindice, ridicându-le și coborându-le după cum este necesar pentru a scrie expresii covariante. Apoi obținem următoarele ecuații pentru coeficienții ecuației (1)
dkuk - wj = 0, (7)
Ai + (uk + yk)(djuk - wj) = -(dipo - w4i) - vDjwik. (opt)
unde se introduce notatia Dj = dj - wk^y.
Pentru cele ce urmează, concretizăm formularea problemei. Vom lua în considerare un regim al cărui câmp de viteză medie descrie curgerea unei simple forfecare
uk = Ax3à\. (nouă)
În plus, facem presupuneri cu privire la geometria spațiului de pulsații fibroase. Presupunem că pachetul este conectat funcție liniarăîn coordonate dinamice, adică w^ = waj (x)yj (a = 1,..., 4). În acest caz, din ecuația (8) rezultă imediat că al doilea obiect capătă o structură polinomială în coordonate dinamice. Și anume, câmpul vectorial vertical devine un polinom de ordinul doi în coordonate dinamice, i.e.
Ai = Ak (x) + Aj (x)yk + j (x)yj yk.
Astfel, funcțiile necunoscute care determină ecuația pentru dinamica pulsațiilor regimului în trei moduri luate în considerare sunt coeficienții waak(x), Ar0(x), Ark(x) și A3k(x), pentru care avem ecuațiile (3) și (4). Rețineți că ecuația (4) se reduce în esență la determinarea coeficienților verticalei câmp vectorial, în timp ce alegerea coeficienților de legătură este limitată doar de ecuația de continuitate (3). Această ecuație lasă un arbitrar considerabil în determinarea coeficienților de conectivitate, lăsând astfel amploarea modelării structurii spațiale a dinamicii fluctuațiilor în concordanță cu debitul mediu ales.
2. Luați în considerare posibilitatea obținerii unui atractor de tip Lorentz în această problemă. În acest scop, în primul rând, vom discuta despre extinderea valorilor reale ale vitezei în viteza medie iar ondulația este aproximativ medie.
Conform semnificației pulsațiilor, media lor în timp ar trebui să fie egală cu zero, adică.
(y)t - 0. (10)
În același timp, pulsațiile sunt definite ca abateri ale valorilor reale ale vitezei de la valoarea medie. Dacă se presupune că debitul mediu este dat, atunci circumstanța notă nu ne permite să alegem ca model ecuația haosului sistem arbitrar ecuații cu dinamică haotică. Pentru ca variabilele sistemului model de ecuații să fie considerate ca pulsații ale mărimilor hidromecanice reale, trebuie îndeplinite condițiile (10). Dacă (10) nu este satisfăcută, atunci aceasta înseamnă existența unei derive nesocotite în dinamica pulsației. În consecință, sistemul model adoptat se dovedește a fi inconsecvent fie cu factorii care acționează luați în considerare, fie cu structura debitului mediu admis.
Mai mult, ecuația (1) este, în cazul general, un sistem de tip Pfaff nu complet integrabil. Proprietatea de neintegrabilitate a acestei ecuații este fundamental importantă, corespunzătoare unei trăsături caracteristice mișcării turbulente. Și anume, în procesul de mișcare, orice formațiuni macroscopice mici turbulente, particule, molii, globule își pierd individualitatea. Această caracteristică este luată în considerare de neintegrabilitatea ecuației (1). În esență, (1) descrie un ansamblu de posibile traiectorii de mișcare ale punctelor unui continuum format dintr-un mediu continuu. Aceste traiectorii sunt definite în pachetul de fluctuații. Proiecțiile lor asupra spațiului ocupat de un mediu continuu determină dinamica dezvoltării fluctuațiilor de-a lungul curbelor spațiale corespunzătoare. Rețineți că acesta din urmă poate fi ales în mod arbitrar, determinând posibilitatea luării în considerare a dinamicii fluctuațiilor de-a lungul oricărei curbe spațiale.
Să luăm în considerare, pentru certitudine, dinamica fluctuațiilor de-a lungul liniilor de curgere ale fluxului mediu. Atunci avem următoarele ecuații dinamice:
xr = u0, (11)
y + w) k y3 4 \u003d Ar. (12)
Înainte de a lua în considerare acest sistem, îl transformăm în variabile adimensionale. Pentru a face acest lucru, în ecuația inițială (4), în loc de coeficientul de vâscozitate, introducem
numărul Reynolds. Apoi eliminați dependența explicită de acest număr prin înlocuire
<сг = 1_<юг, ю4 = со4, х = х^Иё, у = у^Кё, и0 = и0^Иё, рг = Иер0. (13)
Omitând liniuța de subliniere peste variabile, din (12) obținem
y \u003d DiO - și! kdkiO - dgro + y3 (-dziO +<г - дкюЗ^ + ю\кю*к) + у3ук<3к. (14)
Să analizăm (13). Rețineți că modelul utilizat presupune o turbulență dezvoltată, adică numărul Reynolds ar trebui considerat suficient de mare. Apoi, dacă mărimile adimensionale au valori de ordinul unității, atunci mărimile dimensionale reale în conformitate cu (13) vor indica scara manifestării dinamicii. În special, din (13) rezultă că scările spațiale se dovedesc a fi mici. Astfel, modelul utilizat trebuie considerat, în primul rând, ca model al proceselor de amestecare turbulente la nivelul mezoscopic de rezoluție a unui mediu continuu.
Să trecem acum la analiza (11) și (12). Este ușor de observat că pentru debitul mediu ales, ecuația (11) are integrale simple. Ecuațiile curente medii corespunzătoare sunt linii drepte paralele cu axa de coordonate x1. Eliminând coordonatele spațiale, din (12) obținem în cazul general un sistem de ecuații diferențiale neautonome. În acest caz, dacă coeficienții de conectivitate și gradientul de presiune nu depind de coordonata x1, atunci sistemul (14) devine autonom, conținând coordonatele spațiale rămase x2 și x3 ca parametri. În acest caz, se deschide o cale reală pentru modelarea directă a dinamicii pulsațiilor cvasi-staționare neomogene spațial. Un exemplu de astfel de simulare va fi dat mai jos.
În încheierea acestui paragraf, observăm că apariția unei distribuții nonholonomice dată de sistemul Pfaff (1), (6) este o consecință a ipotezei că în starea de turbulență puternică constantă, clasa posibilelor traiectorii de mișcare ale particulele mediului este o formațiune stabilă. O condiție necesară pentru această nouă stabilitate este cerința de instabilitate a traiectoriilor de mișcare a punctelor, care, la rândul său, implică valori mari ale numărului Reynolds. O încercare de a extinde abordarea la valori mici ale numărului Re este nefondată.
