Să înțelegem mai întâi diferența dintre un cerc și un cerc. Pentru a vedea această diferență, este suficient să luăm în considerare care sunt ambele cifre. Acesta este un număr infinit de puncte din plan, situate la o distanță egală de un singur punct central. Dar, dacă cercul este format și din spațiu interior, atunci nu aparține cercului. Se pare că un cerc este atât un cerc care îl delimitează (o-cerc (g)ness), cât și un număr nenumărat de puncte care se află în interiorul cercului.
Pentru orice punct L situat pe cerc, se aplică egalitatea OL=R. (Lungimea segmentului OL este egală cu raza cercului).
Un segment de dreaptă care leagă două puncte dintr-un cerc este coardă.
O coardă care trece direct prin centrul unui cerc este diametru acest cerc (D) . Diametrul poate fi calculat folosind formula: D=2R
Circumferinţă calculat prin formula: C=2\pi R
Aria unui cerc: S=\pi R^(2)
arc de cerc numită acea parte a acesteia, care este situată între două dintre punctele sale. Aceste două puncte definesc două arce de cerc. CD-ul de acorduri subtinde două arce: CMD și CLD. Aceleași acorduri subtind aceleași arce.
Colț central este unghiul dintre două raze.
lungimea arcului poate fi găsit folosind formula:
- Folosind grade: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
- Folosind o măsură în radian: CD = \alpha R
Diametrul care este perpendicular pe coardă traversează coarda și arcurile pe care le întinde.
Dacă acordurile AB și CD ale cercului se intersectează în punctul N, atunci produsele segmentelor coardelor separate de punctul N sunt egale între ele.
AN\cdot NB = CN \cdot ND
Tangenta la cerc
Tangent la un cerc Se obișnuiește să se numească o dreaptă care are un punct comun cu un cerc.
Dacă o dreaptă are două puncte în comun, se numește secantă.
Dacă desenați o rază în punctul de contact, aceasta va fi perpendiculară pe tangenta la cerc.
Să desenăm două tangente din acest punct la cercul nostru. Se pare că segmentele tangentelor vor fi egale între ele, iar centrul cercului va fi situat pe bisectoarea unghiului cu vârful în acest punct.
AC=CB
Acum desenăm o tangentă și o secantă la cerc din punctul nostru. Obținem că pătratul lungimii segmentului tangent va fi egal cu produsul întregului segment secant cu partea sa exterioară.
AC^(2) = CD \cdot BC
Putem concluziona: produsul unui segment întreg al primei secante cu partea sa exterioară este egal cu produsul unui segment întreg al celei de-a doua secante cu partea sa exterioară.
AC \cdot BC = EC \cdot DC
Unghiuri într-un cerc
Măsurile gradelor unghiului central și arcului pe care se sprijină sunt egale.
\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)
Unghiul înscris este un unghi al cărui vârf este pe un cerc și ale cărui laturi conțin coarde.
Îl puteți calcula știind dimensiunea arcului, deoarece este egal cu jumătate din acest arc.
\angle AOB = 2 \angle ADB
Bazat pe diametru, unghi înscris, drept.
\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)
Unghiurile înscrise care se sprijină pe același arc sunt identice.
Unghiurile înscrise pe baza aceleiași coarde sunt identice sau suma lor este egală cu 180^ (\circ) .
\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)
\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB
Pe același cerc sunt vârfurile triunghiurilor cu unghiuri identice și cu o bază dată.
Un unghi cu un vârf în interiorul cercului și situat între două coarde este identic cu jumătate din suma valorilor unghiulare ale arcelor de cerc care se află în interiorul unghiurilor date și verticale.
\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)
Un unghi cu un vârf în afara cercului și situat între două secante este identic cu jumătate din diferența dintre mărimile unghiulare ale arcelor unui cerc care se află în interiorul unghiului.
\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)
Cerc înscris
Cerc înscris este un cerc tangent la laturile poligonului.
În punctul în care bisectoarele unghiurilor poligonului se intersectează, se află centrul acestuia.
Este posibil ca un cerc să nu fie înscris în fiecare poligon.
Aria unui poligon cu un cerc înscris se găsește prin formula:
S=pr,
p este semiperimetrul poligonului,
r este raza cercului înscris.
Rezultă că raza cercului înscris este:
r = \frac(S)(p)
Sumele lungimilor laturilor opuse vor fi identice dacă cercul este înscris într-un patrulater convex. Și invers: un cerc este înscris într-un patrulater convex dacă sumele lungimilor laturilor opuse din el sunt identice.
AB+DC=AD+BC
Este posibil să se înscrie un cerc în oricare dintre triunghiuri. Doar unul singur. În punctul în care bisectoarele unghiurilor interioare ale figurii se intersectează, centrul acestui cerc înscris se va afla.
Raza cercului înscris se calculează cu formula:
r = \frac(S)(p),
unde p = \frac(a + b + c)(2)
Cerc circumscris
Dacă un cerc trece prin fiecare vârf al unui poligon, atunci se numește un astfel de cerc circumscris unui poligon.
Centrul cercului circumscris va fi în punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare ale laturilor acestei figuri.
Raza poate fi găsită calculând-o ca raza unui cerc care este circumscris unui triunghi definit de oricare 3 vârfuri ale poligonului.
Există următoarea condiție: un cerc poate fi circumscris în jurul unui patrulater numai dacă suma unghiurilor sale opuse este egală cu 180^( \circ) .
\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ (\circ)
În apropierea oricărui triunghi este posibil să descrii un cerc și unul și numai unul. Centrul unui astfel de cerc va fi situat în punctul în care bisectoarele perpendiculare ale laturilor triunghiului se intersectează.
Raza cercului circumscris poate fi calculată prin formulele:
R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)
R = \frac(abc)(4S)
a, b, c sunt lungimile laturilor triunghiului,
S este aria triunghiului.
teorema lui Ptolemeu
În cele din urmă, luați în considerare teorema lui Ptolemeu.
Teorema lui Ptolemeu afirmă că produsul diagonalelor este identic cu suma produselor laturilor opuse ale unui patrulater înscris.
AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD
.png)
Definiție. circumferinţă este mulțimea tuturor punctelor planului pentru care distanța față de un punct dat, numit centrul cercului, este o valoare constantă, numită raza cercului.
Să derivăm ecuația cercului. Fie punctul un punct arbitrar al cercului de rază 
. Introducem un sistem de coordonate dreptunghiular a cărui origine coincide cu centrul cercului 
. În acest caz, ideea 
are coordonate 
. Prin definiția unui cerc 
. Dat fiind 
, primim 
, sau
.
(1.27)
Expresia (1.27) se numește ecuația unui cerc centrat într-un punct 
si raza 
.
Să arătăm că orice punct ale cărui coordonate satisfac ecuația (1.27) aparține cercului centrat în punctul 
si raza 
.
Fie coordonatele punctului 
satisface ecuația (1.27). Apoi, i.e. 
este un punct pe cerc.
Ținând cont de formula de transformare a coordonatelor dreptunghiulare ale unui punct cu translație paralelă a axelor, obținem ecuația unui cerc centrat în punct 
si raza 
:
EXEMPLUL 13. Scrieți ecuația unui cerc care trece prin originea coordonatelor, al cărui centru se află la aceeași distanță de liniile paralele 
și 
.
Decizie. Pentru a alcătui o ecuație a unui cerc de forma , este necesar să se găsească coordonatele 
centrul acesteia 
si raza 
. Cercul dorit este tangent la linii 
și 
, deci raza 
egală cu jumătate din distanță 
intre aceste linii. Distanța dintre liniile paralele este egală cu distanța de la un punct arbitrar de pe o dreaptă la alta. Pe linia dreaptă dată de ecuație 
, luați un punct arbitrar 
, apoi 
. Prin formula (1.15) avem: 
. Prin urmare, 
. Centrul cercului este echidistant de liniile date, deci coordonatele 
centrul acesteia 
trebuie să satisfacă egalitatea 
, adică 
. Se știe că cercul trece prin origine, așadar. Am obținut un sistem de ecuații în raport cu coordonatele centrului 
cercuri: 
. Deciziile ei vor fi 
. Deci, există două ecuații care îndeplinesc condițiile problemei: 
.
1.12. Elipsă
Definiție. Elipsă este mulțimea tuturor punctelor din plan pentru care suma distanțelor de la două puncte date, numite focare, este o valoare constantă mai mare decât distanța dintre focare.
Alegem un sistem de coordonate dreptunghiular astfel încât axa absciselor să treacă prin focare 
și 
, și originea 
coincide cu mijlocul segmentului 
. Denota 
,
,
, Unde 
,
razele focale (distanţele de la un punct la focare) ale unui punct de elipsă. Apoi trucuri 
și 
au coordonate 
,
.
Lasa 
- un punct arbitrar al elipsei. Noi avem: 
,
. Din definiția unei elipse
,
(1.29)
sau ecuația dorită a elipsei, care este incomod de utilizat. Din ultima egalitate rezultă că .De vreme ce 
, atunci putem pătra ambele părți ale ecuației și după transformări echivalente obținem: 
. Prin urmare,. Să introducem o nouă variabilă 
. Noi avem: 
. Din această egalitate rezultă că
.
(1.30)
Ecuația (1.30) se numește ecuația canonică (cea mai simplă) a unei elipse. Această ecuație este o ecuație de ordinul doi. Astfel, orice punct al elipsei care satisface ecuația (1.29) satisface și ecuația (1.30). Să demonstrăm că toate punctele planului ale căror coordonate satisfac ecuația (1.30) sunt puncte ale elipsei, adică coordonatele lor satisfac ecuația (1.29).
Pentru raza focală 
relatia 
. Din ecuația (1.30) avem: 
. Asa de 
, sau 
. În mod similar, găsim că 
. Prin urmare, 
.
Elipsa este simetrică față de axele de coordonate, deoarece conține doar grade pare 
și 
, și relativ la origine. Axele de simetrie ale elipsei se numesc axe ale ei, iar centrul de simetrie este centrul elipsei.
Elipsa intersectează axele de coordonate în puncte 
,
,
,
. Aceste puncte sunt numite vârfuri ale elipsei. La 
elipsa degenerează într-un cerc cu rază 
și centru la origine. Vârfurile elipsei limitează pe axe segmentele de lungime 
și 
, și 
(acest lucru rezultă din faptul că 
).
Cantitati 
și 
sunt numite semiaxele majore și minore ale elipsei, axele elipsei sunt axele majore și, respectiv, minore.
Definiție. Excentricitatea elipsei
se numeste o relatie in care 
- jumătate din distanța dintre focare, 
semiaxa majoră, i.e.
.
(1.31)
Dat fiind 
, primim 
. La fel de 
, apoi 
. În cazul în care un 
, adică elipsa se apropie de cerc, atunci 
. În cazul în care un 
, A 
nu tinde spre zero, atunci elipsa este extinsă de-a lungul axei majore. Astfel, excentricitatea unei elipse caracterizează măsura alungirii acesteia de-a lungul axei majore.
Dacă focarele elipsei 
și 
situat pe axa y, apoi în acest caz 
iar cel mare este jumătatea arborelui 
. Ecuația elipsei are și forma (1.30), dar 
, iar excentricitatea sa este calculată prin formula 
.
EXEMPLUL 14 Scrieți o ecuație pentru o elipsă ale cărei focare se află simetric pe axa x față de origine, știind că distanța dintre focarele sale 
și excentricitatea 
.
Decizie. Jumătate din distanța dintre focare 
. Focarele elipsei sunt situate pe axa x, deci semiaxa majoră este 
. Din (1.31) rezultă că 
. Apoi. Astfel, ecuația elipsei are forma 
.
EXEMPLUL 15 elipsa Dan 
. Găsiți-i semiaxele, focarele, excentricitatea.
Decizie. Aducem ecuația elipsei la forma canonică. Pentru a face acest lucru, împărțim ambele părți ale ecuației la 45, obținem 
. Astfel, semiaxa sa 
,
. Semiaxa majoră este semiaxa 
, deci focarele elipsei sunt situate pe axa y și 
, prin urmare focarele sunt în puncte 
și 
. Excentricitatea elipsei este egală cu raportul dintre jumătatea distanței dintre focare și semi-axa majoră, adică. 
.
EXEMPLUL 16 Calculați aria unui patrulater 
, două vârfuri 
și 
care se află la focarele elipsei 
, celelalte doua 
și 
coincide cu capetele axei sale minore.
Decizie. Ecuația canonică a unei elipse are forma 
, De aceea 
,
. Prin urmare, vârfurile patrulaterului 
și 
au coordonatele corespunzătoare 
și 
. Aflați coordonatele vârfurilor 
și 
. La fel de 
, apoi 
,
. Patrulaterul rezultat este simetric față de axele de coordonate și față de origine 
, prin urmare, 
.
Lectura: Cerc și cerc
Cerc este o curbă închisă, toate punctele care se află la aceeași distanță de centru.
În viața de zi cu zi, ai întâlnit adesea un cerc. Acesta este descris de oră și secundă, este forma cercului pe care o are cercul de gimnastică.
Acum imaginează-ți că ai desenat un cerc pe o bucată de hârtie și ai vrut să-l decorezi.
Deci tot spațiul decorat, delimitat de un cerc, este un cerc.
Atât cercul, cât și cercul au câțiva parametri:
Centrul este punctul care este echidistant de toate punctele cercului. Centrul unui cerc și al unui cerc este indicat prin litera O.
Raza este distanța de la centru la cerc (R).
Diametrul este o linie prin centru care leagă toate punctele cercului (d). Mai mult, diametrul este egal cu două raze: d = 2R.
O coardă este un segment de linie care leagă oricare două puncte dintr-un cerc. Diametrul este un caz special al unei coarde.
Pentru a afla circumferința unui cerc, utilizați formula:
l=2 πR
Vă rugăm să rețineți că circumferința și aria depind doar de raza cercului dat.
Aria unui cerc poate fi găsită folosind următoarea formulă:
S=πR2.
Aș dori să vă atrag atenția asupra numărului „Pi”. Această valoare a fost găsită doar folosind cercul. Pentru a face acest lucru, lungimea sa a fost împărțită în două raze și astfel a fost obținut numărul „Pi”.
Dacă cercul este împărțit în unele părți cu două raze, atunci astfel de părți vor fi numite sectoare. Fiecare sector are propria sa măsură de grad - măsura de grad a arcului pe care se sprijină.
Pentru a afla lungimea unui arc, trebuie să utilizați formula:
1. Folosind grade:
2. Folosind o măsură în radian:
Dacă vârful unui unghi se sprijină pe centrul cercului, iar razele sale intersectează cercul, atunci un astfel de unghi se numește central.
Dacă vreo două acorduri se intersectează la un moment dat, atunci segmentele lor sunt proporționale:
Cerc- o figură geometrică formată din toate punctele planului situate la o distanţă dată de un punct dat.
Acest punct (O) se numește centrul cercului.
Raza cercului este un segment de dreaptă care leagă centrul de un punct al cercului. Toate razele au aceeași lungime (prin definiție).
Coardă Un segment de linie care leagă două puncte dintr-un cerc. Coarda care trece prin centrul cercului se numește diametru. Centrul unui cerc este punctul de mijloc al oricărui diametru.
Oricare două puncte de pe cerc îl împart în două părți. Fiecare dintre aceste părți este numită arc de cerc. Arcul se numește semicerc dacă segmentul care îi leagă capetele are un diametru.
Lungimea unui semicerc unitar se notează cu π
.
Suma gradelor a două arce de cerc cu capete comune este 360º.
Se numește partea de plan mărginită de un cerc în jurul.
sector circular- o parte de cerc delimitată de un arc și două raze care leagă capetele arcului de centrul cercului. Arcul care delimitează sectorul se numește arc sectorial.
Se numesc două cercuri care au un centru comun concentric.
Două cercuri care se intersectează în unghi drept sunt numite ortogonală.
Dispunerea reciprocă a unei linii drepte și a unui cerc
- Dacă distanța de la centrul cercului la linia dreaptă este mai mică decât raza cercului ( d), atunci linia și cercul au două puncte comune. În acest caz, linia este numită secantăîn raport cu cercul.
- Dacă distanța de la centrul cercului la linie este egală cu raza cercului, atunci linia și cercul au un singur punct comun. O astfel de linie se numește tangentă la cerc, iar punctul lor comun se numește punct de contact între o linie și un cerc.
- Dacă distanța de la centrul cercului la linie este mai mare decât raza cercului, atunci linia și cercul nu au puncte comune .
Unghiuri centrale și înscrise
Colț central este unghiul cu vârful în centrul cercului.
Unghiul înscris Un unghi al cărui vârf se află pe cerc și ale cărui laturi intersectează cercul.
Teorema unghiului înscris
Un unghi înscris este măsurat cu jumătate din arcul pe care îl interceptează.
- Consecința 1.
Unghiurile înscrise care subtind același arc sunt egale. - Consecința 2.
Un unghi înscris care intersectează un semicerc este un unghi drept.
Teoremă asupra produsului segmentelor de coarde care se intersectează.
Dacă două acorduri ale unui cerc se intersectează, atunci produsul segmentelor unei coarde este egal cu produsul segmentelor celeilalte coarde.
Formule de bază
- Circumferinţă:
- Lungimea arcului:
- Diametru:
- Lungimea arcului:
Unde α - măsura în grade a lungimii unui arc de cerc)
- Aria unui cerc:
- Zona sectorului circular:
Ecuația cercului
- Într-un sistem de coordonate dreptunghiular, ecuația pentru un cerc cu rază r centrat pe un punct C(x o; y o) are forma:
- Ecuația pentru un cerc cu raza r centrat la origine este:
Acest articol conține setul minim de informații despre cercul necesar pentru a promova cu succes examenul de matematică.
circumferinţă numită mulțimea de puncte situate la aceeași distanță de un punct dat, care se numește centrul cercului.
Pentru orice punct situat pe cerc, egalitatea este valabilă (lungimea segmentului este egală cu raza cercului.
Se numește un segment de dreaptă care leagă două puncte dintr-un cerc coardă.
Coarda care trece prin centrul cercului se numește diametru cercuri () .
Circumferinţă:
Aria unui cerc:
Arc de cerc:
Se numește partea de cerc cuprinsă între două dintre punctele sale arc cercuri. Două puncte dintr-un cerc definesc două arce. Coarda subtind două arce: și . Acordurile egale subtind arcuri egale.
Unghiul dintre două raze se numește colțul central :
a) unghiul este dat în grade:
b) unghiul este dat în radiani:
Diametrul perpendicular pe coardă , împarte acest acord și arcurile pe care le scade în jumătate:
În cazul în care un acorduri și cercurile se intersectează într-un punct , atunci produsele segmentelor de coarde în care sunt împărțite cu un punct sunt egale între ele:
Tangent la un cerc.
O dreaptă care are un punct în comun cu un cerc se numește tangentă la cerc. Se numește o dreaptă care are două puncte în comun cu un cerc secantă.
Tangenta la cerc este perpendiculară pe raza trasată la punctul tangent.
Dacă sunt trase două tangente dintr-un punct dat la cerc, atunci segmentele tangente sunt egale între ele iar centrul cercului se află pe bisectoarea unghiului cu vârful în acest punct:
Dacă dintr-un punct dat la cerc sunt trase o tangentă și o secantă, atunci pătratul lungimii segmentului tangent este egal cu produsul întregului segment secant cu partea sa exterioară :
Consecinţă: produsul întregului segment al unei secante cu partea sa exterioară este egal cu produsul întregului segment al celeilalte secante cu partea sa exterioară:
Unghiuri într-un cerc.
Gradul de măsurare a unui unghi central este egal cu gradul de măsurare a arcului pe care se sprijină:
Se numește un unghi al cărui vârf se află pe un cerc și ale cărui laturi conțin coarde unghi înscris . Un unghi înscris este măsurat cu jumătate din arcul pe care îl interceptează:
∠∠
Un unghi înscris pe baza unui diametru este un unghi drept:
∠∠∠
Unghiurile înscrise care subtind același arc sunt :
Unghiurile înscrise care subtind aceeași coardă sunt egale sau suma lor este egală cu
∠∠
Vârfurile triunghiurilor cu o bază dată și unghiuri egale la vârf se află pe același cerc:
Unghiul dintre două acorduri (unghiul cu vârful din interiorul cercului) este egal cu jumătate din suma mărimilor unghiulare ale arcelor cercului închise în interiorul unghiului dat și în interiorul unghiului vertical.
∠ ∠∠
(⌣ ⌣ )
Unghiul dintre două secante (unghiul cu vârful în afara cercului) este egal cu jumătate de diferență a mărimilor unghiulare ale arcelor cercului închise în interiorul unghiului.
∠ ∠∠(⌣ ⌣ )
Cerc înscris.
Cercul este numit înscris într-un poligon dacă își atinge părțile laterale. Centrul cercului înscris se află în punctul de intersecție al bisectoarelor unghiului poligonului.
Nu orice poligon poate fi înscris într-un cerc.
Aria unui poligon care conține un cerc poate fi găsit folosind formula
aici este semiperimetrul poligonului, este raza cercului înscris.
De aici raza cercului înscris egală
Dacă un cerc este înscris într-un patrulater convex, atunci sumele lungimilor laturilor opuse sunt . În schimb, dacă într-un patrulater convex sumele lungimilor laturilor opuse sunt egale, atunci un cerc poate fi înscris în patrulater:
Orice triunghi poate fi înscris cu un cerc și doar unul. Centrul cercului înscris se află în punctul de intersecție al bisectoarelor unghiurilor interioare ale triunghiului.
Raza cercului înscris
este egal cu . Aici 
cerc circumscris.
Cercul este numit circumscris unui poligon dacă trece prin toate vârfurile poligonului. Centrul cercului circumscris se află în punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare ale laturilor poligonului. Raza este calculată ca raza unui cerc circumscris unui triunghi definit de oricare trei vârfuri ale poligonului dat:
Un cerc poate fi circumscris unui patrulater dacă și numai dacă suma unghiurilor sale opuse este egală cu .
În apropierea oricărui triunghi este posibil să descrii un cerc, în plus, doar unul. Centrul său se află în punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare ale laturilor triunghiului:
Raza cercului circumscris calculate cu formulele:
Unde este lungimea laturilor triunghiului, este aria acestuia.
teorema lui Ptolemeu
Într-un patrulater înscris, produsul diagonalelor este egal cu suma produselor laturilor sale opuse: