A természetes sorozat N szakasza a nem nagyobb természetes számok halmaza természetes szám a, azaz N = (x|x N és x a).
Például N a 7-et meg nem haladó természetes számok halmaza, azaz. N =(1,2,3,4,5,6,7).
Megjegyezzük a természetes sorozat szegmenseinek két fontos tulajdonságát:
1) Bármely N szegmens tartalmaz egy egységet. Ez a tulajdonság a természetes sorozat egy szegmensének meghatározásából következik.
2) Ha az x szám benne van az N és x a szegmensben, akkor az őket közvetlenül követő x + 1 szám is benne van az N-ben.
Egy A halmazt végesnek nevezünk, ha méretében ekvivalens a természetes sorozat valamely N szakaszával. Például egy háromszög csúcsainak A halmaza, a "világ" szóban a B betűhalmaz véges halmaz, mert ekvivalensek az N = (1,2,3) szegmenssel, azaz. A~B~N .
Ha egy nem üres véges A halmaz ekvivalens egy N szegmenssel, akkor az a természetes számot az A halmaz elemeinek számának nevezzük, és felírjuk, hogy n(A) = a. Például, ha A egy háromszög csúcsainak halmaza, akkor n(A) = 3.
Bármely nem üres véges halmaz ekvivalens a természetes sorozat egy és csak egy szegmensével, azaz minden A véges halmaz társítható egy egyedileg meghatározott a számhoz, így az A halmaz egy az egyhez leképeződik a szegmensre. N.
Egy nem üres véges A halmaz elemei és a természetes sorozat egy szegmense között egy-egy megfeleltetés megállapítását az A halmaz elemeinek megszámlálásának nevezzük. üres véges halmaz, a véges halmazok teljes halmaza egyenlő erősségű halmazok osztályaira oszlik. Az egyik osztály tartalmazza az összes egyelemű halmazt, egy másik kételemű halmazt és így tovább. És ez a szám tekinthető köztulajdon véges ekvivalens halmazok osztálya. Így halmazelméleti szempontból a természetes szám a véges ekvipotens halmazok osztályának általános tulajdonsága.
A 0-s számnak halmazelméleti értelmezése is van - az üres halmazhoz kerül: n() = 0.
Tehát egy a természetes szám, mint a mennyiség jellemzője, két pozícióból tekinthető:
1) az A halmaz elemeinek számlálással kapott számaként;
2) mint a véges ekvivalens halmazok osztályának általános tulajdonsága.
A véges halmazok és a természetes számok között kialakult kapcsolat lehetővé teszi, hogy halmazelméleti értelmezést adjunk a "kisebb, mint" relációról.
Ha a = n(A), b = n(B), akkor az a szám akkor és csak akkor kisebb a b számnál, ha az A halmaz ekvivalens a B halmaz saját részhalmazával, azaz. A ~ B, ahol B B, B B, B (1. ábra) . Vagy amikor az N természetes sorozat egy szegmense az N szegmens megfelelő részhalmaza, azaz. N N .
Az a és b számok egyenlők, ha egyenlő halmazok határozzák meg őket: a = k A~B, ahol n(A) = a, n (B) = k. Például 2 = 2, mert n(A) = 2, n(B) = 2, A = (a, b), B = (z, x), A~B.
A természetes számokra vonatkozó "kisebb, mint" reláció tulajdonságai is halmazelméleti értelmezést kapnak: ennek a relációnak a tranzitivitása és antiszimmetriája összefügg azzal, hogy a "részhalmaznak lenni" reláció tranzitív és antiszimmetrikus.
Mutassuk meg a "kisebb, mint" összefüggés halmazelméleti értelmezésével természetes számokra, hogy 2
Vegyünk egy 2 elemet tartalmazó A halmazt és egy 5 elemet tartalmazó B halmazt, azaz. n(A) = 2, n(B) = 5. Például A = (a, b), B = (c, d, e, f, r). A B halmazból kiemelhető egy B részhalmaz, amely ekvivalens az A halmazzal: például B = (c, d) és A~B. A „kevesebb, mint” definíciója szerint 2
Ennek az egyenlőtlenségnek az érvényessége abból is következik, hogy N
Ez az egyenlőtlenség látható a 2. ábrán. Legyen 2 a körök száma, 5 pedig a négyzetek száma. Ha köröket helyezünk négyzetekre, látni fogjuk, hogy néhány négyzet fedetlen marad.
Ez azt jelenti, hogy a körök száma kisebb, mint a négyzetek száma, azaz. 2
Elméleti többes szám értelme egyenlőtlenségek 0
A számok összehasonlítása alapfokú tanfolyam matematikát végzik különböző utak- a „kevesebb” reláció értelmezésének mindazon megközelítésein alapul.
Tételek a „legnagyobb” és a „legkisebb” egész számról
4. Tétel (a „legkisebb” egész számon). Az alább határolt egész számok minden nem üres halmaza tartalmazza a legkevesebb wuslo-t. (Itt, akárcsak a természetes számok esetében, a „halmaz” szót használjuk a „részhalmaz” szó helyett.
Bizonyíték. Legyen O A C Z és A alulról korlátos, azaz. 36? Zva? A(b< а). Тогда если Ь Е А, то Ь- наименьшее число во множестве А.
Most legyen b A.
Aztán Wa e Af< а) и, значит, Уа А(а - Ь >O).
Az összes a - b alakú számból M halmazt alkotunk, ahol a az A halmazon fut át, i.e. M \u003d (c [ c \u003d a - b, a E A)
Nyilvánvaló, hogy az M halmaz nem üres, mivel A 74 0
Mint fentebb megjegyeztük, M C N. Következésképpen a természetes számtétel (54, III. fejezet) alapján az M halmaz tartalmazza a legkisebb m természetes számot. Ekkor m = a1 - b valamilyen a1 számra? A, és mivel m a legkisebb M-ben, akkor Va? Nál nél< а - Ь) , т.е. А (01 - Ь < а - Ь). Отсюда Уа е А(а1 а), а так как ат (- А, то - наименьшее число в А. Теорема доказана.
5. Tétel (a „legnagyobb” egész számon). Bármely nem üres, felülről korlátos egész szám tartalmazza a legnagyobb számot.
Bizonyíték. Legyen O 74 A C Z és A felülről a b szám által határolt, azaz. ? ZVa e A(a< Ь). Тогда -а >b minden a számra? DE.
Következésképpen az M halmaz (r = -a, a? A) nem üres, és alulról a (-6) szám határolja. Ezért az előző tétel szerint az M halmaz tartalmazza a legkisebb számot, azaz. ász? MU-k? M (val< с).
Ez azt jelenti, h? Mint< -а), откуда Уа? А(-с >a)
3. Az egész számok matematikai indukciós módszerének különböző formái. Osztási tétel maradékkal
1. Tétel (a matematikai indukciós módszer első formája). Legyen P(c) a 4 egész számok Z halmazán definiált egyhelyű predikátum. Ekkor ha valamilyen a Z SZÁM esetén a P(o) állítás és a P(K) tetszőleges K > a egész számra P(K -4- 1) következik, akkor a P(r) állítás mindenre érvényes. egész számok, t számok c > a (azaz a halmazon Z igaz következő képlet predikátumszámítás:
P(a) hagyma > + 1)) Vc > aP(c)
bármely rögzített egész számra a
Bizonyíték. Tegyük fel, hogy a P(c) mondatra minden igaz, amit a tétel feltételében mondunk, azaz.
1) P(a) - igaz;
2) UK SC a + is igaz.
Az ellenkezőjéből. Tegyük fel, hogy van ilyen szám
b > a, hogy RF) - hamis. Nyilvánvaló, hogy b a, mivel P(a) igaz. Az M = halmazt alkotjuk (z? > a, P(z) hamis).
Ekkor az M 0 halmaz, mivel b? M és M- alulról az a számmal határolt. Ezért a legkisebb egész tétel (4., 2. tétel) szerint az M halmaz tartalmazza a legkisebb c egész számot. Ezért c > a, ami viszont azt jelenti, hogy c - 1 > a.
Bizonyítsuk be, hogy P(c-1) igaz. Ha c-1 = a, akkor a feltétel alapján P(c-1) igaz.
Legyen c-1 > a. Akkor az a feltevés, hogy P(c - 1) hamis, 1-es tagságot von maga után? M, ami nem lehet, mivel a c a legkisebb az M halmazban.
Így c - 1 > a és P(c - 1) igaz.
Ezért ennek a tételnek a feltétele alapján a Р((с- 1) + 1) mondat igaz, azaz. R(s) igaz. Ez ellentmond a c szám kiválasztásának, mivel c? M A tétel bizonyítva.
Megjegyezzük, hogy ez a tétel általánosítja Peano axiómáinak 1. következményét.
2. Tétel (az egész számok matematikai indukciós módszerének második formája). Legyen P(c) valamilyen egyhelyes előtag, amely az egész számok Z halmazán van definiálva. Majd ha a P(c) prepozíció érvényes valamilyen K egészre és tetszőleges s K egészre a P(c) állítás érvényességéből minden olyan egész számra, amely kielégíti a K egyenlőtlenséget< с < s, слеДует справеДливость этого преДложения Для числа s , то это преДложение справеДливо Для всег целыс чисел с >NAK NEK.
Ennek a tételnek a bizonyítása nagyrészt megismétli a természetes számokra vonatkozó hasonló tétel bizonyítását (1., 55. tétel, III. fejezet).
3. tétel (a matematikai indukció módszerének harmadik formája). Legyen P(c) az egész számok Z halmazán definiált egyhelyes predikátum. Ekkor ha P(c) igaz A természetes számok halmazának valamely végtelen M részhalmazának minden számára és egy tetszőleges a egészre, a P(a) igazságából következik, hogy P (a - 1) igaz, akkor a P(c) állítás igaz minden egész számra.
A bizonyítás hasonló a természetes számok megfelelő tételének bizonyításához.
Érdekes gyakorlatként ajánljuk.
Vegye figyelembe, hogy a gyakorlatban a matematikai indukció harmadik formája kevésbé elterjedt, mint a többi. Ez azzal magyarázható, hogy alkalmazásához ismerni kell a természetes számok halmazának egy végtelen M részhalmazát, amelyet a tétel említ. Egy ilyen készlet megtalálása nehéz feladat lehet.
De a harmadik alak előnye a többihez képest, hogy segítségével a P(c) állítást minden egész számra bebizonyítjuk.
Az alábbiakban egy érdekes példát adunk a harmadik forma alkalmazására. De először adjunk meg egy nagyon fontos fogalmat.
Meghatározás. Az a egész szám abszolút értéke a szabály által meghatározott szám
0 ha a O a ha a > O
És ha a< 0.
Tehát, ha a értéke 0, akkor ? N.
Felkérjük az olvasót gyakorlatként az abszolút érték alábbi tulajdonságainak bizonyítására:
Tétel (a maradékkal való osztásról). Bármely a és b egész számra, ahol b 0, létezik, ráadásul csak egy q U m számpár létezik úgy, hogy a r: bq + T A D.
Bizonyíték.
1. Pár (q, m) létezése.
Legyen a, b? Z és 0. Mutassuk meg, hogy létezik olyan q számpár, amely teljesíti a feltételeket
A bizonyítás indukcióval történik a harmadik alakban az a számon egy fix b szám esetén.
M = (mlm = n lbl, n = N).
Nyilvánvaló, hogy M C lt egy f: N M leképezés, amelyet az f(n) = nlbl szabály definiál bármely n? N egy bijekció. Ez azt jelenti, hogy M N, azaz M végtelen.
Bizonyítsuk be azért tetszőleges szám a? M (és b-fix) igaz a q és m számpár létezésére vonatkozó tétel állítása.
Valóban, legyen a (- M. Akkor a pf! néhány n? N-re.
Ha b > 0, akkor a = n + 0. Most q = n és m 0 beállításával megkapjuk a szükséges q és m számpárt. Ha b< 0, то и, значит, в этом случае можно положить q
Tegyünk most egy induktív feltételezést. Tegyük fel, hogy egy tetszőleges c egész számra (és egy tetszőleges rögzített b 0-ra) igaz a tétel állítása, azaz, van olyan számpár (q, m), hogy
Bizonyítsuk be, hogy ez az (1-es) számra is igaz. A c = bq -4- egyenlőség azt jelenti, hogy bq + (m - 1). (egy)
Esetek lehetségesek.
1) m > 0. Ekkor 7" - 1 > 0. Ebben az esetben - m - 1 beállításával c - 1 - bq + Tl-t kapunk, ahol a (q, 7" 1,) pár nyilvánvalóan teljesíti a feltételt
0. Ekkor с - 1 bq1 + 711 , ahol q1
Könnyen bebizonyíthatjuk, hogy 0< < Д.
Így az állítás a számpárra is igaz
A tétel első része bizonyítva van.
P. A q pár egyedisége stb.
Tegyük fel, hogy az a és b 0 számokhoz két számpár (q, m) és (q1) van, amelyek teljesülnek a (*) feltételeknek.
Bizonyítsuk be, hogy egybeesnek. Szóval hagyjuk
és egy bq1 L O< Д.
Ez azt jelenti, hogy b(q1 -q) m - 7 1 1. Ebből az egyenlőségből az következik, hogy
Ha most feltételezzük, hogy q ql , akkor q - q1 0, ahonnan lq - q1l 1. Ezeket az egyenlőtlenségeket tagonként megszorozva az lbl számmal, φ-t kapunk! - q11 D. (3)
Ugyanakkor a 0 egyenlőtlenségekből< т < lbl и О < < очевидным образом следует - < ф!. Это противоречит (3). Теорема доказана.
Feladatok:
1. Fejezze be az 5 1. 2. és 3. tétel bizonyítását!
2. Bizonyítsuk be a 3., 1. tétel 2. következményét.
3. Igazolja, hogy a H ⊂ Z részhalmaz, amely az alak összes számából áll< п + 1, 1 >(n? N), az összeadás és szorzás alatt zárva van.
4. Jelentse H ugyanazt a halmazt, mint a 3. gyakorlatban. Bizonyítsuk be, hogy a j : M leképezés teljesíti a feltételeket:
1) j - bijekció;
2) j(n + m) = j(n) + j(m) és j(nm) = j(n) j(m) bármely n, m számra (azaz j végrehajtja az algebrák izomorfizmusát () N, 4 és (H, +,).
5. Fejezze be a 2. 1. tétel bizonyítását!
6. Bizonyítsuk be, hogy bármely a, b, c egész számra igazak a következő implikációk:
7. Bizonyítsa be a 3. második és harmadik tételét!
8. Bizonyítsuk be, hogy az egész számok Z gyűrűje nem tartalmaz nulla osztókat.
Irodalom
1. Bourbaki N. Halmazelmélet. M.: Mir, 1965.
2. I. M. Vinogradov, A számelmélet alapjai. M.: Nauka, 1972. Z. Demidov, I. T. Az aritmetika alapjai. Moszkva: Uchpedgiz, 1963.
4. M. I. Kargapolov és Yu. I. Merzlyakov, A csoportelmélet alapjai.
Moszkva: Nauka, 1972.
5. A. I. Kostrikin, Bevezetés az algebrába. Moszkva: Nauka, 1994.
b. Kulikov L. Ya. Algebra és számelmélet. M.: Feljebb. iskola, 1979.
