Megmutatja, hogyan lehet felismerni egy differenciálegyenletet teljes különbségek. Megoldásának módjait megadjuk. Példa a teljes differenciálegyenlet kétféle megoldására.

Tartalom

Bevezetés

Az összes differenciálegyenlet elsőrendű differenciálegyenlete a következő alakú egyenlet:
(1) ,
ahol az egyenlet bal oldala valamely U függvény teljes differenciálja (x, y) x, y változókon:
.
Ahol .

Ha egy ilyen függvény U (x, y), akkor az egyenlet a következő alakot veszi fel:
dU (x, y) = 0.
Általános integrálja:
U (x, y) = C,
ahol C egy állandó.

Ha az elsőrendű differenciálegyenletet a deriváltban írjuk fel:
,
akkor könnyű formába hozni (1) . Ehhez szorozzuk meg az egyenletet dx-el. Azután . Ennek eredményeként egy differenciálegyenletet kapunk:
(1) .

Differenciálegyenlet tulajdonságai teljes differenciálokban

Annak érdekében, hogy az egyenlet (1) egyenlet a teljes differenciálokban, szükséges és elégséges, hogy a következő összefüggés teljesüljön:
(2) .

Bizonyíték

Továbbá feltételezzük, hogy a bizonyításban használt összes függvény definiált, és megfelelő deriváltjaik vannak x és y valamely tartományában. x pont 0, y0 is ehhez a területhez tartozik.

Bizonyítsuk be a (2) feltétel szükségességét!.
Legyen az egyenlet bal oldala (1) valamilyen U függvény differenciálja (x, y):
.
Azután
;
.
Mivel a második derivált nem függ a differenciálás sorrendjétől, akkor
;
.
Ebből következik, hogy . Szükséges feltétel (2) igazolt.

Bizonyítsuk be a (2) feltétel elégségességét!.
Legyen a feltétel (2) :
(2) .
Mutassuk meg, hogy lehetséges ilyen U függvényt találni (x, y) hogy a különbsége:
.
Ez azt jelenti, hogy van ilyen U függvény (x, y), amely kielégíti a következő egyenleteket:
(3) ;
(4) .
Keressünk egy ilyen függvényt. Integráljuk az egyenletet (3) x-szel x-ből 0 x-hez, feltételezve, hogy y konstans:
;
;
(5) .
Differenciáljon y-hoz képest, feltételezve, hogy x konstans, és érvényes (2) :

.
Az egyenlet (4) végrehajtásra kerül, ha
.
Integrálás y felett y-ból 0 y-nek:
;
;
.
Csere be (5) :
(6) .
Tehát találtunk egy függvényt, amelynek differenciálja
.
Az elegendőség bebizonyosodott.

A képletben (6) , U (x0, y0) egy állandó - az U függvény értéke (x, y) x pontban 0, y0. Bármilyen értéket hozzá lehet rendelni.

Hogyan lehet felismerni egy differenciálegyenletet a teljes differenciálokban

Tekintsük a differenciálegyenletet:
(1) .
Annak megállapításához, hogy ez az egyenlet teljes differenciálban van-e, ellenőriznie kell a feltételt (2) :
(2) .
Ha teljesül, akkor ez a teljes differenciálegyenlet. Ha nem, akkor ez nem egyenlet a teljes differenciálokban.

Példa

Ellenőrizze, hogy az egyenlet teljes differenciálban van-e:
.

Itt
, .
Differenciáljon y-hoz képest, feltételezve, hogy x állandó:


.
Megkülönböztető


.
Amennyiben:
,
azután adott egyenlet- teljes differenciálban.

Differenciálegyenletek megoldási módszerei teljes differenciálokban

Szekvenciális differenciális extrakciós módszer

A legtöbb egyszerű módszer az egyenlet teljes differenciálokban való megoldása a differenciál egymás utáni kivonásának módszere. Ehhez differenciálformulákat használunk:
du ± dv = d (u±v);
v du + u dv = d (UV);
;
.
Ezekben a képletekben u és v tetszőleges kifejezések, amelyek a változók tetszőleges kombinációjából állnak.

1. példa

Oldja meg az egyenletet:
.

Korábban azt találtuk, hogy ez az egyenlet teljes differenciálban van. Alakítsuk át:
(P1) .
Az egyenletet a differenciál egymás utáni kiemelésével oldjuk meg.
;
;
;
;

.
Csere be (P1):
;
.

Szekvenciális integrációs módszer

Ebben a módszerben az U függvényt keressük (x, y), kielégítve a következő egyenleteket:
(3) ;
(4) .

Integráljuk az egyenletet (3) x-ben, ha y állandó:
.
Itt φ (y) y tetszőleges definiálandó függvénye. Ez az integráció állandója. Behelyettesítjük az egyenletbe (4) :
.
Innen:
.
Integrálva φ-t találunk (y)és így U (x, y).

2. példa

Oldja meg az egyenletet teljes differenciálokban:
.

Korábban azt találtuk, hogy ez az egyenlet teljes differenciálban van. Bemutatjuk a jelölést:
, .
U funkciót keresek (x, y), melynek differenciálja az egyenlet bal oldala:
.
Azután:
(3) ;
(4) .
Integráljuk az egyenletet (3) x-ben, ha y állandó:
(P2)
.
Megkülönböztetés y tekintetében:

.
Csere be (4) :
;
.
Integráljuk:
.
Csere be (P2):

.
Az egyenlet általános integrálja:
U (x, y) = állandó.
Két állandót egyesítünk eggyé.

Görbe mentén történő integrálás módszere

A reláció által meghatározott U függvény:
dU=p (x, y) dx + q(x, y) dy,
Ezt az egyenletet a pontokat összekötő görbe mentén integrálva találhatjuk meg (x0, y0)és (x, y):
(7) .
Amennyiben
(8) ,
akkor az integrál csak az iniciálé koordinátáitól függ (x0, y0)és végleges (x, y) pont, és nem függ a görbe alakjától. Tól től (7) és (8) találunk:
(9) .
Itt x 0 és y 0 - állandó. Ezért U (x0, y0) is állandó.

Példát kaptunk U ilyen definíciójára a bizonyításban:
(6) .
Itt először az y tengellyel a ponttól induló szegmens mentén hajtjuk végre az integrációt (x 0, y 0) lényegre törő (x0, y). Ezután az integrációt a ponttól az x tengellyel párhuzamos szakasz mentén hajtjuk végre (x0, y) lényegre törő (x, y) .

Általánosabb esetben a pontokat összekötő görbe egyenletét kell ábrázolni (x 0, y 0)és (x, y) paraméteres formában:
x 1 = s(t1); y 1 = r(t1);
x 0 = s(t0); y 0 = r(t0);
x = s (t); y=r (t);
és integráljuk t felett 1 a t 0 hogy t.

A legegyszerűbb integráció a pontokat összekötő szakaszon keresztül történik (x 0, y 0)és (x, y). Ebben az esetben:
x 1 \u003d x 0 + (x - x 0) t 1; y 1 \u003d y 0 + (y - y 0) t 1;
t 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 \u003d (x - x 0) dt 1; dy 1 = (y - y 0) dt 1.
Behelyettesítés után a t feletti integrált kapjuk 0 előtt 1 .
Ez a módszer azonban meglehetősen nehézkes számításokhoz vezet.

Referenciák:
V.V. Stepanov, persze differenciál egyenletek, LKI, 2015.

Differenciális formaegyenletnek nevezzük

P(x,y)dx + K(x,y)dy = 0 ,

ahol a bal oldal két változó valamely függvényének teljes differenciája.

Két változó ismeretlen függvényét jelöljük (ezt kell megtalálnunk az egyenletek teljes differenciálbeli megoldása során) Fés hamarosan visszatérünk rá.

Az első dolog, amire figyelni kell, hogy az egyenlet jobb oldalán nullának kell lennie, a bal oldalon pedig a két tagot összekötő jelnek plusznak kell lennie.

Másodszor, bizonyos egyenlőséget kell betartani, ami megerősíti, hogy az adott differenciálegyenlet egyenlet a teljes differenciálokban. Ez az ellenőrzés kötelező része a teljes differenciálegyenletek megoldására szolgáló algoritmusnak (a lecke második bekezdésében található), tehát a függvény keresésének folyamata F meglehetősen időigényes, és már a kezdeti szakaszban fontos ügyelni arra, hogy ne vesztegessük az időt hiába.

Tehát a keresendő ismeretlen függvényt jelöli F. Az összes független változó részleges különbségeinek összege adja a teljes differenciát. Ezért, ha az egyenlet egy teljes differenciálegyenlet, akkor az egyenlet bal oldala a parciális differenciálok összege. Akkor definíció szerint

dF = P(x,y)dx + K(x,y)dy .

Emlékezzünk a képletre, amellyel két változó függvénye teljes differenciáját számíthatjuk ki:

Az utolsó két egyenlőséget megoldva írhatunk

.

Az első egyenlőség az "y" változóval, a második az "x" változóval kapcsolatban differenciálható:

.

ami a feltétele annak, hogy az adott differenciálegyenlet valóban egyenlet a teljes differenciálokban.

Algoritmus differenciálegyenletek megoldására összdifferenciálokban

1. lépés. Győződjön meg arról, hogy az egyenlet teljes differenciálegyenlet. A kifejezés érdekében valamely funkció teljes különbsége volt F(x, y), szükséges és elégséges az . Más szóval, figyelembe kell vennünk a részleges deriváltot xés a részleges származéka tekintetében y egy másik tag, és ha ezek a deriváltak egyenlőek, akkor az egyenlet egyenlet a teljes differenciálokban.

2. lépésÍrja fel a függvényt alkotó parciális differenciálegyenlet-rendszert! F:

3. lépés Integrálja a rendszer első egyenletét - vége x (y F:

,
y.

Alternatív lehetőség (ha így könnyebb megtalálni az integrált) a rendszer második egyenletének integrálása - y (xállandó marad és kikerül az integráljelből). Így a funkció is helyreáll F:

,
honnan van egy ismeretlen függvény x.

4. lépés A 3. lépés eredményét (a talált általános integrált) a y(alternatíva: x) és egyenlő a rendszer második egyenletével:

,

vagy a rendszer első egyenletéhez:

.

A kapott egyenletből meghatározzuk (egy alternatív változatban)

5. lépés A 4. lépés eredményét integrálja és megtalálja (alternatíva: find ).

6. lépés Helyettesítse az 5. lépés eredményét a 3. lépés eredményére - a részleges integrációval visszaállított funkcióba F. Tetszőleges állandó C gyakrabban az egyenlőségjel után írva - az egyenlet jobb oldalán. Így megkapjuk a differenciálegyenlet általános megoldását teljes differenciálokban. Mint már említettük, megvan a formája F(x, y) = C.

Példák differenciálegyenletek megoldására összdifferenciálokban

1. példa

1. lépés. egyenlet a teljes differenciálokban x egy kifejezést a kifejezés bal oldalán

és a részleges származéka tekintetében y másik kifejezés
egyenlet a teljes differenciálokban .

2. lépés F:

3. lépés tovább x (yállandó marad és kikerül az integráljelből). Így visszaállítjuk a funkciót F:

honnan van egy ismeretlen függvény y.

4. lépés y

.

.

5. lépés

6. lépés F. Tetszőleges állandó C :
.

Mi a legvalószínűbb hiba itt? A leggyakoribb hibák az, hogy a függvények szorzatának szokásos integráljának egyik változója fölé veszik a parciális integrált, és megpróbálnak részenként vagy helyettesítő változónként integrálni, valamint két tényező parciális deriváltját veszik a függvény deriváltjaként. függvények szorzata, és keresse meg a deriváltot a megfelelő képlet segítségével.

Ezt nem szabad elfelejteni: ha az egyik változóhoz viszonyítva parciális integrált számítunk, akkor a másik konstans és kikerül az integrál előjelből, ha pedig az egyik változóhoz viszonyított parciális deriváltot számítunk, akkor a másik is. egy konstans, a kifejezés deriváltja pedig a "cselekvő" változó származékaként szorozva egy konstanssal.

Között egyenletek teljes differenciálokban nem ritka – kitevős példák. Ez a következő példa. Figyelemre méltó az is, hogy megoldásában alternatív lehetőséget is alkalmaznak.

2. példa Differenciálegyenlet megoldása

.

1. lépés. Győződjön meg arról, hogy az egyenlet egyenlet a teljes differenciálokban . Ehhez megkeressük a parciális deriváltot x egy kifejezést a kifejezés bal oldalán

és a részleges származéka tekintetében y másik kifejezés
. Ezek a származékok egyenlőek, így az egyenlet is egyenlet a teljes differenciálokban .

2. lépés Felírjuk a függvényt alkotó parciális differenciálegyenlet-rendszert F:

3. lépés Integráljuk a rendszer második egyenletét - over y (xállandó marad és kikerül az integráljelből). Így visszaállítjuk a funkciót F:

honnan van egy ismeretlen függvény x.

4. lépés A 3. lépés eredménye (talált általános integrál) a következőhöz képest differenciálható x

és egyenlő a rendszer első egyenletével:

A kapott egyenletből meghatározzuk:
.

5. lépés Integráljuk a 4. lépés eredményét, és megtaláljuk:
.

6. lépés Az 5. lépés eredményét behelyettesítjük a 3. lépés eredményébe - a részleges integrációval visszaállított funkcióba F. Tetszőleges állandó Círd az egyenlőségjel mögé. Így megkapjuk a tábornokot differenciálegyenlet megoldása teljes differenciálokban :
.

A következő példában visszatérünk az alternatívától a főhöz.

3. példa Differenciálegyenlet megoldása

1. lépés. Győződjön meg arról, hogy az egyenlet egyenlet a teljes differenciálokban . Ehhez megkeressük a parciális deriváltot y egy kifejezést a kifejezés bal oldalán

és a részleges származéka tekintetében x másik kifejezés
. Ezek a származékok egyenlőek, így az egyenlet is egyenlet a teljes differenciálokban .

2. lépés Felírjuk a függvényt alkotó parciális differenciálegyenlet-rendszert F:

3. lépés Integráljuk a rendszer első egyenletét - tovább x (yállandó marad és kikerül az integráljelből). Így visszaállítjuk a funkciót F:

honnan van egy ismeretlen függvény y.

4. lépés A 3. lépés eredménye (talált általános integrál) a következőhöz képest differenciálható y

és egyenlő a rendszer második egyenletével:

A kapott egyenletből meghatározzuk:
.

5. lépés Integráljuk a 4. lépés eredményét, és megtaláljuk:

6. lépés Az 5. lépés eredményét behelyettesítjük a 3. lépés eredményébe - a részleges integrációval visszaállított funkcióba F. Tetszőleges állandó Círd az egyenlőségjel mögé. Így megkapjuk a tábornokot differenciálegyenlet megoldása teljes differenciálokban :
.

4. példa Differenciálegyenlet megoldása

1. lépés. Győződjön meg arról, hogy az egyenlet egyenlet a teljes differenciálokban . Ehhez megkeressük a parciális deriváltot y egy kifejezést a kifejezés bal oldalán

és a részleges származéka tekintetében x másik kifejezés
. Ezek a deriváltak egyenlőek, ami azt jelenti, hogy az egyenlet egyenlet a teljes differenciálokban.

2. lépés Felírjuk a függvényt alkotó parciális differenciálegyenlet-rendszert F:

3. lépés Integráljuk a rendszer első egyenletét - tovább x (yállandó marad és kikerül az integráljelből). Így visszaállítjuk a funkciót F:

honnan van egy ismeretlen függvény y.

4. lépés A 3. lépés eredménye (talált általános integrál) a következőhöz képest differenciálható y

és egyenlő a rendszer második egyenletével:

A kapott egyenletből meghatározzuk:
.

5. lépés Integráljuk a 4. lépés eredményét, és megtaláljuk:

6. lépés Az 5. lépés eredményét behelyettesítjük a 3. lépés eredményébe - a részleges integrációval visszaállított funkcióba F. Tetszőleges állandó Círd az egyenlőségjel mögé. Így megkapjuk a tábornokot differenciálegyenlet megoldása teljes differenciálokban :
.

5. példa Differenciálegyenlet megoldása

.

1. lépés. Győződjön meg arról, hogy az egyenlet egyenlet a teljes differenciálokban . Ehhez megkeressük a parciális deriváltot y egy kifejezést a kifejezés bal oldalán

és a részleges származéka tekintetében x másik kifejezés
. Ezek a származékok egyenlőek, így az egyenlet is egyenlet a teljes differenciálokban .

A probléma megfogalmazása a kétdimenziós esetben

Több változó függvényének helyreállítása a teljes differenciáljából

9.1. A probléma megfogalmazása a kétdimenziós esetben. 72

9.2. A megoldás leírása. 72

Ez a második típusú görbe integrál egyik alkalmazása.

Adott egy kifejezés két változó függvényének teljes differenciáljára:

Funkció keresése.

1. Mivel az alak nem minden kifejezése valamilyen függvény teljes differenciája U(x,y), akkor ellenőrizni kell a problémafelvetés helyességét, azaz ellenőrizni kell a szükséges és elégséges feltételt a teljes differenciálhoz, amely 2 változós függvényre formájú. Ez a feltétel az előző szakasz tételének (2) és (3) állításainak egyenértékűségéből következik. Ha a jelzett feltétel teljesül, akkor a problémának van megoldása, azaz funkciója U(x,y) visszaállítható; ha a feltétel nem teljesül, akkor a problémának nincs megoldása, vagyis a funkció nem állítható vissza.

2. Megtalálhat egy függvényt a teljes differenciáljával, például egy második típusú görbe integrált használva, egy fix pontot összekötő egyenes mentén számítva ki ( x 0 ,y 0) és változó pont ( x;y) (Rizs. tizennyolc):

Így azt kapjuk, hogy görbe vonalú integrál II fajta a teljes differenciáltól dU(x,y) egyenlő a különbséggel függvényértékek U(x,y) a döntőben és kiindulópontok integrációs vonalak.

Ennek az eredménynek a ismeretében helyette helyettesítenünk kell dU egy görbe vonalú integrál kifejezést, és számítsa ki az integrált egy szaggatott vonal mentén ( ACB), figyelembe véve annak függetlenségét az integrációs vonal alakjától:

a ( AC): a ( SW) :

(1)

Így egy képletet kaptunk, melynek segítségével a teljes differenciáljából 2 változós függvényt állítunk vissza.

3. Egy függvényt a teljes differenciáljából csak egy állandó tagig lehet visszaállítani, hiszen d(U+ const) = dU. Ezért a feladat megoldása eredményeként olyan függvényhalmazt kapunk, amely egy állandó taggal különbözik egymástól.

Példák (két változó függvényének visszaállítása a teljes differenciáljából)

1. Keresse meg U(x,y), ha dU = (x 2 – y 2)dx – 2xydy.

Ellenőrizzük két változó függvénye teljes differenciájának feltételét:

A teljes differenciál feltétele teljesül, tehát a függvény U(x,y) visszaállítható.

Ellenőrzés: helyes.

Válasz: U(x,y) = x 3 /3 – xy 2 + C.

2. Keress egy olyan függvényt,

Ellenőrizzük a szükségeset elegendő feltételeket három változó függvényének teljes differenciája: , , , ha a kifejezés adott.

A megoldandó problémában

a teljes differenciál minden feltétele teljesül, ezért a funkció visszaállítható (a probléma helyesen van beállítva).

A függvényt egy második típusú görbe integrállal állítjuk vissza, egy fix pontot és egy változó pontot összekötő bizonyos egyenes mentén kiszámítva, mivel

(ezt az egyenlőséget ugyanúgy levezetjük, mint a kétdimenziós esetben).

Másrészt a teljes differenciál második fajtájának görbe vonalú integrálja nem függ az integrációs egyenes alakjától, így a legegyszerűbb egy szakaszokból álló szaggatott vonal mentén kiszámítani, párhuzamos a tengelyekkel koordináták. Ebben az esetben fix pontként egyszerűen felvehet egy pontot meghatározott numerikus koordinátákkal, csak azt figyelve, hogy ezen a ponton és az egész integrációs egyenesen teljesüljön a görbe integrál létezésének feltétele (vagyis hogy a függvények , és legyen folyamatos). Ezt a megjegyzést szem előtt tartva ebben a feladatban vehetünk egy fix pontot, például az M 0 pontot. Ezután a szaggatott vonal minden hivatkozásán meglesz

10.2. Az első típusú felületi integrál számítása. 79

10.3. Az első típusú felületi integrál néhány alkalmazása. 81

Meghatározás 8.4. Az alak differenciálegyenlete

ahol
teljes differenciálegyenletnek nevezzük.

Figyeljük meg, hogy egy ilyen egyenlet bal oldala valamely függvény teljes differenciálja
.

Általános esetben a (8.4) egyenlet a következőképpen ábrázolható

A (8.5) egyenlet helyett az egyenletet tekinthetjük

,

amelynek megoldása a (8.4) egyenlet általános integrálja. Így a (8.4) egyenlet megoldásához meg kell találni a függvényt
. A (8.4) egyenlet definíciójával összhangban van

(8.6)

Funkció
függvényként fogjuk keresni, amely megfelel a következő feltételek egyikének (8.6):

ahol -tól független tetszőleges függvény .

Funkció
úgy van definiálva, hogy a (8.6) kifejezés második feltétele teljesüljön

(8.7)

A (8.7) kifejezésből meghatározzuk a függvényt
. Behelyettesítve a kifejezésbe
és kapjuk meg az eredeti egyenlet általános integrálját.

Probléma 8.3. Integrálja az egyenletet

Itt
.

Ezért ez az egyenlet az összdifferenciálegyenletek típusához tartozik. Funkció
formában fogunk keresni

.

A másik oldalon,

.

Egyes esetekben az állapot
nem hajtható végre.

Ezután az ilyen egyenleteket a vizsgált típusra redukáljuk úgy, hogy megszorozzuk az úgynevezett integráló tényezővel, amely általános esetben csak a függvénye. vagy .

Ha valamelyik egyenletnek van integráló tényezője, amely csak attól függ , akkor a képlet határozza meg

hol az arány csak funkciónak kell lennie .

Hasonlóképpen egy integráló tényező attól függően, hogy csak , a képlet határozza meg

hol az arány
csak funkciónak kell lennie .

Az első esetben a változó hiánya a fenti arányokban , a másodikban pedig egy változó , egy adott egyenlethez tartozó integráló tényező meglétének a jele.

8.4. probléma. Hozd ezt az egyenletet a teljes differenciálegyenletté.

.

Fontolja meg a kapcsolatot:

.

Téma 8.2. Lineáris differenciálegyenletek

Meghatározás 8.5. Differenciálegyenlet
lineárisnak nevezzük, ha a kívánt függvényhez képest lineáris , származéka és nem tartalmazza a kívánt függvény és származékának szorzatát.

A lineáris differenciálegyenlet általános formáját a következő összefüggés reprezentálja:

(8.8)

Ha a (8.8) relációban a jobb oldal
, akkor az ilyen egyenletet lineáris homogénnek nevezzük. Abban az esetben, ha a jobb oldalon
, akkor az ilyen egyenletet lineáris inhomogénnek nevezzük.

Mutassuk meg, hogy a (8.8) egyenlet kvadratúrákba integrálható.

Az első szakaszban egy lineáris homogén egyenletet veszünk figyelembe.

Egy ilyen egyenlet elválasztható változókkal rendelkező egyenlet. Igazán,

;

/

Az utolsó összefüggés határozza meg a lineáris általános megoldását homogén egyenlet.

A lineáris inhomogén egyenlet általános megoldásának megtalálásához egy állandó deriváltjának variációs módszerét használjuk. A módszer lényege, hogy egy lineáris inhomogén egyenlet általános megoldása ugyanolyan formában, mint a megfelelő homogén egyenlet megoldása, azonban egy tetszőleges állandó helyettesíti valamilyen funkcióval
meg kell határozni. Tehát nekünk van:

(8.9)

A (8.8) relációba behelyettesítve a megfelelő kifejezéseket
és
, kapunk

Az utolsó kifejezést behelyettesítve a (8.9) relációba, megkapjuk egy lineáris inhomogén egyenlet általános integrálját.

Így egy lineáris inhomogén egyenlet általános megoldását két kvadratúra határozza meg: egy lineáris homogén egyenlet általános megoldása és egy lineáris inhomogén egyenlet egyedi megoldása.

8.5. probléma. Integrálja az egyenletet

Így az eredeti egyenlet a lineáris inhomogén differenciálegyenletek típusába tartozik.

Az első lépésben megtaláljuk a lineáris homogén egyenlet általános megoldását.

;

A második lépésben meghatározzuk a lineáris inhomogén egyenlet általános megoldását, amelyet a formában keresünk

,

ahol
a definiálandó függvény.

Tehát nekünk van:

Az arányokat helyettesítve és az eredeti lineáris inhomogén egyenletbe kapjuk:

;

;

.

A lineáris inhomogén egyenlet általános megoldása így néz ki:

.

Ebben a témában megvizsgálunk egy módszert egy függvény visszaállítására a teljes különbségből, példákat adunk a problémákra a megoldás teljes elemzésével.

Előfordulhat, hogy a P (x, y) d x + Q (x, y) d y \u003d 0 formájú differenciálegyenletek (DE) egyes függvények teljes differenciálját tartalmazhatják a bal oldali részekben. Ekkor megtalálhatjuk a DE általános integrálját, ha először visszaállítjuk a függvényt a teljes differenciáljából.

1. példa

Tekintsük a P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 egyenletet. Bal oldalának rekordja valamilyen függvény differenciálját tartalmazza U(x, y) = 0. Ehhez a ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x feltételnek teljesülnie kell.

Az U (x, y) = 0 függvény teljes differenciája d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y . A ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x feltételt figyelembe véve a következőt kapjuk:

P (x, y) d x + Q (x, y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

A kapott egyenletrendszerből az első egyenletet átalakítva a következőket kaphatjuk:

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

A φ (y) függvényt az előzőleg kapott rendszer második egyenletéből találhatjuk meg:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) d x ∂ y + φ y "(y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x, y) d x ∂ y d y

Így megtaláltuk a kívánt U (x, y) = 0 függvényt.

2. példa

Keresse meg DE (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0 általános megoldását.

Döntés

P (x, y) \u003d x 2 - y 2, Q (x, y) \u003d - 2 x y

Ellenőrizzük, hogy teljesül-e a ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x feltétel:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

Feltételünk teljesült.

A számítások alapján arra a következtetésre juthatunk, hogy az eredeti DE bal oldala valamely U (x, y) = 0 függvény teljes differenciája. Meg kell találnunk ezt a funkciót.

Mivel (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y az U (x, y) = 0 függvény teljes differenciálja, akkor

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

A rendszer első egyenletét integráljuk x-hez:

U (x, y) \u003d ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) \u003d x 3 3 - x y 2 + φ (y)

Most megkülönböztetjük az eredményt y függvényében:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y "(y)

A rendszer második egyenletét átalakítva a következőt kapjuk: ∂ U ∂ y = - 2 x y . Ez azt jelenti
- 2 x y + φ y "(y) = - 2 x y φ y" (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

ahol C tetszőleges állandó.

A következőt kapjuk: U (x, y) \u003d x 3 3 - x y 2 + φ (y) \u003d x 3 3 - x y 2 + C. Az eredeti egyenlet általános integrálja x 3 3 - x y 2 + C = 0 .

Elemezzünk egy másik módszert egy ismert teljes differenciál függvényének megtalálására. Ez magában foglalja egy görbe vonalú integrál alkalmazását egy fix pontból (x 0, y 0) egy változó koordinátájú (x, y) pontba:

U (x, y) = ∫ (x 0, y 0) (x, y) P (x, y) d x + Q (x, y) d y + C

Ilyen esetekben az integrál értéke semmilyen módon nem függ az integráció útjától. Integrációs útnak vehetünk egy szaggatott vonalat, melynek láncszemei ​​párhuzamosak a koordinátatengelyekkel.

3. példa

Határozzuk meg az (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0 differenciálegyenlet általános megoldását!

Döntés

Vizsgáljuk meg, hogy teljesül-e a ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x feltétel:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

Kiderül, hogy a differenciálegyenlet bal oldalát valamilyen U (x, y) = 0 függvény teljes differenciálja reprezentálja. Ennek a függvénynek a megtalálásához ki kell számítani a pontból a görbe vonalú integrált (1 ; 1) előtt (x, y). Vegyünk integrációs útnak egy szaggatott vonalat, amelynek szakaszai egy egyenes mentén haladnak y=1(1 , 1) pontból (x , 1) pontba, majd (x , 1) pontból (x , y) pontba:

∫ (1, 1) (x, y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) ) d y + + ∫ (x, 1) (x, y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2) x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x 1 - x 1 2) = x y - x y 2

Megkaptuk az x y - x y 2 + C = 0 alakú differenciálegyenlet általános megoldását.

4. példa

Határozzuk meg az y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 differenciálegyenlet általános megoldását!

Döntés

Ellenőrizzük, hogy teljesül-e a ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x feltétel.

Mivel ∂ (y cos x) ∂ y = cos x, ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x cos x, a feltétel nem teljesül. Ez azt jelenti, hogy a differenciálegyenlet bal oldala nem a függvény teljes differenciálja. Ez egy szétválasztható differenciálegyenlet és más megoldások is alkalmasak a megoldására.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt