Szakaszok: Általános Iskola

Osztály: 2

Alapvető célok:

1) elképzelés kialakítása az összeg számból való kivonásának tulajdonságáról, annak képességéről, hogy ezt a tulajdonságot számítások racionalizálására használják;

2) képezze a szóbeli számolás készségeit, a komplex problémák önálló elemzésének és megoldásának képességét;

3) fejleszteni a pontosságot.

Demo anyag:

1) Dunno képe. <Рисунок1 >

2) kártyák a következő kijelentéssel: kívánság - ugatás - siker - hov.

3) homokóra.

4) az összeg számból történő kivonására vonatkozó szabvány.

a-(b+c) = (a-b)-c = (a-c)-b

5) a cselekvési sorrend színvonala. a-(b+c)

6) minta önteszthez a 6. lépéshez:

7) minta önvizsgálathoz a 7. szakaszhoz.

1) 45 -15 = 30 (m) - Denisszel maradt

2) 30-13 = 17 (m)

Válasz: Denisnek 17 bélyege maradt.

Kiosztóanyag:

1) egy bézs színű kártya egyéni feladattal a 2. szakaszhoz minden tanuló számára:

2) kártya zöld szín egyéni feladattal az 5. szakaszra.

3) önálló munka a 6. szakaszhoz.

4) közlekedési lámpák: piros, sárga, zöld.

Az órák alatt:

I. Önrendelkezés a tanulási tevékenységekhez.

1) tevékenységre ösztönözni az órán egy mesebeli karakter bemutatásával;

2) határozza meg az óra tartalmát: a számból levonva az összeget.

Szervezet oktatási folyamat az I. szakaszban.

Mit csináltál az utolsó órán? (Hozzáadás tulajdonságai)

Az összeadás milyen tulajdonságai ismétlődnek? (elmozdulás és asszociatív)

Miért kell ismernünk az összeadás tulajdonságait? (Kényelmesebb példákat megoldani)

Ma van egy mesehősünk, Dunno .<Рисунок1 >

Sok érdekes feladattal készült, és figyelni fogja, hogyan dolgozunk az órán. Kész?

II. Az ismeretek aktualizálása és a tevékenységi nehézségek rögzítése.

1) a vonat mentális működés - általánosítás;

2) ismételje meg a műveletek sorrendjének szabályait a zárójeles kifejezésekben;

3) megszervezni az egyéni tevékenység nehézségeit és annak rögzítését a tanulók hangos beszédben.

Az oktatási folyamat megszervezése a II.

1) Szóbeli beszámoló.

Nézze meg a táblát, és végezze el a műveleteket szóban. <Приложение 1 >

Ha helyesen teljesítjük őket, akkor elolvassuk a Dunno által titkosított kívánságot:

(Ha 19-et 27-hez adsz, 46-ot kapsz;

46-ból 24-et kivonva 22-t kapunk;

Adjon hozzá 38-at 22-hez, hogy 60-at kapjon;

Vonja ki 5-öt 60-ból, és kap 55-öt)

Növelje 55-öt 200-zal. (200+55=255)

Adja meg a 255 szám leírását. (255 egy háromjegyű szám, két százat, öt tízest és öt egységet tartalmaz. Az előző szám 254, a következő 256, a bittagok összege 200 + 50 + 5 , a számjegyek összege 12).

Adja meg a 255-ös számot különböző elszámolási egységekben. (255 = 2 s 5 d 5 é = 25 d 5 é = 2 s 55 é)

Express 255 cm különböző mértékegységekben. (255 = 2 m 5 dm 5 cm = 25 dm 5 cm = 2 m 55 cm)

2) A cselekvések sorrendjének szabályának megismétlése zárójeles kifejezésekben. <Приложение 2 >

Hogyan hasonlítanak a kifejezések? (Műveletösszetevők szerint, a műveletek azonos sorrendje)

Miben különböznek a kifejezések? (Különböző önrészek)

Hogyan ábrázolják a részrészeket? (A részrészeket két szám összege jelöli)

Mit ismételtünk meg, amikor megtaláltuk a kifejezések jelentését? (Eljárás).

Miért ismételje meg az eljárást?

Hol ismételhetjük meg a műveletek sorrendjét? (A tankönyvben vagy a szabványokban <Приложение 3 > )

3) Egyéni feladat.

Vegyünk egy tollat ​​és egy darab bézs papírt. <Приложение 4 >

Most nézzünk néhány példát. Parancsomra hagyja abba a döntését.

Figyelem! Elindult! …

Tegye fel a kezét, ki oldotta meg az összes példát?

Tegye fel a kezét, ki oldott meg egy példát?

Javasoljon szabványt, amellyel a példákat megoldotta. (Nem ismerjük a szabványt).

Ki nem oldotta meg a példákat?

III A nehézséget okozó okok feltárása és a tevékenység céljának kitűzése.

