Tétel.

Végtelen sok prímszám van.

Bizonyíték.

Tegyük fel, hogy nem. Vagyis tegyük fel, hogy csak n prím van, és ezek p 1 , p 2 , …, p n . Mutassuk meg, hogy mindig találhatunk a feltüntetettektől eltérő prímszámot.

Tekintsünk egy p számot, amely egyenlő p 1 ·p 2 ·…·p n +1 . Nyilvánvaló, hogy ez a szám különbözik a p 1 , p 2 , …, p n prímektől. Ha a p szám prím, akkor a tétel bizonyítást nyer. Ha ez a szám összetett, akkor az előző tétel értelmében ennek a számnak van egy prímosztója (jelöljük p n+1 ). Mutassuk meg, hogy ez az osztó nem esik egybe a p 1 , p 2 , …, p n számok egyikével sem.

Ha ez nem így lenne, akkor az oszthatóság tulajdonságai alapján a p 1 ·p 2 ·…·p n szorzat osztható lenne p n+1 -gyel. De a p szám is osztható p n+1-gyel, egyenlő a p 1 ·p 2 ·…·p n +1 összeggel. Ez azt jelenti, hogy ennek az összegnek a második tagjának, amely egyenlő eggyel, oszthatónak kell lennie p n+1-gyel, és ez lehetetlen.

Így bebizonyosodott, hogy mindig lehet új prímszámot találni, amely nem szerepel az előre megadott prímszámok között. Ezért végtelenül sok prímszám van.

Tehát abból a tényből adódóan, hogy végtelenül sok prímszám van, a prímszámtáblázatok összeállításakor mindig felülről korlátozzák magukat valamilyen számra, általában 100, 1000, 10 000 stb.

Eratoszthenész szita

Most megvitatjuk a prímszámtáblázatok összeállításának módjait. Tegyük fel, hogy egy táblázatot kell készítenünk prímszámokból 100-ig.

A probléma megoldásának legkézenfekvőbb módszere, ha 2-vel kezdődő és 100-zal végződő pozitív egész számokat szekvenciálisan ellenőrizzük, hogy van-e olyan pozitív osztó, amely nagyobb 1-nél és kisebb, mint az ellenőrzött szám (az oszthatóság tulajdonságaiból tudnia kell, hogy az osztó abszolút értéke nem haladja meg az osztalék nullától eltérő abszolút értékét). Ha ilyen osztó nem található, akkor az ellenőrzött szám prím, és bekerül a prímszámok táblázatába. Ha ilyen osztót találunk, akkor az ellenőrzött szám összetett, NEM kerül be a prímszámok táblázatába. Ezt követően történik az átmenet a következő számra, amelyhez hasonlóan ellenőrzik az osztó jelenlétét.

Ismertesse az első néhány lépést.

A 2-es számmal kezdjük. A 2-es számnak nincs más pozitív osztója, mint 1 és 2. Ezért prím, ezért beírjuk a prímszámok táblázatába. Itt azt kell mondani, hogy a 2 a legkisebb prímszám. Térjünk át a 3. számra. 1-től és 3-tól eltérő lehetséges pozitív osztója 2. De a 3 nem osztható 2-vel, ezért a 3 prímszám, és azt is be kell írni a prímszámok táblázatába. Térjünk át a 4-es számra. Pozitív osztói az 1-től és a 4-től eltérőek lehetnek 2 és 3 , nézzük meg őket. A 4 osztható 2-vel, ezért a 4 összetett szám, és nem kell beírni a prímszámok táblázatába. Vegye figyelembe, hogy a 4 a legkisebb összetett szám. Térjünk át az 5-ös számra. Ellenőrizzük, hogy a 2 , 3 , 4 számok közül legalább az egyik osztója-e. Mivel az 5 nem osztható sem 2-vel, sem 3-mal, sem 4-gyel, ezért prímszám, és be kell írni a prímszámok táblázatába. Ezután következik az átmenet a 6-os, 7-es számokra és így tovább 100-ig.

A prímszámtáblázat összeállításának ez a megközelítése messze nem ideális. Így vagy úgy, joga van a létezéshez. Vegye figyelembe, hogy az egész számok táblázatának ezzel a módszerével oszthatósági kritériumokat használhat, ami kissé felgyorsítja az osztók keresésének folyamatát.

Van egy kényelmesebb módja a prímszámok táblájának összeállításának. A névben előforduló „szita” szó nem véletlen, hiszen ennek a módszernek a hatásai mintegy segítik az Eratoszthenész egész számok, nagy egységek szitájának „átszitálását”, hogy elkülönüljenek az egyszerűek az összetettektől.

Mutassuk meg Eratoszthenész szitáját működés közben, amikor prímszámokat tartalmazó táblázatot állítunk össze 50-ig.

Először a 2, 3, 4, ..., 50 számokat írjuk fel sorrendben.

A 2-vel írt első szám prím. Most a 2-es számtól sorban haladunk jobbra két számmal, és húzzuk ki ezeket a számokat, amíg el nem jutunk az összeállított számtáblázat végére. Tehát minden szám, amely kettő többszöröse, át lesz húzva.

A 2 utáni első át nem húzott szám a 3. Ez a szám prímszám. Most a 3-as számtól sorban haladunk jobbra három számmal (figyelembe véve a már áthúzott számokat), és áthúzzuk őket. Tehát minden szám, amely három többszöröse, át lesz húzva.

