Egy feliratozott állapotgráf birtokában felírhatjuk a Kolmogorov-egyenleteket az állapotvalószínűségekre, valamint felírhatunk és megoldhatunk algebrai egyenleteket a végső valószínűségekre. Egyes esetekben lehetséges az utolsó egyenleteket előre, szó szerinti formában megoldani. Ez különösen akkor tehető meg, ha a rendszer állapotgráfja az úgynevezett "halál és szaporodási séma".
A halál és szaporodás sémájának állapotgráfja a 19.1. ábrán látható formában van.
l01 l12 l23 lk-1,k lk,k-1 ln-1,n
l10 l21 l32 lk,k-1 lk+1,k ln,n-1
19.1. ábra
Ennek a grafikonnak az a sajátossága, hogy a rendszer összes állapota egy láncba húzható, amelyben a középső állapotok mindegyike (S1, S2, ..., Sn-1) egy előre és egy hátra nyíllal kapcsolódik egymáshoz a szomszédos állapotok - jobb és bal , a szélső állapotoknak (S0, Sn) pedig csak egy szomszédos állapota van. A „halál és szaporodás sémája” kifejezés biológiai problémákból ered, ahol a populáció méretének változását egy ilyen séma írja le.
A halál és a szaporodás sémája nagyon gyakran találkozik a gyakorlat különböző problémáiban, különösen a sorban állás elméletében. Keressük meg az állapotok végső valószínűségét.
Tegyük fel, hogy az összes eseményfolyam, amely a rendszert a gráf nyilai mentén lefordítja, a legegyszerűbb.
A 19.1. ábra gráfja segítségével algebrai egyenleteket írunk és oldunk meg a végső állapotvalószínűségekre.
Az első S0 állapothoz:
01p0=10p1. (19,1)
A második S1 állapothoz:
( 12 + 10)p1 = 01p0 + 21P2.
A (19.1) miatt az utolsó egyenlőség a formára redukálódik
23P2 = 32p3
k-1,kpk-1=k,k-1pk,
ahol k minden értéket felvesz 0-tól n-ig. Így a p0, p1,..., pn végső valószínűségek kielégítik az egyenleteket
…………………. (19.2)
k-1,kpk-1=k,k-1pk
………………….
n-1,npn-1=n,n-1pn
emellett figyelembe kell vennünk a normalizálási feltételt is
p 0 +p1+p2+ ... +pn =1. (19.3)
Oldjuk meg ezt az egyenletrendszert. Az első (19.2) egyenletből p1-t p0-val fejezzük ki:
p 1 = (01/10)p0. (19.4)
A másodikból, figyelembe véve (19.4), a következőket kapjuk:
p 2=(12/21)p1=(1201)/(2110)p0; (19.5)
a harmadiktól, figyelembe véve (19.5),
p3=(231201)/(322110)p0 (19,6)
és általában bármely k esetén (1-től n-ig):
pk=(k-1,k... 1201)/(k,k-1... 2110)p0 (19,7)
Figyeljünk a (19.7) képletre. A számláló a balról jobbra (az elejétől az adott Sk, állapotig) mutató nyilak összes intenzitásának szorzatát tartalmazza, a nevező pedig a jobbról balra mutató nyilak összes intenzitásának szorzatát (a kezdődően Sk).
Így a p0, p1, ..., pn állapotok minden valószínűsége az egyiken (p0) keresztül fejeződik ki. Helyettesítsük be ezeket a kifejezéseket a normalizálási feltételbe (19.3). A p0 zárójelben kapjuk:
így megkapjuk a p0 kifejezést:
Az összes többi valószínűséget p0-val fejezzük ki (lásd a (19.4) - (19.7) képleteket). A p0-nál lévő együtthatók mindegyikében a sorozat egymást követő tagjai a (19.8) képlet egysége után. Tehát a p0 kiszámításával már megtaláltuk ezeket az együtthatókat.
A kapott képleteket a sorelmélet legegyszerűbb problémáinak megoldására használjuk fel.
olyan rendszerek osztálya, amelyek véletlenszerű időpontokban változtatják állapotukat. Az előző esethez hasonlóan ezek a rendszerek is diszkrét állapotú folyamatot vesznek figyelembe
. Például egy objektum átmenete egészséges állapotból hibás állapotba, a felek erőegyensúlya a csata során stb. Az ilyen rendszerek hatékonyságának értékelése az egyes állapotok bármikori valószínűségei alapján történik, . Ahhoz, hogy a rendszer állapotának valószínűségét bármely időpillanatban meghatározzuk, szükséges a folyamatos idejű Markov-folyamatok matematikai modelljei (folyamatos Markov-folyamatok).