7. Kurosh A.G. A magasabb algebra menete. Moszkva: Nauka, 1971.
8. Lyubetsky V. A. Az iskolai matematika alapfogalmai. M.: Felvilágosodás, 1987.
9. Lyapin EU. és egyéb csoportelméleti gyakorlatok. Moszkva: Nauka, 1967.
10. A. I. Maltsev, Algebrai rendszerek. Moszkva: Nauka, 1970.
11. MenDelson E. Bevezetés a matematikai logikába. Moszkva: Nauka, 1971.
12. Nechaev V. I. Numerikus rendszerek. M.: Oktatás, 1975.
13. Novikov P.S. A matematikai logika elemei. M.. Nauka, 1973.
14. Petrova V. T. Algebra és geometria előadásai.: 14 órakor.
CHL. M.: Vlados, 1999.
15. A matematika iskolai tantárgy korszerű alapjai Avt. munkatárs: Vilenkin N.Ya., Dunichev K.I., Kalltzhnin LA Stolyar A.A. Moszkva: Oktatás, 1980.
16. L. A. Szkornyakov, Az algebra elemei. Moszkva: Nauka, 1980.
17. Stom R.R. Halmaz, logika, axiomatikus elméletek. M.; Felvilágosodás, 1968.
18. Stolyar A. A. Logikai bevezetés a matematikába. Minszk: VISHEYSH. iskola, 1971.
19. V. P. Filippov, Algebra és számelmélet. Volgograd: vgpi, 1975.
20. Frenkel A., Bar-Hilel I. A halmazelmélet alapjai. M.: Mir, 1966.
21. Fuchs L. Részben rendezett rendszerek. M.: Mir, 1965.
Oktatási kiadás
Vlagyimir Konsztantyinovics Kartasov
BEVEZETÉS A MATEMATIKÁBA
Szerkesztői előkészítő: O. I. Molokanova Az eredeti elrendezést készítette: A. P. Boshchenko
„PR 020048 96.12.20
Megjelenés céljából aláírva 1999. augusztus 28-án. Formátum 60x84/16. Irodai nyomtatás. Bumm. típusú. M 2. Uel. sütő l. 8.2. Uch.-szerk. l. 8.3. Példányszám 500 példány. Rendelés 2
"Change" kiadó
A természetes szám az objektumok megszámlálásához használt szám. Az ember gyakorlati szükségleteiből fakadt. A természetes szám fogalmának kialakulása több szakaszra bontható: 1. az ókori emberek egy halmaz összehasonlítása érdekében megfeleltetéseket állapítottak meg: például annyit, mint ujj a kézen. Hátránya, hogy az összehasonlított készleteknek egyszerre kellett láthatónak lenniük. 2. Sok - közvetítők, például kövek, kagylók, botok. A szám fogalma még nem alakult ki. A számok pedig konkrét tételekhez vannak kötve. 3. Szám megjelenése (Szám megjelölése számok formájában). Az aritmetika eredete. Az aritmetika, mint tudomány az ókori Kelet országaiból - Kínából, Indiából, Egyiptomból, további fejlődés Görögországban. A „természetes szám” kifejezést először Boethius római tudós használta. A szett mennyiségének meghatározásához számlálás szükséges. Osszuk fel az összes kvantitatív halmazt ekvivalenciaosztályokra, például egy egyenletosztályra. tartalmazni fogja háromszögek csúcsait, négyzet oldalait, betűkészletet a világ szóban. Ha ezt a folyamatot folytatjuk, akkor annak a ténynek köszönhető, hogy az ekvivalencia vonatkozásában - minden egyformán erős reláció. A véges halmazok osztályok szerint lesznek. Hogy. elméletileg - egy kvantitatív természetes szám többes számú jelentése - véges ekvivalens halmazok osztályának általános tulajdonsága. Minden osztálynak megvan a maga számértéke. A nulla értéke az üres halmaznak felel meg.
Az A és B számokat egyenlőnek mondjuk, ha egyenlő halmazok határozzák meg őket.
Ezt a módszert elemi osztályokban alkalmazzák.
Módszertan olyan feladatok elvégzéséhez, amelyek feltárják konkrét jelentése aritmetikai műveletek.
A matematika során az aritmetikai feladatok jelentős helyet foglalnak el. A matematika órák idejének csaknem felét a feladatok megoldása tölti le. Ez a gyermekek tanításában betöltött nagy nevelési és oktatási szerepüknek köszönhető. A számtani feladatok megoldása segít feltárni a számtani műveletek fő jelentését, konkretizálni, összekapcsolni egy-egy élethelyzettel. A feladatok hozzájárulnak a matematikai fogalmak, összefüggések, minták asszimilációjához. Problémamegoldáskor a gyerekekben kialakul az önkéntes figyelem, megfigyelés, logikus gondolkodás, beszéd, intelligencia. A problémák megoldása hozzájárul az ilyen folyamatok kialakulásához kognitív tevékenység mint az elemzés, szintézis, összehasonlítás, általánosítás.
A számtani feladatok megoldása során a tanulók elsajátítják tevékenységük tervezését, irányítását, elsajátítják a technikákat, az önkontrollt (probléma ellenőrzése, problémák becslése stb.), kitartást, akaratot, érdeklődést fejlesztenek a megoldás iránt. probléma. A problémamegoldás szerepe a gyermekek életre, további munkavégzésükre való felkészítésében nagy. A cselekményfeladatok megoldása során a tanulók megtanulják lefordítani a tárgyak és mennyiségek közötti kapcsolatokat a „matematika nyelvére”. A számtani feladatokban olyan numerikus anyagot használnak, amely tükrözi az ország sikereit a nemzetgazdaság, a kultúra, a tudomány stb. különböző ágazataiban. Ez segít a hallgatók látókörének bővítésében, új ismeretekkel gazdagítva őket a környező valóságról. A számtani feladatok megoldásának képességét a tanulók nagy nehézségek árán sajátítják el.
A gyerekek hibás problémamegoldásának okai elsősorban gondolkodásuk sajátosságaiban rejlenek. A problémamegoldás elsajátítása során kerülni kell a coachingot bizonyos típusú problémák megoldásában, meg kell tanítani a problémamegoldás tudatos megközelítését, meg kell tanulni eligazodni a feladatban leírt élethelyzetben, meg kell tanítani a feladatadatok tudatos kiválasztását. , tudatos cselekvésválasztás. Bármely aritmetikai probléma megmunkálása során a következő szakaszok különböztethetők meg:
1. Dolgozzon a feladat tartalmán!
2. Keressen megoldást a problémára.
3. A probléma megoldása.
4. A válasz megfogalmazása.
5. A probléma megoldásának ellenőrzése.
6. A megoldott probléma nyomon követése.
Nagy figyelmet kell fordítani a feladat tartalmán való munkára, pl. a problémában megfogalmazott helyzet megértése, az adatok és a kívánt közötti kapcsolat megteremtése. A feladat tartalmának elsajátítására irányuló munka sorrendje;
a) érthetetlen szavak vagy kifejezések elemzése;
b) a feladat szövegének felolvasása a tanár és a tanulók által;
c) a probléma állapotának rögzítése;
d) a feladat ismétlése kérdéseken.
A feladat szövegének kifejező olvasását meg kell tanítani a tanulóknak. Nem szabad megfeledkezni arról, hogy a gyerekeket külön kell tanítani kifejező olvasás, nem tudják önállóan helyesen olvasni a problémát, nem tudnak logikai hangsúlyokat helyezni stb.
A feladat tartalmának tárgyak, sablonok és rajzok segítségével történő pontosítása mellett a feladat tartalmának rögzítésének alábbi formáit széles körben alkalmazzák az iskolai tanári gyakorlatban:
1. Az írás rövidített formája, amelyben a feladat szövegéből számszerű adatokat írnak ki, és csak azokat a szavakat és kifejezéseket írják ki, amelyek a probléma logikai jelentésének megértéséhez szükségesek.
2. A jelölés rövidített szerkezeti formája, amelyben a feladat minden egyes logikai része új sorból kerül kiírásra.
3. Az írás sematikus formája.
4. A rögzítés grafikus formája.
Mivel a gyermekek kontroll funkciója gyengül, a probléma megoldásának ellenőrzése nemcsak nevelési, hanem nevelési értékkel is bír. Az alsó tagozaton szüksége lesz:
1. Ellenőrizze a verbálisan megfogalmazott feladatokat egy objektumon végrehajtott művelettel.
2. Ellenőrizze a válasz valóságtartalmát.
3. Ellenőrizze a válasz megfelelését a probléma feltételének és kérdésének. A feladatmegoldás ellenőrzése más megoldási módokon 4. osztálytól lehetséges.
A problémamegoldás helyességének ellenőrzésére a programozott tanulás egyes elemeit is alkalmazzák. Ez az elem nagyon hasznos abból a szempontból, hogy a tanuló azonnal megerősítést kap tettei helyességéért, vagy éppen ellenkezőleg, tévedéséért. Ha rossz a döntés, új megoldásokat keres.
Az iskolai tanár gyakran nem lehet biztos abban, hogy egy probléma megoldását minden diák megérti. Ezért nagyon hasznos a probléma megoldásán dolgozni. A probléma megoldására irányuló munka többféleképpen is elvégezhető.
1. Csomóponti kérdéseket tesznek fel a feladat tartalmával kapcsolatban.
2. Javasoljuk a probléma megoldásának teljes menetét a cselekvések megválasztásának indoklásával együtt.
3. A kérdéseket külön cselekvésekhez vagy kérdésekhez teszik fel. A tanulók számára nem a hasonló megoldott feladatok száma a fontos, hanem a tantárgyi helyzet megértése az adatokkal kapcsolatban. Ezt a célt szolgálja a megoldott probléma utólagos munkája, amely fontos technikának tekinthető, amely formálja az ilyen típusú problémák megoldásának készségeit. A feladatok tantárgyi tartalmának, az adatok és a kívánt kapcsolatának jobb megértését segíti elő a nem számokkal, hanem szavakkal írt többlet vagy hiányzó számadatokkal kapcsolatos problémák megoldása. A megfigyelések azt mutatják, hogy a legjobb tanárok széles körben alkalmazzák a problémamegoldás tanításának egyik módszereként azt, hogy a tanulók maguk állítják össze a problémákat.
A feladatok megfogalmazása segíti a gyerekeket abban, hogy jobban megértsék a feladat létfontosságú és gyakorlati jelentőségét, jobban megértsék a felépítését, valamint a különféle típusú feladatok megkülönböztetését, a megoldási módszerek megértését. A probléma megfogalmazása a megoldással párhuzamosan történik kész feladatokat. A tapasztalatok és megfigyelések azt mutatják, hogy a tanulók számára a legkönnyebb részben feladatokat összeállítani. A tanulókat arra kell ösztönözni, hogy változatos cselekményű feladatokat alkossanak. Ez hozzájárul képzelőerejük találékonyságának, kezdeményezőkészségének fejlesztéséhez. Nagyon hasznos, ha a tanulók a kirándulások során „megszerzett” anyagokból merítenek segédkönyvekből, újságokból, folyóiratokból stb. A középiskolásokat meg kell tanítani bizonyos számításokhoz kapcsolódó üzleti dokumentumok kitöltésére és írására. Például írjon meghatalmazást, töltse ki a pénzátutalási űrlapot stb. A fenti módszerek mindegyike széles körben alkalmazható mindenféle probléma megoldására.
Az egyszerű aritmetikai feladat olyan feladat, amely egyetlen számtani művelettel megoldható. Az egyszerű feladatok rendkívüli szerepet játszanak a matematika tanításában. Egyszerű feladatok teszik lehetővé a fő jelentés feltárását és az aritmetikai műveletek konkretizálását, bizonyos matematikai fogalmak kialakítását. Az egyszerű feladatok szerves részeösszetett problémákat, ezért a megoldási képesség kialakításával a tanár felkészíti a tanulókat az összetett problémák megoldására.
Minden tanévben a hallgatók új típusú egyszerű problémákkal ismerkednek meg. Fokozatos bevezetésüket a matematikai fogalmak eltérő nehézségi foka magyarázza, azoknak az aritmetikai műveleteknek a tanulmányozási helye, amelyek konkrét jelentését feltárják. A tanár nem kevésbé figyelmes figyelme az ilyen típusú feladatok kiválasztásakor egyaránt megérdemli a konkretizálást és a tartalmat. Végül a tanár megtanítja konkretizálni a probléma tartalmát, feltárva az adatok és a kívánt kapcsolatát, különféle rövid írási formákkal.
A legjobb tanárok tapasztalatai azt mutatják, hogy a számtani feladatok megoldására való felkészülést a tanulók gyakorlati tapasztalatainak, a környező valóságban való tájékozódásának gazdagításával, fejlesztésével kell kezdeni. A tanulókat abba az élethelyzetbe kell vezetni, amelyben számolniuk, számtani feladatokat kell megoldaniuk, változtatniuk kell. Ráadásul ezeket a helyzeteket eleinte nem szabad mesterségesen létrehozni, csak felhívni és felhívni a tanulók figyelmét. A tanár megszervezi az edények tartalmának stb. tantárgyi elemeinek számában bekövetkezett változás megfigyelését, ami hozzájárul a tanulók számával kapcsolatos elképzeléseinek kialakításához, hogy megismertesse őket bizonyos terminológiákkal, amelyekről később lesz szó. a feladatok verbális megfogalmazásánál találkoztunk: lett, minden maradt, vettek, növeltek, csökkentek stb. A tanulók játékát és gyakorlati tevékenységét úgy kell megszervezni, hogy e tevékenység közvetlen résztvevőiként, valamint megfigyelőként a tanulók maguk is levonhassák a következtetést minden esetben; a halmaz elemeinek száma nőtt vagy csökkent, és milyen művelet, szóbeli kifejezés felel meg ennek a növekedésnek vagy csökkenésnek. Az előkészítő munka ezen szakasza egybeesik az első tíz számaival kapcsolatos munka megkezdésével és az aritmetikai műveletekkel való megismerkedéssel, a tárgyhalmazokkal végzett műveletek megoldásával és példáinak összeállításával.
Mielőtt elkezdené az aritmetikai feladatok megoldásának elsajátítását, a tanárnak világosan el kell képzelnie, milyen ismereteket, készségeket és képességeket kell átadnia a tanulóknak. A feladat megoldásához a tanulóknak számtani példákat kell megoldaniuk, meg kell hallgatniuk, majd el kell olvasniuk a feladatot, kérdésekkel, rövid jegyzetből, emlékezetből meg kell ismételni a feladatot, kiemelniük a feladatban szereplő összetevőket, meg kell oldaniuk a feladatot és ellenőrizniük kell a megoldás helyességét. . Az 1. osztályban a tanulók megtanulják megoldani a problémákat, hogy megtalálják az összeget és a maradékot. Ezeket a feladatokat először az első tíz számainak megtanulásakor mutatjuk be. Az azonos tagok összegének megállapítására, egyenlő részekre osztásra vagy tartalom szerinti osztásra vonatkozó feladatok megoldásának tanítása során támaszkodni kell arra, hogy a tanulók megértsék a szorzás és osztás aritmetikai műveleteinek lényegét. A különböző összehasonlításra vonatkozó feladat megoldása előtt a tanulóknak meg kell adniuk az egy halmaz objektumainak, két tantárgyi halmazának, mennyiségeinek, számainak összehasonlításának fogalmát, a köztük lévő egyenlőségi és egyenlőtlenségi összefüggések megállapítását. Összetett vagy összetett számtani feladat olyan feladat, amelyet két ill egy nagy szám aritmetikai műveletek. Pszichológiai kutatás Az összetett számtani feladatok megoldásának jellemzőinek tanulmányozása azt mutatja, hogy a gyerekek nem ismerik fel az ismerős egyszerű feladatokat egy új összetett feladat kontextusában. Előkészítő munka Az összetett feladatok megoldásához gyakorlatok, technikák rendszerét kell kialakítani, célirányosan elvezetve a tanulókat az összetett feladatok megoldásának elsajátítására. A tanár akkor léphet át az összetett feladatok megoldására, ha meg van győződve arról, hogy a tanulók elsajátították az összetett feladatba bekerülő egyszerű feladatok megoldásának technikáit, maguk is tudnak egy bizonyos típusú egyszerű feladatot összeállítani. Összetett feladatok megoldása során a tanulóknak vagy kérdéseket kell feltenniük az adatokhoz, vagy ki kell választaniuk a kérdéshez tartozó adatokat. Ezért az előkészítő időszakban, i.e. az első év során és a második tanulmányi év elején a hallgatóknak a következő feladatokat kell adni:
1. A kész állapothoz vegye fel a kérdéseket.
2. A probléma kapcsán hozzon létre feladatot a hiányzó számadatok kiválasztásával.
Az egyszerű és összetett feladatok összeállítása során a tanulók fokozatosan megtanulják az egyszerű feladatokat összetett feladatban felismerni, a megoldásukban már tapasztalatot szerzett gyakorlatok nagyon hasznosak az összetett feladatok összeállításához. Ez hozzájárul az egyszerű feladattípusok jobb asszimilációjához, az összetett feladatban való felismeréséhez, és segíti a tanulókat a feladatok tudatosabb elemzésében. Az összetett feladatok megoldása során a tanulókat meg kell tanítani a probléma kezelésének általános módszereire; képes elemezni a feladat tartalmát, kiemelve az ismert adatokat, a kívántat (vagyis megállapítani, hogy mit kell tudni a feladatban), meghatározni, hogy milyen adatok hiányoznak a válaszadáshoz fő kérdés a feladatban. Az iskolai munka gyakorlatában igazolta magát az a kártyás munkamódszer, amely a feladaton a munkavégzés sorrendjét rögzíti. Problémamegoldáskor kérdésekkel rögzítik megoldásának tervét, vagy minden egyes műveletet rögzítenek és elmagyaráznak. Az ilyen típusú problémák általánosított megoldási módszerének kidolgozását többféle típusú, rajzos feladat megoldása, a tanulók által készen és összeállított feladatok megoldása biztosítja, az ilyen típusú problémák összehasonlítása a korábban megoldott feladattípusokkal, stb.
1. Ismertesse a számítási technikát a 40+20, 50-30, 34+20, 34+2, 48-30, 48-3 esetekre, az összes számítási technikát a koncentrátorból száz!
1) 40+20= 4d+2d=6d=60
2) 50-30 = 5d-3d=2d=20
3) 34+20= 3d+4ed+2d=5d 4ed=54
4) 34+2 \u003d 3d + 4d + 2ed \u003d 3d 6ed \u003d 36
5) 48-30 \u003d 4d + 8ed-3d \u003d 1d 8ed \u003d 18
6) 48-3= 4d+8w-3w=4d 5w=45
Minden számítási módszer szóbeli, és az összeadás és kivonás számjegyei alapján történik.
Mint ismeretes, a természetes számok halmaza a "kisebb, mint" reláció segítségével rendezhető. Ám az axiomatikus elmélet felépítésének szabályai megkövetelik, hogy ezt az összefüggést ne csak definiálják, hanem az adott elméletben már meghatározott fogalmak alapján is megtörténjék. Ez megtehető a "kisebb, mint" arány hozzáadásával.
Meghatározás. Az a szám kisebb, mint a b (a< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.
Ilyen feltételek mellett azt is mondják, hogy a szám b több aés írj b > a.
12. tétel. Bármilyen természetes számra aés b a következő három reláció közül csak egy jön létre: a = b, a > b, a < b.
Ennek a tételnek a bizonyítását mellőzzük.. Ebből a tételből az következik, hogy ha
a ¹ b, bármelyik a< b, vagy a > b azok. a "kevesebb, mint" relációnak megvan az összetartozás tulajdonsága.
13. tétel. Ha egy a< b és b< с. akkor a< с.
Bizonyíték. Ez a tétel a „kevesebb, mint” reláció tranzitivitásának tulajdonságát fejezi ki.
Mert a< b és b< с. akkor a "kisebb, mint" reláció definíciója szerint vannak olyan természetes számok nak nekés akkor b = a + k és c = b + I. De aztán c = (a + k)+ / és az összeadás asszociativitási tulajdonsága alapján kapjuk: c = a + (k +/). Mert a k + I - természetes szám, akkor a "kisebb, mint" definíciója szerint a< с.
14. tétel. Ha egy a< b, ez nem igaz b< а. Bizonyíték. Ez a tétel kifejezi a tulajdonságot antiszimmetria"kevesebb" kapcsolat.
Először bizonyítsuk be ezt bármely természetes számra a nem te-!>! ■ ) hozzáállása a< a. Tegyük fel az ellenkezőjét, pl. mit a< а bekövetkezik. Ekkor a "kisebb, mint" reláció definíciója szerint van egy ilyen természetes szám Val vel, mit a+ Val vel= a,és ez ellentmond a 6. tételnek.
Most bizonyítsuk be, hogy ha a< b, akkor ez nem igaz b < a. Tegyük fel az ellenkezőjét, pl. mi van ha a< b , akkor b< а teljesített. De ezekből az egyenlőségekből a 12. Tétel szerint megvan a< а, ami lehetetlen.
Mivel az általunk definiált „kevesebb, mint” reláció antiszimmetrikus és tranzitív, és rendelkezik kapcsolódási tulajdonsággal, ez a reláció lineáris sorrend, és a természetes számok halmaza lineárisan rendezett halmaz.
A "kisebb, mint" definíciójából és tulajdonságaiból következtethetünk a természetes számok halmazának ismert tulajdonságaira.
15. tétel. Az összes természetes szám közül az egyik a legkisebb szám, azaz. én< а для любого натурального числа a¹1.
Bizonyíték. Hadd a - bármilyen természetes szám. Ekkor két eset lehetséges: a = 1 és a ¹ 1. Ha a = 1, akkor van egy természetes szám b, követi a: a \u003d b " \u003d b + I = 1 + b, azaz a "kevesebb, mint" meghatározása szerint 1< a. Ezért bármely természetes szám egyenlő 1-gyel vagy nagyobb, mint 1. Vagy az egyik a legkisebb természetes szám.
A "kisebb, mint" reláció a számok összeadásához és szorzásához kapcsolódik a monotonitás tulajdonságaival.
16. tétel.
a = b => a + c = b + c és a c = b c;
a< b =>a + c< b + с и ас < bс;
a > b => a + c > b + c és ac > bc.
Bizonyíték. 1) Ennek az állításnak az érvényessége az összeadás és szorzás egyediségéből következik.
2) Ha a< b,
akkor van egy természetes szám k, mit a
+ k = b.
Akkor b+ c = (a + k) + c = a + (k + c) = a + (c+ nak nek)= (a + c) + k. Egyenlőség b+ c = (a + c) + k azt jelenti, hogy a + c< b
+ Val vel.
Ugyanígy az is bebizonyosodik a< b =>ász< bс.
3) A bizonyítás hasonló.