A 3 utáni első át nem húzott szám az 5 . Ez a szám prímszám. Most az 5-ös számtól sorban haladunk jobbra 5 számmal (a korábban áthúzott számokat is figyelembe vesszük), és áthúzzuk őket. Tehát minden szám, amely öt többszöröse, át lesz húzva.

Ezután kihúzzuk azokat a számokat, amelyek 7 többszörösei, majd 11 többszörösei, és így tovább. A folyamat akkor ér véget, ha már nem marad áthúzható szám. Az alábbiakban egy teljes táblázat látható az Eratosthenes szitával nyert 50-ig terjedő prímekről. Minden át nem húzott szám prímszám, és minden áthúzott szám összetett.

Fogalmazzuk meg és bizonyítsuk be azt a tételt, amely felgyorsítja a prímszámtáblázat összeállítását Eratoszthenész szitája segítségével.

Tétel.

Az a összetett szám legkevésbé pozitív nem egy osztója nem haladja meg a -t, ahol a -ból származik.

Bizonyíték.

Jelölje b az a összetett szám egységtől eltérő legkisebb osztóját (a b szám prím, ami az előző bekezdés legelején bizonyított tételből következik). Ekkor van egy q egész szám, amelyre a=bq (itt q pozitív egész szám, ami az egész számok szorzásának szabályaiból következik), és (ha b>q, megsérül az a feltétel, hogy b a legkisebb osztója, mivel q is osztója a-nak az a=q b egyenlőség miatt). Az egyenlőtlenség mindkét oldalát megszorozva egy pozitív és egynél nagyobb b egész számmal (ezt megtehetjük), megkapjuk a , honnan és .

Mit ad nekünk a bizonyított tétel Eratoszthenész szitájával kapcsolatban?

Először is, a b prímszám többszörösei összetett számok törlését a következővel egyenlő számmal kell kezdeni (ez az egyenlőtlenségből következik). Például a kettő többszöröseinek áthúzását a 4-gyel, a három többszörösét a 9-es számmal, az öt többszörösét a 25-ös számmal kell áthúzni, és így tovább.

Másodszor, a prímszámok táblázatának összeállítása n számig Eratoszthenész szitája segítségével akkor tekinthető befejezettnek, ha minden olyan összetett számot áthúzunk, amelyek legfeljebb prímszámok többszörösei. Példánkban n=50 (mert prímeket 50 -ig táblázatolunk) és, tehát Eratoszthenész szitájának ki kell gyomlálnia a 2 , 3 , 5 és 7 prímek összes olyan összetett többszörösét, amely nem haladja meg az 50 számtani négyzetgyökét. . Ez azt jelenti, hogy többé nem kell keresnünk és kihúznunk azokat a számokat, amelyek a 11 , 13 , 17 , 19 , 23 és így tovább 47-ig többszörösei, mivel ezek már kisebb 2 prímszámok többszöröseiként ki lesznek húzva, 3 , 5 és 7 .

Ez a szám prím vagy összetett?

Egyes feladatokhoz ki kell deríteni, hogy egy adott szám prím-e vagy összetett-e. Általános esetben ez a feladat korántsem egyszerű, különösen olyan számoknál, amelyek rekordja jelentős számú karakterből áll. A legtöbb esetben valamilyen konkrét megoldást kell keresni. Igyekszünk azonban irányt adni a gondolatmenetnek az egyszerű esetekre.

Kétségtelenül meg lehet próbálni oszthatósági kritériumokkal bizonyítani, hogy egy adott szám összetett. Ha például valamely oszthatósági feltétel azt mutatja, hogy az adott szám osztható valamilyen egynél nagyobb pozitív egész számmal, akkor az eredeti szám összetett.

Példa.

Bizonyítsuk be, hogy a 898 989 898 989 898 989 szám összetett.

Megoldás.

Ennek a számnak a számjegyeinek összege 9 8+9 9=9 17 . Mivel a 9 17-tel egyenlő szám osztható 9-cel, ezért a 9-cel való oszthatóság ismérve alapján az eredeti szám osztható 9-cel is. Ezért összetett.

Ennek a megközelítésnek jelentős hátránya, hogy az oszthatóság kritériumai nem teszik lehetővé egy szám egyszerűségének bizonyítását. Ezért, ha egy számról ellenőrzi, hogy prím-e vagy összetett-e, másképp kell eljárnia.

A leglogikusabb megközelítés egy adott szám összes lehetséges osztójának felsorolása. Ha a lehetséges osztók egyike sem igazi osztója egy adott számnak, akkor ez a szám prím, egyébként pedig összetett. Az előző bekezdésben bizonyított tételekből az következik, hogy egy adott a szám osztóit a -t meg nem haladó prímszámok között kell keresni. Így az adott a szám egymás után osztható prímszámokkal (amit kényelmesen ki lehet venni a prímszámtáblázatból), megpróbálva megtalálni az a szám osztóját. Ha találtunk osztót, akkor az a szám összetett. Ha a -t meg nem haladó prímszámok között nincs osztója az a számnak, akkor az a szám prím.

Példa.

Szám 11 723 egyszerű vagy összetett?

Megoldás.

Nézzük meg, milyen prímszámra lehetnek a 11 723 szám osztói. Ehhez úgy becsüljük.

Ez teljesen nyilvánvaló , 200 óta 2 \u003d 40 000 és 11 723<40 000 (при необходимости смотрите статью szám összehasonlítás). Így a 11 723 lehetséges prímosztói kisebbek, mint 200. Ez már nagyban leegyszerűsíti a feladatunkat. Ha ezt nem tudnánk, akkor az összes prímszámot nem 200-ig, hanem 11 723-ig kellene rendeznünk.

Ha szükséges, pontosabban is megbecsülheti. Mivel 108 2 \u003d 11 664, és 109 2 \u003d 11 881, majd 108 2<11 723<109 2 , следовательно, . Így a 109-nél kisebb prímek bármelyike ​​potenciálisan az adott 11 723 szám prímosztója.

Most egymás után felosztjuk a 11 723 számot prímszámokra 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 5 , 6 , 6 , 6 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . Ha a 11 723 számot teljesen elosztjuk valamelyik írott prímszámmal, akkor az összetett lesz. Ha nem osztható egyik felírt prímszámmal sem, akkor az eredeti szám prímszám.

Nem fogjuk leírni ezt az egész monoton és monoton osztódási folyamatot. Tegyük fel, hogy 11 723

Jelenleg a számok faktorálásának polinomiális algoritmusai nem ismertek, bár nem bizonyított, hogy ilyen algoritmusok nem léteznek. Az RSA kriptorendszer és néhány másik a faktorizációs probléma feltételezett nagy számítási bonyolultságán alapul. A polinomiális komplexitású faktorizálás elméletileg lehetséges kvantumszámítógépen a Shor-algoritmus segítségével.

Algoritmusok prímszámok keresésére és felismerésére

A prímek kezdeti listájának megtalálásának egyszerű módjai bizonyos értékig Eratoszthenész szitáját, Szundaram szitáját és Atkin szitáját adják.

A gyakorlatban azonban a prímszámok listája helyett gyakran ellenőrizni kell, hogy egy adott szám prím-e. Azokat az algoritmusokat, amelyek ezt a problémát megoldják, primalitásteszteknek nevezzük. Sok polinomiális primalitásteszt létezik, de ezek többsége valószínűségi (például Miller-Rabin teszt), és a kriptográfiai célokra használják. 2002-ben bebizonyosodott, hogy a primalitás vizsgálatának problémája általában polinomiálisan megoldható, de a javasolt determinisztikus Agrawal-Kayal-Saksena teszt meglehetősen nagy számítási bonyolultságú, ami megnehezíti a gyakorlati alkalmazását.

Egyes számosztályokhoz speciális hatékony primalitástesztek léteznek (lásd alább).

Prímszámok végtelensége

Végtelen sok prímszám van. Ennek a ténynek a legrégebbi ismert bizonyítékát Eukleidész adta az Elemek című művében (IX. könyv, 20. állítás). Bizonyítása röviden a következőképpen reprodukálható:

A matematikusok más bizonyítékokat is kínáltak. Az egyik (Euler által megadott) azt mutatja, hogy az első reciprokainak összege n prímszámok, korlátlanul növekszik a növekedéssel n.

A Mersenne-számok kedvezőbbek a többihez képest, mivel rendelkeznek egy hatékony primalitásteszttel: a Luc-Lehmer-teszttel. Neki köszönhetően a Mersenne-prímszámok régóta tartják a rekordot, mint a legnagyobb ismert prímszámok.

A több mint 100 000 000 és 1 000 000 000 tizedesjegyből álló prímszámok megtalálásáért az EFF 150 000, illetve 250 000 dollár pénzdíjat ítélt oda. Az EHA korábban is díjazott 1 000 000 és 10 000 000 tizedesjegyű prímszámok megtalálásáért.

Különleges prímszámok

Számos olyan szám létezik, amelyek elsődlegessége speciális algoritmusok segítségével hatékonyan megállapítható.

A kijelölt típusú prímek kereséséhez jelenleg a GIMPS, PrimeGrid elosztott számítási projekteket használják. [e-mail védett], Seventeen or Bust , Riesel Sieve , [e-mail védett].

Néhány ingatlan

• Ha p prím és p osztja ab -t, akkor p osztja a-t vagy b-t. Ennek a ténynek a bizonyítékát Euklidész adta, és Euklidész lemmájaként ismerték. Az aritmetika alaptételének bizonyítására használják.
• levonások gyűrűje $\backslash mathbb(Z)\_n$ akkor és csak akkor mező $n$- egyszerű.
• Minden mező karakterisztikája nulla vagy prímszám.
• Ha $p$- egyszerű és $a$- akkor természetes $a^p-a$ osztva $p$(Fermat kis tétele).
• Ha $G$ véges csoport, amelynek rendje $|G|$ osztva $p$, azután $G$ tartalmazza a sorrend elemet $p$(Cauchy tétele).
• Ha $G$ véges csoport, és $p^n$- maximális fokozat $p$, ami oszt $|G|$, azután $G$ van egy alcsoportja a sorrendnek $p^n$, az úgynevezett Sylow alcsoport , sőt, a Sylow alcsoportok száma egyenlő $pk+1$ valamilyen egész számra $k$(Sylow-tételek).
• Természetes $p\; >\; 1$ akkor és csak akkor egyszerű $(p-1)!\; +1$ osztva $p$(Wilson-tétel).
• Ha $n\; >\; 1$ természetes, akkor van egy egyszerű $p$, oly módon, hogy (Bertrand posztulátuma).
• A prímszámokkal fordított számok sorozata divergál. Sőt, at $x\backslash to\backslash infty$
• Az űrlap bármely aritmetikai progressziója $a,\; a\; +\; q,\; a\; +\; 2\; q,\; a\; +\; 3\; q,\; ...$, ahol $a,\; q\; >\; 1$- másodprím egész szám, végtelen sok prímszámot tartalmaz (Dirichlet tétel prímszámokról aritmetikai progresszióban).
• Bármely 3-nál nagyobb prímszám ábrázolható $6k+1$ vagy $6k-1$, ahol $k$ egy természetes szám. Ezért, ha a különbség több egymást követő prímszám között (k>1 esetén) azonos, akkor az szükségszerűen 6 többszöröse - például: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219.
• Ha $p\; >\; 3$- Akkor egyszerű $p^2-1$ osztható 24-gyel (minden 3-mal nem osztható páratlan számra is érvényes) .
• Green-Tao tétel. Vannak tetszőlegesen hosszú, prímszámokból álló véges aritmetikai sorozatok.
• $n^k-1$, ahol n>2, k>1. Más szóval, a prímszámot követő szám nem lehet négyzet vagy nagyobb hatvány 2-nél nagyobb bázissal. Ebből az is következik, hogy ha egy prímszám alakja $2^k-1$, azután k- prímszám (lásd Mersenne-számok).
• Egyetlen prímszám sem lehet ilyen alakú $n^(2k+1)+1$, ahol n>1, k>0. Más szavakkal, a prímszámot megelőző szám nem lehet kocka vagy nagyobb páratlan hatvány 1-nél nagyobb bázissal.

Képletek prímszámok kereséséhez

Különböző időpontokban történtek kísérletek olyan kifejezés megadására, amelynek értékei, mikor különböző jelentések alkotó változói prímszámok lennének. L. Euler rámutatott a polinomra $\backslash textstyle\; n^2-n+41,$ prímértékeket vesz fel n = 0, 1, 2, …, 40. Azonban mikor n=41 a polinom értéke összetett szám. Bebizonyítható, hogy egyetlen n változóban nincs olyan polinom, amely minden n egész számra prímértéket vesz fel. P. Fermat azt javasolta, hogy az összes 2 alakú szám 2 k + 1 egyszerű; Euler azonban megcáfolta ezt a sejtést azzal, hogy bebizonyította, hogy a 2 2 5 + 1 = 4 294 967 297 - kompozit.

Ennek ellenére vannak polinomok, amelyek pozitív értékeinek halmaza a változók nem negatív értékei esetén egybeesik a prímek halmazával. Az egyik példa a polinom

• $\backslash begin(igazítás)$

&(k+2) (1 - ^2 - [(gk + 2g + k + 1)(h + j) + h - z]^2 - ^2 - \\ &^2 - ^2 - [(a ^2 - 1)y^2 + 1 - x^2]^2 - \\ &^2 - [((a + u^2(u^2 - a))^2 - 1)(n + 4dy) ^2 + 1 - (x + cu)^2]^2 - ^2 - \\ &[(a^2 - 1)l^2 + 1 - m^2]^2 - ^2 - ^2 - \ \ &^2 - ^2) \end(igazítás) 26 változót tartalmaz, és fokszáma 25. Az ilyen típusú ismert polinomok legkisebb foka 5, 42 változóval; a legkisebb számú változó 10, fokszáma körülbelül 1,6·10 45 . Ez az eredmény bármely felsorolható halmaz diofantini tulajdonságának speciális esete, amelyet Jurij Matijasevics bizonyított.

Nyitott kérdések

Még mindig sok nyitott kérdés van a prímszámokkal kapcsolatban, amelyek közül a leghíresebbeket Edmund Landau sorolta fel az Ötödik Nemzetközi Matematikai Kongresszuson:

Nyitott probléma az is, hogy számos egész sorozatban végtelen számú prím létezik, beleértve a Mersenne-számokat, a Fibonacci-számokat, a Fermat-számokat és másokat.

Alkalmazások

A nyilvános kulcsú kriptográfiában nagy prímszámokat (10 300 nagyságrendű) használnak. A prímszámokat hash táblákban és pszeudo-véletlen számok generálására is használják (különösen a Mersenne Whirlwind PRNG-ben).

Változatok és általánosítások

• A gyűrűelméletben, az általános algebra egyik ágában a prímelem és a prímideál fogalma van definiálva.
• A csomóelméletben az egyszerű csomó fogalmát olyan nem triviális csomóként határozzák meg, amely nem ábrázolható nem triviális csomók összefüggő összegeként.

Lásd még

Írjon véleményt a "Prómszám" cikkről

Megjegyzések

A prímszámot jellemző kivonat

Natasha nyugodtabb volt, de nem vidámabb. Nemcsak az öröm minden külső körülményét kerülte: bálokat, korcsolyázást, koncerteket, színházat; de soha nem nevetett úgy, hogy a könnyei ne hallatszanak a nevetés miatt. Nem tudott énekelni. Amint nevetni kezdett, vagy egyedül próbált énekelni önmagával, könnyei fojtogatták: a lelkiismeret-furdalás könnyei, a visszavonhatatlan, tiszta idő emlékeinek könnyei; könnyek a bosszúságtól, hogy így, semmiért, tönkretette fiatal életét, ami olyan boldog lehetett. A nevetés és az éneklés különösen istenkáromlásnak tűnt gyásza ellen. Soha nem gondolt a kacérkodásra; nem is kellett tartózkodnia. Azt mondta és érezte, hogy abban az időben minden férfi pontosan ugyanolyan volt számára, mint a bolond Nasztaszja Ivanovna. A belső őr határozottan megtiltotta neki minden örömöt. És nem volt meg minden korábbi életérdeke abból a lányos, gondtalan, reményteli életformából. Gyakrabban és legfájdalmasabban emlékezett vissza az őszi hónapokra, a vadászatra, a nagybátyjára és a Nicolas-szal töltött karácsonyra Otradnoében. Mit adna, ha csak egy napot is visszahozna abból az időből! De ennek örökre vége volt. Akkor még nem tévesztette meg az előérzet, hogy a szabadság és minden örömre nyitott állapot soha többé nem tér vissza. De élnem kellett.
Megnyugtató volt a gondolata, hogy nem jobb, mint korábban gondolta, hanem rosszabb és sokkal rosszabb mindenkinél, mindenkinél, aki csak létezik a világon. De ez nem volt elég. Tudta ezt, és feltette magának a kérdést: „Mi lesz ezután? És akkor nem volt semmi. Nem volt öröm az életben, és az élet elmúlt. Natasha láthatóan csak arra törekedett, hogy ne legyen teher senkinek, és ne zavarjon senkit, de magának nem volt szüksége semmire. Mindenkitől elköltözött otthonról, és csak a bátyjával, Petyával volt könnyű dolga. Jobban szeretett vele lenni, mint a többiekkel; és néha, amikor szemtől szembe volt vele, nevetett. Alig hagyta el a házat, és azok közül, akik meglátogatták őket, csak Pierre-nek örült. Lehetetlen volt gyengédebben, óvatosabban és ugyanakkor komolyabban bánni vele, mint Bezukhov gróf bánt vele. Natasha Osss tudatosan érezte a bánásmód ezen gyengédségét, ezért nagy örömét lelt társaságában. De még csak nem is volt hálás neki a gyengédségéért; Pierre részéről semmi jó nem tűnt erőfeszítésnek. Annyira természetesnek tűnt, hogy Pierre mindenkivel kedves, hogy semmi érdeme a kedvességének. Néha Natasha észrevette Pierre zavarát és ügyetlenségét a jelenlétében, különösen akkor, ha valami kellemeset akart tenni érte, vagy amikor attól tartott, hogy a beszélgetésben valami fájdalmas emlékekhez juttatja Natasát. Ezt észrevette, és a férfi általános kedvességének és félénkségének tulajdonította, aminek – szerinte – ugyanúgy, mint nála, mindenkinek meg kellett volna lennie. Azok a véletlenszerű szavak után, hogy ha szabad lenne, kezet és szerelmet kérne térdre, amelyeket a lány iránta oly nagy izgalomban mondott, Pierre soha nem mondott semmit Natasha iránti érzéseiről; és nyilvánvaló volt számára, hogy ezeket a szavakat, amelyek akkor annyira megvigasztalták, kimondták, ahogy mindenféle értelmetlen szót mondanak a síró gyermek megvigasztalására. Nem azért, mert Pierre házas volt, hanem mert Natasha a legmagasabb fokon érezte közte és közte az erkölcsi korlátok erejét – aminek hiányát Kyraginnal együtt érezte –, eszébe sem jutott, hogy kiléphetne Pierre-rel való kapcsolatából. nem csak a szerelem, vagy még kevésbé a részéről, hanem az a fajta gyöngéd, önvallomásos, költői barátság férfi és nő között, amelyre több példát is tudott.
A Petrovszkij-posta végén Agrafena Ivanovna Belova, Rosztovok Otradnyenszkaja szomszédja Moszkvába jött, hogy meghajoljon a moszkvai szentek előtt. Meghívta Natasát, hogy feküdjön le, és Natasha örömmel ragadta meg ezt az ötletet. Annak ellenére, hogy az orvos megtiltotta a kora reggeli kijárást, Natasa ragaszkodott a böjthöz, és nem a Rosztovék házában megszokott böjthöz, vagyis három istentisztelet meghallgatásához otthon, hanem azért, hogy Agrafena Ivanovna módon böjtöljön, egész héten anélkül, hogy egyetlen vesperás, szentmise vagy matin hiányozna.
A grófnőnek tetszett Natasa buzgósága; lelkében a sikertelen orvosi kezelés után abban reménykedett, hogy az ima több gyógyszerrel segíti, s bár félve és az orvos elől bujkálva, beleegyezett Natasa vágyába, és Belovára bízta. Agrafena Ivanovna hajnali háromkor jött, hogy felébressze Natasát, és többnyire már nem alszik. Natasha félt túlaludni a matin idejét. Natasha sietősen megmosakodva, alázatosan felöltözve legrosszabb ruhájába és régi mantillájába, a frissességtől reszketve kiment a kihalt utcákra, amelyeket átlátszóan megvilágított a hajnal. Agrafena Ivanovna tanácsára Natasa nem a plébániájába ment templomba, hanem abba a templomba, amelyben a jámbor Belova szerint nagyon szigorú pap és magas életvitel. Mindig kevesen voltak a gyülekezetben; Natasa és Belova szokásos helyükön álltak a bal oldali kórus hátuljába ágyazva az Istenanya ikonja előtt, és Natasát a nagyok, érthetetlenek előtti alázatosság új érzése fogta el, amikor ezen a szokatlan. reggel az Istenszülő fekete arcát, előtte égő gyertyákkal megvilágított fekete arcát és az ablakból kieső hajnali fényt nézve hallgatta az istentisztelet hangjait, melyeket igyekezett követni. , megértve őket. Amikor megértette őket, személyes érzése annak árnyalataival csatlakozott imájához; amikor nem értette, még mindig édesebb volt arra gondolni, hogy a vágy, hogy mindent megértsen, büszkeség, hogy lehetetlen mindent megérteni, csak hinni kell és átadni magát Istennek, aki abban a pillanatban – érezte – uralkodott. a lelkét. Keresztet vetett, meghajolt, és amikor nem értette, csak az utálatosságától elborzadva kérte Istent, hogy bocsásson meg neki mindent, mindenért, és irgalmazzon. Az imák, amelyeknek leginkább szentelte magát, a bűnbánat imái voltak. A kora reggeli órákban hazatérve, amikor már csak kőművesek mentek dolgozni, portások söpörték az utcát, és még mindenki a házakban aludt, Natasa új érzést élt át a számára, hogy kijavíthatja bűneit, egy új, tiszta élet és boldogság lehetőségét.
Az egész hét alatt, amikor ezt az életet élte, ez az érzés napról napra nőtt. És a csatlakozás vagy a kommunikáció boldogsága, ahogy Agrafena Ivanovna mondta neki, aki örömmel játszott ezzel a szóval, olyan nagynak tűnt számára, hogy úgy tűnt, nem fogja megélni ezt az áldott vasárnapot.
Ám eljött a boldog nap, és amikor Natasa azon az emlékezetes vasárnapon, fehér muszlinruhában tért vissza a közösségből, sok hónap után először érezte magát nyugodtnak és tehermentesnek az előtte álló élettől.
Az aznap érkező orvos megvizsgálta Natasát, és elrendelte, hogy folytassák az utolsó porok szedését, amelyeket két hete írt fel.
– Feltétlenül folytatni kell – reggel és este – mondta, és nyilvánvalóan lelkiismeretesen elégedett a sikerével. „Csak légy óvatos. Nyugodj meg, grófnő - mondta tréfásan az orvos, és ügyesen felkapta a keze húsába az aranyat -, hamarosan újra énekelni fog, és pörgős lesz. Nagyon, nagyon az utolsó gyógymódja mellett. Nagyon felderült.
A grófnő a körmére nézett, kiköpött, és vidám arccal tért vissza a nappaliba.

