Meghatározás. Azt mondják az a szám osztható b számmal ha van ilyen szám cÎ N 0 , mit a=ban ben· val vel.

Ilyenkor mikor a osztva ban benír: a c. Olvasás: " a osztva ban ben» ; « a többszörös ban ben»; « ban ben- osztó a» . Például a 12 osztható 6-tal, mert van val vel= 2, hogy 12 = 6 2, egyébként 12 6.

Megjegyzés. Bejegyzések és a :ban ben nem egyenértékűek. Az első azt jelenti, hogy a számok között aés ban ben van oszthatósági reláció (esetleg egész szám a számmal osztjuk ban ben). A második a magánszámok jelölése aés ban ben.

Az oszthatósági relációnak számos tulajdonsága van.

1°. A nulla osztható bármelyikkel természetes szám, azaz

(" ban benÎ N ) .

Bizonyíték. 0 = ban ben 0 bármelyikre ban ben, tehát definícióból az következik, hogy 0 ban ben.

2°. Egyetlen természetes szám sem osztható nullával, azaz. (" aÎ N ) [a 0].

Bizonyítás (ellentmondás által). Hadd létezzen cÎ N 0 , oly módon, hogy a= 0· val vel, hanem feltétel szerint a≠ 0, ami azt jelenti, hogy semmi esetre sem val vel ez az egyenlőség nem állja meg a helyét. Tehát a létezésről alkotott feltételezésünk val vel tévedett és a 0.

3°. Bármely egész, nem negatív szám osztható eggyel, azaz.

("aÎ N ) [a 1].

Bizonyíték. a= 1 a=>a 1.

4°. Bármely természetes szám osztható önmagával (reflexivitás), azaz (" aÎ N ) [a a].

Bizonyíték. a= a 1Þ a a.

5°. Osztó ban ben adott természetes szám a nem haladja meg ezt a számot, i.e. ( és beÙ a> 0) Þ ( a≥ ban ben).

Bizonyíték. Mint és benne, azután a= ban ben · val vel, ahol cÎ N 0 . Határozzuk meg a különbség előjelét a– ban ben.

a–ban ben= nap– ban ben= ban ben(val vel– 1), mert a> 0, azután val vel≥ 1, ezért ban ben(val vel– 1) ≥ 0, ami azt jelenti a–ban ben≥ 0 Þ a≥ban ben.

6°. Az oszthatósági reláció antiszimmetrikus, azaz.

("a, beÎ N 0 )[(a beÙ a) Þ a=ban ben].

Bizonyíték.

1 eset . Legyen a> 0,ban ben> 0, akkor van:

(5°-os ingatlan szerint). Eszközök, a = ban ben.

2. eset. Legyen legalább az egyik szám a vagy ban ben egyenlő 0-val.

Legyen a= 0, akkor ban ben= 0-2°, mert másképp ban ben nem lehetett osztani a. Eszközök a=ban ben.

7°. Az oszthatósági reláció tranzitív, azaz.

("a, in, withÎ N 0 ) [(a beÙ be)Þ a c].

Bizonyíték. és beÞ ($ nak nek)[a=VK];beÞ ($ ℓ )[ban ben= cℓ].

a = VK= (sℓ)nak nek= val vel(ℓk), ℓk – két nem negatív egész szám szorzata ℓ és nak nekés ezért maga is nemnegatív egész szám, azaz. a s.

8°. Ha az egyes számok aés ban ben osztva val vel, majd az összegüket a+ ban ben osztva val vel, azok. (" a, c, cÎ N 0 ) [(a cÙ be) Þ ( a+ban ben) val vel].

Bizonyíték, a cÞ a= sk, in sÞ ban ben= cℓ.

a+ban ben= sk+cℓ=val vel(k + ℓ), mert nak nek+ ℓ egy nem negatív egész szám, tehát ( a + b) val vel.

A bizonyított állítás abban az esetben is érvényes, ha a tagok száma kettőnél több.

Ha az egyes számok a 1 , ...,a p osztva val vel, majd az összegüket a 1 + ... + a p osztva val vel.

Sőt, ha a számok aés ban ben részre vannak osztva val vel,és a≥ ban ben, akkor a különbségük a–ban ben osztva val vel.

9°. Ha szám a osztva val vel, akkor az űrlap szorzata Ó, ahol xÎ N 0 , osztva val vel, azok. a cÞ ( "x О N 0 )[fejsze c].

Bizonyíték. a cÞ a=ck, de aztán Ó= skh = val vel(nak nek· x), k, xÎ N 0 , eszközök ah s.

Következmény a 8°, 9°-ból.

Ha az egyes számok a 1 ,a 2 , ...,a p osztva val vel, akkor bármi is legyen a szám x 1 ,x 2 , ... , x n szám a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + a n x n osztva val vel.

10°. Ha egy ász osztva nap,és val vel≠ 0, azután a osztva ban ben, azok. ( ász napÙ val vel≠ 0) Þ a c.

Bizonyíték.

ász= nap· nak nek; ász= (VK) · val velÙ val vel≠ 0 Þ a=VK=> és be.

Az oszthatóság jelei

Vannak olyan problémák, amelyekben osztás nélkül meg kell állapítani, hogy egy természetes szám osztható-e vagy sem a természetes számra ban ben. Leggyakrabban ilyen problémák merülnek fel, ha a szám a szorozni kell. Ilyen problémák esetén oszthatósági kritériumokat használnak. Az oszthatósági teszt egy olyan mondat, amely lehetővé teszi annak a kérdésnek a megválaszolását, hogy egy bizonyos szám osztható-e egy adott osztóval, anélkül, hogy magát az osztást elvégezné.

Az oszthatóság jelét alkalmazva természetesen továbbra is osztani kell. Egy szám 3-mal osztható jele jól ismert az iskolából.Osztható-e 3-mal az 531246897 szám? A kérdés megválaszolásához határozzuk meg ennek a számnak az 5 + 3 + 1 + 2 + 4 + 6 + 8 + 9 + 7 = 45 számjegyeinek összegét, mert 45 osztható 3-mal, akkor ez a szám osztható 3-mal.

Tehát egy adott természetes szám oszthatóságának kérdése leredukálódik egy kisebb természetes szám oszthatóságának kérdésére.

Az oszthatóság jelei a számrendszertől függenek. Tekintsük az oszthatóság néhány jelét a decimális számrendszerben.

4. előadás. Oszthatóság nemnegatív egész számok halmazán

1. Az oszthatósági reláció fogalma, tulajdonságai.

2. Az összeg, különbözet, szorzat oszthatóságának jelei.

3. A 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel, 9-cel oszthatóság jelei (kettő a bizonyításhoz).

NÁL NÉL alapfokú tanfolyam A matematikában a természetes számok oszthatóságát általában nem tanulmányozzák, de a matematika ezen részéből sok tényt implicit módon felhasználnak.

Az oszthatósági arány és tulajdonságai

Tekintsük az oszthatósági relációt a nemnegatív egész számok halmazán.

1. definíció. Legyenek megadva nemnegatív egész számok aés b. Azt mondják, hogy a szám a b ha van ilyen nem negatív egész szám q, mit a=bq. Ebben az esetben a szám b hívott osztó számok a, és a szám a - többszörös számok b.

Megnevezés: a b és mondjuk a többszörös b, a b osztónak nevezik a.

Vegye figyelembe, hogy az „adott szám osztója” fogalmát meg kell különböztetni az „osztó” fogalmától, amely azt a számot jelöli, amellyel osztja. Például, ha a 18-at osztjuk 5-tel, akkor az 5 osztója, de nem osztja a 18-at. Ha a 18-at osztjuk 6-tal, akkor ebben az esetben az „osztó” és „ennek osztója” fogalmak. szám" ugyanaz.

Megjegyzés. Az 1. definícióból és az egyenlőségből a=1a, ebből az következik, hogy 1 bármely nem negatív egész szám osztója.

Az oszthatósági arány tulajdonságai:

Az oszthatósági reláció reflexív, antiszimmetrikus, tranzitív.

Tétel 1. Az oszthatósági reláció reflexív, azaz. bármely természetes szám osztható önmagával
.

Bizonyíték:

Mert érvényes az a=a 1 egyenlőség. 1 , akkor a def. egy .

2. Tétel. Az oszthatósági reláció antiszimmetrikus, azaz.

Bizonyítás (ellentmondással): Tegyük fel, hogy
. Ekkor nyilvánvaló, hogy b≥a. De feltételek szerint
és ezért a≥b. Ezen egyenlőtlenségek teljesülése csak akkor lehetséges, ha a=b, ami ellentmond a feltételnek. Ezért a feltételezésünk téves, és a tulajdonság érvényessége beigazolódik.

3. Tétel. Az oszthatósági reláció tranzitív, azaz

Bizonyíték:

Mert
, akkor definíció szerint 1 . Hasonlóképpen, mivel b c, majd .

Ekkor a=bq=(cp)q=c(pq). A pq szám természetes szám. Ez az 1. def. szerint azt jelenti, hogy mint a.

Így az oszthatósági reláció az N halmazon, amely reflexivitás, antiszimmetria és tranzitivitás tulajdonságokkal rendelkezik, nem szigorú rend kapcsolata.

Egész nemnegatív számok összegének, különbségének, szorzatának oszthatósága

4. Tétel (egy összeg oszthatóságának vizsgálata): Ha minden összegző osztható egy b természetes számmal, akkor a teljes összeg osztható ezzel a számmal, azaz

Bizonyíték: Legyen
. Ekkor van q 1 ,q 2 ,…q n
N úgy, hogy az egyenlőségek teljesüljenek: a 1 =bq 1, a 2 =bq 2, … és 1 n = bq n. Ezekből az egyenlőségekből az következik, hogy a 1 + a 2 + ... a n \u003d bq 1 + bq 2 + ... + bq n \u003d b (q 1 + q 2 + ... + q n), ahol q 1 + q 2 + ... + q n =q
N0. Az oszthatósági hányados definíciója szerint ez azt jelenti, hogy .

5. Tétel (differenciáloszthatóság tesztje): Ha az egyes számok aés b osztva val velés a≥b, akkor a különbség a-b osztva val vel, azaz ha .

Bizonyíték: Legyen
. Aztán van q 1 , q 2
N úgy, hogy a=cq 1, b=cq 2 . Mivel a≥b, akkor q 1 >q 2. Így van a-b=cq 1 -cq 2 \u003d c (q 1 -q 2) \u003d cq, ahol q 1 -q 2 \u003d q
N. Ezért .

6. Tétel (egy szorzat oszthatóságának vizsgálata): Ha a szorzat legalább egy tényezője osztható egy b természetes számmal, akkor az egész szorzat is osztható ezzel a számmal, azaz
.

Bizonyíték: Legyen a k b, akkor van q
N úgy, hogy a k = bq. Innentől kezdve a szorzás kommutatív és asszociatív törvényeit felhasználva felírhatjuk . Mivel a nem negatív egész számok szorzata egy nem negatív egész szám, az utolsó egyenlőség azt jelenti, hogy
.

7. tétel: Ha a munkában ab tényező a osztható természetes számmal m, és a szorzó b osztható természetes számmal n, majd a terméket ab termékre osztva nm, azaz

Bizonyíték: Legyen a m és b n, akkor van q 1 ,q 2
N úgy, hogy a=mq 1, b=nq 2 . Ezért a komm. és assz. szorzási törvényeink vannak ab=(mq 1)(nq 2)=(mn)(q 1 q 2)=(mn)q, ahol q 1 q 2 =q
N. ezért ab mn.

8. tétel: Ha az összegnek egy tagja van nincs megosztva természetes számra b, és az összes többi kifejezés Ossza meg ehhez a számhoz, majd a szám teljes összegét b nem osztja meg.

Bizonyíték: Legyen S=a 1 +a 2 +…+a n +c, ahol a 1 b, a 2 b, …, a n b, de
. Bizonyítsuk be
. Tegyük fel az ellenkezőjét, vagyis S b. Ekkor с=S-(a 1 +a 2 +…+a n), ahol S b, és (a 1 +a 2 +…+a n) b. A különbség oszthatósági tétele szerint ez azt jelenti, hogy b-vel. A kapott ellentmondás bizonyítja a tételt.

Az oszthatóság jelei

9. tétel (2-vel oszthatóság tesztje) Ahhoz, hogy egy x szám osztható legyen 2-vel, szükséges és elégséges, hogy az decimális jelölés a 0,2,4,6,8 számok valamelyikével végződött.

Bizonyíték. Legyen a szám x

x = a n 10+ a n-1 10 n-1 + ... + egy 1 10 + a 0, ahol a n, a n-1,…, a 1 vegye fel a 0, 1, 2, ...9 értékeket, a n ≠ 0 és egy 0 0,2,4,6,8 értékeket vesz fel. Bizonyítsuk be, hogy akkor x: .2.

Mivel 10: .2, majd 10 2: .2, 10 3: .2,…,10 n: .2 és ezért ( a n 10+ a n-1 10 n-1 + ... + egy 1 10): .2. Feltétel szerint a 0 is osztható 2-vel, így az x szám két tag összegének tekinthető, amelyek mindegyike osztható 2-vel. Ezért az összeg oszthatósági kritériuma szerint az x szám osztható 2.

Bizonyítsuk be az ellenkezőjét: ha a szám x osztható 2-vel, akkor decimális jelölése a 0,2,4,6,8 számjegyek valamelyikével végződik.

Felírjuk az x = egyenlőséget a n 10+ a n-1 10 n-1 + ... + egy 1 10 + a 0 ebben a formában: a 0 \u003d x - ( a n 10+ a n-1 10 n-1 + ... + egy 1 tíz). De akkor az oszthatósági tétel szerint és 0: . 2, mert x: . 2 és ( a n 10+ a n-1 10 n-1 + ... + egy 1 tíz) : . 2. Ahhoz, hogy egy egyjegyű szám a 0 osztható legyen 2-vel, a 0,2,4,6,8 értékeket kell felvennie.

10. tétel (5-tel oszthatósági teszt). A szám érdekében x osztható 5-tel, szükséges és elégséges, hogy a decimális jelölése 0-ra vagy 5-re végződjön.

Bizonyíts!

Ennek a tesztnek a bizonyítása hasonló a 2-vel osztható teszt bizonyításához.

11. Tétel (4-gyel való oszthatóság próbája). A szám érdekében x osztható 4-gyel, szükséges és elegendő, hogy a szám decimális ábrázolásának utolsó két számjegyéből képzett kétjegyű szám osztható legyen 4-gyel x.

Bizonyíték. Legyen a szám x decimális jelöléssel írva, azaz.

x = a n 10+ a n-1 10 n-1 + ... + egy 1 10 + a 0 és a bejegyzés utolsó számjegyei 4-gyel osztható számot alkotnak. Bizonyítsuk be, hogy akkor x: . 4.

100 óta: . 4, akkor ( a n 10+ a n-1 10 n-1 + ... + a 2 10 2): . 4. Feltétel szerint egy 1 10 + a 0 (ez egy kétjegyű szám rekordja) is osztható 4-gyel. Ezért az x számot tekinthetjük két tag összegének, amelyek mindegyike osztható 4. Ezért az összeg oszthatóságának jele szerint, és Maga az x szám osztható 4-gyel.

Bizonyítsuk be az ellenkezőjét, ti. ha az x szám osztható 4-gyel, akkor a decimális jelölésének utolsó számjegyeiből képzett kétjegyű szám is osztható 4-gyel.

Felírjuk az x = egyenlőséget a n 10+ a n-1 10 n-1 + ... + egy 1 10+ és 0 így:

egy 1 10 + a 0 = x- ( a n 10+ a n-1 10 n-1 + ... + a 2 10 2) .

x óta: . 4 és ( a n 10+ a n-1 10 n-1 + ... + a 2 10 2): . 4, akkor a különbség oszthatósági tételével ( egy 1 10 + a 0) : . 4. De a kifejezés egy 1 A 10 + és a 0 egy kétjegyű szám, amelyet x utolsó számjegyei alkotnak.

12. tétel (9-cel oszthatóság tesztje) Ahhoz, hogy x osztható legyen 9-cel, szükséges és elegendő, hogy a decimális számjegyeinek összege osztható 9-cel.

Bizonyíték. Először is bizonyítsuk be, hogy a 10 n - 1 alakú számok oszthatók 9-cel. Valóban, 10 n - 1 = (9 10 n-1 + 10 n-1) - 1 = (9 10 n-1 +9 10 n - 2 + 10 n-2)-1 = (9 10 n-1 +9 10 n-2 + …+10) -1 = 9 10 n-1 +9 10 n-2 + …+9. Az így kapott összeg minden tagja osztható 9-cel, ami azt jelenti, hogy a 10 n - 1 szám is osztható 9-cel.

Legyen az x szám = a n 10+ a n-1 10 n-1 + ... + egy 1 10 + a 0 és (a n + a n-1 + ... + a 1 + a 0): . 9. Bizonyítsuk be, hogy akkor x: . kilenc.

Alakítsuk át az összeget a n 10+ a n-1 10 n-1 + ... + egy 1 10 + a 0, hozzáadva és kivonva belőle az a n + a n-1 + ... + a 1 + a 0 kifejezést, és az eredményt a következő formában írva:

x = ( a n 10 - a n)+( a n-1 10 n-1 - a n-1)+…+( egy 1 10 - a 1) + (a 0 - a 0) + (a n + a n-1 + ... + a 1 + a 0) \u003d =a n (10 n -1)+ a n-1 (10 n-1 -1)+…+ a 1 (10 -1)+ (a n +a n-1 +…+a 1 +a 0).

Az utolsó összegben minden tag osztható 9-cel:

a n (10 n -1): . 9, mivel (10 n -1) : . kilenc,

a n-1 (10 n-1 -1): . 9 óta(10 n-1 -1) : . 9 stb.

a 1 (10 -1) : . 9, mivel (10- 1) : . kilenc,

(a n +a n-1 +…+a 1 +a 0) : . 9 feltétel szerint.

Ezért x: . kilenc.

Bizonyítsuk be az ellenkezőjét, ti. ha x: . 9, akkor decimális jelölésének számjegyeinek összege osztható 9-cel.

egyenlőség x = a n 10+ a n-1 10 n-1 + ... + egy 1 10 + és 0 ilyen formában írjuk:

a n + a n-1 + ... + a 1 + a 0 \u003d x - (a n (10 n - 1) + a n-1 (10 n-1 -1) + ... + a 1 (10 -1).

Mivel ennek az egyenlőségnek a jobb oldalán a minuend és a kivont is 9 többszöröse, akkor a különbség oszthatóságára vonatkozó tétel szerint (a n + a n-1 + ... + a 1 + a 0): . 9, azaz az x szám decimális ábrázolásának számjegyeinek összege osztható 9-cel, amit igazolni kellett.

15. tétel (3-mal oszthatóság tesztje): Ahhoz, hogy x osztható legyen 3-mal, szükséges és elegendő, hogy a decimális számjegyeinek összege osztható legyen 3-mal.

Ennek az állításnak a bizonyítása hasonló a 9-cel oszthatóság tesztjének bizonyításához.

Mint már említettük, egy a természetes szám osztható b természetes számmal, ha van c természetes szám, amelyet b-vel megszorozva a-t kapunk:

A "teljesen" szót általában kihagyják – a rövidség kedvéért.

Ha a osztható b-vel, akkor azt is mondjuk, hogy a b többszöröse. Például a 48 szám a 24 többszöröse.

1. Tétel. Ha valamelyik tényező osztható valamilyen számmal, akkor a szorzat is osztható ezzel a számmal.

Például a 15 osztható 3-mal, tehát a 15∙11 osztható 3-mal, mert 15∙11=(3∙5)∙11=3∙(5∙11).

Ezek a megfontolások az általános esetre is érvényesek. Legyen az a szám osztható c-vel, akkor van olyan n természetes szám, amelyre a = n∙c. Tekintsük egy a szám és egy tetszőleges b természetes szám szorzatát. a∙b = n∙(c∙b) =
= n∙(b∙c) = (n∙b)∙c. Ebből definíció szerint az következik, hogy az a ∙ b szorzat is osztható c-vel. Q.E.D.

2. Tétel. Ha az első szám osztható a másodikkal, a második pedig a harmadikkal, akkor az első szám osztható a harmadikkal.

Például 777 osztható 111-gyel, mert 777=7∙111 és 111 osztható 3-mal, mert 111 = 3∙37. Ebből következik, hogy 777 osztható 3-mal, mivel 777 = 3∙(37∙7).

Általában ezek az érvek szinte szó szerint megismételhetők. Legyen az a szám osztható b számmal, a b pedig osztható c számmal. Ez azt jelenti, hogy vannak n és m természetes számok, amelyekre a = n∙b és b = m∙c. Ekkor az a szám a következőképpen ábrázolható: a = n∙b = n∙(m∙c) = (n∙m)∙c. Az a = (n∙m)∙c egyenlőség azt jelenti, hogy az a szám is osztható c-vel.

3. Tétel. Ha két szám mindegyike osztható valamilyen számmal, akkor összege és különbsége osztható ezzel a számmal.

Például a 100 osztható 4-gyel, mert 100=25∙4; A 36 is osztható 4-gyel, mert 36 = 9∙4. Ebből következik, hogy a 136 osztható 4-gyel, mert

136 = 100+ 36 = 25∙4+ 9∙4 = (25+ 9)∙4 = 34∙4.

Arra is következtethetünk, hogy a 64-es szám osztható 4-gyel, mert

64 = 100 – 36 = 25∙4 – 9∙4 =(25 – 9)∙4= 16∙4.

Bizonyítsuk be a tételt általános esetben. Legyen az a és b számok mindegyike osztható c számmal. Ekkor definíció szerint vannak olyan n és m természetes számok, amelyek
a = n∙c és b = m∙c. Tekintsük az a és b számok összegét.

a + b = n∙c + m∙c = (n + m)∙c.

Ebből következik, hogy a + b osztható c-vel.

Hasonlóképpen, a – b = n∙c – m∙c = (n – m)∙c. Ezért a - b osztható c-vel.

4. Tétel. Ha a két szám közül az egyik osztható valamilyen számmal, a másik pedig nem osztható vele, akkor összegük és különbségük nem osztható ezzel a számmal.

Például a 148 osztható 37-tel, mert 148 = 4∙37, a 11 pedig nem osztható 37-tel. Nyilvánvalóan a 148 + 11 összege és a 148 és 11 közötti különbség nem osztható 37-tel, különben ez ellentmondana a 3. tulajdonságnak. .

Az oszthatóság jelei

Ha egy szám 0-ra végződik, akkor osztható 10-zel.

Például a 4560 szám 0-ra végződik, ábrázolható 456∙10 szorzataként, ami osztható 10-zel (az 1. tétel alapján).

A 4561 szám nem osztható 10-zel, mert a 4561 = 4560+1 a 10-zel osztható 4560 és a 10-zel nem osztható 1 összege (a 4. tétel alapján).

Ha a szám 0 vagy 5 számjegyre végződik, akkor osztható 5-tel.

Például a 2300-as szám osztható 5-tel, mert ez a szám osztható 10-zel, a 10 pedig osztható 5-tel (a 2. tétel alapján).

A 2305 szám 5-tel végződik, osztható 5-tel, mivel felírható 5-tel osztható számok összegeként: 2300 + 5 (a 3. tétel alapján).

Az 52-es szám nem osztható 5-tel, mert az 52 = 50 + 2 az 5-tel osztható 50-es és az 5-tel nem osztható 2-es szám összege (a 4. tétel alapján).

Ha a szám a 0, 2, 4, 6, 8 számjegyek valamelyikével végződik, akkor osztható 2-vel.

Például a 130-as szám 0-ra végződik, osztható 10-zel, a 10 pedig osztható 2-vel, tehát a 130 osztható 2-vel.

A 136-os szám 6-tal végződik, osztható 2-vel, mivel felírható 2-vel osztható számok összegeként: 130 + 6 (a 3. tétel alapján).

A 137-es szám nem osztható 2-vel, mert a 137 = 130 + 7 a 2-vel osztható 130-as és a 2-vel nem osztható 7-es szám összege (a 4. tétel alapján).

A 2-vel osztható számot páros számnak nevezzük.

A 2-vel nem osztható számot páratlan számnak nevezzük..

Például a 152 és 790 számok párosak, a 111 és 293 pedig páratlanok.

Ha egy szám számjegyeinek összege osztható 9-cel, akkor maga a szám osztható 9-cel.

Például a 7245 szám 7 + 2 + 4 + 5 = 18 számjegyeinek összege osztható 9-cel. A 7245 szám osztható 9-cel, mert 7∙1000 + összegeként ábrázolható.
+ 2∙100 + 4∙10 + 5 = 7 (999 + 1) + 2∙(99 + 1) + + 4∙(9 + 1) + 5 = (7∙999 + 2∙99 +
+ 4∙9) + (7 + 2 + 4 + 5), ahol az első zárójelben lévő összeg osztható 9-cel, a második zárójelben pedig az adott szám számjegyeinek összege szintén osztható 9-cel ( 3. tétel szerint).

A 375-ös szám nem osztható 9-cel, mert a 3 + 7 + 5=15 számjegyeinek összege nem osztható 9-cel Ez a következőképpen bizonyítható: 375 = 3∙(99 + 1) + 7∙(9+1) + 5 =
+ (3∙99 + 7∙9) + (3 + 7 + 5), ahol az első zárójelben lévő összeg osztható 9-cel, a második zárójelben pedig a 375 számjegyeinek összege nem osztható 9-cel ( 4. tétel alapján).

Ha egy szám számjegyeinek összege osztható 3-mal, akkor maga a szám osztható 3-mal.

Például a 375 szám esetében a 3 + 7 + 5=15 számjegyek összege osztható 3-mal, és maga is osztható 3-mal, mert 375 = (3∙99 + 7∙9) + (3 + 7 + 5), ahol az első zárójelben lévő összeg osztható 3-mal, a második zárójelben pedig - a 375 számjegyeinek összege - szintén osztható 3-mal.

A 679 számjegyeinek összege, amely 6 + 7 + 9 = 22, nem osztható 3-mal, és maga a szám nem osztható 3-mal, mert 679 = (6∙99 + 7∙9) + (6 + 7 + 9), ahol az első zárójelben lévő összeg osztható 3-mal, a második zárójelben pedig - a 679 számjegyeinek összege - nem osztható 3-mal.

jegyzet. Amikor azt mondják, hogy "a szám egy számjegyre végződik..." azt jelenti, hogy "a szám decimális jelölése számjegyre végződik..."

Prím- és összetett számok

Minden p természetes szám osztható 1-gyel és önmagával:

p:1=p, p:p=1.

prímszám hívjunk egy természetes számot, amely nagyobb egynél, és csak 1-gyel és önmagával osztható.

Íme az első tíz prímszám:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

A nem egyszerű természetes számokat, a nagy egységeket összetettnek nevezzük. Minden összetett szám osztható 1-gyel, önmagával és legalább egy másik természetes számmal.

Íme az összes 20-nál kisebb összetett szám:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18.

Így a természetes számok halmaza prímszámokból, összetett számokból és egyből áll.

Végtelen sok prímszám van, van az első szám - 2, de nincs utolsó prímszám.

Természetes számok osztói

Ha egy a természetes szám osztható b természetes számmal, akkor a b osztónak nevezik számok a.

Például a 13-as szám osztói az 1-es és 13-as számok, a 4-es osztói az 1-es, 2-es, a 4-es, a 12-es osztói pedig az 1-es, 2-es, 3-as, 4-es, 6-os. , 12.

Minden prímszámnak csak két osztója van - egy és saját maga, és minden összetett számnak az egyen és önmagán kívül más osztói is vannak.

Ha az osztó prímszám, akkor prímosztónak nevezzük. Például a 13-as szám prímtényezője 13, a 4-es szám prímtényezője 2, a 12-es szám prímtényezője pedig 2 és 3.

Minden összetett szám ábrázolható prímosztóinak szorzataként. Például,

28 = 2∙2∙7 = 2 2 ∙7;

81 \u003d 3 3 3 3 \u003d Z 4;

100 = 2∙2∙5∙5 = 2 2 ∙5 2 .

Az így kapott egyenlőségek jobb oldalát a 28, 22, 81 és 100 számok prímtényezőinek nevezzük.

Egy adott összetett szám prímtényezőkbe való beszámítása azt jelenti, hogy különböző prímosztóinak vagy azok hatványainak szorzataként ábrázoljuk.

Mutassuk meg, hogyan bonthatja fel a 90-es számot prímtényezőkre.

1) 90 osztható 2-vel, 90:2 = 45;

2) 45 nem osztható 2-vel, de osztható 3-mal, 45:3= 15;

3) 15 osztható 3-mal, 15:3 = 5;

4) 5 osztható 5-tel, 5:5 = 1.

Így 90 = 2∙45 = 2∙3∙15 = 2∙3∙3∙5.

Legnagyobb közös osztó

A 12-es szám osztói 1, 2, 3, 4, 12. Az 54-es szám osztói 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54. Látjuk, hogy a 12-es és 54-es számoknak közös osztói 1, 2 , 3 .6.

12 és 54 legnagyobb közös osztója a 6.

Az a és b számok legnagyobb közös osztója: GCD (a, b).

Például gcd (12, 54) = 6.

Legkisebb közös többszörös

A 12-vel osztható számot 12 többszörösének nevezzük. A 12 szám többszöröse 12-nek, 24-nek, 36-nak, 48-nak, 60-nak, 72-nek, 84-nek, 96-nak, 108-nak stb. A 18-as szám a 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126 stb. többszöröse.

Látjuk, hogy vannak számok, amelyek egyszerre 12 és 18 többszörösei, például 36, 72, 108, ... . Ezeket a számokat 12 és 18 közös többszöröseinek nevezzük.

Az a és b természetes számok legkisebb közös többszöröse a legkisebb természetes szám, amely még a-val és b-vel is osztható. Ezt a számot a következőkkel jelöljük: NOC (a, b).

Két szám legkisebb közös többszöröse általában kétféleképpen található meg. Tekintsük őket.

Keresse meg az LCM(18, 24) értéket.

Én úgy. Kiírjuk azokat a számokat, amelyek 24 többszörösei (a számok közül a legnagyobb), ellenőrizve, hogy mindegyik osztható-e 18-cal: 24∙1=24 - nem osztható 18-mal, 24∙2 = 48 - nem osztható 18-cal, 24∙3 = 72 – osztható 18-cal, tehát LCM (24, 18) =
= 72.

II módon. A 24 és 18 számokat prímtényezőkre bontjuk: 24 = 2∙2∙2∙3,
18 = 2∙3∙3.

Az LCM(24, 18)-nak oszthatónak kell lennie 24-gyel és 18-cal is. Ezért a kívánt szám tartalmazza az összes prímosztót több 24 (azaz a 2-es, 2-es, 2-es, 3-as számok), valamint a kisebb 18-as szám (egy másik 3-as) kiterjesztéséből hiányzó tényezők. Ezért LCM(18; 24) = 2,2,2,3,3 = 72.

Mivel a másodprímszámoknak nincs közös prímosztójuk, a legkisebb közös többszörösük egyenlő ezeknek a számoknak a szorzatával. Például a 24 és 25 viszonylag prímszámok. Ezért LCM (24, 25) = 24∙25 = 600.

Ha két szám közül az egyik egyenlően osztható a másikkal, akkor ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse egyenlő a nagyobbik számmal. Például a 120 egyenletesen osztható 24-gyel, tehát LCM (120, 24) = 120.

Egész számok

Emlékeztető. Az objektumok számának számlálásakor használt számokat hívják természetes számok. A nullát nem tekintjük természetes számnak. A természetes számok és a nulla növekvő sorrendben és hézagok nélkül írva nemnegatív egész számok sorozatát alkotják:

Ez a rész új számokat vezet be − egész szám negatív.

Negatív egész számok

Egy alapvető példa az életből a hőmérő. Tegyük fel, hogy 7°C hőmérsékletet mutat. Ha a hőmérséklet 4°-kal csökken, a hőmérő 3°-ot mutat. A hőmérséklet csökkenése kivonási műveletnek felel meg: 7 - 4 \u003d 3. Ha a hőmérséklet 7 ° -kal csökken, akkor a hőmérő 0 ° -ot mutat: 7 - 7 \u003d 0.

Ha a hőmérséklet 8°-kal csökken, a hőmérő -1°-ot (1°-os fagyot) mutat. De a 7 - 8 kivonás eredménye nem írható fel természetes számokkal és nullával, bár valódi jelentése van.

Lehetetlen 8 számot megszámolni a 7-től balra egy nem negatív egész számok sorozatában. A 7–8. művelet megvalósíthatósága érdekében bővítjük a nem negatív egész számok tartományát. Ehhez a nullától balra írjuk (jobbról balra) az összes természetes számot, mindegyikhez hozzáadva egy „-” jelet, jelezve, hogy ez a szám a nullától balra van.

A -1, -2, -3, ... bejegyzések "mínusz 1", "mínusz 2", "mínusz 3" stb.

–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... .

Az így kapott számsort egész számok sorozatának nevezzük. A bal és jobb oldali pontok ebben a bejegyzésben azt jelentik, hogy a sorozat korlátlanul folytatható jobbra és balra.

Ebben a sorban a 0-tól jobbra olyan számok vannak, amelyeket természetes vagy pozitív egész számoknak nevezünk.

Meghatározás.Legyen adott a és b természetes szám. Egy a szám osztható b számmal, ha létezik olyan q természetes szám, amelyre a = bq.

Ebben az esetben a szám b hívott osztója a , és a szám a b többszöröse.

például, 24 osztható 8-cal, hiszen van ilyen q = 3, ami 24 = 8×3. Más szavakkal, a 8 a 24 osztója, a 24 pedig a 8 többszöröse.

Ilyenkor mikor a osztva b,írd: a M b. Ezt a bejegyzést gyakran így olvassák: „és többszörös b.

Vegye figyelembe, hogy az „adott szám osztója” fogalmát meg kell különböztetni az „osztó” fogalmától, amely azt a számot jelöli, amellyel osztja. Például, ha a 18-at osztjuk 5-tel, akkor az 5 osztója, de az 5 nem osztja a 18-at. Ha a 18-at osztjuk 6-tal, akkor ebben az esetben az „osztó” és az „osztó ez a szám” egybeesik.

Az oszthatósági reláció és az egyenlőség definíciójából a = 1 × a, igazságos minden természetes a, ebből következik, hogy 1 bármely természetes szám osztója.

Nézze meg, hány osztója lehet egy természetes számnak a. Először nézzük meg a következő tételt.

1. tétel. Adott a szám b osztója nem haladja meg ezt a számot, azaz ha a M b, akkor b £ a.

Bizonyíték. A M b óta létezik olyan qО N, hogy a = bq, és ezért a - b = bq - b = b ×(q - 1). Mivel qО N, akkor q ³ 1. . Ekkor b ×(q - 1) ³ 0, és ennek következtében b £ a.

Ebből a tételből következik, hogy egy adott szám osztóinak halmaza véges. Nevezzük meg például a 36-os szám összes osztóját. Ezek véges halmazt alkotnak (1,2,3,4,6,9, 12, 18,36).

A természetes számok osztóinak számától függően prímszámokat és összetett számokat különböztetünk meg.

Meghatározás.A prímszám 1-nél nagyobb természetes szám, amelynek csak két osztója van - egy és maga a szám.

például, 13 prím, mert csak két osztója van: 1 és 13.

Meghatározás.Az összetett szám olyan természetes szám, amelynek kettőnél több osztója van.

Tehát a 4-es szám összetett, három osztója van: 1, 2 és 4. Az 1-es szám nem prím és nem is összetett szám mert csak egy osztója van.

Azokat a számokat, amelyek egy adott szám többszörösei, tetszés szerint hívhatjuk – végtelen sok van belőlük. Tehát azok a számok, amelyek 4 többszörösei, végtelen sorozatot alkotnak: 4, 8, 12, 16, 20, 24, .... és mindegyik megkapható a képlettel a = 4q, ahol q az 1, 2, 3,... értékeket veszi fel.

Tudjuk, hogy az N halmaz oszthatósági relációja számos tulajdonsággal rendelkezik, különösen reflexív, antiszimmetrikus és tranzitív. Most az oszthatósági reláció definíciója birtokában tudjuk bizonyítani annak ezeket és más tulajdonságait.

2. tétel. Az oszthatósági reláció reflexív, azaz. Bármely természetes szám osztható önmagával.

Bizonyíték. Bármilyen természetes a igazságos egyenlőség a = a× 1. Mivel 1 н N akkor az oszthatósági reláció definíciója szerint aMa.

3. tétel. Az oszthatósági reláció antiszimmetrikus, azaz. ha a M b és a ¹ b, akkor .

Bizonyíték. Tegyük fel az ellenkezőjét, vagyis azt, hogy bMa. De akkor a £ b, a fent tárgyalt tétel szerint.

Az a M b és a ¹ b feltétel szerint. Ekkor ugyanezzel a tétellel b £ a.

Az a £ b és b £ a egyenlőtlenségek csak akkor lesznek érvényesek, ha a = b, ami ellentmond a tétel hipotézisének. Ezért a feltevésünk téves, és a tétel bizonyítást nyer.

4. tétel. Az oszthatósági reláció tranzitív, azaz. Ha egy M b és b M s, majd a M s.

Bizonyíték. Mint egy Mb, q, mit a = b q ,és azóta bM s, akkor van egy természetes szám R, mit b = vö. De akkor nekünk van: a = b q = (cp)q = c(pq). Szám pq - természetes. Tehát az oszthatósági reláció definíciója szerint a. Kisasszony.

5. tétel(az összeg oszthatóságának jele). Ha az a 1, a 2, ... a p természetes számok mindegyike osztható egy b természetes számmal, akkor az a 1 + a 2 + ... + a p összegük osztható ezzel a számmal.

például, számítások elvégzése nélkül azt mondhatjuk, hogy a 175 + 360 +915 összeg osztható 5-tel, mivel ennek az összegnek minden tagja osztható 5-tel.

6. tétel(a különbség oszthatóságának jele). Ha az a 1 és a 2 számok oszthatók b-vel és a 1 ³ a 2, akkor az a 1 - a 2 különbségük osztható b-vel.

7. tétel(a mű oszthatóságának jele). Ha az a szám osztható b-vel, akkor az ax alak szorzata, ahol x e N. osztható b-vel.

A tételből az következik, hogy ha a szorzat egyik tényezője osztható b természetes számmal, akkor az egész szorzat is osztható b-vel.

például, a 24×976×305 szorzat osztható 12-vel, mivel a 24-es tényező osztható 12-vel.

Tekintsünk még három tételt az összeg és a szorzat oszthatóságával kapcsolatban, amelyeket gyakran használnak oszthatósági problémák megoldásában.

8. tétel. Ha az összegben egy tag nem osztható a számmal b, és az összes többi tag osztható b-vel, akkor a teljes összeg nem osztható b-vel.

Például, a 34 + 125 + 376 + 1024 összeg nem osztható 2-vel, mivel 34:2.376:2.124:2, de a 125 nem osztható 2-vel.

9. tétel. Ha az ab szorzatban az a tényező osztható egy m természetes számmal, és a b tényező osztható egy n természetes számmal, akkor a b osztható m-rel.

Ennek az állításnak az érvényessége a szorzat oszthatóságára vonatkozó tételből következik.

10. tétel. Ha az ac szorzat osztható bc szorzattal, és c természetes szám, akkor a is osztható b-vel.

Munka vége -

Ez a téma a következőkhöz tartozik:

Egy konzisztens axiómarendszert függetlennek nevezünk, ha ennek a rendszernek egyik axiómája sem a rendszer más axiómáinak következménye.

Nál nél axiomatikus konstrukció az elmélet lényegében minden állítás axiómákból való bizonyítással származik, ezért egy axiómarendszerbe adják be .. egy axiómarendszert akkor nevezünk konzisztensnek, ha logikailag nem lehetséges belőle .. ha egy axiómarendszer nem rendelkezik ez a tulajdonság nem lehet alkalmas tudományos elmélet alátámasztására ..

Ha további anyagra van szüksége ebben a témában, vagy nem találta meg, amit keresett, javasoljuk, hogy használja a munkaadatbázisunkban található keresést:

Mit csinálunk a kapott anyaggal:

Ha ez az anyag hasznosnak bizonyult az Ön számára, elmentheti az oldalára a közösségi hálózatokon:

csipog

Az összes téma ebben a részben:

kvantitatív természetes számok. Jelölje be
Az axiomatikus elmélet a természetes számot egy végtelen sorozat elemeként írja le, amelyben a számok egy bizonyos sorrendben vannak elrendezve, van egy első szám, és így tovább. Más szóval, az axiomatikusban

Kérdések az önkontrollhoz
1. Nevezze meg a halmazok típusait, írja le őket! Milyen műveleteket lehet végrehajtani halmazokon? 2. Mi az a "szám", "figura", "számla"? 3. Mi a kapcsolat és a különbség a számolás és a mérés között?

Fő irodalom; További olvasás Bevezetés. A természetes sorozat egy szegmensének koncepcióját bemutatva megtudtuk

Az összeg halmazelméleti jelentése
A nem negatív egész számok összeadása véges diszjunkt halmazok uniójával függ össze. Például, ha az A halmaz 5 elemet tartalmaz, és a B halmaz 4 elemet tartalmaz, és metszi

Az axiomatikus elméletben a természetes számok kivonását az összeadás inverz műveleteként definiáljuk: a – b = с Û ($ сОN) b + с = a. A nem negatív egész számok kivonása határozza meg

A mű halmazelméleti jelentése
A természetes számok szorzásának meghatározása az axiomatikus elméletben az „azonnal követni” összefüggés és összeadás fogalmán alapul. Az iskolai matematika tanfolyamon más meghatározást használnak.

Magántermészetes számok halmazelméleti jelentése
Az axiomatikus elméletben az osztást a szorzás inverzeként definiálják, így az osztás és a szorzás között szoros kapcsolat jön létre. Ha a × b = c, akkor a -val szorzat ismeretében

Pozíciós és nem pozíciószámítási rendszerek
Tartalom 1. Pozíciós és nem pozíciós számrendszerek. 2. Szám írása decimális jelöléssel. Fő irodalom ;

A számok elnevezésének, írásának és a velük végzett műveletek nyelvét számrendszernek nevezzük.
Az emberek már az írás megjelenése előtt megtanulták megnevezni a számokat és számolni. Ebben elsősorban a kéz- és lábujjak segítettek nekik. Az ókortól kezdve olyan típusú hangszeres beszámolót is használtak, mint a fa.

Szám írása decimális jelöléssel
Tudniillik a decimális számrendszerben 10 karaktert (számokat) használnak a számok írásához: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ezekből véges sorozatokat alkotok, amelyek rövid rekordok

Összeadás algoritmus
Az egyjegyű számok összeadása elvégezhető ennek a műveletnek a definíciója alapján, de hogy ne minden alkalommal a definícióra hivatkozzanak, az egyjegyű számok összeadásával kapott összes összeget,

Kivonási algoritmus
Ha kivonunk egy egyjegyű b számot egy egy- vagy kétjegyű a számból, amely nem haladja meg a 18-at, akkor egy c számra redukálódik, ahol b + c = a, és figyelembe veszi az egyjegyű számok összeadási táblázatát.