17. tétel(fordítva a 16. tételhez).
1) a+ c = b + c vagy ac ~ bc-Þ a = b
2) a + c< Ь + с vagy ász< időszámításunk előttÞ a< Ь:
3) a + c > b+ vagy vagy ac > bcÞ a > b.
Bizonyíték. Bizonyítsuk be például azt ász< bс kellene a< b Tegyük fel az ellenkezőjét, pl. hogy a tétel következtetése nem állja meg a helyét. Akkor nem lehet a = b. mert akkor fennállna az egyenlőség ac = bc(16. tétel); nem lehet a> b, mert akkor az lenne ac > bc(Tétel!6). Ezért a 12. tétel szerint a< b.
A 16. és 17. tételből levezethetők az egyenlőtlenségek tagonkénti összeadásának és szorzásának jól ismert szabályai. Ledobjuk őket.
18. tétel. Bármilyen természetes számra aés b; van olyan n természetes szám n b> a.
Bizonyíték. Bárkinek a van ilyen szám P, mit n > a. Ehhez elég venni n = a + 1. Az egyenlőtlenségek tagonkénti szorzata P> aés b> 1, kapjuk pb > a.
A reláció figyelembe vett tulajdonságaiból a "kevesebb, mint" következik fontos jellemzői természetes számok halmazai, amelyeket bizonyítás nélkül adunk meg.
1. Egyetlen természetes számra sem a nincs ilyen természetes szám P, mit a< п < а +
1. Ezt a tulajdonságot ún ingatlan
diszkrétség természetes számok halmazai és a számok aés egy + 1 hívott szomszédos.
2.
A természetes számok bármely nem üres részhalmaza tartalmazza
a legkisebb szám.
3. Ha M- a természetes számok halmazának nem üres részhalmaza
és van egy szám b, hogy minden x számra tól M nem teljesült
egyenlőség x< b, majd a sokaságban M a legnagyobb szám.
Illusztráljuk a 2. és 3. tulajdonságot egy példával. Hadd M kétjegyű számok halmaza. Mert M a természetes számok részhalmaza, és ennek a halmaznak az összes számára az x egyenlőtlenség< 100, то в множестве M a legnagyobb szám 99. Az adott halmazban található legkisebb szám M, - 10. szám.
Így a "kisebb, mint" reláció lehetővé tette számunkra, hogy a természetes számok halmazának jelentős számú tulajdonságát figyelembe vegyük (és bizonyos esetekben bizonyítsuk). Különösen lineárisan rendezett, diszkrét, ennek a legkisebb az 1-es száma.
A természetes számok "kisebb" ("nagyobb") arányával a fiatalabb tanulók a képzés legelején ismerkednek meg. És gyakran, annak halmazelméleti értelmezésével együtt, implicit módon az általunk az axiomatikus elmélet keretein belül adott definíciót használják. Például a tanulók elmagyarázhatják, hogy 9 > 7, mert a 9 az 7+2. Az összeadás és szorzás monotonitási tulajdonságainak gyakori és implicit használata. Például a gyerekek elmagyarázzák, hogy „6 + 2< 6 + 3, так как 2 < 3».
Feladatok
1 Miért nem lehet a természetes számok halmazát az „azonnal követni” összefüggés szerint rendezni?
Fogalmazd meg a kapcsolat definícióját a > bés bizonyítsa be, hogy tranzitív és antiszimmetrikus.
3. Bizonyítsa be, hogy ha a, b, c természetes számok, akkor:
a) a< b Þ ас < bс;
b) a+ Val vel< b + su> a< Ь.
4. Milyen tételek lehetnek az összeadás és szorzás monotonitásáról?
használat alsó tagozatos iskolások, az „Összehasonlítás számítások elvégzése nélkül” feladat végrehajtása:
a) 27 + 8 ... 27 + 18;
b) 27-8 ... 27-18.
5. A természetes számok halmazának milyen tulajdonságait használják implicit módon a fiatalabb tanulók a következő feladatok elvégzésekor:
A) Írja le a 65-nél nagyobb és 75-nél kisebb számokat.
B) Nevezze meg az előző és a következő számokat a 300-as számhoz (800 609 999) kapcsolatban!
C) Mi a legkisebb és a legnagyobb háromjegyű szám?
Kivonás
A természetes számok elméletének axiomatikus felépítésében a kivonást általában az összeadás inverz műveleteként definiálják.
Meghatározás. Az a és b természetes számok kivonása olyan művelet, amely teljesíti a feltételt: a - b \u003d c akkor és csak akkor, ha b + c \u003d a.
Szám a - b az a és a számok különbségének nevezzük b, szám a- csökkenő, szám b- kivonható.
19. tétel. A természetes számok különbsége a- b akkor és csak akkor létezik b< а.
Bizonyíték. Legyen a különbség a- b létezik. Ekkor a különbség definíciója szerint van egy természetes szám Val vel, mit b + c = a,és ez azt jelenti b< а.
Ha b< а, akkor a "kisebb, mint" reláció definíciója szerint létezik olyan c természetes szám, amelyre b + c = a. Ezután a különbség meghatározása szerint c \u003d a - b, azok. különbség a - b létezik.
20. tétel Ha a természetes számok különbsége aés b létezik, akkor egyedi.
Bizonyíték. Tegyük fel, hogy a számok közötti különbségnek két különböző értéke van aés b;: a - b= c₁és a - b= c₂, és c₁ ¹ c₂ . Ezután a különbség meghatározása szerint a következőket kapjuk: a = b + c₁,és a = b + c₂ : . Ebből következik tehát b+ c₁ = b + c₂ :és a 17. tétel alapján arra a következtetésre jutunk, c₁ = c₂... Ellentmondásba jutottunk a feltételezéssel, ami azt jelenti, hogy hamis, és ez a tétel igaz.
A természetes számok különbségének definíciója és létezésének feltételei alapján megalapozhatóak a szám összegből való, számból összeg kivonásának jól ismert szabályai.
21. tétel. Hadd a. bés Val vel- egész számok.
mi van ha a > c, akkor (a + b) - c = (a - c) + b.
b) Ha b > c. akkor (a + b) - c - a + (b - c).
c) Ha a > c és b > c. akkor bármelyik képletet használhatja.
Bizonyíték. Az a) esetben a számok különbsége aés c létezik, mert a > c. Jelöljük azzal x: a - c \u003d x. ahol a = c + x. Ha egy (a+ b) - c = y. akkor a különbség meghatározása szerint a+ b = Val vel+ nál nél. Helyettesítsük be ebbe az egyenlőségbe a kifejezés c + x:(c + x) + b = c + y. Használjuk az összeadás asszociativitási tulajdonságát: c + (x + b) = c+ nál nél. Ezt az egyenlőséget az összeadás monotonitásának tulajdonsága alapján átalakítjuk, így kapjuk:
x + b = y..X helyére ebben az egyenletben a kifejezés a-c, lesz (a - G) + b = y.Így bebizonyítottuk, hogy ha a > c, akkor (a + b) - c = (a - c) + b
A bizonyítást a b) esetben is hasonlóan hajtjuk végre.
A bizonyított tétel könnyen megjegyezhető szabályként fogalmazható meg: ahhoz, hogy egy számot levonjunk az összegből, elegendő ezt a számot kivonni az összeg egyik tagjából, és hozzáadni egy másik tagot a kapott eredményhez.
22. tétel. Hadd a, b és c - egész számok. Ha egy a > b akkor + c a- (b + c) = (a - b) - c vagy a - (b + c) \u003d (a - c) - b.
Ennek az elméletnek a bizonyítása hasonló a 21. tétel bizonyításához.
A 22. Tétel úgy fogalmazható meg, hogy egy számból a számok összegének kivonásához elegendő ebből a számból egymás után kivonni az egyes tagokat.