Július elején egyre nyugtalanítóbb pletykák terjedtek el Moszkvában a háború menetéről: szó esett az uralkodó néphez intézett vonzásáról, arról, hogy maga az uralkodó érkezik a hadseregből Moszkvába. És mivel a kiáltvány és a fellebbezés július 11-e előtt nem érkezett meg, eltúlzott pletykák keringtek róluk és az oroszországi helyzetről. Azt mondták, hogy az uralkodó távozik, mert a hadsereg veszélyben van, azt mondták, hogy Szmolenszket feladták, Napóleonnak milliós katonája van, és Oroszországot csak a csoda mentheti meg.
Július 11-én, szombaton a kiáltványt megkapták, de még nem nyomtatták ki; és Pierre, aki a Rosztovéknál volt, megígérte, hogy másnap, vasárnap eljön vacsorázni, és hoz egy kiáltványt és egy fellebbezést, amelyet Rosztopcsin gróftól kap.
Ezen a vasárnapon a rosztoviak szokás szerint misére mentek a Razumovskij háztemplomba. Forró júliusi nap volt. Már tíz órakor, amikor a Rosztovok kiszálltak a hintóból a templom előtt, a forró levegőben, az árusok kiáltozásában, a tömeg fényes és könnyű nyári ruháiban, a fák poros leveleiben a körúton, a zene hangjaiban és a váláson átesett zászlóalj fehér nadrágjában, a járda mennydörgésében és a tűző nap ragyogó csillogásában ott volt az a nyári bágyadtság, elégedettség és a jelennel való elégedetlenség, amely különösen élesen érezhető egy tiszta forró napon a városban. A Razumovszkijok templomában ott volt Moszkva összes nemessége, Rosztovék minden ismerőse (idén, mintha vártak volna valamit, sok, általában a falvakban költöző gazdag család maradt a városban). Az anyja mellett a tömeget szétválasztó lakáj mögött elhaladva Natasha egy hangot hallott fiatal férfi, aki túl hangosan suttogva beszélt róla:
- Ez Rosztov, ugyanaz...
- Milyen vékony, de mégis jó!
Hallotta, vagy úgy tűnt neki, hogy Kuragin és Bolkonszkij nevét említették. Azonban mindig úgy tűnt neki. Mindig úgy tűnt neki, hogy mindenki ránézve csak arra gondol, ami vele történt. Lelkében szenvedve és haldokolva, mint mindig a tömegben, Natasha lila selyemruhájában, fekete csipkével járt úgy, ahogy a nők tudnak járni - minél nyugodtabban és fenségesebben, annál fájdalmasabban és szégyellőbben érzett lelkében. Tudta, és nem tévedett, hogy jó, de ez most nem tetszett neki, mint korábban. Éppen ellenkezőleg, ez kínozta őt leginkább mostanában, és különösen ezen a verőfényes, forró nyári napon a városban. „Még egy vasárnap, egy újabb hét – mondta magában, emlékezve arra, hogyan járt itt azon a vasárnapon –, és még mindig ugyanaz az élet élet nélkül, ugyanazok a körülmények, amelyek között régen olyan könnyű volt élni. Ő jó, fiatal, és tudom, hogy most jó vagyok, korábban rossz voltam, de most jó vagyok, tudom, gondolta, de a legjobb évek hiába telnek el, senki számára. Édesanyja mellett állt és kapcsolatokat cserélt közeli ismerőseivel. Natasha megszokásból nézte a női vécéket, elítélte a lakhatást [viselkedést] és azt az illetlen módját, hogy a közelben álló kis helyen keresztbe tegye a kezét, és ismét bosszúsan gondolta, hogy ítélkeznek felette, ítélkezett, és hirtelen, hallva az istentisztelet hangjait, elborzadt aljasságaitól, elborzadt attól, hogy egykori tisztaságát ismét elvesztette.
A jóképű, csendes öregúr azzal a szelíd ünnepélyességgel szolgált, amely oly fenségesen, megnyugtatóan hat az imádkozók lelkére. A királyi ajtók bezárultak, a fátyol lassan visszahúzódott; egy titokzatos halk hang mondott valamit onnan. Számára felfoghatatlan könnyek gyűltek Natasa mellkasába, és örömteli és gyötrelmes érzés izgatta.
„Taníts meg, mit csináljak, hogyan fejlesszem magam örökre, örökre, hogyan kezeljem az életemet…” – gondolta.
A diakónus kiment a szószékre, szélesre kiegyenesítette hüvelykujj, hosszú hajat a kötés alól, és keresztet téve a mellkasára, hangosan és ünnepélyesen olvasni kezdte az ima szavait:
„Könyörögjünk az Úrhoz békességért.”
„Békében, együtt, osztálykülönbség nélkül, ellenségeskedés nélkül, és a testvéri szeretet egyesítve fogunk imádkozni” – gondolta Natasa.
- A felülről jövő békéről és lelkünk üdvösségéről!
„Az angyalok és a felettünk élő testetlen lények lelkének világáról” – imádkozott Natasha.
Amikor a hadseregért imádkoztak, eszébe jutott testvére és Denisov. Amikor imádkoztak a tengerészekért és az utazókért, emlékezett Andrej hercegre, imádkozott érte, és azért imádkozott, hogy Isten bocsássa meg neki a rosszat, amit vele elkövetett. Amikor imádkoztak azokért, akik szeretnek minket, családjáért, édesapjáért, anyjáért, Sonyáért imádkozott, most először ismerte fel előttük minden bűnét, és érezte irántuk való szeretetének minden erejét. Amikor imádkoztunk azokért, akik gyűlölnek minket, ellenségeket és gyűlölőket talált ki magának, hogy imádkozzon értük. Ellenségként tartotta számon a hitelezőket és mindazokat, akik az apjával bántak, és valahányszor ellenségekre és gyűlölködőkre gondolt, eszébe jutott Anatole, aki annyi rosszat tett vele, és bár nem volt gyűlölködő, örömmel imádkozott érte. ellenségért. Csak ima közben érezte úgy, hogy képes tisztán és nyugodtan emlékezni Andrej hercegre és Anatolera, mint olyan emberekre, akik iránt érzelmeit megsemmisítette az Isten iránti félelme és tisztelete. Amikor a királyi családért és a szinódusért imádkoztak, különösen mélyen meghajolt és keresztet vetett, és azt mondta magában, hogy ha nem érti, nem kételkedhet, továbbra is szereti az uralkodó zsinatot, és imádkozik érte.
Miután befejezte a litániát, a diakónus keresztbe tette az oráriót a mellén, és így szólt:
"Áldozzuk magunkat és életünket Krisztus Istenünknek."
„Eláruljuk magunkat Istennek” – ismételte lelkében Natasa. Istenem, elkötelezem magam az akaratod mellett, gondolta. - Nem akarok semmit, nem akarok; taníts meg mit csináljak, hol használom az akaratomat! Igen, vigyél, vigyél! - mondta Natasha megható türelmetlenséggel a lelkében, anélkül, hogy keresztbe vetette volna magát, leengedte vékony kezét, és mintha arra számítana, hogy egy láthatatlan erő elragadja és megmenti önmagától, sajnálkozásaitól, vágyaitól, szemrehányásaitól, reményeitől és bűneitől.
A grófné az istentisztelet alatt többször is visszanézett a gyengéd, csillogó szemekkel, lánya arcára, és imádkozott Istenhez, hogy segítsen neki.