3. Să ne întoarcem la construcția unui exemplu în care fluctuațiile vitezei de-a lungul traiectoriilor debitului mediu sunt descrise de un sistem canonic de tip Lorentz. Pentru simplitate, vom presupune că toți coeficienții de conexiune sunt constanți. În acest caz, obținem o dinamică care este omogenă spațial de-a lungul liniilor de curgere ale fluxului mediu, dar, cu toate acestea, de-a lungul liniilor arbitrare nu este omogenă spațial. Vom numi această ipoteză aproximarea cvasi-omogenă.
Sarcina noastră este să dăm ecuației (14) forma sistemului canonic Lorentz. Primul obstacol vizibil în acest sens este incertitudinea identificării coordonatelor dinamice și a variabilelor corespunzătoare
din sistemul canonic. Presupunând că diverse tipuri de mecanisme de interacțiuni intermodale vor face posibilă simularea oricăreia dintre aceste identificări, vom alege următoarea opțiune. Fie structura ecuației (14) să aibă următoarea formă:
y1 = a(-y1 + y2), (15)
y2 = (r - (r))y1 - y2 - y1y3, (16)
y3 = -y(y3 + (r)) + y1y2, (17)
unde termenul obișnuit este în mod explicit identificat, care, în conformitate cu cele spuse în secțiunea 2, trebuie exclus din expresia pentru pulsații.
x \u003d o (-x + y), y \u003d rx - y - xr, r \u003d -y r + xy. (optsprezece)
Pentru aceasta, presupunem că există medii de timp pentru variabilele sistemului (18). Pe baza invarianței acestui sistem față de transformări
x ^ -x, y ^ -y, z ^ z (19)
este firesc să ne așteptăm ca mediile pentru primele două variabile să fie zero. Apoi înlocuirea
x ⩽ x, y ⩽ y, z ⩽ z + (z) (20)
în (18) dă sistemul de ecuații (15) - (17).
În acest sens, observăm că pentru diferite valori ale parametrilor sistemului Lorentz sunt posibile soluții atât cu valori medii zero, cât și non-nule ale primelor două variabile. Având în vedere acest lucru, ne limităm examinarea ulterioară la prima dintre aceste posibilități. În plus, observăm că substituția (20) poate fi efectuată și în cazul în care termenul din a treia expresie (20) nu are semnificația mediei timpului. În acest caz, poate fi necesară o nouă definiție a procedurii de mediere pentru interpretarea ulterioară. În cazul general, o definiție adecvată va necesita o rafinare a scărilor de timp ale fenomenelor luate în considerare. Este clar că astfel de redefiniri vor necesita o analiză mai detaliată atât a datelor inițiale, cât și a variațiilor parametrilor sistemului. Efectul binecunoscut al interacțiunii atractorilor haotici arată cum pot apărea ambiguități în determinarea mediilor pentru variații mici ale parametrilor de mișcare.
Să revenim la considerația noastră. Comparând coeficienții sistemului (15) -(17) și (14), obținem
(DiO - u£dki0 - c/ro) =
(-3]u0 + - dkyu] + u^) =
V -U (r)) (-o
g - (g) -1 0 V 0 0 -y
În plus, din (7) avem
dk u0 = 0, 0.
Luați în considerare (21) și (24). Înlocuind expresia (9), este ușor de observat că (24) este îndeplinită identic, iar (21) se reduce doar la determinarea gradientului mediu de presiune. În acest caz, gradientul se dovedește a fi perpendicular pe viteza medie a curgerii, ceea ce este o consecință a identificării alese a variabilelor sistemului canonic Lorentz și a componentelor de fluctuație a vitezei.
Să ne întoarcem la ecuațiile (23) și (25). Din (23) obținem expresii cu o singură valoare pentru componentele simetrizate în indice ale obiectului conexiune. Partea antisimetrică este determinată din (25) cu oarecare arbitrar. Rezolvarea generală a acestor ecuații este dată de următoarea expresie:
/ ae,x2 - bxx - aix1 + sd,x3 bx1 - cx2 \
eix2 - /dix3 -eix1 + bix3 (/ - 1)dix1 - bix2 V ra1x2 - eix3 (-p + 1)dix1 + aix3 eix1 - aix2)
Să ne întoarcem la ecuația rămasă (22). Această ecuație matriceală este un sistem de 9 ecuații algebrice pătratice
b2 - c(p + /) +
ae - bp + Yur \u003d r - (r),
eb - a/ + o43 = 0,
ae - bp + b + 1021 = o,
C/ + e2 + b2 - (1 - /) (1 - p) + o42 \u003d -1,
Ec + ab + u43 = 0,
A/ + eb + a - A + u31 = 0,
Ec + ab + u42 = 0,
Cp - (1 - /) (1 - p) + e2 + a2 + u33 \u003d -y.
Necunoscutele din acesta sunt 6 coeficienți de conectivitate (26), 9 componente ale tensorului de presiune, 1 coeficient care determină viteza medie și 3 parametri ai sistemului Lorentz. De aici rezultă că soluția acestui sistem este determinată cu un arbitrar parametric considerabil. În regimul tridimensional luat în considerare, tensorul gradientului de presiune ω > 4r este arbitrar, iar datorită concretizării sale, este posibilă simularea dinamicii dorite pentru orice alegere, prefixată, a coeficienților de conectivitate. Pentru regimurile multidimensionale, componentele tensorilor de presiune sunt incluse într-un sistem mai complet de ecuații care ține cont de dinamica tuturor gradelor de libertate excitate. În acest caz, tensorul de presiune nu mai poate fi arbitrar. În acest sens, este interesant de luat în considerare diferite opțiuni particulare pentru determinarea tensorului de presiune, presupunând că ipotezele rezonabile din punct de vedere fizic ar trebui să-și găsească reprezentările în ecuații mai complete care țin cont de dinamica multidimensională. Vom presupune că tensorul gradientului de presiune este diagonal cu o componentă zero corespunzătoare coordonatei y2. În acest caz, (22) are următoarea soluție analitică exactă:
o!1 = .1 - a, o43 = .1 - y + 1, .1 = (K - a) a - A2, K = r - (r), (27)
K - a t Ka, K - a AK
a = A, b = a - K, c = - - .1, p = -, f = - K, e = - - -. (28)
Se consideră soluția obținută (27), (28). Mărimile A, r, a, y, care determină magnitudinea gradientului de viteză medie a curentului, și trei parametri ai sistemului model Lorentz au rămas arbitrari în acesta. Toate celelalte caracteristici de mișcare sunt exprimate ca funcții ale setului de mărimi de mai sus. Prin alegerea anumitor valori ale acestor mărimi, este posibil să se varieze dinamica pulsațiilor și folosind formulele (26), (27) pentru a găsi valorile corespunzătoare ale componentelor obiectului de conectivitate. Dacă luăm în considerare faptul că fiecare obiect determină natura interacțiunilor pulsațiilor, atunci devine posibilă variarea diferitelor tipuri de interacțiuni în sine. În special, pentru a varia mărimea componentelor tensorilor de presiune. Trebuie remarcat faptul că, în unele cazuri, aceste componente pot fi transformate identic la zero. O caracteristică a soluțiilor (27), (28) este că se dovedește a fi imposibilă transformarea componentelor tensorilor de presiune la zero, rămânând în același timp în intervalul acelor valori ale parametrilor sistemului pentru care apare dinamica Lorentz. (Cu toate acestea, acest lucru este destul de posibil în regiunea acelor valori ale parametrilor pentru care dinamica pulsației este regulată.)
Să facem niște estimări. Fie parametrii sistemului model să corespundă atractorului Lorentz cu parametrii a = 10, r = 28, y = 8/3. În acest caz, calculele arată că pulsațiile au un timp caracteristic t ~ 0,7. În intervalul de timp calculat b = 0 + 50, valorile pulsațiilor aparțin intervalelor y1 = -17,3 + 19,8, y2 = -22,8 + 27,2 și y3 = -23,2 + 23,7.
Să comparăm valorile absolute ale fluctuațiilor vitezei și gradientul de viteză medie. Din (13) rezultă că pulsațiile se obțin prin împărțirea valorilor relative la numărul l/d, în timp ce gradientul de viteză medie rămâne neschimbat. Să luăm pentru gradientul de viteză o valoare egală cu unitatea în ordinea mărimii
este A ~ 1. Atunci, la valoarea lui Re=2000, adică la valoarea critică inferioară a lui , pentru pulsații obținem un ordin de mărime egal cu 50% din valoarea gradientului. Pentru cazul lui Re=40000, fluctuațiile vitezei ating doar 10%% din valoarea acceptată a gradientului de viteză medie. Aceasta arată că proporții rezonabile între viteza medie și pulsații pot fi asigurate numai într-un anumit interval de numere Re.
4. Date noi sunt dezvăluite când se ia în considerare mișcarea punctelor din mediu. Pentru dinamica Lorentz în aproximarea cvasi-omogenă, ecuațiile de mișcare a punctelor au forma
r -(z) -l 0 0 0 -Y
Aox3 -A(r - (z))x3
Acest sistem se dovedește a fi liniar cu coeficienți constanți. Soluția sa generală poate fi ușor obținută prin integrare elementară. Prin urmare, notăm doar trăsăturile calitative ale traiectoriilor de mișcare a punctelor. Din ecuația caracteristică pentru viteze, aflăm că există două rădăcini negative și una pozitivă. Astfel, în fiecare punct al spațiului, se disting două direcții de compresiune și una de tracțiune. Aceste caracteristici ale dinamicii sunt caracteristici invariante care pot fi utilizate pentru a clasifica atractorii corespunzători fluxurilor cu aceeași viteză medie.
După cum rezultă din soluția generală a sistemului (29) și (30), posibilele deplasări ale punctelor medii în direcții transversale la liniile de curgere medii nu sunt limitate. Și anume, are loc o deplasare regulată în proiecția pe axa x3. În acest caz, punctele, care se deplasează perpendicular pe liniile curentului mediu, cad în regiunea cu viteze mari. În acest caz, numărul Re crește, ceea ce duce la o scădere a mărimii relative a fluctuațiilor. În cadrul aproximării cvasiomogene realizate, acest efect duce la o scădere relativă a fluctuațiilor și, în cele din urmă, la degenerarea lor în fluctuații.
Lista bibliografică
1. Mukhamedov A.M. Modele turbulente: probleme și soluții //17 Congresul IMACS, Lucrarea T4-1-103-0846, http://imacs2005.ec-lille.fr.
2. Mukhamedov A.M. Către o teorie gauge a turbulenței // Chaos, Solitons & Fractals. 2006 Vol. 29. P. 253.
3. Ruelle D., Takens F. Despre natura turbulenței // Commun. Matematică. Fiz. 1971 Vol. 20. P. 167.
4. Babin A.V., Vishik M.I. Atractori ai ecuațiilor de evoluție. M.: Nauka, 1989. 296 p.
5. Mandelbrot B. Geometria fractală a naturii. om liber. San Francisco, 1982.
6. Benzi RPaladin G., Parisi G., Vulpiani A. Despre natura multifractală a turbulenței complet dezvoltate și a sistemelor haotice // J. Phys. A. 1984. Vol.17. P.3521.
7 Elnaschie M.S. Integralele căii Feynman și teoria E-Infinity din experimentul Gedanken cu două fante // Jurnalul Internațional de Științe Neliniare și Simulari Numerice. 2005 Vol. 6(4). p. 335.
8. Mukhamedov A.M. Regimuri de ansamblu de turbulențe în curgeri forfecare // Buletinul KSTU im. A.N. Tupolev. 2003, nr. 3. S. 36.
9. Yudovici V.I. Asimptotice ale ciclurilor limită ale sistemului Lorentz pentru numere Rayleigh mari // VINITI. 31/07/78. nr. 2611-78.
10. Anishcenko V.S. Oscilații complexe în sisteme simple. M.: Nauka, 1990. 312 p.
11. Loitsyanski L.G. Mecanica lichidelor și gazelor. M.: Nauka, 1987. 840 p.
Universitatea de Stat din Kazan Primit la 23 ianuarie 2006
Universitatea Tehnică revizuită 15.08.2006
ATRACTOR LORENZ ÎN FLUXURI DE SIMPLU SCHIMBĂ
În cadrul unui model dat anterior pentru simularea dinamicii haotice a mediului continuum este reprezentat atractorul Lorenz. Simularea este dată cu ajutorul structurilor care definesc geometria unui fascicul de fibre asociat cu un regim tridimensional al pulsațiilor de viteză. Dinamica Lorenz apare ca dependență de timp a pulsațiilor de-a lungul liniilor fluxului mediu.
Mukhamedov Alfarid Mavievich - s-a născut la Kazan (1953). Absolvent al Facultății de Fizică a Universității de Stat din Kazan în cadrul Departamentului de Gravitație și Teoria Relativității (1976). Doctorand al Departamentului de Mecanică Teoretică și Aplicată, Universitatea Tehnică de Stat din Kazan, numită după V.I. A.N. Tupolev. Autor a 12 lucrări pe această temă, precum și a monografiei „Căutarea științifică și metodologia matematicii” (Kazan: Editura KSTU, 2005, în colaborare cu G.D. Tarzimanova). Domeniul de interes științific - modele matematice ale dinamicii haotice, geometria varietăților fibroase, metodologia matematicii moderne.
set fractal julia attractor
Până acum, am studiat fractalii, care sunt forme statice. Abordarea noastră este destul de acceptabilă atâta timp cât nu este nevoie să luăm în considerare fenomene naturale cum ar fi căderea fluxurilor de apă, turbulențele de fum turbulente, sistemele meteorologice și fluxurile de ieșire ale motoarelor cu reacție. În aceste cazuri, un singur fractal corespunde unui instantaneu al fenomenului dat. Structuri care se schimbă în timp, le definim ca sisteme dinamice. Este intuitiv clar că opusul dinamic al unui fractal este haosul. Aceasta înseamnă că haosul descrie starea de imprevizibilitate extremă care apare într-un sistem dinamic, în timp ce fractalitatea descrie neregularitatea extremă sau neregulile inerente configurației geometrice.
Curând a devenit clar că multe sisteme dinamice haotice care descriu fenomenele lumii din jurul nostru sunt foarte complexe și nu pot fi reprezentate prin metode tradiționale de analiză matematică. Aparent, nu există nicio modalitate de a obține expresii matematice pentru soluții în formă închisă, chiar dacă utilizați serii infinite sau funcții speciale.
Să luăm în considerare un exemplu celebru, care demonstrează foarte clar ce se află în spatele termenului de „dinamică haotică”. Edward Lorenz de la Institutul de Tehnologie din Massachusetts în 1961 a fost angajat în studii numerice ale sistemelor meteorologice, în special, modelarea curenților de convecție în atmosferă.Studiul atractorului Lorentz este acum inclus în orice
pachet de matematică, de exemplu, Mathematica, Maple.. El a scris un program pentru a rezolva următorul sistem de ecuații diferențiale:
dx/dt = (-x + y),
dy/dt = rx - y - xz,
dz/dt = -bz + xy.
În calcule suplimentare, parametrii, r și b sunt constanți și iau valorile \u003d -10, r \u003d 28 și b \u003d 8/3.
Conform descrierii experimentului, care îi aparține lui Lorenz însuși, el a calculat valorile soluției pentru o lungă perioadă de timp, apoi a oprit calculul. Era interesat de unele particularități ale soluției care apărea undeva la mijlocul intervalului de numărare și, prin urmare, a repetat calculele din acel moment. Rezultatele renumărării ar coincide în mod evident cu rezultatele numărării inițiale dacă valorile inițiale pentru renumărări ar fi exact egale cu valorile obținute mai devreme pentru acest moment. Lorentz a modificat ușor aceste valori, reducând numărul de zecimale valide. Erorile introduse în acest fel au fost extrem de mici. Dar cel mai neașteptat era înainte. Soluția nou calculată de ceva timp a fost de acord cu cea veche. Cu toate acestea, pe măsură ce am numărat, discrepanța a crescut și, treptat, a devenit clar că noua soluție nu semăna deloc cu cea veche.
Lorentz a repetat și a verificat din nou calculele (probabil că nu avea încredere în computer) înainte de a realiza importanța experimentului. Ceea ce a observat se numește acum dependență esențială de condițiile inițiale, o caracteristică de bază inerentă dinamicii haotice. Dependența substanțială este uneori numită efectul fluture. Acest nume se referă la incapacitatea de a face prognoze meteo pe termen lung. Lorenz însuși a clarificat acest concept în articolul „Predictibilitate: poate batea aripilor unui fluture în Brazilia să ducă la o tornadă în Texas?”, publicat în 1979.
În ciuda importanței mari a experimentului Lorentz, acest curs nu va lua în considerare modele asociate cu sisteme dinamice descrise prin ecuații diferențiale. Dimpotrivă, vom lua în considerare cele mai simple modele de dinamică haotică - cele discrete, care includ celebrul și omniprezentul set Mandelbrot și seturile lui Julia însoțitoare.
Orez. 4.1.1. atractor Lorenz.
Cea mai frecventă inconsecvență este că oamenii presupun că teoria haosului este o teorie despre dezordine. Nimic nu poate fi atât de departe de adevăr! Aceasta nu este o respingere a determinismului și nici nu este o afirmație că sistemele ordonate sunt imposibile; aceasta nu este o negare a dovezilor experimentale sau o afirmație despre inutilitatea sistemelor complexe. Haosul în teoria haosului este ordine - și nici măcar ordine, ci esența ordinii.
Este adevărat că teoria haosului susține că micile schimbări pot produce consecințe uriașe. Dar unul dintre conceptele centrale ale teoriei este imposibilitatea de a prezice cu exactitate starea unui sistem. În general, sarcina de a modela comportamentul general al sistemului este destul de fezabilă, chiar simplă. Astfel, teoria haosului se concentrează nu pe dezordinea unui sistem – imprevizibilitatea inerentă a sistemului – ci pe ordinea moștenită a acestuia – comportamentul comun al sistemelor similare.
Astfel, ar fi incorect să spunem că teoria haosului este despre dezordine. Pentru a ilustra acest lucru cu un exemplu, să luăm atractorul Lorentz (Fig. 1). Se bazează pe trei ecuații diferențiale, trei constante și trei condiții inițiale.
Atractorul reprezintă comportamentul gazului la un moment dat, iar starea lui la un moment dat depinde de starea lui la momente premergătoare celui dat. Dacă datele inițiale sunt modificate chiar și cu valori foarte mici, de exemplu, aceste valori sunt atât de mici încât sunt proporționale cu fluctuațiile numărului Avogadro (un număr foarte mic de ordinul 1024), verificarea stării atractorului va arată numere complet diferite. Acest lucru se datorează faptului că micile diferențe sunt amplificate de recursivitate.
