algebrai mező kiterjesztése- — Információbiztonsági témakörök EN kiterjesztési mező … Műszaki fordítói kézikönyv
Az adott K mezőt almezőként tartalmazó E mező. A kiterjesztések típusai Az algebrai kiterjesztések olyan kiterjesztések, amelyeknek minden eleme algebrai K felett, azaz bármely eleme valamilyen f (x) c ... ... polinom gyöke... Wikipédia
Az EÉ K mező algebrai kiterjesztése, amely normális és szeparálható. Ilyen feltételek mellett E lesz a legnagyobb számban automorfizmusok K felett (ha E véges, akkor az automorfizmusok száma is véges és egyenlő a kiterjesztési mértékkel) ... ... Wikipédia
Az A félcsoport egy S félcsoport, amely A-t alcsoportként tartalmazza. Általában az A félcsoport Atemihez vagy más feltételekhez kapcsolódó kiterjesztéséről beszélünk. Az ideális R. félcsoportok elmélete (A-t tartalmazó félcsoportok ... ... Matematikai Enciklopédia
Az alábbi alakú egyenlet, ahol egy vagy több változó n-edik fokú polinomja. A. y. egy ismeretlennel alakegyenlete: Itt n egész szám nem negatív szám, hívott az egyenlet együtthatói és adatok, hnaz. ismeretlen és... Matematikai Enciklopédia
Mezők k algebrai. a k mező kiterjesztése, amely algebrailag zárt mező. Bármely k mezőre létezik ilyen kiterjesztés, és az izomorfizmusig egyedileg definiálható. A. h. mezőket valós számok a mező komplex számok(cm…… Matematikai Enciklopédia
A normál kiterjesztés az EQ K mező algebrai kiterjesztése, amelyre minden K feletti f(x) irreducibilis polinom, amelynek legalább egy gyöke van E-ben, E-ben lineáris tényezőkre bomlik. Egyenértékű definíció: Ha KÌ EÌ K*, ahol K* ... ... Wikipédia
A szeparálható kiterjesztés egy olyan mező algebrai kiterjesztése, amely elválasztható elemekből, azaz α elemekből áll úgy, hogy a K feletti f(x) minimális annihilátornak nincs több gyöke. Az f (x) deriváltnak a fenti ... ... Wikipédia szerint kell lennie
Olyan térkiterjesztés, amelyre E véges dimenziós K as felett vektor tér. Az E vektortér K feletti dimenzióját kiterjesztési foknak nevezzük, és jelöljük. A véges kiterjesztések tulajdonságai A véges kiterjesztés mindig algebrai. A ... ... Wikipédiában
Mezők Egy K mező L algebrai kiterjesztése, amely eleget tesz az alábbi egyenértékű feltételek egyikének: 1) L mező bármilyen beágyazása algebraiba a K mező lezárása az L mező automorfizmusa; 2) L egy olyan polinomcsalád dekompozíciós mezője, ahol ... ... Matematikai Enciklopédia
Hagyja a mezőt P mezőben található Tés a- elem T nem birtokolt P. Tekintsük a legkisebb mezőt P(a) tartalmazza az összes elemet Pés a. Minden nézetelem hozzátartozik P(a). Vegyünk két esetet.
Mezők vége.
4.2. Tétel. A p n véges mező elemeinek száma, ahol p prímszám.
Bizonyíték. Mivel a P mező véges, karakterisztikája nem nulla. Legyen p a jellemzője. A P mező a Z p feletti vektortérnek tekinthető. Jelölje v 1 ,…,v n a P bázist. A P mező bármely elemét egyedileg jellemzik az (x 1 ,…,x n) koordináták ebben a bázisban. Minden koordináta p értéket vesz fel, ezért a különböző koordinátakészletek száma, és így a P mező elemei egyenlő p n -nel.
Lemma 4.1 A jellemzők terén p 
.
Bizonyíték. 
, ahol az elem előfordulásának többszöröse. Az érték nem osztható vele p csak abban az esetben i= 0;p. Mint pe=0, azután .
