Rendszer lineáris egyenletek van formája
ahol - együtthatók; - ingyenes tagok; ismeretlen mennyiségek.
Ennek a rendszernek a megoldása egy olyan számhalmaz, amely az egyenletekben az ismeretleneket helyettesítve ezeket az egyenleteket azonosságokká alakítja. Egy egyenletrendszert akkor nevezünk konzisztensnek, ha van legalább egy megoldása. Ha a rendszernek nincs megoldása, akkor inkonzisztensnek nevezzük.
Egy közös rendszert határozottnak nevezünk, ha csak egy megoldása van, és határozatlannak, ha egynél több megoldása van.
a (2) rendszer mátrixának, illetve kiterjesztett mátrixának nevezzük.
A Kronecker-Capelli tétel. Ahhoz, hogy a (2) rendszer kompatibilis legyen, szükséges és elegendő, hogy a rendszer mátrixának rangja megegyezzen a kiterjesztett mátrix rangjával:
Cramer szabálya. Ha az ízületi rendszer mátrixának rangja egyenlő a számmal ismeretlenek, akkor a rendszer határozott. Ha a (2) rendszerben az ismeretlenek száma egybeesik az egyenletek számával és a rendszer mátrixa nem degenerált, akkor a rendszernek van egy egyedi megoldása, amelyet a Cramer-szabály szerint találunk:
Ezekben a képletekben a rendszer determinánsa, és a determináns, amelyet a rendszer determinánsából kapunk, ha az oszlopot szabad tagokból álló oszlopra cseréljük.
A rendszer mátrix megoldása. A (2) lineáris egyenletrendszer felírható mátrix alakban
ahol A a rendszer mátrixa; X - ismeretlenek oszlopmátrixa; B - szabad tagok mátrixoszlopa. Ha az A mátrix négyzetes és nem szinguláris, akkor a (3) rendszer megoldása felírható mátrix alakban:
Egyenértékű egyenletrendszerek. Két lineáris egyenletrendszert ekvivalensnek mondunk, ha megoldásaik halmazai megegyeznek. A lineáris egyenletrendszer megoldásainak megtalálása az eredetinél egyszerűbb ekvivalens rendszerre való átálláson alapul. Jelöljük a legegyszerűbb műveleteket, amelyek egyenértékű rendszerhez vezetnek:
1) két egyenlet felcserélése a rendszerben;
2) a rendszer bármely egyenletének szorzata valós szám(nullától eltérő);
3) egy egyenlethez hozzáadunk egy másik egyenletet, megszorozva egy tetszőleges számmal.
Egy ismeretlent feloldottnak vagy alapnak nevezünk, ha a rendszer bármely egyenlete 1-es együtthatóval tartalmazza, és nem szerepel minden más egyenletben.
Ha a rendszer minden egyenlete feloldott ismeretlent tartalmaz, akkor az ilyen rendszert feloldottnak nevezzük. Az ismeretleneket, amelyek nem alapvetőek, szabadnak nevezik.
Egy konzisztens lineáris egyenletrendszer összes megoldásának megtalálásához elegendő egy ekvivalens megengedett rendszert találni. Ha az összes ismeretlen alapnak bizonyul, akkor a feloldott rendszer megadja ezeknek az ismeretleneknek az értékeit, amelyek az eredeti rendszer egyedi megoldását alkotják. Egyébként az alapvető ismeretlenek a szabadokkal vannak kifejezve.
Jordan-Gauss módszer. A (2) lineáris egyenletrendszert táblázat formájában írjuk fel
A feloldó elemet tartalmazó rendszer Jordan transzformációja a következő műveletsor:
1) táblázat egy sorának szorzata egy számmal;
2) hozzáadva a táblázat első sorához annak (az első művelet után kapott) sorát, megszorozva -
3) a második sorhoz hozzáadva a sort szorozva -val, stb.
Ezen átalakítások után az ismeretlen feloldódik, az oszlop összes együtthatója nulla lesz, kivéve
Különböző sorokba felvett feloldóelemekkel egymást követő Jordan transzformációkat végrehajtva az eredetivel egyenértékű megengedett rendszert kapunk.
Ha a transzformációk eredményeként valamelyik sorban az összes ismeretlen együttható nullával egyenlő, és ennek a sornak a szabad tagja nem egyenlő nullával, akkor ez az egyenletrendszer inkonzisztens. Ha olyan karakterláncot kap, amely csak nullákból áll, akkor az törlődik a táblázatból.
Példa 1. Egyenletrendszer megoldása
Megoldás. Ezt a rendszert táblázat formájában írjuk fel, és hat lépésben alakítjuk át a megengedett formára.
M lineáris egyenletrendszer n ismeretlennel formarendszernek nevezzük
ahol aijÉs b i (én=1,…,m; b=1,…,n) néhány ismert szám, és x 1,…,x n- ismeretlen. Az együtthatók jelölésében aij első index én jelöli az egyenlet számát, a másodikat j az ismeretlen száma, amelyen ez az együttható áll.
Az ismeretlenek együtthatóit mátrix formájában írjuk fel 
, amit hívni fogunk rendszermátrix.
Az egyenletek jobb oldalán található számok b 1 ,…,b m hívott ingyenes tagok.
Összesített n számok c 1 ,…,c n hívott döntés ennek a rendszernek, ha a rendszer minden egyenlete egyenlőséggé válik, miután számokat helyettesítünk bele c 1 ,…,c n a megfelelő ismeretlenek helyett x 1,…,x n.
A mi feladatunk az lesz, hogy megoldásokat találjunk a rendszerre. Ebben az esetben három helyzet állhat elő:
Olyan lineáris egyenletrendszert nevezünk, amelynek legalább egy megoldása van közös. Ellenkező esetben, pl. ha a rendszernek nincsenek megoldásai, akkor ún összeegyeztethetetlen.
Fontolja meg, hogyan találhat megoldást a rendszerre.
MÁTRIX MÓDSZER LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER MEGOLDÁSÁRA
A mátrixok lehetővé teszik egy lineáris egyenletrendszer rövid leírását. Adjunk meg egy három egyenletrendszert három ismeretlennel:
Tekintsük a rendszer mátrixát 
valamint ismeretlen és szabad tagok mátrixoszlopai 
Keressük meg a terméket
azok. a szorzat eredményeként megkapjuk ennek a rendszernek az egyenleteinek bal oldalát. Ezután a mátrixegyenlőség definícióját használva ezt a rendszert formába írható
vagy rövidebb A∙X=B.
Itt a mátrixok AÉs B ismertek, és a mátrix x ismeretlen. Meg kell találni, mert. elemei ennek a rendszernek a megoldása. Ezt az egyenletet ún mátrix egyenlet.
Legyen a mátrix determináns különbözik nullától | A| ≠ 0. Ekkor a mátrixegyenletet a következőképpen oldjuk meg. Szorozzuk meg a bal oldali egyenlet mindkét oldalát a mátrixszal A-1, a mátrix inverze A: . Amennyiben A -1 A = EÉs E∙X=X, akkor a mátrixegyenlet megoldását a formában kapjuk meg X = A -1 B .
Vegye figyelembe, hogy mivel az inverz mátrix csak akkor található meg négyzetes mátrixok, akkor a mátrix módszer csak azokat a rendszereket tudja megoldani, amelyekben az egyenletek száma megegyezik az ismeretlenek számával. A rendszer mátrixos jelölése azonban abban az esetben is lehetséges, ha az egyenletek száma nem egyenlő az ismeretlenek számával, akkor a mátrix A nem négyzet alakú, ezért lehetetlen megoldást találni a rendszerre a formában X = A -1 B.
Példák. Egyenletrendszerek megoldása.
CRAMER SZABÁLYA
Tekintsünk egy 3 lineáris egyenletrendszert három ismeretlennel:
A rendszer mátrixának megfelelő harmadrendű determináns, azaz. ismeretlenek együtthatóiból áll,
hívott rendszer meghatározó.
További három determinánst állítunk össze a következőképpen: egymás után 1, 2 és 3 oszlopot helyettesítünk a D determinánsban egy szabad tagok oszlopával.
Ekkor a következő eredményt tudjuk bizonyítani.
Tétel (Cramer-szabály). Ha a rendszer determinánsa Δ ≠ 0, akkor a vizsgált rendszernek csak egy megoldása van, és
Bizonyíték. Tehát vegyünk egy három egyenletből álló rendszert három ismeretlennel. Szorozzuk meg a rendszer 1. egyenletét az algebrai komplementerrel A 11 elem egy 11, 2. egyenlet - be A21és 3. - on A 31:
Adjuk hozzá ezeket az egyenleteket:
Tekintsük ennek az egyenletnek mindegyik zárójelét és jobb oldalát. A determináns 1. oszlop elemei szerinti kiterjesztésének tételével
Hasonlóképpen kimutatható, hogy és .
Végül is ezt könnyű belátni 
Így megkapjuk az egyenlőséget: .
Következésképpen, .
A és egyenlőségeket hasonlóan levezetjük, ahonnan a tétel állítása következik.
Megjegyezzük tehát, hogy ha a rendszer determinánsa Δ ≠ 0, akkor a rendszernek egyedi megoldása van és fordítva. Ha a rendszer determinánsa egyenlő nullával, akkor a rendszernek vagy végtelen megoldáshalmaza van, vagy nincs megoldása, pl. összeegyeztethetetlen.
Példák. Egyenletrendszer megoldása
GAUSS MÓDSZER
A korábban vizsgált módszerekkel csak azokat a rendszereket lehet megoldani, amelyekben az egyenletek száma egybeesik az ismeretlenek számával, és a rendszer determinánsának nullától eltérőnek kell lennie. A Gauss-módszer univerzálisabb, és tetszőleges számú egyenletű rendszerekhez alkalmas. Ez abból áll, hogy a rendszer egyenleteiből egymás után eltávolítják az ismeretleneket.
Fontolja meg újra a rendszert három egyenlet három ismeretlennel:
.
Az első egyenletet változatlanul hagyjuk, a 2. és 3. egyenletből pedig kizárjuk a tartalmazó kifejezéseket x 1. Ehhez elosztjuk a második egyenletet de 21 és szorozzuk meg - de 11, majd add össze az 1. egyenlettel. Hasonlóképpen a harmadik egyenletet is felosztjuk de 31 és szorozzuk meg - de 11, majd add hozzá az elsőhöz. Ennek eredményeként az eredeti rendszer a következő formában lesz:
Most az utolsó egyenletből kiküszöböljük a tartalmazó kifejezést x2. Ehhez osszuk el a harmadik egyenletet -vel, szorozzuk meg és adjuk hozzá a másodikhoz. Ekkor lesz egy egyenletrendszerünk:
Ezért az utolsó egyenletből könnyű megtalálni x 3, majd a 2. egyenletből x2és végül 1-től - x 1.
A Gauss-módszer alkalmazásakor az egyenletek szükség esetén felcserélhetők.
Gyakran írás helyett új rendszer az egyenletek a rendszer kiterjesztett mátrixának kiírására korlátozódnak:
majd elemi transzformációk segítségével hozza háromszög vagy átló formába.
NAK NEK elemi átalakulások A mátrixok a következő transzformációkat tartalmazzák:
- sorok vagy oszlopok permutációja;
- egy karakterlánc szorzása nullától eltérő számmal;
- egy sorhoz további sorokat ad.
Példák: Egyenletrendszerek megoldása Gauss-módszerrel.
Így a rendszernek végtelen számú megoldása van.
Az egyenletrendszereket széles körben használják a gazdasági iparban matematikai modellezés különféle folyamatok. Például termelésirányítási és tervezési, logisztikai útvonalak (szállítási probléma) vagy berendezések elhelyezési problémáinak megoldásakor.
Az egyenletrendszereket nemcsak a matematika területén alkalmazzák, hanem a fizikában, a kémiában és a biológiában is, a populációméret meghatározásával kapcsolatos problémák megoldása során.
A lineáris egyenletrendszer két vagy több többváltozós egyenlet kifejezése, amelyekre közös megoldást kell találni. Olyan számsorozat, amelyre minden egyenlet valódi egyenlőséggé válik, vagy azt bizonyítja, hogy a sorozat nem létezik.
Lineáris egyenlet
Az ax+by=c alakú egyenleteket lineárisnak nevezzük. Az x, y jelölések az ismeretlenek, melyek értékét meg kell találni, b, a a változók együtthatói, c az egyenlet szabad tagja.
Az egyenlet megoldása a grafikonja ábrázolásával egy egyenesnek fog kinézni, amelynek minden pontja a polinom megoldása.
Lineáris egyenletrendszerek típusai
A legegyszerűbbek a két X és Y változós lineáris egyenletrendszerek példái.
F1(x, y) = 0 és F2(x, y) = 0, ahol F1,2 függvények és (x, y) függvényváltozók.
Egyenletrendszer megoldása - ez azt jelenti, hogy meg kell találni azokat az értékeket (x, y), amelyekre a rendszer valódi egyenlőséggé válik, vagy annak megállapítását, hogy nincs megfelelő x és y értéke.
A pontkoordinátákként felírt értékpárt (x, y) egy lineáris egyenletrendszer megoldásának nevezzük.
Ha a rendszereknek egy közös megoldása van, vagy nincs megoldás, akkor ekvivalensnek nevezzük őket.
A homogén lineáris egyenletrendszerek olyan rendszerek, amelyek jobb oldala nullával egyenlő. Ha az "egyenlőség" jel utáni jobb oldali résznek van értéke, vagy függvény fejezi ki, akkor egy ilyen rendszer nem homogén.
A változók száma jóval több lehet kettőnél, akkor egy három vagy több változós lineáris egyenletrendszer példájáról kell beszélnünk.
A rendszerekkel szembesülve az iskolások azt feltételezik, hogy az egyenletek számának szükségszerűen egybe kell esnie az ismeretlenek számával, de ez nem így van. A rendszerben lévő egyenletek száma nem függ a változóktól, tetszőlegesen sok lehet belőlük.
Egyszerű és összetett módszerek egyenletrendszerek megoldására
Az ilyen rendszerek megoldására nincs általános analitikus módszer, minden módszer numerikus megoldásokon alapul. Az iskolai matematika tantárgy részletesen ismerteti a permutációt, az algebrai összeadást, a helyettesítést, valamint a grafikus és mátrixos módszert, a Gauss-módszerrel történő megoldást.
A megoldási módszerek tanításának fő feladata a rendszer helyes elemzésének megtanítása és az optimális megoldási algoritmus megtalálása minden egyes példához. A lényeg nem az, hogy megjegyezzük az egyes módszerek szabályrendszerét és cselekvéseit, hanem megértsük egy adott módszer alkalmazásának alapelveit.
Az általános nevelési iskolai program 7. osztályának lineáris egyenletrendszer-példáinak megoldása meglehetősen egyszerű, és nagyon részletesen el van magyarázva. Bármely matematikai tankönyvben erre a részre kellő figyelmet fordítanak. A lineáris egyenletrendszerek példáinak Gauss és Cramer módszerével történő megoldását részletesebben tanulmányozzák a felsőoktatási intézmények első kurzusai.
Rendszerek megoldása helyettesítési módszerrel
A helyettesítési módszer műveletei arra irányulnak, hogy az egyik változó értékét a másodikon keresztül fejezzük ki. A kifejezést behelyettesítjük a fennmaradó egyenletbe, majd egyetlen változós alakra redukáljuk. A művelet megismétlődik a rendszerben lévő ismeretlenek számától függően
Adjunk példát egy 7. osztályú lineáris egyenletrendszerre helyettesítési módszerrel:
Amint a példából látható, az x változót az F(X) = 7 + Y függvényen keresztül fejeztük ki. Az eredményül kapott kifejezés, amelyet a rendszer 2. egyenletébe X helyett behelyettesítettünk, segített egy Y változót kapni a 2. egyenletben. . A példa megoldása nem okoz nehézséget, és lehetővé teszi az Y érték megszerzését, az utolsó lépés a kapott értékek ellenőrzése.
Egy lineáris egyenletrendszer példáját nem mindig lehet helyettesítéssel megoldani. Az egyenletek bonyolultak lehetnek, és a változó kifejezése a második ismeretlennel túl nehézkes lesz a további számításokhoz. Ha 3-nál több ismeretlen van a rendszerben, a helyettesítési megoldás sem praktikus.
Lineáris inhomogén egyenletrendszer példájának megoldása:
Megoldás algebrai összeadással
Amikor megoldást keresünk rendszerekre az összeadás módszerével, az egyenletek tagonkénti összeadásával és szorzásával különféle számok. A matematikai műveletek végső célja egy változós egyenlet.
Alkalmazásokhoz ez a módszer gyakorlást és megfigyelést igényel. Nem könnyű megoldani egy lineáris egyenletrendszert az összeadás módszerével, ha a változók száma 3 vagy több. Az algebrai összeadás akkor hasznos, ha az egyenletek törteket és decimális számokat tartalmaznak.
Megoldás műveleti algoritmusa:
- Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát valamilyen számmal. Ennek eredményeként aritmetikai művelet a változó egyik együtthatójának egyenlőnek kell lennie 1-gyel.
- Adja hozzá a kapott kifejezést kifejezésenként, és keresse meg az egyik ismeretlent.
- Helyettesítse be a kapott értéket a rendszer 2. egyenletébe, és keresse meg a fennmaradó változót.
Megoldási módszer egy új változó bevezetésével
Új változót akkor lehet bevezetni, ha a rendszernek legfeljebb két egyenletre kell megoldást találnia, az ismeretlenek száma szintén nem lehet több kettőnél.
A módszer az egyik egyenlet egyszerűsítésére szolgál egy új változó bevezetésével. Az új egyenletet a beírt ismeretlenre vonatkozóan oldjuk meg, és a kapott értékkel határozzuk meg az eredeti változót.
A példa azt mutatja, hogy egy új t változó bevezetésével sikerült a rendszer 1. egyenletét a szabványra redukálni. négyzetes trinomikus. A polinomot a diszkrimináns megtalálásával oldhatja meg.
Meg kell találni a diszkrimináns értékét a jól ismert képlet segítségével: D = b2 - 4*a*c, ahol D a kívánt diszkrimináns, b, a, c a polinom szorzói. Az adott példában a=1, b=16, c=39, tehát D=100. Ha a diszkrimináns nagyobb, mint nulla, akkor két megoldás létezik: t = -b±√D / 2*a, ha a diszkrimináns kisebb, mint nulla, akkor csak egy megoldás van: x= -b / 2*a.
A kapott rendszerekre a megoldást az összeadás módszerével találjuk meg.
Vizuális módszer rendszerek megoldására
Alkalmas 3 egyenletet tartalmazó rendszerekhez. A módszer a továbbépítés koordináta tengely a rendszerben szereplő egyes egyenletek grafikonjai. A görbék metszéspontjainak koordinátái a rendszer általános megoldása lesz.
A grafikus módszernek számos árnyalata van. Vegyünk néhány példát a lineáris egyenletrendszerek vizuális megoldására.
Amint a példából látható, minden sorhoz két pontot állítottunk össze, az x változó értékeit tetszőlegesen választottuk ki: 0 és 3. Az x értékei alapján y értéket találtunk: 3 és 0. A (0, 3) és (3, 0) koordinátájú pontokat a grafikonon jelöltük, és egy vonallal kötöttük össze.
A lépéseket meg kell ismételni a második egyenletnél. Az egyenesek metszéspontja a rendszer megoldása.
A következő példában meg kell találni a lineáris egyenletrendszer grafikus megoldását: 0,5x-y+2=0 és 0,5x-y-1=0.
Ahogy a példából is látszik, a rendszernek nincs megoldása, mert a gráfok párhuzamosak és nem metszik egymást teljes hosszukban.
A 2. és 3. példában szereplő rendszerek hasonlóak, de megalkotásukkor nyilvánvalóvá válik, hogy megoldásaik eltérőek. Nem szabad elfelejteni, hogy nem mindig lehet megmondani, hogy a rendszernek van-e megoldása vagy sem, mindig szükség van egy gráf felépítésére.
Mátrix és fajtái
A mátrixok egy lineáris egyenletrendszer rövid leírására szolgálnak. A mátrix egy speciális típusú táblázat, amely számokkal van kitöltve. Az n*m-nek n - sora és m - oszlopa van.
A mátrix négyzet alakú, ha az oszlopok és sorok száma egyenlő. A mátrixvektor egy egyoszlopos mátrix, amelynek végtelen számú sora van. Az egyik átló mentén egységeket és más nullaelemeket tartalmazó mátrixot azonosságnak nevezünk.
Az inverz mátrix egy olyan mátrix, amellyel megszorozva az eredeti egységgé alakul, ilyen mátrix csak az eredeti négyzethez létezik.
Egyenletrendszer mátrixmá alakításának szabályai
Az egyenletrendszerek esetében az egyenletek együtthatóit és szabad tagjait a mátrix számaiként írjuk fel, egy egyenlet a mátrix egy sora.
Egy mátrixsort nem nullának nevezünk, ha a sor legalább egy eleme nem egyenlő nullával. Ezért, ha bármelyik egyenletben a változók száma eltér, akkor a hiányzó ismeretlen helyére nullát kell beírni.
A mátrix oszlopainak szigorúan meg kell felelniük a változóknak. Ez azt jelenti, hogy az x változó együtthatói csak egy oszlopba írhatók, például az első, az ismeretlen y együtthatója - csak a másodikba.
Egy mátrix szorzásakor az összes mátrixelemet szekvenciálisan megszorozzuk egy számmal.
Az inverz mátrix megtalálásának lehetőségei
Az inverz mátrix megtalálásának képlete meglehetősen egyszerű: K -1 = 1 / |K|, ahol K -1 - inverz mátrix, és |K| - mátrix meghatározó. |K| nem lehet egyenlő nullával, akkor a rendszernek van megoldása.
A determináns könnyen kiszámítható egy kettő-kettő mátrixra, csak az elemeket átlósan kell megszorozni egymással. A "háromszor három" opcióhoz létezik egy képlet |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Használhatja a képletet, vagy ne feledje, hogy minden sorból és oszlopból egy elemet kell venni, hogy az elemek oszlop- és sorszáma ne ismétlődjön a szorzatban.
Lineáris egyenletrendszerek példáinak megoldása mátrix módszerrel
A megoldáskeresés mátrixos módszere lehetővé teszi a nehézkes bejegyzések csökkentését nagyszámú változót és egyenletet tartalmazó rendszerek megoldása során.
A példában a nm az egyenletek együtthatói, a mátrix egy vektor, x n a változók, és b n a szabad tagok.
Rendszerek megoldása Gauss-módszerrel
BAN BEN felsőbb matematika a Gauss-módszert a Cramer-módszerrel együtt tanulmányozzák, a rendszerek megoldásának folyamatát pedig Gauss-Cramer megoldási módszernek nevezik. Ezekkel a módszerekkel nagyszámú lineáris egyenletet tartalmazó rendszerek változóit kereshetjük meg.
A Gauss-módszer nagyon hasonlít a szubsztitúciós és algebrai összeadás megoldásokhoz, de szisztematikusabb. Az iskolai kurzusban a Gauss-megoldást használják 3 és 4 egyenletrendszerekre. A módszer célja, hogy a rendszert fordított trapéz alakúra hozza. Algebrai transzformációkkal és behelyettesítésekkel egy változó értékét megtaláljuk a rendszer egyik egyenletében. A második egyenlet egy kifejezés 2 ismeretlennel, és 3 és 4 - 3, illetve 4 változóval.
Miután a rendszert a leírt formába hoztuk, a további megoldás az ismert változók szekvenciális behelyettesítésére redukálódik a rendszer egyenleteiben.
A 7. osztályos iskolai tankönyvekben a Gauss-féle megoldás példája a következő:
Amint a példából látható, a (3) lépésben két egyenletet kaptunk: 3x 3 -2x 4 =11 és 3x 3 +2x 4 =7. Bármelyik egyenlet megoldása lehetővé teszi az x n változók egyikének kiderítését.
A szövegben említett 5. tétel kimondja, hogy ha a rendszer egyik egyenletét egy ekvivalensre cseréljük, akkor a kapott rendszer is ekvivalens lesz az eredetivel.
A Gauss-módszer nehezen érthető a tanulók számára Gimnázium, hanem az egyik legérdekesebb módja a matematika és fizika osztályok emelt szintű tanulmányi programjába beiratkozott gyerekek találékonyságának fejlesztésének.
A rögzítési számítások megkönnyítése érdekében a következőket szokás tenni:
Az egyenletegyütthatókat és a szabad tagokat mátrix formájában írjuk fel, ahol a mátrix minden sora megfelel a rendszer valamelyik egyenletének. elválasztja az egyenlet bal oldalát a jobb oldaltól. A római számok a rendszer egyenletek számát jelölik.
Először felírják a mátrixot, amellyel dolgozni kell, majd az egyik sorral végrehajtott összes műveletet. A kapott mátrixot a „nyíl” jel után írjuk, és folytassa a szükséges algebrai műveletek végrehajtását az eredmény eléréséig.
Ennek eredményeként olyan mátrixot kell kapni, amelyben az egyik átló 1, és az összes többi együttható nulla, vagyis a mátrix egyetlen formára redukálódik. Nem szabad megfeledkeznünk az egyenlet mindkét oldalának számozásáról sem.
Ez a jelölés kevésbé körülményes, és lehetővé teszi, hogy ne terelje el a figyelmét számos ismeretlen felsorolása.
Bármely megoldási mód ingyenes alkalmazása körültekintést és bizonyos tapasztalatot igényel. Nem minden módszert alkalmaznak. A megoldások megtalálásának bizonyos módjai előnyösebbek az emberi tevékenység egy adott területén, míg mások tanulási céllal léteznek.
Egy egyenlet egy ismeretlennel, amely a zárójelek kinyitása és a hasonló tagok redukálása után felveszi a formát
ax + b = 0, ahol a és b tetszőleges számok, nak, nek hívják lineáris egyenlet egy ismeretlennel. Ma kitaláljuk, hogyan oldjuk meg ezeket a lineáris egyenleteket.
Például az összes egyenlet:
2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - lineáris.
Az ismeretlen értékét, amely az egyenletet valódi egyenlőséggé alakítja, nevezzük döntés vagy az egyenlet gyöke .
Például, ha a 3x + 7 \u003d 13 egyenletben az ismeretlen x helyett a 2-es számmal helyettesítjük, akkor a helyes egyenlőséget kapjuk: 3 2 + 7 \u003d 13. Ez azt jelenti, hogy az x \u003d 2 érték a megoldás. vagy az egyenlet gyöke.
És az x \u003d 3 érték nem változtatja meg a 3x + 7 \u003d 13 egyenletet valódi egyenlőséggé, mivel 3 2 + 7 ≠ 13. Ezért az x \u003d 3 érték nem az egyenlet megoldása vagy gyöke.
Bármely lineáris egyenlet megoldása az alábbi alakú egyenletek megoldására redukálódik
ax + b = 0.
A szabad tagot az egyenlet bal oldaláról átvisszük jobbra, miközben a b előtti jelet az ellenkezőjére változtatjuk, így kapjuk
Ha a ≠ 0, akkor x = – b/a .
1. példa Oldja meg a 3x + 2 =11 egyenletet.
Az egyenlet bal oldaláról a 2-t átvisszük jobbra, miközben a 2 előtti jelet az ellenkezőjére változtatjuk, így kapjuk
3x \u003d 11-2.
Akkor végezzük el a kivonást
3x = 9.
Az x megtalálásához el kell osztani a szorzatot egy ismert tényezővel, azaz
x = 9:3.
Tehát az x = 3 érték az egyenlet megoldása vagy gyöke.
Válasz: x = 3.
Ha a = 0 és b = 0, akkor a 0x \u003d 0 egyenletet kapjuk. Ennek az egyenletnek végtelen sok megoldása van, hiszen ha tetszőleges számot megszorozunk 0-val, akkor 0-t kapunk, de b is 0. Ennek az egyenletnek a megoldása tetszőleges szám.
2. példa Oldja meg az 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1 egyenletet.
Bővítsük ki a zárójeleket:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.
5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.
Íme a hasonló tagok:
0x = 0.
Válasz: x tetszőleges szám.
Ha a = 0 és b ≠ 0, akkor a 0x = - b egyenletet kapjuk. Ennek az egyenletnek nincs megoldása, hiszen ha bármely számot megszorozunk 0-val, akkor 0-t kapunk, de b ≠ 0.
3. példa Oldja meg az x + 8 = x + 5 egyenletet!
Csoportosítsuk az ismeretlent tartalmazó kifejezéseket a bal oldalon, a szabad kifejezéseket pedig a jobb oldalon:
x - x \u003d 5 - 8.
Íme a hasonló tagok:
0x = -3.
Válasz: nincs megoldás.
A 1.ábra a lineáris egyenlet megoldásának sémája látható
Komponáljunk általános séma egy változós egyenletek megoldásai. Tekintsük a 4. példa megoldását.
4. példa Oldjuk meg az egyenletet
1) Szorozzuk meg az egyenlet összes tagját a nevezők legkisebb közös többszörösével, ami egyenlő 12-vel.
2) Redukció után kapjuk
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)
3) Az ismeretlen és szabad tagokat tartalmazó tagok szétválasztásához nyissa ki a zárójeleket:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.
4) Az egyik részbe az ismeretleneket, a másikba a szabad kifejezéseket csoportosítjuk:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.
5) Íme a hasonló tagok:
- 22x = - 154.
6) Oszd meg - 22-vel, megkapjuk
x = 7.
Amint látja, az egyenlet gyökere hét.
Általában ilyen egyenletek a következőképpen oldhatók meg:
a) hozza az egyenletet egész alakra;
b) nyitott zárójelek;
c) csoportosítsa az egyenlet egyik részében az ismeretlent, a másikban a szabad tagokat tartalmazó tagokat;
d) hasonló tagokat hozni;
e) oldjunk meg egy aх = b alakú egyenletet, amelyet hasonló tagok hozásával kaptunk.
Ez a séma azonban nem minden egyenlethez szükséges. Sok egyszerűbb egyenlet megoldásánál nem az elsőből kell kiindulni, hanem a másodikból ( Példa. 2), harmadik ( Példa. 13) és még az ötödik szakasztól is, mint az 5. példában.
5. példa Oldja meg a 2x = 1/4 egyenletet!
Megtaláljuk az ismeretlen x \u003d 1/4:2,
x = 1/8 .
Tekintsük néhány lineáris egyenlet megoldását a fő államvizsgán.
6. példa Oldja meg a 2. egyenletet (x + 3) = 5 - 6x.
2x + 6 = 5 - 6x
2x + 6x = 5-6
Válasz: - 0,125
7. példa Oldja meg a - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7 egyenletet.
– 30 + 18x = 8x – 7
18x - 8x = - 7 +30
Válasz: 2.3
8. példa Oldja meg az egyenletet
3 (3x - 4) = 4 7x + 24
9x - 12 = 28x + 24
9x - 28x = 24 + 12
9. példa Határozzuk meg az f(6)-ot, ha f(x + 2) = 3 7-es
Megoldás
Mivel meg kell találnunk f(6), és tudjuk, hogy f (x + 2),
akkor x + 2 = 6.
Megoldjuk az x + 2 = 6 lineáris egyenletet,
x \u003d 6 - 2, x \u003d 4.
Ha x = 4, akkor
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27
Válasz: 27.
Ha van még kérdésed, van kedved alaposabban foglalkozni az egyenletek megoldásával, jelentkezz az óráimra a MENETRENDBEN. Szívesen segítek!
A TutorOnline azt is javasolja, hogy nézze meg Olga Alexandrovna oktatónk új oktatóvideóját, amely segít megérteni a lineáris egyenleteket és másokat is.
oldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.