Ismeretes, hogy numerikus közelítő módszerekkel egy függvény deriváltja in adott pont véges különbség képlettel számolható. A véges különbségekkel írt x k pontban egy változó függvény deriváltjának kiszámítására szolgáló kifejezés a következő alakú:
ahol Δх egy nagyon kicsi véges érték.
Megfelelően kis Δx értékekkel elfogadható pontossággal meg lehet kapni a függvény deriváltjának értékét egy ponton. A derivált MS Excelben való kiszámításához a fenti képletet fogjuk használni. Tekintsük a derivált kiszámításának technológiáját a példa segítségével.
1.18. példa Keresse meg az y \u003d 2x 3 + x 2 függvény deriváltját az x \u003d 3 pontban. Vegye figyelembe, hogy a redukált függvény deriváltja az x \u003d 3 pontban, az analitikai módszerrel kiszámítva, 60 - erre az értékre lesz szükségünk a numerikus módszer kiszámításával kapott eredmény ellenőrzéséhez.
A derivált számítási feladat egy táblázatkezelőben kétféleképpen oldható meg.
Megoldás az első módon
Írjuk be az adott funkcionális függés jobb oldalának képletét a munkalap cellájába, például a B2 cellába az ábrán látható módon, utalva arra a cellára, ahol az x érték fog elhelyezkedni, pl. A2,
2*A2^3+A2^2.
Állítsuk be az x=3 pont környezetét kellően kis méretűre, például a bal oldali xk =2,9999999, a jobb oldali xk +1 =3,00000001 értékre, és írjuk be ezeket az értékeket az A2 cellába és A3, ill. A C2 cellába írja be a derivált kiszámításához szükséges képletet = (B3-B2) / (A3-A2).
A számítás eredményeként a C2 cellában megjelenik a derivált hozzávetőleges értéke adott funkciót az x=3 pontban, melynek értéke 60, ami megfelel az analitikusan kapott eredménynek (1.24. ábra).
Megoldás a második módon
Írjuk be az argumentum adott, 3-mal egyenlő értékét az A2 munkalap cellájába, a B2 cellában az argumentum kellően kis növekményét jelezzük - (1E - 9), a C2 cellába írjuk be a képletet a derivált kiszámítása
=(2*(A2+B2)^3+(A2+B2)^2-(2*A2^3+A2^2))/B2.
A gomb megnyomása után
Mint látható, az eredmény ugyanaz, mint az első módszernél. Az adott második módszer előnyösebb olyan esetekben, amikor az argumentum adott értékeihez a derivált függvény értéktáblázatát kell összeállítani.
számítás helyi szélsőségek funkciókat
Emlékezzünk vissza, hogy az Y=f(x) függvény extrémuma x = x k értékkel rendelkezik, ha a függvény deriváltja ebben a pontban nulla.
Ha az f(x) függvény folytonos az [a, b] szegmensen, és ezen a szegmensen belül van egy lokális szélsőértéke, akkor a Megoldás keresése Excel bővítmény segítségével megtalálható.
Tekintsük a függvény szélsőértékének megtalálásának sorrendjét a példa segítségével
Példa 1.19 Adott egy y \u003d x 2 + x + 2 elválaszthatatlan függvény, melynek szélsőértékét (minimális értékét) a [-2; 2].
Megoldás
A munkalap A3 cellájába írjon be tetszőleges számot, amely egy adott szegmenshez tartozik, ez a cella tartalmazza az x értéket.
A B3 cellába írjon be egy képletet, amely meghatározza az adott funkcionális függőség. Ebben a képletben az x változó helyett az A3 cellára kell hivatkozni: =A3^2+A3+2.
Hajtsuk végre a Szerviz/Megoldás keresése menüparancsot.
A Megoldás keresése párbeszédpanel megnyíló ablakában a Célcella beállítása mezőben adja meg a képletet tartalmazó cella címét (B3), állítsa be a Minimális érték kapcsolót, a Cella módosítása mezőben adja meg a cella címét. az x-A3 változót tartalmazó cella.
Adjunk hozzá két kényszert a megfelelő mezőhöz: A3 >= - 2 és A3<=2 (рис. 1.25).
 |
Kattintson a Paraméterek gombra, és a megnyíló megoldáskeresési paraméterek párbeszédablakban állítsa be a relatív számítási hibát és az iterációk limitjét.
Kattintson a Futtatás gombra. Az A3 cellában kiszámításra kerül a függvény x argumentumának értéke, amelynél a minimális értéket veszi fel, a B3 cellában pedig a függvény minimális értékét.
Az A3 cellában végzett számítások eredményeként megkapjuk a független változó értékét, amelynél a függvény a legkisebb értéket veszi fel -0,5, a B3 cellában pedig a minimális értéket, amely 1,75.
Készítsünk grafikont egy adott függvényről, és győződjünk meg arról, hogy az egyenlet megoldása megvan, ugye.
Jegyzet. Egy adott esetben, amikor a vizsgált technológiával lokális szélsőértéket találunk, olyan értéket kaphatunk, amely nem szélsőség, hanem egyszerűen a függvény minimuma vagy maximuma az argumentum adott tartományában.
Ezért további ellenőrzésre van szükség, pl. a függvény deriváltjának kiszámítása a talált pontban.
A fenti technológiával egy függvény adott pontban történő deriváltjának numerikus kiszámításához ellenőrizzük, hogy a talált x = -0,5 pont az y = x 2 + x + 2 függvény szélsőpontja-e. A megoldást az ábra mutatja. .
Mint látható, a talált pont deriváltja egyenlő nullával, ezért a függvény talált értéke a szélső értéke.
1.20. példa Meg kell találni az argumentum értékeit a [-1; 1], amelyre az y = x 2 + x + 2 függvénynek szélsőértéke van.
Megoldás
Az adott függvényt 0,2 lépéssel táblázatba foglaljuk.
A derivált kiszámításához a fenti módszerek közül a másodikat használva kiszámítjuk az y \u003d f (x + dx) függvény értékeit.
Számítsuk ki a derivált értékeit az argumentum minden táblázatos értékéhez.
A függvény deriváltjainak pontokban kapott értékeit elemezve azt találjuk, hogy a derivált az argumentum értékeinek intervallumában előjelet vált (-0,6; -0,4), ezért ebben van egy szélsőpont. intervallum. Ezenkívül vegye figyelembe, hogy a derivált előjele mínuszról pluszra változik, ezért a szélsőpont a függvény minimuma.
Eszköz alkalmazása Paraméter kiválasztása vagy Keresés megoldások az Y(x) = 0 egyenlet megoldására
 |
x-re vonatkoztatva kiszámítjuk annak az argumentumnak a pontos értékét, amelynél az eredeti függvény extra értéket vesz fel (-0,5) (1.26. ábra).
A vizsgált függvény deriváltjának kapott értéke ben pont x \u003d -0,5 nulla, ezért ezen a ponton a függvénynek van egy szélsősége.
A grafikus differenciálás az adott értékek függvénygráfjának ábrázolásával kezdődik. Egy kísérleti vizsgálat során ilyen grafikont kapunk önrögzítő műszerek segítségével. Ezután a görbére rögzített helyzetekben érintőket húzunk, és a derivált értékeit az abszcissza tengely érintője által bezárt szög érintőjéhez viszonyítva számítjuk ki.
ábrán 5,8, de az installáción kísérletileg kapott görbe látható (5.6. ábra). A szöggyorsulás (a kívánt függvény) meghatározása grafikus differenciálással történik az arány szerint:
(5.19)
A görbe érintőjének meredekségének érintője valamilyen ponton én szegmensek arányaként vannak ábrázolva, ahol NAK NEK- az integráció kiválasztott szegmense (5.8. ábra, b)
Miután ezt a relációt az (5.19) relációval helyettesítjük, azt kapjuk
ahol a szöggyorsulás állítási grafikonjának ordinátája;
A kívánt grafikon léptéke; SI mértékegységei: = mm; \u003d mm / (rad -2-vel).
A függvény grafikonja számos pozíció ordinátáinak talált értékei alapján épül fel. A görbe pontjait kézzel sima vonallal kötjük össze, majd körbeírjuk egy mintával.
A grafikus differenciálás az érintők figyelembe vett módszerével viszonylag alacsony pontosságú. Nagyobb pontosság érhető el grafikus differenciálással húrmódszerrel (5.8. ábra, ban benÉs G).
 |
Egy adott görbén több pont van megjelölve 1 ", 2 ", 3" , melyeket akkordok kötnek össze, pl. cserélje ki a megadott görbét szaggatott vonalra. A következő feltevés: a görbe egyes szakaszainak közepén elhelyezkedő pontokban az érintők dőlésszöge megegyezik a megfelelő húr dőlésszögével. Ez a feltételezés némi hibát tartalmaz, de csak erre a pontra vonatkozik. Ezeket a hibákat nem összegzik, ami biztosítja a módszer elfogadható pontosságát.
A fennmaradó konstrukciók hasonlóak a korábban a tangens módszerrel történő grafikus differenciálásnál leírtakhoz. Válasszon ki egy szakaszt (mm); szögben dőlt gerendákat vezetni 
pontokban az y tengellyel való metszéspontig 1
", 2
", 3
" ... , amelyek átkerülnek az egyes intervallumok közepére húzott ordinátákra. A kapott pontok 1
*, 2
*, 3
* a kívánt függvény pontjai 
.
A koordinátatengelyek menti léptékeket ezzel a szerkesztési módszerrel ugyanaz az összefüggés (5.21) kapcsolja össze, amelyet a tangens módszerrel történő grafikus differenciálás esetére származtattunk.
Funkciódifferenciálás f(x) A számok tömbjeként adott (vagy kiszámított) numerikus differenciálás módszerével hajtjuk végre számítógép segítségével.
Minél kisebb a lépés a számtömbben, annál pontosabban tudja kiszámítani a függvény deriváltjának értékét ebben az intervallumban
A cellamezőelemek, sorok és oszlopok formázása mellett gyakran hasznos több Excel munkalap használata. A könyvben található információk rendszerezéséhez és kereséséhez célszerű tulajdonneveket rendelni a lapok címeihez, tükrözve azok szemantikai tartalmát. Például: „kezdeti adatok”, „számítási eredmények”, „grafikonok” stb. Ezt kényelmesen megteheti a helyi menü. Nyomja meg a jobb egérgombot a lapfülön, a Lap átnevezése és kattintson a gombra
Egy vagy több új lap hozzáadásához válassza a Beszúrás menü Lapja menüpontját. Ha egyszerre több lapot szeretne behelyezni, tartsa lenyomva a kívánt lapszámhoz tartozó füleket
A lapok mozgatásához hasznos művelet, ha a bal egérgombbal megragadjuk a lapfület, és a kívánt helyre mozgatjuk. Ha egyidejűleg megnyomja
7. feladat. Módosítsa a teljes B2 cella formátumát a következőre: font - Arial 11; hely - középen, az alsó szél mentén; soronként egy szó; számformátum – „0,00”; cellaszegély - kettős vonal
2.3. Beépített funkciók
Az Excel több mint 150 beépített függvényt tartalmaz a számítások és adatfeldolgozás egyszerűsítésére. Példa egy függvényt tartalmazó cella tartalmára: =B2+SIN(C7) , ahol B2 és C7 a számokat tartalmazó cellák címe, a SIN() pedig a függvény neve. A leggyakrabban használt Excel függvények:
SQRT(25) = 5 - Kiszámítja a (25) négyzetgyökét RADIANS(30) = 0,5 - 30 fokot radiánná alakít át INT(8,7) = 8 - Lefelé kerekít a legközelebbi egész számra MOD(-3;2) = 1 - elhagyja a (-3) szám osztásának maradékát
osztó(2). Az eredménynek osztójele van. IF(E4>0,2;"kiegészítő";"hiba")- ha az E4 cellában lévő szám kisebb, mint 0,2,
akkor az Excel "kiegészítő" (igaz) értéket ad vissza, egyébként - "hiba" (hamis).
Egy képletben a függvények egymásba ágyazhatók, de legfeljebb 8-szor.
Függvény használatakor a fő dolog magát a függvényt és argumentumát meghatározni. Érvként általában fel kell tüntetni annak a cellának a címét, amelyben az információt rögzítik.
Függvényt úgy határozhat meg, hogy szöveget (ikonokat, számokat stb.) ír be a kívánt cellába, vagy használja a Funkcióvarázsló. Itt a keresés megkönnyítése érdekében minden funkció kategóriákra van osztva: matematikai, statisztikai, logikai és mások. Az egyes kategóriákon belül ezek betűrendben vannak rendezve.
Funkcióvarázsló a menüparancs hívja meg Beszúrás, Funkció
vagy az ikon megnyomásával (f x ). A Funkcióvarázsló első megjelenő ablakában (4. ábra) meghatározzuk a kategóriát és egy adott függvény nevét, kattintson a
Rizs. 4. A Funkcióvarázsló ablakának nézete
Rizs. 5. Ablak a kiválasztott függvény argumentumainak beállítására
8. feladat Határozza meg egy számsor átlagértékét: 2,5; 2,9; 1,8; 3,4; 6,1;
1,0; 4,4.
Megoldás . Számokat írunk be a cellákba, például C2:C8. Válassza ki a C9 cellát, amelybe az = ÁTLAG függvényt írjuk (C2: C8), nyomja meg
9. Feladat. Az IF feltételes logikai függvény segítségével készítsen képletet a páratlan számok "ősz", páros számok - "tavasz" átnevezésére.
Megoldás . Kijelölünk egy oszlopot a kezdeti adatok megadásához - páros (páratlan) számok, például A . A B3 cellába írja be a képletet =IF(MOD(A3;2)=0"súly","tengely"). A B3 cellát a B oszlop mentén átmásolva megkapjuk az A oszlopba írt számok elemzésének eredményét. A probléma megoldásának eredményeit az ábra mutatja. 6.
Rizs. 6. A 9. számú feladat megoldása
10. feladat. Számítsa ki a függvény értékét y = x3 + sinx - 4ex x = 1,58 esetén.
Megoldás . Tegyük az adatokat az A2 - x, B2 -y cellákba. A feladat megoldását a 7. ábra bal oldalon numerikus, jobb oldalon képlet alakban mutatja. A probléma megoldása során ügyeljen a SIN és a kitevő függvények meghívására, hogy argumentumot adjon meg (lásd 8. ábra).
7. ábra. A 10. számú feladat megoldása
8. ábra. Windows a SIN és EXP függvény argumentumának megadásához
11. feladat. Írjon Excelben matematikai modell feladatok az y= 1/ ((x- 3) (x+ 4) függvény kiszámításához), az x= 3 és y= -4 értékeknél "undefined", a függvény számértékei - in egyéb esetek.
12. feladat. Készítse el a feladat matematikai modelljét Excelben: 12.1. a gyökerekkel való számításhoz
a) √ x3 y2 z / √ x z ; b) (z√ z)2; c) 3 √ x2 3 √ x ; d) √ 5 x 5 3-1 / √ 20 x 3-1
12.2. számára geometriai számítások a) határozza meg a szögeket derékszögű háromszög, ha x ismert - láb, y - hypotenus;
b) határozza meg a távolságot két pont között Descartes-rendszer XYZ koordináták a képlet szerint
d = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2
c) határozza meg az (x 0 ,y 0 ) pont és az a x + b y + c = 0 egyenes távolságát a képlet segítségével
d = ax0 +b y0 +c / √ (a2 +b2 )
d) határozza meg a háromszög területét a csúcsok koordinátáiból a képlet segítségével
S = 1 2 [ (x1 − x3 )(y2 − y3 ) − (x2 − x3 )(y1 − y3 )]
3. Feladatok megoldása képletek és függvények segítségével
Képletekkel sikeresen megoldható feladatok és Excel függvények, valójában sok. Tekintsük azokat a feladatokat, amelyeket a gyakorlatban leggyakrabban táblázatok segítségével oldanak meg: lineáris egyenletek és rendszereik, deriváltak és határozott integrálok számértékeinek kiszámítása.
Egy y = f(x) függvény deriváltja ∆y növekményének és az argumentum megfelelő ∆x növekményének az aránya, amikor
∆x → 0
y = f (x + x) − f (x)
Probléma .13 . Határozzuk meg az y = 2x 3 + x 2 függvény deriváltját az x=3 pontban.
Megoldás. Az analitikai módszerrel számított derivált 60 . A derivált Excelben az (1) képlet segítségével számítjuk ki. Ehhez hajtsa végre a következő műveletsort:
· Rajzoljuk meg az oszlopok jelölését: Х – függvény argumentumai, Y – függvényértékek, Y ` – a függvény deriváltja (9. ábra).
· A függvényt táblázatba foglaljuk a pont szomszédságában x \u003d 3 kis lépéssel, például 0,001, az eredményeket az X oszlopba kell beírni.
Rizs. 9. Táblázat egy függvény deriváltjának számításához
· A B2 cellába írja be az =2*A2^3+A2^2 függvény kiszámításához szükséges képletet.
· Másolja a képletet a sorig A 7. ábrán a függvény értékeit az argumentum tabulátoraiban kapjuk meg.
· A C2 cellába írja be a =(B3-B2)/ (A3-A2) derivált kiszámításához szükséges képletet.
· Másolja a képletet a sorig A 6. ábrán az argumentum tabulátoraiban kapjuk meg a deriváltak értékeit.
Az x = 3 érték esetén a függvény deriváltja egyenlő a 60,019 értékkel, amely közel áll az analitikusan számított értékhez.
trapéz módszer. A trapéz módszerben az integrációs területet egy bizonyos lépéssel szegmensekre osztják, és az egyes szegmenseken a függvény grafikonja alatti területet egyenlőnek tekintik a trapéz területével. Ekkor a számítási képlet a következő alakot veszi fel
S N = ∫ f (u) du ≈ h N ∑ − 1 [ f (a + h i) + f (a + h (i + 1)) ] (2), |
|
2 i = 0 |
|
ahol h= (b-a)/N a felosztási lépés; N az osztott pontok száma.
A pontosság javítása érdekében az osztott pontok számát megduplázzuk, az integrált újra kiszámítjuk. Az eredeti intervallum felosztása leáll, ha elérjük a kívánt pontosságot:
integrál, tegye a következőket:
– válasszuk az N= 5 értéket, az F2 cellában számítsuk ki a partíció h-lépését (10. ábra);
Rizs. 10. Számítás határozott integrál
· Az első oszlopbanÉs felírjuk az i intervallum számát;
· A B2 cellába írja be a =3*(2+F2*A2)^2 képletet a (2) képlet első tagjának kiszámításához;
· A C2 cellába írja be a =3*(2+F2*(A2+1))^2 képletet a második tag kiszámításához;
· „Nyújtsa ki” a cellákat képletekkel 4 sor lejjebb oszlopok;
Beírjuk a képletet a C7 cellába, és kiszámítjuk a tagok összegét,
A C8 cellába írjuk a képletet és kiszámítjuk SN-nek a 19.02 határozott integrál kívánt értékét (az S N analitikusan kapott értéke
19).
Egy feladat. 15. Számítsunk ki egy határozott integrált:
1. Y = ∫ 2 x d x |
2. Y = ∫ 2 x 3 dx |
−1 |
|
2 π |
|||||||||||||||
Y = ∫ 2sin(x )dx |
Y = ∫ x2 dx |
||||||||||||||
−2 |
|||||||||||||||
Y = ∫ |
Y = ∫ |
||||||||||||||
3x-2 |
(2x + 1) 3 |
||||||||||||||
x + 3 |
|||||||||||||||
Y = ∫ cos |
Y = ∫ |
||||||||||||||
x 2 + 4 |
|||||||||||||||
3.2. Megoldás lineáris egyenletek
Lineáris egyenletek az Excelben a függvény segítségével oldható meg Paraméter kiválasztása. Paraméter kiválasztásakor a befolyásoló cella (paraméter) értéke addig változik, amíg az ettől a cellától függő képlet vissza nem adja a megadott értéket.
Tekintsük a paraméter keresésének eljárását egy egyszerű példán keresztül egy ismeretlennel rendelkező lineáris egyenlet megoldására.
16. feladat. Oldja meg a 10 x - 10 / x = 15 egyenletet!
Megoldás. A paraméter kívánt értékéhez - x válassza ki az A3 cellát. Ebbe a cellába írjunk be tetszőleges számot, amely a függvény definíciójában szerepel (példánkban ez a szám nem lehet egyenlő nullával). Legyen 3. Ez az érték lesz a kezdő érték. Egy cellában, például a B3, a fenti egyenletnek megfelelően írja be a =10*A3-10/A3 képletet. Az ezzel a képlettel végzett számítási sorozat eredményeként a paraméter kívánt értéke kerül kiválasztásra. Most az Eszközök menüben válassza ki a parancsot Paraméter kiválasztása, futtassa a paraméterkereső funkciót (11. ábra, a) . Adjuk meg a keresési paramétereket:
· Terepen Állítsa be a cellába adjunk meg egy abszolút hivatkozást a képletet tartalmazó $B$3 cellára.
· Az Érték mezőbe írja be a kívánt eredményt 15 .
· Terepen Egy cella értékének megváltoztatásaírjon be egy hivatkozást a kiválasztott értéket tartalmazó A3 cellára, majd kattintson
A funkció végén Paraméter kiválasztása egy ablak jelenik meg a képernyőn Paraméterválasztás eredménye Az, amelyben a keresési eredmények megjelennek. A talált 2.000025 paraméter megjelenik az A3 cellában, amely számára fenntartva volt.
Figyeljünk arra, hogy példánkban az egyenletnek két megoldása van, és a paraméter csak egy van kiválasztva. Ennek az az oka, hogy a paraméter csak addig változik, amíg a kívánt értéket vissza nem adja. Az így talált első argumentum keresési eredményként visszakerül hozzánk. Ha mint
Példánkban adja meg a kezdeti értéket -3, akkor az egyenlet második megoldása lesz: -0,5.
11. ábra. Egyenlet megoldása: a - adatbevitel, b - megoldás eredménye
17. feladat Oldja meg az egyenleteket! |
||||
5x/ 9-8 = 747x/ 12 |
(2x+ 2)/ 0,5= 6x |
|||
0,5 (2x- 1)+x/ 3= 1/6 |
7(4x-6)+ 3(7-8x)= 1 |
|||
Lineáris rendszer |
egyenletek |
többféle megoldással is megoldható |
||
módok: egyenletek behelyettesítése, összeadása és kivonása, mátrixok használata. Tekintsünk egy módszert a (3) kanonikus lineáris egyenletrendszer mátrixok segítségével történő megoldására.
a1 x + a2 y + b1 = 0
a3 x + a4 y + b2 =0
Ismeretes, hogy a lineáris egyenletrendszer a mátrixábrázolásban a következőképpen van felírva:
ahol A az együtthatók mátrixa, X egy vektor - ismeretlenek oszlopa,
B a szabad tagok oszlopvektora. A megoldás egy ilyen rendszerre
formában van írva
X = A-1 B,
ahol A -1 a mátrix inverze A-hoz képest. Ez abból következik, hogy X mátrixegyenletek megoldása során az E azonosságmátrixnak meg kell maradnia. Az AX \u003d B egyenlet mindkét részét balról megszorozva A -1-gyel, megkapjuk a megoldást lineáris rendszer egyenletek.
18. feladat Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert!
Megoldás. Egy adott lineáris egyenletrendszerhez a megfelelő mátrix és oszlopvektor értékei a következő formában vannak:
A probléma megoldásához hajtsa végre a következő műveleteket:
· A2:B3 és írd bele az A mátrix elemeit.
· Válasszon ki egy cellablokkot, például C2:C3 és írjuk bele a B mátrix elemeit.
· Válasszon ki egy cellablokkot, például D2:D3 az egyenletrendszer megoldásának eredményének elhelyezésére.
A D2 cellába írja be a következő képletet: MULTIPLE(MOBR(A2:B3),C2:C3).
Excel Library szakaszban matematikai függvények mátrixokon végzett műveletek végrehajtására szolgáló függvényeket tartalmaz. Konkrétan ezek a funkciók:
Ezeknek a függvényeknek a paraméterei lehetnek címhivatkozások mátrixértékeket vagy tartományneveket és kifejezéseket tartalmazó tömbökhöz.
Például MOBR (A1: B2) vagy MOBR (mátrix_1).
A billentyűkombináció megnyomásával mondja el az Excelnek, hogy egy műveletet hajtanak végre a tömbökön
4. Optimalizálási feladatok megoldása
Sok előrejelzési, tervezési és gyártási probléma az optimalizálási problémák széles osztályára redukálódik. Ilyen feladatok például: az áruk kibocsátásának maximalizálása a nyersanyagok korlátozásával ezen áruk előállításához; ütemezése eléréséhez legjobb eredményeket a legalacsonyabb költséggel; az áruszállítás költségeinek minimalizálása; az ötvözet meghatározott minőségének elérése; egy bizonyos tartály méretének meghatározása, figyelembe véve az anyag költségét a maximális térfogat elérése érdekében; különféle
feladatokat, amelyek magukban foglalják Véletlen változók, valamint az optimális erőforrás-allokáció és az optimális tervezés egyéb problémái.
Az ilyen jellegű feladatok megoldását az EXCEL az Eszközök menüben található Megoldás keresése eszközzel tudja végrehajtani. Az ilyen problémák megfogalmazása lehet több ismeretlent tartalmazó egyenletrendszer és a megoldásokra vonatkozó korlátozások halmaza. Ezért a probléma megoldását egy megfelelő modell felépítésével kell kezdeni. Nézzük meg ezeket a parancsokat egy példán keresztül.
20. feladat Tegyük fel, hogy úgy döntünk, hogy kétféle A és B lencsét gyártunk. Az A típusú lencse 3 lencsekomponensből áll, a B típus pedig 4-ből. Egy hét alatt legfeljebb 1800 lencse készíthető. Az A típusú objektív összeszerelése 15 percet vesz igénybe, a B típusú objektívek 30 percig tartanak. A heti munkaidő 4 fő esetén 160 óra. Hány A és B lencsét kell készíteni a maximális profit eléréséhez, ha az A típusú lencse 3500 rubelt, a B típusú lencsét pedig 4800 rubelt fizet.
Megoldás. A probléma megoldásához össze kell állítani és ki kell tölteni a táblázatot az ábra szerint. 12:
· Nevezze át a cellát B2 az x-ben, a látható A lencsék száma.
· Legálisan nevezzük át a B3 cellát y -ra.
cél funkció Profit = 3500*x+4800*yírja be a B5 cellába. · A komissiózási költségek egyenlőek: =3*x+4*y, írja be a B7 cellába.
· Az időköltség =0,25*x+0,5*y, írja be a B8 cellába.
Név |
|||
teljes készlet |
|||
Költség idővel |
|||
12. ábra. A táblázat kitöltése kezdő adatokkal
· Válassza ki a B5 cellát, válassza az Adatok menüt, majd aktiválja a Megoldás keresése parancsot. Töltse ki az ablak celláit a 13. ábra szerint.
· Nyomja meg<Выполнить >; ha mindent helyesen csinált, akkor a megoldás az alábbiak szerint lesz.
3. példa: Az automatikus szűrő segítségével válassza ki az 5433-as számú csoportban tanuló diákokat C betűvel kezdődő vezetéknévvel.
Szekvenálás
1. Másolja át az adatbázist (30. ábra) a 3. lapra.
2. Vezetéknév.
3. Válasszon ki egy elemet a listábólSzövegszűrők → Egyéni szűrő. A megjelenő ablakban Egyéni automatikus szűrő válassza ki a kiválasztási feltételt, amely -vel kezdődik, a szemközti mezőbe írja be a kívánt betűt (ellenőrizze, hogy az elrendezés oroszul van-e). Nyomja meg az OK gombot.
4. Nyissa meg a legördülő listát egy oszlopban csoportszám.
5. Válassza ki a kívánt számot.
Rekordok szűrése adatbázisban speciális szűrővel
Speciális szűrő lehetővé teszi a sorok keresését összetettebb feltételekkel, mint az egyéni automatikus szűrők. A speciális szűrő feltétel intervallumot használ az adatok szűrésére.
Speciális szűrő használatakor a feltételeket megadó oszlopok nevei a forrástábla alá másolódnak. A kiválasztási feltételeket az oszlopnevek alatt kell megadni. A szűrő alkalmazása után csak azok a sorok jeleníthetők meg a képernyőn, amelyek megfelelnek a megadott feltételeknek, és a szűrt adatok átmásolhatók egy másik lapra vagy ugyanazon munkalap másik területére.
4. példa: Válassza ki az összes olyan tanulót az 5433-as csoportból, akinek a GPA értéke nagyobb vagy egyenlő, mint 4,5.
Szekvenálás
1. Másolja át az adatbázist (30. ábra) a 4. lapra.
2. Oszlopnevek másolása Csoportszám és átlagpontszám
az eredeti táblázat alatti területre. Az oszlopnevek alatt adja meg a szükséges kiválasztási feltételeket (32. ábra)
Rizs. 32. Excel ablak speciális szűrővel
2. A Rendezés eszköztár Adatok lapján
és szűrés közben válassza a Speciális lehetőséget. Megjelenik egy párbeszédpanel (33. ábra), amelyben megadják az adattartományokat.
Rizs. 33. Speciális szűrőablak
A beviteli mezőben eredeti tartomány megadja a forrásadatbázist tartalmazó intervallumot. Esetünkben az A1-től I9-ig terjedő cellák tartománya van kiválasztva.
A beviteli mezőben Feltételek köre a munkalapon a cellák egy intervalluma kerül kiválasztásra, amely tartalmazza a szükséges feltételeket (C12:D13).
A beviteli mezőbe helyezze az eredményt a tartományba azt az intervallumot jelzi, amelyben a feltételeknek megfelelő sorok másolásra kerülnek
elméletek. Esetünkben a kritériumterület alatt egy cella látható, például A16. Ez a mező csak akkor érhető el, ha a rádiógomb be van jelölve. Másolja az eredményt egy másik helyre.
Jelölőnégyzet Csak egyedi rekordok csak nem ismétlődő sorok megjelenítésére készült.
Az eredményül kapott táblázat, amely megfelel a szűrési feltételeknek, az 1. ábrán látható. 34.
Rizs. 34. Excel ablak szűrési eredményekkel
1. Hozzon létre saját adatbázist, amelyben a rekordok száma legalább 15, az oszlopok száma pedig legalább 6. Például az adatbázisÜgyfelek listája (35. ábra).
2. Alkalmazzon három automatikus szűrőt az adatbázisra (külön lapokon). A kritériumok számának legalább kettőnek kell lennie.
3. Alkalmazzon három speciális szűrőt az adatbázisrekordokra, amelyek mindegyike legalább két feltételt tartalmaz. Helyezzen minden speciális szűrőt egy lapra az eredeti táblázat alá.
Rizs. 35. Excel ablak Ügyféllista adatbázissal
5. LAB
Függvények numerikus differenciálása és egyszerű elemzése
Munka célja: Végig vizsgálni a függvényt, megtanulni meghatározni a kritikus pontot.
A matematika tanfolyamából ismert, hogy a derivált képlete in Általános nézetígy néz ki:
f "(x) = lim |
||
∆x0 |
||
ahol Δx az argumentum növekménye; x egy nullára hajló szám. A derivált segítségével meghatározhatja a függvény kritikus pontjait - minimumokat, maximumokat vagy inflexiókat. Ha egy függvény deriváltjának értéke bármely x értéknél egyenlő nullával, akkor ennél az x értéknél a függvénynek van egy kritikus pontja.
1. példa: Az f x = x 2 + 2x 3 függvény az x 5;5 intervallumon van definiálva. Fedezze fel az f(x) függvény viselkedését.
Szekvenálás
1. Legyen Δx = 0,00001. Az A1 cellába írja be: šDx=Ÿ (36. ábra). Jelölje ki a D betűt, kattintson a jobb gombbal a kiválasztott betűre, válassza a Cellák formázását. A Font lapon válassza ki a Szimbólum betűtípust. A D betűből a görög ѓў betű lesz. A cellában az igazítás jobbra is elvégezhető. A B1 cellába írja be a 0,00001 értéket.
2. Az A2-től F2-ig terjedő cellákban rendezze el a táblázat fejlécét, az ábra szerint. 36.
3. A harmadik sortól kezdődő A oszlop x értéket fog tartalmazni. Az A3-tól A13-ig terjedő cellákba írja be a -5 és 5 közötti értékeket.
4. A B3 cellába írja be az =A3^2+2*A3-3 képletet, és bontsa ki x végső értékre (a 13. sorig).
5. Egy függvény deriváltjának meghatározásához és értékeinek egy adott intervallumon belüli kiszámításához egy közteset kell készíteni
pontos számításokat. A C3 cellába írja be az x argumentum összegének képletét és növekményét Δx. A képlet a következő: =A3+$B$1 . Nyújtsa az értékét az x argumentum végső értékére.
Rizs. 36. Excel ablak a függvény viselkedésének tanulmányozásával
6. A D3 cellába írja be a =C3^2+2*C3-3 képletet, amely az x Δx argumentumból számítja ki az f függvény értékét. Nyújtsa ki a kapott értéket az argumentum végértékére.
7. Az E3 cellába írja be az (1) derivált képletet, feltéve, hogy f x értékei B3-ban, f x + Δx értékei D3-ban vannak.
A képlet így fog kinézni: =(D3-B3)/$B$1 .
8. Határozza meg a függvény viselkedését egy adott intervallumon (növekszik, csökken, vagy van kritikus pont). Ehhez egy képletet kell írni az F3 cellába, amely meghatározza a függvény viselkedését. A képlet három feltételt tartalmaz:
f" (x)< 0 |
- a funkció csökken; |
||
f" (x) > 0 |
- a funkció növekszik; |
||
f"(x)=0 |
– van egy kritikus pont* . |
9. Készítsen gráfokat az f x és f "(x) értékekhez. A grafikon (37. ábra) azt mutatja, hogy ha a függvény deriváltjának értéke nulla, akkor a függvénynek ezen a helyen van egy kritikus pontja.
* A túl nagy számítási hiba miatt előfordulhat, hogy f "(x) értéke nem egyenlő 0-val. De ezt a helyzetet még mindig le kell írni.
Rizs. 37. Egy függvény viselkedésének vizsgálatának diagramja
Önálló munkához szükséges feladatok
Az f(x) függvény az x intervallumon van definiálva. Fedezze fel az f(x) függvény viselkedését. Készítsen diagramokat.
2x2 |
X [ 4 ;4 ] |
||||||||
X [ 5 ;5 ] |
|||||||||
2x+2 |
|||||||||
f(x)=x3 |
3x2 |
2 , x [ 2 ;4 ] |
|||||||
f(x)= x |
X [ 2 ;3 ] |
||||||||
x 2 + 7 |
|||||||||
6. LAB
Egy függvény grafikonjának érintőjének szerkesztése
Munka célja: Elsajátítani az x 0 pontban lévő függvény grafikonjának érintője egyenletének értékeinek kiszámítását.
Az y = f(x) függvény grafikonjának érintőjének egyenlete a pontban
1. példa: Az y = x 2 + 2x 3 függvényt az x [ 5; öt ] . Szerkesszük meg a függvény grafikonjának érintőjét az x 0 = 1 pontban.
Sorrend:
1. Számszerűen különböztesse meg ezt a függvényt (lásd Laboratóriumi munka 5. szám). A kiindulási adatok táblázata az ábrán látható. 38.
Rizs. 38. Kiindulási adatok táblázata
2. Határozza meg a helyét a táblázatban x , x 0 , f (x 0 ) és f "(x 0 ) . Nyilvánvalóan az x értékek a következőből lesznek
A oszlop, a harmadik sortól kezdve (38. ábra). Ha x 0 = 1, akkor az A9 cella x 0-ként fog működni. Ennek megfelelően az f függvény értéke az x 0 pontban a B9 cellában van, az f értéke pedig" (x 0 )
- az E9 cellában.
3. Az F oszlopban kiszámítjuk az f(x) függvény grafikonjának érintőjének egyenletét. Az (1) egyenlet kiszámításakor szükséges, hogy az x 0, f (x 0) és f "(x 0) értékek ne változzanak. Ezért írásban
Az A9, B9 és E9 cellák címzéséhez abszolút hivatkozásokat kell használnia ezekre a cellákra. A cellákat a š$Ÿ jellel rögzítjük. A cellák így fognak kinézni: $A$9 , $B$9 és $E$9 .
Rizs. 39. Az f(x) függvény grafikonja és a gráf érintője az x=1 pontban
Önálló munkához szükséges feladatok
Az f(x) függvény az x intervallumon van definiálva. Számítsa ki az érintőegyenletet! Szerkessze meg a függvénygráf érintőjét egy adott pontban.
2x2 |
X [4;4], x0 = 1 |
|||||||||
X [5;5], x0 |
||||||||||
2x+2 |
||||||||||
f(x)=x3 |
3x2 |
2, x [2;4], x0 = 0 |
||||||||
f(x)= x |
X [2;3], x0 |
|||||||||
x 2 + 7 |
||||||||||
1. Vedeneeva, E. A. Funkciók és Excel képletek 2007. Felhasználói könyvtár / E. A. Vedeneeva. - Szentpétervár: Péter, 2008. - 384 p.
2. Sviridova, M. Yu. Táblázatok Excel / M. Yu. Sviridova. - M.: Academia, 2008. - 144 p.
3. Serogodsky, V. V. Grafikonok, számítások és adatelemzés
ban ben Excel 2007 / V. V. Szerogodszkij, R. G. Prokdi, D. A. Kozlov, A. Yu. Druzhinin. - M.: Tudomány és technika, 2009. - 336 p.