4.3. Tétel. Bármely természetes n-re és p prímre létezik p n rendű mező.
Bővítjük a Z p-t úgy, hogy a kapott mező tartalmazza a polinom összes gyökét. A polinomnak nincs több gyöke, mert származéka -1. Jelölje M a polinom gyökeinek halmazát. Könnyen ellenőrizhető, hogy M egy mező és elemeinek száma p n
4.4. Tétel. A sorrendmező az izomorfizmusig egyedi.
Bizonyíték.
Mivel a mező elemeinek száma, akkor a jellemzője egyenlő. Ezért bármilyen területen P rendet a maradékgyűrű kiterjesztésének tekinthetjük. A () mező multiplikatív csoportjának sorrendje , és ezért bármelyikre igaz. Így a mező minden eleme a feletti egyenlet gyöke.
4.5. Tétel. Multiplikatív csoport gyökerei n 1-edik hatványa a P mezőben ciklikus.
Bizonyíték. Legyen p mező jellemző P. Ha akkor 
, és ezért az egyenlet gyökeinek halmaza egybeesik a fok gyökeinek halmazával. Az általánosság elvesztése nélkül feltételezhetjük, hogy . A bizonyíték arra az esetre elegendő, amikor az összes gyökér n mezőben szereplő 1-ik hatványa P. Ellenkező esetben kiterjesztjük a mezőt, és azt a tényt használjuk, hogy bármely alcsoport ciklikus csoport- ciklikus. Amennyiben 
csak egy gyöke egyenlő nullával, akkor a gyökök száma n 1 hatványa egyenlő n. Vegyünk három esetet:
1. n- Prímszám. Ekkor a gyökércsoport rendelkezik a sorrenddel n, és ezért ciklikus
2. - fokozat prímszám. Keressük meg az egyenlet gyökerét, amely nem az egyenlet gyöke. Az elemsorrend a csoportsorrend osztója nés nem osztó. Ezért a sorrend az nés a csoport ciklikus.
3. Hagyjuk . Jelölje az 1. fokú gyökök ciklikus csoportjának generáló eleme. Hadd . Bekapcsolással k Mutassuk meg, hogy a sorrend . Nál nél k=1 az állítás nyilvánvaló. Legyen bizonyított k-egy. Az elemek sorrendje . Legnagyobb közös osztó tés egyenlő 1-gyel, ezért vannak számok ués v, mit . Mivel és , akkor az elem sorrendje osztható -vel tés tovább . Továbbá az egyenlőségből az következik, hogy az elem sorrendje osztó. A tétel bizonyítást nyert.
Galois elmélet
Terület T a mező véges kiterjesztésének nevezzük P, ha T természetesen méretes lineáris tér felett P. A tér dimenzióját a tágulás mértékének nevezzük.
Bármilyen algebrai mező kiterjesztése P végleges. Fokozata megegyezik az irreducibilis polinom fokával.
5.1. Tétel. Bővítés vége U mezőket T, ami a mező véges kiterjesztése P, véges kiterjesztése P. Sőt, a tágulás mértéke U felett P egyenlő a tágulási teljesítmények szorzatával.
Bizonyíték. Szinte nyilvánvaló.
Mező elem T algebrai overnek nevezzük P ha ez valamilyen over polinom gyöke P.
A véges kiterjesztés összes eleme P algebrai vége P.
Tetszőleges véges kiterjesztést kaphatunk véges számú algebrai kiterjesztéssel.
5.2. Tétel. Bármilyen véges mező kiterjesztése P A 0 karakterisztikája egy egyszerű kiterjesztés.
Bizonyíték nem nyilvánvaló.
Bővítés vége T normál tágulásnak nevezzük P, ha attól, hogy egy irreducibilis polinom át P benne van T gyökér, lineáris tényezőkre bonthatósága következik. Nyilvánvaló, hogy egy 0 karakterisztikájú mező normál kiterjesztése egy polinom dekompozíciós mezője. Ennek fordítva is igaz. A polinom dekompozíciós mezeje normál kiterjesztésű.
Egy mező automorfizmusa egy önmagára vonatkozó izomorf leképezés.
Normál kiterjesztésű Galois csoport T mezőket P a mező automorfizmuscsoportjának nevezzük T, amely megőrzi a mező elemeit P.
5.3. Tétel. Mindegyik köztes mező U, a Galois-csoport valamelyik alcsoportjának felel meg, nevezetesen azon automorfizmusok halmazának, amelyek nem változtatják meg az elemeit. A mezőt az alcsoport egyedileg határozza meg.
Bevezetés.
NÁL NÉL pedagógiai egyetemek bevezették az algebra és számelmélet egységes kurzusának programját. A kurzus fő célja az alapok elsajátítása algebrai rendszerek valamint a leendő tanár számára szükséges algebrai kultúra oktatása az iskolai matematika főtanfolyam és a választható iskolai kurzusok céljainak és célkitűzéseinek mély megértéséhez.
Véleményünk szerint a legcélravezetőbb a modern absztrakt algebra elemeinek bevezetése az iskolai tanításba.
A matematika 20. században megindult algebraizációs folyamata nem áll meg, és ez kitartó próbálkozásokat okoz az algebrai alapfogalmak iskolai matematikaoktatásba való bevezetésére.
A matematikai mélység és a mezők szokatlanul széles köre párosul a főbb rendelkezések egyszerűségével - a mező fogalmával, egész sor fontos tételek megfogalmazhatók és bizonyíthatók, ha a halmazelmélet területén kiindulási elképzelések vannak. Ezért a terepelmélet a legjobb módja annak, hogy példát mutassunk az iskolásoknak a modern matematikából.
Ezenkívül a terepelmélet elemeinek tanulmányozása hasznos az iskolások számára, hozzájárul szellemi fejlődésükhöz, amely gondolkodásuk, tulajdonságaik és személyiségjegyeik különböző aspektusainak fejlesztésében és gazdagításában, valamint a hallgatók érdeklődésének felkeltésében nyilvánul meg. matematikában és természettudományokban.
1. Egy egyszerű algebrai mezőbővítés.
1.1. Egyszerű mezőbővítés.
Legyen P[x] polinomiális gyűrű x-ben egy P mező felett, ahol P az F mező részmezeje. Emlékezzünk vissza, hogy az F mező a elemét algebrainak nevezzük a P mező felett, ha a valamilyen pozitív gyöke. fokú polinom P [x]-ben.
Meghatározás. Legyen P< F и a0F. Простым расширением поля Pс помощью элемента a называется наименьшее подполе поля F, содержащее множество Р и элемент a. Простое расширение Pс помощью a обозначается через P (a), основное множество поля P (a) обозначается через Р(a).
Legyen a0F, P [x] az x és a polinomok gyűrűje
P[x]=(f(a)*f0P[x]),
azaz P [a] az összes a 0 + a 1 a+...+ a n a n alakú kifejezés halmaza, ahol a 0, a 1, ... a n 0P és n bármely természetes szám.
Könnyen belátható, hogy a +P[a], +, -, ., 1, - a P (a) mező részgyűrűje - egy gyűrű; ezt a gyűrűt P[a]-val jelöljük.
Tétel 1.1. Legyen P[x] polinomiális gyűrű x-ben P felett, és P(a) a P mező egyszerű kiterjesztése. Legyen y leképezés P[x]-ről P[a]-ra úgy, hogy y(f)=f (a) a P[x]-ből származó bármely f-re. Azután:
(a) P y bármely a-ra (a) = a;
(c) y a P [x] gyűrű homomorfizmusa a P [a] gyűrűvel;
(d) Kery =(f0P[x]*f(a)=0);
(f) a P[x]/Ker y hányados gyűrű izomorf a P[a] gyűrűvel.
Bizonyíték. Az (a) és (b) állítás közvetlenül következik y definíciójából. Az y leképezés megőrzi a P[x] gyűrű fő műveleteit, mivel bármely f és g esetén P[x]
y(f + g)=f(a)+g(a), y(fg)=f(a)g(a), y(1)=1.
A (d) állítás közvetlenül következik az y térkép definíciójából.
Mivel y a P[x] gyűrű P[a]-ra való homomorfizmusa, a P[x]/Ker y hányados gyűrű izomorf a P[a] gyűrűvel.
Következmény 1.2. Legyen a transzcendentális elem egy P mező felett. Ekkor a P[x] polinom izomorf a P[a] gyűrűvel.
Bizonyíték. Egy over PKery=(0) transzcendenciája miatt. Ezért P[x]/(0)–P[a]. Sőt, a P [x] gyűrű hányados gyűrűje a nulla ideál alapján izomorf P [x]-vel. Ezért P[x]–P[a].