Az elemi matematikatanításban a kivonás mint cselekvés meghatározása, fordított összeadás, ban ben Általános nézet, általában nincs megadva, de folyamatosan használják, kezdve az egyjegyű számokkal végzett műveletektől. A tanulóknak tisztában kell lenniük azzal, hogy a kivonás az összeadáshoz kapcsolódik, és ezt az összefüggést kell használni a számítás során. Kivonva például a 16-os számot a 40-ből, a tanulók a következőképpen érvelnek: „Vonjuk ki a 16-ot 40-ből – mit jelent olyan szám megtalálása, amelyet a 16-os számhoz hozzáadva 40 lesz; ez a szám 24 lesz, mivel 24 + 16 = 40. Tehát. 40-16 = 24".
Az alapfokú matematika szakon a szám összegből és a számból összeg kivonásának szabályai: elméleti alapja különféle számítási módszerek. Például a (40 + 16) - 10 kifejezés értéke nem csak a zárójelben lévő összeg kiszámításával, majd a 10-es szám kivonásával, hanem így is megkereshető;
a) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:
b) (40 + 16) - 10 = 40 + (16-10) = 40 + 6 = 46.
Feladatok
1. Igaz-e, hogy minden természetes számot a közvetlenül következő számból kapunk egy kivonásával?
2. Mi a sajátossága a 19. Tétel logikai szerkezetének? Megfogalmazható-e a „szükséges és elégséges” szavakkal?
3. Bizonyítsa be, hogy:
mi van ha b > c, akkor (a + b) - c \u003d a + (b - c);
b) ha a > b + c, akkor a - (b+ c) = (a - b) - c.
4. Meg lehet-e mondani számítások elvégzése nélkül, hogy mely kifejezések lesznek egyenlők:
a) (50 + 16) - 14; d) 50 + (16 -14 ),
b) (50-14) + 16; e) 50- (16-14);
c) (50 - 14) - 16, f) (50 + 14) - 16.
a) 50 - (16 + 14); d) (50-14) + 16;
b) (50-16) + 14; e) (50-14)-16;
c) (50-16)-14; e) 50-16-14.
5. Milyen kivonási tulajdonságok képezik elméleti alapját a matematika kezdeti kurzusában tanulmányozott alábbi számítási módszereknek:
12 - 2-3 12 -5 = 7
b) 16-7 \u003d 16-6 - P;
c) 48 - 30 \u003d (40 + 8) - 30 = 40 + 8 \u003d 18;
d) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.
6. Ismertesse a formakifejezés értékének kiszámításának lehetséges módjait! a - b- Val velés konkrét példákkal illusztrálja azokat.
7. Bizonyítsd be b< а és bármely természetes c az egyenlőség (a - b) c \u003d ac - bc.
Utasítás. A bizonyíték a 4. Axiómán alapul.
8. Határozza meg a kifejezés értékét írásos számítások elvégzése nélkül! Indokolja a válaszokat.
a) 7865 × 6 - 7865 × 5: b) 957 × 11 - 957; c) 12 × 36 - 7 × 36.
Osztály
A természetes számok elméletének axiomatikus felépítésében az osztást általában a szorzás inverz műveleteként határozzák meg.
Meghatározás. Az a és b természetes számok osztása olyan művelet, amely teljesíti a következő feltételt: a: b = c akkor és csak akkor, ha nak nek amikor b× c = a.
Szám a:b hívott magán számok aés b, szám a osztható, szám b- osztó.
Mint ismeretes, a természetes számok halmazán nem mindig létezik osztás, és nincs olyan kényelmes kritérium a hányados létezésére, mint a különbségre. Csak van szükséges feltétel magánélet.
23. tétel. Hogy létezzen két természetes szám hányadosa aés b, ez szükséges b< а.
Bizonyíték. Legyen a természetes számok hányadosa aés b létezik, azaz. van olyan c természetes szám bc = a. Mivel bármely 1 természetes számra az egyenlőtlenség 1 £ Val vel, majd mindkét részét megszorozzuk egy természetes számmal b, kapunk b£ időszámításunk előtt. De bc \u003d a, Következésképpen, b£ a.
24. tétel. Ha a természetes számok hányadosa aés b létezik, akkor egyedi.
Ennek a tételnek a bizonyítása hasonló a természetes számok különbségének egyediségére vonatkozó tétel bizonyításához.
A parciális természetes számok definíciója és létezésének feltételei alapján megalapozhatóak az összeg (különbség, szorzat) számmal való osztásának jól ismert szabályai.
25. tétel. Ha számok aés b osztva a számmal Val vel, majd az összegüket a + b osztható c-vel, és az összeg elosztásával kapott hányados a+ b számonként Val vel, egyenlő az osztással kapott hányadosok összegével a a Val velés b a Val vel, azaz (a + b):c \u003d a: c + b:Val vel.
Bizonyíték. A szám óta a osztva Val vel, akkor van olyan x = természetes szám a; azzal a = cx. Hasonlóképpen van természetes szám y = b:Val vel, mit
b= su. De aztán a + b = cx+ su = - c(x + y). Ez azt jelenti a + b osztható c-vel, és az összeg elosztásával kapott hányados a+ b a c számhoz egyenlő x + y, azok. ax + b: c.
A bizonyított tétel az összeg számmal való osztására vonatkozó szabályként megfogalmazható: ahhoz, hogy az összeget eloszthassuk egy számmal, elegendő minden tagot elosztani ezzel a számmal, és összeadni a kapott eredményeket.
26. tétel. Ha természetes számok aés b osztva a számmal Val velés a > b akkor a különbség a - b osztható c-vel, és a különbség c számmal való osztásával kapott hányados egyenlő az osztással kapott hányadosok különbségével a a Val velés b c-re, azaz (a - b):c \u003d a:c - b:c.
Ennek a tételnek a bizonyítása az előző tétel bizonyításához hasonlóan történik.
Ez a tétel a különbség számmal való osztására vonatkozó szabályként megfogalmazható: számára Ahhoz, hogy a különbséget eloszthassuk egy számmal, elegendő a minuendet és a subtrahend-et elosztani ezzel a számmal, és kivonni a másodikat az első hányadosból.
27. tétel. Ha természetes szám a osztható egy c természetes számmal, akkor bármely természetes számra b munka ab o.-ra van osztva. Ebben az esetben a szorzat elosztásával kapott hányados ab a számra , egyenlő az osztással kapott hányados szorzatával a a Val vel,és számok b: (a × b):c - (a:c) × b.
Bizonyíték. Mert a osztva Val vel, akkor van olyan x természetes szám a:c= x, honnan a = cx. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozva ezzel b, kapunk ab = (cx)b. Mivel a szorzás asszociatív, akkor (cx) b = c(x b). Innen (a b): c \u003d x b \u003d (a: c) b. A tétel egy szorzat számmal való osztására vonatkozó szabályként megfogalmazható: ahhoz, hogy egy szorzatot eloszthassunk egy számmal, elegendő az egyik tényezőt elosztani ezzel a számmal, és az eredményt megszorozni a második tényezővel.
Az elemi matematika oktatásban az osztás definíciója, mint a szorzás inverzének művelete, általában nem általános formában adható meg, hanem folyamatosan alkalmazzák, az osztással való ismerkedés első óráitól kezdve. A tanulóknak tisztában kell lenniük azzal, hogy az osztás a szorzással kapcsolatos, és ezt az összefüggést kell használni a számításokban. Amikor például 48-at 16-tal osztanak, a tanulók így érvelnek: „A 48-at 16-tal osztva azt jelenti, hogy találunk egy számot, amelyet 16-tal megszorozva 48 lesz; ez a szám 3 lesz, mivel 16 × 3 = 48. Ezért 48: 16 = 3.
Feladatok
1. Bizonyítsa be, hogy:
a) ha a természetes számok hányadosa a és b létezik, akkor egyedi;
b) ha számok a és b részre vannak osztva Val velés a > b akkor (a - b): c \u003d a: c - b: c.
2. Lehetséges-e azt állítani, hogy minden adott egyenlőség igaz:
a) 48:(2×4) = 48:2:4; b) 56:(2×7) = 56:7:2;
c) 850:170 = 850:10:17.
Melyik szabály általánosítja ezeket az eseteket? Fogalmazd meg és bizonyítsd be.
3. Az osztás milyen tulajdonságainak elméleti alapja
iskolásoknak felajánlott alábbi feladatok teljesítése Általános Iskola:
meg lehet-e mondani osztás végrehajtása nélkül, hogy mely kifejezések lesznek azonos értékűek:
a) (40+8): 2; c) 48:3; e) (20+28): 2;
b) (30 + 16):3; d)(21+27):3; f) 48:2;
Igazak-e az egyenlőségek:
a) 48:6:2 = 48:(6:2); b) 96:4:2 = 96:(4-2);
c) (40-28): 4 = 10-7?
4. Ismertesse a kifejezés értékének kiszámításának lehetséges módjait!
típus:
a) (a+ időszámításunk előtt; b) a:b: Val vel; ban ben) ( a × b): Val vel .
Mutassa be konkrét példákkal a javasolt módszereket!
5. Keresse meg a kifejezés értékeit racionális módon; az övék
igazolja a tetteit:
a) (7 × 63):7; c) (15 × 18):(5× 6);
b) (3 × 4× 5): 15; d) (12 × 21): 14.
6. Indokolja meg a kétjegyű számmal való osztás alábbi módszereit:
a) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 = 50 + 3 = 53;
b) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 = 49;
c) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:
d) (560 × 32): 16 = 560 (32:16) = 560 × 2 = 1120.
7. Anélkül, hogy sarokkal osztana, keresse meg a legracionálisabbat
magánút; indokolja a választott módszert:
a) 495:15; c) 455:7; e) 275:55;
6) 425:85; d) 225:9; e) 455:65.
34. előadás nem negatív számok
1. A nem negatív egész számok halmaza. A nem negatív egész számok halmazának tulajdonságai.
2. A természetes számsor szegmensének fogalma és a véges halmaz elemeinek megszámlálása. Soros és mennyiségi természetes számok.
Nak nek államvizsga szakterület szerint
1. Lineáris (vektor) tér egy mező felett. Példák. Alterek, a legegyszerűbb tulajdonságok. Lineáris függőségés vektorfüggetlenség.
2. Alap és méret vektor tér. Vektorrendszer koordinátamátrixa. Átmenet egyik alapról a másikra. Vektorterek izomorfizmusa.
3. A mező algebrai zártsága komplex számok.
4. Egész számok gyűrűje. Az egész számok sorrendje. Tételek a „legnagyobb” és „legkisebb” egész számról.
5. Csoport, példák csoportokra. A csoportok legegyszerűbb tulajdonságai. Alcsoportok. Csoportok homomorfizmusa és izomorfizmusa.
6. Az egész számok oszthatóságának alapvető tulajdonságai. Egyszerű számok. Végtelen készlet prímszámok. Kanonikus bővítés összetett számés annak egyedisége.
7. A Kronecker-Capelli tétel (a rendszer kompatibilitásának kritériuma lineáris egyenletek).
8. Az összehasonlítások alapvető tulajdonságai. Komplett és csökkentett maradékanyagok modulo. Modulo maradék osztályú gyűrű. Euler és Fermat tételei.
9. Az összehasonlítások elméletének alkalmazása az oszthatósági kritériumok levezetésére. Tört tizedesjegyre konvertálása és periódusának hosszának meghatározása.
10. Polinom képzeletbeli gyökeinek konjugálása valós együtthatókkal. Irreducible over the field valós számok polinomok.
11. Lineáris összehasonlítások egy változóval (feloldhatósági kritérium, megoldási módszerek).
12. Egyenértékű lineáris egyenletrendszerek. Az ismeretlenek egymást követő eliminálásának módszere.
13. Gyűrű. gyűrűs példák. A gyűrűk legegyszerűbb tulajdonságai. Subring. Gyűrűk homomorfizmusai és izomorfizmusai. Terület. Helyi példák. A legegyszerűbb tulajdonságok. A racionális számok mezőjének minimálissága.
14. Természetes számok (a természetes számok axiomatikus elméletének alapjai). Tételek a „legnagyobb” és „legkisebb” természetes számról.
15. Polinomok mező felett. Osztási tétel maradékkal. Két polinom legnagyobb közös osztója, tulajdonságai és keresési módszerei.
16. Bináris relációk. Egyenértékűségi reláció. Egyenértékűségi osztályok, faktorhalmaz.
17. Matematikai indukció természetes és egész számokhoz.
18. Relatív prímszámok tulajdonságai. Az egész számok legkisebb közös többszöröse, tulajdonságai és keresési módszerei.
19. Komplex számok mezeje, számmezők. Geometriai ábrázolás és trigonometrikus formaösszetett szám.
20. Osztási tétel maradékkal egész számokra. Az egész számok legnagyobb közös osztója, tulajdonságai és keresési módszerei.
21. A vektortér lineáris operátorai. Kernel és egy lineáris operátor képe. Vektortér lineáris operátorainak algebrája. Sajátértékekés sajátvektorok lineáris operátor.
22. A sík affin transzformációi, tulajdonságaik és hozzárendelési módszereik. Csoport affin transzformációk sík és alcsoportjai.
23. Sokszögek. A sokszög területe. A létezés és egyediség tétele.
24. Egyenértékű és egyenlő méretű sokszögek.
25. Lobacsevszkij geometriája. Lobacsevszkij geometriai axiómarendszerének konzisztenciája.
26. A párhuzamosság fogalma Lobacsevszkij geometriájában. Kölcsönös megállapodás egyenes vonalak a Lobacsevszkij síkon.
27. Mozgásképletek. A síkmozgások osztályozása. Alkalmazások problémamegoldásra.
28. Két sík, egy egyenes és egy sík, két egyenes térbeli kölcsönös elrendezése (elemző előadásban).
29. Projektív transzformációk. A létezés és egyediség tétele. Képletek projektív transzformációkhoz.
30. Skalár, vektor és vegyes művek vektorok, alkalmazásuk a problémamegoldásban.
31. A háromdimenziós euklideszi tér Weyl-féle axiómáinak rendszere és értelmes konzisztenciája.
32. Síkmozgások és tulajdonságaik. Síkmozgások csoportja. A mozgás létezésének és egyediségének tétele.
33. Projektív sík és modelljei. Projektív transzformációk, tulajdonságaik. Projektív transzformációk csoportja.
34. Síkhasonlósági transzformációk, tulajdonságaik. Síkhasonlósági transzformációs csoport és alcsoportjai.
35. Sima felületek. Az első négyzetes felületforma és alkalmazásai.
36. Párhuzamos tervezés és tulajdonságai. Lapos és térbeli alakok képe párhuzamos vetítésben.
37. Sima vonalak. Egy térbeli görbe görbülete és számítása.
38. Ellipszis, hiperbola és parabola mint kúpszelet. Kanonikus egyenletek.
39. Az ellipszis, a hiperbola és a parabola címtártulajdonsága. Poláris egyenletek.
40. Egy egyenes négy pontjának kettős aránya, tulajdonságai és számítása. Pontpárok harmonikus szétválasztása. Teljes négyszög és tulajdonságai. Alkalmazás építési problémák megoldására.
41. Pascal és Brianchon tételei. Pólusok és sarkok.
Mintakérdések ehhez matematikai elemzés