A rendszerek állapotának folyamatos Markov-folyamatokkal történő modellezésekor már nem használhatunk átmeneti valószínűségeket, mivel annak a valószínűsége, hogy egy rendszer az idő pillanatában pontosan "ugrál" egyik állapotból a másikba, nullával egyenlő (mint bármely egyed valószínűsége). folytonos valószínűségi változó értéke).
Ezért ahelyett átmeneti valószínűségek figyelembe vették átmeneti valószínűségi sűrűség :
hol van annak a valószínűsége, hogy az időpillanatban állapotban lévő rendszer időben átáll az állapotba.
Egészen másodrendű végtelen kicsikig a fenti képletből ábrázolhatjuk:
Folyamatos Markov-folyamatot nevezünk homogén, ha a sűrűség átmeneti valószínűségek nem függnek az időtől (az intervallum kezdetének pillanatától). Ellenkező esetben folyamatos Markov-folyamatot nevezünk heterogén.
A szimuláció célja, mint a diszkrét folyamatok esetében, a rendszer állapotainak valószínűségének meghatározása. Ezeket a valószínűségeket a rendszer integrálásával találjuk meg differenciál egyenletek Kolmogorov.
Fogalmazzuk meg a folyamatos Markov-folyamatok sémájának megfelelő modellezési technikát.
Példa 2.2. Állítson össze egy Kolmogorov-differenciálegyenlet-rendszert a rendszer állapotainak valószínűségeinek meghatározására, melynek feliratozott állapotgráfja a 1. ábrán látható. 2.3.
Rizs. 2.3.
Döntés
Magától értetődően, .
Ezért az első három egyenlet bármelyike kizárható lineárisan függőként.
A Kolmogorov-egyenletek megoldásához be kell állítani kezdeti feltételek. A vizsgált 2.2-es példában a következő kezdeti feltételeket állíthatja be: , .
A folyamatos idejű homogén Markov-folyamat úgy értelmezhető, mint egy bizonyos eseményfolyam hatására bekövetkező állapotváltozás folyamata. Ez a sűrűség átmeneti valószínűségekértelmezhető a rendszert az -edik állapotból az -e állapotba átvivő események áramlásának intenzitásaként. Ilyen eseményfolyamok a berendezés meghibásodása, telefonközponti hívások, szülés stb.
Az összetett objektumok tanulmányozása során mindig az érdekli az embert: lehetséges-e steady state (stacionárius) rezsim a vizsgált rendszerben? Vagyis hogyan viselkedik a rendszer mikor? Vannak-e korlátok 
? Általában ezek a határértékek érdeklik a kutatót.
Válasz neki ez a kérdés megadja Markov tételét.
Ha egy homogén diszkrét Markov-folyamatnál véges vagy megszámlálható számú állapottal, akkor minden határérték létezik, és ezek értékei nem függenek a rendszer választott kezdeti állapotától.
Folyamatosra alkalmazva Markov folyamatok Markov tételét a következőképpen értelmezzük: ha a folyamat homogén, és minden állapotból lehetséges az átmenet véges időn belül bármely másik állapotba, és az állapotok száma megszámlálható vagy véges, akkor léteznek határértékek és értékeik nem függ a választott kezdeti állapottól.
A modell jellemzője a közvetlen és Visszacsatolás minden szomszédos állammal minden átlagos állam esetében; az első és az utolsó (extrém) állapot csak egy "szomszédhoz" kapcsolódik (a következő, illetve az előző állapothoz).
A modell neve - "halál és szaporodás" - ahhoz az elképzeléshez kapcsolódik, hogy a jobb oldali nyilak az állapotszám növekedésével ("születés") kapcsolatos állapotokba való átmenetet jelentik, a balra mutató nyilak pedig az államok számának csökkenése ("halál").
Nyilvánvaló, hogy ebben a folyamatban stacionárius állapot áll fenn. Nem kell felírni a Kolmogorov-egyenleteket, mivel a szerkezet szabályos, szükséges képletek kézikönyvekben, valamint az ajánlott irodalomban szerepelnek.
Rizs. 2.6.
meghibásodási arányok;
A helyreállítási folyamatok intenzitása.
Legyen az egyes számítógépek átlagos üzemideje , és egy számítógép átlagos helyreállítási ideje 
.
Azután hibázási ráta egy számítógép egyenlő lesz 
és egy számítógép helyreállításának intenzitása - 
.
