Az elemi mátrix transzformációk a következők:

1. A sorok (oszlopok) sorrendjének megváltoztatása.

2. Nulla sorok (oszlopok) eldobása.

3. Bármely sor (oszlop) elemeinek szorzása egy számmal.

4. Bármely sor (oszlop) elemeihez egy másik sor (oszlop) elemeinek hozzáadása, egy számmal szorozva.

Lineáris algebrai egyenletrendszerek slu (Alapfogalmak és definíciók).

1. Rendszer m lineáris egyenletek val vel n ismeretlennek hívják alakú egyenletrendszer:

2.Döntés az (1) egyenletrendszert számhalmaznak nevezzük x 1 , x 2 , … , x n , a rendszer minden egyenletét azonossággá alakítva.

3. Az (1) egyenletrendszert ún közös ha van legalább egy megoldása; ha a rendszernek nincsenek megoldásai, akkor ún összeegyeztethetetlen.

4. Az (1) egyenletrendszert ún bizonyos ha csak egy megoldása van, és bizonytalan ha egynél több megoldása van.

5. Elemi transzformációk eredményeként az (1) rendszer egy vele ekvivalens (azaz azonos megoldáshalmazú) rendszerré alakul.

Az elemi átalakulásokhoz A lineáris egyenletrendszerek a következők:

1. Null karakterláncok eldobása.

2. A sorok sorrendjének megváltoztatása.

3. Egy másik sor elemeinek összeadása bármely sor elemeihez, egy számmal szorozva.

Lineáris egyenletrendszerek megoldási módszerei.

1) Inverz mátrix módszer (mátrix módszer) n lineáris egyenletrendszer megoldására n ismeretlennel.

rendszer n lineáris egyenletek -val n ismeretlennek hívják alakú egyenletrendszer:

Írjuk fel a (2) rendszert mátrix alakban, ehhez vezetjük be a jelölést.

Együttható mátrix a változók előtt:

X = ‒ változók mátrixa.

B = a szabad tagok mátrixa.

Ekkor a (2) rendszer a következő formában jelenik meg:

A× x = B‒ mátrixegyenlet.

Az egyenletet megoldva a következőt kapjuk:

x = A -1 × B

Példa:

; ;

1) │А│= 15 + 8 ‒18 ‒9 ‒12 + 20 = 4  0 A -1 mátrix létezik.

3)

à =

4) A -1 = × Ã = ;

X \u003d A -1 × B

Válasz:

2) Cramer-szabály n - lineáris egyenletrendszerek megoldására n - ismeretlennel.

Tekintsünk egy 2 x lineáris egyenletrendszert 2 ismeretlennel:

Oldjuk meg ezt a rendszert helyettesítési módszerrel:

Az első egyenletből a következő:

A második egyenletbe behelyettesítve a következőket kapjuk:

A képletben szereplő értéket behelyettesítjük a következőre:

Δ determináns - a rendszer mátrixának determinánsa;

Δ x 1 - változó determináns x 1 ;

Δ x 2 - változó determináns x 2 ;

Képletek:

x 1 =;x 2 =;…,x n = ;Δ  0;

hívják Cramer-képletek.

Amikor megtaláljuk az ismeretlenek meghatározóit x 1 , X 2 ,…, X n annak a változónak az együtthatóinak oszlopát, amelynek determinánsát megtaláltuk, a szabad tagok oszlopával helyettesítjük.

Példa: Oldja meg az egyenletrendszert Cramer módszerével!

Döntés:

Először is összeállítjuk és kiszámítjuk ennek a rendszernek a fő meghatározóját:

Mivel Δ ≠ 0, a rendszernek van egy egyedi megoldása, amelyet a Cramer-szabály segítségével találhatunk meg:

ahol Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 a Δ determinánsból kapjuk úgy, hogy az 1., 2. vagy 3. oszlopot a szabad kifejezések oszlopával helyettesítjük.

És így:

Gauss-módszer lineáris egyenletrendszerek megoldására.

Fontolja meg a rendszert:

Az (1) rendszer kiterjesztett mátrixa a következő alakú mátrix:

Gauss módszer egy módszer az ismeretlenek sorozatos eltávolítására a rendszer egyenleteiből, a második egyenlettől kezdve. m- ez az egyenlet.

Ebben az esetben elemi transzformációkkal a rendszer mátrixát háromszög alakúra redukáljuk (ha m = nés rendszerdetermináns ≠ 0) vagy lépésenként (ha m< n ) formában.

Ezután a szám szerinti utolsó egyenletből kiindulva minden ismeretlen megtalálható.

Gauss-módszer algoritmus:

1) Állítsa össze a rendszer kibővített mátrixát, amely tartalmazza a szabad tagok oszlopát.

2) Ha a 11  0, akkor az első sort elosztjuk a 11 és szorozzuk meg (- a 21), és adja hozzá a második sort. Hasonlóképpen elérje m- ebből a sorból:

oldalt osztom vele a 11 és szorozzuk meg (- a m 1) és add hozzá m- azt az oldalt

Ebben az esetben az egyenletekből, kezdve a másodiktól a m- vagyis a változó ki lesz zárva x 1 .

3) A 3. lépésben a második sort használjuk a karakterláncok hasonló elemi transzformációihoz 3. m- thuyu. Ez eltávolítja a változót x 2 , a 3. sortól kezdve lefelé m- tuja stb.

Ezen átalakítások eredményeként a rendszer háromszögletű vagy lépcsős formára redukálódik (háromszög alak esetén a főátló alatt nullák vannak).

A rendszer háromszög vagy lépcsős formába hozását ún közvetlen Gauss-módszer, és az eredményül kapott rendszerből ismeretlenek keresése az úgynevezett visszafelé.

Példa:

Közvetlen mozgás. Mutassuk be a rendszer kiterjesztett mátrixát

elemi átalakítások segítségével a lépcsőzetes formára. Cserélje fel a mátrix első és második sorát A b, megkapjuk a mátrixot:

Adjuk össze a kapott mátrix második sorát az első szorzatával (‒2), a harmadik sorát pedig az első sor szorzatával (‒7). Szerezd meg a mátrixot

A kapott mátrix harmadik sorához hozzáadjuk a második sort (‒3) szorozva, aminek eredményeként lépésmátrixot kapunk

Így ezt az egyenletrendszert lépcsőzetes formára redukáltuk:

,

Fordított mozgás. A kapott lépcsőzetes egyenletrendszer utolsó egyenletéből kiindulva egymás után megtaláljuk az ismeretlenek értékeit:

§7. Lineáris egyenletrendszerek

Egyensúlyi rendszerek. Lineáris egyenletrendszer elemi transzformációi.

Legyen Val vel- terület komplex számok. Típusegyenlet

ahol
, lineáris egyenletnek nevezzük n ismeretlen
. megrendelt készlet
,
az (1) egyenlet megoldásának nevezzük, ha.

rendszer m lineáris egyenletek -val n Az ismeretlen egyenletrendszer a következő formájú:

- a lineáris egyenletrendszer együtthatói, - ingyenes tagok.

téglalap alakú asztal

,

méretmátrixnak nevezzük
. Bemutatjuk a jelölést: - én- a mátrix sora,
- k-a mátrix oszlopa. Mátrix DE is jelöli
vagy
.

A következő mátrixsor-transzformációk DE eleminek nevezzük.
) null karakterlánc kivétel; ) bármely karakterlánc összes elemét megszorozzuk egy számmal
; ) hozzáadva bármely más karakterlánc bármely karakterláncához, szorozva ezzel
. Hasonló mátrixoszlop transzformációk DE elemi mátrix transzformációnak nevezzük DE.

Bármely mátrixsor első nem nulla eleme (balról jobbra számolva). DE e karakterlánc vezető elemének nevezzük.

Meghatározás. Mátrix
lépésenként hívják, ha a következő feltételek teljesülnek:

1) a mátrix nulla sorai (ha vannak) nem nulla egyek alatt vannak;

2) ha
a mátrix sorainak vezető elemei, akkor

Bármely nem nulla A mátrix sorelemi transzformációkkal lépésmátrixsá redukálható.

Példa. Bemutatjuk a mátrixot
lépésmátrixhoz:
~
~
.

A rendszer együtthatóiból összeállított mátrix a (2) lineáris egyenleteket a rendszer főmátrixának nevezzük. Mátrix
, amelyet egy szabad tagok oszlopának összeadásával kapunk, a rendszer kiterjesztett mátrixának nevezzük.

