Az integrációs szakaszt páros számú egyenlő hosszúságú elemi szegmensre osztjuk fel lépéses pontokkal
(
). Minden szegmensben
Közelítjük az integrandust egy másodfokú polinommal, amely ezen a szakaszon az alakja
. vegye észre, az én csak páratlan értékeket vesz fel 1-től
. Így az integrandus négyzetes polinomok halmazával vagy másodfokú spline-nal közelíthető.

Kiszámítunk egy tetszőleges integrált a jobb oldalról.

Esély ,És az interpolációs feltételből, vagyis az egyenletekből kereshető

Vegye figyelembe, hogy a lényeg a szakasz felezőpontja
, Következésképpen
. Helyettesítse ezt a kifejezést a második interpolációs egyenletbe:

Szorozzuk meg ezt az egyenletet 4-gyel, és adjuk hozzá a többihez:

Az utolsó kifejezés pontosan egybeesik az (5.1) képlet szögletes zárójelben lévő kifejezésével. Következésképpen,

Ami azt jelenti

Így Simpson képlete a következő:

Kvadratúra képletek hibájának becslése.

Becsüljük meg a hibát, ha az átlagos téglalapok módszerét használjuk, feltéve, hogy a függvény
végtelenül differenciálható.

Bővítsük ki az integrandust
egy Taylor-sorozatban a pont környékén ,
.

Az utolsó sor csak páratlan hatványokat tartalmaz x. Azután

Egy kis lépéssel h a fő hozzájárulás a hibához R hozzájárul majd az értékhez
, amelyet a hiba vezető kifejezésének neveznek R.

Alkalmazzuk a függvényre a középső téglalapok módszerét
a szegmensen
lépésről lépésre h. Azután

Így,
, ahol
állandó érték. Hiba a közelítő egyenlőségben
-hoz képest magasabb rendű végtelenül kicsi mennyiség nál nél
.

Lépésfokozat h, ami arányos a maradékkal R, az integrációs módszer pontossági sorrendjének nevezzük. A középső téglalapok módszere másodrendű pontossággal rendelkezik.

Becsüljük meg a hibát a trapéz módszer alkalmazásakor is azzal a feltételezéssel, hogy a függvény
végtelenül differenciálható.

Bővítsük ki az integrandust egy Taylor sorozatban a pont közelében (
).

Vezető hibakifejezés R:

A bal oldali doboz módszer alkalmazásával egy függvényre
a szegmensen
lépésről lépésre h, kapunk

Tehát a trapéz módszernek is van másodrendű pontossága.

Hasonlóképpen kimutatható, hogy a bal és jobb téglalapok módszerei az első, a Simpson-féle módszer a negyedik pontossági sorrenddel rendelkeznek.

17. előadás

„Runge gyakorlati hibaértékelési szabálya.

Az adaptív algoritmusok fogalma.

A numerikus integráció speciális esetei.

sejtes módszer. Több integrál számítása.»

Runge gyakorlati hibabecslési szabálya.

Valamelyik integrációs módszernek legyen a pontossági sorrendje k, azaz
, ahol - hiba, A az integrációs módszertől és az integrandustól függő együttható, h a felosztási lépés. Azután

és egy lépésben

A származtatott képlet az első Runge-képlet. Nagy gyakorlati jelentősége van. Ha az integrált pontosan kell kiszámítani  , akkor ki kell számítanunk az integrál közelítő értékeit, megduplázva az elemi szegmensek számát, amíg el nem érjük az egyenlőtlenség teljesülését

Ekkor az infinitezimális mennyiségeket figyelmen kívül hagyva azt feltételezhetjük

Ha a kívánt integrál pontosabb értékét szeretnénk kapni, akkor a finomított értékre J vehetjük helyette
összeg

Ez a második Runge-képlet. Sajnos ennek a felülvizsgált értéknek a hibája továbbra is bizonytalan, de általában egy nagyságrenddel nagyobb, mint az eredeti módszer pontossága (amikor az érték J elfogadjuk
).

Vegyük például a trapéz módszert. Mint fentebb látható, a pontossági sorrend k ez a módszer a 2.

ahol
. A második Runge-képlet szerint

ahol
a Simpson-módszerrel egy lépéssel talált integrál közelítő értéke. Mivel ennek a módszernek a sorrendje 4, ebben a példában a második Runge-formula alkalmazása 2-vel növelte a pontossági sorrendet.

Probléma van kb numerikus számítás határozott integrál, amelyet kvadratúrának nevezett formulák segítségével oldanak meg.

Idézzük fel a numerikus integráció legegyszerűbb képleteit.

Számítsuk ki a hozzávetőleges számértékét. Az [а, b] integrációs intervallumot pontok elosztásával n egyenlő részre osztjuk
, amelyeket a kvadratúra képlet csomópontjainak neveznek. Legyenek ismertek a csomópontokban lévő értékek
:

Érték

integrációs intervallumnak vagy lépésnek nevezzük. Vegye figyelembe, hogy a -számítások gyakorlatában az i számot kicsinek választják, általában nem több 10-20-nál.

az integrandus helyébe az interpolációs polinom kerül

amely megközelítőleg reprezentálja az f(x) függvényt a vizsgált intervallumon.

a) Csak egy első tagot tartsunk meg az interpolációs polinomban, akkor

A kapott másodfokú képlet

téglalapok képletének nevezzük.

b) Tartsa meg az első két tagot az interpolációs polinomban, majd

(2)

A (2) képletet trapézformulának nevezzük.

c) Integrációs intervallum
páros számú 2n egyenlő részre osztunk, míg a h integrációs lépés egyenlő lesz . Az intervallumon
2h hosszúságú, az integrandust egy másodfokú interpolációs polinomra cseréljük, azaz megtartjuk a polinom első három tagját:

Az így kapott kvadratúra képletet Simpson-képletnek nevezzük

(3)

Az (1), (2) és (3) képletnek egyszerű geometriai jelentése. A téglalapok képletében az f(x) integrandus az intervallumon
helyébe egy egyenes szakasz y \u003d uk, párhuzamos az x tengellyel, és a trapézképletben - egy egyenes szakasz
és kiszámítjuk egy téglalap és egy egyenes trapéz területét, amelyeket azután összeadunk. Simpson képletében az f(x) függvény az intervallumon
a 2h hosszúságot négyzetes trinomiális helyettesíti - egy parabola
kiszámoljuk egy görbe vonalú parabola trapéz területét, majd összegezzük a területeket.

KÖVETKEZTETÉS

Befejezésül szeretném megjegyezni a fent tárgyalt módszerek alkalmazásának számos jellemzőjét. A határozott integrál közelítő megoldására szolgáló minden módszernek megvannak a maga előnyei és hátrányai, az adott feladattól függően speciális módszereket kell alkalmazni.

Változó helyettesítési módszer a határozatlan integrálok kiszámításának egyik fő módszere. Még akkor is, ha valamilyen más módszerrel integrálunk, gyakran kell változóváltáshoz folyamodnunk a közbenső számításokban. Az integráció sikere nagymértékben függ attól, hogy sikerül-e olyan jó változóváltást találni, amely leegyszerűsítené az adott integrált.

Az integrációs módszerek tanulmányozása lényegében annak megállapítására irányul, hogy milyen változó változtatást kell végrehajtani az integrandus egyik vagy másik formájához.

Ily módon minden racionális tört integrálása egy polinom és néhány egyszerű tört integrálására redukálódik.

Bármely racionális függvény integrálja kifejezhető elemi függvényekkel a végső formában, nevezetesen:

logaritmuson keresztül - az 1. típusú legegyszerűbb törtek esetében;

racionális függvényeken keresztül - 2. típusú egyszerű törtek esetén

logaritmusokon és arctangenseken keresztül - a 3. típusú egyszerű törtek esetén

racionális függvényeken és arctangenseken keresztül - a 4-es típusú legegyszerűbb törtek esetén. Az univerzális trigonometrikus behelyettesítés mindig racionalizálja az integrandust, de gyakran nagyon nehézkes racionális törtekhez vezet, amelyeknél különösen gyakorlatilag lehetetlen megtalálni a nevező gyökereit. Ezért lehetőség szerint részleges helyettesítéseket alkalmazunk, amelyek egyben racionalizálják az integrandust és kevésbé összetett törtekhez vezetnek.

Newton–Leibniz képlet képviseli Általános megközelítés határozott integrálok megtalálásához.

Ami a határozott integrálszámítási módszereket illeti, ezek gyakorlatilag nem különböznek az összes módszertől és módszertől.

Ugyanez érvényes helyettesítési módszerek(változóváltás), a részenkénti integráció módszere, ugyanazok a módszerek a trigonometrikus, irracionális és transzcendentális függvények antideriválták keresésére. Az egyetlen sajátosság, hogy ezen technikák alkalmazásakor a transzformációt nem csak a részintegrál függvényre kell kiterjeszteni, hanem az integráció határaira is. Az integrációs változó módosításakor ne felejtse el ennek megfelelően módosítani az integrációs korlátokat.

Jól tételből a függvény folytonossági feltétele elégséges feltétele a függvény integrálhatóságának. De ez nem azt jelenti határozott integrál csak folyamatos függvényeknél létezik. Az integrálható függvények osztálya sokkal szélesebb. Tehát például létezik olyan függvényintegrál, amelynek véges számú szakadási pontja van.

Egy folytonos függvény határozott integráljának kiszámítása a Newton-Leibniz képlet segítségével egy olyan antiderivált megtalálására redukálódik, amely mindig létezik, de nem mindig elemi függvény vagy függvény, amelyhez táblázatokat állítanak össze, amelyek lehetővé teszik az érték megszerzését. az integrál. Számos alkalmazásban az integrálható függvény táblázatban van megadva, és a Newton-Leibniz képlet közvetlenül nem alkalmazható.

Ha a legpontosabb eredményt szeretné elérni, ideális Simpson módszere.

A fentiekből a következő következtetés vonható le, hogy az integrált olyan tudományokban használják, mint a fizika, a geometria, a matematika és más tudományok. Az integrál segítségével kiszámítjuk az erő munkáját, megtaláljuk a tömegközéppont koordinátáit, az anyagi pont által megtett utat. A geometriában egy test térfogatának kiszámítására, egy görbe ívének hosszának meghatározására stb.

Parabola módszer (Simpson)

A módszer lényege, képlet, hibabecslés.

Legyen az y = f(x) függvény folytonos egy szakaszon, és egy meghatározott integrált kell számítanunk.

Oszd fel a szakaszt n elemi részre

szakaszok [;], i = 1., n hossza 2*h = (b-a)/ n pont

a =< < < < = b. Пусть точки, i = 1., n являются серединами отрезков [;], i = 1., n соответственно. В этом случае все «узлы» определяются из равенства = a + i*h, i = 0,1., 2*n.

Minden [;] intervallumon i = 1,2., n az integrandus

az (; f ()), (; f ()), (; f ()) pontokon áthaladó y = a* + b*x + c másodfokú parabolával közelítjük. Innen származik a módszer neve - a parabolák módszere.

Ez azért történik, hogy egy bizonyos integrál közelítő értékét vegyük, amelyet a Newton-Leibniz képlet segítségével számíthatunk ki. Ez az, amit a parabola módszer lényege.

A Simpson-képlet levezetése.

Ahhoz, hogy megkapjuk a parabola-módszer képletét (Simpson), számolnunk kell

Mutassuk meg, hogy a (; f ()), (; f ()), (; f ()) pontokon keresztül csak egy másodfokú parabola y = a* + b*x + c. Más szóval, bebizonyítjuk, hogy az együtthatók definiáltak az egyetlen módja.

Mivel (; f ()), (; f ()), (; f ()) a parabola pontjai, akkor a rendszer minden egyenlete

Az írott egyenletrendszer egy lineáris rendszer algebrai egyenletek ismeretlen változók tekintetében, . Ennek az egyenletrendszernek a fő mátrixának determinánsa a Vandermonde-determináns, és az össze nem illő pontok esetén nullától eltérő. Ez azt jelzi, hogy az egyenletrendszernek egyedi megoldása van (erről a Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása című cikkben van szó), vagyis az együtthatók egyedileg meghatározottak, és a pontokon keresztül (; f ()), (; f () )), (; f ()) egyetlen másodfokú parabolán halad át.

Térjünk át az integrál megtalálására.

Magától értetődően:

f() = f(0) = + + =

f() = f(h) = + +

f() = f(2*h) = + +

Ezeket az egyenlőségeket használjuk az utolsó átmenethez a következő egyenlőségi láncban:

= = (++) = h/3*(f()+4*f()+f())

Így megkaphatja a parabola módszer képletét:

Példa Simpson módszerére.

Számítsa ki a közelítő integrált Simpson-képlet segítségével 0,001 pontossággal. A felosztást két szegmenssel kezdjük

Az integrált egyébként nem veszik.

Megoldás: Azonnal felhívom a figyelmet a feladat típusára - határozott integrált kell számítani bizonyos pontossággal. A trapéz módszerhez hasonlóan van egy képlet, amely azonnal lehetővé teszi a szükséges szegmensszám meghatározását a kívánt pontosság garantálása érdekében. Igaz, meg kell találnunk a negyedik deriváltot, és meg kell oldanunk az extrém problémát. A gyakorlatban szinte mindig egyszerűsített módszert alkalmaznak a hibabecslésre.

kezdek dönteni. Ha két partíciós szegmensünk van, akkor a csomópontok lesznek még egy: , . És Simpson képlete nagyon kompakt formát ölt:

Számítsuk ki a partíció lépését:

Töltsük ki a számítási táblázatot:

A felső sorba írjuk az indexek "számlálóját".

A második sorba először beírjuk az alsó integrációs határt a = 1,2, majd egymás után hozzáadjuk a h = 0,4 lépést.

A harmadik sorban beírjuk az integrandus értékeit. Például, ha = 1,6, akkor. Hány tizedesjegyet kell hagyni? Valóban, a feltétel megint nem mond erről semmit. Az elv ugyanaz, mint a trapéz módszernél, a szükséges pontosságot nézzük: 0,001. És adjon hozzá további 2-3 számjegyet. Vagyis fel kell kerekíteni 5-6 tizedesjegyig.

Ennek eredményeként:

Megszületett az első eredmény. Most kettős szegmensek száma legfeljebb négy: . Simpson képlete ehhez a partícióhoz a következő formában jelenik meg:

Számítsuk ki a partíció lépését:

Töltsük ki a számítási táblázatot:

Ilyen módon:

Megbecsüljük a hibát:

A hiba nagyobb, mint a szükséges pontosság: 0,002165 > 0,001, ezért ismét meg kell duplázni a szegmensek számát: .

Simpson képlete egyre nagyobb:

Számítsuk ki a lépést:

Töltsük ki újra a táblázatot:

Ilyen módon:

Vegye figyelembe, hogy itt kívánatos részletesebben leírni a számításokat, mivel a Simpson-képlet meglehetősen körülményes:

Megbecsüljük a hibát:

A hiba kisebb, mint a szükséges pontosság: 0,000247< 0,001. Осталось взять наиболее точное приближение, округлить его до трёх знаков после запятой и записать.

A Simpson-módszer lényege, hogy egy szegmensen az integrandust egy másodfokú p2(x) interpolációs polinommal közelítjük, azaz. szakaszon lévő függvény grafikonjának közelítése parabolával. Három pontot használunk az integrandus interpolálására.

Tekintsünk egy tetszőleges integrált. Használjuk a változó változását úgy, hogy az integrációs szegmens határai helyett [-1,1] legyen. Ehhez bevezetjük a z változót:

Tekintsük az integrandus interpolációjának problémáját, három egyenlő távolságra lévő z = -1, z = 0, z = +1 csomópontot használva (a lépés 1, az integrációs szegmens hossza 2). Jelöljük az integrandus megfelelő értékeit az interpolációs csomópontokon:

A három ponton (-1, f-1), (0, f0) és (1, f-+1) átmenő polinom együtthatóinak meghatározására szolgáló egyenletrendszer a következőképpen alakul:

Az együtthatók könnyen beszerezhetők:

Számítsuk ki most az interpolációs polinom integráljának értékét:

A változó fordított változtatásával visszatérünk az eredeti integrálhoz. Vegyük figyelembe, hogy:

megfelel

Megkapjuk a Simpson-képletet egy tetszőleges integrációs intervallumhoz:

A kapott érték egybeesik a görbe vonalú trapéz területével, amelyet az x tengely, az x = x0, x = x2 egyenesek és a pontokon átmenő parabola határol.

Ha szükséges, az integráció kezdeti szegmense N kettős szegmensre osztható, amelyek mindegyikére a Simpson-képletet alkalmazzuk. Az interpoláció lépése ebben az esetben a következő lesz:

Az integráció első szegmensében az interpolációs csomópontok a, a+h, a+2h, a másodiknál a+2h, a+3h, a+4h, a harmadik a+4h, a+5h, a+ pontok lesznek. 6 óra stb. Az integrál hozzávetőleges értékét N terület összegzésével kapjuk meg:

integráció numerikus módszer simpson

Ez az összeg ugyanazokat a feltételeket tartalmazza (a páros indexértékű belső csomópontok esetében - 2i). Ezért a feltételeket ebben az összegben a következőképpen rendezhetjük át:

Figyelembe véve, hogy mit kapunk:

Becsüljük meg most az integráció hibáját a Simpson-formulával. Feltételezzük, hogy az intervallum függvényének folytonos deriváltjai vannak. Tegyünk különbséget:

A középérték tételt egymás után erre a különbségre alkalmazva és R(h-t) differenciálva megkapjuk a Simpson-módszer hibáját:

A módszer hibája az integrációs lépés hosszával arányosan csökken a negyedik hatványig, azaz. az intervallumok számának megkétszerezésével a hiba 16-szorosára csökken.

Előnyök és hátrányok

A Simpson- és a Newton-Cotes-képlet jó eszköz arra, hogy egy folytonosan differenciálható függvény határozott integrálját elegendő számúszor kiszámítsuk. Tehát, feltéve, hogy a negyedik derivált nem túl nagy, a Simpson-módszer lehetővé teszi, hogy meglehetősen nagy pontosságot kapjon. Ugyanakkor az algebrai pontossági sorrendje 3, a Simpson-formula pedig legfeljebb három fokos polinomokra pontos.

Ezenkívül a Newton-Cotes-módszerek és különösen a Simpson-módszer olyan esetekben lesz a leghatékonyabb, amikor nincs a priori információ az integrandus simaságáról, pl. amikor az integrandus táblázatban van megadva.

Határozott integrál számításakor nem mindig kapunk pontos megoldást. Nem mindig lehet formában ábrázolni elemi funkció. A Newton-Leibniz képlet nem alkalmas számításra, ezért numerikus integrációs módszereket kell alkalmazni. Ez a módszer lehetővé teszi az adatok nagy pontosságú megszerzését. Simpson módszere olyan.

Ehhez meg kell adni a képlet levezetésének grafikus ábrázolását. Ezután következik az abszolút hibabecslés rögzítése a Simpson-módszerrel. Összefoglalva, három módszert fogunk összehasonlítani: Simpson, téglalapok, trapézok.

Parabola módszer - lényeg, képlet, becslés, hibák, illusztrációk

Adott egy y = f (x) alakú függvény, amelynek folytonossága van az [ a ; b ] , ki kell számítani a ∫ a b f (x) d x határozott integrált

Fel kell osztani a szegmenst [ a ; b ] n x 2 i - 2 alakú szegmensbe; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n 2 h = b - a n hosszúsággal és a = x 0 pontokkal< x 2 < x 4 < . . . < x 2 π - 2 < x 2 π = b . Тогда точки x 2 i - 1 , i = 1 , 2 , . . . , n считаются серединами отрезков x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n . Данный случай показывает, что определение узлов производится через x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n .

Minden intervallum x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , az integrandus n-ét az y = a i x 2 + b i x + c i által definiált parabola közelíti, amely áthalad az x 2 i - 2 koordinátájú pontokon; f (x2i-2), x2i-1; x 2 i-1, x 2 i; f (x 2 i) . Ezért a módszernek ilyen neve van.

Ezeket a műveleteket azért hajtjuk végre, hogy a ∫ x 2 i - 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x integrált közelítő értékként vegyük ∫ x 2 i - 2 x 2 i f (x) d x . A Newton-Leibniz képlet segítségével számolhatunk. Ez a parabola-módszer lényege Tekintsük az alábbi ábrát.

A parabola-módszer grafikus illusztrációja (Simpson)

A piros vonal az y = f (x) függvény grafikonját, a kék vonal az y = f (x) gráf közelítését mutatja másodfokú parabolák segítségével.

A határozott integrál ötödik tulajdonsága alapján azt kapjuk, hogy ∫ abf (x) dx = ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2, ha (x) dx ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i (aix 2 + bix + ci) dx

Ahhoz, hogy a parabola módszerrel képletet kapjunk, ki kell számítani:

∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x

Legyen x 2 i - 2 = 0 . Tekintsük az alábbi ábrát.

Ábrázoljuk, hogy x 2 i - 2 koordinátájú pontokon keresztül; f (x2i-2), x2i-1; x 2 i-1, x 2 i; f (x 2 i) lehet egy y = a i x 2 + b i x + c i alakú másodfokú parabola. Vagyis be kell bizonyítani, hogy az együtthatók csak egyedi módon határozhatók meg.

Megvan, hogy x 2 i - 2 ; f (x2i-2), x2i-1; x 2 i-1, x 2 i; f (x 2 i) a parabola pontjai, akkor a bemutatott egyenletek mindegyike érvényes. Ezt értjük

ai (x 2 i - 2) 2 + bi x 2 i - 2 + ci = f (x 2 i - 2) ai (x 2 i - 1) 2 + bi x 2 i - 1 + ci = f ( x 2 i - 1) ai (x 2 i) 2 + bi x 2 i + ci = f (x 2 i)

A kapott rendszert a i , b i , c i függvényében oldjuk fel, ahol meg kell keresni a mátrix Vandermonde-determinánsát. Ezt értjük

(x 2 i - 2) 2 x 2 i - 2 1 x 2 i - 1) 2 x 2 i - 1 1 (x 2 i) 2 x 2 i 1, és nem nullának számít, és nem esik egybe az x 2 i - 2 , x 2 i - 1 , x 2 i pontok . Ez annak a jele, hogy az egyenletnek csak egy megoldása van, akkor a választott együtthatók a i ; b i ; c i csak egyedi módon definiálható, akkor az x 2 i - 2 pontokon keresztül; f (x2i-2), x2i-1; x 2 i-1, x 2 i; f (x 2 i) csak egy parabola haladhat át.

Továbbléphet a ∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x integrál megkereséséhez.

Ez egyértelmű

f (x 2 i - 2) = f (0) = ai 0 2 + bi 0 + ci = cif (x 2 i - 1) = f (h) = ai h 2 + bi h + cif ( x 2 i) = f (0) = 4 ai h 2 + 2 bi h + ci

Az utolsó átmenet megvalósításához az űrlap egyenlőtlenségét kell használni

∫ x 2 i - 2 x 2 i (aix 2 + bix + ci) dx = ∫ 0 2 h (aix 2 + bix + ci) dx = = aix 3 3 + bix 2 2 + cix 0 2 h = 8 aih 3 3 + 2 bih 2 + 2 cih = = h 3 8 aih 2 + 6 bih + 6 ci = h 3 fx 2 i - 2 + 4 f 2 2 i - 1 + fx 2 i

Tehát a képletet a parabola módszerrel kapjuk:

∫ abf (x) dx ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 iaix 2 + bix + cidx = = ∑ i = 1 nh 3 (f (x 2 i - 2) + 4 f (x 2 i) - 1) + f (x 2 i)) = = h 3 f (x 0) + 4 f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + 4 f (x 3) + f (x 4) + . . . + + f (x 2 n - 2) + 4 f (x 2 n - 1) + f (x 2 n) = = h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 nf (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n)

1. definíció

A Simpson-módszer képlete: ∫ abf (x) dx ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 nf (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n) .

Az abszolút hiba becslésének képlete δ n ≤ m a x [ a ; b ] f (4) (x) (b - a) 5 2880 n 4 .

Példák határozott integrálok közelítő számítására parabola módszerrel

Simpson módszere magában foglalja bizonyos integrálok közelítő számítását. Leggyakrabban kétféle probléma esetén alkalmazható ez a módszer:

határozott integrál közelítő számításánál;
amikor δ n pontossággal közelítő értéket találunk.

A számítás pontosságát n értéke befolyásolja, minél nagyobb n, annál pontosabbak a köztes értékek.

1. példa

Számítsa ki a ∫ 0 5 x d x x 4 + 4 határozott integrált Simpson módszerrel, az integrációs szakaszt 5 részre osztva!

Megoldás

Feltétel alapján ismert, hogy a = 0 ; b=5; n = 5, f(x) = xx4 + 4.

Ezután a formába írjuk a Simpson-képletet

∫ a b f (x) d x ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n)

Teljes alkalmazásához ki kell számítani a lépést a h = b - a 2 n képlettel, meg kell határozni az x i = a + i · h, i = 0, 1, pontokat. . . , 2 n és keressük meg az f (x i) integrandus értékeit, i = 0 , 1 , . . . , 2n.

A közbenső számításokat 5 tizedesjegyre kell kerekíteni. Cserélje be az értékeket, és kapja meg

h \u003d b - a 2 n \u003d 5 - 0 2 5 \u003d 0. öt

Keressük meg a függvény értékét pontokban!

i = 0: x i = x 0 = a + i h = 0 + 0 0. 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 0 0 4 + 4 = 0 i = 1: x i = x 1 = a + i h = 0 + 1 0. 5 = 0. 5 ⇒ f (x 1) = f (0 . 5) = 0 . ötven . 5 4 + 4 ≈ 0 . 12308 . . . i = 10: x i = x 10 = a + i h = 0 + 10 0. 5 = 5 ⇒ f (x 10) = f (5) = 5 5 4 + 4 ≈ 0. 00795

Az áttekinthetőség és a kényelem az alábbi táblázatban látható.

én	1	2	3	4	5
x i	0 . 5	1	1 . 5	2	2 . 5
f x i	0 . 12308	0 . 2	0 . 16552	0 . 1	0 . 05806

én	6	7	8	9	10
x i	3	3 . 5	4	4 . 5	5
f x i	0 . 03529	0 . 02272	0 . 01538	0 . 01087	0 . 00795

Az eredményeket be kell cserélni a parabola módszer képletébe:

∫ 0 5 xdxx 4 + 4 ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 nf (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n) ) = = 0. 5 3 0 + 4 0 . 12308 + 0 . 16552 + 0 . 05806 + + 0 . 02272 + 0 . 01087 + 2 0 . 2 + 0. 1++0. 03529 + 0 . 01538 + 0 . 00795 ≈ ≈ 0. 37171

A számításhoz egy határozott integrált választottunk, amely Newton-Leibniz szerint számítható. Kapunk:

∫ 0 5 x d x x 4 + 4 = 1 2 ∫ 0 5 d (x 2) x 2 2 + 4 = 1 4 a r c t g x 2 2 0 5 = 1 4 a r c t g 25 2 ≈ 0 . 37274

Válasz: Az eredmények századig egyeznek.

2. példa

Kiszámítja határozatlan integrál∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x Simpson-módszerrel 0 001 pontossággal.

Megoldás

Feltétel szerint a \u003d 0, b \u003d π, f (x) \u003d sin 3 x 2 + 1 2, δ n ≤ 0. 001 . Meg kell határoznia n értékét. Ehhez a Simpson-módszer abszolút hibájának becslésére szolgáló képlet δ n ≤ m a x [ a ; b ] f (4) (x) (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0. 001

Ha megtaláljuk az n értéket, akkor az m a x [ a ; b ] f (4) (x) (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0. 001 kerül végrehajtásra. Ekkor a parabola módszerrel a számítás hibája nem haladja meg a 0-t. 001 . Az utolsó egyenlőtlenség formát ölt

n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2 . 88

Most azt kell kiderítenünk, melyik legmagasabb érték felveheti a negyedik derivált modulusát.

f "(x) = sin 3 x 2 + 1 2" = 3 2 cos 3 x 2 ⇒ f "" (x) = 3 2 cos 3 x 2 " = - 9 4 sin 3 x 2 ⇒ f " "" ( x) = - 9 4 sin 3 x 2 " = - 27 8 cos 3 x 2 ⇒ f (4) (x) = - 27 8 cos 3 x 2 " = 81 16 sin 3 x 2

Az f (4) (x) = 81 16 sin 3 x 2 definíciós tartomány a - 81 16 intervallumhoz tartozik; 81 16 , és maga az integráció szegmense [ 0 ; π) szélsőpontja van, ebből következik, hogy m a x [ 0 ; π ] f (4) (x) = 81 16 .

Cseréljük:

n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2 . 88 ⇔ n 4 ≥ 81 16 π - 0 5 2 . 88 ⇔ ⇔ n 4 > 537 . 9252 ⇔ n > 4 . 8159

Megvan, hogy n - természetes szám, akkor értéke n = 5 , 6 , 7 ... először az n = 5 értéket kell felvenni .

A műveleteket az előző példához hasonlóan hajtják végre. Ki kell számolni a lépést. Ezért

h \u003d b - a 2 n \u003d π - 0 2 5 \u003d π 10

Keresse meg a csomópontokat x i = a + i h, i = 0, 1, . . . , 2 n , akkor az integrandus értéke így fog kinézni

i = 0: x i = x 0 = a + i h = 0 + 0 π 10 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = sin 3 0 2 + 1 2 = 0. 5 i = 1: x i = x 1 = a + i h = 0 + 1 π 10 = π 10 ⇒ f (x 1) = f (π 10) = sin 3 π 10 2 + 1 2 ≈ 0. 953990 . . . i = 10: x i = x 10 = a + i h = 0 + 10 π 10 = π ⇒ f (x 10) = f (π) = sin 3 π 2 + 1 2 ≈ - 0. 5 7 π 10

4 π 5 9 π 10 π f (x i) 1 . 207107 0 . 809017 0 . 343566 - 0 . 087785 - 0 . 391007 - 0 . 5

Marad a megoldási képletben szereplő értékek helyettesítése parabolikus módszerrel, és megkapjuk

∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 nf (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f ( x 2 n) \u003d \u003d π 30 0, 5 + 4 0. 953990 + 1 . 487688 + 1 . 207107 ++ 0 . 343566 - 0 . 391007 + 2 1 . 309017 + 1 . 451056 + + 0 . 809017 - 0 . 87785 - 0 . 5 = = 2 . 237650

Simpson módszere lehetővé teszi a ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2 határozott integrál közelítő értékét. 237 0,001 pontossággal.

A Newton-Leibniz képlet alapján számolva eredményt kapunk

∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 dx = - 2 3 cos 3 x 2 + 1 2 x 0 π = = - 3 2 cos 3 π 2 + π 2 - - 2 3 cos 0 + 1 2 0 = π 2 + 2 3 ≈ 2 . 237463

Válasz:∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2 . 237

Megjegyzés

A legtöbb esetben m a x [ a ; b ] f (4) (x) problémás. Ezért egy alternatívát használnak - a parabolák módszerét. Elvét részletesen a trapéz módszerről szóló rész ismerteti. A parabolikus módszer az integrál megoldásának előnyben részesített módszere. A számítási hiba befolyásolja az n eredményt. Minél kisebb az értéke, annál pontosabb a kívánt hozzávetőleges szám.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt