Azt már mondtuk, hogy a törtek azok rendesÉs decimális. Jelenleg egy kicsit tanulmányozzuk a közönséges törteket. Megtudtuk, hogy vannak szabályos és helytelen törtek. Azt is megtanultuk, hogy a közönséges törtek kicsinyíthetők, összeadhatók, kivonhatók, szorozhatók és oszthatók. És azt is megtudtuk, hogy vannak úgynevezett vegyes számok, amelyek egy egész számból és egy tört részből állnak.
A közönséges törteket még nem tanulmányoztuk teljesen. Sok finomságot és részletet meg kell vitatni, de ma elkezdjük tanulmányozni decimális törtek, mivel a közönséges és a tizedes törteket gyakran kell kombinálni. Vagyis a feladatok megoldásánál mindkét törttípussal kell dolgozni.
Ez a lecke bonyolultnak és érthetetlennek tűnhet. Ez teljesen normális. Az ilyen jellegű leckék megkövetelik, hogy tanulmányozzák őket, és ne fusson át rajta.
Az óra tartalmaMennyiségek kifejezése tört formában
Néha célszerű valamit tört formában megjeleníteni. Például a deciméter egy tizedét így írják:
Ez a kifejezés azt jelenti, hogy egy decimétert tíz egyenlő részre osztottak, és ebből a tíz részből vettek egy részt. És ebben az esetben a tízből egy rész egyenlő egy centiméterrel:
Tekintsük a következő példát. Mutasson 6 cm-t és további 3 mm-t centiméterben tört formában.
Tehát a 6 cm-t és a 3 mm-t szeretné megjeleníteni centiméterben, de tört formában. Már van 6 egész centiméterünk:
De még 3 milliméter van hátra. Hogyan kell megjeleníteni ezt a 3 millimétert, míg centiméterben? Frakciók jönnek a megmentésre. Egy centiméter tíz milliméter. Három milliméter három rész a tízből. És tízből három rész cm-nek van írva
A cm kifejezés azt jelenti, hogy egy centimétert tíz egyenlő részre osztottak, és ebből a tíz részből három részt vettek ki.
Ennek eredményeként hat egész centiméterünk és három tized centiméterünk van:
Ebben az esetben a 6 az egész centiméterek számát, a tört pedig a töredékek számát mutatja. Ez a tört így olvasható "hat pont és három tized centiméter".
Azok a törtek, amelyek nevezőjében 10, 100, 1000 számok szerepelnek, nevező nélkül is felírhatók. Először írja be az egész részt, majd a tört rész számlálóját. Az egész részt vessző választja el a tört rész számlálójától.
Például írjuk nevező nélkül. Először írja le az egész részt. Az egész rész 6
A teljes részt rögzítik. Közvetlenül a teljes rész megírása után tegyen vesszőt:
És most írjuk fel a tört rész számlálóját. Vegyes számban a tört rész számlálója a 3. A hármat a tizedesvessző után írjuk:
Bármely szám, amely ebben a formában szerepel, meghívásra kerül decimális.
Ezért 6 cm-t és további 3 mm-t is megjeleníthet centiméterben tizedes tört használatával:
6,3 cm
Így fog kinézni:
Valójában a tizedesjegyek ugyanazok a közönséges törtek és vegyes számok. Az ilyen törtek sajátossága, hogy törtrészük nevezője 10, 100, 1000 vagy 10000 számokat tartalmaz.
A vegyes számokhoz hasonlóan a tizedesjegynek is van egy egész része és egy tört része. Például egy vegyes számban az egész rész 6, a tört rész pedig .
A 6.3 tizedes törtben az egész rész a 6, a tört rész pedig a tört számlálója, vagyis a 3.
Az is előfordul, hogy azok a közönséges törtek, amelyek nevezőjében a 10, 100, 1000 számok egész rész nélkül vannak megadva. Például egy tört egész rész nélkül van megadva. Egy ilyen tört tizedesjegyként történő felírásához először írjon 0-t, majd tegyen vesszőt, és írja le a tört rész számlálóját. A nevező nélküli tört a következőképpen írható:
Tetszik "nulla pont öt tized".
Vegyes számok konvertálása tizedesjegyekké
Ha vegyes számokat írunk fel nevező nélkül, akkor azokat tizedesjegyekké alakítjuk. A közönséges törtek tizedestörtté alakításakor néhány dolgot tudnia kell, amelyekről most beszélünk.
Az egész rész felírása után feltétlenül meg kell számolni a nullák számát a törtrész nevezőjében, mivel a törtrészben lévő nullák számának és a tizedes törtben a tizedespont utáni számjegyeknek azonosnak kell lenniük . Mit jelent? Tekintsük a következő példát:
Először
És azonnal felírhatod a tört rész számlálóját, és kész a tizedes tört, de mindenképpen meg kell számolnod a tört rész nevezőjében a nullák számát.
Tehát megszámoljuk a nullák számát a vegyes szám törtrészében. A törtrész nevezője egy nulla. Tehát a tizedesvessző utáni tizedes törtben egy számjegy lesz, és ez a szám lesz a vegyes szám tört részének számlálója, vagyis a 2.
Így a vegyes szám tizedes törtre fordítva 3,2 lesz.
Ez a tizedesjegy így olvasható:
"Három egész két tized"
"Tizedek", mert a vegyes szám törtrésze tartalmazza a 10-et.
2. példa Vegyes szám átalakítása decimálissá.
Felírjuk az egész részt, és vesszőt teszünk:
És azonnal felírhatod a tört rész számlálóját, és megkaphatod a tizedes tört 5.3-at, de a szabály azt mondja, hogy a tizedesvessző után annyi számjegy legyen, ahány nulla van a vegyes szám tört részének nevezőjében. És látjuk, hogy a törtrész nevezőjében két nulla van. Tehát a tizedes törtben a tizedesvessző után két számjegynek kell lennie, nem egynek.
Ilyen esetekben a törtrész számlálóját kissé módosítani kell: a számláló elé, azaz a 3-as elé tegyünk egy nullát
Most ezt a vegyes számot tizedesjegyre konvertálhatja. Felírjuk az egész részt, és vesszőt teszünk:
És írja be a tört rész számlálóját:
Az 5.03 tizedes tört így hangzik:
"Öt pont három század"
"Századok", mert a vegyes szám tört részének nevezője a 100.
3. példa Vegyes szám átalakítása decimálissá.
Az előző példákból megtudtuk, hogy a vegyes szám sikeres tizedesvesszővé alakításához a tört rész számlálójában lévő számjegyek számának és a törtrész nevezőjében a nullák számának azonosnak kell lennie.
Mielőtt egy vegyes számot tizedes törtté alakítanánk, a tört részét kissé módosítani kell, mégpedig annak biztosítására, hogy a törtrész számlálójában lévő számjegyek száma és a törtrész nevezőjében lévő nullák száma megegyezzen a azonos.
Először is nézzük meg a nullák számát a törtrész nevezőjében. Látjuk, hogy három nulla van:
Feladatunk, hogy a tört rész számlálójában három számjegyet rendezzünk. Már van egy számjegyünk - ez a 2-es szám. Még két számjegyet kell hozzáadni. Két nulla lesz. Adja hozzá őket a 2-es szám elé. Ennek eredményeként a nevezőben lévő nullák száma és a számlálóban lévő számjegyek száma azonos lesz:
Most ezt a vegyes számot tizedesvesszővé alakíthatjuk. Először felírjuk az egész részt, és vesszőt teszünk:
és azonnal írd le a tört rész számlálóját
3,002
Látjuk, hogy a tizedesvessző utáni számjegyek száma és a vegyes szám törtrészének nevezőjében lévő nullák száma megegyezik.
A decimális 3,002 így hangzik:
"Három egész, két ezrelék"
"Ezrelék", mert a vegyes szám tört részének nevezője az 1000.
Közönséges törtek tizedesjegyekké alakítása
A közönséges törtek, amelyekben a nevező 10, 100, 1000 vagy 10 000, szintén tizedes törtté alakíthatók. Mivel egy közönséges törtnek nincs egész része, először írjon 0-t, majd tegyen vesszőt, és írja le a tört rész számlálóját.
Itt is meg kell egyeznie a nevezőben lévő nullák és a számlálóban lévő számjegyek számának. Ezért óvatosnak kell lennie.
1. példa
Az egész rész hiányzik, ezért először 0-t írunk és vesszőt teszünk:
Most nézd meg a nevezőben lévő nullák számát. Látjuk, hogy egy nulla van. A számlálónak pedig egy számjegye van. Így nyugodtan folytathatja a tizedes tört, ha a tizedesvessző után 5-ös számot ír
A kapott 0,5 tizedes törtben a tizedesvessző utáni számjegyek száma és a tört nevezőjében lévő nullák száma megegyezik. Tehát a tört helyes.
A 0,5 tizedes tört így hangzik:
"Nulla pont, öt tized"
2. példa A közönséges tört tizedestört átalakítása.
Az egész rész hiányzik. Először 0-t írunk, és vesszőt teszünk:
Most nézd meg a nevezőben lévő nullák számát. Látjuk, hogy két nulla van. A számlálónak pedig csak egy számjegye van. Ahhoz, hogy a számjegyek és a nullák száma azonos legyen, adjon hozzá egy nullát a számlálóhoz a 2-es szám elé. Ekkor a tört alakot vesz fel. Most a nevezőben lévő nullák száma és a számlálóban lévő számjegyek száma megegyezik. Tehát folytathatja a tizedesjegyet:
A kapott 0,02 tizedes törtben a tizedesvessző utáni számjegyek száma és a tört nevezőjében lévő nullák száma megegyezik. Tehát a tört helyes.
A 0,02 tizedes tört így hangzik:
– Nulla pont, kétszázad.
3. példa A közönséges tört tizedestört átalakítása.
0-t írunk és vesszőt teszünk:
Most megszámoljuk a nullák számát a tört nevezőjében. Látjuk, hogy öt nulla van, és csak egy számjegy van a számlálóban. Ahhoz, hogy a nevezőben lévő nullák száma és a számlálóban lévő számjegyek száma azonos legyen, négy nullát kell hozzáadnia a számlálóhoz az 5-ös szám előtt:
Most a nevezőben lévő nullák száma és a számlálóban lévő számjegyek száma megegyezik. Tehát folytathatja a tizedesjegyet. A tizedesvessző utáni tört számlálóját írjuk fel
A kapott 0,00005 tizedes törtben a tizedesvessző utáni számjegyek száma és a tört nevezőjében lévő nullák száma megegyezik. Tehát a tört helyes.
A 0,00005 tizedes tört így hangzik:
– Nulla pont, ötszázezres.
A helytelen törtek tizedesjegyekké alakítása
A nem megfelelő tört olyan tört, amelynek a számlálója nagyobb, mint a nevező. Vannak olyan helytelen törtek, amelyeknek nevezője 10, 100, 1000 vagy 10000. Az ilyen törtek tizedes törtekké alakíthatók. De mielőtt tizedes törtre konvertálna, az ilyen törteknek egész számmal kell rendelkezniük.
1. példa
A tört helytelen tört. Egy ilyen tört tizedes törtté alakításához először ki kell választania annak egész részét. Emlékeztetünk arra, hogyan jelöljük ki a helytelen törtek teljes részét. Ha elfelejtette, javasoljuk, hogy térjen vissza és tanulmányozza át.
Tehát válasszuk ki az egész részt a nem megfelelő törtben. Emlékezzünk vissza, hogy a tört osztást jelent - ebben az esetben a 112-es szám elosztása 10-zel
Nézzük meg ezt a képet, és állítsunk össze egy új vegyes számot, akár egy gyerek építőkészletet. A 11-es szám az egész rész, a 2-es a tört rész számlálója, a 10-es a tört rész nevezője.
Vegyes számot kaptunk. Alakítsuk át decimálisra. És már tudjuk, hogyan kell az ilyen számokat tizedes törtekre fordítani. Először felírjuk az egész részt, és vesszőt teszünk:
Most megszámoljuk a nullák számát a törtrész nevezőjében. Látjuk, hogy egy nulla van. A tört rész számlálója pedig egy számjegyű. Ez azt jelenti, hogy a tört rész nevezőjében a nullák száma és a törtrész számlálójában lévő számjegyek száma megegyezik. Ez lehetőséget ad arra, hogy a tört rész számlálóját azonnal a tizedesvessző után írjuk:
A kapott 11.2 tizedes törtben a tizedesvessző utáni számjegyek száma és a tört nevezőjében lévő nullák száma megegyezik. Tehát a tört helyes.
Ez azt jelenti, hogy a nem megfelelő tört tizedes törtté alakítva 11,2-re változik
A decimális 11.2 így hangzik:
– Tizenegy egész, két tized.
2. példa A helytelen tört tizedesvesszővé alakítása.
Ez egy helytelen tört, mert a számláló nagyobb, mint a nevező. De átváltható tizedes törtre, mivel a nevező a 100.
Először is jelöljük ki ennek a törtnek az egész részét. Ehhez osszuk el 450-et 100-zal egy sarokkal:
Gyűjtsünk egy új vegyes számot - kapunk . És már tudjuk, hogyan fordítsuk le a vegyes számokat tizedes törtekre.
Felírjuk az egész részt, és vesszőt teszünk:
Most megszámoljuk a tört rész nevezőjében a nullák számát és a tört rész számlálójában a számjegyek számát. Látjuk, hogy a nevezőben a nullák száma és a számlálóban lévő számjegyek száma megegyezik. Ez lehetőséget ad arra, hogy a tört rész számlálóját azonnal a tizedesvessző után írjuk:
A kapott tizedes törtben 4,50 a tizedesvessző utáni számjegyek száma és a tört nevezőjében lévő nullák száma megegyezik. Tehát a tört helyesen van lefordítva.
Tehát a nem megfelelő tört tizedes törtre fordítva 4,50-re változik
A feladatok megoldása során, ha a tizedes tört végén nullák vannak, akkor azokat el lehet vetni. Dobjuk el a nullát válaszunkban. Ekkor 4,5-öt kapunk
Ez a tizedesjegyek egyik érdekes tulajdonsága. Ez abban rejlik, hogy a tört végén lévő nullák nem adnak súlyt ennek a törtnek. Más szóval, a 4,50 és 4,5 tizedesjegyek egyenlőek. Tegyünk közéjük egyenlőségjelet:
4,50 = 4,5
Felmerül a kérdés: miért történik ez? Végül is a 4,50 és a 4,5 különböző törteknek tűnik. Az egész titok a tört alapvető tulajdonságában rejlik, amelyet korábban tanulmányoztunk. Megpróbáljuk bebizonyítani, hogy a 4,50 és 4,5 tizedes törtek miért egyenlők, de a következő téma tanulmányozása után, amely az úgynevezett "tizedes tört átalakítása vegyes számmá".
Tizedesből vegyes számokká konvertálás
Bármely tizedes tört visszaváltható vegyes számmá. Ehhez elég, ha tud tizedes törteket olvasni. Például alakítsuk át a 6.3-at vegyes számmá. A 6,3 hat egész pont és három tized. Először írunk fel hat egész számot:
és a következő három tized:
2. példa Alakítsa át a decimális 3,002-t vegyes számmá
A 3,002 három egész szám és két ezredrész. Először írjon fel három egész számot.
és ezután két ezreléket írunk:
3. példa A decimális 4,50-es szám átalakítása vegyes számmá
4,50 négy pont és ötven századrész. Írj fel négy egész számot
és a következő ötvenszázad:
Egyébként emlékezzünk az előző téma utolsó példájára. Azt mondtuk, hogy a 4,50 és 4,5 tizedesjegyek egyenlőek. Azt is mondtuk, hogy a nullát el lehet vetni. Próbáljuk bebizonyítani, hogy a decimális 4,50 és 4,5 egyenlő. Ehhez mindkét tizedes törtet vegyes számmá alakítjuk.
Vegyes számmá konvertálás után a tizedes 4,50-ből , a tizedesből 4,5-ből lesz
Van két vegyes számunk és . Alakítsa át ezeket a vegyes számokat nem megfelelő törtekre:
Most két tört és . Ideje emlékezni a tört alapvető tulajdonságára, amely szerint ha egy tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk (vagy osztjuk) ugyanazzal a számmal, a tört értéke nem változik.
Az első törtet osszuk el 10-zel
Megérkezett, és ez a második töredék. Tehát és egyenlők egymással, és egyenlők azonos értékkel:
Próbáljon meg először egy számológépen elosztani 450-et 100-zal, majd 45-öt 10-zel. Egy vicces dolog kiderül.
Tizedes tört átalakítása köztörtté
Bármely tizedes tört visszaváltható közönséges törtté. Ehhez ismét elég, ha tizedes törteket tudunk olvasni. Például alakítsuk át a 0,3-at közönséges törtté. A 0,3 nulla és három tized. Először nulla egész számot írunk:
három tized mellett pedig 0 . A nullát hagyományosan nem írják le, így a végső válasz nem 0 lesz, hanem egyszerűen.
2. példa A 0,02 tizedes tört átalakítása köztörtté.
A 0,02 nulla és kétszázad. Nem írunk le nullát, ezért azonnal írunk le két századot
3. példa Konvertálja 0,00005-öt törtté
0,00005 nulla és ötszázezrelék. A nullát nem írják le, ezért azonnal felírjuk az ötszázezret
Tetszett a lecke?
Csatlakozzon új Vkontakte csoportunkhoz, és kapjon értesítéseket az új leckékről
Az 1/2 racionális számnak van egy másik ábrázolása is, amely eltér a 2/4, 3/6, 4/8 stb. formájú ábrázolásoktól. A reprezentációt 0,5 tizedes törtjeként értjük. Néhány törtnek véges decimális ábrázolása van, pl.
míg a többi tört decimális ábrázolása végtelen:
Ezeket a végtelen tizedesjegyeket a megfelelő racionális törtekből úgy kaphatjuk meg, hogy a számlálót elosztjuk a nevezővel. Például az 5/11 tört esetén 5000...-et elosztva 11-gyel 0,454545...
Mely racionális törteknek van véges decimális reprezentációja? Mielőtt általános esetben válaszolnánk erre a kérdésre, nézzünk meg egy konkrét példát. Vegyük például a 0,8625 utolsó tizedes törtet. Tudjuk
és hogy bármely véges tizedes felírható racionális tizedesjegyként 10, 100, 1000 nevezővel vagy a 10 más hatványával.
A jobb oldali törtet redukálhatatlan törtre redukálva kapjuk
A 80-as nevezőt úgy kapjuk meg, hogy 10 000-et elosztunk 125-tel – ez a legnagyobb közös osztója 10 000-nek és 8625-nek. Ezért a 80-as szám prímtényezője a 10 000-hez hasonlóan csak két prímtényezőt tartalmaz: 2-t és 5-öt. Ha nem kezdenénk 0-tól, 8625-től és bármely más véges tizedes törttel, akkor az így kapott irreducibilis racionális tört is rendelkezik ezzel a tulajdonsággal. Más szóval, a b nevező prímtényezőkké alakítása csak a 2-es és az 5-ös prímszámokat tartalmazhatja, mivel b 10 és valamilyen hatvány osztója. Ez a körülmény döntőnek bizonyul, mégpedig a következő általános állítás érvényesül:
Egy irreducibilis racionális törtnek akkor és csak akkor van véges decimális reprezentációja, ha a b számnak nincsenek 2-nek és 5-nek többszörösei.
Vegyük észre, hogy ebben az esetben b-nek nem kell a 2-nek és az 5-nek is szerepelnie a prímosztói között: lehet csak az egyikkel osztható, vagy egyáltalán nem osztható velük. Például,
itt b egyenlő 25-tel, 16-tal és 1-gyel. A lényeg az, hogy b-nek 2-n és 5-ön kívül nincs más osztója.
A fenti mondat akkor és csak akkor tartalmaz kifejezést. Eddig csak a forgalomra vonatkozó részt bizonyítottuk csak akkor. Mi mutattuk meg, hogy egy racionális szám tizedes törtre való kiterjesztése csak akkor lesz véges, ha b-nek nincs 2-n és 5-ön kívül más prímosztója.
(Más szavakkal, ha b osztható 2-től és 5-től eltérő prímszámmal, akkor az irreducibilis törtnek nincs végső decimális kifejezése.)
A szóra utaló mondatrész ezután kimondja, hogy ha a b egész számnak nincs 2-n és 5-ön kívül más f prímosztója, akkor egy irreducibilis racionális tört egy véges tizedes törttel ábrázolható. Ennek bizonyításához vegyünk egy tetszőleges irreducibilis racionális törtet, amelyre b-nek nincs más prímosztója, kivéve 2-t és 5-öt, és meg kell győződnünk arról, hogy a megfelelő tizedes tört véges. Először nézzünk meg egy példát. Legyen
A tizedes kiterjesztéshez ezt a törtet olyan törtté alakítjuk, amelynek nevezője tíz egész hatványa. Ezt úgy érhetjük el, hogy a számlálót és a nevezőt megszorozzuk:
A fenti érvelés az alábbiak szerint kiterjeszthető az általános esetre. Tegyük fel, hogy b alakja , ahol a típus nem negatív egész számok (azaz pozitív számok vagy nulla). Két eset lehetséges: vagy kisebb vagy egyenlő (ezt a feltételt írják), vagy nagyobb (amit írnak). Amikor a tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk
Mivel az egész szám nem negatív (azaz pozitív vagy egyenlő nullával), akkor és ezért a pozitív egész szám. Hadd . Azután
törtszám.
Törtszám decimális jelölése egy két vagy több számjegy halmaza $0$ és $9$ között, amelyek között van az úgynevezett \textit (tizedesvessző).
1. példa
Például 35,02 USD; 100,7 USD; 123 USD \ 456,5 USD; 54,89 dollár.
Egy szám decimális ábrázolásában a bal szélső számjegy nem lehet nulla, kivéve, ha a tizedesvessző közvetlenül az első számjegy után van: $0$.
2. példa
Például 0,357 USD; 0,064 USD.
A tizedesvesszőt gyakran tizedesvessző váltja fel. Például 35,02 USD; 100,7 USD; 123 USD \ 456,5 USD; 54,89 dollár.
Tizedes definíció
1. definíció
Tizedesjegyek törtszámok, amelyek decimális jelöléssel vannak ábrázolva.
Például 121,05 USD; 67,9 USD; 345.6700 dollár.
A tizedesjegyeket a szabályos törtek tömörebb ábrázolására használjuk, amelyek nevezői a következő számok: $10$, $100$, $1\000$ stb. és vegyes számok, amelyek nevezői $10$, $100$, $1\000$ stb.
Például a $\frac(8)(10)$ tizedes tört $0.8$, a vegyes szám pedig $405\frac(8)(100)$ $405.08$ tizedes törtként írható fel.
Tizedesjegyek olvasása
A szabályos törteknek megfelelő tizedesjegyek ugyanúgy olvashatók, mint a közönséges törtek, csak a „nulla egész” kifejezés kerül elé. Például a $\frac(25)(100)$ közönséges tört ("huszonöt századrész") megfelel a $0,25$ tizedes törtnek (értsd: "nulla pont huszonöt századrész").
A vegyes számoknak megfelelő tizedesjegyeket a rendszer ugyanúgy olvassa be, mint a vegyes számokat. Például a $43\frac(15)(1000)$ vegyes szám megfelel a $43.015$ tizedes törtnek (olvassa: "negyvenhárom pontos tizenöt ezrelék").
Helyek tizedesjegyben
A decimális jelölésben minden számjegy értéke a helyétől függ. Azok. tizedes törtekben a fogalom is helyet kap kisülés.
A tizedes törtben lévő számjegyeket a tizedesjegyig ugyanúgy nevezzük, mint a természetes számokban lévő számjegyeket. A tizedesvessző utáni számjegyeket tizedes törtben a táblázat tartalmazza:
1. kép
3. példa
Például a tizedes törtben 56 328 $, 5 $ a tízes helyen, 6 $ az egységekben, 3 $ a tizedik helyen, 2 $ a századik helyen, 8 $ az ezredik helyen található.
A tizedes tört számjegyeit a szenioritás különbözteti meg. A tizedes tört olvasásakor balról jobbra mozognak - től idősebbürítse ki junior.
4. példa
Például 56,328 $ decimális értékben a legjelentősebb (legnagyobb) számjegy a tízes számjegy, a legkisebb jelentőségű (legalacsonyabb) számjegy pedig az ezredjegy.
A tizedes tört ugyanúgy bővíthető számjegyekké, mint a természetes számok számjegyeivé.
5. példa
Például bontsuk ki a 37 851 $ tizedes törtet számjegyekre:
$37,851=30+7+0,8+0,05+0,001$
Tizedesjegyek vége
2. definíció
Tizedesjegyek vége tizedes törteknek nevezzük, amelyek rekordjai véges számú karaktert (számjegyet) tartalmaznak.
Például 0,138 USD; 5,34 USD; 56,123456 USD; 350 972,54 USD.
Bármely végső tizedes tört átváltható közönséges törtté vagy vegyes számmá.
6. példa
Például a végső tizedes tört ($7.39$) a $7\frac(39)(100)$ törtszámnak, a 0.5$ végső tizedes tört pedig a $\frac(5)(10)$ megfelelő törtnek (vagy bármely tetszőleges) tört, ami egyenlő vele, például $\frac(1)(2)$ vagy $\frac(10)(20)$.
Közönséges tört átalakítása tizedes törtté
A $10, 100, \dots$ nevezőkkel rendelkező közönséges törtek tizedesjegyekké alakítása
Mielőtt néhány megfelelő közönséges tört tizedesjegyre konvertálna, először „elő kell készíteni”. Az ilyen előkészítés eredménye ugyanannyi számjegy legyen a számlálóban és annyi nulla a nevezőben.
A helyes közönséges törtek „előkészítésének” a tizedes törtekre való átszámításhoz az a lényege, hogy a számláló bal oldalán annyi nullát adunk hozzá, hogy a számjegyek teljes száma egyenlő legyen a nevezőben lévő nullák számával.
7. példa
Például készítsük elő a $\frac(43)(1000)$ köztört tizedestörtre való konvertálását, és kapjuk meg a $\frac(043)(1000)$ értéket. A $\frac(83)(100)$ közönséges törtet pedig nem kell elkészíteni.
Fogalmazzuk meg szabály egy megfelelő közös tört tizedes törtté való konvertálására $10$, vagy $100$, vagy $1\000$, $\dots$:
írd $0$;
tegyünk utána tizedesvesszőt;
írja le a számot a számlálóból (ha szükséges, az előkészítés után nullákkal együtt).
8. példa
Alakítsa át a $\frac(23)(100)$ megfelelő törtet tizedestörtre.
Megoldás.
A nevező a $100$ szám, amely $2$ két nullát tartalmaz. A számláló a $23$ számot tartalmazza, amely $2$.számjegyet tartalmaz. ez azt jelenti, hogy ennek a törtnek a tizedesvesszőre való konvertálásához nem szükséges előkészítenie.
Írjunk be $0$-t, tegyünk egy tizedesvesszőt és írjuk be a számlálóból a $23$ számot. A tizedes tört 0,23 dollárt kapjuk.
Válasz: $0,23$.
9. példa
Írja be a megfelelő $\frac(351)(100000)$ törtet tizedesjegyként.
Megoldás.
Ennek a törtnek a számlálója $3$ számjegyből áll, a nevezőben lévő nullák száma pedig $5$, ezért ezt a közönséges törtet fel kell készíteni a tizedesvesszőre való átszámításra. Ehhez adjon hozzá $5-3=2$ nullákat a számláló bal oldalához: $\frac(00351)(100000)$.
Most megalkothatjuk a kívánt tizedes törtet. Ehhez írja be $0$, majd tegyen egy vesszőt, és írja be a számot a számlálóból. 0,00351 $ tizedes törtet kapunk.
Válasz: $0,00351$.
Fogalmazzuk meg szabály a nem megfelelő közönséges törtek $10$, $100$, $\dots$ tizedesjegyre való konvertálására:
írj egy számot a számlálóból;
tizedesvesszővel válassza el a jobb oldalon annyi számjegyet, ahány nulla van az eredeti tört nevezőjében.
10. példa
A helytelen köztört $\frac(12756)(100)$ konvertálása tizedestörtre.
Megoldás.
Írjuk be a számot a $12756$ számlálóból, majd válasszuk el a jobb oldali számjegyeket tizedesvesszővel $2$, mert az eredeti tört $2$ nevezője nulla. 127,56 $ tizedes törtet kapunk.
A tanulók már az általános iskolában törtekkel szembesülnek. Aztán minden témában megjelennek. Ezekkel a számokkal nem lehet elfelejteni a cselekvéseket. Ezért minden információt tudnia kell a közönséges és tizedes törtekről. Ezek a fogalmak egyszerűek, a lényeg az, hogy mindent rendben megértsünk.
Miért van szükség törtekre?
A minket körülvevő világ egész tárgyakból áll. Ezért nincs szükség részvényekre. A mindennapi élet azonban folyamatosan arra készteti az embereket, hogy tárgyak és dolgok részeivel dolgozzanak.
Például a csokoládé több szeletből áll. Tekintsük azt a helyzetet, amikor a lapkáját tizenkét téglalap alkotja. Ha kettéosztod, akkor 6 részt kapsz. Jól lesz három részre osztva. De az ötös nem fog tudni egész számú szelet csokit adni.
Egyébként ezek a szeletek már töredékek. További felosztásuk pedig összetettebb számok megjelenéséhez vezet.
Mi az a "töredék"?
Ez egy szám, amely egy részből áll. Külsőleg úgy néz ki, mint két szám, amelyeket vízszintes vagy perjel választ el. Ezt a tulajdonságot törtnek nevezik. A felül (balra) írt számot számlálónak nevezzük. Az alsó (jobbra) a nevező.
Valójában a törtsáv osztásjelnek bizonyul. Vagyis a számlálót osztaléknak, a nevezőt pedig osztónak nevezhetjük.
Mik a törtek?
A matematikában ezeknek csak két típusa van: a közönséges és a tizedes törtek. Az iskolások az elsősökkel az általános osztályban ismerkednek meg, egyszerűen „törteknek” nevezik őket. A második az 5. osztályban tanul. Ekkor jelennek meg ezek a nevek.
Közös törtek mindazok, amelyek két számmal vannak felírva, amelyeket egy oszlop választ el. Például 4/7. A tizedes olyan szám, amelyben a tört résznek helymegjelölése van, és vesszővel van elválasztva az egész számtól. Például a 4.7. A tanulóknak tisztában kell lenniük azzal, hogy a két példa teljesen eltérő szám.
Minden egyszerű tört felírható tizedesként. Ez az állítás majdnem mindig igaz fordítva is. Vannak szabályok, amelyek lehetővé teszik a tizedes tört közönséges törtként történő felírását.
Milyen alfajai vannak az ilyen típusú frakcióknak?
Érdemesebb időrendi sorrendben kezdeni, mivel tanulmányozás alatt állnak. A közönséges törtek az elsők. Közülük 5 alfajt lehet megkülönböztetni.
Helyes. A számlálója mindig kisebb, mint a nevező.
Rossz. A számlálója nagyobb vagy egyenlő, mint a nevező.
Csökkenthető / redukálhatatlan. Ez lehet helyes vagy helytelen. Egy másik dolog fontos, hogy a számlálónak és a nevezőnek van-e közös tényezője. Ha vannak, akkor a tört mindkét részét fel kell osztani, azaz csökkenteni kell.
Vegyes. Egy egész szám hozzá van rendelve a szokásos helyes (helytelen) törtrészéhez. És mindig a bal oldalon áll.
Összetett. Két, egymásra osztott frakcióból áll. Azaz egyszerre három törtjellemzője van.
A tizedesjegyeknek csak két alfaja van:
végleges, azaz olyan, amelyben a törtrész korlátozott (vége van);
végtelen - olyan szám, amelynek a tizedesvessző utáni számjegyei nem érnek véget (végtelenül írhatók).
Hogyan konvertálhat decimálist közönségessé?
Ha ez véges szám, akkor a szabályon alapuló asszociáció kerül alkalmazásra - ahogy hallom, így írom. Vagyis helyesen kell elolvasni és le kell írni, de vessző nélkül, de törtsorral.
A szükséges nevezőre vonatkozó tippként ne feledje, hogy az mindig egy és néhány nulla. Ez utóbbit annyi számjegyet kell beírni, ahány szám a szóban forgó szám törtrészében található.
Hogyan alakítsuk át a tizedes törteket közönséges törtekre, ha hiányzik a teljes részük, vagyis egyenlő nullával? Például 0,9 vagy 0,05. A megadott szabály alkalmazása után kiderül, hogy nulla egész számot kell írnia. De nincs feltüntetve. Csak a töredékes részeket kell leírni. Az első szám nevezője 10, a másodiké 100. Ez azt jelenti, hogy a jelzett példákban számok lesznek válaszként: 9/10, 5/100. Sőt, az utóbbiról kiderül, hogy 5-tel csökkenthető. Ezért az eredményt 1/20-nak kell írni.
Hogyan készítsünk tizedesből közönséges törtet, ha annak egész része különbözik nullától? Például 5,23 vagy 13,00108. Mindkét példa beolvassa az egész részt, és beírja az értékét. Az első esetben ez 5, a másodikban 13. Ezután át kell lépni a tört részre. Velük ugyanazt a műveletet kell végrehajtani. Az első szám 23/100, a második 108/100000. A második értéket ismét csökkenteni kell. A válasz vegyes törtek: 5 23/100 és 13 27/25000.
Hogyan alakíthatunk át egy végtelen tizedesjegyet köztörtté?
Ha nem időszakos, akkor ilyen művelet nem hajtható végre. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy minden tizedes tört mindig végleges vagy periodikus törtté alakul.
Az egyetlen dolog, amit ilyen törttel szabad csinálni, az a kerekítés. De akkor a tizedesjegy megközelítőleg egyenlő lesz ezzel a végtelennel. Már közönségessé is alakítható. De a fordított folyamat: decimálisra konvertálás - soha nem adja meg a kezdeti értéket. Vagyis a végtelen nem periódusos törteket nem fordítjuk át közönséges törtekre. Ezt emlékezni kell.
Hogyan írjunk végtelen periodikus törtet közönséges alakba?
Ezekben a számokban a tizedesvessző után mindig egy vagy több számjegy jelenik meg, amelyek ismétlődnek. Ezeket periódusoknak nevezik. Például 0,3(3). Itt "3" az időszakban. Racionálisnak minősülnek, mivel közönséges törtekké alakíthatók.
Azok, akik találkoztak periodikus törtekkel, tudják, hogy lehetnek tiszták vagy kevertek. Az első esetben a pont közvetlenül a vesszőtől kezdődik. A másodikban a tört rész tetszőleges számokkal kezdődik, majd kezdődik az ismétlés.
A szabály, amellyel végtelen tizedesjegyet kell írni közönséges tört formájában, eltérő lesz e két számtípus esetében. Nagyon könnyű a tiszta periodikus törteket közönséges törtként írni. A végsőekhez hasonlóan ezeket is át kell alakítani: írd be a pontot a számlálóba, és a 9-es szám lesz a nevező, annyiszor ismétlődik, ahány számjegy van a periódusban.
Például 0,(5). A számnak nincs egész része, ezért azonnal tovább kell lépnie a tört részre. A számlálóba írjon 5-öt, a nevezőbe pedig 9-et, vagyis az 5/9-es tört lesz a válasz.
Szabály egy vegyes tört közönséges tizedes tört felírására.
Nézd meg az időszak hosszát. Annyira 9-nek lesz nevezője.
Írd le a nevezőt: először kilenc, majd nulla.
A számláló meghatározásához meg kell írni két szám különbségét. A tizedesvessző utáni összes számjegy csökken, a ponttal együtt. Kivonható – pont nélküli.
Például 0,5(8) - írja be a periodikus tizedes törtet közönséges törtként. A pont előtti tört rész egy számjegyű. Tehát a nulla egy lesz. A periódusban is csak egy számjegy van - 8. Vagyis csak egy kilences van. Vagyis a nevezőbe 90-et kell írni.
A számláló meghatározásához 58-ból ki kell vonni 5-öt. Kiderül, hogy 53. Például válaszként 53/90-et kell írnia.
Hogyan alakulnak át a közönséges törtek tizedesjegyekké?
A legegyszerűbb lehetőség egy olyan szám, amelynek nevezője a 10, 100 és így tovább. Ekkor a nevezőt egyszerűen eldobjuk, és a tört és az egész rész közé vesszőt teszünk.
Vannak helyzetek, amikor a nevező könnyen 10-re, 100-ra stb. változik. Például az 5, 20, 25 számok. Elég megszorozni őket 2-vel, 5-tel és 4-gyel. Csak nem csak a nevezőt, hanem a számlálót is meg kell szorozni ugyanazzal a számmal.
Minden más esetben jól jön egy egyszerű szabály: osszuk el a számlálót a nevezővel. Ebben az esetben két választ kaphat: egy végső vagy egy periodikus tizedes tört.
Műveletek közönséges törtekkel
Összeadás és kivonás
A tanulók hamarabb megismerik őket, mint mások. És eleinte a törteknek ugyanaz a nevezője, majd más. Az általános szabályok egy ilyen tervre redukálhatók.
Keresse meg a nevezők legkisebb közös többszörösét!
Írjon további tényezőket az összes közönséges törthez!
Szorozzuk meg a számlálókat és a nevezőket a rájuk meghatározott tényezőkkel!
Adja össze (vonja ki) a törtek számlálóit, és hagyja változatlanul a közös nevezőt.
Ha a minuend számlálója kisebb, mint a részfej, akkor meg kell találni, hogy vegyes számunk van, vagy megfelelő tört.
Az első esetben az egész résznek egyet kell vennie. Adjunk hozzá egy nevezőt a tört számlálójához. És akkor végezze el a kivonást.
A másodikban alkalmazni kell a kisebb számból a nagyobbra való kivonás szabályát. Vagyis vonjuk ki a minuend modulusát a részrész modulusából, és tegyük válaszul a „-” jelet.
Figyelmesen nézze meg az összeadás (kivonás) eredményét. Ha nem megfelelő törtet kap, akkor a teljes részt ki kell jelölnie. Vagyis ossza el a számlálót a nevezővel.
Szorzás és osztás
Megvalósításukhoz a törteket nem kell közös nevezőre redukálni. Ez megkönnyíti a cselekvést. De továbbra is be kell tartaniuk a szabályokat.
A közönséges törtek szorzásakor figyelembe kell venni a számlálókban és a nevezőkben szereplő számokat. Ha bármely számlálónak és nevezőnek van közös tényezője, akkor csökkenthető.
Szorozzuk meg a számlálókat.
Szorozzuk meg a nevezőket.
Ha csökkenthető törtet kap, akkor azt ismét egyszerűsíteni kell.
Osztáskor először az osztást szorzással kell helyettesíteni, az osztót (második tört) pedig reciprokkal (cserélje fel a számlálót és a nevezőt).
Ezután járjon el ugyanúgy, mint a szorzásnál (az 1. lépéstől kezdve).
Azokban a feladatokban, ahol egy egész számmal kell szorozni (osztani), az utóbbit helytelen törtként kell felírni. Azaz 1-es nevezővel. Ezután a fent leírtak szerint járjunk el.
Műveletek tizedesjegyekkel
Összeadás és kivonás
Természetesen a tizedes törtből mindig átválthat köztörtté. És cselekedjen a már leírt terv szerint. De néha kényelmesebb e fordítás nélkül cselekedni. Ekkor az összeadás és a kivonás szabályai pontosan ugyanazok lesznek.
Egyenlítse ki a számjegyek számát a szám törtrészében, azaz a tizedesvessző után. Adja hozzá a hiányzó nullák számát.
Törteket írjon úgy, hogy a vessző a vessző alatt legyen.
Összeadás (kivonás), mint a természetes számok.
Távolítsa el a vesszőt.
Szorzás és osztás
Fontos, hogy ne kelljen ide nullákat fűzni. A törteket úgy kell hagyni, ahogyan a példában megadtuk. És akkor haladj a terv szerint.
A szorzáshoz törteket kell egymás alá írni, nem kell figyelni a vesszőkre.
Szorozzuk meg, mint a természetes számokat.
Tegyen vesszőt a válaszba, és a válasz jobb végétől számoljon annyi számjegyet, amennyi mindkét tényező törtrészében van.
Az osztáshoz először át kell alakítani az osztót: legyen belőle természetes szám. Vagyis szorozzuk meg 10-zel, 100-zal stb., attól függően, hogy hány számjegy van az osztó tört részében.
Szorozzuk meg az osztalékot ugyanennyivel.
Oszd el a tizedesjegyet egy természetes számmal.
Tegyen vesszőt a válaszba abban a pillanatban, amikor az egész rész felosztása véget ér.
Mi van, ha egy példában mindkét típusú tört szerepel?
Igen, a matematikában gyakran vannak olyan példák, amelyekben közönséges és tizedes törtekkel kell műveleteket végrehajtani. Ezekre a problémákra két lehetséges megoldás kínálkozik. Objektíven kell mérlegelnie a számokat, és ki kell választania a legjobbat.
Első mód: a közönséges tizedesjegyek ábrázolása
Alkalmas, ha az elosztás vagy az átalakítás során végső frakciókat kapunk. Ha legalább egy szám periodikus részt ad, akkor ez a technika tilos. Ezért még ha nem is szeret közönséges törtekkel dolgozni, meg kell számolnia őket.
A második módszer: írja be a tizedes törteket közönségesnek
Ez a technika akkor kényelmes, ha a tizedesvessző utáni részben 1-2 számjegy van. Ha több van belőlük, nagyon nagy közönséges tört fordulhat elő, és a tizedesjegyek segítségével gyorsabban és könnyebben kiszámíthatja a feladatot. Ezért mindig józanul kell értékelni a feladatot, és a legegyszerűbb megoldási módot választani.
Ez a cikk arról szól tizedesjegyek. Itt foglalkozunk a törtszámok tizedes jelölésével, bemutatjuk a tizedestört fogalmát, és példákat adunk a tizedes törtekre. Ezután beszéljünk a tizedes törtek számjegyeiről, adja meg a számjegyek nevét. Ezt követően a végtelen tizedes törtekre fogunk összpontosítani, mondjuk a periodikus és nem periódusos törtekre. Ezután felsoroljuk a fő műveleteket tizedes törtekkel. Végezetül megállapítjuk a tizedes törtek helyzetét a koordinátasugáron.
Oldalnavigáció.
Törtszám decimális jelölése
Tizedesjegyek olvasása
Ejtsünk néhány szót a tizedes törtek olvasásának szabályairól.
A helyes közönséges törteknek megfelelő tizedes törteket ugyanúgy olvassuk ki, mint ezeket a közönséges törteket, csak előtte adjuk hozzá a „nulla egészet”. Például a 0,12 tizedes tört a 12/100 közönséges törtnek felel meg (ez „tizenkét századrész”), ezért a 0,12 „nulla pont tizenkét századrész”ként értelmezhető.
A vegyes számoknak megfelelő tizedes törteket pontosan ugyanúgy olvassuk ki, mint ezeket a vegyes számokat. Például az 56.002 tizedes tört vegyes számnak felel meg, ezért az 56.002 tizedes tört "ötvenhat pont két ezrelék"-ként értelmezhető.
Helyek tizedesjegyben
A tizedes törtek jelölésénél, valamint a természetes számok jelölésénél az egyes számjegyek értéke a helyzetétől függ. Valójában a 3 tizedes 0,3-ban három tizedet, tizedesben 0,0003-ban három tízezredet, tizedesben 30 000,152-ben három tízezret jelent. Így beszélhetünk róla számjegyek tizedesjegyben, valamint a természetes számok számjegyeiről.
A tizedes törtben lévő számjegyek neve teljesen egybeesik a természetes számokban lévő számjegyek nevével. A tizedesvessző utáni tizedes tört számjegyeinek neve pedig a következő táblázatból látható.
Például a 37.051 tizedes törtben a 3 a tízes, a 7 az egységnyi helyen, a 0 a tizedik, az 5 a századik, az 1 az ezredik helyen áll.
A tizedes tört számjegyei a szolgálati idő szerint is különböznek. Ha a decimális jelölésben számjegyről számjegyre balról jobbra haladunk, akkor innen haladunk idősebb nak nek junior rangok. Például a százas számjegy régebbi, mint a tizedes számjegy, a milliomod számjegy pedig fiatalabb, mint a százas számjegy. Ebben az utolsó tizedes törtben a legjelentősebb és a legkevésbé jelentős számjegyekről beszélhetünk. Például decimálisan 604,9387 idősebb (legmagasabb) a számjegy a százas számjegy, és junior (legalacsonyabb)- tízezredik hely.
A tizedes törteknél a számjegyekké történő bővítés megtörténik. Ez analóg a természetes számok számjegyeinek bővítésével. Például a 45,6072 decimális kiterjesztése: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002 . A tizedes tört számjegyekké történő bővítéséből származó összeadás tulajdonságai pedig lehetővé teszik, hogy a tizedes tört más ábrázolásaira is áttérjen, például 45,6072=45+0,6072 vagy 45,6072=40,6+5,007+0,0002 vagy 45,6072=22,6072 .
Tizedesjegyek vége
Eddig csak a tizedes törtekről beszéltünk, amelyek rekordjában a tizedesvessző után véges számú számjegy található. Az ilyen törteket végső tizedes törteknek nevezzük.
Meghatározás.
Tizedesjegyek vége- Ezek tizedes törtek, amelyek rekordjai véges számú karaktert (számjegyet) tartalmaznak.
Íme néhány példa a végső tizedesjegyekre: 0,317 , 3,5 , 51,1020304958 , 230 032,45 .
Azonban nem minden közönséges tört ábrázolható véges tizedes törtként. Például az 5/13 tört nem helyettesíthető egyenlő törttel a 10, 100, ... nevezők egyikével, ezért nem konvertálható végső tizedes törtté. Erről bővebben a közönséges törtek tizedes törtté alakítás elméleti részében fogunk beszélni.
Végtelen tizedesjegyek: periodikus törtek és nem periódusos törtek
Ha egy tizedesvessző után tizedes törtet ír, megengedheti, hogy végtelen számú számjegy legyen. Ebben az esetben eljutunk az úgynevezett végtelen tizedes törtek figyelembevételéhez.
Meghatározás.
Végtelen tizedesjegyek- Ezek tizedes törtek, amelyek rekordjában végtelen számú számjegy található.
Nyilvánvaló, hogy a végtelen tizedes törteket nem tudjuk teljes egészében felírni, ezért rögzítésükben a tizedesvessző után csak bizonyos véges számú számjegyre korlátozódnak, és egy végtelenül folytatódó számjegysorozatot jelző ellipszist tesznek. Íme néhány példa a végtelen tizedes törtekre: 0,143940932…, 3,1415935432…, 153,02003004005…, 2,111111111…, 69,74152152152….
Ha alaposan megnézi az utolsó két végtelen tizedes törtet, akkor a 2.111111111... törtben jól látható a végtelenül ismétlődő 1-es szám, a 69.74152152152... törtben pedig a harmadik tizedesjegytől kezdve az ismétlődő számcsoport Az 1, 5 és 2 jól látható. Az ilyen végtelen tizedes törteket periodikusnak nevezzük.
Meghatározás.
Periodikus tizedesjegyek(vagy egyszerűen periodikus törtek) végtelen tizedes törtek, amelyek rekordjában egy bizonyos tizedesjegytől kezdve valamilyen számjegy vagy számjegycsoport, amelyet ún. tört időszak.
Például a 2,111111111… periodikus tört periódusa az 1, a 69,74152152152… tört periódusa pedig olyan számcsoport, mint a 152.
A végtelen periodikus tizedes törtek esetében speciális jelölést alkalmaztak. A rövidség kedvéért megállapodtunk abban, hogy egyszer írjuk le a pontot, zárójelben. Például a 2.111111111… periodikus tört 2,(1) , a 69.74152152152… pedig 69.74(152) .
Érdemes megjegyezni, hogy ugyanahhoz a periodikus tizedes törthez különböző periódusokat is megadhat. Például a periodikus tizedesjegy 0,73333… tekinthető 0,7(3) törtnek 3-as periódussal, valamint 0,7(33) törtnek 33-as periódussal, és így tovább 0,7(333), 0,7 (3333) ), ... Megnézheti a 0,73333 ... periodikus törtet is így: 0,733(3), vagy így 0,73(333), stb. A kétértelműség és következetlenség elkerülése végett megállapodunk abban, hogy a tizedes tört periódusának tekintjük az ismétlődő számjegyek lehetséges sorozata közül a legrövidebbet, és a tizedesvesszőhöz legközelebbi pozíciótól kezdve. Ez azt jelenti, hogy a 0,73333… tizedes tört periódusát egy 3 számjegyből álló sorozatnak tekintjük, és a periodicitás a tizedesvessző utáni második pozíciótól kezdődik, azaz 0,73333…=0,7(3) . Egy másik példa: a 4,7412121212… periódusos tört periódusa 12, a periodicitás a tizedesvessző utáni harmadik számjegytől kezdődik, azaz 4,7412121212…=4,74(12) .
A végtelen tizedes törteket úgy kapjuk meg, hogy azokat a közönséges törteket tizedes törtekre konvertáljuk, amelyek nevezői 2-től és 5-től eltérő prímtényezőket tartalmaznak.
Itt érdemes megemlíteni a 9-es periódusú periodikus törteket. Példák az ilyen törtekre: 6.43(9) , 27, (9) . Ezek a törtek egy másik jelölése a 0-s periódusú periodikus törteknek, és ezeket szokás 0 periódusú periodikus törtekre cserélni. Ehhez a 9. periódus helyére 0. periódus lép, a következő legmagasabb számjegy értékét pedig eggyel növeljük. Például a 7.24(9) forma 9. periódusú törtét a 7.25(0) forma 0. periódusú időszakos törtével vagy a 7.25 azonos végső tizedes törtével helyettesítjük. Egy másik példa: 4,(9)=5,(0)=5 . A 9-es periódusú tört és a megfelelő 0-s törtrész egyenlősége könnyen megállapítható, miután ezeket a tizedes törteket azonos közönséges törtekkel helyettesítjük.
Végül nézzük meg közelebbről a végtelen tizedesjegyeket, amelyeknek nincs végtelenül ismétlődő számsoruk. Nem periodikusnak nevezik őket.
Meghatározás.
Nem ismétlődő tizedesjegyek(vagy egyszerűen nem periodikus törtek) pont nélküli végtelen tizedesjegyek.
Néha a nem periódusos törtek alakja hasonló a periodikus törtek alakjához, például a 8.02002000200002 ... egy nem periódusos tört. Ezekben az esetekben különösen óvatosnak kell lennie, hogy észrevegye a különbséget.
Vegye figyelembe, hogy a nem periodikus törtek nem konvertálódnak közönséges törtekké, a végtelen nem periodikus tizedes törtek irracionális számokat jelentenek.
Műveletek tizedesjegyekkel
A tizedesjegyekkel végzett műveletek egyike az összehasonlítás, és négy alapvető aritmetika is meghatározásra kerül műveletek tizedesjegyekkel: összeadás, kivonás, szorzás és osztás. Tekintsük külön a tizedes törtekkel végzett műveleteket.
Tizedes összehasonlítás alapvetően az összehasonlított tizedes törteknek megfelelő közönséges törtek összehasonlításán alapul. A tizedes törtek közönségessé alakítása azonban meglehetősen munkaigényes művelet, és a végtelen, nem ismétlődő törtek nem ábrázolhatók közönséges törtként, ezért célszerű a tizedes törtek bitenkénti összehasonlítását használni. A tizedesjegyek bitenkénti összehasonlítása hasonló a természetes számok összehasonlításához. Részletesebb információkért javasoljuk, hogy tanulmányozza a tizedestörtek, szabályok, példák, megoldások cikkanyag-összehasonlítását.
Térjünk át a következő lépésre - tizedesjegyek szorzata. A végső tizedes törtek szorzása a tizedes törtek kivonásához hasonlóan történik, szabályok, példák, megoldások a szorzás természetes számok oszlopával. Periodikus törtek esetén a szorzás a közönséges törtek szorzására redukálható. A végtelen nem periodikus tizedes törtek szorzata pedig kerekítésük után véges tizedes törtek szorzására redukálódik. Javasoljuk a cikk anyagának további tanulmányozását tizedes törtek szorzása, szabályok, példák, megoldások.
Tizedesjegyek a koordináta-nyalábon
A pontok és a tizedesjegyek között egy az egyhez egyezés van.
Nézzük meg, hogyan épülnek fel pontok az adott tizedes törtnek megfelelő koordinátasugáron.
A véges tizedes törteket és a végtelen periodikus tizedes törteket helyettesíthetjük velük egyenlő közönséges törtekkel, majd a megfelelő közönséges törteket megszerkeszthetjük a koordinátasugáron. Például az 1,4-es tizedes tört egy közönséges 14/10-es törtnek felel meg, ezért az 1,4-es koordinátájú pontot pozitív irányban 14 szegmenssel távolítják el az origótól, amely egyetlen szakasz tizedének felel meg.
A koordináta-nyalábon tizedes törteket lehet jelölni, kezdve ennek a tizedes törtnek a számjegyekre való kiterjesztésével. Tegyük fel például, hogy fel kell építenünk egy 16.3007 koordinátájú pontot, mivel 16.3007=16+0.3+0.0007 , akkor a koordináták origójából 16 egységnyi szegmens szekvenciális lerakásával juthatunk el idáig, 3 szegmensből, a hosszból. ebből egy tized egységnyi, és 7 szegmens, amelyek hossza megegyezik az egységszakasz tizedrészével.
A tizedes számok koordináta-nyalábon való felépítésének ez a módszere lehetővé teszi, hogy tetszés szerint közel kerüljön a végtelen tizedes törtnek megfelelő ponthoz.
Néha lehetséges a végtelen tizedesjegynek megfelelő pont pontos ábrázolása. Például, 
, akkor ez az 1,41421... végtelen tizedes tört a koordinátasugár azon pontjának felel meg, amely egy egységnyi szegmens oldalú négyzet átlójának hosszával távolodik az origótól.
A koordinátanyaláb adott pontjának megfelelő tizedes tört megszerzésének fordított folyamata az ún. egy szegmens decimális mérése. Lássuk, hogyan készül.
Legyen a feladatunk az, hogy az origóból a koordinátaegyenes egy adott pontjába eljussunk (vagy végtelenül megközelítsük, ha nem lehet eljutni). Egy szegmens decimális mérésével szekvenciálisan elhalaszthatunk tetszőleges számú egységszakaszt az origóból, majd azokat a szegmenseket, amelyek hossza egyenlő egyetlen szegmens tizedével, majd azokat a szegmenseket, amelyek hossza egyenlő egyetlen szegmens századrészével stb. . Az egyes hosszúságú ábrázolt szakaszok számának felírásával megkapjuk a koordinátasugár adott pontjának megfelelő tizedes törtet.
Például a fenti ábra M pontjához való eljutáshoz félre kell tenni 1 egységszegmenst és 4 szegmenst, amelyek hossza megegyezik az egység tizedével. Így az M pont az 1.4 tizedes törtnek felel meg.
Jól látható, hogy a koordinátanyaláb azon pontjai, amelyek a tizedesmérés során nem érhetők el, végtelen tizedes törteknek felelnek meg.
Bibliográfia.
- Matematika: tanulmányok. 5 cellához. Általános oktatás intézmények / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. kiadás, törölve. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
- Matematika. 6. évfolyam: tankönyv. általános műveltségre intézmények / [N. Ya. Vilenkin és mások]. - 22. kiadás, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Algebra: tankönyv 8 cellához. Általános oktatás intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerk. S. A. Teljakovszkij. - 16. kiadás - M. : Oktatás, 2008. - 271 p. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba jelentkezők számára): Proc. pótlék.- M.; Magasabb iskola, 1984.-351 p., ill.