1) azonosítsa és rögzítse a nehézség helyét és okát;

2) állapodjanak meg az óra céljában és témájában.

Az oktatási folyamat megszervezése a III.

Ismételje meg, mi volt a feladat?

Miért volt probléma? (Kevés idő, nincs megfelelő ingatlan)

Mit kell tenni? (Gyerekek találgatása). Tedd félre a lapokat.

Próbáld meg megfogalmazni az óra célját.

Fogalmazd meg az óra témáját!

Óra témája: Összeg kivonása számból. Beszéld meg magadban az óra témáját, mélyhanggal. (Az óra témája fel van írva a táblára)

IV. A nehézségekből való kilépés projektjének építése.

1) megszervezni egy új cselekvési mód gyermekek általi felépítését vezető párbeszéd segítségével;

2) új cselekvésmód rögzítése szimbolikusan és beszédben.

Az oktatási folyamat megszervezése a IV.

Nézd meg és olvasd el a kifejezést: 87 - (7 + 15).

Melyik tagot kényelmesebb először kivonni? (Kényelmesebb kivonni az első tagot - 7)

Kivontuk az első tagot, és ki kell vonnunk két tagot. Mit kell tenni? (Vonja le a második tagot)

A tanár ír a táblára. <Приложение5 >

Nézze, a 87-es számot lecserélem a betűre, a 7-es számot b-re, a 15-ös számot c-re, egyenlőséget kapunk. <Приложение 6 >

Lássuk. Olvassa el a kifejezést: 87 - (15 + 7)

Mi a kényelmesebb kivonni a kifejezést a 87-es számból? (Kényelmesebb kivonni a második tagot 7)

A tanár ír a táblára.

Kivontuk a második tagot, és ki kell vonnunk két tagot. Mit kell tenni? (Vonja le az első tagot)

A tanár ír a táblára. <Приложение 7 >

Lássuk. A 87-es számot a betűvel, a 7-es számot b-vel, a 15-ös számot c-vel helyettesítem, egyenlőséget kapunk. <Приложение 8 >

Nézze meg, hogyan vonhatja ki az összeget a számból. (A gyerekek válaszait hallják)

Hol ellenőrizhetjük, hogy helyes következtetéseket vontunk-e le? (A tankönyvben)

Nyissa ki a tankönyvét a 44. oldalra. Olvassa el a szabályt. <Приложение 9 >

V. Elsődleges konszolidáció a külső beszédben.

Cél: feltételek megteremtése a vizsgált cselekvésmód rögzítéséhez a külső beszédben.

Az oktatási folyamat megszervezése az V. szakaszban.

Ki fogja megismételni a szabályt?

Miért volt probléma? (Nem tudtunk gyorsan dönteni)

És most megtehetjük?

Mi segített nekünk? (Az összeg számból való kivonásának szabálya)

Vegyünk egy zöld lapot, és parancsomra oldjuk meg a példákat. <Приложение10 >

Figyelem! Elindult! Álljon meg!

első szavazás.

Mennyi lett az első példában?

Aki úgy emelje fel a kezét.

Kinek van hibája?

Mennyire derült ki a második példában?

Aki úgy emelje fel a kezét.

Kinek van hibája?

Hogyan döntöttél? hol a hiba? Mi az ok?

Mondhatod, hogy megtanultál megoldani? (Igen)

Mi segített? (Ismerjük a szabályt, a megoldás sebessége megnőtt)

Hol alkalmazhatjuk az új technikát? (Feladatok megoldásánál példák).

Otthon oldja meg a 44. oldalon a 4. számú feladatot egy új szabályért. Jöjjön ki és írja le a példáját. (A feladat fel van írva a táblára). <Приложение11 >

Ki fog emlékezni a szabályra?

VI. Önálló munkavégzésönellenőrzéssel.

1) megszervezni a tanulók általi önálló megvalósítást tipikus feladatok a modell szerinti önvizsgálattal egy új cselekvésmódra;

2) megszervezni a gyermekek önértékelését a feladat helyességéről.

Az oktatási folyamat megszervezése a VI.

És most Dunno megvizsgálja, hogyan tanultuk meg az új szabály alkalmazását.

Önálló munkavégzés. <Приложение12 >

Miért végezzük a saját munkánkat? (Találd meg a nehézségeket és győzd le őket, teszteld az erődet)

Milyen módszerekkel lehet kivonni egy összeget egy számból? (Kényelmes kivonni egy tagot, majd egy másikat)

Vegyünk egy fehér lapot. Parancsomra elkezdünk dönteni.

Elindult... Állj.

Vegyen egy egyszerű ceruzát, és ellenőrizze a mintával. <Приложение13 >

Aki igen, tegye a "+"-t.

Akinek hibája van, tegyen „-”-t.

Emelje fel a kezét, ki tette?

