TANTERV algebra óra 7. osztályban

Prilepova tanár O.A.

Az óra céljai:

Alkalmazás megjelenítése különböző módokon polinom faktorálásához

Ismételje meg a faktorizálás módszereit, és szilárdítsa meg tudását a gyakorlatok során

A tanulók készségeinek, képességeinek fejlesztése a rövidített szorzóképletek alkalmazásában.

Fejleszteni logikus gondolkodás hallgatók és a téma iránti érdeklődés.

Feladatok:

irányban személyes fejlődés:

A matematikai kreativitás és a matematikai képességek iránti érdeklődés fejlesztése;

Kezdeményezés, aktivitás fejlesztése a matematikai feladatok megoldásában;

Az önálló döntéshozatal képességének fejlesztése.

a meta-szubjektum irányába :

A matematikára jellemző, a kognitív kultúra alapját jelentő általános szellemi tevékenységi módok kialakítása;

IKT technológia alkalmazása;

a témakörben:

A továbbtanuláshoz szükséges matematikai ismeretek és készségek elsajátítása;

Képzés a tanulókban arra, hogy keressenek módokat egy polinom faktorizálására, és megtalálják azokat egy faktorizált polinomhoz.

Felszerelés:szóróanyagok, útvonallapok értékelési szempontokkal,multimédiás projektor, bemutató.

Az óra típusa:a lefedett anyag ismétlése, általánosítása, rendszerezése

Munkaformák:páros és csoportos munkavégzés, egyéni, kollektív,önálló, frontális munkavégzés.

Az órák alatt:

Szakasz	Terv		UUD
Org pillanat.	Csoportokra és párokra bontás: A tanulók a következő szempontok szerint választanak társat: Ezzel az osztálytárssal kommunikálok a legkevésbé. Pszichológiai hangulat: Válasszon egy hangulatjelet (az óra eleji hangulatot), és alatta nézze meg azt az osztályzatot, amelyet ma szeretne kapni a leckében (DIA). - Tedd magad a füzetbe annak az osztályzatnak a margójára, amelyet ma szeretnél megkapni az órán. Az eredményeket a táblázatban (DIA) jelöli meg. A feladat teljes Fokozat Értékelési szempontok: 1. Mindent helyesen, hiba nélkül megoldottam - 5 2. Megoldáskor 1-2 hibát követtem el - 4-et 3. 3-4 hibát vétett a megoldás során - 3 4. Több mint 4 hibát követett el a megoldás során - 2		A tanítás új megközelítései (párbeszéd)
Aktualizálás.	Kollektív munka. - A mai órán bemutathatja tudását, részt vehet tevékenységeinek kölcsönös ellenőrzésében és önellenőrzésében Egyezés (DIA): A következő dián figyelj a kifejezésekre, mit veszel észre? (CSÚSZIK) 15x3y2 + 5x2y Kivéve a közös szorzót a zárójelekből p 2 + pq - 3 p -3 q Csoportosítási módszer 16m2 - 4n2 Rövidített szorzóképlet Hogyan lehet ezeket a cselekedeteket egy szóban egyesíteni? (A polinomok bővítésének módszerei) A tanulók nyilatkozata az óra témájáról és céljáról, mint saját tanulási feladatukról (DIA). Ennek alapján fogalmazzuk meg óránk témáját és tűzzünk ki célokat. Kérdések diákoknak: Nevezze meg az óra témáját; Fogalmazza meg az óra célját; Mindenkinek van kártyája a képletek nevével. (Párokban dolgozni). Adjon képleteket az összes képlethez
A tudás alkalmazása	Párokban dolgozni. A csúszda ellenőrzése 1. Válassza ki a helyes választ (DIA). Kártyák: A feladat Válasz (x+10)2= x2+100-20x x2+100+20x x2+100+10x (5y-7)2= 25y2+49-70y 25u2-49-70u 25y2+49+70 x2-16y2= (x-4 év) (x+4 év) (x-16 év) (x+16 év) (x+4y)(4y-x) (2a+c)(2a-c)= 4a2-v2 4а2+в2 2a2-b2 a3-8v3 a2+16-64v6 (a-8c) (a+8c) (a-2c) (a2 + 2av + 4c2)	2. Hibák keresése (DIA): Kártyák száma A csúszda ellenőrzése 1 pár: o ( b- y)2 = b2 - 4 by+y2 o 49- c2=(49-c)(49+s) 2 pár: o (r-10) 2=r2- 20r+10 o (2a+1)2=4a2+2a+1 3 pár: o (3év+1)2=9év+6év+1 o ( b- a) 2 =b²-4ba+a2 4 pár: o x²- 25= ( x-25)( 25+x) o (7-a) 2 \u003d 7-14a + a²	Képzés szerint életkori jellemzők
	3. Minden pár kap feladatot és korlátozott időt a megoldására (DIA) Ellenőrizzük a válaszkártyákon 1. Kövesse a következő lépéseket: a) (a + 3c) 2; b) x 2 - 12 x + 36; c) 4v2-y2. 2. Faktorizálás: a) ; b) ; 2-ben x - a 2 y - 2 a 2 x + y 3. Keresse meg a kifejezés értékét: (7 p + 4)2 -7 p (7 p - 2) p = 5-nél.		Menedzsment és vezetés
	4. Csoportmunka. Nézd, ne tévedj (DIA). Kártyák. Nézzük meg a csúszdát. (а+…)²=…+2…с+с² (... + y)² \u003d x² + 2x ... + ... (... + 2x)² \u003d y² + 4xy + 4x² (…+2 m)²=9+…+4 m² (n + 2v)²= n²+…+4v²		Kritikus gondolkodás tanítása. Menedzsment és vezetés
	5. Csoportmunka (konzultáció a megoldásról, feladatok és megoldásaik megbeszélése) A csoport minden tagja kap A, B, C szintű feladatokat. A csoport minden tagja választ magának egy megvalósítható feladatot. Kártyák. (Dia) Ellenőrzés válaszkártyákkal A szint 1. Tedd ki: a) c 2 - a 2 ; b) 5x2-45; c) 5a2 + 10av + 5v2; d) ax2-4ax + 4a 2. Tegye a következőket: a) (x - 3) (x + 3); b) (x-3)2; c) x (x - 4). B szint 1. Egyszerűsítés: a) (3a + p) (3a-p) + p2; b) (a + 11) 2-20a; c) (a-4) (a + 4) -2a (3-a). 2. Számítsd ki: a) 962 - 862; b) 1262-742. C szint 1. Oldja meg az egyenletet: (7 x - 8) (7x + 8) - (25x - 4)2 + 36 (1 - 4x)2 =44 1. Oldja meg az egyenletet: (12 x - 4) (12 x + 4) - (12 x - 1) 2 - (4 x - 5) = 16. 1.		Tehetségesek és tehetségesek tanítása
Óra összefoglalója	- Összegezzük, a táblázat eredményei alapján becsléseket fogunk levezetni. Hasonlítsa össze pontszámait a becsült pontszámával. Válassza ki az értékelésének megfelelő hangulatjelet (DIA). c) a tanár értékeli az osztály munkáját (aktivitás, tudásszint, készségek, önszerveződés, szorgalom) Önálló munkavégzés teszt formájában TARTALÉK ellenőrzéssel		Értékelés a tanulásért és Értékelés a tanulásért
Házi feladat	A rövidített szorzóképletek tanításának folytatása.
Visszaverődés	Srácok, hallgassák meg a példázatot: (DIA) Egy bölcs sétált, és három ember találkozott vele, szekereket cipelve Kövek a templom építéséhez. A bölcs megállt, és mindegyiket megkérdezte Kérdés. Az első megkérdezte: - Mit csináltál egész nap? Ő pedig vigyorogva azt válaszolta, hogy egész nap átkozott köveket hordott. A második megkérdezte: „És mit csináltál egész nap? ” Ő pedig így válaszolt: Lelkiismeretesen végeztem a munkámat. A harmadik pedig mosolygott rá, arca felragyogott az örömtől és az élvezettől, és így válaszolt: „A Részt vettem a Templom építésében.” Mi a templomod? (Tudás) Srácok! Ki dolgozik az első ember óta? (hangulatjelek megjelenítése) (3. vagy 2. pont) (DIA) Ki dolgozott jóhiszeműen? (4. pont) És kik vettek részt a Tudás Templomának építésében? (5. pont)		Kritikus gondolkodás tréning

Az óra célja:  egy polinom faktorokká alakításának képességeinek kialakítása különféle módokon;  pontosság, kitartás, szorgalom, páros munkavégzés képességének nevelése. Felszerelés: multimédiás projektor, PC, didaktikai anyagok. Óraterv: 1. Idő szervezése; 2. Házi feladat ellenőrzése; 3. Szóbeli munka; 4. Új anyagok elsajátítása; 5. Testnevelés; 6. A tanult anyag konszolidálása; 7. Párban dolgozni; 8. Házi feladat; 9. Összegzés. Az óra menete: 1. Szervezési mozzanat. Rendeljen tanulókat a leckéhez. Az oktatás nem a tudás mennyiségéből áll, hanem mindannak a teljes megértésében és ügyes alkalmazásában, amit tud. (Georg Hegel) 2. Házi feladat ellenőrzése. Olyan feladatok elemzése, amelyek megoldásában a tanulók nehézségekbe ütköztek. 3. Szóbeli munka.  faktorizálás: 1) 2) 3) ; 4) .  Hozzon létre megfeleltetést a bal és a jobb oldali oszlop kifejezései között: a. 1. b. 2. c. 3. d. 4. d. 5. .  Oldja meg az egyenleteket: 1. 2. 3. 4. Új anyag elsajátítása. A polinomok faktorizálásához zárójeleket, csoportosítást és rövidített szorzási képleteket használtunk. Néha lehetséges egy polinom faktorizálása több módszer egymás utáni alkalmazásával. Az átalakítást lehetőleg úgy kell kezdeni, hogy a közös tényezőt kivesszük a zárójelekből. Az ilyen példák sikeres megoldása érdekében ma megpróbálunk egy tervet kidolgozni következetes alkalmazásukra.

150.000₽ nyereményalap 11 díszokirat A médiában való közzététel bizonyítéka

Létezik több különböző módon polinom faktorizálása. Leggyakrabban a gyakorlatban nem egy, hanem több módszert alkalmaznak egyszerre. Itt nem lehet konkrét cselekvési sorrend, minden példában minden egyedi. De megpróbálhatja követni a következő sorrendet:

1. Ha van közös tényező, akkor vegye ki a zárójelből;

2. Ezt követően próbálja meg a polinomot faktorizálni a rövidített szorzási képletekkel;

3. Ha ezek után még nem kaptuk meg a kívánt eredményt, akkor próbáljuk meg a csoportosítás módszerét alkalmazni.

Rövidített szorzóképletek

1. a^2 - b^2 = (a+b)*(a-b);

2. (a+b)^2 = a^2+2*a*b+b^2;

3. (a-b)^2 = a^2-2*a*b+b^2;

4. a^3+b^3 = (a+b)*(a^2 - a*b+b^2);

5. a^3 - b^3 = (a-b)*(a^2 + a*b+b^2);

Most nézzünk néhány példát:

1. példa

Tényezősítse a polinomot: (a^2+1)^2 - 4*a^2

Először alkalmazzuk a "négyzetek különbsége" rövidített szorzási képletet, és nyissuk meg a belső zárójeleket.

(a^2+1)^2 - 4*a^2 = ((a^2+1)-2*a)*((a^2+1)+2*a) = (a^2+1 -2*a)*(a^2+1+2*a);

Figyeljük meg, hogy az összeg négyzetének és a két kifejezés különbségének négyzetének kifejezéseit zárójelben kapjuk. Alkalmazza őket, és megkapja a választ.

a^2+1-2*a)*(a^2+1+2*a) = (a-1)^2*(a+1)^2;

Válasz:(a-1)^2*(a+1)^2;

2. példa

Tényezőzzük a 4*x^2 - y^2 + 4*x +2*y polinomot.

Amint itt közvetlenül látható, egyik módszer sem alkalmas. De van két négyzet, csoportosíthatók. Próbáljuk meg.

4*x^2 - y^2 + 4*x +2*y = (4*x^2 - y^2) +(4*x +2*y);

Az első zárójelben megkaptuk a négyzetek különbségének képletét, és a második zárójelben van egy közös kettős tényező. Alkalmazzuk a képletet, és vegyük ki a közös tényezőt.

(4*x^2 - y^2) +(4*x +2*y)= (2*x - y)*(2*x+y) +2*(2*x+y);

Látható, hogy két egyforma zárójelet kapunk. Közös tényezőként vesszük ki őket.

(2*x - y)*(2*x+y) +2*(2*x+y) = (2*x+y)*(2*x - y)+2)= (2*x+ y) )*(2*x-y+2);

Válasz:(2*x+y)*(2*x-y+2);

Amint látja, nincs univerzális módszer. A tapasztalat birtokában a készség jönni fog, és a polinomot faktorokká alakítani nagyon könnyű lesz.

Ez az egyik legelemibb módja a kifejezés egyszerűsítésének. A módszer alkalmazásához emlékezzünk a szorzás eloszlási törvényére az összeadásra vonatkozóan (ne félj ezektől a szavaktól, ismerned kell ezt a törvényt, csak lehet, hogy elfelejtetted a nevét).

A törvény azt mondja: ahhoz, hogy két szám összegét megszorozzuk egy harmadik számmal, minden tagot meg kell szorozni ezzel a számmal, és össze kell adni az eredményeket, más szavakkal.

Megteheti a fordított műveletet is, itt van fordított működésérdekel minket. Mint a mintából látható, az a, közös tényező kivehető a zárójelből.

Hasonló művelet elvégezhető változókkal, például és például, és számokkal is: .

Igen, ez is túl elemi példa, csakúgy, mint az előbbi példa, egy szám felbontásával, mert mindenki tudja, mik azok a számok, és oszthatóak velük, de mi van, ha bonyolultabb kifejezést kapunk:

Hogyan lehet megtudni, hogy például egy szám mire van felosztva, nem, számológéppel bárki megteheti, de enélkül gyenge? Ehhez pedig ott vannak az oszthatóság jelei, ezeket a jeleket igazán érdemes ismerni, ezek segítenek gyorsan megérteni, hogy zárójelbe tehető-e a közös tényező.

Az oszthatóság jelei

Nem olyan nehéz megjegyezni őket, valószínűleg a legtöbbjük már ismerős volt számodra, és valami új hasznos felfedezés lesz, további részletek a táblázatban:

Megjegyzés: A táblázatból hiányzik a 4-gyel osztható jel. Ha az utolsó két számjegy osztható 4-gyel, akkor az egész szám osztható 4-gyel.

Nos, hogy tetszik a jel? Azt tanácsolom, hogy emlékezzen rá!

Na, de térjünk vissza a kifejezéshez, esetleg vegyük ki a zárójelből és ennyi elég is belőle? Nem, a matematikusoknál bevett szokás, hogy egyszerűsítsenek, így a legteljesebb mértékben, Vegyél ki MINDENT, amit kivesznek!

Tehát a lejátszóval minden világos, de mi a helyzet a kifejezés numerikus részével? Mindkét szám páratlan, így nem lehet osztani

Használhatja az oszthatóság jelét a számjegyek összegével, amelyekből a szám egyenlő, és osztható -val, vagyis osztható -val.

Ennek ismeretében nyugodtan osztható oszlopra, a vele való osztás eredményeként kapunk (jól jöttek az oszthatóság jelei!). Így kivehetjük a számot a zárójelből, csakúgy, mint az y-t, és ennek eredményeként megkapjuk:

Annak érdekében, hogy megbizonyosodjon arról, hogy minden megfelelően bontott, ellenőrizheti a bővítést szorzással!

A közös tényezőt ki lehet venni a hatványkifejezésekből is. Itt például látod a közös tényezőt?

Ennek a kifejezésnek minden tagjának x-je van - kivesszük, mindegyiket elosztjuk - újra kivesszük, megnézzük, mi történt: .

2. Rövidített szorzóképletek

A rövidített szorzóképletekről elméletben már szó esett, ha alig emlékszel, hogy mi az, akkor frissítse fel a memóriájában.

Nos, ha nagyon okosnak tartja magát, és lusta egy ilyen információfelhőt olvasni, akkor csak olvasson tovább, nézze meg a képleteket, és azonnal vegye fel a példákat.

Ennek a bővítésnek az a lényege, hogy észrevegyünk néhányat az előttünk álló kifejezésben bizonyos képlet, alkalmazza és így kapja meg valami és valami szorzatát, ez az egész bomlás. A következő képletek:

Most próbálja meg faktorálni a következő kifejezéseket a fenti képletekkel:

És ennek meg kellett volna történnie:

Mint észrevetted, ezek a képletek nagyon hatékony mód faktorizálás, nem mindig megfelelő, de nagyon hasznos lehet!

3. Csoportosítás vagy csoportosítás módszere

Íme egy másik példa az Ön számára:

Nos, mit fogsz vele csinálni? Úgy tűnik, hogy felosztható valamire és valamire, valamire és valamire

De nem lehet mindent egy dologra felosztani, nos nincs közös tényező, hogyan ne keressünk mit, és hagyjunk faktorálás nélkül?

Itt találékonyságot kell mutatni, és ennek a találékonyságnak a neve egy csoportosítás!

Csak akkor használatos, ha nem minden tagnak van közös osztója. A csoportosításhoz szükséges keresse meg a közös osztókkal rendelkező kifejezéscsoportokatés átrendezzük őket úgy, hogy minden csoportból ugyanazt a szorzót kapjuk.

Természetesen nem szükséges helyenként átrendezni, de ez láthatóságot ad, az áttekinthetőség kedvéért a kifejezés egyes részeit zárójelbe lehet venni, nem tilos annyit tenni, amennyit akar, a lényeg, hogy ne összekeverni a jeleket.

Mindez nem egészen világos? Hadd magyarázzam el egy példával:

Egy polinomban - tegyünk tagot - a tag után - kapjuk

az első két tagot külön zárójelbe csoportosítjuk, a harmadik és negyedik tagot pedig ugyanúgy csoportosítjuk, a mínusz jelet kihagyva a zárójelből, így kapjuk:

És most külön-külön nézzük meg mind a két "kupacot", amelyekbe zárójelekkel beletörtük a kifejezést.

A trükk az, hogy olyan cölöpökre bontjuk, amelyekből a lehető legnagyobb tényezőt lehet kivenni, vagy, mint ebben a példában, próbáljuk meg úgy csoportosítani a tagokat, hogy miután a faktorokat a zárójelekből kivesszük a cölöpökből, ugyanazok a kifejezések vannak a zárójelben.

Mindkét zárójelből kivesszük a tagok közös tényezőit, az első zárójelből, a második zárójelből a következőt kapjuk:

De ez nem bomlás!

Pszamár a bomlás csak szorzás maradjon, de egyelőre van egy polinomunk, amelyet egyszerűen két részre osztunk...

DE! Ennek a polinomnak van egy közös tényezője. Ez

a zárójelen kívül, és megkapjuk a végterméket

Bingó! Amint látható, már van szorzat, és a zárójeleken kívül nincs se összeadás, se kivonás, a bontás befejeződött, mert nincs már mit kivennünk a zárójelből.

Csodának tűnhet, hogy a tényezők zárójelből való kiemelése után továbbra is ugyanazok a kifejezések vannak a zárójelben, amit ismét kivettünk a zárójelből.

És ez egyáltalán nem csoda, tény, hogy a tankönyvekben és a vizsgán a példák kifejezetten úgy vannak elkészítve, hogy a feladatokban a legtöbb kifejezés az egyszerűsítés, ill. faktorizáció a megfelelő megközelítéssel könnyen leegyszerűsíthetők, és hirtelen esernyőként omlanak össze, amikor megnyom egy gombot, ezért keresse meg ezt a gombot minden kifejezésben.

Valamit kitérek, mi van az egyszerűsítéssel? A bonyolult polinom egyszerűbb formát öltött: .

Egyetértek, nem olyan terjedelmes, mint régen?

4. Teljes négyzet kiválasztása.

Néha a rövidített szorzás képletei alkalmazásához (a téma megismétlése) szükséges a meglévő polinomot átalakítani úgy, hogy annak egyik tagját két tag összegeként vagy különbségeként kell bemutatni.

Ebben az esetben ezt meg kell tennie, tanulni fogja a példából:

Egy ilyen formájú polinom nem bontható fel rövidített szorzóképletekkel, ezért át kell alakítani. Talán eleinte nem lesz nyilvánvaló számodra, hogy melyik kifejezést melyikre kell felosztani, de idővel megtanulod azonnal látni a rövidített szorzás képleteit, még akkor is, ha nincsenek teljes egészükben, és gyorsan meghatározod, hogy mi hiányzik itt korábban teljes képlet, de egyelőre - tanulás, diák, vagy inkább iskolás.

A különbség négyzetének teljes képletéhez itt kell helyette. A harmadik tagot ábrázoljuk különbségként, így kapjuk: A különbség négyzetes képletét alkalmazhatjuk a zárójelben lévő kifejezésre (nem tévesztendő össze a négyzetek különbségével!!!), van: , erre a kifejezésre alkalmazhatjuk a négyzetek különbségének képletét (nem tévesztendő össze a négyzetes különbséggel!!!), elképzelve hogyan, kapjuk: .

A nem mindig faktorizált kifejezés egyszerűbbnek és kisebbnek tűnik, mint a dekompozíció előtt, de ebben a formában mobilabbá válik, abban az értelemben, hogy nem kell aggódnia a változó jelek és egyéb matematikai hülyeségek miatt. Nos, itt van neked független megoldás, a következő kifejezéseket kell faktorálni.

Példák:

Válaszok:

5. Négyzetes trinomiális faktorizálása

A négyzetes trinom faktorizálását lásd alább a felbontási példákban.

Példák 5 polinom faktorálási módszerére

1. A közös tényező kivétele a zárójelekből. Példák.

Emlékszel, mi az elosztási törvény? Ez egy ilyen szabály:

Példa:

Tényezősítsünk egy polinomot.

Megoldás:

Egy másik példa:

Szorozni.

Megoldás:

Ha a teljes kifejezést kivesszük a zárójelből, akkor az egyik marad zárójelben helyette!

2. A rövidített szorzás képlete. Példák.

A leggyakrabban használt képletek a négyzetek különbsége, a kockák különbsége és a kockák összege. Emlékszel ezekre a képletekre? Ha nem, sürgősen ismételje meg a témát!

Példa:

Tényező a kifejezést.

Megoldás:

Ebben a kifejezésben könnyű megtudni a kockák közötti különbséget:

Példa:

Megoldás:

3. Csoportosítási módszer. Példák

Néha lehetséges a kifejezések felcserélése oly módon, hogy minden szomszédos kifejezéspárból egy és ugyanaz a faktor kinyerhető. Ezt a közös tényezőt ki lehet venni a zárójelből, és az eredeti polinomból szorzat lesz.

Példa:

Tényezd ki a polinomot.

Megoldás:

A kifejezéseket a következőképpen csoportosítjuk:
.

Az első csoportban zárójelből kivesszük a közös tényezőt, a másodikban pedig - :
.

Most a közös tényezőt is ki lehet venni a zárójelből:
.

4. A teljes négyzet kiválasztásának módja. Példák.

Ha a polinom két kifejezés négyzeteinek különbségeként ábrázolható, akkor már csak a rövidített szorzási képlet (négyzetek különbsége) alkalmazása marad hátra.

Példa:

Tényezd ki a polinomot.

Megoldás:Példa:

\begin(tömb)(*(35)(l))
((x)^(2))+6(x)-7=\zárójel(((x)^(2))+2\cdot 3\cdot x+9)_(négyzet\ összegek\ ((\balra) (x+3 \jobbra))^(2)))-9-7=((\bal(x+3 \jobb))^(2))-16= \\
=\left(x+3+4 \right)\left(x+3-4 \right)=\left(x+7 \right)\left(x-1 \right) \\
\end(tömb)

Tényezd ki a polinomot.

Megoldás:

\begin(tömb)(*(35)(l))
((x)^(4))-4((x)^(2))-1=\zárójel(((x)^(4))-2\cdot 2\cdot ((x)^(2) )+4)_(négyzet\ különbségek((\bal(((x)^(2))-2 \jobbra))^(2)))-4-1=((\bal(((x)^ (2))-2 \jobbra))^ (2))-5= \\
=\left(((x)^(2))-2+\sqrt(5) \right)\left(((x)^(2))-2-\sqrt(5) \right) \\
\end(tömb)

5. Négyzetes trinomiális faktorizálása. Példa.

A négyzetes trinom olyan alakú polinom, ahol ismeretlen, sőt néhány szám is van.

Azokat a változó értékeket, amelyek a négyzetes trinomit nullára fordítják, a trinomiális gyökeinek nevezzük. Ezért a trinomiális gyökerei a másodfokú egyenlet gyökerei.

Tétel.

Példa:

Tényezőzzük a négyzetháromságot: .

Először is megoldjuk a másodfokú egyenletet: Most felírhatjuk ennek a négyzetes trinomnak a faktorizálását faktorokra:

Most a véleményed...

Részletesen leírtuk, hogyan és miért kell faktorizálni egy polinomot.

Rengeteg példát adtunk a gyakorlati megvalósításra, rámutattunk a buktatókra, megoldásokat adtunk...

Mit mondasz?

Hogy tetszik ez a cikk? Használod ezeket a trükköket? Érted a lényegüket?

Írd meg kommentben és... készülj a vizsgára!

Eddig ez a legfontosabb az életedben.

A polinomok a matematikai kifejezések legfontosabb típusai. A polinomok alapján egyenleteket, egyenlőtlenségeket és függvényeket állítottunk össze. A különböző szintű bonyolultságú problémák gyakran tartalmazzák a polinomok sokoldalú transzformációjának szakaszait. Mivel matematikailag bármely polinom több monom algebrai összege, a legalapvetőbb és legszükségesebb változás egy polinomsorozat átalakítása két (vagy több) tényező szorzatává. Azokban az egyenletekben, amelyek képesek az egyik rész nullázására, a polinom faktorokká történő fordítása lehetővé teszi, hogy egy részt nullával egyenlővé tegyünk, és így megoldjuk a teljes egyenletet.

Az előző oktatóvideók megmutatták nekünk, hogy a lineáris algebrában három fő módja van a polinomok faktorokká való fordításának. Ez a közös tényező kivétele a zárójelekből, átcsoportosítás hasonló kifejezések szerint, rövidített szorzóképletekkel. Ha a polinom minden tagjának van valamilyen közös alapja, akkor az könnyen kivehető a zárójelekből, és az osztás többi részét egy módosított polinom formájában hagyjuk zárójelben. De leggyakrabban egy tényező nem illik minden monomhoz, csak egy részét érinti. Ebben az esetben a monomok másik részének lehet saját közös alapja. Ilyen esetekben csoportosítási módszert alkalmaznak - sőt, több tényező zárójelbe foglalása, illetve létrehozása összetett kifejezés, amely más módon konvertálható. És végül van egy egész komplexum speciális képletről. Mindegyiket absztrakt számításokkal képezzük a legegyszerűbb tagonkénti szorzás módszerével. A számítások során a kezdeti kifejezésben sok elemet redukálunk, így kis polinomok maradnak. Annak érdekében, hogy ne kelljen minden alkalommal nagy mennyiségű számítást végrehajtani, használhat kész képleteket, azok fordított változatait vagy általánosított következtetéseit.

A gyakorlatban gyakran előfordul, hogy egy gyakorlatban több technikát kell kombinálni, beleértve a polinomiális transzformációk kategóriájába tartozókat is. Vegyünk egy példát. Tényezők binomiális alapján:

A zárójelekből kivesszük a 3-as közös tényezőt:

3x3 - 3x2 = 3x(x2 - y2)

Amint a videón is látható, a második zárójelek a négyzetek különbségét tartalmazzák. Alkalmazzuk az inverz rövidített szorzási képletet, így kapjuk:

3x(x2 - y2) = 3x(x + y)(x - y)

Egy másik példa. Alakítsuk át a forma kifejezését:

18a2 - 48a + 32

A numerikus együtthatókat a kettős zárójelbe állításával csökkentjük:

18a2 - 48a + 32 = 2 (9a2 - 24a + 16)

Ahhoz, hogy erre az esetre megfelelő rövidített szorzóképletet találjunk, kissé módosítani kell a kifejezést úgy, hogy a képletet a feltételekhez illesztjük:

2(9a2-24a + 16) = 2((3a)2-2(3a)4 + (4)2)

Néha egy képlet egy zavaró kifejezésben nem olyan könnyű észrevenni. Alkalmazni kell azokat a módszereket, amelyek segítségével a kifejezést alkotóelemekre bontjuk, vagy képzeletbeli konstrukciópárokat kell hozzáadni, például +x-x. A kifejezés javítása során be kell tartanunk a jelek egymásutániságának, a kifejezés jelentésének megőrzésének szabályait. Ugyanakkor meg kell próbálni a polinomot teljes mértékben összhangba hozni a képlet absztrakt változatával. Példánkban a különbség négyzetének képletét alkalmazzuk:

2((3a)2–2(3a)4 + (4)2) = 2(3a–4)

Végezzünk egy nehezebb gyakorlatot. Tényezőzzük a polinomot:

U3 - 3 év 2 + 6 év - 8

Először is hajtsunk végre egy kényelmes csoportosítást - az első és a negyedik elemet egy csoportba, a másodikat és a harmadikat a másodikba:

Y3 - 3y2 + 6y - 8 = (y3 - 8) - (3y2 - 6y)

Jegyezzük meg, hogy a második zárójelben lévő előjelek megfordultak, mivel a mínuszt eltávolítottuk a kifejezésből. Az első zárójelbe ezt írhatjuk:

(y3 - (2)3) - (3y2 - 6y)

Ez lehetővé teszi a csökkentett szorzási képlet alkalmazását a kockák különbségének meghatározásához:

(y3 - (2)3) - (3y2 - 6y) = (y - 2) (y2 + 2y + 4) - (3y2 - 6y)

A második zárójelekből kivesszük a 3y közös tényezőt, majd a teljes kifejezésből (binomiális) kivesszük a zárójeleket (y - 2), hasonló kifejezéseket adunk:

(y - 2) (y2 + 2y + 4) - (3y2 - 6y) = (y - 2) (y2 + 2y + 4) - 3y (y - 2) =
\u003d (y - 2) (y2 + 2y + 4 - 3y) \u003d (y - 2) (y2 - y + 4)

Általános közelítésben az ilyen feladatok megoldása során létezik egy bizonyos műveleti algoritmus.
1. Közös tényezőket keresünk a teljes kifejezésre;
2. Csoportosítjuk a hasonló monomokat, közös faktorokat keresünk hozzájuk;
3. Igyekszünk zárójelbe tenni a legmegfelelőbb kifejezést;
4. Alkalmazzuk a rövidített szorzás képleteit;
5. Ha egy szakaszban a folyamat nem megy, akkor beírunk egy képzeletbeli -x + x formájú kifejezéspárt, vagy más önkioltó konstrukciót;
6. Hasonló kifejezéseket adunk, csökkentjük a felesleges elemeket

Az algoritmus minden pontja ritkán alkalmazható egy feladatban, de egy adott témakörben bármely feladat megoldásának általános menete követhető adott sorrendben.