Állítsa vissza egy függvény alakját a differenciáljából. Egyenlet a teljes differenciálokban

A probléma megfogalmazása a kétdimenziós esetben

Több változó függvényének helyreállítása a teljes differenciáljából

9.1. A probléma megfogalmazása a kétdimenziós esetben. 72

9.2. A megoldás leírása. 72

Ez a második típusú görbe integrál egyik alkalmazása.

Adott egy kifejezés két változó függvényének teljes differenciáljára:

Funkció keresése.

1. Mivel az alak nem minden kifejezése valamilyen függvény teljes differenciája U(x,y), akkor ellenőrizni kell a problémafelvetés helyességét, azaz ellenőrizni kell a szükséges és elégséges feltételt a teljes differenciálhoz, amely 2 változós függvényre formájú. Ez a feltétel az előző szakasz tételének (2) és (3) állításainak egyenértékűségéből következik. Ha a jelzett feltétel teljesül, akkor a problémának van megoldása, azaz funkciója U(x,y) visszaállítható; ha a feltétel nem teljesül, akkor a problémának nincs megoldása, vagyis a funkció nem állítható vissza.

2. Megtalálhat egy függvényt a teljes differenciáljával, például egy második típusú görbe integrált használva, egy fix pontot összekötő egyenes mentén számítva ki ( x 0 ,y 0) és változó pont ( x;y) (Rizs. tizennyolc):

Így azt kapjuk, hogy görbe vonalú integrál II fajta a teljes differenciáltól dU(x,y) egyenlő a különbséggel függvényértékek U(x,y) az integrációs egyenes végén és kezdőpontján.

Ennek az eredménynek a ismeretében helyette helyettesítenünk kell dU egy görbe vonalú integrál kifejezést, és számítsa ki az integrált egy szaggatott vonal mentén ( ACB), figyelembe véve annak függetlenségét az integrációs vonal alakjától:

a ( AC): a ( SW) :

(1)

Így egy képletet kaptunk, melynek segítségével a teljes differenciáljából 2 változós függvényt állítunk vissza.

3. Egy függvényt a teljes differenciáljából csak egy állandó tagig lehet visszaállítani, hiszen d(U+ const) = dU. Ezért a feladat megoldása eredményeként olyan függvényhalmazt kapunk, amely egy állandó taggal különbözik egymástól.

Példák (két változó függvényének visszaállítása a teljes differenciáljából)

1. Keresse meg U(x,y), ha dU = (x 2 – y 2)dx – 2xydy.

Ellenőrizzük két változó függvénye teljes differenciájának feltételét:

A teljes differenciál feltétele teljesül, tehát a függvény U(x,y) visszaállítható.

Ellenőrzés: helyes.

Válasz: U(x,y) = x 3 /3 – xy 2 + C.

2. Keress egy olyan függvényt,

Ellenőrizzük a szükségeset elegendő feltételeket három változó függvényének teljes differenciája: , , , ha a kifejezés adott.

A megoldandó problémában

a teljes differenciál minden feltétele teljesül, ezért a funkció visszaállítható (a probléma helyesen van beállítva).

A függvényt egy második típusú görbe integrállal állítjuk vissza, egy fix pontot és egy változó pontot összekötő bizonyos egyenes mentén kiszámítva, mivel

(ezt az egyenlőséget ugyanúgy levezetjük, mint a kétdimenziós esetben).

Másrészt a teljes differenciál második fajtájának görbe vonalú integrálja nem függ az integrációs egyenes alakjától, így a legegyszerűbb egy szakaszokból álló szaggatott vonal mentén kiszámítani, párhuzamos a tengelyekkel koordináták. Ugyanakkor fix pontként egyszerűen felvehet egy pontot meghatározott numerikus koordinátákkal, csak azt figyelve, hogy ezen a ponton és az egész integrációs egyenesen teljesüljön a görbe integrál létezésének feltétele (vagyis hogy a függvényeket, és legyen folyamatos). Ezt a megjegyzést szem előtt tartva ebben a feladatban vehetünk egy fix pontot, például az M 0 pontot. Ezután a szaggatott vonal minden hivatkozásán meglesz

10.2. Az első típusú felületi integrál számítása. 79

10.3. Az első típusú felületi integrál néhány alkalmazása. 81

Előfordulhat, hogy a bal oldalon differenciálegyenlet

egy függvény teljes differenciája:

és ezért a (7) egyenlet a következőt veszi fel.

Ha a függvény a (7) egyenlet megoldása, akkor , és ezért

ahol egy konstans, és fordítva, ha valamilyen függvény a (8) végső egyenletet azonossággá alakítja, akkor a kapott azonosságot differenciálva megkapjuk, és ezért , ahol egy tetszőleges állandó, általános integrálja a (8) eredeti egyenlet.

Ha a kezdeti értékek megadva vannak, akkor az állandót a (8) és a

a kívánt parciális integrál. Ha a pontban, akkor a (9) egyenlet implicit függvényeként definiálható.

Ahhoz, hogy a (7) egyenlet bal oldala valamely függvény teljes differenciálja legyen, szükséges és elégséges, hogy

Ha ez az Euler által jelzett feltétel teljesül, akkor a (7) egyenlet könnyen integrálható. Igazán, . A másik oldalon, . Ennélfogva,

Az integrál számításakor az értéket állandónak tekintjük, ezért tetszőleges függvénye. A függvény meghatározásához a talált függvényt megkülönböztetjük a függvényhez képest, és mivel , megkapjuk

Ebből az egyenletből meghatározzuk és integrálva megtaláljuk a .

A tanfolyamról ismeretes matematikai elemzés, még egyszerűbb egy függvényt a teljes differenciáljával definiálni, ha egy fix pont és egy tetszőleges útvonal mentén változó koordinátájú pont közötti görbe vonalú integrált vesszük fel:

Leggyakrabban integrációs útként célszerű egy szaggatott vonalat venni, amely két, a koordinátatengelyekkel párhuzamos láncszemből áll; ebben az esetben

Példa. .

Az egyenlet bal oldala valamely függvény teljes differenciája, hiszen

Ezért az általános integrálnak van alakja

Egy függvény meghatározásához más módszert is használhat:

Mögött kiindulópont például a koordináták origóját választjuk az integráció útjaként - szaggatott vonalat. Azután

és az általános integrálnak van alakja

Ami egybeesik az előző eredménnyel, ami közös nevezőhöz vezet.

Bizonyos esetekben, amikor a (7) egyenlet bal oldala nem teljes differenciál, könnyen találhatunk olyan függvényt , amellyel szorzás után a (7) egyenlet bal oldala teljes differenciálmá alakul. Az ilyen függvényt ún integráló tényező. Vegye figyelembe, hogy az integráló tényezővel való szorzás olyan különleges megoldások megjelenéséhez vezethet, amelyek ezt a tényezőt nullára fordítják.

Példa. .

Nyilvánvaló, hogy egy tényezővel való szorzás után a bal oldal teljes differenciálmá alakul. Valóban, miután megszorozzuk vele, azt kapjuk

vagy integrálásával, . Ha megszorozzuk 2-vel és potencírozzuk, akkor .

Természetesen az integráló tényezőt nem mindig választják ilyen könnyen. Általános esetben az integráló tényező megtalálásához az egyenletnek legalább egy konkrét megoldását kell kiválasztani olyan parciális deriváltokban, amelyek nem azonosak nullával, vagy kiterjesztett formában.

amely egyes tagok elosztása és az egyenlőség másik részébe való átvitele után a formára redukálódik

Általános esetben ennek a parciális differenciálegyenletnek az integrálása korántsem egyszerűbb feladat, mint az eredeti egyenlet integrálása, de bizonyos esetekben a (11) egyenlet egy adott megoldásának kiválasztása nem nehéz.

Ezen túlmenően, ha feltételezzük, hogy az integráló tényező csak egy argumentum függvénye (például csak vagy csak függvénye, vagy csak , vagy csak függvénye stb.), könnyen integrálhatjuk a (11) egyenletet, ill. jelölje meg azokat a feltételeket, amelyek mellett létezik a szóban forgó forma integráló tényezője. Így olyan egyenletosztályokat különítünk el, amelyekhez könnyen megtalálható az integráló tényező.

Például keressük meg azokat a feltételeket, amelyek mellett az egyenletnek van olyan integráló tényezője, amely csak -től függ, pl. . Ebben az esetben a (11) egyenlet leegyszerűsödik, és a következő alakot veszi fel, ahonnan feltételezve folyamatos funkció-tól kapunk

Ha csak függvénye, akkor a csak -től függő integráló tényező létezik és egyenlő (12), ellenkező esetben az alak integráló tényezője nem létezik.

A csak attól függő integráló tényező létezésének feltétele teljesül pl lineáris egyenlet vagy . Valóban, és ezért . Ehhez hasonlóan a formai stb. integráló tényezők létezésének feltételei is megtalálhatók.

Példa. Az egyenletnek van integráló tényezője a következő alakban?

Jelöljük. A (11) at egyenlet , ahonnan vagy

Adott formájú integráló tényező létezéséhez szükséges és a folytonosság feltételezése mellett elegendő, hogy csak . Ebben az esetben tehát létezik az integráló tényező, és egyenlő (13). Amikor megkapjuk. Az eredeti egyenletet megszorozva a formába hozzuk

Integrálva kapunk , és potencírozás után van , vagy in poláris koordináták- logaritmikus spirálok családja.

Példa. Keresse meg a tükör alakját, amely egy adott pontból kijövő összes sugarat egy adott irányban párhuzamosan veri vissza!

A koordináták origóját itt helyezzük el adott pontés irányítsa az abszcissza tengelyét párhuzamosan a feladat feltételei között meghatározott iránnyal. Hagyja, hogy a sugár a tükörre essen a ponton. Tekintsük a tükör egy szakaszát az abszcissza tengelyén és a ponton átmenő síkkal. Rajzoljunk érintőt a tükörfelület figyelembe vett szakaszára a pontban. Mivel a sugár beesési szöge egyenlő a visszaverődés szögével, a háromszög egyenlő szárú. Ennélfogva,

Megkapta homogén egyenlet könnyen integrálható a változók változtatásával, de még egyszerűbb megszabadulni a nevezőben lévő irracionalitástól és átírni a formába. Ennek az egyenletnek van egy nyilvánvaló integráló tényezője, , , (a parabolák családja).

Ez a probléma még könnyebben megoldható koordinátákban és ahol , míg a kívánt felületek metszetére vonatkozó egyenlet alakot ölt.

Bizonyítható egy integráló tényező létezése, vagy ami ugyanaz, a (11) parciális differenciálegyenlet nullától eltérő megoldásának létezése valamilyen tartományban, ha a és függvényeknek folytonos deriváltjai vannak, és ezek közül legalább egy. funkciók nem tűnnek el. Ezért az integráló faktor módszer tekinthető általános módszernek a alakú egyenletek integrálására, azonban az integráló tényező megtalálásának nehézsége miatt ezt a módszert leggyakrabban olyan esetekben alkalmazzák, amikor az integráló tényező nyilvánvaló.

Ebben a témában megvizsgálunk egy függvényt a teljes differenciálból való helyreállítására, példákat adunk a problémákra a megoldás teljes elemzésével.

Előfordulhat, hogy a P (x, y) d x + Q (x, y) d y \u003d 0 formájú differenciálegyenletek (DE) egyes függvények teljes differenciálját tartalmazhatják a bal oldali részekben. Ekkor megtalálhatjuk a DE általános integrálját, ha először visszaállítjuk a függvényt a teljes differenciáljából.

1. példa

Tekintsük a P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 egyenletet. Bal oldalának rekordja valamilyen függvény differenciálját tartalmazza U(x, y) = 0. Ehhez a ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x feltételnek teljesülnie kell.

Az U (x, y) = 0 függvény teljes differenciája d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y . A ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x feltételt figyelembe véve a következőt kapjuk:

P (x, y) d x + Q (x, y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

A kapott egyenletrendszerből az első egyenletet átalakítva a következőket kaphatjuk:

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

A φ (y) függvényt az előzőleg kapott rendszer második egyenletéből találhatjuk meg:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) d x ∂ y + φ y "(y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x, y) d x ∂ y d y

Így megtaláltuk a kívánt U (x, y) = 0 függvényt.

2. példa

Keresse meg DE (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0 általános megoldását.

Döntés

P (x, y) \u003d x 2 - y 2, Q (x, y) \u003d - 2 x y

Ellenőrizzük, hogy teljesül-e a ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x feltétel:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

Feltételünk teljesült.

A számítások alapján megállapíthatjuk, hogy az eredeti DE bal oldala valamely U (x, y) = 0 függvény teljes differenciája. Meg kell találnunk ezt a funkciót.

Mivel (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y az U (x, y) = 0 függvény teljes differenciálja, akkor

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

A rendszer első egyenletét integráljuk x-hez:

U (x, y) \u003d ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) \u003d x 3 3 - x y 2 + φ (y)

Most megkülönböztetjük az eredményt y függvényében:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y "(y)

A rendszer második egyenletét átalakítva a következőt kapjuk: ∂ U ∂ y = - 2 x y . Ez azt jelenti
- 2 x y + φ y "(y) = - 2 x y φ y" (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

ahol C tetszőleges állandó.

A következőt kapjuk: U (x, y) \u003d x 3 3 - x y 2 + φ (y) \u003d x 3 3 - x y 2 + C. Az eredeti egyenlet általános integrálja x 3 3 - x y 2 + C = 0 .

Elemezzünk egy másik módszert egy ismert teljes differenciál függvényének megtalálására. Ez magában foglalja egy görbe vonalú integrál alkalmazását egy rögzített pontból (x 0, y 0) egy változó koordinátájú (x, y) pontba:

U (x, y) = ∫ (x 0, y 0) (x, y) P (x, y) d x + Q (x, y) d y + C

Ilyen esetekben az integrál értéke semmilyen módon nem függ az integráció útjától. Integrációs útnak egy szaggatott vonalat vehetünk fel, melynek láncszemei párhuzamosak a koordinátatengelyekkel.

3. példa

Határozzuk meg az (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0 differenciálegyenlet általános megoldását!

Döntés

Vizsgáljuk meg, hogy teljesül-e a ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x feltétel:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

Kiderül, hogy a differenciálegyenlet bal oldalát valamilyen U (x, y) = 0 függvény teljes differenciálja reprezentálja. Ennek a függvénynek a megtalálásához ki kell számítani a pontból a görbe vonalú integrált (1 ; 1) előtt (x, y). Vegyünk integrációs útnak egy szaggatott vonalat, amelynek szakaszai egy egyenes mentén haladnak y=1(1 , 1) pontból (x , 1) pontba, majd (x , 1) pontból (x , y) pontba:

∫ (1, 1) (x, y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) ) d y + + ∫ (x, 1) (x, y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2) x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x 1 - x 1 2) = x y - x y 2

Megkaptuk az x y - x y 2 + C = 0 alakú differenciálegyenlet általános megoldását.

4. példa

Határozzuk meg az y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 differenciálegyenlet általános megoldását!

Döntés

Ellenőrizzük, hogy teljesül-e a ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x feltétel.

Mivel ∂ (y cos x) ∂ y = cos x, ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x cos x, a feltétel nem teljesül. Ez azt jelenti, hogy a differenciálegyenlet bal oldala nem a függvény teljes differenciálja. Ez egy szétválasztható differenciálegyenlet és más megoldások is alkalmasak a megoldására.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

néhány funkciót. Ha visszaállítjuk a függvényt a teljes differenciáljából, akkor megtaláljuk a differenciálegyenlet általános integrálját. Az alábbiakban arról fogunk beszélni a függvény teljes differenciáljából való visszanyerésének módszere.

A differenciálegyenlet bal oldala valamely függvény teljes differenciálja U(x, y) = 0 ha a feltétel teljesül.

Mert függvény teljes differenciája U(x, y) = 0 Ez , ami azt jelenti, hogy az általuk mondott feltételek mellett .

Azután, .

A rendszer első egyenletéből azt kapjuk . A függvényt a rendszer második egyenletével találjuk meg:

Így megtaláljuk a kívánt függvényt U(x, y) = 0.

Példa.

Keressük meg a DE általános megoldását .

Döntés.

Példánkban. A feltétel teljesül, mert:

Ekkor a kezdeti DE bal oldala valamely függvény teljes differenciája U(x, y) = 0. Meg kell találnunk ezt a funkciót.

Mert a függvény teljes differenciája U(x, y) = 0, jelentése:

Az integráció vége x A rendszer 1. egyenlete és differenciálható y eredmény:

A rendszer 2. egyenletéből kapjuk. Eszközök:

Ahol Val vel egy tetszőleges állandó.

Így, és az általános integrál adott egyenlet akarat .

Van egy második módszer egy függvény kiszámítására a teljes differenciáljából. Ez abból áll, hogy felvesszük egy fix pont görbe vonalú integrálját (x0, y0) változó koordinátájú ponthoz (x, y): . Ebben az esetben az integrál értéke független az integráció útjától. Kényelmes olyan szaggatott vonalat venni integrációs útnak, amelynek kapcsolatai párhuzamosak a koordinátatengelyekkel.

Példa.

Keressük meg a DE általános megoldását .

Döntés.

Ellenőrizzük a feltétel teljesülését:

Így a DE bal oldala valamely függvény teljes differenciája U(x, y) = 0. Ezt a függvényt a pont görbe integráljának kiszámításával találjuk meg (1; 1) előtt (x, y). Integrációs útvonalnak egy vonalláncot veszünk: a vonallánc első szakaszán egy egyenes mentén haladunk y=1 pontból (1, 1) előtt (x, 1), az út második szakaszaként egy egyenes szakaszt veszünk a pontból (x, 1) előtt (x, y):

Tehát a DE általános megoldása így néz ki: .

Példa.

Határozzuk meg a DE általános megoldását.

Döntés.

Mert , akkor a feltétel nem teljesül, akkor a DE bal oldala nem lesz a függvény teljes differenciája, és a második megoldási módszert kell használni (ez az egyenlet elválasztható változókkal rendelkező differenciálegyenlet).

Differenciális formaegyenletnek nevezzük

P(x,y)dx + K(x,y)dy = 0 ,

ahol a bal oldal két változó valamely függvényének teljes differenciája.

Két változó ismeretlen függvényét jelöljük (ezt kell megtalálnunk az egyenletek teljes differenciálbeli megoldása során) Fés hamarosan visszatérünk rá.

Az első dolog, amire figyelni kell, hogy az egyenlet jobb oldalán nullának kell lennie, a bal oldalon pedig a két tagot összekötő jelnek plusznak kell lennie.

Másodszor, bizonyos egyenlőséget kell betartani, ami megerősíti, hogy az adott differenciálegyenlet egyenlet a teljes differenciálokban. Ez az ellenőrzés kötelező része a teljes differenciálegyenletek megoldására szolgáló algoritmusnak (a lecke második bekezdésében található), tehát a függvény keresésének folyamata F meglehetősen időigényes, és már a kezdeti szakaszban fontos ügyelni arra, hogy ne vesztegessük az időt hiába.

Tehát a keresendő ismeretlen függvényt jelöli F. Az összes független változó részleges különbségeinek összege adja a teljes differenciát. Ezért, ha az egyenlet egy teljes differenciálegyenlet, akkor az egyenlet bal oldala a parciális differenciálok összege. Akkor definíció szerint

dF = P(x,y)dx + K(x,y)dy .

Emlékezzünk a képletre, amellyel két változó függvénye teljes differenciáját számíthatjuk ki:

Az utolsó két egyenlőséget megoldva írhatunk

Az első egyenlőség az "y" változóval, a második az "x" változóval kapcsolatban differenciálható:

ami a feltétele annak, hogy az adott differenciálegyenlet valóban egyenlet a teljes differenciálokban.

Algoritmus differenciálegyenletek megoldására összdifferenciálokban

1. lépés. Győződjön meg arról, hogy az egyenlet teljes differenciálegyenlet. A kifejezés érdekében valamely funkció teljes különbsége volt F(x, y), szükséges és elégséges az . Más szóval, figyelembe kell vennünk a részleges deriváltot xés a részleges származéka tekintetében y egy másik tag, és ha ezek a deriváltak egyenlőek, akkor az egyenlet egyenlet a teljes differenciálokban.

2. lépésÍrja fel a függvényt alkotó parciális differenciálegyenlet-rendszert! F:

3. lépés Integrálja a rendszer első egyenletét - vége x (y F:

,
y.

Alternatív lehetőség (ha így könnyebb megtalálni az integrált) a rendszer második egyenletének integrálása - y (xállandó marad és kikerül az integráljelből). Így a funkció is helyreáll F:

,
honnan van egy ismeretlen függvény x.

4. lépés A 3. lépés eredményét (a talált általános integrált) a y(alternatíva: x) és egyenlő a rendszer második egyenletével:

vagy a rendszer első egyenletéhez:

A kapott egyenletből meghatározzuk (egy alternatív változatban)

5. lépés A 4. lépés eredményét integrálja és megtalálja (alternatíva: find ).

6. lépés Helyettesítse az 5. lépés eredményét a 3. lépés eredményére - a részleges integrációval visszaállított funkcióba F. Tetszőleges állandó C gyakrabban az egyenlőségjel után írva - az egyenlet jobb oldalán. Így megkapjuk a differenciálegyenlet általános megoldását teljes differenciálokban. Mint már említettük, megvan a formája F(x, y) = C.

Példák differenciálegyenletek megoldására összdifferenciálokban

1. példa

1. lépés. egyenlet a teljes differenciálokban x egy kifejezést a kifejezés bal oldalán

és a részleges származéka tekintetében y másik kifejezés
egyenlet a teljes differenciálokban .

2. lépés F:

3. lépés tovább x (yállandó marad és kikerül az integráljelből). Így visszaállítjuk a funkciót F:

honnan van egy ismeretlen függvény y.

4. lépés y

5. lépés

6. lépés F. Tetszőleges állandó C :
.

Mi a legvalószínűbb hiba itt? A leggyakoribb hibák az, hogy a függvények szorzatának szokásos integráljának egyik változója fölé veszik a parciális integrált, és megpróbálnak részenként vagy helyettesítő változónként integrálni, valamint két tényező parciális deriváltját veszik a függvény deriváltjaként. függvények szorzata, és keresse meg a deriváltot a megfelelő képlet segítségével.

Ezt nem szabad elfelejteni: ha az egyik változóhoz viszonyítva parciális integrált számítunk, akkor a másik konstans és kikerül az integrál előjelből, ha pedig az egyik változóhoz viszonyított parciális deriváltot számítunk, akkor a másik is. egy konstans, a kifejezés deriváltja pedig a "cselekvő" változó származékaként szorozva egy konstanssal.

Között egyenletek teljes differenciálokban nem ritka – kitevős példák. Ez a következő példa. Figyelemre méltó az is, hogy megoldásában alternatív lehetőséget is alkalmaznak.

2. példa Differenciálegyenlet megoldása

1. lépés. Győződjön meg arról, hogy az egyenlet egyenlet a teljes differenciálokban . Ehhez megkeressük a parciális deriváltot x egy kifejezést a kifejezés bal oldalán

és a részleges származéka tekintetében y másik kifejezés
. Ezek a származékok egyenlőek, így az egyenlet is egyenlet a teljes differenciálokban .

2. lépés Felírjuk a függvényt alkotó parciális differenciálegyenlet-rendszert F:

3. lépés Integráljuk a rendszer második egyenletét - over y (xállandó marad és kikerül az integráljelből). Így visszaállítjuk a funkciót F:

honnan van egy ismeretlen függvény x.

4. lépés A 3. lépés eredménye (talált általános integrál) a következőhöz képest differenciálható x

és egyenlő a rendszer első egyenletével:

A kapott egyenletből meghatározzuk:
.

5. lépés Integráljuk a 4. lépés eredményét, és megtaláljuk:
.

6. lépés Az 5. lépés eredményét behelyettesítjük a 3. lépés eredményébe - a részleges integrációval visszaállított funkcióba F. Tetszőleges állandó Círd az egyenlőségjel mögé. Így megkapjuk a tábornokot differenciálegyenlet megoldása teljes differenciálokban :
.

A következő példában visszatérünk az alternatívától a főhöz.

3. példa Differenciálegyenlet megoldása

1. lépés. Győződjön meg arról, hogy az egyenlet egyenlet a teljes differenciálokban . Ehhez megkeressük a parciális deriváltot y egy kifejezést a kifejezés bal oldalán

és a részleges származéka tekintetében x másik kifejezés
. Ezek a származékok egyenlőek, így az egyenlet is egyenlet a teljes differenciálokban .

2. lépés Felírjuk a függvényt alkotó parciális differenciálegyenlet-rendszert F:

3. lépés Integráljuk a rendszer első egyenletét - tovább x (yállandó marad és kikerül az integráljelből). Így visszaállítjuk a funkciót F:

honnan van egy ismeretlen függvény y.

4. lépés A 3. lépés eredménye (talált általános integrál) a következőhöz képest differenciálható y

és egyenlő a rendszer második egyenletével:

A kapott egyenletből meghatározzuk:
.

5. lépés Integráljuk a 4. lépés eredményét, és megtaláljuk:

4. példa Differenciálegyenlet megoldása

1. lépés. Győződjön meg arról, hogy az egyenlet egyenlet a teljes differenciálokban . Ehhez megkeressük a parciális deriváltot y egy kifejezést a kifejezés bal oldalán

és a részleges származéka tekintetében x másik kifejezés
. Ezek a deriváltak egyenlőek, ami azt jelenti, hogy az egyenlet egyenlet a teljes differenciálokban.

2. lépés Felírjuk a függvényt alkotó parciális differenciálegyenlet-rendszert F:

3. lépés Integráljuk a rendszer első egyenletét - tovább x (yállandó marad és kikerül az integráljelből). Így visszaállítjuk a funkciót F:

honnan van egy ismeretlen függvény y.

4. lépés A 3. lépés eredménye (talált általános integrál) a következőhöz képest differenciálható y

és egyenlő a rendszer második egyenletével:

A kapott egyenletből meghatározzuk:
.

5. lépés Integráljuk a 4. lépés eredményét, és megtaláljuk:

5. példa Differenciálegyenlet megoldása