vektor(vagy lineáris) tér- egy matematikai struktúra, amely elemek halmaza, úgynevezett vektorok, amelyekre az egymáshoz való összeadás és a számmal való szorzás műveletei - skalár - vannak definiálva. Ezekre a műveletekre nyolc axióma vonatkozik. A skalárok lehetnek valós, komplex vagy bármilyen más számmező elemei. Egy ilyen tér speciális esete a szokásos háromdimenziós euklideszi tér, amelynek vektorait például fizikai erők ábrázolására használják. Megjegyzendő, hogy a vektort, mint a vektortér elemét, nem kell irányított szegmensként megadni. A "vektor" fogalmának bármilyen jellegű vektortér elemére történő általánosítása nemcsak hogy nem okoz zavart a kifejezésekben, hanem lehetővé teszi számos olyan eredmény megértését vagy akár előrejelzését is, amelyek tetszőleges természetű terekre érvényesek. .

A vektorterek a lineáris algebra vizsgálatának tárgyát képezik. A vektortér egyik fő jellemzője a mérete. A dimenzió a tér lineárisan független elemeinek maximális száma, vagyis durva geometriai értelmezéshez folyamodva azoknak az irányoknak a száma, amelyek csak az összeadás és a skalárral való szorzás műveleteivel egymásban kifejezhetetlenek. A vektortér további struktúrákkal is felruházható, mint például a norma vagy a pontszorzat. Az ilyen terek természetesen jelennek meg a számításban, túlnyomórészt végtelen dimenziós függvényterekként (Angol), ahol a vektorok a függvények. Számos elemzési probléma megköveteli annak megállapítását, hogy egy vektorsorozat konvergál-e egy adott vektorhoz. Ilyen kérdések megvitatása további szerkezetű vektorterekben lehetséges, a legtöbb esetben megfelelő topológiával, amely lehetővé teszi a közelség és a folytonosság fogalmának meghatározását. Az ilyen topológiai vektorterek, különösen a Banach és Hilbert terek mélyebb tanulmányozást tesznek lehetővé.

Az első munkák, amelyek a vektortér fogalmának bevezetését várták, a 17. századból származnak. Ekkor kapta meg fejlődését az analitikus geometria, a mátrixok tana, a lineáris egyenletrendszerek és az euklideszi vektorok.

Meghatározás

Lineáris vagy vektor tér V (F) (\displaystyle V\left(F\right)) a mező fölött F (\displaystyle F) egy rendezett négyes (V , F , + , ⋅) (\displaystyle (V,F,+,\cdot)), ahol

• V (\displaystyle V)- tetszőleges jellegű elemek nem üres halmaza, amelyek ún vektorok;
• F (\displaystyle F)- olyan mező, amelynek elemeit hívjuk skalárok;
• Művelet meghatározott kiegészítéseket vektorok V × V → V (\displaystyle V\time V\to V), amely minden elempárhoz illeszkedik x , y (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y)) készletek V (\displaystyle V) V (\displaystyle V) hívja őket összegés jelöltük x + y (\displaystyle \mathbf (x) +\mathbf (y) );
• Művelet meghatározott vektorok szorzása skalárokkal F × V → V (\displaystyle F\times V\to V), amely megfelel az egyes elemeknek λ (\displaystyle \lambda) mezőket F (\displaystyle F)és minden egyes elemet x (\displaystyle \mathbf (x) ) készletek V (\displaystyle V) a készlet egyetlen eleme V (\displaystyle V), jelölve λ ⋅ x (\displaystyle \lambda \cdot \mathbf (x) ) vagy λ x (\displaystyle \lambda \mathbf (x) );

Az ugyanazon az elemkészleten, de különböző mezők felett meghatározott vektorterek különböző vektorterek lesznek (például valós számpárok halmaza R 2 (\displaystyle \mathbb (R) ^(2)) lehet kétdimenziós vektortér a valós számok mezője felett vagy egydimenziós - a komplex számok mezője felett).

A legegyszerűbb tulajdonságok

1. A vektortér összeadás alapján Abel-csoport.
2. semleges elem 0 ∈ V (\displaystyle \mathbf (0) \in V)
3. 0 ⋅ x = 0 (\displaystyle 0\cdot \mathbf (x) =\mathbf (0)) bárkinek .
4. Bárkinek x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V) ellentétes elem − x ∈ V (\displaystyle -\mathbf (x) \in V) az egyetlen, amely a csoport tulajdonságaiból következik.
5. 1 ⋅ x = x (\displaystyle 1\cdot \mathbf (x) =\mathbf (x) ) bárkinek x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
6. (− α) ⋅ x = α ⋅ (− x) = − (α x) (\displaystyle (-\alpha)\cdot \mathbf (x) =\alpha \cdot (-\mathbf (x))=-( \alpha \mathbf (x))) bármely és x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
7. α ⋅ 0 = 0 (\displaystyle \alpha \cdot \mathbf (0) =\mathbf (0)) bárkinek α ∈ F (\displaystyle \alpha \in F).

Kapcsolódó definíciók és tulajdonságok

altér

Algebrai definíció: Lineáris altér vagy vektor altér egy nem üres részhalmaz K (\displaystyle K) lineáris tér V (\displaystyle V) oly módon, hogy K (\displaystyle K) pontban meghatározottakhoz képest maga is lineáris tér V (\displaystyle V) az összeadás és a skalárral való szorzás műveletei. Az összes alterek halmazát általában így jelölik L a t (V) (\displaystyle \mathrm (Lat) (V)). Ahhoz, hogy egy részhalmaz altér legyen, szükséges és elegendő az

Az utolsó két állítás egyenértékű a következőkkel:

Bármilyen vektorhoz x , y ∈ K (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) \in K) vektor α x + β y (\displaystyle \alpha \mathbf (x) +\beta \mathbf (y) ) is tartozott K (\displaystyle K) bármilyen α , β ∈ F (\displaystyle \alpha ,\beta \in F).

Konkrétan egy csak egy nulla vektorból álló vektortér bármely tér altere; minden tér önmaga altere. Azokat az altereket, amelyek nem esnek egybe ezzel a kettővel, nevezzük saját vagy nem triviális.

Altér tulajdonságai

Lineáris kombinációk

A nézet végösszege

α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α nxn (\displaystyle \alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf (x) _(2)+\ ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n))

A lineáris kombináció neve:

Alap. Dimenzió

Vektorok x 1 , x 2 , … , x n (\displaystyle \mathbf (x) _(1),\mathbf (x) _(2),\ldots ,\mathbf (x) _(n)) hívott lineárisan függő, ha létezik ezek nem triviális lineáris kombinációja, amelynek értéke nulla; azaz

α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α nxn = 0 (\displaystyle \alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf (x) _(2) +\ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n)=\mathbf (0) )

néhány együtthatóval α 1 , α 2 , … , α n ∈ F , (\displaystyle \alpha _(1),\alpha _(2),\ldots ,\alpha _(n)\in F,)és legalább az egyik együttható α i (\displaystyle \alpha _(i)) különbözik a nullától.

Egyébként ezeket a vektorokat nevezzük lineárisan független.

Ez a definíció a következő általánosítást teszi lehetővé: vektorok végtelen halmaza -ból V (\displaystyle V) hívott lineárisan függő, ha néhány végső részhalmaza, és lineárisan független, ha van végső részhalmaz lineárisan független.

Alaptulajdonságok:

x = α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α nxn (\displaystyle \mathbf (x) =\alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf ( x) _(2)+\ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n)).

Lineáris héj

Lineáris héj részhalmazok X (\displaystyle X) lineáris tér V (\displaystyle V)- az összes altér metszéspontja V (\displaystyle V) tartalmazó X (\displaystyle X).

A lineáris shell egy altér V (\displaystyle V).

Lineáris héjnak is nevezik altér generált X (\displaystyle X). Azt is mondják, hogy a lineáris fesztáv V (X) (\displaystyle (\mathcal (V)) (X))- tér, átnyúlt sok X (\displaystyle X).

Legyen egy vektorrendszer -ból. Lineáris héj vektoros rendszerek egy adott rendszer összes lineáris vektorkombinációjának halmazát nevezzük, azaz.

Lineáris héj tulajdonságai: Ha , akkor és esetén.

A lineáris shellnek az a tulajdonsága, hogy a lineáris műveletek (összeadás és számmal való szorzás műveletei) tekintetében zárt.

A tér azon részhalmazát, amely zárt tulajdonsággal rendelkezik a számokkal való összeadás és szorzás műveletei tekintetében, az ún.a tér lineáris altere .

Egy vektorrendszer lineáris fesztávja a tér lineáris altere.

A vektorok rendszerét bázisnak nevezzük ,ha

Bármely vektor kifejezhető bázisvektorok lineáris kombinációjaként:

2. A vektorrendszer lineárisan független.

Lemma A vektortágulási együtthatók az alap szempontjából egyedileg meghatározottak.

Vektor , amely a vektor tágulási együtthatóiból áll alapján a vektor koordinátavektorának nevezzük alapon .

Kijelölés . Ez a bejegyzés hangsúlyozza, hogy a vektor koordinátái a bázistól függenek.

Lineáris terek

Definíciók

Legyen megadva tetszőleges természetű elemek halmaza. Legyen két művelet definiálva ennek a halmaznak az elemeire: összeadás és tetszőleges szorzás igazi szám : , és állítsa be zárva ezekkel a műveletekkel kapcsolatban: . Ezek a műveletek engedelmeskedjenek az axiómáknak:

3. van egy nulla vektor tulajdonsággal ;

4. mindegyikhez van egy inverz vektor a tulajdonsággal;

6. mert , ;

7. mert , ;

Ekkor egy ilyen halmazt ún lineáris (vektor) tér, elemeit ún vektorok, és - hogy hangsúlyozzuk a számoktól való különbségüket - az utóbbiakat hívják skalárok egy) . Egy csak egy nulla vektorból álló teret nevezünk jelentéktelen .

Ha a 6-8 axiómákban megengedjük a komplex skalárokkal való szorzást, akkor egy ilyen lineáris teret ún. átfogó. Az érvelés leegyszerűsítése érdekében az alábbiakban mindenhol csak a valós tereket fogjuk figyelembe venni.

A lineáris tér egy csoport az összeadás művelete szempontjából, és egy Abel-csoport.

A nulla vektor egyediségét és a vektor egyediségét a vektorral inverz módon bizonyítani kell: , általában .

A lineáris tér azon részhalmazát, amely maga is lineáris tér (azaz vektorösszeadás és tetszőleges skalárral való szorzás alatt zárva) az ún. lineáris altér terek. Triviális alterek a lineáris teret önmagának és az egy nullavektorból álló teret nevezzük.

Példa. A valós számok rendezett hármasainak tere

egyenlőségekkel meghatározott műveletek:

A geometriai értelmezés kézenfekvő: egy, az origóhoz "csatlakozott" térbeli vektor megadható a végének koordinátáiban. Az ábrán a tér egy tipikus altere is látható: az origón áthaladó sík. Pontosabban, az elemek olyan vektorok, amelyek az origónál kezdődnek és a sík pontjaiban érnek véget. Egy ilyen halmaz bezárása vektorok hozzáadásával és 2) kiterjesztésével nyilvánvaló.

E geometriai értelmezés alapján gyakran beszélünk egy tetszőleges lineáris tér vektoráról as pont a térben. Ezt a pontot néha „a vektor végének” is nevezik. Az asszociatív észlelés kényelmén kívül ezek a szavak nem kapnak semmilyen formális jelentést: a „vektorvég” fogalma hiányzik a lineáris téraxiomatikából.

Példa. Ugyanezen példa alapján lehetséges a vektortér egy másik értelmezése (mellesleg, már a "vektor" szó eredetében 3)) - ez határozza meg a pontok "eltolódásainak" halmazát. az űr. Ezeket az eltolásokat – vagy bármely térbeli alak párhuzamos fordítását – úgy választjuk meg, hogy párhuzamosak legyenek a síkkal.

Általánosságban elmondható, hogy a vektor fogalmának ilyen értelmezésével a dolgok nem ilyen egyszerűek. Megpróbál a fizikai jelentésére hivatkozni – mint olyan tárgyra, amelynek van értékÉs irány- méltányos visszautasítást váltanak ki a szigorú matematikusokból. A vektor definíciója a vektortér elemeként nagyon emlékeztet az epizódra sepulcs Stanisław Lem híres fantasy történetéből (lásd ☞ ITT). Ne ragaszkodjunk a formalizmushoz, hanem fedezzük fel ezt a homályos objektumot a maga sajátos megnyilvánulásaiban.

Példa. Természetes általánosítás a tér: sorok vagy oszlopok vektortere . Az altér meghatározásának egyik módja a megszorítások halmazának meghatározása.

Példa. A lineáris homogén egyenletrendszer megoldásainak halmaza:

a tér lineáris alterét képezi. Valóban, ha

A rendszer megoldása tehát

Bármelyikre ugyanaz a megoldás. Ha

Akkor egy másik megoldás a rendszerre

Ez is az ő megoldása lesz.

Miért a sok rendszermegoldás heterogén egyenletek nem alkotnak lineáris alteret?

Példa. Tovább általánosítva tekinthetjük a "végtelen" karakterláncok terét ill sorozatok , amely általában a matematikai elemzés tárgya - sorozatok és sorozatok figyelembevételekor. A húrokat (szekvenciákat) „mindkét irányban végtelennek” tekintheti – ezeket használják a JELELMÉLET.

Példa. A valós elemű -mátrixok halmaza a mátrixösszeadás és valós számokkal való szorzás műveleteivel lineáris teret alkot.

A négyzetes rendű mátrixok terében két alteret lehet megkülönböztetni: a szimmetrikus mátrixok alterét és a ferde-szimmetrikus mátrixok alterét. Ezenkívül alterek alkotják az egyes halmazokat: felső háromszög, alsó háromszög és átlós mátrixok.

Példa. Egy változó fokú polinomok halmaza, amely pontosan megegyezik az innen származó együtthatókkal (ahol a halmazok bármelyike ​​vagy ) a polinomok összeadásának és egy számmal való szorzásának szokásos műveleteivel. nem alakul ki lineáris tér. Miért? - Mert nincs bezárva az összeadás alatt: a polinomok összege és nem lesz th-edik fokú polinom. De itt van egy fokú polinomok halmaza nem magasabb

lineáris térformák; csak ennek a halmaznak kell egy azonos nulla polinomot is adni 4) . A nyilvánvaló alterek a . Ezenkívül az alterek legfeljebb a páros és a páratlan polinomok halmazai lesznek. Az összes lehetséges polinom halmaza (fokkorlátozás nélkül) szintén egy lineáris teret képez.

Példa. Az elõzõ eset általánosítása a több fokozatú változó polinomjainak tere legfeljebb együtthatókkal. Például a lineáris polinomok halmaza

lineáris teret alkot. A fokszámú homogén polinomok (alakzatok) halmaza (amelyhez azonos nulla polinom kapcsolódik) szintén lineáris tér.

A fenti definíció értelmében az egész komponensű karakterláncok halmaza

az összetevőnkénti összeadás és szorzás műveletei tekintetében figyelembe véve egész szám skalárok, nem lineáris tér. Azonban minden 1-8 axióma érvényes, ha csak egész skalárokkal engedélyezzük a szorzást. Ebben a részben nem erre az objektumra koncentrálunk, de a diszkrét matematikában igen hasznos, például a ☞ KÓDOLÁSELMÉLETben. A véges mezők feletti lineáris tereket tárgyaljuk ☞ ITT.

A változók izomorfak a harmadrendű szimmetrikus mátrixok terével. Az izomorfizmust a megfeleltetés állapítja meg, amelyet az esetre illusztrálunk:

Az izomorfizmus fogalmát úgy vezetik be, hogy az algebra különböző területein felmerülő, de "hasonló" műveleti tulajdonságokkal rendelkező objektumok vizsgálatát egy minta példáján végezzük, azon eredményeket dolgozva ki, amelyek így olcsón elkészíthetők. replikált. Melyik lineáris teret vegyük a „mintához”? - Lásd a következő bekezdés végét

1. Polinomok halmaza P n (x) fok nem magasabb n.

2. Sok n-tag sorozatok (termenkénti összeadással és skalárral való szorzással).

3 . Sok funkció C [ de , b ] folyamatos a [ de, b] és pontszerű összeadással és skalárral való szorzással.

4. A [ de, b] és valami rögzített belső ponton eltűnik c: f (c) = 0 és pontszerű összeadás és skalárral való szorzás műveleteivel.

5. Az R + if halmaz x ⊕ y  x  y, ⊙x x  .

8. §. Altér meghatározása

Hagyja a készletet W a lineáris tér egy részhalmaza V (W  V) és ilyenek

a)  x, yW  x ⊕ yW;

b)  xW,    ⊙ xW.

Az összeadás és szorzás műveletei itt ugyanazok, mint a térben V(térindukáltnak nevezik őket V).

Ekkora sokaság W a tér alterének nevezzük V.

7  . altér W maga a tér.

◀ Ennek bizonyításához elegendő egy semleges elem és egy ellentétes elem létezését bizonyítani. 0⊙ egyenletek x=  és (–1)⊙ x = –x bizonyítsd be, ami szükséges.

Csak egy semleges elemből () és magával a térrel egybeeső altérből álló altér V, a tér triviális altereinek nevezzük V.

§kilenc. Vektorok lineáris kombinációja. Egy vektorrendszer lineáris kiterjedése

Hagyjuk a vektorokat e 1 ,e 2 , …e n Vés  1 ,  2 , …  n .

Vektor x=  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n = lineárisnak nevezzük vektorok kombinációja e 1 , e 2 , … , e n 1 együtthatókkal,  2 , …  n .

Ha egy lineáris kombinációban minden együttható nulla, akkor a lineáris kombináció hívott jelentéktelen.

Számos lehetséges lineáris vektorkombináció
lineáris fesztávnak nevezzük ezt a vektorrendszert, és a következővel jelöljük:

ℒ(e 1 , e 2 , …, e n) = ℒ
.

8  . ℒ(e 1 , e 2 , …, e n

◀ Az összeadás és a skalárral való szorzás helyessége abból következik, hogy ℒ( e 1 , e 2 , …, e n) az összes lehetséges lineáris kombináció halmaza. A semleges elem triviális lineáris kombináció. Elemhez x=
az ellentétes elem az x =
. Azok az axiómák is teljesülnek, amelyeket a műveleteknek teljesíteniük kell. Így ℒ( e 1 , e 2 , …, e n) egy lineáris tér.

Bármely lineáris tér általános esetben végtelen számú egyéb lineáris teret (alteret) tartalmaz - lineáris héjakat.

A jövőben az alábbi kérdésekre próbálunk választ adni:

Mikor állnak (vagyis esnek egybe) a különböző vektorrendszerek lineáris fesztávjai ugyanazokból a vektorokból?

2) Mennyi vektorok minimális száma határozza meg ugyanazt a lineáris tartományt?

3) Az eredeti tér valamely vektorrendszer lineáris fesztávja?

10. §. Komplett vektorrendszerek

Ha az űrben V van véges vektorhalmaz
úgy, hogy,ℒ
 V, akkor a vektorok rendszere
teljes rendszernek nevezzük V, és a tér végesdimenziósnak mondható. Így a vektorok rendszere e 1 , e 2 , …, e n V teljesnek nevezzük V rendszer, azaz ha

xV   1 ,  2 , …  n olyan, hogy x=  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n .

Ha az űrben V nincs véges teljes rendszer (és egy teljes rendszer mindig létezik - pl. az összes térvektor halmaza V), majd a szóköz V végtelennek nevezzük.

9  . Ha
tele be V vektorrendszer és y V, azután ( e 1 , e 2 , …, e n , y) is egy teljes rendszer.

◀ Elegendő lineáris kombinációkban y vegyél egyenlőt 0-val.

Legyen vektorrendszer egy vektortérből V a mező fölött P.

2. definíció: Lineáris héj L rendszerek A a rendszer összes lineáris vektorkombinációjának halmaza A. Kijelölés L(A).

Bármely két rendszerre kimutatható AÉs B,

A keresztül lineárisan kifejezve B ha, és csak akkor ha . (egy)

A egyenértékű a B ha, és csak akkor ha L(A)=L(B). (2)

A bizonyítás az előző tulajdonságból következik

3 Bármely vektorrendszer lineáris fesztávja a tér altere V.

Bizonyíték

Vegyünk bármely két vektort és L(A), amelynek vektoraiban a következő kiterjesztések vannak A: . Ellenőrizzük a kritérium 1) és 2) feltételének megvalósíthatóságát:

Mivel ez a rendszer vektorainak lineáris kombinációja A.

Mivel ez is a rendszer vektorainak lineáris kombinációja A.

Tekintsük most a mátrixot. Mátrixsorok lineáris héja A a mátrix sorterének nevezzük és jelöljük L r (A). Mátrixoszlopok lineáris burkolása A oszloptérnek nevezzük és jelöljük L c (A). Vegye figyelembe, hogy a mátrix sor- és oszlopterére A különböző aritmetikai terek alterei P nÉs Délután illetőleg. A (2) állítás felhasználásával a következő következtetésre juthatunk:

3. tétel: Ha az egyik mátrixot elemi transzformációk láncolatával kapjuk meg a másiktól, akkor az ilyen mátrixok sorterei egybeesnek.

Alterek összege és metszéspontja

Legyen LÉs M- a tér két altere R.

Összeg L+M vektorok halmazának nevezzük x+y , ahol x ∈LÉs y ∈M. Nyilvánvaló, hogy a vektorok bármely lineáris kombinációja L+M tartozik L+M, Következésképpen L+M a tér altere R(egybeeshet a szóközzel R).

átkelés L∩M alterek LÉs M azoknak a vektoroknak a halmaza, amelyek egyidejűleg alterekhez tartoznak LÉs M(csak nullvektorból állhat).

6.1. Tétel. Tetszőleges alterek dimenzióinak összege LÉs M véges dimenziós lineáris tér R egyenlő ezen alterek összegének dimenziójával és ezen alterek metszéspontjának dimenziójával:

dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Bizonyíték. Jelöli F=L+MÉs G=L∩M. Legyen G g-dimenziós altér. Alapot választunk benne. Mivel G⊂LÉs G⊂M, tehát az alap G hozzá lehet adni az alaphoz Lés a bázisra M. Legyen az altér alapja Lés legyen az altér alapja M. Mutassuk meg, hogy a vektorok

(6.1) pontjai képezik az alapot F=L+M. Ahhoz, hogy a (6.1) vektorok képezzék a tér alapját F lineárisan függetlennek kell lenniük és tetszőleges térvektornak kell lenniük F vektorok lineáris kombinációjával ábrázolható (6.1).

Igazoljuk a (6.1) vektorok lineáris függetlenségét. Legyen a null térvektor F vektorok lineáris kombinációja (6.1) ábrázolja néhány együtthatóval:

A (6.3) bal oldala az altérvektor L, a jobb oldal pedig egy altérvektor M. Ezért a vektor

(6.4) az altérhez tartozik G=L∩M. Másrészt a vektor v az altér bázisvektorainak lineáris kombinációjával ábrázolható G:

(6.5) A (6.4) és (6.5) egyenletekből a következőket kapjuk:

De a vektorok egy altér alapját képezik M, ezért lineárisan függetlenek és . Ekkor (6.2) a következő alakot veszi fel:

Az altér bázisának lineáris függetlensége miatt L nekünk van:

Mivel a (6.2) egyenletben szereplő összes együttható nullának bizonyult, a vektorok

lineárisan függetlenek. De bármilyen vektor z tól től F(az alterek összegének meghatározása szerint) az összeggel ábrázolható x+y , ahol x ∈ Ly ∈ M. Viszont x vektorok lineáris kombinációja ábrázolja a y - vektorok lineáris kombinációja. Ezért a (6.10) vektorok generálják az alteret F. Azt találtuk, hogy a (6.10) vektorok bázist alkotnak F=L+M.

Alterek alapjainak tanulmányozása LÉs Més szubtér alapon F=L+M(6.10), a következőkkel rendelkezünk: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m. Következésképpen:

dimL+dimM−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

Az alterek közvetlen összege

Meghatározás 6.2. Tér F alterek közvetlen összege LÉs M, ha minden vektor x tér F csak összegként ábrázolható x=y+z , ahol y ∈L és z ∈M.

A közvetlen összeget jelöljük L⊕M. Azt mondják, ha F=L⊕M, azután F altereinek közvetlen összegére bomlik LÉs M.

6.2. Tétel. Azért, hogy n-dimenziós tér R alterek közvetlen összege volt LÉs M, elég, ha a kereszteződés LÉs M csak a nulla elemet tartalmazza, és hogy R dimenziója egyenlő az alterek dimenzióinak összegével LÉs M.

Bizonyíték. Válasszunk egy bázist az L altérben és néhány bázist az M altérben. Bizonyítsuk be

(6.11) a tér alapja R. A tétel hipotézise szerint a tér dimenziója R n egyenlő az alterek összegével LÉs M (n=l+m). Elegendő az elemek lineáris függetlenségét igazolni (6.11). Legyen a null térvektor R vektorok lineáris kombinációja (6.11) ábrázolja néhány együtthatóval:

(6.13)Mivel a (6.13) bal oldala egy altérvektor L, a jobb oldalon pedig az altérvektor MÉs L∩M=0 , azután

(6.14)De a és vektorok alterek bázisai LÉs M illetőleg. Ezért lineárisan függetlenek. Azután

(6.15) Megállapítottuk, hogy (6.12) csak a (6.15) feltétel mellett érvényes, és ez bizonyítja a (6.11) vektorok lineáris függetlenségét. Ezért ezek képezik alapot R.

Legyen x∈R. Bővítjük a bázis szempontjából (6.11):

(6.16) A (6.16)-tól kezdve:

(6.18) A (6.17) és (6.18)-ból az következik, hogy bármely vektor R vektorok összegével ábrázolható x 1 ∈LÉs x 2 ∈M. Be kell bizonyítani, hogy ez az ábrázolás egyedülálló. Legyen a (6.17) ábrázoláson kívül a következő reprezentációja is:

(6.19) A (6.17)-ből (6.19) kivonva megkapjuk

(6.20) óta, és L∩M=0 , majd és . Ezért és . ■

8.4. Tétel az alterek összegének dimenziójáról. Ha és egy véges dimenziós lineáris tér alterei , akkor az alterek összegének dimenziója megegyezik a metszéspontjuk dimenziója nélküli méreteinek összegével ( Grassmann képlete):

(8.13)

Valóban, legyen a kereszteződés alapja. Egészítsük ki egy rendezett vektorkészlettel az altér bázisáig és egy rendezett vektorhalmazzal az altér bázisáig. Egy ilyen összeadás a 8.2. Tétel szerint lehetséges. Ebből a három vektorhalmazból összeállítunk egy rendezett vektorhalmazt. Mutassuk meg, hogy ezek a vektorok a tér generátorai. Valójában ennek a térnek bármely vektora ábrázolható a rendezett halmazból származó vektorok lineáris kombinációjaként

Következésképpen, . Bizonyítsuk be, hogy a generátorok lineárisan függetlenek, ezért a tér alapját képezik. Valóban, alkossunk egy lineáris kombinációt ezekből a vektorokból, és jelöljük meg a nulla vektorral: . Ennek a bővítésnek az összes együtthatója nulla: egy bilineáris alakú vektortér alterei az összes vektorra merőleges vektorok halmaza -ból. Ez a halmaz egy vektoraltér, amelyet általában jelölnek.

L- útkereszteződés M minden alteret L tartalmazó x .

Lineáris héjnak is nevezik altér generált x. Általában jelölve. Azt is mondják, hogy a lineáris fesztáv átnyúlt sok x .

Tulajdonságok

Lásd még

Linkek

Wikimédia Alapítvány. 2010 .

• Jangar
• Fizetési egyenleg

Nézze meg, mi a "Lineáris shell" más szótárakban:

LINEÁRIS SHELL- M minden olyan altér metszéspontja, amely az E avektortér halmazát tartalmazza. Ebben az esetben Mnas. szintén A. M. I. Voitsekhovsky által generált altér ... Matematikai Enciklopédia

A vektorok lineáris burkológörbéje

A vektorok lineáris burkológörbéje- ezen vektorok lineáris kombinációinak halmaza ∑αiai az összes lehetséges együtthatóval (α1, …, αn) … Közgazdasági és matematikai szótár

vektorok lineáris terjedelme- Ezen vektorok lineáris kombinációinak halmaza az összes lehetséges együtthatóval (?1, ..., ?n). Témák közgazdaságtan HU lineáris hajótest…

lineáris algebra- Matematikai tudományág, az algebra egy része, amely különösen a lineáris egyenletek, mátrixok és determinánsok elméletét, valamint a vektoros (lineáris) terek elméletét tartalmazza. Lineáris függőség "alak kapcsolata: a1x1 + a2x2 + ... + ... ... Műszaki fordítói kézikönyv

Lineáris függőség- „egy reláció a következő alakú: a1x1 + a2x2 + … + anxn = 0, ahol a1, a2, …, an olyan számok, amelyek közül legalább egy különbözik nullától; x1, x2, …, xn bizonyos matematikai objektumok, amelyekhez összeadási műveletek vannak meghatározva… Közgazdasági és matematikai szótár

héj- lásd Lineáris shell... Közgazdasági és matematikai szótár

Lineáris függőség

Lineáris kombináció- A lineáris tér, vagy vektortér a lineáris algebra fő vizsgálati tárgya. Tartalom 1 Definíció 2 Legegyszerűbb tulajdonságok 3 Kapcsolódó definíciók és tulajdonságok ... Wikipédia

VONAL CSOPORT egy véges n dimenziójú V vektortér lineáris transzformációinak csoportja valamilyen K testen. A V térbeli bázis kiválasztása realizálja L. r. Matematikai Enciklopédia

Könyvek

• Lineáris algebra. Tankönyv és műhely nyílt forráskódú szoftverekhez Vásárlás 1471 UAH-ért (csak Ukrajnában)
• Lineáris algebra. Tankönyv és műhely akadémiai érettségi számára, Kremer N.Sh.. Ez a tankönyv számos új fogalmat és további kérdést tartalmaz, mint például a mátrix normája, a bázis kiegészítésének módja, lineáris terek izomorfizmusa, lineáris alterek, lineáris …