Grafikus módszer. Koordinátasík (x;y)

A paraméterrel rendelkező egyenletek komoly logikai nehézségeket okoznak. Mindegyik ilyen egyenlet lényegében egy egyenletcsalád rövidítése. Nyilvánvaló, hogy lehetetlen minden egyenletet leírni egy végtelen családból, de mindazonáltal mindegyiket meg kell oldani. Ennek legegyszerűbb módja egy változó paramétertől való függésének grafikus ábrázolása.

A síkon a függvény egy paramétertől függően görbecsaládot határoz meg. Arra leszünk kíváncsiak, hogy a sík milyen transzformációjával lehet átmenni a család többi görbéire (lásd , , , , , , ).

Párhuzamos átvitel

Példa. Minden paraméterértékhez határozza meg az egyenlet megoldásainak számát.

Megoldás. Készítsük el a függvény grafikonját.

Fontolgat. Ez az egyenes párhuzamos az x tengellyel.

Válasz. Ha, akkor nincsenek megoldások;

ha, akkor 3 megoldás;

ha, akkor 2 megoldás;

ha, 4 megoldás.

Fordulat

Azonnal meg kell jegyezni, hogy a görbecsalád kiválasztása nem egységes (ellentétben magukkal a problémákkal), vagy inkább ugyanaz: minden problémában - egyenes vonalak. Ráadásul a forgásközéppont is a vonalhoz tartozik.

Példa. A paraméter mely értékeire van az egyenletnek egyedi megoldása?

Megoldás. Tekintsük a függvényt és. A második függvény grafikonja egy félkör, amelynek középpontja egy pont, amelynek koordinátái és sugara =1 (2. ábra).

Arc AB.

Az OA és OB között áthaladó összes sugár egy pontban, az OB és OM pedig egy pontban metszi egymást (érintő). Az OA és OB szögegyütthatók egyenlőek. Az érintő meredeksége egyenlő. Könnyen kivehető a rendszerből

Így a közvetlen családoknak csak egy közös pontja van az ívvel.

Válasz. .

Példa. Melyik egyenletre van megoldása?

Megoldás. Tekintsünk egy függvényt. A monotonitást megvizsgálva azt találjuk, hogy az intervallumon növekszik, tovább csökken. Pont - a maximális pont.

A függvény egy ponton átmenő egyenesek családja. Térjünk át a 2. ábrára. A függvény grafikonja az AB ív. Az OA és OB sorok között lévő sorok kielégítik a probléma feltételét. Az OA egyenes meredekségi együtthatója egy szám, OB pedig .

Válasz. Ha az egyenletnek 1 megoldása van;

a paraméter többi értékére nincs megoldás.

Homotitás. Tömörítés egyenes vonalra

Példa. Keresse meg a paraméter összes értékét, amelyek mindegyikére az egyenletnek pontosan 8 megoldása van.

Megoldás. Nekünk van. Tekintsünk egy függvényt. Az első egy olyan félkörcsaládot határoz meg, amelynek középpontja egy koordinátákkal rendelkező pont, a második pedig az x tengellyel párhuzamos egyenesek családját.

A gyökök száma a 8-as számnak felel meg, ha a félkör sugara egyre nagyobb és kisebb, azaz. Vegye figyelembe, hogy van.

Válasz. vagy.

Grafikus módszer. Koordinátasík (x;a)

Általában az egyenletek paramétert tartalmazó, áttekinthető, módszeresen megtervezett megoldási rendszerrel nem rendelkeznek. A paraméter ezen vagy más értékeit érintéssel, felsorolással kell keresni, nagyszámú köztes egyenlet megoldásával. Ez a megközelítés nem mindig biztosítja a sikert annak a paraméternek az összes értékének megtalálásában, amelyre az egyenletnek nincs megoldása, van egy, kettő vagy több megoldása. Gyakran előfordul, hogy egyes paraméterértékek elvesznek, vagy extra értékek jelennek meg. Ez utóbbiak elvégzéséhez egy speciális vizsgálatot kell végezni, ami meglehetősen nehéz lehet.

Vegyünk egy olyan módszert, amely leegyszerűsíti az egyenletek paraméterrel történő megoldását. A módszer a következő

1. Változós egyenletből xés paraméter a függvényében fejezzük ki a paramétert x: .

2. A koordinátasíkban x O a készítse el a függvény grafikonját.

3. Tekintsük az egyeneseket, és jelöljük ki az O tengely intervallumait a, amelyen ezek az egyenesek a következő feltételeket teljesítik: a) nem metszi a függvény grafikonját, b) egy pontban metszi a függvény grafikonját, c) két pontban, d) három pontban stb.

4. Ha a feladat az értékek megtalálása x, akkor kifejezzük xát a az érték minden egyes talált intervalluma esetén a külön.

A paraméter egyenlő változóként való nézetét a grafikus módszerek tükrözik. Így van egy koordinátasík. Úgy tűnik, hogy egy olyan jelentéktelen részlet, mint a koordinátasík hagyományos betűkkel való megjelölésének elutasítása xÉs y meghatározza az egyik leghatékonyabb módszert a paraméterekkel kapcsolatos problémák megoldására.

A leírt módszer nagyon világos. Emellett az algebra tanfolyamának és az elemzés kezdeteinek szinte valamennyi alapfogalma alkalmazást talál benne. A függvény tanulmányozásával kapcsolatos ismeretek teljes halmaza érintett: a derivált alkalmazása a szélsőpontok meghatározására, a függvény határának megtalálása, aszimptoták stb.. stb. (lásd , , ).

Példa. A paraméter milyen értékeinél két gyöke van az egyenletnek?

Megoldás. Áttérünk az egyenértékű rendszerre

A grafikon azt mutatja, hogy ha az egyenletnek 2 gyöke van.

Válasz. Amikor az egyenletnek két gyöke van.

Példa. Keresse meg az összes szám halmazát, amelyek mindegyikének az egyenletnek csak két különböző gyökere van.

Megoldás. Írjuk át ezt az egyenletet a következő formában:

Most fontos, hogy ezt ne hagyd ki, és - csak az eredeti egyenlet gyökei vannak megadva. Figyeljünk arra, hogy a koordinátasíkon kényelmesebb grafikont építeni. Az 5. ábrán a kívánt gráf a folytonos vonalak uniója. Itt a válasz függőleges vonalakkal „olvasható”.

Válasz. A, vagy, vagy.

ELŐADÁS 6-7. Az analitikai geometria elemei.

Felületek és egyenleteik.

1. példa

Gömb

2. példa

F(x,y,z)=0(*),

ez - felületi egyenlet

Példák:

x 2 + y 2 - z 2 \u003d 0 (kúp)

Repülőgép.

Egy adott ponton átmenő sík egyenlete adott vektorra merőlegesen.

Tekintsünk egy síkot a térben. Legyen M 0 (x 0, y 0, z 0) a Р sík adott pontja, és a ( () síkra merőleges vektor normál vektor repülőgépek).

(1) a sík vektoregyenlete.

Koordináta formában:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0 (2)

Megkaptuk egy adott ponton áthaladó sík egyenletét.

A sík általános egyenlete.

Nyissuk meg a zárójeleket (2): Ax + By + Cz + (-Ax 0 - By 0 - Cz 0) = 0 vagy

Ax + By + Cz + D = 0 (3)

Az eredményül kapott síkegyenlet lineárisan, azaz 1. fokú egyenlet x, y, z koordinátákhoz képest. Ezért a repülőgép elsőrendű felület .

Nyilatkozat: Bármely egyenlet, amely lineáris x, y, z-ben, meghatároz egy síkot.

Bármilyen repülőgép lehet a (3) egyenlet adja meg, amelyet ún a sík általános egyenlete.

Az általános egyenlet sajátos esetei.

a) D=0: Ax + By + Cz = 0. az O(0, 0, 0) pont koordinátái kielégítik ezt az egyenletet, akkor az általa megadott sík átmegy az origón.

b) С=0: Ax + By + D = 0. Ebben az esetben a sík normálvektora , tehát az egyenlet által adott sík párhuzamos az OZ tengellyel.

c) C=D=0: Ax + By = 0. A sík párhuzamos az OZ tengellyel (mert C=0) és átmegy az origón (mivel D=0). Tehát átmegy az OZ tengelyen.

d) B=C=0: Ax + D = 0 vagy . Vektor , azaz És . Ezért a sík párhuzamos az OY és OZ tengelyekkel, azaz. párhuzamos a YOZ síkkal és áthalad a ponton.

Vegye figyelembe az eseteket önállóan: B=0, B=D=0, A=0, A=D=0, A=C=0, A=B=0/

Három adott ponton átmenő sík egyenlete.

Mivel mind a négy pont a síkhoz tartozik, akkor ezek a vektorok egysíkúak, azaz. vegyes termékük nulla:

Megkaptuk a három ponton áthaladó sík egyenletét vektoros formában.

Koordináta formában:

(7)

Ha megnyitjuk a determinánst, a sík egyenletét a következő formában kapjuk:

Ax + By + Cz + D = 0.

Példa. Írja fel az M 1 (1, -1,0) pontokon átmenő sík egyenletét!

M 2 (-2,3,1) és M 3 (0,0,1).

, (x - 1) 3 - (y + 1) (-2) + z 1 = 0;

3x + 2y + z - 1 = 0.

A sík egyenlete szakaszokban

Legyen adott az Ax + By + Cz + D = 0 és D ≠ 0 sík általános egyenlete, azaz. a sík nem halad át az origón. Ossza el mindkét részt -D-vel: és jelölje: ; ; . Azután

kapott egyenlet egy sík szakaszokban .

ahol a, b, c a sík által levágott szakaszok értékei a koordinátatengelyeken.

1. példaÍrja fel az A(3, 0, 0) pontokon átmenő sík egyenletét!

B(0, 2, 0) és C(0, 0, -3).

a=3; b=2; c=-3 vagy 2x + 3y - 2z - 6 = 0.

2. példa Keresse meg azoknak a szakaszoknak az értékét, amelyek levágják a síkot

4x – y – 3z – 12 = 0 a koordinátatengelyeken.

4x-y-3z = 12 a=3, b=-12, c=-4.

A sík normálegyenlete.

Legyen adott Q sík Az origóból merőleges OP-t húzunk a síkra. Legyen adott |OP|=р és vektor :. Vegyük a sík aktuális M(x, y, z) pontját, és számítsuk ki az és a vektorok skaláris szorzatát: .

Ha az M pontot az irányba vetítjük, akkor a P. T.o. pontba jutunk, megkapjuk az egyenletet

(9).

Vonal beállítása a térben.

Az L egyenes a térben két felület metszéspontjaként definiálható. Legyen az L egyenesen fekvő M(x, y, z) pont a P1 felülethez és a P2 felülethez is. Ekkor ennek a pontnak a koordinátáinak ki kell elégíteniük mindkét felület egyenletét. Ezért alatt az L egyenes egyenlete a térben értse meg a két egyenlet halmazát, amelyek mindegyike a megfelelő felület egyenlete:

Az L egyenes azokhoz és csak azokhoz a pontokhoz tartozik, amelyek koordinátái kielégítik mindkét (*) egyenletet. Később megvizsgáljuk a vonalak térbeli meghatározásának egyéb módjait.

Egy csomó repülőgép.

Repülőköteg az összes sík halmaza, amely egy adott egyenesen - a sugár tengelyén - halad át.

Egy síkköteg meghatározásához elegendő a tengelyét megadni. Adjuk meg ennek az egyenesnek az egyenletét általános formában:

.

Írj fel egy nyalábegyenletet!– olyan egyenlet összeállítását jelenti, amelyből további feltételek mellett a nyaláb bármely síkjának egyenlete megadható, kivéve a b.m. egy. A II egyenletet megszorozzuk l-vel, és hozzáadjuk az I egyenlethez:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 + l(A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2) = 0 (1) vagy

(A 1 + lA 2) x + (B 1 + lB 2) y + (C 1 + lC 2) z + (D 1 + lD 2) = 0 (2).

l - paraméter - olyan szám, amely valós értékeket vehet fel. Az l bármely választott értékére az (1) és (2) egyenlet lineáris, azaz. ezek valamilyen sík egyenletei.

1. Mutassuk meg hogy ez a sík áthalad a nyaláb L tengelyén. Vegyünk egy tetszőleges M 0 (x 0, y 0, z 0) L pontot. Ezért M 0 R 1 és M 0 R 2 . Eszközök:

Ezért az (1) vagy (2) egyenlettel leírt sík a gerendához tartozik.

2. Az ellenkezőjét is bebizonyíthatod.: az L egyenesen áthaladó bármely síkot az (1) egyenlet írja le az l paraméter megfelelő megválasztásával.

1. példa. Készítsen egyenletet az x + y + 5z - 1 = 0 és 2x + 3y - z + 2 = 0 síkok metszésvonalán és az M (3, 2, 1) ponton átmenő síkra!

Felírjuk a nyalábegyenletet: x + y + 5z - 1 + l (2x + 3y - z + 2) = 0. Az l meghatározásához figyelembe vesszük, hogy М Р:

A tér bármely felülete olyan pontok lokuszának tekinthető, amely valamennyi pontra közös tulajdonsággal rendelkezik.

1. példa

Gömb - egy adott C ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza (középpont). С(x 0, y 0, z 0). Definíció szerint |CM|=R vagy vagy . Ez az egyenlet a gömb minden pontjára és csak rájuk érvényes. Ha x 0 =0, y 0 =0, z 0 =0, akkor .

Hasonló módon bármely felületre egyenletet lehet megfogalmazni, ha koordinátarendszert választunk.

2. példa x=0 a YOZ sík egyenlete.

A felület geometriai definícióját az aktuális pont koordinátáival kifejezve, és az összes tagot egy részbe gyűjtve megkapjuk a formaegyenlőséget.

F(x,y,z)=0(*),

ez - felületi egyenlet , ha a felület összes pontjának koordinátái kielégítik ezt az egyenlőséget, de a felületen nem fekvő pontok koordinátái nem.

Így a kiválasztott koordinátarendszerben minden felületnek megvan a maga egyenlete. Azonban nem minden (*) alakú egyenlet felel meg a definíció értelmében vett felületnek.

Példák:

2x - y + z - 3 = 0 (sík)

x 2 + y 2 - z 2 \u003d 0 (kúp)

x 2 + y 2 +3 = 0 - bármely pont koordinátái nem teljesülnek.

x 2 + y 2 + z 2 =0 az egyetlen pont (0,0,0).

x 2 \u003d 3y 2 \u003d 0 - egyenes vonal (OZ tengely).

A térbeli egyenes kanonikus egyenletei olyan egyenletek, amelyek egy adott ponton átmenő egyenest egy irányvektorral kollineárisan határozzák meg.

Legyen adott egy pont és egy irányvektor. Egy tetszőleges pont egy egyenesen fekszik l csak akkor, ha a és vektorok kollineárisak, azaz teljesítik a feltételt:

.

A fenti egyenletek az egyenes kanonikus egyenletei.

Számok m , nÉs p az irányvektor vetületei a koordináta tengelyekre. Mivel a vektor nem nulla, akkor minden szám m , nÉs p nem lehet egyszerre nulla. De közülük egy vagy kettő nulla lehet. Az analitikai geometriában például a következő jelölések megengedettek:

,

ami azt jelenti, hogy a vektor vetületei a tengelyekre OyÉs Oz egyenlők nullával. Ezért mind a vektor, mind a kanonikus egyenletek által adott egyenes merőleges a tengelyekre OyÉs Oz, azaz repülőgépek yOz .

1. példa Készítsen egyenleteket egy síkra merőleges térbeli egyenesről és áthaladva ennek a síknak a tengellyel való metszéspontján Oz .

Megoldás. Keresse meg az adott sík metszéspontját a tengellyel! Oz. Mivel a tengely bármely pontja Oz, koordinátái vannak, akkor, feltételezve a sík adott egyenletében x=y= 0, 4-et kapunk z- 8 = 0 vagy z= 2. Ezért az adott sík metszéspontja a tengellyel Oz koordinátái vannak (0; 0; 2) . Mivel a kívánt egyenes merőleges a síkra, párhuzamos a normálvektorával. Ezért a normálvektor szolgálhat az egyenes irányítóvektoraként adott repülőgép.

Most írjuk fel a ponton átmenő egyenes kívánt egyenleteit A= (0; 0; 2) a vektor irányában:

Két adott ponton átmenő egyenes egyenletei

Egy egyenes két azon fekvő ponttal határozható meg És Ebben az esetben az egyenes irányítóvektora a vektor lehet. Ekkor az egyenes kanonikus egyenletei formát öltenek

.

A fenti egyenletek két adott ponton átmenő egyenest határoznak meg.

2. példaÍrja fel a és pontokon áthaladó térbeli egyenes egyenletét.

Megoldás. Az elméleti hivatkozásban a fent megadott formában írjuk fel az egyenes kívánt egyenleteit:

.

Mivel , akkor a kívánt egyenes merőleges a tengelyre Oy .

Egyenes, mint a síkok metszésvonala

Egy térbeli egyenes két nem párhuzamos sík metszésvonalaként, és olyan pontok halmazaként definiálható, amelyek két lineáris egyenletrendszert teljesítenek.

A rendszer egyenleteit a térbeli egyenes általános egyenleteinek is nevezik.

3. példaÁllítson össze egy egyenes kanonikus egyenleteit az általános egyenletek által megadott térben

Megoldás. Egy egyenes kanonikus egyenleteinek felírásához, vagy ami ugyanaz, egy két adott ponton áthaladó egyenes egyenletének felírásához meg kell találni az egyenes bármely két pontjának koordinátáit. Lehetnek például egy egyenes metszéspontjai bármely két koordinátasíkkal yOzÉs xOz .

Egyenes metszéspontja síkkal yOz van abszcissza x= 0. Ezért ebben az egyenletrendszerben feltételezve x= 0, két változós rendszert kapunk:

Az ő döntése y = 2 , z= 6 együtt x= 0 egy pontot határoz meg A(0; 2; 6) a kívánt sorból. Feltéve, hogy akkor az adott egyenletrendszerben y= 0 , megkapjuk a rendszert

Az ő döntése x = -2 , z= 0 együtt y= 0 egy pontot határoz meg B(-2; 0; 0) egyenes metszéspontja síkkal xOz .

Most írjuk fel a pontokon áthaladó egyenes egyenleteit A(0; 2; 6) és B (-2; 0; 0) :

,

vagy a nevezők -2-vel való elosztása után:

,