Mindkét számítógép állapotában fut, ezért:
Egy számítógép fut, ami azt jelenti:
Az egyik számítógép visszaállítása folyamatban lévő állapotban, majd:
Mindkét számítógép visszaállt a következő állapotba:
Függőségeket használunk (2.2). Annak az állapotnak a valószínűsége, amikor mindkét gép egészséges:
A második állapot valószínűsége (egy számítógép fut):
és ugyanúgy számítják ki. Bár megtalálod így:
Példa 2.4. Az egyesülési zónában ellenséges adók működnek. A honvédségi kémelhárító hírközlő osztálya rádiókibocsátásuk alapján kutat adók után. Minden operátor, miután megtalálta az ellenség adóját, figyeli annak frekvenciáját, miközben nem vesz részt új keresésben. A követési folyamat során előfordulhat, hogy a frekvencia elveszik, ezután a kezelő újra keres.
Készítsen matematikai modellt a kezelőegység-szolgáltatás hatékonyságának meghatározására. A hatékonyság az észlelt adók átlagos száma egy adott időtartam alatt.
Döntés
Feltételezzük, hogy operátoraink és ellenséges rádiósaink magasan képzettek és jól képzettek. Ezért feltételezhető, hogy az ellenséges adófrekvenciák és a követési veszteségek észlelési aránya állandó. A frekvenciaérzékelés és -vesztés csak attól függ, hogy hány adó van jelenleg DF-ben, és nem attól, hogy a DF mikor történt. Ezért a frekvenciakövető észlelési és veszteségi folyamat folyamatos homogén Markov-folyamatnak tekinthető.
Ennek az iránykereső rendszernek a vizsgált tulajdonsága az operátorok leterheltsége, ami nyilvánvalóan egybeesik a detektált frekvenciák számával.
Bemutatjuk a jelölést:
Üzemeltetők száma;
Feltételezzük, hogy az ellenséges adók száma;
A nyomkövető operátorok átlagos száma ;
DF adók átlagos száma;
Az ellenséges adó iránykeresésének intenzitása egy operátor által;
A nyomon követési veszteségek áramlásának intenzitása a kezelő által;
A DF adók jelenlegi száma 
.
Az iránykereső rendszerben a következő állapotok lehetségesek:
Nincsenek irányadó adók, a keresést operátorok végzik, az állapot valószínűsége ;
QS állapotok (összesen N+1 állapot):
S0 - minden csatorna ingyenes,
S1 - pontosan egy csatorna foglalt, a többi szabad,
Sk - pontosan k csatorna foglalt, a többi ingyenes,
SN – mind az N csatorna foglalt.
k a követelmények száma a rendszerben,
N számú eszköz (csatorna),
l a követelmények fogadásának intenzitása a rendszerben (követelmények száma időegységenként),
m - szolgáltatás intenzitása (szolgáltatási ráta - az időegység alatt kiszolgált kérések száma).
Amikor lehetséges a következő képletekkel számolni:
Annak valószínűsége, hogy a rendszerben k követelmény van
(4.1)
Rendszerleállás valószínűsége
(4.2)
5.6. A QS matematikai modellje hibák nélkül (várakozással)
Vegyünk egy nyílt hurkú QS-t hibák nélkül. Nekünk van N-csatornák, amelyre a kérések l intenzitással érkeznek, m az egy csatorna szolgáltatásának intenzitása.
A rendszer állapota:
S0 - a rendszer tétlen,
S1 – foglalt 1 csatorna,
S2 – foglalt 2 csatorna,
SN – mind az N csatorna foglalt,
SN+1 - minden csatorna foglalt, és egy kérés van a sorban stb.
 |
Jellegzetes | Képlet |
|
A terhelés mutatója (tényezője) egy csatornánként (rendszer áteresztőképessége). Ha ψ<1, то система справляется и очередь конечная. Поэтому остальные характристики имеют смысл только при ψ<1. | ||
|
||
Állami valószínűségek |
|
|
Meghibásodás valószínűsége | ||
|
||
|
||
|
||
Átlagos szolgáltatási idő kérésenként | ||
5.7. Matematikai modell várakozással és a sor hosszának korlátozásával
Vegyünk egy nyílt hurkú QS-t veszteségekkel abban az esetben, ha a sorban lévő összes csatorna és hely foglalt. Nekünk van N-csatornák, amelyen intenzitással lérkeznek a kérések m- a szolgáltatás intenzitása egy csatornán, m– korlátozza a helyek számát a sorban.
A rendszer állapota:
S0 - a rendszer tétlen,
S1 – foglalt 1 csatorna,
S2 – foglalt 2 csatorna,
SN – mind az N csatorna foglalt,
SN+1 – minden csatorna foglalt, és egy kérés van a sorban
SN+m - minden csatorna foglalt és a sorban mind az m helye foglalt, a kérés elutasítva
A várakozással és a várakozási sor hosszának korlátozásával rendelkező nyitott QS állapotgráfja:
 |
Mivel a bejövő áramlás végtelen, a bejövő áramlás intenzitása állandó.
A halál és szaporodási modell szerint:
Jellegzetes | Képlet |
|
QS terhelésjelző (tényező) (forgalom) | ||
A terhelés mutatója (tényezője) egy csatornánként (rendszer áteresztőképessége). | ||
Annak valószínűsége, hogy minden csatorna szabad (a teljes rendszer tétlenségének valószínűsége) |
|
|
Állami valószínűségek |
|
|
Meghibásodás valószínűsége |
|
|
Annak valószínűsége, hogy a KPSZ elfogad egy kérelmet |
|
|
A foglalt csatornák átlagos száma – a szolgáltatás alatt álló alkalmazások átlagos száma |
|
|
A sorban lévő alkalmazások átlagos száma |
|
|
Alkalmazások átlagos száma a QS-ben (mind sorban, mind szolgáltatás alatt) |
|
|
Átlagos várakozási idő a sorban lévő alkalmazásra | ||
Átlagos szolgáltatási idő egy kérésnél, az összes kiszolgált és elutasított kérésre vonatkoztatva | ||
Egy alkalmazás átlagos tartózkodási ideje a rendszerben |
5.8. Egy QS matematikai modellje hibákkal és végtelen követelményforrással
Nekünk van N-csatornák, amelyeken a legegyszerűbb bejövő folyam intenzitásával l bejönnek az igények. A folytonos valószínűségi változó egy kérés kiszolgálási ideje egy csatornán, exponenciális törvény szerint elosztva a paraméterrel. m. m az egy csatorna szolgáltatásának intenzitása. A rendszerben nem lehet sor: ha minden csatorna foglalt, a kérést elutasítja.
Egyik vagy másik szolgáltatási csatorna működési módja nem befolyásolja a rendszer többi szolgáltatási csatornájának működési módját, és az egyes csatornák szolgáltatási eljárásának időtartama egy exponenciális eloszlási törvény hatálya alá tartozó valószínűségi változó. Az n párhuzamosan kapcsolt szolgáltatási csatorna használatának végső célja, hogy n ügyfél egyidejű kiszolgálásával növeljük (az egycsatornás rendszerhez képest) a kérések kiszolgálási sebességét. A meghibásodásokkal rendelkező többcsatornás sorbanállási rendszer állapotgráfja az ábrán látható formában van.
A rendszer állapota:
S0 - a rendszer tétlen,
S1 - 1 csatorna foglalt, a többi szabad
S2 - 2 csatorna foglalt, a többi szabad
SN - mind az N csatorna foglalt, amikor egy kérés érkezik, azt elutasítják
Állapotgrafikon nyitott QS-hez hiba nélkül:
 |
Mivel a bejövő áramlás végtelen, az intenzitások állandóak.
A halál és szaporodási modell szerint:
Jellegzetes | Képlet |
|
QS terhelésjelző (tényező) (forgalom) | ||
Annak valószínűsége, hogy minden csatorna szabad (a teljes rendszer tétlenségének valószínűsége) |
|
|
Állami valószínűségek |
|
|
Meghibásodás valószínűsége |
|
|
Annak valószínűsége, hogy a KPSZ elfogad egy kérelmet |
|
|
A foglalt csatornák átlagos száma a szolgáltatás alatt lévő kérések átlagos száma. Ez egyenlő a kérelmek átlagos száma a KPSZ-ben (nincs sor) |
|
|
Egy alkalmazás átlagos tartózkodási ideje a rendszerben |
5.9. Zárt többcsatornás QS matematikai modellje
Eddig csak olyan sorba állító rendszereket vettünk figyelembe, amelyeknél a bejövő kérések intenzitása nem függ a rendszer állapotától. Ebben az esetben a követelések forrása a QS-en kívül van, és korlátlan számú követelést generál. Fontolja meg a rendszerek sorba állítását, amelyek a rendszer állapotától függenek, ahol a követelmények forrása belső, és korlátozott számú kérelmet generál.
Például egy gépparkot tartanak karban, amely a m autók, személyzet N szerelők (m>N), és minden gépet csak egy szerelő szervizelhet.
Itt a gépek a követelmények forrásai (szerviz kérések), a mechanika pedig a szolgáltatási csatornák. A szervizelés után meghibásodott gépet rendeltetésszerűen használják, és a szervizigények potenciális forrásává válik. Nyilván az intenzitás attól függ, hogy hány gép van éppen üzemben, és hány gép van szervizelve vagy sorban állva szervizre. A vizsgált modellben a követelményforrás kapacitását korlátozottnak kell tekinteni. A beérkező igények korlátozott számú üzemben lévő gépből származnak, amelyek véletlenszerűen meghibásodnak és karbantartást igényelnek. Az a kérés, amely abban a pillanatban érkezik be a rendszerbe, amikor legalább egy csatorna szabad, azonnal szervizelésre kerül. Ha egy követelmény az összes csatornát elfoglaltnak találja más követelmények kiszolgálására, akkor nem hagyja el a rendszert, hanem sorba áll, és megvárja, amíg az egyik csatorna felszabadul. Így egy zárt sorbanállási rendszerben a bejövő igényfolyam a kimenőből alakul ki.
A halálozási és szaporodási folyamatokat Markov-folyamatoknak nevezzük, amelyeknek van egy feliratozott gráfja, az 1.8. ábrán látható.
1.8. A halálozási és szaporodási folyamatok feliratozott grafikonja
- a szaporodás intenzitása, 
− a halál intenzitása.
Megtalálni a határvalószínűségek vektorát 
alkoss egyenletrendszert:
(Kolmogorov szerint), (1.14)
Az (1.14)-et (1.15) behelyettesítve kapjuk:
Az összes következő állapot esetében az egyenletek azonos formájúak lesznek:
(
).
Az összes határvalószínűség meghatározásához a következő feltételt használjuk: 
. Ehhez kifejezzük 
át 
:
. (1.16)
Bemutatjuk a jelölést 
, akkor (1.14) és (1.16) a következő formában lesz írva:.
Az összes fennmaradó valószínűséget a következőkkel fejezzük ki 
:
.
Ennek eredményeképpen egy kifejezést kapunk 
:
.
Miután meghatározta 
, mindent ki tudjuk számítani 
.
Példa a halál és a szaporodás folyamatának elemzésére.
Adjuk meg a halál és szaporodás folyamatát:
A határvalószínűség számítása:
;
;
;
Kérdések és feladatok
1. Határozza meg a Markov-lánc állapotainak korlátozó valószínűségét, amelyet az alábbi átmeneti valószínűségi mátrix ír le! A kezdeti pillanatban a rendszer az első állapotban van
2. Egy felügyelt objektumnak 4 lehetséges állapota van. Óránként eltávolítják az információkat, és az objektumot egyik állapotból a másikba helyezik át az alábbi átmeneti valószínűségi mátrixnak megfelelően:
Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a tárgy a második óra után mindegyik állapotba kerül, ha a kezdeti pillanatban S 3 állapotban volt.
3. A Kolmogorov-egyenletrendszer adott együtthatói alapján állítsa össze az állapotok feliratozott gráfját! Határozza meg az egyenletekben szereplő A, B, C, D együtthatókat! :
A P1 + 4 P2 + 5 P3 = 0
B P2 + 4 P1 + 2 P4 = 0
C P3 + 2 P2 + 6 P1 = 0
D P4 + 7 P1 + 2 P3 = 0.
4. A fizikai rendszernek 4 állapota van. A feliratozott állapotgrafikon az alábbiakban látható.
Határozza meg a rendszerállapotok korlátozó valószínűségét!
1.4. poisson smo
A Poisson QS-ben a kérések bemeneti folyama Poisson, azaz. 
, és a szolgálati idő az exponenciális törvény szerint oszlik meg 
.
1.4.1. Egycsatornás Poisson smos
QS sor nélkül (N=0).
A valószínűségek meghatározásához a halálelméletet és a szaporodási folyamatokat alkalmazzuk 
(1.9. ábra).
;
.
A szolgáltatáskérés visszautasításának valószínűsége egyenlő 
:
.
Az alkalmazások átlagos száma a rendszerben:
.
(1.17)
Az átlagos tartózkodási idő a QS-ben megegyezik az átlagos szolgálati idővel:
;
(1.18)
mivel a QS-ben nincs sor, akkor
Az alkalmazások hatékony áramlását a következő képlet határozza meg:
.
QS korlátozott sorral
A QS ezen osztályának címkézett grafikonja az 1. ábrán látható. 1.10.
A rendszer végső állapotát a sorban lévő helyek maximális száma plusz 1 szolgáltatási csatorna határozza meg. Bemutatjuk a jelölést 
. Egyenletrendszer határvalószínűség megállapítására 
úgy néz ki, mint a:
(1.19)
Tekintettel arra 
, egyenletet kapunk a meghatározására 
:
,
honnan érkezünk 
, ahol 
-bármilyen, pl. a hozzáálláson 
nincsenek korlátozások.
Valószínűségek 
.
Határozzuk meg az alkalmazások átlagos számát a QS-ben:
.(1.20)
Jelölje 
, azután
(1.21)
Ha behelyettesítjük (1.20) értékét (1.21) értékre, a következőt kapjuk:
.
(1.22)
Vegye figyelembe, hogy a meghibásodás valószínűsége megegyezik a címkézett grafikon utolsó állapotának valószínűségével:
;
.
A Little képleteket (1.1 - 1.3) használva a következőket kapjuk:
;
(1.23)
;
(1.24)
.
(1.25)
Vegyünk egy speciális esetet, amikor 
,
azok. 
. Ebben az esetben:
;
.
A QS fő jellemzőit a következő képletek határozzák meg:
CMO korlátlan sorral.
Mivel a QS hibamentes, akkor 
, a 
.
Ahhoz, hogy képleteket kapjunk a QS jellemzőinek kiszámításához, a korlátozott várakozási sorral rendelkező QS képleteit használjuk.
.
(1.26)
Ahhoz, hogy egy korlát létezzen, a feltételnek teljesülnie kell 
, ami azt jelenti, hogy a szolgáltatás intenzitásának nagyobbnak kell lennie, mint a kérések áramlásának intenzitása, különben a sor korlátlanul fog növekedni.
Vegye figyelembe, hogy egy végtelen sorral rendelkező QS-ben
.
(1.27)
A határ (1,26): 
, és akkor
;
(1.28)
;
(1.29)
.
(1.30)
Tekintsük a tartózkodási idő eloszlási függvényének kérdését egy végtelen sorral rendelkező egycsatornás QS-ben a sor fegyelme alatt. FIFO.
NÁL NÉL 
az SMO-ban való tartózkodás ideje, amikor az n kérések (a rendszer állapotban van S n, egyenlő a szolgáltatási idők összegével n alkalmazások. Mivel a szolgálati idő exponenciális törvény szerint oszlik el, a tartózkodási idő feltételes valószínűségének eloszlási függvényének sűrűsége a QS-ben, ha n alkalmazások, ugyanúgy definiálható, mint az Erlang disztribúció n
megrendelés (lásd az 1.2.2. pontot)
Az eloszlásfüggvény kívánt sűrűségét a következő kifejezés határozza meg:
Figyelembe véve (1.19) és (1.27), 
a következő formában lesz írva:
Ezt látjuk 
− exponenciális eloszlás matematikai elvárással 
, ami egybeesik (1.28).
Honnan 
− exponenciális eloszlásból egy fontos következtetés következik: egy végtelen sorral rendelkező egycsatornás QS-ben a kérések kimeneti áramlása Poisson-folyam.
Itt a folyamatos idejű Markov-folyamatok egy bizonyos sémáját, a halál és szaporodás folyamatát vizsgáljuk, amely alapvető szerepet játszik a sorbanállás elméletében.
Meghatározás 11.1. Egy Markov-folyamat véges számú állapottal a rendszerben S, folyamatnak nevezzük halál és szaporodás ha az állapotok grafikonja az ábrán látható szerkezettel rendelkezik. 11.1.
Ennek a grafikonnak az a jellemzője, hogy az egyes állapotok s 2 ,..., s k ,..., s n látmenet nyilakkal van összekötve mindkét irányban a bal és jobb oldali szomszédos állapotaival, valamint az első és az utolsó Sj és s n mindkét irányban nyilakkal csak az egyik szomszédos állapotukkal vannak összekötve: ill s2és s n _ vÍgy a rendszer S, amelyben a halál és a szaporodás folyamata végbemegy, bármely állapotából közvetlenül csak az egyik szomszédos állapotába kerülhet át. Ebben az esetben a "reprodukció" alatt a balról jobbra haladó nyilak mentén, a "halálon" pedig a jobbról balra mutató nyilak mentén történő folyamatot értjük.
A „halál és szaporodás folyamata” elnevezés a populációk méretével, a járványok terjedésével stb. kapcsolatos biológiai problémák matematikai modellezésére nyúlik vissza.
Tekintsük a halál és szaporodás folyamatát folytonos idővel és a 2. ábrán látható állapotgrafikonnal. 11.2.
A halálozási és szaporodási folyamatban bekövetkező átmenetek valószínűségi sűrűségének mátrixát a táblázat tartalmazza (124. oldal).
Az állapotvalószínűségre /?,(/), p 2 (t), ..., p k (t), -, P P _ ( (/), P n (t) a 4. §-ban megadott két szabály egyike szerint összeállítható Kolmogorov-differenciálegyenlet-rendszer, amely ebben az esetben a következő formában lesz: (11.1):
Ha a Markov-folyamat homogén (azaz a Poisson-áramlások stacionáriusak), akkor az átmenet valószínűségi sűrűségei (áramlási intenzitásai) HU rendszerben (11.1) nem függnek az időtől t; másképp HU az idő néhány függvénye: Xy = Xy(t).
A (11.1) rendszer a /7j(0), ..., kezdeti valószínűségi eloszlással van megoldva r p ( 0) a normalizálási feltétel kielégítése /?j(0) + ... + /> n (0) = 1. A (11.1) rendszer megoldásának is teljesítenie kell a normalizálási feltételt p x (t)+... + p n (t) = 1 bármikor t.
A homogén elhalálozási és szaporodási folyamat állapotainak grafikonjából (lásd 11.1. ábra) közvetlenül látható a rendszer ergodikitása. S. Ezért a 10.1. Tétel szerint a folyamat Markov-tulajdonsága végső állapotvalószínűségek létezését jelenti. pv ..., r p.
11.1. Tétel. Végső valószínűségek p v ..., A folyamatos idejű halálozási és szaporodási folyamat p p a következő képletekkel számítható ki:
Bizonyíték: A 10. §-ban megadott három szabály egyike szerint lineáris rendszert alkotunk algebrai egyenletek:
(vö. a (11.1) differenciálegyenlet-rendszerrel).
A (11.4) rendszer együtthatómátrixa a következő formában lesz:
Ennek a mátrixnak az egyszerűsítése érdekében a következőket hajtjuk végre elemi átalakulások sorai: adjuk hozzá az 1. sort a 2. sorhoz; a kapott 2. sort adjuk hozzá a 3. sorhoz, és így tovább; kapott (P- 1) sor kerül hozzáadásra P-adik sor. Ennek eredményeként egy mátrixot kapunk, az utolsót (P- z) amelynek karakterlánca nulla, ezért eldobható.
Így az állapotok korlátozó valószínűségei pv ..., r p kielégíti a (11.5) mátrixnak megfelelő lineáris algebrai egyenletrendszert:
és a normalizálási feltétel
A (11.6) rendszer 1. egyenletéből, figyelembe véve (11.3), azzal k=2:
A (11.6) rendszer 2. egyenletéből, figyelembe véve (11.8) és (11.3), k= 3: A (11.6) rendszer 3. egyenletéből, figyelembe véve (11.9) és (11.3) k = 4:
stb,
Így bebizonyítottuk a képlet érvényességét a második sorban (11.2). A (11.2) első sorában lévő képlet bizonyításához behelyettesítjük (11.8), (11.9), (11.10) a (11.7) normalizálási feltételbe:
ahonnan megkapjuk a szükséges egyenlőséget
A (11.3) képlet jobb oldala a következőképpen épül fel: a számláló az A,.., átmeneti valószínűségi sűrűségek szorzatát tartalmazza.
A 12 12-vel kezdődik és végződik X k _ ( k, hol van a második index nak nek szorzó X k _ x k
megfelel az indexnek a k, ahol az egyes A faktorok első indexe .j a másodiktól kezdve és a 23 egybeesik az előző szorzó második indexével; a nevezőben a számlálóban szereplő szorzatból kapott tényezők szorzata, ha az utóbbiban minden tényezőnek van X.. csere indexek: . G
Az A átmenet valószínűségi sűrűségmátrix szempontjából a (11.3) képlet jobb oldala a túldiagonális elemeinek szorzatának aránya a részátló elemeinek szorzatához négyzetmátrix nak nek rend, amely az elsőből áll nak nek sorok és az első nak nek Az A mátrix oszlopai.
Felcímkézett rendszerállapot-gráf szempontjából S(lásd a 11.2. ábrát) a (11.3) képlet jobb oldala egy tört, amelynek számlálója a balról jobbra mutató nyilak mentén az elsőtől kezdve és a végén bekövetkező átmenetek összes valószínűségi sűrűségének szorzata. nak nekállapot, és a nevező az állapotból a jobbról balra mutató nyilak mentén bekövetkező fordított átmenetek összes valószínűségi sűrűségének szorzata.
S kÁLLÍTANI S J.
A (11.2) képletekben az összes végső valószínűség pv ..., r p végső valószínűséggel fejezzük ki RU A (11.6) rendszer megoldása során lehetőség lenne bármilyen más korlátozó valószínűséggel kifejezni.
Gyakran a rendszerállapotok számozása S ne egyről, hanem nulláról induljon: s Q , s v ..., s n . Ebben az esetben a (11.2) és (11.3) képlet a következőképpen alakul:
Példa 11.1. Az értékpapírpiac vizsgálata során nyert adatok azt mutatták, hogy egy bizonyos részvénytársaság egy részvényének piaci ára 1000 és 2000 rubel között mozoghat. inkluzív. Rendszernek tekinthető S egy ilyen részvényre, annak a következő öt állapotára leszünk kíváncsiak, amelyeket a részvény piaci árfolyama jellemez:
Sj - 1000-1200 rubel; s2- 1200-1400 rubel;
- 5 3 - 1400-1600 rubel; s4- 1600-1800 rubel;
- 5 5 - 1800 és 2000 rubel között. inkluzív.
Megfigyelhető, hogy a piaci ár a jövőben elsősorban a jelenlegi árától függ. Véletlenszerű piaci hatások miatt egy részvény piaci árában bármikor véletlenszerű változás következhet be, miközben az abszolút árfolyamváltozás nem haladja meg a 200 rubelt. Rendszerátmenetek S egyik állapotból a másikba a következő átmeneti valószínűségi sűrűségekkel fordulnak elő, amelyek idővel elhanyagolható mértékben változnak:
Előre kell jelezni egy részvény piaci árát a jövőben. Megéri részvényeket vásárolni 1700 rubel áron?
A rendszer óta S csak a megjelölt öt állapot valamelyikében lehet, akkor az 5. rendszerben lezajló folyamat diszkrét.
Mivel egy részvény ára a jövőben jelentősen függ a jelenkori árfolyamától, ez a folyamat Markov-folyamatnak tekinthető.
Tekintettel arra, hogy a részvényárfolyam változása bármikor véletlenszerűen bekövetkezhet, a folyamat a rendszerben S folyamatos időbeli folyamat.
Mivel a részvényárfolyam abszolút változása nem haladja meg a 200 rubelt, ez azt jelenti, hogy a rendszer S csak a szomszédos államba mehet, i.e. ugrások nem lehetnek.
Végül, mivel az átmenet valószínűségi sűrűsége állandónak tekinthető, a folyamat homogén.
Tehát a rendszerben S homogén Markov diszkrét folyamat megy végbe folyamatos idővel.
Az A mátrix alapján egy címkézett állapotgráfot készítünk:
Ez a grafikon azt mutatja (ez az L mátrixból is látható), hogy ez a folyamat a halál és a szaporodás folyamata. Végső valószínűségek p v p v p v p v p 5 létezik. Keressük meg őket a (11.2) képlettel, ahol « = 5. Ehhez először a (11.3) képlet segítségével kiszámítjuk az a 2, a 3, a 4, a 5 számokat.
Ezután az első sorban lévő képlettel (11.2)
A második sorban (11.2) lévő képletek szerint:
Így nagy valószínűséggel (p 3 = 16/39 > p o/=1,2,4, 5) rendszer Sállapotban lesz s3 53 , azaz A részvények árfolyama 1400 és 1600 rubel közötti tartományban lesz. Ezért ezeket a részvényeket 1700 rubel áron vásárolja meg. Nem éri meg. ?
ÖSSZEFOGLALÁS
- A halál és szaporodás folyamatát Markov homogén folyamatként határozzuk meg, folyamatos idővel, amely a rendszerben megy végbe. S,ábrán látható szerkezetű, véges számú állapot grafikonja. 11.1.
- A halálozási és szaporodási folyamatra a (11.2) vagy a (11.1) képletekből találhatunk végső valószínűségeket.
KULCSSZAVAK ÉS KIFEJEZÉSEK
Markov-folyamat véges számú állapottal; a halál és a szaporodás folyamata; a halál és szaporodás folyamata folyamatos idővel; a rendszer állapotainak végső valószínűségei, amelyekben a halál és a szaporodás folyamata végbemegy; a mátrix főátlója; mátrix túldiagonális; mátrix szubdiagonális.
KÉRDÉSEK AZ ÖNELLENŐRZÉSHEZ
- 1. Határozza meg a halál és a szaporodás folyamatát!
- 2. Mi jellemzi annak a rendszernek az állapotgráf szerkezetét, amelyben a halál és a szaporodás folyamata zajlik?
- 3. Milyen formája van a halálozási és szaporodási folyamat átmeneti valószínűségi sűrűségmátrixának?
- 4. Milyen képletekkel lehet kiszámítani a halálozási és szaporodási folyamat végső valószínűségét?
FELADATOK A 11. §-hoz
11.1. Válaszoljon a 11.1. példa kérdéseire, ha az átmeneti valószínűségi sűrűségmátrix az
VÁLASZOK A FELADATRA 11. §