A fő, három egymásra merőleges tengely a c.-l. a test pontja, és rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy ha ezeket koordinátatengelyeknek vesszük, akkor a test e tengelyekre vonatkozó centrifugális tehetetlenségi nyomatékai nullával egyenlőek. Ha a tv. egy pontban rögzített testet forgásba hozunk egy tengely körül, ami egy adott pontban yavl. fő O. és., akkor a test külső erők hiányában tovább forog e tengely körül, mintha egy rögzített tengely körül. A fogalma a fő O. és. játszik fontos szerep a TV hangszórójában test.

Fizikai enciklopédikus szótár. - M.: Szovjet Enciklopédia..1983 .

Tehetetlenségi tengely

A fő három egymásra merőleges tengely, amelyet Ph.D.-n keresztül rajzoltak meg. pont, amely egybeesik a test tehetetlenségi ellipszoidjának tengelyeivel ezen a ponton. Fő O. és. rendelkeznek azzal a tulajdonsággal, hogy ha ezeket koordinátatengelyeknek vesszük, akkor a test centrifugális tehetetlenségi nyomatékai ezekre a tengelyekre vonatkoztatva nullával egyenlőek. Ha az egyik koordinátatengely pl. tengely Ó, pontra szól RÓL RŐL a fő O. és., majd a centrifugális tehetetlenségi nyomatékok, amelyek mutatói tartalmazzák ennek a tengelynek a nevét, i.e. IxyÉs én xz, egyenlők nullával. Ha egy egy pontban rögzített szilárd testet egy tengely körül forgásba hozunk, akkor az adott pont éle a fő O. és., akkor a test külső hiányában. az erők továbbra is forognak e tengely körül, mint egy rögzített tengely körül.

Fizikai enciklopédia. 5 kötetben. - M.: Szovjet Enciklopédia.A. M. Prokhorov főszerkesztő.1988 .

Tengelyek, melyekhez képest centrifugális nyomaték A tehetetlenségi nyomaték nulla, fő tehetetlenségi nyomatékoknak nevezzük, az ezekre a tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékokat pedig fő tehetetlenségi nyomatékoknak.

Írjuk át a (2.18) képletet az ismert trigonometrikus összefüggések figyelembevételével:

;

ebben a formában

A fő központi tengelyek helyzetének meghatározásához megkülönböztetjük a (2.21) egyenlőséget az α szög tekintetében, miután megkaptuk.

Az α=α 0 szög bizonyos értékénél a centrifugális tehetetlenségi nyomaték nullának bizonyulhat. Ezért figyelembe véve a származékot ( ban ben), a tengelyirányú tehetetlenségi nyomaték szélső értéket vesz fel. Egyenlítés

,

képletet kapunk a fő tehetetlenségi tengelyek helyzetének meghatározására a következő formában:

(2.22)

A (2.21) képletben a cos2-t kivesszük a zárójelekből α 0 és helyettesítse be a (2,22) értéket, és figyelembe véve a jól ismert trigonometrikus függést kapunk:

Az egyszerűsítés után végül egy képletet kapunk a fő tehetetlenségi nyomatékok értékeinek meghatározására:

(2.23)

A (20.1) képlet a főtengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékok meghatározására szolgál. A (2.22) képlet nem ad közvetlen választ arra a kérdésre, hogy melyik tengely tehetetlenségi nyomatéka lesz a legnagyobb vagy a legkisebb. A síkfeszültségi állapot tanulmányozásának elméletével analóg módon kényelmesebb képleteket mutatunk be a fő tehetetlenségi tengelyek helyzetének meghatározására:

(2.24)

Itt α 1 és α 2 határozza meg a tengelyek helyzetét, amelyekhez képest a tehetetlenségi nyomatékok rendre egyenlőek J 1 és J 2. Ebben az esetben szem előtt kell tartani, hogy a szögek moduljainak összege α 01 és α 02 egyenlőnek kell lennie π/2-vel:

A (2.24) feltétel egy síkmetszet fő tehetetlenségi tengelyeinek ortogonalitási feltétele.

Meg kell jegyezni, hogy amikor a (2.22) és (2.24) képleteket használjuk a fő tehetetlenségi tengelyek helyzetének meghatározására, a következő mintát kell figyelembe venni:

A főtengely, amelyhez képest a tehetetlenségi nyomaték maximális, a legkisebb szöget zárja be az eredeti tengellyel, amelyhez képest a tehetetlenségi nyomaték nagyobb.

Példa 2.2.

Határozza meg a gerenda lapos szakaszainak geometriai jellemzőit a fő központi tengelyekhez képest:

Megoldás

A javasolt szakasz aszimmetrikus. Ezért a központi tengelyek helyzetét két koordináta határozza meg, a fő központi tengelyeket a központi tengelyekhez képest egy bizonyos szögben elforgatjuk. Ez magában foglal egy ilyen algoritmust a fő geometriai jellemzők meghatározásának problémájának megoldására.

1. A metszetet két olyan téglalapra bontjuk, amelynek területe és tehetetlenségi nyomatéka saját központi tengelyükre vonatkoztatva:

F 1 \u003d 12 cm 2, F 2 = 18 cm 2;

2. Beállítjuk a segédtengelyek rendszerét x 0 nál nél 0 ponttól kezdve DE. Ebben a tengelyrendszerben a téglalapok súlypontjainak koordinátái a következők:

x 1 = 4 cm; x 2 = 1 cm; nál nél 1 \u003d 1,5 cm; nál nél 2 \u003d 4,5 cm.

