Utasítás

Ismerje meg, hogyan alakíthatja át a tizedesjegyeket törtté. Számolja meg, hány karakter van vesszővel elválasztva. Egy számjegy a tizedesvesszőtől jobbra azt jelenti, hogy a nevező 10, két számjegy 100, három számjegy 1000, és így tovább. Például a tizedesjegy 6,8 „hat pontos nyolc”. Átalakításkor először írja be az egész egységek számát - 6. Írjon 10-et a nevezőbe. A 8-as szám lesz a számlálóban. Kiderül, hogy 6,8 \u003d 6 8/10. Ne feledje a rövidítési szabályokat. Ha a számláló és a nevező osztható ugyanazzal a számmal, akkor a tört közös osztóval csökkenthető. Ebben az esetben ez a szám 2. 6 8/10 = 6 2/5.

Próbáljon tizedesjegyeket hozzáadni. Ha ezt egy oszlopban teszi, akkor legyen óvatos. Az összes szám számjegyének szigorúan egymás alatt kell lennie - vessző alatt. Az összeadás szabályai pontosan ugyanazok, mint a -val végzett műveletnél. Adjunk hozzá ugyanahhoz a 6,8-hoz még egy tizedes törtet – például 7,3-at. Nyolc alá írjon hármast, vessző alá vesszőt, hatos alá hetest. Kezdje az összeadást az utolsó számjegytől. 3+8=11, azaz írj fel 1-et, emlékezz 1-re. Ezután adjunk hozzá 6 + 7-et, és kapjunk 13-at. Adjuk hozzá, ami eszünkbe jutott, és írjuk le az eredményt - 14.1.

A kivonás ugyanúgy történik. Írja a számjegyeket egymás alá, vesszőt - vessző alá. Mindig összpontosítson rá, különösen akkor, ha a redukált számjegyek száma utána kevesebb, mint a kivontban. Vonjunk ki egy adott számból, például 2,139. Írd a kettőt a hat alá, az egyet a nyolc alá, a maradék két számot a következő számjegyek alá, amelyeket nullákkal jelölhetünk! Kiderült, hogy a minuend nem 6,8, hanem 6,800. A művelet végrehajtása után összesen 4661-et kapsz.

A negatív tizedesjegyekkel végzett műveleteket ugyanúgy hajtjuk végre, mint az egész számokkal. Összeadáskor a mínusz kikerül a zárójelből, és zárójelbe írjuk a megadott számokat, közéjük pedig egy pluszt. Az eredmény egy negatív szám. Vagyis -6,8 és -7,3 hozzáadásával ugyanazt az eredményt kapjuk, mint a 14,1, de előtte egy "-". Ha a részérték nagyobb, mint a minuend, akkor a mínusz is kikerül a zárójelből, több a kisebbet kivonjuk. Vonja ki a -7,3-at 6,8-ból. Alakítsa át a kifejezést a következőképpen. 6,8 - 7,3 \u003d - (7,3 - 6,8) \u003d -0,5.

A tizedesjegyek szorzásához felejtse el egy időre a vesszőt. Szorozza meg őket úgy, mintha egész számok lennének. Ezt követően számolja meg mindkét tényezőben a tizedesvessző után jobbra eső számjegyek számát. Válasszon el ugyanannyi karaktert a munkában. Ha megszorozzuk 6,8-at és 7,3-at, akkor 49,64-et kapunk. Vagyis a vesszőtől jobbra 2 számjegy lesz, míg a szorzóban és a szorzóban egy-egy.

Osszuk el a megadott törtet valamilyen egész számmal. Ezt a műveletet ugyanúgy hajtjuk végre, mint az egész számoknál. A lényeg az, hogy ne feledkezzünk meg a vesszőről és tegyünk 0-t az elejére, ha az egész egységek száma nem osztható osztóval. Például próbálja meg ugyanazt a 6,8-at elosztani 26-tal. Tegyen 0-t az elejére, mert a 6 kisebb, mint 26. Vesszővel válassza el, a tized és a század továbbmegy. Az eredmény körülbelül 0,26 lesz. Valójában ebben az esetben egy végtelen nem periodikus törtet kapunk, amely a kívánt pontossági fokra kerekíthető.

Két tizedes tört osztásakor használjuk azt a tulajdonságot, hogy az osztó és az osztó azonos számmal való szorzásakor a hányados nem változik. Ez azt jelenti, hogy mindkét törtet egész számokká alakítsa, attól függően, hogy hány tizedesjegy van. Ha el akarjuk osztani 6,8-at 7,3-mal, akkor elég mindkét számot megszorozni 10-zel. Kiderült, hogy a 68-at el kell osztani 73-mal. Ha az egyik számban több számjegy van a tizedesvessző után, először konvertálja át egy egész számot, majd egy második számot. Szorozza meg ugyanazzal a számmal. Ez azt jelenti, hogy ha 6,8-at osztunk 4,136-tal, az osztalékot és az osztót ne 10-zel, hanem 1000-szeressel növeljük. Ha 6800-at elosztunk 1436-tal, akkor 4,735-öt kapunk.

Közönséges tört (vagy vegyes szám), amelynek nevezője egy, majd egy vagy több nulla (azaz 10, 100, 1000 stb.):

egyszerűbb formában is felírható: nevező nélkül, vesszővel elválasztva egymástól az egész és a tört részt (ebben az esetben úgy gondoljuk, hogy a megfelelő tört egész része 0). Először az egész részt írjuk ki, majd egy vesszőt, utána pedig a tört részt.

Az ilyen formában írt közönséges törteket (vagy vegyes számokat) nevezzük tizedesjegyek.

Tizedesjegyek olvasása és írása

A tizedes törteket ugyanazok a szabályok szerint írják fel, mint a természetes számokat a tizedes számrendszerben. Ez azt jelenti, hogy a tizedesjegyekben, akárcsak a természetes számokban, minden számjegy olyan mértékegységet fejez ki, amely tízszer nagyobb, mint a jobb oldali szomszédos egység.

Vegye figyelembe a következő bejegyzést:

A 8-as szám egyszerű egységeket jelent. A 3-as szám olyan mértékegységeket jelent, amelyek 10-szer kisebbek, mint az egyszerű mértékegységek, azaz a tizedek. A 4 a századrészeket, a 2 az ezredrészeket jelenti stb.

A tizedesvessző után jobbra lévő számokat hívjuk tizedes jel.

A tizedes törteket a következőképpen olvassuk: először az egész részt hívjuk meg, majd a tört részt. Az egész rész olvasásakor mindig válaszolnia kell a kérdésre: hány egész szám van az egész részben? . A válaszhoz az egész (vagy egész) szó kerül hozzáadásra, az egész egységek számától függően. Például egy egész, két egész, három egész, stb. A tört rész olvasásakor a megosztások számát hívják meg, és a végére hozzáadják azoknak a megosztásoknak a nevét, amelyekkel a tört rész véget ér:

3:1: három pont egy tized.

A 2,017 így hangzik: két pont tizenhét ezrelék.

A tizedes törtek írásának és olvasásának szabályainak jobb megértése érdekében vegye figyelembe a számjegytáblázatot és az abban található példákat a számok írására:

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a tizedestört tizedespontja után annyi számjegy van, ahány nulla a megfelelő közönséges tört nevezőjében:

Ezt az anyagot egy olyan fontos témának szenteljük, mint a tizedes törtek. Először is definiáljuk az alapvető definíciókat, mondjunk példákat és térjünk ki a tizedes jelölés szabályaira, valamint arra, hogy mik a tizedes törtek számjegyei. Ezután kiemeljük a főbb típusokat: véges és végtelen, periodikus és nem periódusos törtek. Az utolsó részben megmutatjuk, hogyan helyezkednek el a törtszámoknak megfelelő pontok a koordinátatengelyen.

Mi a törtszámok decimális jelölése

A törtszámok úgynevezett decimális jelölése természetes és törtszámokra is használható. Úgy néz ki, mint egy két vagy több számból álló halmaz, köztük vesszővel.

A tizedesvessző az egész rész és a tört rész elválasztására szolgál. Általános szabály, hogy a tizedesjegy utolsó számjegye soha nem nulla, kivéve, ha a tizedesvessző közvetlenül az első nulla után van.

Milyen példák vannak a tört számokra decimális jelölésben? Ez lehet 34 , 21 , 0 , 35035044 , 0 , 0001 , 11 231 552 , 9 stb.

Egyes tankönyvekben megtalálható a pont használata vessző helyett (5. 67, 6789. 1011 stb.) Ez a lehetőség egyenértékűnek tekinthető, de inkább az angol nyelvű forrásokra jellemző.

A tizedesjegyek meghatározása

A fenti tizedesjegy-fogalom alapján a tizedes törtek alábbi definícióját fogalmazhatjuk meg:

1. definíció

A tizedesek tört számok tizedes jelölésben.

Miért kell törteket írnunk ebben a formában? Ez bizonyos előnyöket biztosít a közönségesekkel szemben, például egy tömörebb jelölést, különösen olyan esetekben, amikor a nevező 1000, 100, 10 stb. vagy vegyes szám. Például a 6 10 helyett megadhatunk 0 , 6 , 25 helyett 10000 - 0 , 0023 , 512 helyett 3 100 - 512 , 03 .

Egy külön anyagban leírjuk, hogyan kell helyesen ábrázolni a tízes, százas, ezres nevezőben lévő közönséges törteket decimális formában.

Hogyan kell helyesen olvasni a tizedesjegyeket

Van néhány szabály a tizedesjegyek rekordjainak olvasására. Tehát azokat a tizedes törteket, amelyek megfelelnek a szokásos közönséges megfelelőiknek, szinte ugyanúgy olvassuk, de a "nulla tized" szavak hozzáadásával az elején. Tehát a 0 , 14 bejegyzés, amely 14 100 -nak felel meg, "nulla pont tizennégy századdal" olvasható.

Ha egy tizedes tört vegyes számhoz társítható, akkor azt ugyanúgy olvassuk, mint ezt a számot. Tehát, ha van egy 56 002-es törtünk, amely 56 2 1000-nek felel meg, akkor egy ilyen bejegyzést úgy olvasunk, hogy "ötvenhat pont két ezredrész".

A decimális jelölésben szereplő számjegyek értéke attól függ, hogy hol helyezkedik el (akárcsak a természetes számok esetében). Tehát a 0, 7, hét tizedes törtben tized, 0, 0007-ben tízezred, a 70 000, 345 törtben pedig héttízezer egész egységet jelent. Így a tizedes törtekben ott van a számjegy fogalma is.

A vessző előtt elhelyezkedő számjegyek neve hasonló a természetes számokban található számjegyekhez. Az ezután találhatók nevei egyértelműen szerepelnek a táblázatban:

Vegyünk egy példát.

1. példa

Nálunk a 43, 098 decimális. A tízes helyen négyes, az egységeknél egy hármas, a tizedik helyen nulla, a századik helyen 9 és az ezredik helyen 8 van.

Szokás szerint a tizedes törtek számjegyeit szenioritás szerint megkülönböztetni. Ha balról jobbra haladunk a számok között, akkor a magasból az alacsony számjegyek felé haladunk. Kiderült, hogy százak idősebbek a tízeseknél, a milliomod pedig fiatalabb a századiknál. Ha azt a végső tizedes törtet vesszük, amelyet fent példaként említettünk, akkor benne a felső vagy a legmagasabb számjegy a százasok számjegye, a legalacsonyabb vagy legalacsonyabb pedig a 10 ezrelék számjegye.

Bármely tizedes tört külön számjegyekre bontható, azaz összegként ábrázolható. Ezt a műveletet ugyanúgy hajtjuk végre, mint a természetes számoknál.

2. példa

Próbáljuk meg az 56, 0455 törtet számjegyekre bővíteni.

Képesek leszünk:

56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005

Ha emlékszünk az összeadás tulajdonságaira, akkor ezt a törtet más formában is ábrázolhatjuk, például 56 + 0, 0455 vagy 56, 0055 + 0, 4 stb. összegként.

Mik azok a tizedesjegyek

Az összes tört, amelyről fentebb beszéltünk, záró tizedesjegyek. Ez azt jelenti, hogy a tizedesvessző utáni számjegyek száma véges. Nézzük a definíciót:

1. definíció

A záró tizedesjegyek olyan tizedesjegyek, amelyekben a vessző után véges számjegy áll rendelkezésre.

Ilyen törtek például a 0, 367, 3, 7, 55, 102567958, 231032, 49 stb.

Ezen törtek bármelyike ​​átalakítható vegyes számmá (ha törtrészük értéke nullától eltérő), vagy közönséges törté (ha az egész rész nulla). Ennek mikéntjére külön anyagot szenteltünk. Itt csak néhány példát mutatunk be: például az 5, 63 végső tizedes törtet 5 63 100 alakba hozhatjuk, a 0, 2 pedig 2 10-nek felel meg (vagy bármely más, vele egyenlő törtnek, pl. 4 20 vagy 1 5 .)

De a fordított folyamat, pl. a közönséges tört tizedes formájú írása nem mindig lehetséges. Tehát az 5 13 nem helyettesíthető egyenlő törttel, amelynek nevezője 100, 10 stb., ami azt jelenti, hogy a végső tizedes tört nem fog kijönni belőle.

A végtelen tizedes törtek fő típusai: periodikus és nem periódusos törtek

Fentebb jeleztük véges törtekúgy hívják, mert véges számú számjegyük van a tizedesvessző után. Lehetséges azonban, hogy végtelen, ebben az esetben magukat a törteket is végtelennek nevezzük.

2. definíció

A végtelen tizedesjegyek azok, amelyekben a tizedesvessző után végtelen számú számjegy van.

Nyilvánvaló, hogy az ilyen számokat egyszerűen nem lehet teljesen felírni, ezért csak egy részét jelöljük meg, majd ellipszist teszünk. Ez a jel a tizedesjegyek sorozatának végtelen folytatását jelzi. Példák a végtelen tizedesjegyekre: 0 , 143346732 ... , 3 , 1415989032 ... , 153 , 0245005 ... , 2 , 66666666666 ... , 69 , 748768152 ... . stb.

Egy ilyen tört „farkában” nemcsak véletlenszerűnek tűnő számsorok lehetnek, hanem ugyanazon karakter vagy karaktercsoport állandó ismétlődése. A tizedesvessző után váltakozó törteket periodikusnak nevezzük.

3. definíció

A periodikus tizedes törtek olyan végtelen tizedes törtek, amelyekben egy számjegy vagy több számjegyből álló csoport ismétlődik a tizedesvessző után. Az ismétlődő részt a tört periódusának nevezzük.

Például a 3. tört esetében 444444 ... . a periódus a 4-es lesz, a 76-osnál pedig a 134134134134 ... - a 134-es csoport.

Mit minimális mennyiség Megengedhető-e jelek hagyása a periódusos tört nyilvántartásában? Periodikus törtek esetén elegendő a teljes időszakot egyszer zárójelbe írni. Tehát a tört 3, 444444 ... . helyes a 3, (4) és 76, 134134134134 ... - 76, (134) beírása.

Általánosságban elmondható, hogy a több pontot tartalmazó bejegyzések zárójelben pontosan ugyanazt jelentik: például a 0,677777 periodikus tört ugyanaz, mint a 0,6 (7) és a 0,6 (77) stb. Az olyan bejegyzések is megengedettek, mint a 0 , 67777 (7), 0 , 67 (7777) és mások.

A hibák elkerülése érdekében bevezetjük a jelölések egységességét. Állapodjunk meg, hogy csak egy pontot (a lehető legrövidebb számjegysorozatot) írunk fel, amely a legközelebb van a tizedesvesszőhöz, és tegyük zárójelbe.

Vagyis a fenti törtnél a 0, 6 (7) bejegyzést tekintjük főnek, és például a 8, 9134343434 tört esetében 8, 91 (34) .

Ha egy közönséges tört nevezője olyan prímtényezőket tartalmaz, amelyek nem egyenlők 5-tel és 2-vel, akkor tizedesjegyre konvertálva végtelen törteket kapunk belőlük.

Elvileg bármilyen véges törtet felírhatunk periodikusnak. Ehhez csak végtelen számú nullát kell hozzáadnunk a jobb oldalra. Hogy néz ki a lemezen? Tegyük fel, hogy van egy végső törtünk 45, 32. Periodikus formában ez így fog kinézni: 45 , 32 (0) . Ez a művelet azért lehetséges, mert ha nullákat adunk bármely tizedes tört jobb oldalához, akkor egy vele egyenlő törtet kapunk.

Külön-külön érdemes elidőzni a 9-es periódusú periodikus törteknél, például 4, 89 (9), 31, 6 (9) . Alternatív jelölést jelentenek a 0-s periódusú hasonló törtekre, ezért gyakran helyettesítik őket nulla ponttal rendelkező törtekkel. Ezzel egyidejűleg a következő számjegyhez hozzáadunk egyet, és zárójelben (0) látható. A kapott számok egyenlősége könnyen ellenőrizhető, ha közönséges törtként adjuk meg őket.

Például a 8, 31 (9) tört helyettesíthető a megfelelő 8, 32 (0) törttel. Vagy 4, (9) = 5, (0) = 5.

A végtelen decimális periodikus törtek utalnak racionális számok. Más szavakkal, bármely periodikus tört ábrázolható közönséges törtként, és fordítva.

Vannak olyan törtek is, amelyekben a tizedesvessző után nincs végtelenül ismétlődő sorozat. Ebben az esetben ezeket nem periódusos törteknek nevezzük.

4. definíció

A nem periódusos tizedes törtek azok a végtelen tizedes törtek, amelyek nem tartalmaznak pontot a tizedesvessző után, pl. ismétlődő számcsoport.

Néha a nem periódusos törtek nagyon hasonlítanak a periodikusokhoz. Például a 9 , 03003000300003 ... első pillantásra úgy tűnik, hogy van egy pont, de a tizedesjegyek részletes elemzése megerősíti, hogy ez még mindig nem periodikus tört. Nagyon óvatosnak kell lenni az ilyen számokkal.

A nem periodikus törtek azok irracionális számok. Nem alakítják át közönséges törtekké.

Alapvető műveletek tizedesjegyekkel

A tizedes törtekkel a következő műveletek hajthatók végre: összehasonlítás, kivonás, összeadás, osztás és szorzás. Elemezzük mindegyiket külön-külön.

A tizedesjegyek összehasonlítása lecsökkenthető az eredeti tizedesjegyeknek megfelelő közönséges törtek összehasonlítására. De a végtelen nem periódusos törtek nem redukálhatók ebbe a formába, és a tizedes törtek átalakítása közönségessé gyakran fáradságos feladat. Hogyan lehet gyorsan végrehajtani egy összehasonlító műveletet, ha a probléma megoldása során szükséges? Kényelmes a tizedes törtek számjegyek szerinti összehasonlítása ugyanúgy, mint a természetes számok összehasonlítása. Ennek a módszernek külön cikket fogunk szentelni.

Egy tizedes tört hozzáadásához kényelmes az oszlopösszeadás módszere, mint a természetes számok esetében. Az időszakos tizedes törtek hozzáadásához először ki kell cserélni őket közönséges törtekre, és a szabványos séma szerint kell számolni. Ha a feladat feltételei szerint végtelen nem periódusos törtet kell összeadnunk, akkor ezeket először fel kell kerekíteni egy bizonyos számjegyre, majd össze kell adni. Minél kisebb számjegyre kerekítünk, annál pontosabb lesz a számítás. A végtelen törtek kivonásához, szorzásához és osztásához előzetes kerekítés is szükséges.

A tizedes törtek különbségének megtalálása az összeadás ellentéte. Valójában a kivonás segítségével találhatunk olyan számot, amelynek összege a kivont törttel a csökkentett számot adja. Erről részletesebben egy külön cikkben fogunk beszélni.

A tizedes törtek szorzása ugyanúgy történik, mint a természetes számok esetében. Erre is alkalmas az oszlopos számítás módszere. Ezt a műveletet a periodikus törtekkel ismét a közönséges törtek szorzására redukáljuk a már vizsgált szabályok szerint. A végtelen törteket, mint emlékszünk, kerekíteni kell a számolás előtt.

A tizedesjegyek osztásának folyamata a szorzási folyamat fordítottja. A feladatok megoldásánál oszlopszámlálást is alkalmazunk.

Pontos megfelelést állíthat be a tizedes vége és a koordinátatengely egy pontja között. Találjuk ki, hogyan jelöljünk meg egy pontot a tengelyen, amely pontosan megfelel a szükséges tizedes törtnek.

Azt már tanulmányoztuk, hogyan lehet a közönséges törteknek megfelelő pontokat létrehozni, és a tizedes törtek ilyen formára redukálhatók. Például a 14 10 közös tört ugyanaz, mint az 1 , 4 , tehát a neki megfelelő pont pozitív irányban pontosan ugyanolyan távolságra lesz az origótól:

Megteheti anélkül, hogy a tizedes törtet közönséges törtre cserélné, és a számjegybővítési módszert veheti alapul. Tehát, ha meg kell jelölnünk egy pontot, amelynek koordinátája 15 , 4008 , akkor először ezt a számot 15 + 0 , 4 + , 0008 összegként ábrázoljuk. Először 15 egész számot halasztunk el az origóból egyedi szegmensek pozitív irányban, majd egy szegmens 4 tizedét, majd egy szegmens 8 tízezrelékét. Ennek eredményeként kapunk egy koordináta pontot, amely megfelel a 15, 4008 törtnek.

Végtelen tizedes tört esetén jobb ezt a módszert használni, mivel ez lehetővé teszi, hogy a kívánt pontot olyan közelre közelítse, amennyire csak akarja. Bizonyos esetekben lehetőség van egy végtelen tört pontos megfeleltetésére építeni a koordinátatengelyen: például 2 = 1, 41421. . . , és ez a tört egy ponthoz társítható koordináta nyaláb, amelyet 0-tól eltávolítunk a négyzet átlójának hosszával, amelynek oldala egy egységnyi szegmenssel lesz egyenlő.

Ha nem egy pontot találunk a tengelyen, hanem egy ennek megfelelő tizedes törtet, akkor ezt a műveletet a szakasz decimális mérésének nevezzük. Lássuk, hogyan kell helyesen csinálni.

Tegyük fel, hogy nullából a koordinátatengely egy adott pontjához kell eljutnunk (vagy végtelen tört esetén a lehető legközelebb). Ehhez fokozatosan félreteszünk egységnyi szegmenseket a koordináták origójától, amíg el nem érjük a kívánt pontot. Egész szegmensek után szükség esetén tizedeket, századokat és kisebb részeket mérünk, hogy a megfeleltetés minél pontosabb legyen. Ennek eredményeként egy tizedes törtet kaptunk, ami megfelel adott pont a koordinátatengelyen.

Fent adtunk egy képet M ponttal. Nézze meg még egyszer: ahhoz, hogy idáig eljusson, egy egységnyi szegmenst kell mérnie nullától és annak négy tizedét, mivel ez a pont az 1, 4 tizedes törtnek felel meg.

Ha a tizedesmérés során egy pontot nem tudunk eltalálni, akkor az azt jelenti, hogy végtelen tizedes törtnek felel meg.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Ebben a cikkben meg fogjuk érteni, mi az a tizedes tört, milyen jellemzői és tulajdonságai vannak. Megy! 🙂

A tizedes tört a közönséges törtek speciális esete (amelyben a nevező 10 többszöröse).

Meghatározás

A tizedesek olyan törtek, amelyek nevezői egyből és az azt követő bizonyos számú nullából álló számok. Vagyis ezek 10, 100, 1000 stb. nevezőjű törtek. Egyébként a tizedes tört olyan törtként jellemezhető, amelynek nevezője 10 vagy tíz hatványa.

Példák a törtre:

, ,

A tizedes törteket másképp írják, mint a közönséges törtet. Az ezekkel a törtekkel végzett műveletek szintén eltérnek a szokásos műveletektől. A rájuk vonatkozó műveletek szabályai nagymértékben közel állnak az egész számokkal végzett műveletek szabályaihoz. Ez különösen meghatározza azok relevanciáját a gyakorlati problémák megoldásában.

Tört ábrázolása tizedes jelöléssel

A decimális jelölésben nincs nevező, a számláló számát jeleníti meg. BAN BEN Általános nézet A tizedes tört a következőképpen írható:

ahol X a tört egész része, Y a tört része, "," a tizedesvessző.

A közönséges tört tizedesjegyként való helyes ábrázolásához az szükséges, hogy az helyes legyen, azaz legyen kiemelt egész résszel (ha lehetséges) és a nevezőnél kisebb számlálóval. Ekkor tizedes jelölésnél az egész részt a tizedesvessző (X) elé, a közönséges tört számlálóját pedig a tizedesvessző (Y) után írjuk.

Ha a számláló a nevezőben lévő nullák számánál kisebb számjegyű számot jelöl, akkor az Y részben a decimális jelölés hiányzó számjegyeit a számláló számjegyei elé nullákkal töltjük.

Példa:

Ha a közönséges tört kisebb, mint 1, azaz. nincs egész része, akkor X-re decimális formában 0 van írva.

A tört részben (Y) az utolsó jelentős (nullától eltérő) számjegy után tetszőleges számú nulla írható be. Ez nem befolyásolja a tört értékét. És fordítva: a tizedes tört tört részének végén minden nulla elhagyható.

Tizedesjegyek olvasása

Az X. részt általános esetben a következőképpen olvassuk: „X egész számok”.

Az Y részt a nevezőben lévő szám szerint olvassuk be. A 10-es nevezőnél ezt kell olvasni: "Y tized", a 100 nevezőnél: "Y század", az 1000 nevezőnél: "Y ezred" és így tovább... 😉

Az olvasás egy másik megközelítése helyesebbnek tekinthető, a tört rész számjegyeinek megszámlálásán alapul. Ehhez meg kell értenie, hogy a tört számjegyek tükörképen helyezkednek el a tört egész részének számjegyeihez képest.

A helyes olvasáshoz szükséges neveket a táblázat tartalmazza:

Ennek alapján a leolvasást a törtrész utolsó számjegye kategória nevének való megfelelés alapján kell végezni.

• A 3.5-ös szöveg „három pont öt”
• 0,016 „nulla pont tizenhat ezrelék”

Tetszőleges közönséges tört tizedesvesszővé alakítása

Ha egy közönséges tört nevezője 10 vagy tíz hatványa, akkor a tört a fent leírtak szerint alakul át. Más esetekben további átalakításokra van szükség.

2 módja van a fordításnak.

A fordítás első módja

A számlálót és a nevezőt meg kell szorozni olyan egész számmal, hogy a nevező 10 legyen, vagy tíz hatványa legyen. Ezután a tört decimális jelöléssel van ábrázolva.

Ez a módszer olyan törtekre alkalmazható, amelyek nevezőjét csak 2-re és 5-re bontjuk. Tehát az előző példában . Ha más prímtényezők is szerepelnek a bővítésben (például ), akkor a 2. módszerhez kell folyamodnia.

A fordítás második módja

A 2. módszer az, hogy a számlálót elosztjuk a nevezővel egy oszlopban vagy egy számológépen. Az egész rész, ha van, nem vesz részt az átalakításban.

A tizedes törtet eredményező hosszú osztási szabályt az alábbiakban ismertetjük (lásd: Tizedesjegyek osztása).

Tizedes tört átalakítása közönségessé

Ehhez annak tört részét (a vesszőtől jobbra) számlálóként, a törtrész beolvasásának eredményét pedig a megfelelő számként a nevezőbe kell írni. Továbbá, ha lehetséges, csökkentenie kell a kapott frakciót.

Vég és végtelen tizedes

A tizedes törtet végsőnek nevezzük, melynek tört része véges számú számjegyből áll.

A fenti példák mindegyike pontosan a végső tizedes törteket tartalmazza. Azonban nem minden közönséges tört ábrázolható végső tizedesként. Ha egy adott törtre az 1. fordítási módszer nem alkalmazható, és a 2. módszer azt mutatja, hogy az osztás nem fejezhető be, akkor csak végtelen tizedes tört kapható.

Lehetetlen egy végtelen törtet teljes formában felírni. Hiányos formában az ilyen törtek ábrázolhatók:

1. a kívánt tizedesjegyek számára való csökkentés eredményeként;
2. periodikus tört formájában.

Periodikusnak nevezzük azt a törtet, amelyben a tizedesvessző után egy végtelenül ismétlődő számjegysorozat különböztethető meg.

A fennmaradó törteket nem periodikusnak nevezzük. A nem periodikus törtek esetében csak az 1. ábrázolási mód (kerekítés) megengedett.

Példa a periodikus törtre: 0,8888888 ... Itt van egy ismétlődő 8-as szám, amely nyilvánvalóan a végtelenségig ismétlődik, mivel nincs okunk az ellenkezőjét feltételezni. Ezt a számot hívják tört időszak.

Az időszakos frakciók tiszták és kevertek. A tizedes tört tiszta, amelyben a pont közvetlenül a tizedesvessző után kezdődik. A vegyes törtnek a tizedesvessző előtt egy vagy több számjegye van.

54,33333 ... - periodikus tiszta tizedes tört

2,5621212121 ... - periodikus vegyes frakció

Példák végtelen tizedesjegyek írására:

A 2. példa bemutatja, hogyan kell helyesen alkotni egy periódust periodikus törtben.

Periodikus tizedesjegyek konvertálása közönségessé

Egy tiszta periódusos tört közönséges periódussá alakításához írja be a számlálóba, és írjon be a nevezőbe egy kilencből álló számot a periódus számjegyeinek számával megegyező mennyiségben.

A vegyes ismétlődő tizedesjegyeket a következőképpen fordítjuk:

1. olyan számot kell alkotnia, amely a pont előtti tizedesvessző utáni számból és az első pontból áll;
2. a kapott számból vonjuk ki a pont előtti tizedesvessző utáni számot. Az eredmény egy közönséges tört számlálója lesz;
3. a nevezőbe egy számot kell beírni, amely a periódus számjegyeinek számával megegyező kilencből áll, majd nullákat követ, amelyek száma megegyezik a tizedesvessző előtti szám számjegyeinek számával. 1. periódus.

Tizedes összehasonlítás

A tizedes törteket kezdetben egész részükkel hasonlítják össze. Minél nagyobb az a tört, amelynek a nagyobb egész része van.

Ha az egész részek megegyeznek, akkor a tört rész megfelelő számjegyeinek számjegyeit összehasonlítjuk az elsőtől (tizedektől) kezdve. Ugyanez az elv érvényes itt is: a törtek közül a nagyobbik, amelynek nagyobb a tizedes rangja; ha a tizedes számjegyek egyenlőek, akkor a százas számjegyeket összehasonlítja, és így tovább.

Amennyiben

, mivel egyenlő egész részekkel és egyenlő tizedekkel a törtrészben a 2. törtnek több százada van.

Tizedesjegyek összeadása és kivonása

A tizedesek összeadása és kivonása ugyanúgy történik, mint az egész számok, a megfelelő számjegyeket egymás alá írva. Ehhez tizedesvesszőket kell tenni egymás alatt. Ekkor az egész rész egységei (tízes stb.), valamint a tört rész tizedei (századai stb.) egyeznek. A tört rész hiányzó számjegyeit nullákkal töltjük fel. Közvetlenül Az összeadás és kivonás folyamata ugyanúgy történik, mint az egész számok esetében.

Tizedes szorzás

A tizedes törtek szorzásához egymás alá kell írni őket, az utolsó számjegyhez igazítva, és nem kell figyelni a tizedespontok helyére. Ezután ugyanúgy meg kell szoroznia a számokat, mint az egész számok szorzásakor. Az eredmény kézhezvétele után újra kell számolni a tizedesvessző utáni számjegyek számát mindkét törtben, és a kapott számban vesszővel el kell választani a tört számjegyek teljes számát. Ha nincs elég számjegy, akkor azokat nullákra cseréljük.

Tizedesjegyek szorzása és osztása 10 n-nel

Ezek a műveletek egyszerűek, és a tizedesvessző mozgatásához vezetnek. P Szorzáskor a vessző jobbra kerül (a tört nő) a karakterek számával, egyenlő a számmal nullák 10 n-ben, ahol n tetszőleges egész hatvány. Ez azt jelenti, hogy a tört részből bizonyos számú számjegy átkerül az egész számba. Osztáskor a vessző balra kerül (a szám csökken), a számjegyek egy része pedig az egész részből a tört részbe kerül át. Ha nincs elég számjegy az átvitelhez, akkor a hiányzó számjegyeket nullákkal töltjük fel.

Már bent Általános Iskola a tanulók törtekkel foglalkoznak. Aztán minden témában megjelennek. Ezekkel a számokkal nem lehet elfelejteni a cselekvéseket. Ezért minden információt tudnia kell a közönséges és tizedes törtekről. Ezek a fogalmak egyszerűek, a lényeg az, hogy mindent rendben megértsünk.

Miért van szükség törtekre?

A minket körülvevő világ egész tárgyakból áll. Ezért nincs szükség részvényekre. De mindennapi élet folyamatosan arra készteti az embereket, hogy tárgyak és dolgok részeivel dolgozzanak.

Például a csokoládé több szeletből áll. Tekintsük azt a helyzetet, amikor a lapkáját tizenkét téglalap alkotja. Ha kettéosztod, akkor 6 részt kapsz. Jól lesz három részre osztva. De az ötös nem fog tudni egész számú szelet csokit adni.

Egyébként ezek a szeletek már töredékek. További felosztásuk pedig összetettebb számok megjelenéséhez vezet.

Mi az a "töredék"?

Ez egy szám, amely egy részből áll. Külsőleg úgy néz ki, mint két szám, amelyeket vízszintes vagy perjel választ el. Ezt a tulajdonságot törtnek nevezik. A felül (balra) írt számot számlálónak nevezzük. Az alsó (jobbra) a nevező.

Valójában a törtsáv osztásjelnek bizonyul. Vagyis a számlálót osztaléknak, a nevezőt pedig osztónak nevezhetjük.

Mik a törtek?

A matematikában ezeknek csak két típusa van: a közönséges és a tizedes törtek. Az iskolások először ismerkednek meg Általános Iskola, egyszerűen "törteknek" nevezik őket. A második az 5. osztályban tanul. Ekkor jelennek meg ezek a nevek.

Közös törtek mindazok, amelyek két számmal vannak felírva, amelyeket egy oszlop választ el. Például 4/7. A tizedes olyan szám, amelyben a tört résznek helymegjelölése van, és vesszővel van elválasztva az egész számtól. Például a 4.7. A tanulóknak tisztában kell lenniük azzal, hogy a két példa teljesen eltérő szám.