Ilja válasza helyes, de nem túl részletes. A 18. században egyébként még prímszámnak számított egy. Például olyan jelentős matematikusok, mint Euler és Goldbach. Goldbach az ezredforduló hét feladatának egyikének – a Goldbach-hipotézisnek – a szerzője. Az eredeti megfogalmazás azt állítja, hogy bármely páros szám ábrázolható két prímszám összegeként. Sőt, kezdetben az 1-et vették prímszámként, és ezt látjuk: 2 = 1 + 1. Ez a legkisebb példa, amely kielégíti a hipotézis eredeti megfogalmazását. Később kijavították, és a megfogalmazás modern megjelenést kapott: "minden páros szám, 4-től kezdve, két prímszám összegeként ábrázolható."

Emlékezzünk a meghatározásra. A p prímszám egy p természetes szám, amelynek csak 2 különböző természetes osztója van: maga a p és az 1. A definíció következménye: a p prímszámnak csak egy prímosztója van - maga p.

Most tegyük fel, hogy 1 egy prímszám. Definíció szerint egy prímszámnak csak egy prímosztója van – önmagának. Ekkor kiderül, hogy bármely 1-nél nagyobb prímszám osztható egy ettől eltérő prímszámmal (1-gyel). De két különálló prímszám nem osztható egymással, mert egyébként nem prímszámok, hanem összetett számok, és ez ellentmond a definíciónak. Ezzel a megközelítéssel kiderül, hogy csak 1 prímszám létezik - maga az egység. De ez abszurd. Ezért az 1 nem prímszám.

Az 1 és a 0 a számok egy másik osztályát alkotják - a semleges elemek osztályát az n-es műveletekhez képest valamilyen részhalmazban algebrai mező. Ezen túlmenően, az összeadási művelet tekintetében az 1 az egész számok gyűrűjének generáló eleme is.

Ezt figyelembe véve nem nehéz prímszámok analógjait találni más algebrai struktúrákban. Tegyük fel, hogy van multiplikatív csoport, 2 hatványaiból képződve 1-től kezdve: 2, 4, 8, 16, ... stb. 2 itt alakító elemként működik. A prímszám ebben a csoportban olyan szám, amely nagyobb a legkisebb elemnél, és csak önmagával és a legkisebb elemmel osztható. A mi csoportunkban csak 4-nek van ilyen tulajdonsága.Ennyi. Nincs több prímszám a csoportunkban.

Ha a 2 is prímszám lenne a csoportunkban, akkor lásd az első bekezdést - ismét kiderülne, hogy csak a 2 prímszám.

Aminek csak 2 különböző természetes osztója van. Más szóval a szám p akkor egyszerű lesz, ha nagyobb, mint az egység, és csak az egység és önmaga oszthatja szét - p.

A természetes számokat, a nagyokat és a nem prímszámokat nevezzük összetett számok. Így minden természetes szám 3 osztályra oszlik: egység (1 osztója van), prímszámok(2 osztója van) és összetett számok(több mint 2 osztója van).

Indítás p prímszámok sorozataiígy néz ki:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, …

Ha a természetes számokat prímszámok szorzataként ábrázoljuk, akkor ezt prímszámokra való felosztásnak, ill egy szám faktorizálása.

A legnagyobb ismert prímszám.

A legnagyobb ismert prímszám a 2 57885161 - 1. Ez a szám 17 425 170 tizedesjegyből áll, és prímnek nevezik. Mersenne szám(M57885161).

A prímszámok néhány tulajdonsága.

Mondjuk p- egyszerű és p oszt ab, azután p oszt a vagy b.

levonások gyűrűje Zn csak akkor nevezzük mezőnek n- egyszerű.

Minden mező karakterisztikája nulla vagy prímszám.

Amikor p- egyszerű és a- természetes eszközökkel egy p-a részre osztható p (kis tétel Farm).

Amikor G véges csoport, amelynek rendje |G| Oszd el p, tehát at G van a rend eleme p (Cauchy-tétel).

Amikor G véges csoport, és p n- a legmagasabb fokozat p osztva |G|, tehát at G a sorrendnek van egy alcsoportja p n, amelyet Sylow alcsoportnak neveznek, ráadásul a Sylow alcsoportok száma megfelel pk+1 néhány egésznek k(Sylow-tételek).

Természetes p > 1 csak akkor lesz egyszerű (p-1)! +1 tovább fújhatod p (Wilson tétele).

Amikor n > 1- természetes, ami azt jelenti, hogy van egy egyszerű p: n< p < 2 n (Bertrand posztulátuma).

A prímszámokkal fordított számok sorozata divergál. Ezen kívül a .

Bármely típusú aritmetikai progresszió a, a + q, a + 2 q, a + 3 q, ..., ahol a, q > 1- egész viszonylag prímszámok, végtelen számú prímszámot tartalmaz ( Dirichlet-tétel a prímszámokról aritmetikai progresszióban).

Bármely 3-nál nagyobb prímszám ábrázolható 6k+1 vagy 6k-1, ahol k- természetes szám. Ennek alapján, ha több egymást követő prímszám különbsége (for k>1) ugyanaz, ami azt jelenti, hogy pontosan osztható hattal - például: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219 .

Amikor p > 3 egy prímszám, ami azt jelenti p 2 -1 osztva 24 (a hárommal nem osztható páratlan számokra is működik).

Green-Tao tétel. Vannak végtelen számtani sorozatok, amelyek prímszámokból állnak.

nk-1, ahol n>2, k>1. Más szóval, a prímszámot követő szám nem lehet négyzet vagy kettőnél nagyobb bázisú nagyobb hatvány. Megállapítható, hogy amikor egy prímszámot a következőképpen ábrázolunk 2k-1, azt jelenti k- egyszerű.

Egyetlen prímszám sem ábrázolható így n 2k+1 +1, ahol n>1, k>0. Más szóval, a prímszámot megelőző szám nem lehet kocka vagy nagyobb páratlan hatvány, amelynek alapja nagyobb egynél.

Vannak olyan polinomok, amelyekben a változók pozitív értékeinek nem negatív értékeinek halmaza egybeesik a prímszámok halmazával. Példa:

Ez a polinom 26 változót tartalmaz, 25-öt. A bemutatott formájú ismert polinomok legalacsonyabb foka öt, 42 változóval; a legkisebb számú változó tíz, megközelítőleg 1,6·10 45 hatványon.

Műveletek prímszámokkal.

1. Prímszámok szorzata.

2. Prímszámok különbsége.

3. Prímszámok összege.

4. Prímszámok osztása.