A rendezett halmazt a (2) lineáris egyenletrendszer megoldásának nevezzük, ha ez a rendszer minden lineáris egyenletének megoldása.

Egy lineáris egyenletrendszert konzisztensnek nevezünk, ha legalább egy megoldása van, és inkonzisztensnek, ha nincs megoldása.

Egy lineáris egyenletrendszert határozottnak nevezünk, ha egyedi megoldása van, és határozatlannak, ha egynél több megoldása van.

A lineáris egyenletrendszer alábbi transzformációit nevezzük eleminek:

) a forma kizárása az egyenletrendszerből ;

) bármely egyenlet mindkét oldalának szorzata
,
;

) összeadás bármely más egyenlet bármely egyenletéhez, szorozva ,-vel.

Két lineáris egyenletrendszer -ból n Az ismeretleneket ekvivalensnek mondjuk, ha nem kompatibilisek, vagy megoldásaik halmazai megegyeznek.

Tétel. Ha egy lineáris egyenletrendszert a ), ), ) típusú elemi transzformációkkal kapunk egy másikból, akkor az ekvivalens az eredetivel.

Lineáris egyenletrendszer megoldása ismeretlenek kiküszöbölésének módszerével (Gauss módszerrel).

Hagyja a rendszert m lineáris egyenletek -val n ismeretlen:

Ha az (1) rendszer olyan alakú egyenletet tartalmaz

akkor ez a rendszer következetlen.

Tegyük fel, hogy az (1) rendszer nem tartalmaz (2) alakú egyenletet. Adjuk be az (1) rendszerbe a változó együtthatóját x 1 az első egyenletben
(ha nem ez a helyzet, akkor az egyenletek helyekre történő átrendezésével azt fogjuk elérni, hogy , mivel nem minden együttható x 1 egyenlő nullával). Alkalmazzuk az alábbi elemi transzformációk láncát az (1) lineáris egyenletrendszerre:

, add hozzá a második egyenlethez;

Az első egyenlet szorozva
, add hozzá a harmadik egyenlethez és így tovább;

Az első egyenlet szorozva
, add hozzá a rendszer utolsó egyenletéhez.

Ennek eredményeként az (1) rendszerrel egyenértékű lineáris egyenletrendszert kapunk (a továbbiakban a CLE rövidítést használjuk lineáris egyenletrendszerre). Kiderülhet, hogy a kapott rendszerben egyetlen egyenlet sem szerepel a számmal én, én 2, nem tartalmaz ismeretlent x 2. Legyen k a legkevesebb természetes szám, ami ismeretlen x k legalább egy egyenletben szerepel a számmal én, én 2. Ekkor a kapott egyenletrendszer a következőképpen alakul:

A (3) rendszer egyenértékű az (1) rendszerrel. Jelentkezzen most az alrendszerre
lineáris egyenletrendszerek (3) érvelése, amelyet az SLE-re (1) alkalmaztak. Stb. A folyamat eredményeként két eredmény egyikéhez jutunk.

1. Kapunk egy SLE-t, amely egy (2) alakú egyenletet tartalmaz. Ebben az esetben az SLE (1) inkonzisztens.

2. Az SLE-re (1) alkalmazott elemi transzformációk nem vezetnek olyan rendszerhez, amely a (2) alakú egyenletet tartalmazza. Ebben az esetben az SLE (1) elemi transzformációkkal
a következő alakú egyenletrendszerre redukálódik:

(4)

hol, 1< k < l < . . .< s,

A (4) alakú lineáris egyenletrendszert lépcsőzetesnek nevezzük. Itt a következő két eset lehetséges.

DE) r= n, akkor a (4) rendszer alakja

(5)

Az (5) rendszer egyedi megoldást kínál. Ebből következően az (1) rendszernek is van egy egyedi megoldása.

B) r< n. Ebben az esetben az ismeretlen
a (4) rendszerben a fő ismeretleneket, a fennmaradó ismeretleneket szabadnak nevezzük (számuk egyenlő n- r). Adjunk tetszőleges számértékeket a szabad ismeretlenekhez, akkor az SLE (4) ugyanolyan alakú lesz, mint az (5) rendszer. Ebből a fő ismeretlenek egyedileg határozhatók meg. Így a rendszernek van megoldása, azaz csuklós. Mivel a szabad ismeretlenek tetszőleges számértékeket kaptak Val vel, akkor a (4) rendszer határozatlan. Ebből következően az (1) rendszer is határozatlan. Ha SLE-ben (4) a fő ismeretleneket szabad ismeretlenekkel fejezzük ki, az (1) rendszer általános megoldásának nevezett rendszert kapunk.