Minden egyszerű tört felírható tizedesként. Ez az állítás szinte mindig igaz ellentétes irány. Vannak szabályok, amelyek lehetővé teszik a tizedes tört közönséges törtként történő felírását.

Milyen alfajai vannak az ilyen típusú frakcióknak?

Inkább kezdje időrendben ahogy tanulmányozzák őket. A közönséges törtek az elsők. Közülük 5 alfajt lehet megkülönböztetni.

Helyes. A számlálója mindig kisebb, mint a nevező.

Rossz. A számlálója nagyobb vagy egyenlő, mint a nevező.

Csökkenthető / redukálhatatlan. Ez lehet helyes vagy helytelen. Egy másik dolog fontos, hogy a számlálónak és a nevezőnek van-e közös tényezője. Ha vannak, akkor a tört mindkét részét fel kell osztani, azaz csökkenteni kell.

Vegyes. Egy egész szám hozzá van rendelve a szokásos helyes (helytelen) törtrészéhez. És mindig a bal oldalon áll.

Összetett. Két, egymásra osztott frakcióból áll. Azaz egyszerre három törtjellemzője van.

A tizedesjegyeknek csak két alfaja van:

végleges, azaz olyan, amelyben a törtrész korlátozott (vége van);

végtelen - olyan szám, amelynek a tizedesvessző utáni számjegyei nem érnek véget (végtelenül írhatók).

Hogyan konvertálhat decimálist közönségessé?

Ha ez véges szám, akkor a szabályon alapuló asszociáció kerül alkalmazásra - ahogy hallom, így írom. Vagyis helyesen kell elolvasni és le kell írni, de vessző nélkül, de törtsorral.

A szükséges nevezőre vonatkozó tippként ne feledje, hogy az mindig egy és néhány nulla. Ez utóbbit annyi számjegyet kell beírni, ahány szám a szóban forgó szám törtrészében található.

Hogyan alakítsuk át a tizedes törteket közönséges törtekre, ha hiányzik a teljes részük, azaz egyenlő nullával? Például 0,9 vagy 0,05. A megadott szabály alkalmazása után kiderül, hogy nulla egész számot kell írnia. De nincs feltüntetve. Csak a töredékes részeket kell leírni. Az első szám nevezője 10, a másodiké 100. Vagyis a jelzett példákban számok lesznek válaszként: 9/10, 5/100. Sőt, az utóbbiról kiderül, hogy 5-tel csökkenthető. Ezért az eredményt 1/20-nak kell írni.

Hogyan készítsünk tizedesből közönséges törtet, ha annak egész része különbözik nullától? Például 5,23 vagy 13,00108. Mindkét példa beolvassa az egész részt, és beírja az értékét. Az első esetben ez 5, a másodikban 13. Ezután át kell lépni a tört részre. Velük ugyanazt a műveletet kell végrehajtani. Az első szám 23/100, a második 108/100000. A második értéket ismét csökkenteni kell. A válasz vegyes törtek: 5 23/100 és 13 27/25000.

Hogyan alakíthatunk át egy végtelen tizedesjegyet köztörtté?

Ha nem időszakos, akkor ilyen művelet nem hajtható végre. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy minden tizedes tört mindig végleges vagy periodikus törtté alakul.

Az egyetlen dolog, amit ilyen törttel szabad csinálni, az a kerekítés. De akkor a tizedesjegy megközelítőleg egyenlő lesz ezzel a végtelennel. Már közönségessé is alakítható. De a fordított folyamat: decimálisra konvertálás - soha nem adja meg a kezdeti értéket. Vagyis a végtelen nem periódusos törteket nem fordítjuk át közönséges törtekre. Ezt emlékezni kell.

Hogyan írjunk végtelen periodikus törtet közönséges alakba?

Ezekben a számokban a tizedesvessző után mindig egy vagy több számjegy jelenik meg, amelyek ismétlődnek. Ezeket nevezik periódusoknak. Például 0,3(3). Itt "3" az időszakban. Racionálisnak minősülnek, mivel közönséges törtekké alakíthatók.

Azok, akik találkoztak periodikus törtekkel, tudják, hogy lehetnek tiszták vagy kevertek. Az első esetben a pont közvetlenül a vesszőtől kezdődik. A másodikban a tört rész tetszőleges számokkal kezdődik, majd kezdődik az ismétlés.

A szabály, amellyel végtelen tizedesjegyet kell írni közönséges tört formájában, eltérő lesz e két számtípus esetében. Nagyon könnyű a tiszta periodikus törteket közönséges törtként írni. A végsőekhez hasonlóan ezeket is át kell alakítani: írd be a pontot a számlálóba, és a 9-es szám lesz a nevező, annyiszor ismétlődik, ahány számjegy van a periódusban.

Például 0,(5). A számnak nincs egész része, ezért azonnal tovább kell lépnie a tört részre. A számlálóba írjon 5-öt, a nevezőbe pedig 9-et, vagyis az 5/9-es tört lesz a válasz.

Szabály egy vegyes tört közönséges tizedes tört felírására.

Nézd meg az időszak hosszát. Annyira 9-nek lesz nevezője.

Írd le a nevezőt: először kilenc, majd nulla.

A számláló meghatározásához meg kell írni két szám különbségét. A tizedesvessző utáni összes számjegy csökken, a ponttal együtt. Kivonható – pont nélküli.

Például 0,5(8) - írja be a periodikus tizedes törtet közönséges törtként. A pont előtti tört rész egy számjegyű. Tehát a nulla egy lesz. A periódusban is csak egy számjegy van - 8. Vagyis csak egy kilences van. Vagyis a nevezőbe 90-et kell írni.

A számláló meghatározásához 58-ból ki kell vonni 5-öt. Kiderül, hogy 53. Például válaszként 53/90-et kell írnia.

Hogyan alakulnak át a közönséges törtek tizedesjegyekké?

A legegyszerűbb lehetőség egy olyan szám, amelynek nevezője a 10, 100 és így tovább. Ekkor a nevezőt egyszerűen eldobjuk, és a tört és az egész rész közé vesszőt teszünk.

Vannak helyzetek, amikor a nevező könnyen 10-re, 100-ra stb. változik. Például az 5, 20, 25 számok. Elég megszorozni őket 2-vel, 5-tel és 4-gyel. Csak nem csak a nevezőt, hanem a számlálót is meg kell szorozni ugyanazzal a számmal.

Minden más esetben jól jön egy egyszerű szabály: osszuk el a számlálót a nevezővel. Ebben az esetben két választ kaphat: egy végső vagy egy periodikus tizedes tört.

Műveletek közönséges törtekkel

Összeadás és kivonás

A tanulók hamarabb megismerik őket, mint mások. És eleinte a törteknek ugyanaz a nevezője, majd más. Az általános szabályok egy ilyen tervre redukálhatók.

Keresse meg a nevezők legkisebb közös többszörösét!

Írjon további tényezőket az összes közönséges törthez!

Szorozzuk meg a számlálókat és a nevezőket a rájuk meghatározott tényezőkkel!

Adja össze (vonja ki) a törtek számlálóit, és hagyja változatlanul a közös nevezőt.

Ha a minuend számlálója kisebb, mint a részfej, akkor meg kell találni, hogy vegyes számunk van, vagy megfelelő tört.

Az első esetben az egész résznek egyet kell vennie. Adjunk hozzá egy nevezőt a tört számlálójához. És akkor végezze el a kivonást.

A másodikban alkalmazni kell a kisebb számból a nagyobbra való kivonás szabályát. Vagyis vonja ki a minuend modulusát a részrész modulusából, és tegye válaszul a „-” jelet.

Figyelmesen nézze meg az összeadás (kivonás) eredményét. Ha nem megfelelő törtet kap, akkor a teljes részt ki kell jelölnie. Vagyis ossza el a számlálót a nevezővel.

Szorzás és osztás

Megvalósításukhoz a törteket nem kell közös nevezőre redukálni. Ez megkönnyíti a cselekvést. De továbbra is be kell tartaniuk a szabályokat.

A közönséges törtek szorzásakor figyelembe kell venni a számlálókban és a nevezőkben szereplő számokat. Ha bármely számlálónak és nevezőnek van közös tényezője, akkor csökkenthető.

Szorozzuk meg a számlálókat.

Szorozzuk meg a nevezőket.

Ha csökkenthető törtet kap, akkor azt ismét egyszerűsíteni kell.

Osztásnál először az osztást szorzással, az osztót (második tört) pedig reciprokra kell cserélni (a számlálót és a nevezőt felcserélni).

Ezután járjon el ugyanúgy, mint a szorzásnál (az 1. lépéstől kezdve).

Azokban a feladatokban, ahol egy egész számmal kell szorozni (osztani), az utóbbit helytelen törtként kell felírni. Azaz 1-es nevezővel. Ezután a fent leírtak szerint járjunk el.



Műveletek tizedesjegyekkel

Összeadás és kivonás

Természetesen a tizedes törtből mindig átválthat köztörtté. És cselekedjen a már leírt terv szerint. De néha kényelmesebb e fordítás nélkül cselekedni. Ekkor az összeadás és a kivonás szabályai pontosan ugyanazok lesznek.

Egyenlítse ki a számjegyek számát a szám törtrészében, azaz a tizedesvessző után. Adja hozzá a hiányzó nullák számát.

Törteket írjon úgy, hogy a vessző a vessző alatt legyen.

Összeadás (kivonás), mint a természetes számok.

Távolítsa el a vesszőt.

Szorzás és osztás

Fontos, hogy ne kelljen ide nullákat fűzni. A törteket úgy kell hagyni, ahogyan a példában megadtuk. És akkor haladj a terv szerint.

A szorzáshoz törteket kell egymás alá írni, nem kell figyelni a vesszőkre.

Szorozzuk meg, mint a természetes számokat.

Tegyen vesszőt a válaszba, és a válasz jobb végétől számoljon annyi számjegyet, amennyi mindkét tényező törtrészében van.

Az osztáshoz először át kell alakítani az osztót: készítsük el természetes szám. Vagyis szorozzuk meg 10-zel, 100-zal stb., attól függően, hogy hány számjegy van az osztó tört részében.

Szorozzuk meg az osztalékot ugyanennyivel.

Oszd el a tizedesjegyet egy természetes számmal.

Tegyen vesszőt a válaszba abban a pillanatban, amikor az egész rész felosztása véget ér.



Mi van, ha egy példában mindkét típusú tört szerepel?

Igen, a matematikában gyakran vannak olyan példák, amelyekben közönséges és tizedes törtekkel kell műveleteket végrehajtani. Ezekre a problémákra két lehetséges megoldás kínálkozik. Objektíven kell mérlegelnie a számokat, és ki kell választania a legjobbat.

Első mód: a közönséges tizedesjegyek ábrázolása

Alkalmas, ha az elosztás vagy az átalakítás során végső frakciókat kapunk. Ha legalább egy szám periodikus részt ad, akkor ez a technika tilos. Ezért még ha nem is szeret közönséges törtekkel dolgozni, meg kell számolnia őket.

A második módszer: írja be a tizedes törteket közönségesnek

Ez a technika akkor kényelmes, ha a tizedesvessző utáni részben 1-2 számjegy van. Ha több van belőlük, nagyon nagy közönséges tört fordulhat elő, és a tizedesjegyek segítségével gyorsabban és könnyebben kiszámíthatja a feladatot. Ezért mindig józanul kell értékelni a feladatot, és a legegyszerűbb megoldási módot választani.