A leírt folyamat lehetővé teszi, hogy általános formában megfogalmazzuk a számok kivonási algoritmusát a decimális számrendszerben
1. A csökkentett alá írjuk a kivonót úgy, hogy a megfelelő számjegyek egymás alá kerüljenek. 2. Ha a részfej egységszámjegyében lévő számjegy nem haladja meg a megfelelő számjegyet

Szorzási algoritmus
E művelet definíciója alapján egyjegyű számok szorzása végezhető el. De annak érdekében, hogy ne hivatkozzon minden alkalommal a definícióra, az egyjegyű számok összes szorzata egy speciális táblázatba van írva

Osztási algoritmus
Ha a számok osztásának technikájáról van szó, ezt a folyamatot a maradékkal való osztás műveletének tekintjük: egy nem negatív a egész szám osztása b természetes számmal azt jelenti, hogy megtaláljuk

Egy nem-negatív a egész szám b természetes számmal való osztásának különféle eseteinek általánosítása a következő algoritmus sarokkal való osztáshoz
1. Ha a \u003d b, akkor a hányados q \u003d 1, a maradék r \u003d 0. 2. Ha a\u003e b és az a és b számjegyek száma megegyezik, akkor megtaláljuk a hányadost q felsorolással, b-t egymás után 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7-tel szorozva,

4. Prímszámok. 5. A számok legnagyobb közös osztójának és legkisebb közös többszörösének megtalálásának módszerei. Fő irodalom ; További

Az oszthatóság jelei
A tulajdonságokban figyelembe vett oszthatósági összefüggések lehetővé teszik a tizedes számrendszerben írt számok oszthatóságának ismert jeleinek bizonyítását 2-vel, 3-mal, 4-tel, 5-tel, 9-cel. Az oszthatósági jelek lehetővé teszik

A legkisebb közös többszörös és a legnagyobb közös osztó
Tekintsük az iskolai matematika tantárgyból ismert természetes számok legkisebb közös többszörösének és legnagyobb közös osztójának fogalmait, és minden bizonyítást mellőzve fogalmazzuk meg főbb tulajdonságaikat.

prímszámok
A prímszámok nagy szerepet játszanak a matematikában – lényegében ezek azok a „téglák”, amelyekből az összetett számokat építik. Ezt az aritmetika alaptételének nevezett tétel mondja ki.

A számok legnagyobb közös osztójának és legkisebb közös többszörösének megtalálásának módjai
Tekintsünk először egy olyan módszert, amely ezen számok prímtényezőkre való felosztásán alapul. Legyen adott két szám 3600 és 288, ábrázoljuk őket kanonikus formában: 3600 = 24×3

A természetes számok halmazának kiterjesztéséről
Tartalom 1. A tört fogalma. 2. Pozitív racionális számok. 3. Írj pozitívat racionális számok tizedesjegyek formájában. 4. Érvényes óra

A tört fogalma
Legyen szükség az x szakasz hosszának mérésére egyetlen szegmens e (1. ábra). Méréskor kiderült

Pozitív racionális számok
Az egyenlőségi reláció egy ekvivalencia reláció a törtek halmazán, tehát ekvivalenciaosztályokat generál rajta. Minden ilyen osztály olyan törteket tartalmaz, amelyek egyenlőek egymással. A

A pozitív racionális számok összeadása kommutatív és asszociatív,
("a, b Î Q+) a + b= b + a; ("a, b, c Î Q+) (a + b)+ c = a + (b+ c) A definíció megfogalmazása előtt

Pozitív racionális számok írása tizedesjegyként
A gyakorlatban széles körben használják a törteket, amelyek nevezői 10 hatványai. Ezeket decimálisnak nevezik. Meghatározás. tíz

Valós számok
A tizedes törtek megjelenésének egyik forrása a természetes számok osztása, a másik a mennyiségek mérése. Nézzük meg például, hogyan kaphatunk tizedes törteket egy szakasz hosszának mérésekor.

A különbség halmazelméleti jelentése
8. Kapcsolatok "több által" és "kevésbé által". 9. A szám összegből való, számból összeg kivonásának szabályai. 10. A természetes számok és a nulla írásmódjainak kialakulásának és fejlődésének történetéből.

A pozitív racionális számok halmaza a természetes számok halmazának kiterjesztéseként
27. Írjon pozitív racionális számokat tizedes törtként! 28. Valós számok. 4. MODUL. GEOMETRIAI ÁBRÁK ÉS ÉRTÉKEK

A pozitív skaláris mennyiség fogalma és mérése
Tekintsünk két olyan állítást, amelyek a „hosszúság” szót használják: 1) Sok körülöttünk lévő tárgynak van hosszúsága. 2) Az asztalnak van egy hosszúsága. Az első mondat kimondja

Meghatározás. Legyen adott a és b természetes szám. Egy a szám osztható b számmal, ha létezik olyan q természetes szám, amelyre a = bq.

Ebben az esetben a b számot hívják számosztó a, egy szám a - többszöröse b.

Például a 24 osztható 8-cal, mivel van olyan q = 3, hogy 24 = 8 3. Mondhatjuk másként is: 8 osztója 24-nek, 24 pedig 8 többszöröse. Abban az esetben, ha a osztva b-vel, ezt írják: a:. b. Ez a "" rekord is így olvasható: "a b többszöröse". Vegye figyelembe, hogy az „adott szám osztója” fogalmát meg kell különböztetni az „osztó” fogalmától, amely azt a számot jelöli, amellyel osztja. Például, ha 18 oszt 5-tel, akkor az 5 osztója, de az 5 nem osztja a 18-at. Ha a 18 osztja a 6-ot, akkor ebben az esetben az „osztó” és az „e szám osztója” fogalmak. egybeesik.

Az oszthatósági reláció és az a = 1·a egyenlőség bármely természetes a-ra érvényes definíciójából az következik, hogy 1 bármely természetes szám osztója.

Nézzük meg, hány osztója lehet egy természetes számnak. Először nézzük meg a következő tételt.

Tétel 1. Adott a szám b osztója nem haladja meg ezt a számot, azaz. ha

a: . b, majd b< а.

Bizonyíték. Mivel a: . b, akkor létezik olyan q Є N, hogy a = bq u, tehát a-b = bq – b= b (q - egy). Mivel q Є N, akkor q≥ 1. Ekkor b (q - 1) ≥ 0 és ezért , b ≤ a.

Ebből a tételből következik, hogy egy adott szám osztóinak halmaza véges. Nevezzük meg például, hogy a 36-os szám minden osztója véges halmazt alkot (1,2,3,4,6,9,12,18,36).

A természetes számok osztóinak számától függően prímszámokat és összetett számokat különböztetünk meg.

Meghatározás. A prímszám olyan természetes szám, amelynek csak két osztója van - egy és maga a szám.

Például a 13-as szám prímszám, mert csak két osztója van: 1 és 13.

Meghatározás. Az összetett szám olyan természetes szám, amelynek kettőnél több osztója van.

Tehát a 4-es szám összetett, három osztója van: 1, 2 és 4.

Az 1-es szám nem prímszám és nem is összetett szám, mivel csak egy osztója van.

Azokat a számokat, amelyek egy adott szám többszörösei, tetszés szerint hívhatjuk – végtelen sok van belőlük. Tehát azok a számok, amelyek 4 többszörösei, végtelen sorozatot alkotnak: 4, 8, 12, 16, 20, 24, ..., és mindegyik megkapható az a = 4q képlettel, ahol q veszi az értékeket 1, 2, 3, ... .

Tudjuk, hogy az oszthatósági relációnak számos tulajdonsága van, különösen reflexív, antiszimmetrikus és tranzitív. Most az oszthatósági reláció definíciója birtokában tudjuk bizonyítani annak ezeket és más tulajdonságait.

Tétel 2. Az oszthatósági reláció reflexív, azaz. Bármely természetes szám osztható önmagával.

Bizonyíték. Bármely természetes a-ra igaz az a = a 1 egyenlőség. Mivel 1 Є N, ezért az oszthatósági reláció definíciója szerint a: . a.

Tétel 3. Az oszthatósági reláció antiszimmetrikus, azaz. Ha egy: . b és a ≠ b,

azután b⁞͞ a.

Bizonyíték. Tegyük fel az ellenkezőjét, pl. mit b ⁞ a. De ekkor a ≤ b, a fent tárgyalt tétel szerint.

Feltétel szerint és ⁞ . b és a ≠ b. Ekkor ugyanezzel a tétellel b ≤ a.

Az a ≤ b és b ≤ a egyenlőtlenségek csak akkor érvényesek, ha a = b, ami ellentmond a tétel feltételének. Ezért a feltevésünk téves, és a tétel bizonyítást nyer.

4. tétel. Az oszthatósági reláció tranzitív, azaz. Ha egy ⁞ b és b ⁞ s, majd a ⁞ val vel.

Bizonyíték. Mivel a: . b, akkor létezik olyan q természetes szám, amelyre a = bq, és mivel b ⁞ c, akkor létezik olyan p természetes szám, amelyre b = cp. De akkor megvan: a = bq = (cp)q = c(pq)- A pq szám természetes. Tehát az oszthatósági reláció definíciója szerint

a ⁞ val vel.

Tétel 5 (az összeg oszthatóságának jele). Ha az a 1 , a 2 , ... és p természetes számok mindegyike osztható b természetes számmal, akkor az a 1 + a 2 + ... + a n összegük osztható ezzel a számmal.

Bizonyíték. Mivel egy 1 ⁞ b, akkor van egy q 1 természetes szám, amelyre a 1 =bq 1 . Mivel egy 2 ⁞ b, akkor van egy q 2 természetes szám, amelyre a 2 = bq 2 . Az okfejtést folytatva azt kapjuk, hogy ha egy n: . b, akkor van egy q n természetes szám, amelyre a p = bq n . Ezek az egyenlőségek lehetővé teszik, hogy az a 1 + a 2 + ... + a n összeget bq 1 + bq 2 + ... + bq n alakú összegre alakítsuk át. Kivesszük a b közös tényezőt, és a zárójelben kapott q 1 + q 2 + ... + q n természetes számot q betűvel jelöljük. Azután egy 1+ a 2 + ... + a n = b(q 1 + q 2 +... + q n) = bq, azaz. az a 1 + a 2 +… + a p összegről kiderült, hogy a b szám és valamilyen q természetes szám szorzata. Ez pedig azt jelenti, hogy az a 1 + a 2 + ... + a p összeg osztható b-vel, amit bizonyítani kellett.

Például számítások elvégzése nélkül azt mondhatjuk, hogy 175 + 360 + 915 osztható 5-tel, mivel ebben az összegben minden tag osztható 5-tel.

6. Tétel (egy különbség oszthatóságának vizsgálata). Ha az a 1 és a 2 számok oszthatók b-vel és a 1 ≥ a 2, akkor a 1 - a 2 különbségük osztható b-vel.

Ennek a tételnek a bizonyítása hasonló az összeg oszthatósági kritériumának bizonyításához.

7. Tétel (egy szorzat oszthatóságának vizsgálata). Ha az a szám osztható b-vel, akkor az ax alakú szorzat, ahol x Є N osztható b-vel.

Bizonyíték. Mivel a: . b, akkor létezik olyan q természetes szám, amelyre a= bq. Szorozzuk meg ennek az egyenlőségnek mindkét oldalát egy x természetes számmal. Ekkor ax=(bq)x, ahonnan a szorzás asszociativitási tulajdonsága alapján (bq)x = b(qx) és ezért ax = b(qx), ahol qx egy természetes szám. Az oszthatósági reláció definíciója szerint ax: . b, amit bizonyítani kellett.

A bizonyított tételből következik, hogy ha egy szorzat egyik tényezője osztható egy b természetes számmal, akkor az egész szorzat is osztható b-vel. Például a 24 976 305 szorzat osztható 12-vel, mivel a 24-es tényező osztható 12-vel.

Tekintsünk még három tételt az összeg és a szorzat oszthatóságával kapcsolatban, amelyeket gyakran használnak oszthatósági problémák megoldásában.

8. Tétel. Ha az összegben egy tag nem osztható b számmal, és az összes többi tag osztható b számmal, akkor a teljes összeg nem osztható b számmal.

Bizonyíték. Legyen s = a 1 + a r + ... + a n + "c, és ismert, hogy a 1: . B és 2: . B,

a 3: . b, … és n: . b, de a következővel: . b. Bizonyítsuk be, hogy akkor s: . b

Tegyük fel az ellenkezőjét, pl. Legyen: . b. Alakítsuk át az s összeget с = s- ( egy 1 + a 2 +… + a n). s óta: . b feltételezés szerint, ( egy 1 + a 2 +… + a n) : . b az összeg oszthatósági kritériuma szerint, majd a c különbség oszthatósági tételével: .b

Ellentmondásba került azzal, ami adott. Ezért s: . b.

Például a 34 + 125 + 376 + 1024 összeg nem osztható 2-vel, így a 34: .2.376: .2.124: .2, de a 125 nem osztható 2-vel.

Tétel 9 . Ha a szorzatban ab a tényező a osztható egy m természetes számmal, és a b tényező osztható egy n természetes számmal, akkor ab osztható mn-nel.

Ennek az állításnak az érvényessége a szorzat oszthatóságára vonatkozó tételből következik.

10. tétel. Ha a munka ász akkor osztható bc szorzattal, c pedig természetes szám a osztható b-vel.

Bizonyíték. Mivel az ász oszt bc-n, akkor létezik olyan q természetes szám, hogy ac = (bc)q, ahonnan ac = (bq)c, és ennek következtében a = bq, azaz. a:.b.

Feladatok

1. Magyarázza el, hogy a 15 miért osztója 60-nak, és miért nem osztója 70-nek.

2. Szerkesszük meg az X = (2, 6,. 12, 18, 24) halmazon adott „egy adott szám osztójaként” összefüggés grafikonját! Hogyan jelennek meg a tulajdonságok ezen a grafikonon adott kapcsolat?

3. Ismeretes, hogy a 24 osztója 96-nak, a 96 pedig osztója 672-nek. Bizonyítsuk be, hogy a 24 osztója 672-nek osztás nélkül.

4. Írja fel a szám osztóinak halmazát!

a) 24; 6)13; az 1-ben.

5 .Az X =(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11; 12) halmazon az „azonos számú osztó” reláció adott. Ez egy ekvivalencia reláció?

6 . Készítsen egy következtetést, amely bizonyítja, hogy:

a) a 19 prímszám;

b) a 22-es szám összetett.

7. Bizonyítsa vagy cáfolja a következő állításokat:

a) Ha két tag összege osztható valamilyen számmal, akkor minden tag osztható ezzel a számmal.

b) Ha az összeg egyik tagja nem osztható valamilyen számmal, akkor az összeg nem osztható ezzel a számmal.

c) Ha egyetlen tag sem osztható valamely számmal, akkor az összeg nem osztható ezzel a számmal.

d) Ha az összeg egyik tagja osztható valamilyen számmal, a másik pedig nem osztható ezzel a számmal, akkor az összeg nem osztható ezzel a számmal.

8. Igaz-e, hogy:

a) a:. b típus: . n =>ab: .mn

b) a: .n és b: .n => ab: .n;

c) ab: .n => a: .p vagy b: .n.