Cu toate acestea, în ciuda acestui fapt, graficul atractor va arăta destul de asemănător. Ambele sisteme vor avea valori complet diferite la un moment dat, dar graficul atractor va rămâne același, deoarece exprimă comportamentul general al sistemului.
Teoria haosului spune că sistemele complexe neliniare sunt ereditar imprevizibile, dar, în același timp, teoria haosului spune că modul în care astfel de sisteme imprevizibile sunt exprimate se dovedește a fi adevărat nu în egalități exacte, ci în reprezentări ale comportamentului sistemului - în grafice de atractori ciudați sau în fractali. Astfel, teoria haosului, despre care mulți o consideră impredictibilitate, se dovedește a fi, în același timp, știința predictibilității chiar și în cele mai instabile sisteme.
abstract
După disciplină: Matematică
„ atractor Lorentz“
atractor Lorentz
solutia sistemului lar =0,3
solutia sistemului lar =1,8
solutia sistemului lar =3,7
solutia sistemului lar =10
solutia sistemului lar =16
solutia sistemului lar =24,06
solutia sistemului lar =28 — de fapt, acesta este atractorul Lorentz
solutia sistemului lar =100 - modul de auto-oscilații în sistem este vizibil
atractor Lorentz (din engleza.a atrage - atrage) este o mulțime invariantă într-un neted tridimensional, care are o anumită structură topologică complexă și este asimptotic stabil, acesta și toate traiectoriile dintr-o vecinătate tind să la (de aici și numele).
Atractorul Lorentz a fost găsit în experimente numerice care investighează comportamentul traiectoriilor unui sistem neliniar:
cu următoarele valori ale parametrilor: σ=10,r =28, b =8/3. Acest sistem a fost introdus pentru prima dată ca primul non-trivial pentru problema apei de mare într-un strat plat, ceea ce a motivat alegerea valorilor lui σ,r șib , dar apare și în alte întrebări și modele fizice:
convecție într-o buclă închisă;
rotația roții cu apă;
model monomod;
disipativ cu neliniaritate inerțială.
Sistemul hidrodinamic inițial de ecuații:
Unde - viteza de curgere, - temperatura lichidului, - temperatura limitei superioare (pe cea inferioară, ), - densitate, - presiune, - gravitatie, - respectiv, şi cinematice.
În problema convecției, modelul apare atunci când viteza curgerii și temperatura sunt descompuse în cele bidimensionale și „tăierile” ulterioare ale acestora până la armonicile de prima secundă. În plus, sistemul complet de ecuații dat este scris în . Tăierea rândurilor este justificată într-o anumită măsură, deoarece Soltzman în lucrările sale a demonstrat absența oricăror caracteristici interesante în comportamentul majorității armonicilor.
Aplicabilitate și conformitate cu realitatea
Să desemnăm sensul fizic al variabilelor și parametrilor din sistemul de ecuații în raport cu problemele menționate.
Convecție într-un strat plat. AiciX responsabil pentru viteza de rotație a puțurilor de apă,y șiz - pentru distribuția temperaturii pe orizontală și pe verticală,r - normalizat , σ - (raportul dintre coeficientul cinematic și coeficientul ),b conţine informaţii despre geometria celulei convective.
Convecție într-o buclă închisă. AiciX - viteza de curgere,y - abaterea temperaturii de la medie într-un punct la 90 ° distanță de punctul de jos al buclei,z - la fel, dar în punctul de jos. Căldura este furnizată în punctul cel mai de jos.
Rotirea roții cu apă. Se ia în considerare problema unei roți pe janta căreia sunt fixate coșuri cu găuri în fund. Partea superioară a roțiisimetric un curent continuu de apa curge in jurul axei de rotatie. Sarcina este echivalentă cu cea anterioară, întoarsă „cu susul în jos”, cu înlocuirea temperaturii cu densitatea de distribuție a masei de apă din coșurile de-a lungul marginii.
laser cu un singur mod. AiciX - amplitudinea undelor în laser,y - , z - inversarea populației,b și σ sunt rapoartele dintre coeficienții de inversare și câmp și coeficientul de relaxare a polarizării,r - intensitate.
Este de remarcat faptul că, aplicat la problema convecției, modelul Lorentz este o aproximare foarte grosieră, foarte departe de realitate. O corespondență mai mult sau mai puțin adecvată există în regiunea regimurilor regulate, unde soluțiile stabile reflectă calitativ imaginea observată experimental a rolelor convective care se rotesc uniform (). Regimul haotic inerent modelului nu descrie convecția turbulentă din cauza tăierii semnificative a seriei trigonometrice originale.
Interesantă este acuratețea semnificativ mai mare a modelului cu unele modificări ale acestuia, care este folosită, în special, pentru a descrie convecția într-un strat supus vibrațiilor în direcția verticală sau efectelor termice variabile. Astfel de modificări ale condițiilor externe conduc la modularea coeficienților din ecuații. În acest caz, componentele Fourier de înaltă frecvență ale temperaturii și vitezei sunt suprimate semnificativ, îmbunătățind acordul dintre modelul Lorentz și sistemul real.
De remarcat este norocul lui Lorenz în alegerea valorii parametrului , deoarece sistemul vine la numai pentru valori mai mari de 24,74, pentru valori mai mici comportamentul este complet diferit.
Comportamentul soluției sistemului
Să luăm în considerare modificările comportamentului soluției sistemului Lorentz pentru diferite valori ale parametrului r. Ilustrațiile pentru articol arată rezultatele simulării numerice pentru puncte cu coordonatele inițiale (10,10,10) și (-10,-10,10). Modelarea a fost efectuată folosind programul de mai jos, scris în limbaj, trasând conform tabelelor rezultate - datorită capacităților grafice slabe ale Fortran folosind Compaq Array Viewer.
r <1 - originea coordonatelor este atractorul, nu există alte puncte stabile.
1< r <13,927 - traiectoriile se apropie în spirală (aceasta corespunde prezenței oscilațiilor amortizate) de două puncte, a căror poziție este determinată de formulele:
Aceste puncte determină stările regimului de convecție staționară, când în strat se formează o structură de role fluide rotative.
r ≈13,927 - dacă traiectoria părăsește originea, atunci, după ce a făcut o revoluție completă în jurul unuia dintre punctele stabile, se va întoarce înapoi la punctul de plecare - apar două bucle homoclinice. concepttraiectorie homoclinică înseamnă că iese și ajunge în aceeași poziție de echilibru.
r >13,927 - În funcție de direcție, traiectoria ajunge la unul dintre cele două puncte stabile. Buclele homoclinice sunt regenerate în cicluri limită instabile și apare și o familie de traiectorii aranjate complex, care nu este un atractor, ci, dimpotrivă, respinge traiectorii de la sine. Uneori, prin analogie, această structură este numită „repelant ciudat” (ing.a respinge - respinge).
r ≈24,06 - traiectoriile nu mai conduc la puncte stabile, ci se apropie asimptotic de cicluri limită instabile - apare atractorul Lorentz propriu-zis. Cu toate acestea, ambele puncte stabile sunt păstrate până la valorir ≈24,74.
Pentru valori mari ale parametrului, traiectoria suferă modificări serioase. Shilnikov și Kaplan au arătat asta pentru foarte marir sistemul intră în modul de auto-oscilație, iar dacă parametrul este redus, se va observa o tranziție către haos printr-o succesiune de dublari ale perioadei de oscilație.
Semnificația modelului
Modelul Lorentz este un exemplu fizic real cu comportament haotic, spre deosebire de diferite mapări construite artificial ( , etc.).
Programe care simulează comportamentul sistemului Lorenz
Borland C
#include
#include
void main()
dublu x = 3,051522, y = 1,582542, z = 15,62388, x1, y1, z1;
dublu dt = 0,0001;
int a = 5, b = 15, c = 1;
int gd=DETECTARE, gm;
initgraph(&gd, &gm, „C:\\BORLANDC\\BGI”);
do(
X1 = x + a*(-x+y)*dt;
Y1 = y + (b*x-y-z*x)*dt;
Z1 = z + (-c*z+x*y)*dt;
X=x1; y=y1; z = z1;
Putpixel((int)(19,3*(y - x*0,292893) + 320),
(int)(-11*(z + x*0,292893) + 392), 9);
) în timp ce (!kbhit());
closegraph();
Mathematica
date = tabel[
Cu[(N = 1000, dt = 0,01, a = 5, b = 1 + j, c = 1),
NestList și,
(3,051522, 1,582542, 15,62388), N
(j, 0, 5)];
[email protected][(Nuanță], Punct[#1]) și, date]
Borland Pascal
Programul Lorenz;
Utilizează CRT, Graph;
Const
dt = 0,0001;
a = 5;
b = 15;
c = 1;
Var
gd, gm: întreg;
x1, y1, z1, x, y, z: Real;
ÎNCEPE
gd:=Detecta;
InitGraph(gd, gm, "c:\bp\bgi");
x:= 3,051522;
y:= 1,582542;
z:= 15,62388;
În timp ce nu este apăsat tasta, Începeți
x1:= x + a*(-x+y)*dt;
y1:= y + (b*x-y-z*x)*dt;
z1:= z + (-c*z+x*y)*dt;
x:= x1;
y:= y1;
z:= z1;
PutPixel(Rotunjit(19,3*(y - x*0,292893) + 320),
Rotunzi (-11*(z + x*0,292893) + 392), 9);
Sfârşit;
Închide grafic;
ReadKey;
Sfârşit.
FORTRAN
programul LorenzSystem
real,parametru::sigma=10
real,parametru::r=28
real, parametru::b=2,666666
real,parametru::dt=.01
întreg, parametru::n=1000
real x,y,z
open(1,file="result.txt",form="formatted",status="replace",action="write")
x=10.;y=10.;z=10.
doi=1,n,1
x1=x+sigma*(y-x)*dt
y1=y+(r*x-x*z-y)*dt
z1=z+(x*y-b*z)*dt
x=x1
y=y1
z=z1
scrie (1,*)x,y,z
sfârşitul face
print *,"Terminat"
inchidere(1)
termina programul LorenzSystem
QBASIC/FreeBASIC ("fbc -lang qb")
DIM x, y, z, dt, x1, y1, z1 CA SINGUR
DIM a, b, c CA INTEGER
x = 3,051522: y = 1,582542: z = 15,62388: dt = 0,0001
a=5: b=15: c=1
ECRANUL 12
PRINT „Apăsați Esc pentru a ieși”
CÂND INKEY$<>CHR$(27)
x1 = x + a * (-x + y) * dt
y1 = y + (b * x - y - z * x) * dt
z1 = z + (-c * z + x * y) * dt
x=x1
y = y1
z = z1
PSET ((19,3 * (y - x * .292893) + 300), (-11 * (z + x * .292893) + 360)), 9
MERGE ÎNCET
Sfârşit
JavaScript și HTML5
var cnv = document.getElementById("cnv");
var cx = cnv.getContext("2d");
var x = 3,051522, y = 1,582542, z = 15,62388, x1, y1, z1;
vardt = 0,0001;
var a = 5, b = 15, c = 1;
var h = parseInt(cnv.getAttribute(„înălțime”));
var w = parseInt(cnv.getAttribute("width");
var id = cx.createImageData(w, h);
varrd = Math.round;
var idx = 0;
i=1000000; in timp ce eu--) (
x1 = x + a*(-x+y)*dt;
y1 = y + (b*x-y-z*x)*dt;
z1 = z + (-c*z+x*y)*dt;
x = x1; y=y1; z = z1;
idx=4*(rd(19,3*(y - x*0,292893) + 320) + rd(-11*(z + x*0,292893) + 392)*w);
id.data = 255;
cx.putImageData(id, 0, 0);
IDL
PRO Lorenz
n=1000000 & r=dblarr(n,3) & r= & a=5. &b=15. &c=1.
PENTRU i=0.,n-2. DO r=r + [a*(r-r), b*r-r-r*r, r*r-c*r ]*0,0001
grafic,19,3*(r[*,1]-r[*,0]*0,292893)+320.,-11*(r[*,2]+r[*,0]*0,292893)+392.
Sfârşit
Literatură
Kuznetsov S.P. , Cursul 3. Sistemul Lorentz; Curs 4. Dinamica sistemului Lorentz. // - M.: Fizmatlit, 2001.
Saltzman B . Convecția liberă cu amplitudine finită ca problemă de valoare inițială. // Revista de știință atmosferică, Nr. 7, 1962 - p. 329-341.
Lorenz E . Mișcare neperiodică deterministă // Atractori ciudați. - M., 1981. - S. 88-116.
Atractorii haotici, ciudați, corespund comportamentului imprevizibil al sistemelor care nu au dinamică strict periodică; aceasta este o imagine matematică a proceselor deterministe neperiodice. Atractorii ciudați sunt structurați și pot avea configurații foarte complexe și neobișnuite în spațiul tridimensional.
Orez. unu.
și portrete de fază (rândul de jos) pentru trei sisteme diferite
(Gleick, 2001)
Deși în lucrările unor matematicieni s-a stabilit anterior posibilitatea existenței unor atractori ciudați, pentru prima dată s-a realizat construcția unui atractor ciudat (Fig. 2) ca soluție a unui sistem de ecuații diferențiale într-o lucrare privind modelarea computerizată a termoconvecției și turbulențelor în atmosferă de către meteorologul american E. Lorentz (E. Lorentz, 1963) . Starea finală a sistemului Lorentz este extrem de sensibilă la starea inițială. Termenul „atractor ciudat” însuși a apărut mai târziu, în lucrarea lui D. Ruelle și F. Takens (D. Ruelle, F. Takens, 1971: vezi Ruelle, 2001) despre natura turbulenței dintr-un fluid; autorii au observat că dimensiunea atractorului ciudat este diferită de cea obișnuită, sau topologică.. Mai târziu, B. Mandelbrot a identificat atractori ciudați, ale căror traiectorii, în timpul calculelor computerizate secvențiale, sunt stratificate la infinit, divizate, cu fractali.
Orez. 2. (Traiectorii haotice în sistemul Lorentz). Lorenz Atractor (Kronover, 2000)
Lorenz (1963) a descoperit că chiar și un sistem simplu de trei ecuații diferențiale neliniare poate duce la traiectorii haotice.
unde s, r și b sunt niște numere pozitive, parametri ai sistemului. De obicei, studiile sistemului Lorenz sunt efectuate la s =10, r =28 și b =8/3 (valorile parametrilor).
Astfel, sistemele al căror comportament este determinat de reguli care nu includ aleatorietatea prezintă imprevizibilitate în timp datorită creșterii, amplificării, amplificării micilor incertitudini, fluctuațiilor. O imagine vizuală a unui sistem cu o incertitudine tot mai mare este așa-numitul biliard al lui Ya.G. Sinai: o succesiune suficient de mare de ciocniri de bile duce inevitabil la o creștere a abaterilor mici de la traiectoriile calculate (datorită suprafeței ne-ideal sferice a bilelor reale, suprafeței ne-ideal uniforme a pânzei) și impredictibilității sistemului comportament.
În astfel de sisteme, „aleatoria este creată în același mod în care aluatul este amestecat sau un pachet de cărți este amestecat” (Crutchfield și colab., 1987). Așa-numita „transformare a brutarului” cu întindere și pliere succesivă, pliere nesfârșită este unul dintre modelele de apariție a trecerii de la ordine la haos; în acest caz, numărul de transformări poate servi ca măsură a haosului. Există atractorul Aizawa, care este un caz special al atractorului Lorenz.
unde a = 0,95, B = 0,7, c = 0,6, d = 3,5, e = 0,25, F = 0,1. Fiecare coordonată anterioară este introdusă în ecuații, valoarea rezultată înmulțită cu valorile timpului.
Exemple de alți atractori ciudați
Atractor WangSun
Aici a, b, d, e?R, c> 0 și f< 0 являются константами, cf ? 0, и x, y, z а это переменные состояния.
atractor Rössler
Unde a,b,c= constante pozitive. Cu valorile parametrilor a=b=0,2 și
De obicei ei spun asta haos este o formă superioară de ordine, dar este mai corect să considerăm haosul ca o altă formă de ordine - inevitabil, în orice sistem dinamic, ordinea în sensul ei obișnuit este urmată de haos, iar ordinea urmează haosului. Dacă definim haosul ca dezordine, atunci într-o astfel de dezordine vom putea vedea cu siguranță propria noastră formă specială de ordine. De exemplu, fum din tigari la început se ridică sub forma unei coloane ordonate sub influența mediului extern, capătă contururi din ce în ce mai bizare, iar mișcările sale devin haotice. Un alt exemplu de aleatorie în natură este frunza din orice copac. Se poate argumenta că veți găsi multe frunze asemănătoare, cum ar fi stejarul, dar nu o singură pereche de litere identice. Diferența este determinată de temperatură, vânt, umiditate și mulți alți factori externi, pe lângă cauzele pur interne (de exemplu, diferența genetică).
Teoria haosului
Mișcarea de la ordine la haos și invers, aparent, este esența Universului, noi nu am studiat contribuția la manifestarea lui. Chiar și în creierul uman, principiile ordonate și haotice sunt prezente în același timp. Prima corespunde emisferei stângi a creierului, iar a doua cea dreaptă. Emisfera stângă este responsabilă pentru comportamentul conștient al unei persoane, pentru dezvoltarea regulilor și strategiilor liniare în comportamentul uman, unde „dacă ... atunci ...” este clar definit. În emisfera dreaptă domnesc neliniaritatea și haosul. Intuiția este una dintre manifestările emisferei drepte a creierului. Teoria haosului studiază ordinea unui sistem haotic care arată aleatoriu, dezordonat. În același timp, teoria haosului ajută la construirea unui model al unui astfel de sistem, fără a stabili sarcina de a prezice cu exactitate comportamentul unui sistem haotic în viitor.Istoria teoriei haosului
Primele elemente ale teoriei haosului au apărut în secolul al XIX-lea, dar această teorie a primit o adevărată dezvoltare științifică în a doua jumătate a secolului al XX-lea, împreună cu lucrările. Edward Lorenz(Edward Lorenz) de la Institutul de Tehnologie din Massachusetts și matematician franco-american Benoit B. Mandelbrot (Benoit B. Mandelbrot). Edward Lorenz la un moment dat (începutul anilor 60 ai secolului XX, lucrare publicată în 1963) a considerat care este dificultatea în prognoza meteo. Prin lucrarea lui Lorenz, două opinii au dominat lumea științei cu privire la posibilitatea unei prognoze meteorologice precise pentru o perioadă infinit de lungă. Prima abordare formulată în 1776 de un matematician francez Pierre Simon Laplace. Laplace a afirmat că „... dacă am concepe o minte care la un moment dat a cuprins toate conexiunile dintre obiectele din univers, atunci ar fi capabilă să constate pozițiile respective, mișcările și efectele generale ale tuturor acestor obiecte în orice moment. în trecut sau în viitor”. Această abordare a lui era foarte asemănătoare cu celebrele cuvinte ale lui Arhimede: „Dă-mi un punct de sprijin și voi întoarce întreaga lume cu susul în jos”. Astfel, Laplace și susținătorii săi au spus că, pentru a prezice cu exactitate vremea, este necesar doar să colectăm mai multe informații despre toate particulele din univers, locația lor, viteza, masa, direcția de mișcare, accelerația etc. Laplace credea că, cu cât o persoană știe mai multe, cu atât va fi mai precisă prognoza lui cu privire la viitor. A doua abordare posibilitatea de prognoză a vremii a fost formulată cel mai clar de un alt matematician francez, Jules Henri Poincare. În 1903, el a spus: „Dacă am cunoaște exact legile naturii și poziția universului la momentul inițial, am putea prezice cu exactitate poziția aceluiași univers într-un moment ulterior. Dar chiar dacă legile naturii ne-au dezvăluit toate secretele lor, chiar și atunci am putea cunoaște poziția inițială doar aproximativ. Dacă acest lucru ne-ar permite să prezicem poziția ulterioară cu aceeași aproximare, asta ar fi tot ce ne-ar trebui și am putea spune că fenomenul a fost prezis, că a fost guvernat de legi. Dar nu este întotdeauna cazul că mici diferențe în condițiile inițiale cauzează diferențe foarte mari în fenomenul final. O mică eroare în prima va produce o eroare uriașă în cea din urmă. Predicția devine imposibilă și avem de-a face cu un fenomen care se dezvoltă întâmplător.” În aceste cuvinte ale lui Poincaré găsim postulatul teoriei haosului despre dependența de condițiile inițiale. Dezvoltarea ulterioară a științei, în special a mecanicii cuantice, a infirmat determinismul lui Laplace. În 1927 un fizician german Werner Heisenberg descoperite şi formulate principiul incertitudinii. Acest principiu explică de ce unele fenomene aleatorii nu se supun determinismului laplacian. Heisenberg a demonstrat principiul incertitudinii folosind ca exemplu dezintegrarea radioactivă a unui nucleu. Deci, pentru dimensiunea foarte mică a nucleului, este imposibil să cunoaștem toate procesele care au loc în interiorul acestuia. Prin urmare, indiferent de câte informații colectăm despre nucleu, este imposibil să prezicem exact când se va descompune acest nucleu.Instrumente pentru teoria haosului
Ce instrumente are teoria haosului? În primul rând, aceștia sunt atractori și fractali. Atractor (din engleză. A atrage - a atrage) - o structură geometrică care caracterizează comportamentul în spațiul fazelor la sfârșitul unui timp îndelungat. i.e atractor- asta se străduiește să realizeze sistemul, de care este atras. Cel mai simplu tip de atractor este un punct. Un astfel de atractor este tipic pentru un pendul în prezența frecării. Indiferent de viteza și poziția inițială, un astfel de pendul se va opri întotdeauna, de exemplu. exact. Următorul tip de atractor este ciclul limită, care are forma unei linii curbe închise. Un exemplu de astfel de atractor este un pendul, care nu este afectat de forța de frecare. Un alt exemplu de ciclu limită este bătăile inimii. Frecvența bătăilor poate scădea și crește, dar tinde întotdeauna spre atractorul său, curba sa închisă. Al treilea tip de atractor este un tor. În figura 1, torul este prezentat în colțul din dreapta sus.
Figura 1 - Principalele tipuri de atractori În partea de sus sunt prezentate trei atractori simple previzibili. Mai jos sunt trei atractori haotici. În ciuda complexității comportamentului atractorilor haotici, numiți uneori atractori ciudați, cunoașterea spațiului de fază permite să se reprezinte comportamentul sistemului într-o formă geometrică și, în consecință, să-l prezică. Și deși rămânerea sistemului într-un anumit moment în timp într-un anumit punct din spațiul fazelor este practic imposibilă, zona în care se află obiectul și tendința sa către atractor sunt previzibile. atractor Lorenz
Primul atractor haotic a fost atractorul Lorenz.
Figura 2 - Atractor Lorenz haotic atractor Lorentz calculat pe baza doar a trei grade de libertate - trei ecuații diferențiale obișnuite, trei constante și trei condiții inițiale. Cu toate acestea, în ciuda simplității sale, sistemul Lorenz se comportă într-o manieră pseudo-aleatoare (haotică). După ce și-a modelat sistemul pe un computer, Lorenz a identificat motivul comportamentului său haotic - diferența dintre condițiile inițiale. Chiar și o abatere microscopică a două sisteme la începutul procesului de evoluție a dus la o acumulare exponențială de erori și, în consecință, la dezacordul lor stocastic. În același timp, orice atractor are dimensiuni de limită, astfel încât divergența exponențială a două traiectorii de sisteme diferite nu poate continua la infinit. Mai devreme sau mai târziu, orbitele vor converge din nou și vor trece una lângă alta sau chiar vor coincide, deși aceasta din urmă este foarte puțin probabilă. Apropo, coincidența traiectoriilor este regula pentru comportamentul simplelor atractori previzibili. convergenţă-divergenţă(de asemenea, se spune că este compus și, respectiv, întindere) a unui atractor haotic elimină sistematic informațiile inițiale și o înlocuiesc cu informații noi. La urcare, traiectoriile se apropie una de alta și începe să apară efectul miopiei - crește incertitudinea informațiilor la scară largă. Când traiectorii diverg, dimpotrivă, ele diverg, iar efectul de hipermetropie apare atunci când incertitudinea informației la scară mică crește. Ca urmare a convergenței-divergenței constante a atractorului haotic, incertitudinea crește rapid, ceea ce ne face imposibil să facem predicții precise cu fiecare moment de timp. Ceea ce știința este atât de mândră - capacitatea de a stabili conexiuni între cauze și efecte - este imposibil în sistemele haotice. Nu există nicio relație cauzală între trecut și viitor în haos. De asemenea, trebuie remarcat aici că rata de convergență-divergență este o măsură a haosului, i.e. o expresie numerică a cât de haotic este sistemul. O altă măsură statistică a haosului este dimensiunea atractorului. Astfel, se poate observa că principala proprietate a atractorilor haotici este convergența-divergența traiectoriilor diferitelor sisteme, care se amestecă aleatoriu treptat și infinit.