Figyeljük meg, hogy a mátrix elemei nemcsak számok lehetnek. Képzeld el, hogy leírod a könyvespolcodon lévő könyveket. Legyen rendben a polca, és minden könyv szigorúan meghatározott helyen álljon. A táblázat, amely a könyvtár leírását tartalmazza (a polcok és a polcon lévő könyvek sorrendje szerint), szintén mátrix lesz. De egy ilyen mátrix nem lesz numerikus. Egy másik példa. A számok helyett különböző függvények vannak, amelyeket bizonyos függőség egyesít egymás között. A kapott táblázatot mátrixnak is nevezzük. Más szóval, a Mátrix bármely téglalap alakú asztal, amelyből áll homogén elemeket. Itt és alább a számokból álló mátrixokról lesz szó.

A mátrixokat zárójelek helyett szögletes zárójelekkel vagy egyenes dupla függőleges vonalakkal írjuk.

(2.1*)

2. definíció. Ha a kifejezésben(1) m = n , aztán arról beszélnek négyzetmátrix, és ha , valamiről négyszögletes.

Az m és n értékétől függően néhány speciális mátrixtípus létezik:

A legfontosabb jellemző négyzet a mátrix az döntő vagy döntő, amely mátrixelemekből áll és jelölése

Nyilvánvaló, hogy D E =1; .

3. definíció. Ha egy , majd a mátrix A hívott nem degenerált vagy nem különleges.

4. definíció. Ha egy detA = 0, majd a mátrix A hívott elfajzott vagy különleges.

5. definíció. Két mátrix A és B hívott egyenlő és írj A=B ha azonos méretekkel rendelkeznek és a hozzájuk tartozó elemeik egyenlőek, pl..

Például a és mátrixok egyenlőek, mert egyenlő méretűek, és az egyik mátrix minden eleme egyenlő a másik mátrix megfelelő elemével. De a mátrixok nem nevezhetők egyenlőnek, pedig mindkét mátrix determinánsai egyenlőek, és a mátrixok mérete is azonos, de nem minden elem azonos helyen egyenlő. A mátrixok eltérőek, mert eltérő méretűek. Az első mátrix 2x3, a második 3x2. Bár az elemek száma azonos - 6, és maguk az elemek ugyanazok: 1, 2, 3, 4, 5, 6, de minden mátrixban más-más helyen vannak. De a és mátrixok egyenlőek az 5. definíció szerint.

6. definíció. Ha bizonyos számú mátrixoszlopot rögzítünk A és ugyanannyi sora, akkor a megadott oszlopok és sorok metszéspontjában lévő elemek négyzetmátrixot alkotnak n- rendű, melynek meghatározója hívott kiskorú k- rendű mátrix A.

Példa. Írjon ki három kisebbet a mátrix második rendjéből!

A mátrix egy téglalap alakú táblázat, amely tele van néhány matematikai objektummal. Többnyire valamilyen mező elemeit tartalmazó mátrixokat fogunk figyelembe venni, bár sok állítás érvényes marad, ha egy asszociatív (nem feltétlenül kommutatív) gyűrű elemeit mátrixelemeknek tekintjük.

Leggyakrabban a mátrix elemeit egy betűvel jelölik, két indexgel, amelyek az elem "címét" jelzik - az első index az elemet tartalmazó sor számát, a második az oszlop számát adja meg. Így a (a dimenziók ) mátrixa a formába van írva

A számokból beszúrt mátrixok természetesen felmerülnek a rendszerek figyelembevételekor lineáris egyenletek

Ennek a problémának a bemenete olyan együtthatók halmaza, amelyek természetesen mátrixot alkotnak

és szabad kifejezések halmaza, amelyek egy mátrixot alkotnak, amelynek csak egy oszlopa van. A kívánt egy ismeretlen értékek halmaza, amelyet, mint kiderült, kényelmes egy oszlopból álló mátrixként is ábrázolni.

Fontos szerepet játszanak az úgynevezett átlós mátrixok. Ez a név azokra a négyzetes mátrixokra vonatkozik, amelyeknek minden eleme nulla, kivéve a főátló elemeit, azaz a pozícióban lévő elemeket.

A D átlós mátrixot átlós bejegyzésekkel jelöljük

Az A mátrix több kiválasztott sorának és több kijelölt oszlop metszéspontjában elhelyezkedő elemekből álló mátrixot az A mátrix almátrixának nevezzük. Ha a kiválasztott sorok száma és a kiválasztott oszlopok száma, akkor a megfelelő almátrix

Különösen a mátrix sorai és oszlopai tekinthetők almátrixainak.

A mátrixok természetesen kapcsolatban állnak a lineáris helyettesítéssel ( lineáris transzformáció) változók. Ez az elnevezés az eredeti változórendszerről egy másik, új, képletekkel összekapcsolt változórendszerre való átmenetre utal

A változók lineáris helyettesítését az együtthatók mátrixa adja meg

Lineáris egyenletrendszerek között legmagasabb érték vannak olyan rendszerek, amelyekben az egyenletek száma egyenlő az ismeretlenek számával. A változók lineáris helyettesítései között a főszerepet azok a helyettesítések játsszák, amelyekben a kezdeti és az új változók száma azonos. Ezekben a helyzetekben az együtthatómátrix négyzetesnek bizonyul, azaz azonos számú sorral és oszloppal rendelkezik; ezt a számot a négyzetmátrix rendjének nevezzük.

Ahelyett, hogy azt mondanák, hogy "egy sorból álló mátrix" és "egy oszlopból álló mátrix", röviden azt mondják: sor, oszlop.

Mátrix dimenziót téglalap alakú táblázatnak nevezzük, amely egymásba rendezett elemekből áll m vonalak és n oszlopok.

Mátrixelemek (első index én− sorszám, második index j− oszlopszám) lehetnek számok, függvények stb. A mátrixokat a latin ábécé nagybetűivel jelöljük.

A mátrix az ún négyzet ha a sorok száma megegyezik az oszlopok számával ( m = n). Ebben az esetben a szám n a mátrix rendjének, magát a mátrixot pedig mátrixnak nevezzük n- a sorrend.

Azonos indexű elemek forma főátló négyzetmátrix, és az elemek (azaz az indexek összege egyenlő n+1) − másodlagos átló.

Magányos mátrix hívott négyzetmátrix, amelynek főátlójának minden eleme egyenlő 1-gyel, a többi eleme pedig 0-val. Betűvel jelöljük E.

Nulla mátrix egy mátrix, amelynek minden eleme 0. A nulla mátrix tetszőleges méretű lehet.

A számhoz lineáris műveletek mátrixokon viszonyul:

1) mátrix összeadás;

2) mátrixok szorzása számmal.

A mátrixösszeadás művelete csak azonos dimenziójú mátrixokra van definiálva.

Két mátrix összege DEés NÁL NÉL mátrixnak nevezzük Val vel, amelynek minden eleme egyenlő a mátrixok megfelelő elemeinek összegével DEés NÁL NÉL:

.

Mátrix termék DE számonként k mátrixnak nevezzük NÁL NÉL, amelynek minden eleme egyenlő az adott mátrix megfelelő elemeivel DE számmal megszorozva k:

Művelet mátrixszorzások olyan mátrixokhoz vezetjük be, amelyek teljesítik a feltételt: az első mátrix oszlopainak száma megegyezik a második sorainak számával.

Mátrix termék DE méretek mátrixhoz NÁL NÉL dimenziót mátrixnak nevezzük Val vel méretek, elem én-edik sor és j oszlopa egyenlő az elemek szorzatainak összegével én mátrix sora DE a vonatkozó elemeken j-a mátrix oszlopa NÁL NÉL:

A mátrixok szorzata (ellentétben a valós számok szorzatával) nem engedelmeskedik a kommutatív törvénynek, azaz. általában DE NÁL NÉL NÁL NÉL DE.

1.2. Meghatározók. Minősítő tulajdonságok

A determináns fogalma csak négyzetmátrixokhoz vezették be.

A 2. rendű mátrix determinánsa a következő szabály szerint kiszámított szám

.

3. rendű mátrix determináns a következő szabály szerint kiszámított szám:

A „+” jelű kifejezések közül az első a mátrix főátlóján található elemek szorzata (). A másik kettő olyan háromszög csúcsaiban található elemeket tartalmaz, amelyek alapja párhuzamos a főátló(k)kal. A "-" jellel az oldalátló elemeinek () és az ezzel az átlóval párhuzamos (és) alappal rendelkező háromszöget alkotó elemek szorzatai szerepelnek.

A 3. rendű determináns kiszámításának ezt a szabályát háromszögszabálynak (vagy Sarrus szabályának) nevezik.

Minősítő tulajdonságok Tekintsük a 3. rendű determinánsok példáját.

1. Ha a determináns összes sorát a sorokkal azonos számú oszlopokra cseréljük, a determináns nem változtatja meg az értékét, azaz. a determináns sorai és oszlopai egyenlőek

.

2. Ha két sort (oszlopot) felcserélünk, a determináns megváltoztatja az előjelét.

3. Ha egy sor (oszlop) minden eleme nulla, akkor a determináns 0.

4. Egy sor (oszlop) összes elemének közös tényezője kivehető a determináns előjeléből.

5. A két azonos sort (oszlopot) tartalmazó determináns 0.

6. A két arányos sort (oszlopot) tartalmazó determináns egyenlő nullával.

7. Ha egy determináns egy bizonyos oszlopának (sorának) minden eleme két tag összegét képviseli, akkor a determináns egyenlő két determináns összegével, amelyek közül az egyik tartalmazza ugyanabban az oszlopban (sorban) az első tagokat, míg a második - a második. Mindkét determináns többi eleme megegyezik. Így,

.

8. A determináns nem változik, ha valamelyik oszlopának (sorának) elemeihez hozzáadjuk egy másik oszlop (sor) megfelelő elemeit azonos számmal szorozva.

A determináns következő tulajdonsága a moll és az algebrai komplement fogalmához kapcsolódik.

Kisebb determináns eleme az a determináns, amelyet az adottból úgy kapunk, hogy töröljük azt a sort és oszlopot, amelynek metszéspontjában ez az elem található.

Például a determináns mellékeleme determinánsnak nevezzük.

Algebrai összeadás a determináns elemét mollnak nevezzük, szorozva hol én- sorszám, j− annak az oszlopnak a száma, amelynek metszéspontjában az elem található. Általában algebrai komplementet jelölnek. Harmadik rendű determináns elem esetén az algebrai komplementer

9. A determináns egyenlő bármely sor (oszlop) elemeinek és a hozzájuk tartozó algebrai összeadások szorzatának összegével.

Például a determináns kiterjeszthető az első sor elemeire

,

vagy a második oszlop

Kiszámításukhoz a determinánsok tulajdonságait használják.

Ez a témakör olyan műveletekkel foglalkozik, mint a mátrixok összeadása és kivonása, mátrix szorzása számmal, mátrix szorzása mátrixszal, mátrixtranszponálás. Az ezen az oldalon használt összes szimbólum az előző témakörből származik.

Mátrixok összeadása és kivonása.

A $A_(m\x n)=(a_(ij))$ és $B_(m\x n)=(b_(ij))$ mátrixok $A+B$ összege a $C_(m) \times n) =(c_(ij))$, ahol $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ minden $i=\overline(1,m)$ és $j=\overline( 1,n) $.

Hasonló definíciót vezetünk be a mátrixok különbségére:

A $A_(m\times n)=(a_(ij))$ és $B_(m\times n)=(b_(ij))$ mátrixok $A-B$ különbsége a $C_(m\times n)=( c_(ij))$, ahol $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ minden $i=\overline(1,m)$ és $j=\overline(1, n)$.

Magyarázat a $i=\overline(1,m)$ bejegyzéshez: show\hide

A "$i=\overline(1,m)$" bejegyzés azt jelenti, hogy a $i$ paraméter 1-ről m-re változik. Például a $i=\overline(1,5)$ bejegyzés azt mondja, hogy a $i$ paraméter az 1, 2, 3, 4, 5 értékeket veszi fel.

Érdemes megjegyezni, hogy az összeadási és kivonási műveletek csak azonos méretű mátrixokra vannak definiálva. Általában a mátrixok összeadása és kivonása olyan műveletek, amelyek intuitív módon egyértelműek, mert valójában csak a megfelelő elemek összegzését vagy kivonását jelentik.

1. példa

Három mátrixot adunk meg:

$$ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (cccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \right). $$

Megtalálható a $A+F$ mátrix? Keresse meg a $C$ és a $D$ mátrixokat, ha $C=A+B$ és $D=A-B$.

Az $A$ mátrix 2 sort és 3 oszlopot tartalmaz (más szóval a $A$ mátrix mérete $2\x 3$), az $F$ mátrix pedig 2 sort és 2 oszlopot tartalmaz. A $A$ és $F$ mátrix méretei nem egyeznek, ezért nem tudjuk összeadni, i.e. a $A+F$ művelet ezekhez a mátrixokhoz nincs definiálva.

A $A$ és $B$ mátrixok mérete megegyezik, i.e. mátrix adatok tartalmazzák egyenlő mennyiségben sorok és oszlopok, így az összeadási művelet alkalmazható rájuk.

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(tömb) ) (cccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(tömb) \jobbra) $$

Keresse meg a $D=A-B$ mátrixot:

$$ D=A-B=\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cccc) -1-10 & -2-(-25) ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end(array) \right) $$

Válasz: $C=\left(\begin(array) (cccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.

Egy mátrix szorzása egy számmal.

A $A_(m\times n)=(a_(ij))$ és a $\alpha$ szám szorzata a $B_(m\times n)=(b_(ij))$ mátrix, ahol $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ minden $i=\overline(1,m)$ és $j=\overline(1,n)$ esetén.

Egyszerűen fogalmazva, egy mátrixot valamilyen számmal megszorozni azt jelenti, hogy az adott mátrix minden elemét megszorozzuk ezzel a számmal.

2. példa

Adott egy mátrix: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Keresse meg a $3\cdot A$, $-5\cdot A$ és $-A$ mátrixokat.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(tömb) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(tömb) \right) =\left(\begin( tömb) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (tömb) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(tömb) \jobbra). $$

A $-A$ jelölés a $-1\cdot A$ rövidítése. Azaz a $-A$ megtalálásához meg kell szorozni a $A$ mátrix összes elemét (-1)-gyel. Valójában ez azt jelenti, hogy a $A$ mátrix összes elemének előjele az ellenkezőjére változik:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$

Válasz: $3\cdot A=\left(\begin(array) (cccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(tömb) (cccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Két mátrix szorzata.

Ennek a műveletnek a meghatározása nehézkes és első pillantásra érthetetlen. Ezért először leszögezem általános meghatározás, majd részletesen elemezzük, mit jelent, és hogyan kell vele dolgozni.

A $A_(m\szer n)=(a_(ij))$ és a $B_(n\szor k)=(b_(ij))$ szorzata a $C_(m\x k mátrix )=(c_( ij))$, amelyre minden $c_(ij)$ elem egyenlő a megfelelő elem szorzatainak összegével. i-edik elemek a $A$ mátrix sorai a $B$ mátrix j-edik oszlopának elemeivel: $$c_(ij)=\sum\limits_(p=1)^(n)a_(ip)b_(pj ), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Lépésről lépésre elemezzük a mátrixok szorzását egy példa segítségével. Azonban azonnal figyelni kell arra, hogy nem minden mátrix szorozható. Ha meg akarjuk szorozni az $A$ mátrixot a $B$ mátrixszal, akkor először meg kell győződnünk arról, hogy a $A$ mátrix oszlopainak száma megegyezik a $B$ mátrix sorainak számával (az ilyen mátrixokat gyakran ún. egyetért). Például a $A_(5\x4)$ mátrix (a mátrix 5 sort és 4 oszlopot tartalmaz) nem szorozható meg a $F_(9\x 8)$ mátrixszal (9 sor és 8 oszlop), mivel a az $A $ mátrix nem egyenlő az $F$ mátrix sorainak számával, azaz. 4 USD\negy 9 USD. De meg lehet szorozni a $A_(5\x 4)$ mátrixot a $B_(4\x 9)$ mátrixszal, mivel a $A$ mátrix oszlopainak száma megegyezik a mátrix sorainak számával. $B$ mátrix. Ebben az esetben a $A_(5\x 4)$ és $B_(4\x 9)$ mátrixok szorzatának eredménye a $C_(5\x 9)$ mátrix, amely 5 sort és 9 oszlopot tartalmaz:

3. példa

Adott mátrixok: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (tömb) \jobbra)$ és $ B=\left(\begin(tömb) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(tömb) \jobbra) $. Keresse meg a $C=A\cdot B$ mátrixot.

Először azonnal meghatározzuk a $C$ mátrix méretét. Mivel az $A$ mátrix mérete $3\x4$ és a $B$ mátrix mérete $4\x 2$, a $C$ mátrix mérete $3\x 2$:

Tehát a $A$ és $B$ mátrixok szorzatának eredményeképpen a $C$ három sorból és két oszlopból álló mátrixot kell kapnunk: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_(11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(tömb) \jobbra)$. Ha az elemek megnevezése kérdéseket vet fel, akkor megtekintheti az előző témát: "Mátrixok. Mátrixok típusai. Alapfogalmak", melynek elején a mátrixelemek megnevezése kerül ismertetésre. Célunk, hogy megtaláljuk a $C$ mátrix összes elemének értékét.

Kezdjük a $c_(11)$ elemmel. A $c_(11)$ elem megszerzéséhez meg kell találni a $A$ mátrix első sora és a $B$ mátrix első oszlopa elemeinek szorzatának összegét:

Magának a $c_(11)$ elemnek a megtalálásához meg kell szorozni a $A$ mátrix első sorának elemeit a $B$ mátrix első oszlopának megfelelő elemeivel, azaz. az első elemet az elsőhöz, a másodikat a másodikhoz, a harmadikat a harmadikhoz, a negyediket a negyedikhez. Összefoglaljuk a kapott eredményeket:

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

Folytassuk a megoldást, és keressük meg a $c_(12)$-t. Ehhez meg kell szorozni a $A$ mátrix első sorának és a $B$ mátrix második oszlopának elemeit:

Az előzőhöz hasonlóan nálunk is van:

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

A $C$ mátrix első sorának minden eleme megtalálható. Áttérünk a második sorra, amely a $c_(21)$ elemmel kezdődik. Ennek megtalálásához meg kell szorozni a $A$ mátrix második sorának és a $B$ mátrix első oszlopának elemeit:

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

A következő $c_(22)$ elemet úgy kapjuk meg, hogy a $A$ mátrix második sorának elemeit megszorozzuk a $B$ mátrix második oszlopának megfelelő elemeivel:

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

A $c_(31)$ meghatározásához megszorozzuk az $A$ mátrix harmadik sorának elemeit a $B$ mátrix első oszlopának elemeivel:

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

És végül a $c_(32)$ elem megtalálásához meg kell szorozni a $A$ mátrix harmadik sorának elemeit a $B$ mátrix második oszlopának megfelelő elemeivel:

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

A $C$ mátrix összes eleme megtalálható, csak fel kell írni, hogy $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array ) \jobbra)$ . Vagy, hogy teljes egészében írja le:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(tömb) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(tömb) \jobbra)\cdot \left(\begin(tömb) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(tömb) \jobbra) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$

Válasz: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.

Egyébként sokszor nincs ok arra, hogy az eredménymátrix egyes elemeinek helyét részletesen leírjuk. Kis méretű mátrixok esetén a következőket teheti:

$$ \left(\begin(array) (cc) 6 & 3 \\ -17 & -2 \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 4 & 9 \\ - 6 és 90 \end(tömb) \jobbra) =\left(\begin(tömb) (cc) 6\cdot(4)+3\cdot(-6) & 6\cdot(9)+3\cdot(90 ) \\ -17\cdot(4)+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot(9)+(-2)\cdot(90) \end(array) \right) =\left (\begin(array) (cc) 6 & 324 \\ -56 & -333 \end(array) \right) $$

Azt is érdemes megjegyezni, hogy a mátrixszorzás nem kommutatív. Ez azt jelenti, hogy általában $A\cdot B\neq B\cdot A$. Csak bizonyos típusú mátrixokhoz, amelyek ún permutációs(vagy ingázás), a $A\cdot B=B\cdot A$ egyenlőség igaz. A szorzás nem kommutativitásán alapul, hogy pontosan meg kell jelölni, hogyan szorozzuk meg a kifejezést egyik vagy másik mátrixszal: a jobb vagy a bal oldalon. Például a "szorozzuk meg a $3E-F=Y$ egyenlőség mindkét oldalát a jobb oldali $A$ mátrixszal" kifejezés azt jelenti, hogy a következő egyenlőséget szeretné megkapni: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.

A $A_(m\x n)=(a_(ij))$ mátrixhoz képest transzponálva a $A_(n\x m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, olyan elemekre, ahol $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

Egyszerűen fogalmazva, ahhoz, hogy megkapjuk a transzponált $A^T$ mátrixot, ki kell cserélni az eredeti $A$ mátrix oszlopait a megfelelő sorokra a következő elv szerint: megvolt az első sor - az első oszlop lesz; volt egy második sor - a második oszlop lesz; volt egy harmadik sor - lesz egy harmadik oszlop és így tovább. Például keressük meg a transzponált mátrixot a $A_(3\x 5)$ mátrixba:

Ennek megfelelően, ha az eredeti mátrix mérete $3\x5$, akkor a transzponált mátrix mérete $5\x 3$.

A mátrixokon végzett műveletek néhány tulajdonsága.

Itt feltételezzük, hogy a $\alpha$, $\beta$ néhány szám, a $A$, $B$, $C$ pedig mátrixok. Az első négy ingatlannál feltüntettem a neveket, a többit az első négyhez hasonló módon nevezhetjük el.