Síkmetszetek geometriai jellemzői. Az energianyomatékok változása a tengelyek párhuzamos fordítása során Tétel a tehetetlenségi tengelyek párhuzamos transzlációjáról

A lapos alak súlypontján átmenő tengelyeket központi tengelyeknek nevezzük.
A központi tengely körüli tehetetlenségi nyomatékot ún központi pillanat tehetetlenség.

Tétel

A tehetetlenségi nyomaték bármely tengely körül egyenlő az adott tengelyhez tartozó középtengely körüli tehetetlenségi nyomaték összegével, és az ábra területének szorzata a tengelyek közötti távolság négyzetével. .

Ennek a tételnek a bizonyításához vegyünk egy tetszőleges síkidomot, amelynek területe egyenlő DE , a súlypont azon a ponton található TÓL TŐL , és a tengely körüli központi tehetetlenségi nyomaték x akarat én x .
Számítsa ki az ábra tehetetlenségi nyomatékát valamely tengely körül! x 1 , párhuzamosan a központi tengellyel, és attól bizonyos távolságra de (rizs).

I x1 = Σ y 1 2 dA + Σ (y + a) 2 dA =
= Σ y 2 dA + 2a Σ y dA + a 2 Σ dA.

A kapott képletet elemezve megjegyezzük, hogy az első tag - axiális nyomaték A központi tengely körüli tehetetlenségi nyomaték a második tag az ábra területének statikus nyomatéka a központi tengelyhez képest (tehát egyenlő nullával), az integráció utáni harmadik tag pedig szorzatként ábrázolható. a 2 A , azaz ennek eredményeként a következő képletet kapjuk:

I x1 \u003d I x + a 2 A- bebizonyosodik a tétel.

A tétel alapján megállapítható, hogy számból párhuzamos tengelyek egy lapos alak tengelyirányú tehetetlenségi nyomatéka a legkisebb lesz a központi tengelyhez képest .

Főtengelyek és fő tehetetlenségi nyomatékok

Képzeljünk el egy síkidomot, amelynek tehetetlenségi nyomatékai a koordinátatengelyekre vonatkoznak én x És I y , és az origóra vonatkozó poláris tehetetlenségi nyomaték egyenlő I ρ . A korábban megállapítottak szerint

I x + I y = I ρ.

Ha a koordinátatengelyeket síkjukban az origó körül elforgatjuk, akkor a poláris tehetetlenségi nyomaték változatlan marad, a tengelyirányú nyomatékok pedig változnak, összegük pedig állandó marad. Mivel a változók összege állandó, ezért az egyik csökken, a másik növekszik, és fordítva.
Ezért a tengelyek egy bizonyos helyzetében az egyik axiális nyomaték eléri a maximális értéket, a másik pedig a minimumot.

Azokat a tengelyeket, amelyekhez képest a tehetetlenségi nyomaték minimális és maximális értéke van, fő tehetetlenségi tengelynek nevezzük.
A főtengely körüli tehetetlenségi nyomatékot fő tehetetlenségi nyomatéknak nevezzük.

Ha főtengelyáthalad az ábra súlypontján, ezt a fő központi tengelynek, az ilyen tengely körüli tehetetlenségi nyomatékot pedig fő központi tehetetlenségi nyomatéknak nevezzük.
Megállapítható, hogy ha egy ábra szimmetrikus valamely tengelyre, akkor mindig ez a tengely lesz ennek az alaknak az egyik fő központi tehetetlenségi tengelye.

centrifugális tehetetlenségi nyomaték

Egy lapos alak centrifugális tehetetlenségi nyomatéka az elemi területek szorzatának összege a teljes területen, két egymásra merőleges tengelyen:

I xy = Σ xy dA,

ahol x , y - távolság a helyszíntől dA tengelyekre x És y .
A centrifugális tehetetlenségi nyomaték lehet pozitív, negatív vagy nulla.

A centrifugális tehetetlenségi nyomatékot az aszimmetrikus szakaszok főtengelyeinek helyzetét meghatározó képletek tartalmazzák.
A szabványos profilok táblázatai tartalmaznak egy ún a szakasz forgási sugara , a következő képletekkel számítjuk ki:

i x = √ (I x / A),i y = √ (I y / A) , (a továbbiakban a jel"√"- gyökér jel)

ahol én x, én y - a szakasz tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékai a központi tengelyekhez képest; DE - keresztmetszeti terület.
Ezt a geometriai jellemzőt az excenteres feszültség vagy összenyomás, valamint a kihajlás vizsgálatára használják.

Torziós deformáció

A torzió alapfogalmai. Kerek rúd csavarása.

A torzió az alakváltozás olyan fajtája, amelynél a gerenda bármely keresztmetszetében csak nyomaték lép fel, azaz olyan erőtényező, amely a szakasznak egy erre a szakaszra merőleges tengelyéhez képest körkörös elmozdulását idézi elő, vagy megakadályozza az ilyen mozgást. Más szóval, torziós deformációk akkor lépnek fel, ha egy vagy több erőt egy egyenes gerendára a tengelyére merőleges síkban fejtünk ki.
Ezen erőpárok nyomatékait csavarónak vagy forgónak nevezzük. A nyomatékot jelöljük T .
Egy ilyen definíció feltételesen felosztja a torziós alakváltozás erőtényezőit külső (csavaró, nyomatéknyomatékok) T ) és belső (nyomaték M kr ).

A gépekben és mechanizmusokban a kerek vagy cső alakú tengelyek leggyakrabban csavarodásnak vannak kitéve, ezért az ilyen egységekre, alkatrészekre leggyakrabban szilárdsági és merevségi számításokat végeznek.

Tekintsük egy kerek hengeres tengely torzióját.
Képzeljünk el egy hengeres gumi tengelyt, amelynek egyik vége mereven rögzítve van, és egy hosszirányú vonalakból és keresztirányú körökből álló rácsot helyezünk a felületre. A tengely szabad végére erőt fejtünk ki, ennek a tengelynek a tengelyére merőlegesen, azaz a tengely mentén megcsavarjuk. Ha alaposan átgondolja a rácsvonalakat a tengely felületén, észre fogja venni, hogy:
- a tengely tengelye, amelyet torziós tengelynek nevezünk, egyenes marad;
- a körök átmérője változatlan marad, és a szomszédos körök közötti távolság nem változik;
- a tengelyen lévő hosszanti vonalak csavarvonalakká alakulnak.

Ebből arra következtethetünk, hogy ha egy kerek hengeres gerendát (tengelyt) csavarunk, akkor a hipotézis igaz lapos szakaszok, és azt is feltételezzük, hogy a körök sugarai az alakváltozás során egyenesek maradnak (mivel átmérőjük nem változott). És mivel a tengely szakaszaiban nincsenek hosszanti erők, a köztük lévő távolság megmarad.

Ezért a kerek tengely torziós deformációja a keresztmetszetek egymáshoz viszonyított elforgatásából áll a torziós tengely körül, és forgási szögük egyenesen arányos a rögzített szakasztól való távolságokkal - minél távolabb van a rögzített végétől. a tengely tetszőleges metszetű, annál nagyobb szögben csavarodik el a tengely tengelyéhez képest.
A tengely minden szakaszánál a forgásszög megegyezik a tengely e szakasz és a vége (rögzített vég) közé zárt részének csavarodási szögével.

injekció ( rizs. egy) a tengely szabad végének (végszakasz) elfordulását a hengeres rúd (tengely) teljes csavarodási szögének nevezzük.
Relatív csavarási szög φ 0 a csavarodási szög arányának nevezzük φ 1 távolságra l 1 ettől a szakasztól a befejezésig (fix szakasz).
Ha egy hengeres gerenda (tengely), amelynek hossza l állandó keresztmetszetű és a szabad végén torziós nyomatékkal van terhelve (azaz homogén geometriai metszetből áll), akkor igaz az állítás:
φ 0 = φ 1 / l 1 = φ / l = állandó - az érték állandó.

Ha figyelembe vesszük a fenti gumihengeres rúd felületén lévő vékony réteget ( rizs. egy) egy rácscella határolja cdef , megjegyezzük, hogy ez a cella deformáció közben elferdül, és a rögzített szakasztól távolabbi oldala a gerenda csavarodása felé tolódik el, felveszi a pozíciót. cde 1 f 1 .

Megjegyzendő, hogy hasonló kép figyelhető meg a nyírási deformáció során, csak ebben az esetben a felület deformálódik a szakaszok egymáshoz viszonyított transzlációs elmozdulása miatt, és nem a forgási elmozdulás miatt, mint a torziós deformációnál. Ez alapján arra a következtetésre juthatunk, hogy a keresztmetszetek csavarása során csak érintők keletkeznek belső erők(stressz), amely a nyomatékot generálja.

Tehát a nyomaték a keresztmetszetben ható belső érintőleges erők nyalábjának tengelyéhez viszonyított eredő nyomatéka.

7. ábra

ahol én x, én y a referenciatengelyekhez viszonyított tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok;

Ixy a centrifugális tehetetlenségi nyomaték a referenciatengelyekre vonatkoztatva;

Én xc, én yc a központi tengelyekre vonatkozó tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok;

Én xcyc a centrifugális tehetetlenségi nyomaték a központi tengelyek körül;

a, b- a tengelyek közötti távolság.

A szakasz tehetetlenségi nyomatékainak meghatározása a tengelyek elforgatásakor

A metszetnek a központi tengelyekhez viszonyított összes geometriai jellemzője ismert x C,C-nél(8. ábra). Határozza meg a tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékokat! x 1,1 a központiakhoz képest valamilyen szöggel elforgatva a.

8. ábra

ahol I x 1, I y 1 a tengelyekre vonatkoztatott tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok x 1,1 ;

I x 1 y 1 a tengelyekre vonatkoztatott centrifugális tehetetlenségi nyomaték x 1,1 .

A fő központi tehetetlenségi tengelyek helyzetének meghatározása

A szakasz fő központi tehetetlenségi tengelyeinek helyzetét a következő képlet határozza meg:

ahol egy 0 a központi és a fő tehetetlenségi tengely közötti szög.

A fő tehetetlenségi nyomatékok meghatározása

A szakasz fő tehetetlenségi nyomatékait a következő képlet határozza meg:

Egy összetett szakasz kiszámításának sorrendje

1) Bontson fel egy összetett szakaszt egyszerű részekre geometriai alakzatok [S1, S2,…;x 1, y 1; x2, y2, …]

2) Válasszon tetszőleges tengelyeket XOY .

3) Határozza meg a szakasz súlypontjának helyzetét! [x c , y c].

4) Rajzolja meg a központi tengelyeket X c OY c.

5) Számítsa ki a tehetetlenségi nyomatékokat! x c, Iy c , a tengelyek párhuzamos fordításának tételével.

6) Számítsa ki a centrifugális tehetetlenségi nyomatékot! Ix c y c.

7) Határozza meg a fő tehetetlenségi tengelyek helyzetét! tg2a 0.

8) Számítsa ki a fő tehetetlenségi nyomatékokat! Imax, Én benne vagyok.

2. PÉLDA

A 13. ábrán látható ábrához határozza meg a főbb pontokat

a tehetetlenség és a fő tehetetlenségi tengelyek helyzete.

1) Egy összetett szakaszt egyszerű geometriai alakzatokra bontunk

S 1 \u003d 2000 mm 2, S2 = 1200 mm2, S= 3200 mm2.

2) Válasszon tetszőleges XOY tengelyt.

3) Határozza meg a szakasz súlypontjának helyzetét!

x c = 25 mm, yc=35 mm.

4) Rajzolja meg a központi tengelyeket X c OY c

5) Számítsa ki a tehetetlenségi nyomatékokat! Ix c , Iy c

6) Számítsa ki a centrifugális tehetetlenségi nyomatékot! Ix c y c

7) Határozza meg a fő tehetetlenségi tengelyek helyzetét!

Ha I x >I y És a 0 >0 , majd a szög egy 0 tengelyen kívül X s óramutató járásával ellentétes irányban.

8) Számítsa ki a fő tehetetlenségi nyomatékokat! Imax, Én benne vagyok

3. PÉLDA

ábrán látható ábrához. 8 határozza meg a főtengelyek helyzetét

8. ábra

tehetetlenségi nyomatékok és fő tehetetlenségi nyomatékok.

1) Minden ábrához kiírjuk a főbb kiindulási adatokat

Csatorna

S 1 = 10,9 cm2

I x = 20,4 cm 4

I y = 174 cm 4

y 0= 1,44 cm

h= 10 cm

egyenlőtlen sarok

S 3 = 6,36 cm2

I x = 41,6 cm 4

I y = 12,7 cm 4

I min = 7,58 cm 4

tga= 0,387

x0= 1,13 cm

y 0= 2,6 cm

Téglalap

S2 = 40 cm2

cm 4

2) Rajzolunk egy metszetet egy skálán

3) Rajzoljon tetszőleges koordinátatengelyeket

4) Határozza meg a szakasz súlypontjának koordinátáit!

5) Rajzolja meg a központi tengelyeket

6) Határozza meg a központi tengelyekre vonatkozó tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékokat!

7) Határozza meg a központi tengelyekre vonatkozó centrifugális tehetetlenségi nyomatékot!

A sarokhengerelt acél súlypontjához viszonyított centrifugális tehetetlenségi nyomatékát az egyikből határozzuk meg a következő képleteket:

-4

A centrifugális tehetetlenségi nyomaték előjele sarokhengerelt acél esetén az 1. ábra szerint kerül meghatározásra. 9, szóval I xy 3\u003d -13,17 cm 4.

8) Határozza meg a fő tehetetlenségi tengelyek helyzetét!

a0 = 21,84°

9) Határozza meg a fő tehetetlenségi nyomatékokat!

4. FELADAT

Adott sémákhoz (6. táblázat) szükséges:

1) Rajzolja meg a keresztmetszetet szigorú léptékben!

2) Határozza meg a súlypont helyzetét!

3) Keresse meg a központi tengelyekre vonatkozó tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok értékét.

4) Határozza meg a központi tengelyekre vonatkozó centrifugális tehetetlenségi nyomaték értékét!

5) Határozza meg a fő tehetetlenségi tengelyek helyzetét!

6) Keresse meg a fő tehetetlenségi nyomatékokat!

Vegye ki a numerikus adatokat a táblázatból. 6.

Tervezési sémák a 4. számú feladathoz

6. táblázat

Kiinduló adatok a 4. számú feladathoz

№	Egyenlő polcos sarok	A sarok egyenlőtlen	I-sugár	Csatorna	Téglalap	séma száma
	30'5	50'32'4			100×30
	40'6	56´36´4			100×40
	50'4	63'40'8			100×20
	56´4	70'45'5			80'40
	63´6	80'50'6		14a	80'60
	70'8	90'56'6			80'100
	80'8	100'63'6	20a	16a	80'20
	90'9	90'56'8			60'40
	75'9	140'90'10	22a	18a	60'60
	100×10	160'100'12			60'40
	d	de	b	ban ben	G	d

Útmutató az 5. feladathoz

A hajlítás olyan alakváltozás, amelyben a rúd keresztmetszetében V.S.F lép fel. - hajlítási nyomaték.

A hajlítási sugár kiszámításához ismerni kell a legnagyobb hajlítónyomaték értékét Més annak a szakasznak a helyzete, amelyben előfordul. Ugyanígy a legnagyobb oldalerőt is ismerni kell K. Erre a célra a hajlítási nyomatékok és a nyíróerők diagramjait építik fel. A diagramok alapján könnyen meg lehet ítélni, hogy hol lesz maximális érték nyomaték vagy keresztirányú erő. Az értékek meghatározásához MÉs K szakaszolás módszerével. Tekintsük az ábrán látható áramkört. 9. Állítsa össze a tengelyre ható erők összegét! Y a gerenda levágott részére hatva.

9. ábra

A keresztirányú erő egyenlő a szakasz egyik oldalán ható összes erő algebrai összegével.

Állítsa össze a gerenda levágott részére ható nyomatékok összegét a metszethez képest.

A hajlítónyomaték egyenlő a gerenda levágott részére ható összes nyomaték algebrai összegével, a szakasz súlypontjához viszonyítva.

Ahhoz, hogy a gerenda bármely végéről tudjunk számolni, el kell fogadni a belső erőtényezőkre vonatkozó előjelszabályt.

Nyíróerőhöz K.

10. ábra.

Ha külső erő a gerenda levágott részét az óramutató járásával megegyező irányba forgatja, akkor az erő pozitív, ha külső erő a gerenda levágott részét az óramutató járásával ellentétes irányba forgatja, akkor az erő negatív.

A hajlítási nyomatékhoz M.

11. ábra.

Ha befolyás alatt áll külső erő a gerenda ívelt tengelye homorú tál alakú, így a felülről érkező eső megtölti vízzel, ekkor a hajlítónyomaték pozitív (11a. ábra). Ha külső erő hatására a gerenda hajlított tengelye domború tál alakú, így a felülről hulló eső nem tölti meg vízzel, akkor a hajlítónyomaték negatív (11b. ábra).

Az elosztott terhelés intenzitása között q, keresztirányú erő Kés hajlítónyomaték M, egy bizonyos szakaszban a következő különbségi függőségek vannak:

Ezek a hajlítási különbségek lehetővé teszik számunkra, hogy megállapítsuk a keresztirányú erők és hajlítónyomatékok diagramjainak néhány jellemzőjét.

1) Azokon a területeken, ahol nincs megosztott terhelés, a diagram K a diagram és a diagram tengelyével párhuzamos egyenesekre korlátozódik M , általános esetben ferde egyenesek (19. ábra).

2) Azokon a területeken, ahol egyenletes eloszlású terhelés éri a gerendát, a diagram K ferde egyenesek és a diagram korlátozza M – másodfokú parabolák(20. ábra). Tervezéskor M összenyomott szálakon a parabola konvexitása az elosztott terhelés hatásával ellentétes irányba fordul (21a, b ábra).

12. ábra.

13. ábra.

3) Azokban a szakaszokban, ahol K= 0, a diagram érintője M párhuzamos a telek tengelyével (12., 13. ábra). A hajlítónyomaték a gerenda ilyen szakaszaiban extrém nagyságú ( M max,Mmin).

4) Azokon a területeken, ahol Q > 0, M növeli, vagyis balról jobbra haladva a diagram pozitív ordinátáit M növekedés, negatív - csökkenés (12., 13. ábra); azokon a területeken, ahol K < 0, M csökken (12., 13. ábra).

5) Azokon a szakaszokon, ahol koncentrált erők fejtik ki a gerendát:

a) a telken K nagyságrendileg és a kifejtett erők irányában ugrások lesznek (12., 13. ábra).

b) a diagramon M törések lesznek (12., 13. ábra), a törés csúcsa az erőhatás ellen irányul.

6) Azokon a szakaszokon, ahol koncentrált nyomatékok hatnak a gerendára, a diagramon M ugrások lesznek ezeknek a pillanatoknak a nagyságában, a diagramon K nem lesz változás (14. ábra).

14. ábra.

15. ábra.

7) Ha egy koncentrált

nyomaték, akkor ebben a szakaszban a hajlítónyomaték egyenlő a külső nyomatékkal (szelvények CÉs Bábrán. 15).

8) Diagram K a diagram deriváltjának diagramja M. Tehát az ordináták K arányos a diagram érintőjének meredekségének érintőjével M(14. ábra).

A rajzolás sorrendje KÉs M:

1) A gerenda számítási diagramja készül (tengely formájában), a rá ható terhelések képével.

2) A támasztékok gerendára gyakorolt hatását a megfelelő reakciók váltják fel; megadjuk a reakciók megnevezését és elfogadott irányait.

3) A gerenda egyensúlyi egyenleteit állítják össze, amelyek megoldása határozza meg a támasztóreakciók értékeit.

4) A gerenda szakaszokra van felosztva, amelyek határai a külső koncentrált erők és nyomatékok alkalmazási pontjai, valamint a hatás vagy az elosztott terhelések természetében bekövetkező változás kezdetének és végének pontjai.

5) Hajlítónyomatékok összeállított kifejezései Més keresztirányú erők K a gerenda minden szakaszához. A számítási séma minden szakaszon jelzi a távolságok számlálásának kezdetét és irányát.

6) A kapott kifejezések alapján a diagramok ordinátáit számos gerendaszakaszra számítjuk ki olyan mennyiségben, amely elegendő ezen diagramok megjelenítéséhez.

7) Meghatározzuk azokat a szakaszokat, amelyekben a keresztirányú erők nullával egyenlőek, és amelyekben ezért nyomatékok hatnak Mmax vagy Mmin a gerenda ezen szakaszához; ezeknek a pillanatoknak az értékeit kiszámítjuk.

8) A diagramok az ordináták kapott értékei szerint épülnek fel.

9) A megszerkesztett diagramokat egymással összehasonlítva ellenőrizzük.

A veszélyes szakasz meghatározásához a hajlítás során fellépő belső erőtényezők diagramjai készülnek. A veszélyes szakasz megtalálása után a gerenda szilárdságát számítják ki. Általában keresztirányú hajlítás, amikor a gerenda szakaszaiban hajlítónyomaték és keresztirányú erő hat, a gerenda szakaszában normál és nyírófeszültségek keletkeznek. Ezért logikus két szilárdsági feltételt figyelembe venni:

a) normál igénybevételek hatására

b) nyírófeszültségek

Mivel a gerendák fő romboló tényezője a normál feszültségek, ezért az elfogadott alakú gerenda keresztmetszetének méreteit a normál feszültségekre vonatkozó szilárdsági feltételből határozzuk meg:

Ezután ellenőrzik, hogy a kiválasztott gerendaszakasz megfelel-e a nyírófeszültségi szilárdsági feltételnek.

A gerendák számításának ilyen megközelítése azonban még nem jellemzi a gerenda szilárdságát. Sok esetben a gerendaszakaszokon vannak olyan pontok, amelyekben egyszerre hat nagy normál- és nyírófeszültség. Ilyen esetekben szükségessé válik a gerenda szilárdságának ellenőrzése a fő feszültségekre. Az ilyen ellenőrzésre leginkább a harmadik és a negyedik erősségi elmélet alkalmazható:

, .

1. PÉLDA

Nyíróerő-parcellák építése Kés hajlítónyomaték Mábrán látható gerendához. 16 ha: F1= 3 kN F2= 1,5 kN, M = 5,1 kN∙m, q = =2kN/m, de = 2 m, b = 1 m, tól től = 3 m.

16. ábra.

1) Határozza meg a támasztó reakciókat!

;

Vizsgálat:

A reakciókat helyesen találtuk

2) Oszd fel a gerendát szakaszokra CA,HIRDETÉS,DE,EK,KB.

3) Határozza meg az értékeket! KÉs M minden területen.

, ; , .

HIRDETÉS

, ;

, .

, ;

, .

, , ;

, , .

Keresse meg a maximális hajlítási nyomatékot a szakaszon KB.

Tegye egyenlővé az egyenletet K ezen a szakaszon nullázzuk, és fejezzük ki a koordinátát zmax , amellyel K= 0, és a pillanatnak van maximális értéke. Ezután helyettesítjük zmax a szakasz pillanategyenletébe, és keresse meg Mmax.

, ;

, .

4) Diagramokat készítünk (16. ábra)

2. PÉLDA

ábrán látható gerendához. 16 határozza meg egy kerek, téglalap alakú ( h/b = 2) és egy I-szakasz. Ellenőrizze az I-gerenda szilárdságát a fő feszültségek szerint, ha [s]= 150 MPa, [t]= 150 MPa.

1) A szilárdsági feltételből meghatározzuk a szükséges ellenállási nyomatékot

2) Határozza meg a körmetszet méreteit!

3) Határozza meg a téglalap alakú metszet méreteit!

4) A 10-es számú I-gerenda kiválasztása a választék szerint (GOST 8239-89)

W X\u003d 39,7 cm 3, S X * \u003d 23 cm 3, én X = 198 cm 4, h = 100 mm, b = 55 mm, d = 4,5 mm, t = 7,2 mm.

A gerenda főfeszültségek szerinti szilárdságának ellenőrzéséhez szükséges a normál és a nyírófeszültségek ábrázolása a veszélyes szakaszon. Mivel a főfeszültségek nagysága mind a normál, mind a nyírófeszültségtől függ, a szilárdsági vizsgálatot a gerenda azon szakaszán kell elvégezni, ahol MÉs K elég nagyok. egy támaszon BAN BEN(16. ábra) nyíróerő K maximális értéke van, de itt M= 0. ezért a támasztékról szóló részt veszélyesnek tartjuk DE, ahol a hajlítónyomaték maximális és a keresztirányú erő viszonylag nagy.

A metszet magassága mentén változó normál feszültségek betartják a lineáris törvényt:

ahol y- a szakaszpont koordinátája (24. ábra).

nál nél nál nél= 0, s = 0;

nál nél ymax ,

A nyírófeszültségek változásának törvényét a terület statikus nyomatékának változásának törvénye határozza meg, amely viszont a metszet magassága mentén a parabolatörvény szerint változik. A szelvény jellemző pontjainak értékét kiszámítva elkészítjük a nyírófeszültségek diagramját. A t értékeinek kiszámításakor a metszet méretére vonatkozó jelölést használjuk, amely az ábrán látható. 17.

A 3-3 réteg szilárdsági feltétele teljesül.

5. FELADAT

A megadott gerendákhoz (12. táblázat) készítse el a keresztirányú erő diagramjait Kés hajlítónyomaték M. Válasszon egy keresztmetszetet a séma a) köréhez [s]= 10 MPa; b) I-gerenda [s]= 150 MPa.

Vegye ki a numerikus adatokat a táblázatból. 7.

7. táblázat

Kiinduló adatok a 6. számú feladathoz

№

a, m

q 1 \u003d q 3, kN/m

q 2, kN/m

F 1 , kN

F 2, kN

F 3, kN

M 1, kN∙m

M 2, kN∙m

M 3, kN∙m

séma száma

0,8

1,2

A 12. táblázat folytatása

Gyakorlati feladatok megoldása során gyakran meg kell határozni egy szakasz tehetetlenségi nyomatékait a síkjában különböző módon orientált tengelyekhez képest. Ebben az esetben célszerű a teljes szakasz (vagy egyes részei) más tengelyekhez viszonyított tehetetlenségi nyomatékainak már ismert értékeit használni, amelyeket a szakirodalom, a speciális referenciakönyvek és táblázatok, valamint a a rendelkezésre álló képletekkel számítjuk ki. Ezért nagyon fontos az azonos szakasz különböző tengelyekhez viszonyított tehetetlenségi nyomatékai közötti kapcsolat megállapítása.

A legáltalánosabb esetben az átmenet bármely régiről bármelyikre új rendszer A koordináták a régi koordinátarendszer két egymást követő transzformációjának tekinthetők:

1) a koordinátatengelyek párhuzamos áthelyezésével egy új pozícióba és

2) az új origóhoz viszonyított elforgatásával. Tekintsük ezen transzformációk közül az elsőt, vagyis a párhuzamos fordítást koordinátatengelyek.

Tegyük fel, hogy egy adott szakasznak a régi tengelyekhez viszonyított tehetetlenségi nyomatékai (18.5. ábra) ismertek.

Vegyünk egy új koordináta-rendszert, amelynek tengelyei párhuzamosak a régiekkel. Jelölje a és b a pont (azaz az új origó) koordinátáit a régi koordinátarendszerben

Tekintsünk egy elemi területet, melynek koordinátái a régi koordinátarendszerben y és . Az új rendszerben egyenlők

Helyettesítsük be ezeket a koordinátaértékeket a tengely körüli tengelyirányú tehetetlenségi nyomaték kifejezésébe

A kapott kifejezésben a tehetetlenségi nyomaték, a szakasz tengely körüli statikus nyomatéka megegyezik a szakasz F területével.

Következésképpen,

Ha a z tengely átmegy a szakasz súlypontján, akkor a statikus nyomaték ill

A (25.5) képletből látható, hogy minden olyan tengely körüli tehetetlenségi nyomaték, amely nem megy át a tömegközépponton, nagyobb, mint a tömegközépponton átmenő tengely körüli tehetetlenségi nyomaték egy olyan mértékű, amely mindig pozitív . Ezért a párhuzamos tengelyekre ható összes tehetetlenségi nyomaték közül a tengelyirányú tehetetlenségi nyomaték legkisebb érték a szakasz súlypontján átmenő tengelyhez képest.

A tengely körüli tehetetlenségi nyomaték [a (24.5) képlettel analógia]

Abban az esetben, ha az y tengely áthalad a metszet súlypontján

A (25.5) és (27.5) képletet széles körben használják összetett (összetett) szakaszok tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékának számításakor.

Helyettesítsük be az értékeket a tengelyekre vonatkozó centrifugális tehetetlenségi nyomaték kifejezésébe

Adott: az ábra tehetetlenségi nyomatékai a z, y tengelyek körül; ezek és a párhuzamos tengelyek közötti távolságok z 1, y 1 - a, b.

Határozzuk meg: a z 1, y 1 tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékokat (4.7. ábra).

Az új z 1 Oy 1 rendszer bármely pontjának koordinátái a régi rendszer koordinátáival a következők szerint fejezhetők ki:

z 1 = z + b, y 1 = y + a.

Ezeket az értékeket behelyettesítjük a (4.6) és (4.8) képletbe, és terminusonként integráljuk:

A (4.1) és (4.6) képletekkel összhangban azt kapjuk, hogy

, (4.13)

Ha a zCy tengely kezdőadatai központiak, akkor az S z és a statikus nyomatékok

S y egyenlő nullával, és a (4.13) képlet egyszerűsödik:

, (4.14)

Példa: határozzuk meg egy téglalap tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékát az alapon áthaladó 1 z tengely körül (4.6. ábra, a). A (4.14) képlet szerint

4.4. A tehetetlenségi nyomatékok kapcsolata a tengelyek forgatásakor

Adott: tetszőleges alak tehetetlenségi nyomatékai a z, y koordinátatengelyekhez képest; ezen tengelyek elfordulási szöge α (4.8. ábra). Az óramutató járásával ellentétes forgásszöget pozitívnak tekintjük.

Határozzuk meg: az ábra tehetetlenségi nyomatékait z 1 , y 1 -hez viszonyítva.

Egy tetszőleges dF elemi terület koordinátáit az új tengelyekben a régi tengelyrendszer koordinátáiban fejezzük ki:

z 1 = OB = OE + EB = OE + DC = zcos α + ysin α,

y 1 = AB = AC - BC = AC - ED = ycos α - zsin α.

Ezeket az értékeket helyettesítjük (4.6) és (4.8) értékekkel, és terminusonként integráljuk:

A (4.6) és (4.8) képletet figyelembe véve végül azt kapjuk, hogy:

. (4.16)

A (4.15) képleteket összeadva a következőket kapjuk: (4.17)

Ily módon a tengelyek elforgatásakor a tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok összege állandó marad. Ebben az esetben mindegyik a (4.15) képleteknek megfelelően változik. Nyilvánvaló, hogy a tengelyek bizonyos helyzeteinél a tehetetlenségi nyomatékok szélsőértékkel bírnak: az egyik a legnagyobb, a másik a legkisebb.

4.5. Főtengelyek és fő tehetetlenségi nyomatékok

A legnagyobb gyakorlati jelentőségűek a fő központi tengelyek, amelyek centrifugális tehetetlenségi nyomatéka nullával egyenlő. Az ilyen tengelyeket u, u betűkkel fogjuk jelölni. Ezért J uυ = 0. A kezdeti tetszőleges z, y koordinátarendszert olyan α 0 szögben kell elforgatni, hogy a centrifugális tehetetlenségi nyomaték nullával egyenlő legyen. Ha (4.16) nullával egyenlővé válik, megkapjuk

. (4.18)

Kiderült, hogy a tehetetlenségi nyomatékok elméletét és a síkfeszültségi állapot elméletét ugyanaz a matematikai apparátus írja le, mivel a (4.15) - (4.18) képletek megegyeznek a (3.10), (3.11) és (3.18) képletekkel. . Csak a normál σ feszültségek helyett J z és J y tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok, nyírófeszültségek helyett pedig τ zy - J zy centrifugális tehetetlenségi nyomatékok íródnak. Ezért a fő tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok képleteit levezetés nélkül adjuk meg, a (3.18) képletekkel analóg módon:

.(4.19)

A (4.18)-ból kapott α 0 szög két értéke 90 0 -kal különbözik egymástól, ezek közül a szögek közül a kisebbik abszolút értékben nem haladja meg a 45 0-t.

Tehetetlenségi sugár és ellenállási nyomaték

Egy alak tehetetlenségi nyomatéka bármely tengely körül az alakzat területének szorzataként ábrázolható egy bizonyos mennyiség négyzetével, ún. forgás sugara:

, (4.20)

ahol i z a z tengelyhez viszonyított tehetetlenségi sugár.

A (4.20) kifejezésből az következik

,
. (4.21)

A fő központi tehetetlenségi tengelyek megfelelnek a fő tehetetlenségi sugarak

,
. (4.22)

A fő forgatási sugarak ismeretében grafikusan megkeresheti egy tetszőleges tengely körüli forgási sugarat (és ennek következtében a tehetetlenségi nyomatékot).

Tekintsünk egy másik geometriai jellemzőt, amely jellemzi a rúd torziós és hajlítási szilárdságát - ellenállás pillanata. Az ellenállási nyomaték egyenlő a tehetetlenségi nyomaték osztva a tengely (vagy a pólus) és a szakasz legtávolabbi pontja közötti távolsággal. Az ellenállási nyomaték dimenziója a hosszúság mértékegysége egy kockában (cm 3).

Téglalaphoz (4.6. ábra, a)
,
, tehát a tengelyirányú ellenállási nyomatékok