Példa. Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert a módszerrel! G aussa

Felírjuk a lineáris egyenletrendszer kiterjesztett mátrixát, és elemi sortranszformációkkal lépésmátrixsá redukáljuk:

~

~
~
~

~ . A kapott mátrix segítségével visszaállítjuk a lineáris egyenletrendszert:
Ez a rendszer egyenértékű az eredeti rendszerrel. Azután a fő ismeretlennek tekintjük
szabad ismeretlenek. A fő ismeretleneket csak a szabad ismeretlenekkel fejezzük ki:

Megkaptuk az SLE általános megoldását. Akkor hagyd

(5, 0, -5, 0, 1) az SLE sajátos megoldása.

Önálló megoldási feladatok

1. Keressen egy általános és egy konkrét megoldást egy egyenletrendszerre az ismeretlenek kiiktatásával:

1)
2)

4)
6)

2. Keressen különböző paraméterértékeken a az egyenletrendszer általános megoldása:

1)
2)

3)
4)

5)
6)

§nyolc. Vektor terek

A vektortér fogalma. A legegyszerűbb tulajdonságok.

Legyen V ≠ Ø, ( F, +,∙) – mező. A mező elemeit skalároknak nevezzük.

Kijelző φ : F× V –> V egy halmaz elemeinek szorzási műveletének nevezzük V a mezőről származó skalárokhoz F. Jelöli φ (λ,a) keresztül λа elem termék a skalárhoz λ .

Meghatározás. Egy csomó V a halmaz elemeinek összeadásának adott algebrai műveletével Vés a halmaz elemeinek szorzása V a mezőről származó skalárokhoz F vektortérnek nevezzük egy F mező felett, ha a következő axiómák teljesülnek:

Példa. Legyen F terület, F n = {(a 1 , a 2 , … , a n) | a én F (én=)). A készlet minden eleme F n hívott n-dimenziós aritmetikai vektor. Bemutatjuk az összeadás műveletét n-dimenziós vektorok és szorzás n-dimenziós vektor skalár mezőből F. Legyen
. Tegyük fel =( a 1 + b 1 , … , a n + b n), = (λ a 1 , λ a 2 , … , λ a n). Egy csomó F Az n a bevezetett műveletek vonatkozásában vektortér, és ún n-dimenziós aritmetikai vektortér a mező felett F.

Legyen V- vektor tér a területen F, ,
. A következő tulajdonságok zajlanak:

1)
;

3)
;

4)
;

A tulajdon igazolása 3.

A csoport redukciós törvénye szerinti egyenlőségből ( V,+) van
.

Lineáris függés, vektorrendszerek függetlensége.

Legyen V a mező feletti vektortér F,

. A vektort ún lineáris kombináció vektoros rendszerek
. Egy vektorrendszer összes lineáris kombinációjának halmazát ún lineáris héj Ennek a vektorrendszernek a jelölése.

Meghatározás. Egy vektorrendszerről azt mondjuk, hogy lineárisan függő, ha léteznek ilyen skalárok
nem mindegyik egyenlő nullával, ami

Ha az (1) egyenlőség akkor és csak akkor teljesül λ 1 = λ 2 = … = =λ m=0, akkor a vektorrendszert lineárisan függetlennek nevezzük.

Példa. Nézze meg, hogy a vektorrendszer = (1,-2,2), =(2,0, 1), = (-1, 3, 4) R 3 terek lineárisan függő vagy függetlenek.

Döntés. Legyen λ 1 , λ 2 , λ 3
és

 |=> (0,0,0) – a rendszer megoldása. Ezért a vektorok rendszere lineárisan független.

Tulajdonságok lineáris függőségés a vektorrendszer függetlensége.

1. A legalább egy nulla vektort tartalmazó vektorrendszer lineárisan függő.

2. Egy lineárisan függő alrendszert tartalmazó vektorrendszer lineárisan függő.

3. Vektorok rendszere , ahol
akkor és csak akkor lineárisan függ, ha ennek a rendszernek legalább egy, a vektortól eltérő vektora az őt megelőző vektorok lineáris kombinációja.

4. Ha a vektorrendszer lineárisan független, és a vektorrendszer
lineárisan függő, akkor a vektor vektorok lineáris kombinációjaként, ráadásul egyedi módon ábrázolható.

Bizonyíték. Mivel a vektorrendszer lineárisan függő, akkor
nem mindegyik egyenlő nullával, ami

A vektoregyenlőségben (2) λ m+1 ≠ 0. Feltéve, hogy λ m+1 =0, majd (2) => Ebből következik, hogy a vektorrendszer lineárisan függő, hiszen λ 1 , λ 2 , … , λ m nem mindegyik nulla. A feltétellel ellentmondáshoz jutottunk. Az (1)-ből => hol
.

Legyen a vektor így is ábrázolható: Ekkor a vektoregyenlőségből
erejénél fogva lineáris függetlenség vektorrendszerből következik, hogy
1 = β 1 , …, m = β m .

5. Legyen két vektorrendszer és
, m>k. Ha a vektorrendszer minden vektora a vektorrendszer lineáris kombinációjaként ábrázolható, akkor a vektorrendszer lineárisan függő.

A vektorrendszer alapja, rangja.

Térvektorok véges rendszere V a mező fölött F által jelöljük S.

Meghatározás. A vektorrendszer bármely lineárisan független alrendszere S vektorrendszer alapjának nevezzük S, ha a rendszer bármely vektora S vektorrendszer lineáris kombinációjaként ábrázolható.

Példa. Keresse meg egy vektorrendszer alapját! = (1, 0, 0), = (0, 1, 0),

= (-2, 3, 0) R3. A vektorrendszer lineárisan független, hiszen az 5. tulajdonság szerint a vektorrendszert a vektorok rendszeréből kapjuk. juttatás alapok elektromechanotronika: nevelésijuttatás alapok villamosmérnök"; ...

Oktatási irodalom 2000-2008 (1)

Irodalom

Matematika Matematika Lobkova N.I. Alapok lineáris algebraés analitikus geometria: nevelésijuttatás/ N.I. Lobkova, M.V. Lagunova ... tervező számára alapok elektromechanotronika: nevelésijuttatás/ PGUPS. Adósság. "Elméleti alapok villamosmérnök"; ...

5. definíció. Elemi átalakulások A lineáris egyenletrendszert a következő transzformációknak nevezzük:

1) bármely két egyenlet hely szerinti permutációja;

2) egy egyenlet mindkét részének szorzása tetszőleges számmal;

3) az egyik egyenlet mindkét részéhez hozzáadjuk a másik egyenlet megfelelő részeit, megszorozva tetszőleges számmal k;

(miközben az összes többi egyenlet változatlan marad).

Nulla egyenlet a következő egyenletet nevezzük:

1. tétel. Az elemi transzformációk bármely véges sorozata és a nulla egyenlet törlésének transzformációja az egyik lineáris egyenletrendszert egy másik, vele egyenértékű lineáris egyenletrendszerré alakítja át.

Bizonyíték. Az előző alfejezet 4. tulajdonságával elegendő a tételt minden transzformációhoz külön-külön bizonyítani.

1. Ha a rendszerben az egyenleteket átrendezzük, maguk az egyenletek nem változnak, ezért definíció szerint a kapott rendszer ekvivalens az eredetivel.

2. A bizonyítás első része alapján elegendő az első egyenletre vonatkozó állítás bizonyítása. Az (1) rendszer első egyenletét megszorozzuk a számmal, megkapjuk a rendszert

(2)

Legyen  rendszerek (1) . Ekkor a számok kielégítik az (1) rendszer összes egyenletét. Mivel a (2) rendszer összes egyenlete az első kivételével egybeesik az (1) rendszer egyenleteivel, a számok kielégítik ezeket az egyenleteket. Mivel a számok kielégítik az (1) rendszer első egyenletét, akkor a helyes numerikus egyenlőség következik be:

Megszorozva egy számmal K, megkapjuk a helyes numerikus egyenlőséget:

Hogy. megállapítjuk azt  rendszerek (2).

Fordítva, ha a (2) rendszer megoldása, akkor a számok kielégítik a (2) rendszer összes egyenletét. Mivel az (1) rendszer összes egyenlete az első kivételével egybeesik a (2) rendszer egyenleteivel, a számok kielégítik ezeket az egyenleteket. Mivel a számok kielégítik a (2) rendszer első egyenletét, így a (4) numerikus egyenlőség érvényes. Mindkét részét elosztva a számmal, megkapjuk a (3) numerikus egyenlőséget, és ezt bizonyítjuk  rendszer megoldása (1).

Ezért a 4. definíció szerint az (1) rendszer egyenértékű a (2) rendszerrel.

3. A bizonyítás első részének értelmében elegendő a rendszer első és második egyenletére vonatkozó állítás bizonyítása. Adjuk hozzá a rendszer első egyenletének mindkét részéhez a második egyenlet megfelelő részeit szorozva a számmal K, megkapjuk a rendszert

(5)

Legyen rendszer megoldása (1) . Ekkor a számok kielégítik az (1) rendszer összes egyenletét. Mivel az (5) rendszer összes egyenlete az első kivételével egybeesik az (1) rendszer egyenleteivel, a számok kielégítik ezeket az egyenleteket. Mivel a számok kielégítik az (1) rendszer első egyenletét, így a helyes numerikus egyenletekre kerül sor:

Ha tagonként hozzáadjuk az első egyenlőséghez a másodikat, megszorozva a számmal K megkapjuk a helyes numerikus egyenlőséget.

Két lineáris egyenletrendszer egy x 1 ,..., x n ismeretlenek halmazából, illetve m és p egyenletekből

Ekvivalensnek nevezzük őket, ha megoldáshalmazaik és egybeesnek (azaz a részhalmazok és K n-ben egybeesnek, ). Ez azt jelenti, hogy vagy mindkettő üres részhalmaz (azaz az (I) és a (II) rendszer inkonzisztens), vagy egyszerre nem üresek, és (azaz az I. rendszer minden megoldása a II. rendszer és minden II. megoldási rendszer megoldása az I. rendszer megoldása).

Példa 3.2.1.

Gauss módszer

A Gauss által javasolt algoritmus nagyon egyszerű volt:

1. olyan szekvenciális transzformációkat alkalmazunk a lineáris egyenletrendszerre, amelyek nem változtatják meg a megoldások halmazát (így mentjük az eredeti rendszer megoldásainak halmazát), és menjünk egy ekvivalens rendszerre, amelynek "egyszerű formája" van (az ún. lépés forma);
2. a " egyszerű alak Egy rendszer (lépésmátrixszal) olyan megoldások halmazát írja le, amely egybeesik az eredeti rendszer megoldásainak halmazával.

Vegye figyelembe, hogy a szorosan kapcsolódó "fan-chen" módszer már ismert volt az ókori kínai matematikában.

Lineáris egyenletrendszerek elemi transzformációi (mátrixsorok)

3.4.1. definíció (elemi típusú 1. konverzió). Ha a rendszer i-edik egyenletét hozzáadjuk a k-edik egyenlethez, szorozva a számmal (jelölés: (i) "= (i) + c (k) ; azaz csak egy i-edik egyenlet (i) kerül helyettesítésre új egyenlettel (i)"=(i)+c(k) ). Az új i -edik egyenletnek megvan a formája (a i1 +ca k1)x 1 +...+(a in +ca kn)x n =b i +cb k vagy röviden,

Vagyis az új i-edik egyenletben a ij "=a ij +ca kj, b i"=b i + cb k.

3.4.2. definíció (elemi 2. típusú átalakítás). Ha az i -edik és a k -edik egyenlet felcserélődik, a többi egyenlet nem változik (jelölés: (i)"=(k) , (k)"=(i) ; együtthatók esetében ez a következőket jelenti: j=1 esetén ,... ,n

Megjegyzés 3.4.3. A kényelem kedvéért konkrét számításoknál alkalmazhat egy 3. típusú elemi transzformációt: az i-edik egyenletet megszorozzuk egy nem nulla számmal. , (i)"=c(i) .

3.4.4. javaslat. Ha véges számú 1. és 2. típusú elemi transzformáció segítségével mentünk át az I. rendszerből a II. rendszerbe, akkor a II. rendszerből szintén 1. és 2. típusú elemi transzformációkkal térhetünk vissza az I. rendszerbe.

Bizonyíték.

Megjegyzés 3.4.5. Az állítás akkor is igaz, ha az elemi transzformációk számába beleszámítunk egy 3. típusú elemi transzformációt is. Ha egy és (i)"=c(i) , akkor és (i)=c-1 (i)" .

Tétel 3.4.6.Véges számú 1. vagy 2. típusú elemi transzformációnak egy lineáris egyenletrendszerre történő egymás utáni alkalmazása után egy olyan lineáris egyenletrendszert kapunk, amely ekvivalens az eredetivel.

Bizonyíték. Megjegyzendő, hogy elegendő egy elemi transzformáció segítségével megvizsgálni az I. rendszerből a II. rendszerbe való átmenet esetét, és a megoldáshalmazokra igazolni a beletartozást (mivel a bizonyított állítás értelmében a II. rendszerből vissza lehet térni az I. rendszerbe, és ezért meglesz a befogadás, azaz bebizonyosodik az egyenlőség).

Az alábbiakban lineáris egyenletrendszereket vizsgálunk a EXTENDED változók területén. Két lineáris egyenletrendszert ekvivalensnek mondunk, ha e rendszerek bármelyikének megoldása a másik rendszer megoldása.

A következő mondatok az ekvivalencia tulajdonságait fejezik ki, amelyek az ekvivalencia definíciójából és a rendszerek egymásutániságának fentebb említett tulajdonságaiból következnek.

JAVASLAT 2.2. Két lineáris egyenletrendszer akkor és csak akkor ekvivalens, ha mindegyik rendszer a másik rendszer következménye.

JAVASLAT 2.3. Két lineáris egyenletrendszer akkor és csak akkor ekvivalens, ha az egyik rendszer összes megoldásának halmaza egybeesik a másik rendszer összes megoldásának halmazával.

JAVASLAT 2.4. Két lineáris egyenletrendszer akkor és csak akkor ekvivalens, ha az ezen rendszerek által meghatározott predikátumok egyenértékűek.

MEGHATÁROZÁS. A következő transzformációkat lineáris egyenletrendszer elemi transzformációinak nevezzük:

(a) a rendszer valamely egyenlete mindkét oldalának szorzása nullától eltérő skalárral;

(P) összeadás (kivonás) a rendszer bármely egyenletének mindkét részéhez a rendszer egy másik egyenletének megfelelő részeinek skalárral szorozva;

Egy nulla együtthatós és nulla szabadtagú lineáris egyenlet kizárása a rendszerből vagy a rendszerhez való hozzáadása.

TÉTEL 2.5. Ha egy lineáris egyenletrendszert egy másik lineáris egyenletrendszerből kapunk elemi transzformációk láncolatának eredményeként, akkor ez a két rendszer egyenértékű.

Bizonyíték. Hagyja a rendszert

Ha az egyik egyenletét, például az elsőt, megszorozzuk egy nem nulla skalárral X, akkor megkapjuk a rendszert

Az (1) rendszer minden megoldása egyben a (2) rendszer megoldása is.

Fordítva, ha a (2) rendszer bármely megoldása,

majd az első egyenlőséget megszorozva és a következő egyenlőségek megváltoztatása nélkül olyan egyenlőségeket kapunk, amelyek azt mutatják, hogy a vektor az (1) rendszer megoldása. Ezért a (2) rendszer egyenértékű az eredeti (1) rendszerrel. Azt is könnyű ellenőrizni, hogy az elemi transzformáció (P) vagy az (1) rendszer egyetlen alkalmazása az eredeti rendszerrel (1) egyenértékű rendszerhez vezet-e. Mivel az ekvivalenciareláció tranzitív, az elemi transzformációk ismételt alkalmazása az eredeti rendszerrel ekvivalens egyenletrendszerhez vezet (1).

KÖVETKEZTETÉS 2.6. Ha a rendszer egyéb egyenleteinek lineáris kombinációját hozzáadjuk a lineáris egyenletrendszer valamelyik egyenletéhez, akkor az eredetivel ekvivalens egyenletrendszert kapunk.

KÖVETKEZTETÉS 2.7. Ha a lineáris egyenletrendszerből kizárunk vagy hozzáadunk egy olyan egyenletet, amely a rendszer többi egyenletének lineáris kombinációja, akkor az eredeti rendszerrel ekvivalens egyenletrendszert kapunk.