Emelje fel a kezét, kinek van hibája? Hol adódott a nehézség? (Számítógépes vétel)

Csodálatos munkát végeztél.

Mit tanultál az órán? (megtanult egy kényelmes módszert az összeg kivonására egy számból)

Vegyél következtetést. (gyerekek válaszai)

Fizminutka.

VII. Beillesztés a tudás és az ismétlés rendszerébe.

Cél: a probléma megoldásának megismétlése, kényelmes megoldási mód megtalálása.

Az oktatási folyamat megszervezése a VII.

Hol tudod alkalmazni a tanult szabályokat? (Feladatok megoldásakor példák)

Nézd meg és olvasd el magadban a 3. problémát.

Végezzen feladatelemzést. (A feladatból ismert, hogy Dénisznek 45 bélyege volt. Petyának 15, Koljának 13 bélyeget adott. Ki kell derítenünk, hány bélyeget hagyott hátra.

A probléma kérdésének megválaszolásához ki kell vonni a bélyegek számát, amelyet Denis adott Petyának és Koljának. A probléma kérdésére nem tudunk azonnal válaszolni, mivel nem tudjuk, hogy Denis összesen hány bélyeget adott Petyának és Koljának. És megtudhatjuk, ha hozzáadjuk a Petyának adott bélyegek számát a Koljának adott bélyegek számához).

Ha nehézségekbe ütközik a probléma elemzése, a tanár az alábbi kérdésekkel segít:

Mit lehet tudni a problémáról?

Mit kell tudnod?

Hogyan válaszoljunk a feladat kérdésére?

Tudunk-e azonnal válaszolni a probléma kérdésére? Miért?

Megtudhatjuk? Hogyan?

Mondjon el egy tervet a probléma megoldására. (Első lépésben megtudjuk, hogy Denis összesen hány bélyeget adott, majd válaszolunk a probléma kérdésére). <Приложение 14 >

Ki oldotta meg másképp a problémát? (A probléma kérdésének megválaszolásához ki kell vonni a Denis által Petyának adott bélyegek számát a bélyegek teljes számából, majd a bélyegek számát, amelyeket Koljának adott)

Mondja el a probléma megoldásának tervét a második módon. (Első lépésként megtudjuk, hány bélyeget hagyott hátra Denisnek, miután Petyának adta, majd megtudjuk, hány bélyeg maradt meg, miután 13 bélyeget adott Koljának, és válaszolunk a probléma kérdésére). <Приложение15 >

Mi a legjobb módja a probléma megoldásának? Miért? (Másodszor, kényelmesebb egy részt kivonni az egészből, majd egy másik részt)

Kényelmes módon írja le a probléma megoldását. Minta önteszt. <Приложение16 >

VIII. A tevékenység tükröződése.

1) rögzítse a beszédben a leckében tanult új cselekvési módszert: az összeg kivonása egy számból;

2) rögzítse a fennmaradó nehézségeket és azok leküzdésének módjait;

3) értékelje saját tevékenységét az órán, koordinálja a házi feladatokat.

Az oktatási folyamat megszervezése a VIII.

Tehát ma a leckében még egy szabállyal bővült a tudásunk, emlékezz rá. (Ma a leckében megtanultuk, hogyan kell kivonni az összeget egy számból. Ha egy számból szeretné kivonni az összeget, először kivonhat egy tagot, majd egy másikat)

Kinek van baja?

Sikerült legyőzni őket? Hogyan?

Min kell még dolgozni?

A tanár értékelése az órán végzett munkáról.

Házi feladat: 44. o., 4. sz. Találja ki és oldja meg saját példáját egy új témában.

Irodalom

1) „Matematika 2. osztály, 2. rész” tankönyv; L.G. Peterson. "Yuventa" kiadó, 2008.

3) L.G. Peterson, I.G. Lipatnikova "Szóbeli gyakorlatok a matematika órákon, 2. osztály". M.: „Suli 2000…”

A kivonás fogalma a legjobban egy példával érthető meg. Úgy döntesz, hogy teát iszol édességgel. 10 cukorka volt a vázában. 3 cukorkát ettél. Hány cukorka maradt a vázában? Ha 10-ből kivonunk 3-at, akkor 7 édesség marad a vázában. Írjuk fel a feladatot matematikailag:

Nézzük meg közelebbről a bejegyzést:
10 az a szám, amelyből kivonunk vagy csökkentünk, ezért hívják csökkent.
3 az a szám, amit kivonunk. Ezért úgy hívják önrész.
7 a kivonás eredménye, vagy más néven különbség. A különbség megmutatja, hogy az első szám (10) mennyivel nagyobb, mint a második szám (3), vagy mennyivel kisebb a második szám (3) az első számnál (10).

Ha kétségei vannak abban, hogy helyesen találta-e meg a különbséget, meg kell tennie igazolás. Adja hozzá a második számot a különbséghez: 7+3=10

Az l kivonásakor a minuend nem lehet kisebb, mint a kivonó.

Az elmondottakból levonjuk a következtetést. Kivonás- ez egy olyan művelet, amelynek segítségével a második tagot az összeg és az egyik tag találja meg.

Szó szerinti formában ez a kifejezés így fog kinézni:

a -b=c

a - csökkentett,
b - kivonva,
c a különbség.

Az összeg egy számból való kivonásának tulajdonságai.

13 — (3 + 4)=13 — 7=6
13 — 3 — 4 = 10 — 4=6

A példa kétféleképpen oldható meg. Az első módszer az, hogy megkeressük a számok összegét (3 + 4), majd kivonjuk a teljes számból (13). A második módszer az, hogy a teljes számból (13) kivonjuk az első tagot (3), majd a kapott különbségből kivonjuk a második tagot (4).

Szó szerinti formában az összeg egy számból való kivonásának tulajdonsága így fog kinézni:
a - (b + c) = a - b - c

A szám összegből való kivonásának tulajdonsága.

(7 + 3) — 2 = 10 — 2 = 8
7 + (3 — 2) = 7 + 1 = 8
(7 — 2) + 3 = 5 + 3 = 8

Ha ki szeretne vonni egy számot az összegből, kivonhatja ezt a számot egy tagból, majd hozzáadhatja a második tagot a különbség eredményéhez. A feltételek mellett a tag nagyobb lesz, mint a kivont szám.

Szó szerinti formában a szám összegből való kivonásának tulajdonsága így fog kinézni:
(7 + 3) — 2 = 7 + (3 — 2)
(egy +b) —c=a + (időszámításunk előtt), feltéve, hogy b > c

(7 + 3) — 2=(7 — 2) + 3
(a + b) - c \u003d (a - c) + b, feltéve, hogy > c

Kivonási tulajdonság nullával.

10 — 0 = 10
a - 0 = a

Ha a számból levonja a nullát akkor ugyanaz lesz a szám.

10 — 10 = 0
a -a = 0

Ha ugyanazt a számot kivonja egy számból akkor nulla lesz.

Kapcsolódó kérdések:
A 35 - 22 = 13 példában adja meg a minuend, a részfej és a különbség nevét.
Válasz: 35 - csökkentett, 22 - kivont, 13 - különbség.

Ha a számok megegyeznek, mi a különbség?
Válasz: nulla.

Kivonás ellenőrzést végez 24-16 = 8?
Válasz: 16 + 8 = 24

kivonási táblázat természetes számok 1-től 10-ig.

Példák a "Természetes számok kivonása" témával kapcsolatos feladatokra.
1. példa:
Írja be a hiányzó számot: a) 20 - ... = 20 b) 14 - ... + 5 = 14
Válasz: a) 0 b) 5

2. példa:
Ki lehet-e vonni: a) 0 - 3 b) 56 - 12 c) 3 - 0 d) 576 - 576 e) 8732 - 8734
Válasz: a) nem b) 56 - 12 = 44 c) 3 - 0 = 3 d) 576 - 576 = 0 e) nem

3. példa:
Olvassa el a kifejezést: 20-8
Válasz: „Húszból vonjunk ki nyolcat” vagy „Húszból vonjunk ki nyolcat”. A szavak helyes kiejtése

A cikk témájának teljes körű elemzéséhez bevezetünk kifejezéseket és definíciókat, jelöljük a kivonási művelet jelentését, és levezetünk egy szabályt, amely szerint a kivonási művelet összeadási művelethez vezethet. Nézzünk gyakorlati példákat. És vegye figyelembe a kivonás műveletét is geometriai értelmezésben - a koordinátavonalon.

Általánosságban elmondható, hogy a kivonás műveletének leírására használt alapfogalmak minden számtípus esetében ugyanazok.

Yandex.RTB R-A-339285-1 1. definíció

Kisebbítendő az az egész szám, amelyből ki kell vonni.

Kivonandó a kivonandó egész szám.

Különbség az elvégzett kivonási művelet eredménye.

Magának a cselekvésnek a jelzésére egy mínuszjelet használnak, amelyet a minuend és a részfej közé helyeznek. A fent említett akció összes alkotórésze egyenlőség formájában van megírva. Vagyis ha a és b egész számokat adunk meg, és az első másodpercből kivonva a c számot kapjuk, a kivonási művelet a következőképpen lesz írva: a - b \u003d c.

Az a - b formájú kifejezést is különbségként jelöljük, valamint ennek a kifejezésnek a végső értékét.

Az egész számok kivonásának jelentése

A természetes számok kivonása témakörben az összeadás és a kivonás műveletei közötti kapcsolat megállapítására került sor, ami lehetővé tette, hogy a kivonást úgy definiáljuk, mint az egyik kifejezésre egy ismert összeggel és a második taggal való keresést. Feltételezzük, hogy az egész számok kivonása ugyanazt jelenti: a második tagot a megadott összeg és az egyik tag határozza meg.

Az egész számok kivonásának jelzett értelme lehetővé teszi annak állítását, hogy c - b = a és c - a = b, ha a + b = c, ahol a, b, c egész számok.

Vegyünk egyszerű példákat az elmélet megszilárdításához:

Tudassa velünk, hogy - 5 + 11 \u003d 6, akkor a különbség 6 - 11 \u003d - 5;

Tegyük fel, hogy ismert, hogy - 13 + (- 5) \u003d - 18, majd - 18 - (- 5) \u003d - 13 és - 18 - (- 13) \u003d - 5.

Egész számok kivonási szabálya

A kivonási művelet fenti jelentése nem jelzi számunkra a különbség kiszámításának konkrét módját. Azok. kijelenthetjük, hogy az egyik ismert tag egy másik ismert tag kivonásának eredménye az összegből. De ha valamelyik tag ismeretlennek bizonyul, akkor nem tudhatjuk, mi lesz a különbség az összeg és az ismert tag között. Ezért a kivonási művelet végrehajtásához szükségünk van az egész számok kivonási szabályára:

1. definíció

Két szám különbségének meghatározásához a minuendhez hozzá kell adni a kivont számmal ellentétes számot, azaz. a - b = a + (- b) , ahol a és b egész számok; b és – b ellentétes számok.

Igazoljuk a jelzett kivonási szabályt, pl. Bizonyítsuk be a szabályban megjelölt egyenlőség érvényességét. Ehhez az egész számok kivonásának értelme szerint a + (- b) kivont b-hez adjuk, és ügyeljünk arra, hogy ennek eredményeként egy redukált a-t kapjunk, azaz. ellenőrizze az (a + (- b)) + b = a egyenlőség érvényességét. Az egész számok összeadásának tulajdonságai alapján felírhatunk egyenlőségláncot: (a + (- b)) + b = a + ((- b) + b) = a + 0 = a , ez lesz a bizonyíték az egész számok kivonására vonatkozó szabályból.

Fontolja meg az egész számok kivonási szabályának alkalmazását konkrét példákon.

Pozitív egész szám kivonása, példák

1. példa

A 15 egész számból ki kell vonni a 45 pozitív egész számot.

Megoldás

A szabály szerint ahhoz, hogy egy adott számból egész számot vonjunk ki 15-ből pozitív szám 45, hozzá kell adni a - 45-ös számot a csökkentett 15-höz, azaz. szemben az adott 45 . Így a kívánt különbség egyenlő lesz a 15 és -45 egész számok összegével. Az ellentétes előjelű számok szükséges összegének kiszámítása után a 30-as számot kapjuk. Azok. a 15-ből a 45-ös szám kivonásának eredménye a 30-as szám lesz. Írjuk egy sorba a teljes megoldást: 15 - 45 = 15 + (- 45) = - 30 .

Válasz: 15-45 = -30.

2. példa

A 150 negatív egészből ki kell vonni a 25 pozitív egészet.

Megoldás

A szabály szerint a csökkenő számhoz - 150 - adjuk hozzá a 25-öt (vagyis az adott kivont 25 ellentéte). Keresse meg a negatív egész számok összegét: - 150 + (- 25) = - 175 . Így a kívánt különbség egyenlő. A teljes megoldást így írjuk: - 150 - 25 \u003d - 150 + (- 25) \u003d - 175.

Válasz: - 150 - 25 = - 175.

Példák nulla kivonásra

Az egész számok kivonási szabálya lehetővé teszi a nulla egész számból való kivonásának elvének levezetését - a nulla kivonása bármely egész számból nem változtat ezen a számon, azaz. a - 0 = a, ahol a tetszőleges egész szám.

Magyarázzuk el. A kivonási szabály szerint a nulla kivonása egy nullával ellentétes szám minuendjének összeadása. A nulla önmagával ellentétes szám, azaz. a nulla kivonása megegyezik a nulla hozzáadásával. Az összeadás kapcsolódó tulajdonsága alapján nulla hozzáadása bármely egész számhoz nem változtatja meg ezt a számot. Ily módon

a - 0 = a + (- 0) = a + 0 = a .

Vegyünk egyszerű példákat nulla kivonására különböző egész számokból. Például a 61-0 különbség 61 . Ha egy negatív egész számból kivonja a nullát - 874, akkor - 874-et kap. Ha nullát kivonunk nullából, akkor nullát kapunk.

Negatív egész szám kivonása, példák

3. példa

A 0 egész számból ki kell vonni egy negatív egész számot - 324 .

Megoldás

A kivonási szabály szerint a 0 - (- 324) különbséget úgy kell meghatározni, hogy a csökkenő 0 számhoz hozzáadjuk a kivonttal ellentétes számot - 324. Ekkor: 0 - (- 324) = 0 + 324 = 324

Válasz: 0 - (- 324) = 324

4. példa

Határozza meg a különbséget - 6 - (- 13) .

Megoldás

Vonjunk ki egy negatív egészből - 6 egy negatív egész számból - 13 . Ehhez két szám összegét számítjuk ki: a redukált - 6 - és a 13-as szám (vagyis az adott részrész ellentéte - 13). A következőt kapjuk: - 6 - (- 13) \u003d - 6 + 13 \u003d 7.

Válasz: - 6 - (- 13) = 7 .

Egyenlő egész számok kivonása

Ha az adott minuend és részfej egyenlő, akkor a különbségük egyenlő lesz nullával, azaz. a - a = 0 , ahol a tetszőleges egész szám.

Magyarázzuk el. Az egész számok kivonási szabálya szerint a - a = a + (- a) = 0, ami azt jelenti: ahhoz, hogy egy vele egyenlő egészet kivonjunk, ehhez a számhoz hozzá kell adni egy vele ellentétes számot, ami nullát eredményez.

Például az egyenlő egész számok - 54 és - 54 különbsége egyenlő nullával; végrehajtva az 513-as szám kivonásának műveletét az 513-as számból, nullát kapunk; nullából nullát kivonva nullát is kapunk.

Egész számok kivonásának eredményének ellenőrzése

A szükséges ellenőrzés az összeadás művelettel történik. Ehhez adjuk hozzá a részrészt a kapott különbséghez: ennek eredményeként a redukálandó számmal egyenlő számot kell kapnunk.

5. példa

Egy -112 egész számot kivontunk egy -300-ból, és megkaptuk a -186 különbséget. Helyes volt a kivonás?

Megoldás

Ellenőrizzük a fenti elv szerint. Adjuk hozzá a részrészt a megadott különbséghez: - 186 + (- 112) \u003d - 298. A megadott csökkentetttől eltérő számot kaptunk, ezért a különbözet ​​kiszámításakor hiba történt.

Válasz: Nem, a kivonás helytelenül történt.

Végezetül vegyük figyelembe az egész számok kivonásának műveletének geometriai értelmezését. Rajzoljunk egy vízszintes koordinátavonalat jobbra:

Fent levezettük a kivonási művelet végrehajtásának szabályát, eszerint: a - b \u003d a + (- b), akkor az a és b számok kivonásának geometriai értelmezése egybeesik geometriai érzék a és - b egész számok összeadása. Ebből következik, hogy egy b egész szám kivonásához egy a egész számból szükséges:

Ha b pozitív szám, az a koordinátájú ponttól b egységnyi szegmenssel haladjunk balra;

Mozgás az a koordinátájú pontról | b | (a b szám modulusa) egységszegmensek jobbra, ha b negatív szám;

Maradjunk az a koordinátájú pontnál, ha b = 0 .

Tekintsünk egy példát grafikus kép használatával:

Legyen szükséges egy -2 egész számból kivonni egy pozitív egész számot 2 . Ehhez a fenti séma szerint mozogjon balra 2-vel egyetlen szegmens, így eljutunk a - 4 koordinátájú ponthoz, azaz. - 2 - 2 = - 4 .

Egy másik példa: a 2 egész számból kivonunk egy negatív egész számot - 3 . Ezután a séma szerint haladjon jobbra | - 3 | = 3 egységszegmens, így eljutunk az 5 koordinátájú ponthoz. Megkapjuk az egyenlőséget: 2 - (- 3) = 5 és egy illusztrációt:

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

kivonás), az összeadás fordítottja. "-" mínuszjellel jelölve. Ez egy olyan művelet, amellyel az összeg és az egyik kifejezés felhasználható a második tag megtalálásához.

Meghívják azt a számot, amelyből ki kell vonni kisebbítendő, és a kivonandó szám kivonandó. A kivonási műveletek eredményét ún különbség.

Tudassa velünk: 2 szám összege cÉs b egyenlő a, tehát a különbség a-c akarat b, és a különbség a-b akarat c.

A legkényelmesebb az „oszlopban” módszerrel kivonni.

kivonási táblázat.

A kivonási folyamat egyszerűbb és gyorsabb elsajátítása érdekében tekintse meg és jegyezze meg a kivonási táblázatot tízig a 2. fokozathoz:

A természetes számok kivonásának tulajdonságai.

• A kivonásnak, mint folyamatnak NINCS kommutatív tulajdonsága: a−b≠b−a.
• Az azonos számok különbsége nulla: a−a=0.
• 2 egész szám összegének kivonása egy egész számból: a−(b+c)=(a−b)−c.
• Egy szám kivonása 2 szám összegéből: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c).
• A szorzás eloszlási tulajdonsága a kivonás tekintetében: a (b−c)=a b−a c és (a−b) c=a c−b c.
• És az egész számok (természetes számok) kivonásának minden egyéb tulajdonsága.

Nézzünk meg néhányat közülük:

Két egyenlő természetes szám kivonásának tulajdonsága.

2 azonos természetes szám különbsége nullával egyenlő.

a-a=0,

ahol a- bármilyen természetes szám.

A természetes számok kivonásának NINCS kommutatív tulajdonsága.

A fent leírt tulajdonságból látható, hogy 2 azonos természetes szám esetén működik a kivonás kommutatív tulajdonsága. Minden más esetben (ha a minuend ≠ a részfej), a természetes számok kivonásának nincs kommutatív tulajdonsága. Vagy másképpen fogalmazva: a minuend és a subtrahend nem cserélődik fel.

Ha a minuend nagyobb, mint a részhányad, és úgy döntünk, hogy felcseréljük őket, akkor kivonjuk a természetes számból, amelyik kisebb, és a természetes számból, amelyik nagyobb. Ez a rendszer nem felel meg a természetes számok kivonásának lényegének.

Ha aÉs b egyenlőtlen természetes számok a−b≠b−a. Például 45−21≠21−45.

Az a tulajdonság, hogy két szám összegét kivonjuk egy természetes számból.

A feltüntetett természetes számból való kivonáshoz 2 természetes szám szükséges összege megegyezik, ha a megjelölt természetes számból kivonjuk a szükséges összeg 1. tagját, akkor a számított különbségből a 2. tagot levonjuk.

Ezt a következő betűkkel lehet kifejezni:

a-(b+c)=(a-b)-c,

ahol a, bÉs c- természetes számok, a feltételeknek teljesülniük kell a>b+c vagy a=b+c.

Az a tulajdonság, hogy két szám összegéből kivonunk egy természetes számot.

A természetes szám kivonása 2 szám összegéből ugyanaz, mintha az egyik tagból kivonnánk egy számot, majd hozzáadnánk a különbséget és a másik tagot. A kivont szám NEM lehet nagyobb annál a tagnál, amelyből ezt a számot kivonták.

Legyen a, bÉs c- egész számok. Tehát, ha a több vagy egyenlő c, egyenlőség (a+b)−c=(a−c)+b igaz lesz, és ha b több vagy egyenlő c, azután: (a+b)−c=a+(b−c). Mikor és aÉs b több vagy egyenlő c, tehát mindkét utolsó egyenlőség fennáll, és így írhatók fel:

(a+b)−c=(a−c)+b= a+(b−c).

egész számok különbsége nem negatív számok a ésb egy B halmaz A halmazhoz fűződő komplemensének elemeinek száma, feltéve, hogyn(A)= a, n(B)= b, BA, azaz de -b = n(A B). Ez annak a ténynek köszönhető, hogy A \u003d B (AB), azaz.n(A)= n(B) + n(A B).

Bizonyítsuk be. Mivel az állapot szerint BAN BEN- a halmaz saját részhalmaza DE,ábrán látható módon ábrázolhatók. 3.

A természetes (nem negatív egész számok) kivonása az összeadás fordított műveleteként definiálható: de -b = c () b + c = a.

Különbség ABárnyékolva ezen az ábrán. Látjuk, hogy a készletek BAN BENÉs AB nem metszik egymást, és egyesülésük egyenlő DE. Ezért a halmaz elemeinek száma DE képlet segítségével találhatjuk meg n(A)=n(B) + n(AB), ahonnan a kivonás mint művelet definíciója szerint, fordított összeadás, kapunk elcsíp) = de -b.

Hasonló értelmezést kap a nulla kivonása, valamint a kivonás de tól től de. Mivel A=A AA=, azután de - 0= aÉs a - a = 0.

Különbség de -b nem negatív egész számok akkor és csak akkor léteznek, ha .

Az a művelet, amellyel a különbség megtalálható de -b, nak, nek hívják kivonás, szám de- csökkentett, b- kivonható.

A definíciók segítségével megmutatjuk, hogy 8 - 5 = 3 . Legyen megadva két halmaz úgy, hogy n(A) = 8, n(B) = 5. És hagyja a sokaságot BAN BEN a halmaz egy részhalmaza DE. Például, A ={a, s, d, f, g, h, j, k} , B={a, s, d, f, g} .

Keresse meg a halmaz komplementerét BAN BEN sokaknak V: AB ={h, j, k). Ezt értjük n(AB) = 3.

Következésképpen , 8 - 5 = 3.

A számok kivonása és a halmazok kivonása közötti kapcsolat lehetővé teszi, hogy szöveges feladatok megoldása során igazoljuk a cselekvés választását.. Nézzük meg, miért a következő feladatot oldjuk meg kivonással, és oldjuk meg: „7 fa nőtt az iskolában, ebből 3 db. nyírfák, a többi hárs volt. Hány hárs nőtt az iskola közelében?

Mutassuk be vizuálisan a probléma állapotát, az iskola közelében elültetett fákat körben ábrázolva (4. ábra). Közöttük 3 nyír található - az ábrán ezeket keltéssel emeljük ki. Aztán a többi fa - nem az árnyékos körök - hárs. Azaz annyi van belőlük, ahány 7-ből 3 lesz , azaz . 4.

A probléma három halmazt vesz figyelembe: a halmazt DE minden fa, sok BAN BEN- nyírfák, ami egy részhalmaz DE, és állítsa be TÓL TŐL ajak - ez a készlet kiegészítője BAN BEN előtt DE. A feladat az, hogy megkeressük ebben az összeadásban az elemek számát.

Feltétel szerint n(A) = 7, n(B)= 3 és BA. Legyen A ={a, b, c, d, e, f, g} , B={a, b, c} . Keresse meg a halmaz komplementerét DE előtt BAN BEN: AB={d, e, f, g)És n(AB) = 4.

Eszközök, n(C) = n(AB) = n(A) - n(B)= 7 - 3 = 4.

Ennek következtében 4 hárs nőtt az iskola közelében.

A nem negatív egész számok összeadásának és kivonásának megfontolt megközelítése lehetővé teszi, hogy különféle szabályokat értelmezzünk a halmazelméleti pozíciókból.

A szám összegből való kivonásának szabálya: számot levonni az összegből, elég ezt a számot kivonni az egyik tagból, és a kapott eredményhez hozzáadni egy másik tagot, azaz. nál nél ász nálunk az van (a+b)-c=(a-c)+b; nál nél időszámításunk előtt nálunk az van (a+b)-c=a+(b-c); nál nél acÉs időszámításunk előtt ezen képletek bármelyike ​​használható.

Nézzük meg ennek a szabálynak a jelentését: Legyen A, B, C olyan halmazok vannak n(A)=a, n(B)=bÉs AB= , SA(5. ábra).

Euler-körök segítségével könnyű bizonyítani, hogy az egyenlőség ezekre a halmazokra érvényes.

Az egyenlőség jobb oldala így néz ki:

Az egyenlőség bal oldalának alakja: Ezért (a + b) - c = (a - c) + b,nál nél feltéve, hogy a>c.

Az összeg számból való kivonásának szabálya : a számok összegének egy számból való kivonásához elegendő ebből a számból egymás után kivonni az egyes tagokat, azaz. feltéve, hogy a b+c, nekünk van de - (b + c) = (a - b) - c.

Nézzük meg ennek a szabálynak a jelentését. Ezekre a halmazokra érvényes az egyenlőség.

Ekkor azt kapjuk, hogy az egyenlőség jobb oldalának alakja:. Az egyenlőség bal oldalának alakja: .

Következésképpen (a + b) - c = (a - c) + b, nál nél feltéve, hogy a>c.

A különbség számból való kivonásának szabálya: kivonni belőle de különbség időszámításunk előtt, elég adott szám add hozzá a részfejet tól tőlés az eredményből vonjuk ki a minuendet b; nál nél a > b lehetőség van az a számból a redukált b-t kivonni és a kapott eredményhez hozzáadni a kivont c-t, azaz. de - (b - c) = (a + c) - b = (a - b) + c.

Eszközök, A(BC) = .

Következésképpen, n(A(BC)) = n( ) És de - (b - c) = (a + c) - b.

A szám különbségből való kivonásának szabálya: kivonni a harmadik számot két szám különbségéből, elegendő két másik szám összegét kivonni a csökkentettből, i.e. (de -b) - c = a - (b + c). Hasonlóan bizonyított, mint az összeg számból való kivonásának szabálya.

Példa. Milyen módszerekkel lehet megtalálni a különbséget: a) 15 - (5 + 6); b) (12 + 6) - 2?

Megoldás. a) A szabályt használjuk az összeg kivonására egy számból: 15 - (5 + 6) \u003d (15 - 5) - 6 \u003d 10 - 6 \u003d 4.

Vagy 15 - (5 + 6) = (15 - 6) - 5 = 9 - 4 = 4.

Vagy 15 - (5 + 6) = 15 - 11 = 4 .

b) A számnak az összegből való kivonására a szabályt alkalmazzuk: (12 + 6) - 2 = (12 - 2) + 6 = 10 + 6 = 16.

Vagy (12 + 6) - 2 = 12 + (6 - 2) = 12 + 4 = 16 .

Vagy (12 + 6) - 2 = 18 - 2 = 16.

Ezek a szabályok leegyszerűsítik a számításokat, és széles körben használatosak alapfokú tanfolyam matematika.