Szék " felsőbb matematika»

Készítette: Matveev F.I.

Ellenőrizte: Burlova L.V.

Ulan-Ude.2002

1. Az integrálás numerikus módszerei

2. Simpson-képlet levezetése

3. Geometriai illusztráció

4. Az integrációs lépés kiválasztása

5.Példák

1. Az integrálás numerikus módszerei

A numerikus integráció problémája az integrál kiszámítása

az integrandus értékeinek sorozatán keresztül.

A táblázatban megadott függvényekre numerikus integrációs feladatokat kell megoldani, olyan függvényekre, amelyek integrálját nem veszik figyelembe. elemi függvények stb. Csak egy változó függvényeit vegyük figyelembe.

Az integrálandó függvény helyett integráljuk az interpolációs polinomot. Az integrandus interpolációs polinommal való helyettesítésén alapuló módszerek lehetővé teszik az eredmény pontosságának a polinom paraméterei alapján történő becslését, vagy ezen paraméterek adott pontosságra történő kiválasztását.

A numerikus módszerek feltételesen csoportosíthatók az integráns közelítés módszere szerint.

A Newton-Cotes módszerek a függvény közelítésén alapulnak

fokú polinom. Ennek az osztálynak az algoritmusa csak a polinom mértékében tér el. Általános szabály, hogy a közelítő polinom csomópontjai egyformán összefüggenek.

A spline integrációs módszerek a függvény közelítésen alapulnak

spline-darabonkénti polinom.

A legnagyobb algebrai pontosságú módszerek (Gauss-módszer) speciálisan kiválasztott, nem egyenértékű csomópontokat használnak, amelyek adott (megválasztott) számú csomóponthoz biztosítják a minimális integrációs hibát.

Több integrál számításánál a Monte Carlo módszereket alkalmazzák leggyakrabban, a csomópontokat véletlenszerűen választják ki, a válasz valószínűségi.

teljes hiba csonkolási hiba

kerekítési hiba

A választott módszertől függetlenül a numerikus integráció során ki kell számítani az integrál közelítő értékét és meg kell becsülni a hibát. A hiba az n-szám növekedésével csökken

a szegmens partíciói

. Ez azonban növeli a kerekítési hibát.

a részszakaszokra számított integrálok értékeinek összegzésével.

A csonkítási hiba az integrandus tulajdonságaitól és hosszától függ

részleges vágás.

2. Simpson-képlet levezetése

Ha minden szegmenspárhoz

szerkeszteni egy másodfokú polinomot, majd integrálni és felhasználni az integrál additív tulajdonságát, ekkor megkapjuk a Simpson-képletet. Tekintsük az intervallum integrandusát. Cseréljük le ezt az integrandust egy másodfokú Lagrange interpolációs polinommal, amely egybeesik a pontokban:

Integráljunk

és Simpson-képletnek hívják.

Az integrálhoz kapott

érték egybeesik egy görbe vonalú trapéz területével, amelyet a tengely, az egyenesek és a pontokon áthaladó parabola határol.

Becsüljük meg most az integráció hibáját a Simpson-formulával. Ezt feltételezzük

az intervallumon folytonos deriváltak vannak. Komponálja meg a különbséget

Az átlagérték tétel már mind a két integrálra alkalmazható, hiszen

folyamatos be van kapcsolva, és a függvény nem negatív az első integrációs intervallumon, és nem pozitív a másodikon (vagyis nem változtat előjelet ezen intervallumok mindegyikén). Ezért:

(az átlagérték tételt használtuk, mert

- folyamatos funkció; ).

megkülönböztető

kétszer, majd az átlagérték tételt alkalmazva egy másik kifejezést kapunk , ahol

Mindkét becslésből

ebből következik, hogy a Simpson-képlet legfeljebb háromfokú polinomokra pontos. Írjuk fel a Simpson-képletet például a következő alakban: , .

Ha a szegmens

Az integráció túl nagy, akkor egyenlő részekre osztjuk (feltételezve ), ami után a Simpson-képletet alkalmazzuk minden szomszédos , ,... szegmenspárra, nevezetesen:

Beírjuk a Simpson-képletet Általános nézet.

Felső Matematika Tanszék

Készítette: Matveev F.I.

Ellenőrizte: Burlova L.V.

Ulan-Ude.2002

1. Az integrálás numerikus módszerei

2. Simpson-képlet levezetése

3. Geometriai illusztráció

4. Az integrációs lépés kiválasztása

5.Példák

1. Az integrálás numerikus módszerei

A numerikus integráció problémája az integrál kiszámítása

Az integrandus értékeinek sorozatán keresztül.

Numerikus integrációs feladatokat kell megoldani táblázatban megadott függvényekre, olyan függvényekre, amelyek integráljait nem veszik elemi függvényekbe, és így tovább. Csak egy változó függvényeit vegyük figyelembe.

A numerikus módszerek feltételesen csoportosíthatók az integráns közelítés módszere szerint.

A Newton-Cotes metódusok egy függvény fokos polinom szerinti közelítésén alapulnak. Ennek az osztálynak az algoritmusa csak a polinom mértékében tér el. Általános szabály, hogy a közelítő polinom csomópontjai egyformán összefüggenek.

A spline-integrációs módszerek egy függvény spline-darabonkénti polinommal való közelítésén alapulnak.

Több integrál számításánál a Monte Carlo módszereket alkalmazzák leggyakrabban, a csomópontokat véletlenszerűen választják ki, a válasz valószínűségi.

teljes hiba

csonkítási hiba

kerekítési hiba

a szegmens felosztása . Ez azonban növeli a kerekítési hibát.

a részszakaszokra számított integrálok értékeinek összegzésével.

A csonkítási hiba az integrandus tulajdonságaitól és a részszakasz hosszától függ.

2. Simpson-képlet levezetése

Ha minden szegmenspárhoz megszerkesztünk egy másodfokú polinomot, majd integráljuk és felhasználjuk az integrál additív tulajdonságát, akkor megkapjuk a Simpson-képletet.

Tekintsük az intervallum integrandusát. Cseréljük le ezt az integrandust egy másodfokú Lagrange interpolációs polinommal, amely egybeesik a pontokban:

Integráljunk:

és Simpson-képletnek hívják.

Az integrálra kapott érték egybeesik a görbe vonalú trapéz területével, amelyet a tengely, az egyenesek és a pontokon áthaladó parabola határol.

Becsüljük meg most az integráció hibáját a Simpson-formulával. Feltételezzük, hogy y folytonos deriváltja van az intervallumon . Komponálja meg a különbséget

A középérték tétel már mind a két integrálra alkalmazható, mivel a függvény folytonos be, és a függvény az első integrációs intervallumon nem negatív, a másodikon pedig nem pozitív (azaz nem változtat előjelet ezen intervallumok mindegyike). Ezért:

(az átlagérték tételt használtuk, mivel folytonos függvény; ).

Kétszer differenciálva, majd az átlagérték tételt alkalmazva egy másik kifejezést kapunk:

, ahol

Mindkét becslésből az következik, hogy a Simpson-formula legfeljebb háromfokú polinomokra pontos. A Simpson-képletet például így írjuk:

Ha az integrációs szegmens túl nagy, akkor egyenlő részekre osztjuk (feltéve, hogy ), majd minden szomszédos szegmenspárra , ,..., alkalmazza a Simpson-képletet, nevezetesen:

A Simpson-képletet általános formában írjuk le:

A Simpson-képlet hibája - a negyedik sorrendű módszer:

, (3)

Mivel a Simpson-módszer lehetővé teszi nagy pontosság elérését, ha nem is túl nagy. Ellenkező esetben a másodrendű módszer nagyobb pontosságot adhat.

Például egy függvényre a for trapéz alakja adja meg a pontos eredményt, míg a Simpson-formulával kapjuk

3. Geometriai illusztráció

Egy 2h hosszúságú szakaszon három ponton átmenő parabolát szerkesztünk, . Az OX tengely és az egyenesek közé zárt parabola alatti területet egyenlőnek vesszük az integrállal.

A Simpson-formula alkalmazásának sajátossága, hogy az integrációs szegmens partícióinak száma páros.

Ha a partíciószegmensek száma páratlan, akkor az első három szegmensre egy olyan képletet kell alkalmazni, amely az első négy ponton áthaladó harmadfokú parabolát használ az integrandus közelítéséhez.

(4)

Ez Simpson „háromnyolcas” képlete.

Tetszőleges integrációs intervallum esetén a (4) képlet "folytatása" lehet; a részszakaszok számának háromszorosának kell lennie (pont).

, m=2,3,... (5)

egész rész

Megkaphatja a magasabb rendű Newton-Cotes képleteket:

(6)

Partíciószegmensek száma;

A használt polinom mértéke;

A pont szerinti th-edik sorrend származéka ;

Osztott lépés.

Az 1. táblázat felsorolja az együtthatókat. Minden sor egy réscsomópont-készletnek felel meg egy k-edik fokú polinom létrehozásához. Ha ezt a sémát több halmazhoz szeretné használni (például k=2 és n=6 esetén), akkor „folytatnia kell” az együtthatókat, majd össze kell adnia őket.

Asztal 1:

A trapéz- és Simpson-képletek hibájának becslésére szolgáló algoritmus a következőképpen írható fel: (7),

ahol az integrációs módszertől és az integrandus tulajdonságaitól függő együttható;

h - integrációs lépés;

p a metódus sorrendje.

A Runge-szabály a hiba kiszámítására szolgál az integrál kétszeres kiszámításával h és kh lépésekkel.

(8) - utólagos becslés. Ekkor Iref.= +Ro (9), az integrál finomított értéke.

Ha a metódus sorrendje ismeretlen, akkor az I-t harmadszor is ki kell számítani -os lépésekben, azaz:

három egyenletrendszerből:

tól től ismeretlen I,Aés p kapjuk:

A (10)-ből az következik (11)

Így a szükséges számú alkalommal használt kettős számítás módszere lehetővé teszi az integrál adott fokú pontossággal történő kiszámítását. A kívánt számú partíció kiválasztása automatikusan megtörténik. Ebben az esetben a megfelelő integrációs metódusok alprogramjainak többszörös hívása is lehetséges anélkül, hogy ezen metódusok algoritmusait megváltoztatnánk. Az egyenlő távolságra lévő csomópontokat használó módszereknél azonban lehetőség van az algoritmusok módosítására és az integrandus számításainak felére csökkentésére az integrációs intervallum korábbi többszörös felosztása során felhalmozott integrálösszegek felhasználásával. Az integrál és a trapéz módszerrel kiszámított, és lépésekkel számított két közelítő értékét az összefüggés kapcsolja össze:

Hasonlóképpen, az és lépéses képlettel számított integrálokra az összefüggések érvényesek:

(13)

4. Az integrációs lépés kiválasztása

Az integrációs lépés kiválasztásához használhatja a maradék tag kifejezését. Vegyük például a Simpson-képlet maradék tagját:

Ha ê ê, akkor ê ê .

Tekintettel az integrációs módszer e pontosságára, az utolsó egyenlőtlenségből határozzuk meg a megfelelő lépést.

, .

Ez a módszer azonban értékelést igényel (ami a gyakorlatban nem mindig lehetséges). Ezért a pontossági becslés meghatározására más módszereket alkalmaznak, amelyek a számítások során lehetővé teszik a kívánt h lépés kiválasztását.

Vessünk egy pillantást ezen módszerek egyikére. Legyen

ahol a lépéssel integráló hozzávetőleges értéke. Csökkentse a lépést felére úgy, hogy a szakaszt két egyenlő részre osztja, és ().

Tegyük fel, hogy ez nem változik túl gyorsan, így majdnem állandó: . Azután És , ahol , azaz .

Ebből arra következtethetünk, hogy ha , vagyis ha , , és a szükséges pontosság, akkor a lépés alkalmas az integrál kellő pontosságú kiszámítására. Ha , akkor a számítás megismétlődik egy lépéssel, majd összehasonlítjuk, és így tovább. Ezt a szabályt Runge-szabálynak nevezik.

A Runge-szabály alkalmazásakor azonban figyelembe kell venni a számítási hiba nagyságát: csökkenéssel az integrál számításának abszolút hibája nő (a függés fordítottan arányos), és kellően kis értékek esetén , nagyobbnak bizonyulhat, mint a módszer hibája. Ha meghaladja a -t, akkor a Runge szabály nem alkalmazható erre a lépésre, és nem érhető el a kívánt pontosság. Ilyen esetekben növelni kell az értékét.

A Runge-szabály levezetésénél lényegében azt a feltételezést használtad, hogy . Ha csak egy értéktáblázat van, akkor az "állandóság" ellenőrzése közvetlenül a táblázat szerint elvégezhető. Különböző részek integrálási intervallum, a tulajdonságoktól függően csökken az integrandus számításainak száma.

Egy másik séma az integrál értékeinek finomítására az Eitnen folyamat. Az integrál kiszámítása lépésekkel, és . Értékszámítás. Azután (14).

A következő érték a Simpson-módszer pontosságának mértéke:

5. Példák

1. példa Számítsa ki az integrált a Simpson-képlet segítségével, ha a táblázat megadja. Becsülje meg a hibát.

3. táblázat

Megoldás: Számítsa ki az (1) képlettel a -ra és integrálra.

Runge szabálya szerint az Elfogadást kapjuk.

2. példa Integrál kiszámítása .

Megoldás: Van . Ezért h==0,1. A számítási eredményeket a 4. táblázat tartalmazza.

4. táblázat

Az integrál kiszámítása a Simpson-képlet segítségével

y0=1,00000; -0,329573£3.

A Simpson-módszer hibájára vonatkozó becslések: 0,0000017 GBP =0,1 esetén, 0,0000002 GBP =0,05 esetén.

Annak érdekében, hogy a kerekítési hiba ne torzítsa el a Simpson-képlet ilyen pontos eredményét, minden számítást hat tizedesjegy pontossággal végeztünk.

Végső eredmények:

Ahhoz, hogy a trapéz módszerrel egy határozott integrált találjunk, egy görbe vonalú trapéz területét szintén fel kell osztani n-re téglalap alakú trapéz h magasságokkal és y 1 , y 2 , y 3 ,..y n alapokkal, ahol n a téglalap alakú trapéz száma. Az integrál numerikusan egyenlő lesz a téglalap alakú trapézok területének összegével (4. ábra).

Rizs. 4

n - a felosztások száma

A trapézképlet hibáját a szám becsüli meg

A trapézképlet hibája gyorsabban csökken a növekedéssel, mint a téglalapképlet hibája. Ezért a trapézformula lehetővé teszi, hogy nagyobb pontosságot érjen el, mint a téglalap módszer.

Simpson formula

Ha minden szegmenspárhoz megszerkesztünk egy másodfokú polinomot, majd integráljuk a szegmensre, és felhasználjuk az integrál additív tulajdonságát, akkor megkapjuk a Simpson-képletet.

Simpson módszerében a határozott integrál kiszámítására a teljes integrációs intervallumot egyenlő hosszúságú h=(b-a)/n részintervallumokra osztják. A partíciószegmensek száma páros szám. Ezután minden szomszédos részintervallum páron az f(x) részintegrál függvényt egy másodfokú Lagrange-polinomra cseréljük (5. ábra).

Rizs. öt Az y=f(x) függvényt a szakaszon egy másodrendű polinom helyettesíti

Tekintsük az intervallum integrandusát. Cseréljük le ezt az integrandust egy másodfokú Lagrange interpolációs polinomra, amely egybeesik y=-val a pontokban:

Integráljunk az intervallumra:

Változóváltást vezetünk be:

Tekintettel a helyettesítési képletekre,

Az integráció után megkapjuk a Simpson-képletet:

Az integrálra kapott érték egybeesik egy görbe vonalú trapéz területével, amelyet egy tengely, egyenesek és egy pontokon átmenő parabola határol. Egy szakaszon a Simpson-képlet így fog kinézni:

A parabolaképletben az f (x) függvény értékének páratlan x 1, x 3, ..., x 2n-1 osztási pontjaiban az együtthatója 4, páros x 2, x 4, ... pontokban. , x 2n-2 - 2. együttható és két határpontnál x 0 =a, x n =b - 1. együttható.

A Simpson-képlet geometriai jelentése: egy görbe vonalú trapéz területét az f(x) függvény grafikonja alatt egy szakaszon megközelítőleg helyettesítjük a parabolák alatti ábrák területének összegével.

Ha az f(x) függvénynek van negyedrendű folytonos deriváltja, akkor a Simpson-képlet hibájának abszolút értéke nem több, mint

ahol M- legmagasabb érték a szegmensen. Mivel n 4 gyorsabban növekszik, mint n 2, a Simpson-képlet hibája sokkal gyorsabban csökken n növekedésével, mint a trapézformula hibája.

Kiszámoljuk az integrált

Ez az integrál könnyen kiszámítható:

Vegyünk n-t 10-zel, h=0,1, számítsuk ki az integrandus értékeit a partíciós pontokban, valamint a félegész pontokat.

A középső téglalapok képlete szerint I egyenes = 0,785606 (a hiba 0,027%), a trapézképlet szerint I trap = 0,784981 (a hiba kb. 0,054. A jobb és bal téglalapok módszere esetén a a hiba több mint 3%.

A közelítő képletek pontosságának összehasonlításához még egyszer kiszámítjuk az integrált

de most a Simpson-képlet szerint n=4. A szegmenst négy egyenlő részre osztjuk x 0 \u003d 0, x 1 \u003d 1/4, x 2 \u003d 1/2, x 3 \u003d 3/4, x 4 \u003d 1 pontokkal, és megközelítőleg kiszámítjuk az értékeket az f (x) \u003d 1 / ( 1+x) függvényből ezeken a pontokon: y 0 = 1,0000, y 1 = 0,8000, y 2 = 0,6667, y 3 = 0,5714, y 4 = 0,5000.

Simpson képletével azt kapjuk

Becsüljük meg a kapott eredmény hibáját. Az f(x)=1/(1+x) integrandusra a következőt kapjuk: f (4) (x)=24/(1+x) 5 , amiből az következik, hogy a szegmensen. Ezért vehetünk M=24-et, és az eredmény hiba nem haladja meg a 24/(2880 4 4)=0,0004 értéket. A közelítő értéket a pontos értékkel összehasonlítva arra a következtetésre jutunk, hogy a Simpson-formulával kapott eredmény abszolút hibája kisebb, mint 0,00011. Ez összhangban van a fent megadott hibabecsléssel, és emellett azt jelzi, hogy a Simpson-képlet sokkal pontosabb, mint a trapézformula. Ezért a határozott integrálok közelítő kiszámításához a Simpson-képletet gyakrabban használják, mint a trapézképletet.

A mű szövege képek és képletek nélkül kerül elhelyezésre.
Teljes verzió munka elérhető a „Munkafájlok” fülön PDF formátumban

Bevezetés

Már 10. osztályban azon gondolkodom, hogy kell-e majd profilvizsgáznom matematikából. Döntés USE hozzárendeléseket, a poliéderek és a forradalomtestek térfogatának megtalálására vonatkozó feladatokkal találkoztam, bár ezek a 11. osztályos programból való feladatok. Érdekelt ez a kérdés, a sokszínűség miatt tudtam meg geometriai formák testek, rengeteg képlet létezik a területek és a térfogat megtalálására (minden alaknak és testnek megvan a maga képlete). Figyelembe véve a geometriai képleteket, meg voltam győződve arról, hogy rengeteg képlet kapcsolódik az ábrák területéhez és térfogatához. A lapos figurák területét tekintve több mint tizenkét, a térbeli testek térfogatát tekintve pedig több mint tíz ilyen képlet létezik.

És eltűnődtem kérdés: létezik ilyen univerzális képlet a geometriai formák és testek területének és térfogatának meghatározására?

A projekt témájának tekintem ide vonatkozó nemcsak a diákok, hanem a felnőttek körében is, mert az iskolai tananyag idővel feledésbe merül, és kevesen tudják, hogy létezik egy ilyen képlet, amely egyesíti az összes többi számtalan és nehezen megjegyezhető képletet a mennyiség megtalálásához.

Probléma

A geometria tanításába be kell vezetni egy univerzális képletet, amely lehetővé teszi a helyettesítést nagyszámú képletek síkfigurák területeire és tértestek térfogataira.

Hipotézis

A XYIII. században Thomas Simpson angol matematikus képletet vezetett le a lapos alakzatok és a térbeli testek bizonyos területeinek megtalálására az alsó, felső és középső alapterületek kiszámításával.

Feltételezem, hogy ez az univerzális képlet lehetővé teszi az összes fenti képlet helyettesítését, és könnyen megjegyezhetővé teszi őket.

Célkitűzés: annak bizonyítására, hogy az univerzális Simpson-képlet helyettesítheti az összes tanult terület- és térfogatképletet az iskolai geometria-tanfolyamon, és nemcsak a gyakorlatban, hanem a vizsgákon is használható, beleértve a vizsgát is.

Munkafeladatok:

A sztereometriai geometriai testek főbb jellemzőinek tanulmányozása: prizmák, gúlák, kúpok, hengerek, golyók;

Tekintse át a témában elérhető szakirodalmat.

Az univerzális képlet segítségével állítson elő képleteket a területekre és a térfogatokra minden alakra és testre.

Hasonlítsa össze a kapott képleteket a tankönyvben felkínált képletekkel!

Ismertesse meg a középiskolásokkal ezt a képletet, és egy kérdőív segítségével derítse ki, hogy kényelmes-e használni a vizsgákra való felkészülés során.

Munkám gyakorlati jelentősége: A munka eredményei felhasználhatók az iskolai gyakorlatban, nevezetesen az osztályteremben geometriában és algebrában , a vizsga előkészítésében és lebonyolításában.

1. fejezet Rövid jellemzők geometriai testek tulajdonságai

Az iskolai geometria tantárgy planimetriára és szilárd geometriára oszlik. 7-9. évfolyamon a figurák tulajdonságait tanulmányoztam a síkon, beleértve a területük megtalálására szolgáló képleteket is (1-2. melléklet).

A 10. évfolyamon kezdtem el tanulmányozni a geometria-sztereometria metszetet, melyben az alakok térbeli tulajdonságait vizsgálják. A munka megírásakor a geometriai testeket és azok felületeit vettem figyelembe. A térfogati geometriai testeket poliéderekre és forgástestekre osztják.

Poliéder- sokszögekből álló és néhányat határoló felület geometrikus test.

A forradalom szilárd részei- tengelye körüli elforgatással kapott geometriai testek. Forgástest: henger, kúp, golyó.

A poliéderek domborúak vagy nem domborúak. Konvex poliéder - az egyes felületek síkjának egyik oldalán található. Nem domború poliéder - legalább egy lap síkjának mindkét oldalán található.

Piramis

Paralelepipedon

2. fejezet

Thomas Simpson(1710. augusztus 20. – 1761. május 14.) – angol matematikus. 1746-ban Simpsont a Londoni Királyi Társaság, korábban pedig az 1717-ben Londonban alapított Matematikai Társaság tagjává választották. 1758-ban a Svéd Királyi Tudományos Akadémia külföldi tagjává választották. A woolwichi Királyi Katonai Akadémia professzoraként kinevezett Simpson elemi matematikai tankönyveket állított össze. A geometria speciális tanszékein elemi geometriával, szabályos poliéderekkel, felület-, testtérfogatmérésekkel, végül vegyes feladatokkal megoldott legnagyobb és legkisebb mennyiségû feladatokat vizsgálják.

Egy csodálatos képlet létezik; sőt: nem csak henger, teljes kúp és csonkakúp térfogatának számítására alkalmas, hanem mindenféle prizmára, teli- és csonkagúlára, sőt golyóra is, valamint a gömbfelületek számítására is alkalmas. sík figurák. Íme ez a képlet, amelyet a matematika Simpson-képletként ismer:

ahol b 1 - az alsó alap területe (hossza).

b 2 - a középső alap területe (hossza).

b 3 - a felső alap területe (hossza).

2.1 A Simpson-képlet alkalmazása a síkfigurák területére vonatkozó képletek származtatására.

Univerzális képletünk b 1 \u003d b 2 \u003d b 3, akkor kapjuk:

Válasz: S \u003d hb 1

Kimenet. Valójában a paralelogramma területe megegyezik az alap és a magasság szorzatával.

Univerzális formula.

Mivel az ABCD egy trapéz, ezért b 2 a középvonala, ami azt jelenti

Akkor kapjuk:

Kimenet. Valójában a trapéz területe a magasság két alap szorzatának fele.

A háromszög, téglalap, négyzet és rombusz területére vonatkozó képletekhez hasonló bizonyításokat végezve (3-4. melléklet) arra a következtetésre jutottam, hogy az univerzális Simpson-képlet alkalmas olyan lapos alakzatok területeinek kiszámítására, mint: paralelogramma. , trapéz, háromszög, négyzet, rombusz, téglalap.

2.2. A Simpson-képlet alkalmazása a térbeli testek térfogatának képleteinek levezetésére.

Mivel b 1 \u003d b 2 \u003d b 3, akkor kapjuk:

Válasz: V=b 1 óra

A geometria tankönyvben javasolt bizonyítást szerk. L.S. Atanasyan a 6. függelékben.

Kimenet. Valójában a prizma térfogata megegyezik az alapterület és a magasság szorzatával. Hasonlóképpen elvégzik a henger térfogatára vonatkozó képlet származtatásának bizonyítását (5. függelék)

Megoldás: Mivel b 1 \u003d 0, de, akkor kapjuk:

A geometria tankönyvben javasolt bizonyítást szerk. L.S. Atanasyan a 9. függelékben.

Kimenet. Valójában egy kúp térfogata megegyezik az alapterület és a magasság szorzatának egyharmadával. Hasonlóképpen a gúla térfogatára vonatkozó képlet származtatásának bizonyítását is elvégezzük (Függelék 5)

Akkor kapjuk:

Kimenet. A származtatott képlet teljesen egybeesik a tankönyvben javasolt képlettel

6. feladat. A labda térfogata.

Adott: labda

b 3 - a felső alap területe

Keresés: Vball.

(11. ábra. Labda)

Mivel b 1 \u003d b 3 \u003d 0, h \u003d 2R

Akkor kapjuk:

A geometria tankönyvben javasolt bizonyítást szerk. L.S. Atanasyan a 10. függelékben

Következtetés: A 11. osztályban vizsgált összes térbeli test térfogatának képlete is könnyen levezethető az univerzális Simpson-képlet segítségével.

2.3 A képlet gyakorlati alkalmazása

Kutatásom következő lépése az gyakorlati használat(Lásd a 11-12. mellékletet)

Kimenet. A geometriai testek minden modelljének térfogata, kétféleképpen találva, egyenlőnek bizonyult. Simpson képlete univerzális olyan testekre, mint a piramis, henger, gömb, kocka és kúp.

Van egy képletem, amellyel megközelítőleg kiszámíthatja egy fatörzs térfogatát anélkül, hogy megkérdezné, milyen geometriai test: henger, teljes kúp vagy csonka kúp. A különböző fafajták sűrűségének ismeretében kiszámíthatja a fa súlyát a szőlőn. Ezt a problémát úgy oldottam meg, hogy a szár térfogatát egy olyan henger térfogataként számoltam ki, amelynek alapátmérője megegyezik a szár átmérőjével a hosszának közepén: az eredmény azonban alulbecsült, esetenként 12%-kal. Nagy hiba nélkül feltehetjük egy fa gyökerénél lévő térfogatát egy azonos magasságú henger térfogatának felének, amelynek átmérője megegyezik a fa mellmagasságbeli átmérőjével.

A számítások elvégzése után az általunk korábban ismert képletek alapján kiszámoltam a fatörzs térfogatát a szőlőn (lásd 13. melléklet)

Kimenet. Az egész tanulmányból arra lehet következtetni, hogy van egy képletem, amellyel megközelítőleg kiszámíthatja a fa törzsének térfogatát, és a különféle fafajták sűrűségének ismeretében meghatározhatja a fa súlyát a szőlőn.

3. fejezet

3.1 Kutatás és felmérés

A 11. évfolyam tanulói körében vizsgálatot végeztem (lásd 13. sz. melléklet).

A vizsgálat célja: annak meghatározása, hogy a tanulók hány képletet tudnak 10 perc alatt ismétlés nélkül reprodukálni, i.e. "maradék" képletek mennyisége.

Az eredmények a következők voltak (lásd a 14. mellékletet):

A legtöbb reprodukált képlet 41, a legkisebb 5. Tekintettel arra, hogy a képletek száma korlátlan idő alatt elérheti az 500-at, arra a következtetésre jutottam, hogy a tanulók nem emlékeznek az iskolában tanult képletekre. A reprodukált képletek az összes vizsgált képletnek csak 8,2%-át teszik ki. A diákok leggyakrabban algebrai képleteket reprodukáltak (trigonometriai képletek, logaritmikus képletek, rövidített szorzóképletek, gyökképlet másodfokú egyenlet, származékai); geometriában (síkfigurák területeinek képletei, térbeli testek egyes kötetei); több képlet a fizikában (formula kinetikus energia, gravitáció, súrlódás és MKT); informatikában () Természetes volt, mert. A matematikában több képlet létezik, mint bármely más tudományban.

Az eredmények megtekintése után úgy döntöttem, hogy meghatározom az ilyen alacsony eredmény okait. A 11. osztályos tanulók körében felmérést végeztem (lásd 14-15. melléklet), amelyben az alábbi kérdésekre kértem őket:

kérdőíves kérdések.

Ön szerint hány képletet kell tudnia egy végzősnek?

A) kavargás

B) megértés

B) asszociációs módszer

D) egyéb

Az eredmények a következők voltak (lásd a 15. mellékletet).

1. kérdés. 60-250 képlet

2. kérdés. A kapott válaszokból arra következtethetünk, hogy a 11. osztályos tanulók képletek memorizálása során igyekeznek megérteni azokat, illetve a memorizálást alkalmazzák.

3. kérdés A hallgatók véleménye a ez a probléma szétszórtan, bár az ábra azt mutatja, hogy többnyire igennel válaszoltak, ti. A tanulók úgy vélik, hogy a megjegyzendő képletek száma megfelel az átlagos tanuló memóriaszintjének.

4. kérdés.Szinte minden 11. osztályos diák szeretne a sok képlet helyett csak egy univerzális képletet használni.

3.2 Tesztelés

Most már tudom, hogy Simpson képlete valóban univerzális, és teljesen lehetséges alkalmazni az életben. De tényleg szükséges? A kérdés megválaszolásához a 11. osztályban bemutattam a képletet, majd teszteltem (lásd 16-17. melléklet), és a következő eredményeket kaptam:

1. teszt

23%-uk elismerte, hogy nehéz megjegyezni az összes képletet.

17%-uk azt mondta, hogy nem nehéz megtanulniuk az összes képletet, beleértve a Simpson-képletet is.

A diákok 60%-a Simpson képletét használta egyes geometriai testekre, és ez segítette őket a feladatok megoldásában.

2. teszt

100%-ban azt állítják, hogy Simpson képlete könnyen megjegyezhető.

0% vallotta be, hogy nehezen emlékszik rá.

3. teszt

76%-a alkalmazza ezt a képletet a jövőben.

24% elismerte, hogy valószínűleg nincs rá szüksége.

4. teszt

82%-uk úgy gondolja, hogy Simpson képletét bele kellene foglalni iskolai tananyag.

0% gondolja úgy, hogy a képlet nem szerepelhet az iskolai tantervben.

18%-uk szerint a képletnek szerepelnie kell az iskolai tantervben, de csak a szakos órákon.

5. teszt

35% úgy gondolja, hogy sokkal könnyebb megjegyezni egy képletet több geometriai test térfogatának meghatározásához.

59%-uk úgy gondolja, hogy minden képletre emlékezni kell, beleértve a Simpson-képletet is, mert soha nem tudhatod, milyen feltételeket kell megadni.

6% gondolja úgy, hogy elég csak az iskolai tantervben szereplő képletekre emlékezni.

Ez a képlet a feladatok megoldásában is alkalmazható, beleértve a vizsgát is . Példákat hozok azokra a feladatokra, amelyeket a 11. osztályban adtak fel, és amelyeket a tanulók nehézség nélkül megoldottak:

1. feladat 4 cm alapsugarú hengerbe egy szabályos hatszögletű, 18 cm magas prizma van beírva. Keresse meg a prizma térfogatát.

2. feladat Hengerbe egy szabályos négyszögletű gúla van beírva, melynek magassága 24 cm, alapoldala 5 cm. Keresse meg a henger térfogatát.

Kimenet:

Következtetés

Az iskoláztatás során a tanulóknak rengeteg képletet kell tudniuk különböző tantárgyakból. Az általam végzett felmérés azt mutatta, hogy nem minden diák emlékszik mindezekre a képletekre. Egy problémába ütköztem: be kell vezetni egy univerzális képletet a geometria tanításába, amely lehetővé teszi a térbeli testek síkfiguráinak területeire és térfogataira vonatkozó nagyszámú képlet helyettesítését, azaz sokféle célra alkalmas képletet, különféle funkciókat lát el.

Feltételeztem, hogy Thomas Simpson angol matematikus képlete

lehetővé teszi, hogy az ábrák területére és a testek térfogatára vonatkozó képleteket egyetlen képlettel helyettesítse.

Célul tűztem ki magamnak: bebizonyítani, hogy az univerzális Simpson-képlet helyettesítheti az összes vizsgált terület- és térfogatképletet az iskolai geometriatanfolyamon. Ezt a célt több feladatban is kitértem.

Munkám eredményeként meggyőződtem arról, hogy a Simpson-formula segítségével egyszerűen és gyorsan bizonyíthatunk tételeket testek térfogatára határozott integrál.

A képletek memorizálásának és származtatásának megkönnyítése érdekében azt javaslom, hogy az „Ábrák területe” téma tanulmányozása előtt a tanár mutassa be a hallgatókat a Simpson-képletbe, és ajánlja fel a tanulmányozott képletek önálló származtatását. A tankönyvben felkínált bizonyítást a tanár felhasználhatja az óra kiegészítő anyagaként vagy házi feladatként.

Most, az erdőben sétálva, valószínűleg érdekelni fogja bármely fa térfogatának meghatározása. Számold ki, mennyi van benne köbméter fát, és egyidejűleg mérje meg - hogy megtudja, lehetséges-e például egy ilyen csomagtartót egy kocsin elvinni.

Van egy képletem, amellyel megközelítőleg kiszámíthatja egy fatörzs térfogatát anélkül, hogy megkérdezné, milyen geometriai test: henger, teljes kúp vagy csonka kúp.

Hasznosnak tartom a munkámat, mert Levezettem az iskolában tanult területekre és mennyiségekre vonatkozó összes képletet.

A felmérés eredményei alapján meggyőződtem arról, hogy a Simpson-képlet elég könnyen megjegyezhető, és be kell építeni az iskolai tantervbe.

Ez a képlet vizsgákon is használható, beleértve a vizsgát is.

A felhasznált irodalom listája:

Ja.I. Perelman. Szórakoztató algebra. Érdekes geometria. - M., "AST", 1999.

CD ROM. Cirill és Metód nagy enciklopédiája, 2002.

L.S. Atanasyan et al., Geometry 10-11. Tankönyv oktatási intézmények számára, - M., "Prosveshchenie", 2002.

https://ru.wikipedia.org/wiki

https://studfiles.net/preview/5433881/page:10/

https://studopedia.ru/6_126004_formula-simpsona.html

https://vuzlit.ru/940376/vyvod_formuly_simpsona

1. melléklet

Geometriai testek tulajdonságainak rövid jellemzői

Háromszög

2. melléklet

Téglalap

3. függelék

b 3 =0, mivel a felső alap egy pont.

Mivel b 2 - háromszögben van középső vonal, akkor ezt kapjuk:

Kimenet. Valójában egy háromszög területe fele az alap és a magasság szorzatának.

Megoldás: - univerzális képlet.

Mivel az ABCD négyzet, akkor b 1 \u003d b 2 \u003d b 3 \u003d h, akkor kapjuk

4. függelék

Kimenet. Valójában egy négyzet területe egyenlő az oldalának négyzetével.

Megoldás: - univerzális képlet.

Mivel az ABCD egy téglalap, akkor b 1 \u003d b 2 \u003d b 3, akkor kapjuk:

Válasz: S=hb 1 .

Kimenet. Valójában egy téglalap területe egyenlő két szomszédos oldallal.

Megoldás: - univerzális képlet.

b 1 \u003d b 2 \u003d b 3, akkor kapjuk:

5. melléklet

2. feladat A henger térfogata.

Adott: Henger

b 1 - az alsó alap területe:

b 2 - átlagos szelvényterület:

b 3 - a felső alap területe.

Keresse: Vcylinder

(22. ábra. Henger)

Mivel b 1 \u003d b 2 \u003d b 3, akkor kapjuk:

Válasz: V=b 1 óra

A geometria tankönyvben javasolt bizonyítást szerk. L.S. Atanasyan a 7. függelékben.

Kimenet. Valójában egy henger térfogata megegyezik az alapterület és a magasság szorzatával.

Megoldás: Mivel b 3 \u003d 0, de, akkor kapjuk:

Válasz: A geometria tankönyvben javasolt bizonyítást szerk. L.S. Atanasyan a 8. függelékben.

6. függelék

7. függelék

8. függelék

9. függelék

10. számú melléklet

11. függelék

1. számú feladat. A kocka modell térfogatát a szokásos képlet segítségével számítjuk ki. Ehhez megmérjük a kocka modell szélét: a \u003d 10,5 cm. V \u003d a 3 \u003d 1157,625 cm 3

2. számú feladat. Egy szabályos hatszögletű gúla modelljének térfogatát a szokásos képlettel számítjuk ki. Ehhez megmérjük a modell magasságát h = 17,2 cm és az alap oldalát a = 6,5 cm.

3. számú feladat. A hengermodell térfogatát a szokásos képlet segítségével számítjuk ki. Ehhez megmérjük a modell magasságát h = 20,4 cm és az alap sugarát R = 14 cm.

12. függelék

	Kiszámítjuk S \u003d π * R 2 \u003d 3,14 * 14 2 cm 2, V = S * h = 3,14 * 196 * 20,4 \u003d 12554,976 cm 3 A modell térfogatát a Simpson-képlet segítségével számítjuk ki V = h/6 (S alsó alap + S felső alap + 4S középső szakasz):
A felső, alsó alap és a középső rész területe egyenlő egymással S \u003d π * R 2 \u003d 3,14 * 14 2 \u003d 615,44 cm 2, h \u003d 20,4 cm. V = 20,4 / 6 * (20,4 + 20,4) \u003d 12554,976 cm 3
4. számú feladat. A kúpmodell térfogatát a szokásos képlet segítségével számítjuk ki. Ehhez megmérjük a modell magasságát h = 21 cm és az alap sugarát R = 6 cm.
5. számú feladat. A labdamodell térfogatát a szokásos képlet segítségével számítjuk ki. Ehhez megmérjük a golyó sugarát R = 7 cm.

13. melléklet

Nyírfa számítás:

Számítás nyárfa esetében.

Számítás fenyőre.

14. függelék

"A maradék "képletek" hatályának meghatározása" című tanulmány eredményei

1. diagram A "maradék" képletek számának meghatározása.

2. ábra. Tantárgyak, amelyekhez képleteket jeleztünk.

15. melléklet

Milyen módszert használ a képletek memorizálására?

A) kavargás

B) megértés

B) asszociációs módszer

D) egyéb

3. ábra Képletek memorizálásának módszerei

Gondolja, hogy a megjegyzendő képletek száma megfelel az átlagos tanuló memóriaszintjének?

4. ábra: A képletek számának megfelelősége az átlagos tanuló memóriaszintjének

Gondolja, hogy ahhoz, hogy sok képletet jobban megjegyezzen, egyetlen univerzális képletet kell használnia?

5. diagram Egy univerzális képlet szükségessége

16. melléklet

17. melléklet

A Simpson-képlet megalkotásához először a következő problémát vegyük figyelembe: számítsuk ki egy görbe vonalú trapéz S területét, amelyet felülről az y parabola grafikonja \u003d Ax 2 + Bx + C, balról az x egyenes \u003d határol. - h, jobbról az x \u003d h egyenessel és alulról a [-h szegmenssel; h]. Hagyja, hogy a parabola három ponton menjen át (8. ábra): D (-h; y 0) E (0; y 1) és F (h; y 2), és x 2 - x 1 = x 1 - x 0 = h . Következésképpen,

x 1 \u003d x 0 + h \u003d 0; x 2 = x 0 + 2 óra.

Ekkor az S terület egyenlő az integrállal:

Ezt a területet h, y 0, y 1 és y 2 értékekkel fejezzük ki. Ehhez kiszámítjuk az A, B, C parabola együtthatóit. Abból a feltételből, hogy a parabola áthalad a D, E és F pontokon, megkapjuk:

Ezt a rendszert megoldva kapjuk: C = y 1 ; A=

Ezeket az A és C értékeket (3) behelyettesítve megkapjuk a kívánt területet

Térjünk most rá az integrál kiszámítására szolgáló Simpson-képlet levezetésére

Ehhez az integrációs szakaszt 2n egyenlő hosszúságú részre osztjuk

Az osztási pontokon (4. ábra) a \u003d x 0, x 1, x 2, ..., x 2n-2, x 2n-1, x 2n \u003d b,

Kiszámoljuk az f integrandus értékeit: y 0, y 1, y 2, ...,y 2n-2, y 2n-1, y 2n, de yi = f(xi), xi = a + ih (i = 0, 1, 2,...,2n).

A szakaszon az integrandust az (x 0; y 0), (x 1; y 1) és (x 2; y 2) pontokon átmenő parabolára cseréljük, és az integrál közelítő értékét az x-ből számítjuk ki. 0-tól x 2-ig a (4) képletet használjuk. Ezután (az árnyékolt terület a 4. ábrán):

Hasonlóan találjuk:

................................................

A kapott egyenlőségeket összeadva a következőt kapjuk:

Az (5) képletet ún általánosított Simpson-képlet vagy parabola képlet, hiszen a származtatáskor az integrandus grafikonját egy 2h hosszúságú részszakaszon egy parabolaív helyettesíti.

Munkaköri megbízás:

1. A tanár utasítása szerint, vagy lehetőség szerint táblázatok 4 feladat (ld. Melléklet), hogy a feltételeket - az integrandus, az integráció határait.

2. Készítse el a program folyamatábráját, és egy olyan programot, amelynek:

Kérje meg a határozott integrál számításának pontosságát, az integráció alsó és felső határát;

Számítsa ki az adott integrált a következő módszerekkel: 1,4,7, 10… opciók esetén - jobb, 2,5,8,… - átlag; a 2,5,8,… opciókhoz - bal téglalapok. Adja meg az integrációs tartomány azon partícióinak számát, amelyeknél a megadott számítási pontosság elérhető;

Számítsa ki az adott integrált trapéz módszerrel (páros opciók esetén) és Simpson módszerével (páratlan opciók esetén).

Adja meg az integrációs tartomány azon partícióinak számát, amelyeknél a megadott számítási pontosság elérhető;

Adja ki a vezérlőfüggvény értékeit az argumentum adott értékéhez, és hasonlítsa össze az integrál számított értékeivel. Következtetni.

tesztkérdések

1. Mi az a határozott integrál?

2. Miért alkalmazzák az analitikai módszerek mellett a numerikus módszereket a határozott integrálok számítására?

3. Mi a lényege a határozott integrálszámítás főbb numerikus módszereinek?

4. A partíciók számának befolyása a határozott integrál numerikus módszerekkel történő kiszámításának pontosságára.

5. Hogyan számítsuk ki az integrált bármilyen módszerrel adott pontossággal?