1.2 Algebrai elem minimális polinomja.
Legyen P [x] a polinomok gyűrűje a P mező felett.
Meghatározás. Legyen a egy P mező feletti algebrai elem. Az a elem minimális polinomja P felett P[x]-ben a legkisebb fokú normalizált polinom, amelynek gyöke a. A minimális polinom fokszámát egy a elem P feletti fokának nevezzük.
Könnyen belátható, hogy minden a elemhez, amely algebrai P felett, létezik egy minimális polinom.
Javaslat 1.3. Ha a egy algebrai elem egy P mező felett, és g és j a minimális polinomjai P mező felett, akkor g=j.
Bizonyíték. A g és j minimális polinomok foka egybeesik. Ha g¹j, akkor a (P feletti n fokú) elem a g - j polinom gyöke lesz, amelynek foka kisebb, mint a j polinom foka (kisebb, mint n), ami lehetetlen. Ezért g=j.
Tétel 1.4. Legyen a egy n fokú algebrai elem egy P mező felett (aóP), és g a P mező feletti minimális polinomja. Ekkor:
(a) a g polinom irreducibilis a P [x] gyűrűben;
(b) ha f (a) = 0, ahol f0P[x], akkor g osztja f-et;
(c) a P [x]/(g) hányados gyűrű izomorf a P [a] gyűrűvel;
(d) P[x]/(g) egy mező;
(f) a P[a] gyűrű egybeesik a P(a) mezővel.
Bizonyíték. Tegyük fel, hogy a g polinom redukálható a P [x] gyűrűben, azaz vannak j és h polinomok a P[x]-ben,
g = jh, 1£deg j, deg h Ekkor g(a) = j(a)h(a) = 0. Mivel P (a) egy mező, akkor j(a) = 0 vagy h(a) = 0, ami lehetetlen, mert feltételezzük, hogy a fokú elem a P felett egyenlő n-nel. Tegyük fel, hogy f0 P[x] és f(a) = 0. Feltételezve, hogy g(a) = 0. Ezért f és g nem lehet koprím. Mivel a g polinom irreducibilis, ezért g osztja f-et. Legyen j a P [x] gyűrű homomorfizmusa a P [a] gyűrűre (y(f)=f(a) bármely P[x]-ből származó f esetén) a 2.1. Tételben figyelembe vettük. A (b) értelmében az y homomorfizmus magja a g polinom többszöröseiből áll, azaz Ker y = (g). Ezért a P = P [x]/(g) hányados gyűrű izomorf a P [a] gyűrűvel. Mivel P[a]ÌP(a), ezért P [a] az integritás tartománya. Mint [e-mail védett][a], akkor a P hányadosgyűrű is az integritás tartománya. Meg kell mutatnunk, hogy P-ből bármely f elem invertálható P-re. Legyen f az f koset eleme. Mivel f10, akkor f(a)10; tehát a g polinom nem osztja az f polinomot. Mivel a g polinom irreducibilis, ebből az következik, hogy az f és g polinom másodprím. Ezért vannak olyan u és v polinomok Р[x]-ben, hogy uf + vg=1. Ebből következik az uf = 1 egyenlőség, ami azt mutatja, hogy az f elem invertálható a P gyűrűben. Így megállapítottuk, hogy a P hányadosgyűrű egy mező. A (c) és (d) értelmében P[a] mező, így P(a)ÌP[a]. Sőt, nyilvánvalóan P[a]ÌP(a). Ezért P[a] = P(a). Ezért a P[a] gyűrű egybeesik a P(a) mezővel. 1.3 Egy egyszerű algebrai mezőbővítés felépítése. Tétel 1.5. Legyen a egy algebrai elem a P mező felett pozitív n fokú. Ekkor a P(a) mező tetszőleges eleme egyedileg ábrázolható lineáris kombináció n elem 1, a, ..., a n-1 P-ből származó együtthatókkal. Bizonyíték. Legyen b a P (a) mező bármely eleme. Az 1.4. tétel szerint P(a) = P[a]; ezért létezik egy f polinom a P[x]-ben úgy, hogy Legyen g a P feletti minimális polinom; a tétel hipotézise alapján a foka egyenlő n-nel. A maradékkal való osztástétel szerint P[x]-ben vannak h és r polinomok, amelyek (2) f = gh + r, ahol r = 0 vagy derr< derg = n , т. е. r=c 0 +c 1 x +…c n -1 x n -1 (c i 0P). Полагая в (2) x = а и учитывая равенство (1), имеем (3) b = c 0 +c 1 a +…c n -1 a n-1 Mutassuk meg, hogy a b elem egyedileg ábrázolható az 1, a, ..., a n-1 elemek lineáris kombinációjaként. Legyen (4) b = d 0 + d 1 a +…d n -1 a n-1 (d i 0P) Bármilyen ilyen teljesítmény. Tekintsünk egy j polinomot j \u003d (c 0 - d 0) + (c 1 - d i .)x + . . . + (n-1 –d n -1)x n -1 Az az eset, amikor j foka kisebb, mint n, lehetetlen, mert (3) és (4) alapján j(a) = 0, és j foka kisebb, mint g foka. Az egyetlen lehetséges eset az, amikor j = 0, azaz ha 0 = d 0, . . . , ahol n-1 = d n-1. Ezért a b elem egyedileg ábrázolható az 1, a,…,a n-1 elemek lineáris kombinációjaként. 1.4. Felmentés az algebrai irracionalitás alól a tört nevezőjében. Az algebrai irracionalitástól való megszabadulás problémája a tört nevezőjében a következő. Legyen a egy P mező feletti n>1 fokú algebrai elem; f és h polinomok a P [x] és h(a) ¹0 polinomgyűrűből. Az f(a)/h(a)0P(a) elemet az a elem hatványainak lineáris kombinációjaként, azaz j(a)-ként kell ábrázolni, Ezt a problémát a következő módon oldjuk meg. Legyen g a P feletti minimális polinom. Mivel az 1.4. Tétel szerint a polinom irreducibilis P és h(a) ¹ 0 felett, ebből következik, hogy g nem osztja h-t, így a h és g polinomok koprímek. Ezért vannak olyan u és v polinomok P[x]-ben, hogy Mivel g(a) = 0, az (1)-ből az következik, hogy u(a)g(a) = 1, 1/h(a) = u(a). Ezért f(a)/h(a) = f(a)u(a), továbbá f,u0P[x] és f(a)u(a)0P[a]. Tehát megszabadultunk az irracionalitástól az f(a)/h(a) tört nevezőjében. Megszabadulni az irracionalitástól a tört nevezőjében Döntés. Esetünkben a= A p(x) és g(x)=-x 2 +x+1 polinomok koprímek. Ezért vannak olyan j és y polinomok, amelyek A j és y megtalálásához az Euklidész algoritmust alkalmazzuk a p és g polinomokra: X 3 -2 -x 2 +x+1 -x 2 +x+1 2x-1 x 3 -x 2 -x -x-1 -x 2 +1/2x -1/2x+1/4 x 2 -x-1 1/2x-1/4 És így, p=g(-x-1)+(2x-1), g=(2x-1)(-1/2x+1/4)+5/4. Hol találjuk (2x-1)=p+g(x+1), 5/4=g-(p+g(x+1))(-1/2x+1/4) p1/5(2x-1)+g(4/5+1/5(2x2 +x-1))=1, p1/5(2x-1)+g(2/5x2 +1/5x+3/5)=1. És így, y(x)= (2/5x2 +1/5x+3/5). Ennélfogva 2.Összetett algebrai mező kiterjesztése. 2.1. Véges mező kiterjesztése. Legyen P az F mező részmezeje. Ekkor F-et tekinthetjük P vektortérnek, azaz tekintsük a +F, +, (w l ½l0P) vektorteret, ahol w l az F-ből származó elemek l0P skalárral való szorzásának művelete. Meghatározás. Egy P mező F kiterjesztését végesnek mondjuk, ha F, mint P feletti vektortér, véges dimenziójú. Ezt a dimenziót jelöli. Javaslat 2.1. Ha a P felett n fokú algebrai elem, akkor =n. Ez a tétel közvetlenül következik az 1.5. Tételből. Meghatározás. A P mező F kiterjesztését algebrainak nevezzük, ha F minden eleme algebrai P felett.