3. Határozza meg a szakasz súlypontjának koordinátáit a (2.4) képlet alapján!

A központi tengelyeket alkalmazzuk (2.9. ábrán pirossal).

4. Kiszámítjuk a központi tengelyekre vonatkozó tengelyirányú és centrifugális tehetetlenségi nyomatékokat xés nál nél c a (2.13) képlet szerint, összetett szakaszra alkalmazva:

5. Megtaláljuk a fő tehetetlenségi nyomatékokat a (2.23) képlet szerint!

6. Határozza meg a fő központi tehetetlenségi tengelyek helyzetét! xÉs nál nél a (2.24) képlet szerint:

A fő központi tengelyek (2.9. ábra) kék színnel láthatók.

7. Ellenőrizzük az elvégzett számításokat! Ehhez a következő számításokat végezzük:

A fő központi és központi tengely körüli tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok összegének azonosnak kell lennie:

Az α szögek moduljainak összege xés α y,, amely meghatározza a fő központi tengelyek helyzetét:

Ezen kívül az a rendelkezés, hogy a fő központi tengely x, amelyhez képest a tehetetlenségi nyomaték J x Megvan maximális érték, kisebb szöget zár be azzal a központi tengellyel, amelyhez képest nagyobb a tehetetlenségi nyomaték, azaz. tengellyel x tól től.

Fő tehetetlenségi tengelyek és fő tehetetlenségi nyomatékok.

Amikor a szög megváltozik, az Ix1, Iy1 és Ix1y1 értékei megváltoznak. Határozza meg annak a szögnek az értékét, amelynél Ix1 és Iy1 szélsőértékkel rendelkezik; ehhez vesszük az első deriváltot Ix1 vagy Iy1 vonatkozásában, és nullával egyenlővé tesszük: vagy ahonnan (1.28)

Ez a képlet két tengely helyzetét határozza meg, amelyek közül az egyikhez képest a tengelyirányú tehetetlenségi nyomaték maximális, a másikhoz képest minimális.

Az ilyen tengelyeket főnek nevezzük. A főtengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékokat fő tehetetlenségi nyomatékoknak nevezzük.

A fő tehetetlenségi nyomatékok értékeit az (1.23) és (1.24) képletből találjuk meg, behelyettesítve azokat az (1.28) képletből, míg a kettős szög függvényeihez az ismert trigonometriai képleteket használjuk.

A transzformációk után a következő képletet kapjuk a fő tehetetlenségi nyomatékok meghatározásához: (1.29)

A második derivált vizsgálatával megállapítható, hogy erre az esetre (Ix< Iy) максимальный момент инерции Imax имеет место относительно главной оси, повернутой на угол по отношению к оси х, а минимальный момент инерции - относительно другой, перпендикулярной оси. В большинстве случаев в этом исследовании нет надобности, так как по конфигурации сечений видно, какая из главных осей соответствует максимуму момента инерции.

A szakasz súlypontján átmenő főtengelyeket fő központi tengelyeknek nevezzük.

Sok esetben azonnal meg lehet határozni a fő központi tengelyek helyzetét. Ha az ábrának van szimmetriatengelye, akkor ez az egyik fő központi tengely, a második az elsőre merőleges metszet súlypontján halad át. A fentiek abból a tényből fakadnak, hogy a szimmetriatengelyhez és bármely, arra merőleges tengelyhez képest a centrifugális tehetetlenségi nyomaték egyenlő nullával.

Ha a szakasz két fő központi tehetetlenségi nyomatéka egyenlő egymással, akkor ennél a szakasznál bármely központi tengely a fő, és az összes fő központi tehetetlenségi nyomaték azonos (kör, négyzet, hatszög, egyenlő oldalú hatszög) .

9. Metszetek geometriai alapjellemzői

Itt: C- sík szakaszok súlypontja;

A- keresztmetszeti terület;

én x , I y- a szakasz tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékai a főtengelyekhez képest;

én xI , I yI- tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok a segédtengelyekhez képest;

én p- a szakasz poláris tehetetlenségi nyomatéka;

W x , W y- axiális ellenállási nyomatékok;

W p- poláris ellenállási momentum

Téglalap alakú szakasz

Egyenlőszárú háromszög keresztmetszete

10. A testre ható erők főbb fajtái. Erőnyomaték a középpont körül. A pillanat tulajdonságai.

A mechanikai problémák mérlegelésekor a testekre ható erők többsége három fő fajtának tulajdonítható:

A gravitációs erő;

Súrlódási erő;

Rugalmas erő.

A körülöttünk lévő összes test vonzódik a Földhöz, ez az egyetemes gravitációs erők hatásának köszönhető. Ha figyelmen kívül hagyjuk a légellenállást, akkor már tudjuk, hogy minden test ugyanolyan gyorsulással esik a Földre - a szabadesés gyorsulásával.

Mint minden tárgy, a rugóra felfüggesztett test is hajlamos leesni a Föld gravitációja miatt, de amikor a rugó egy bizonyos hosszúságúra megnyúlik, a test megáll, vagyis mechanikai egyensúlyi állapotba kerül. Azt már tudjuk, hogy a mechanikai egyensúly akkor áll be, ha a testre ható erők összege nulla. Ez azt jelenti, hogy a terhelésre ható gravitációs erőnek egyensúlyban kell lennie a rugó oldaláról ható erővel. Ezt az erőt, amely a gravitációs erővel szemben irányul és a rugó oldaláról hat, rugalmas erőnek nevezzük.

Egy bizonyos távolság megtétele után a test megáll, a test sebessége a kezdeti értékről nullára csökken, vagyis a test gyorsulása negatív érték. Következésképpen a testre a felület felől olyan erő hat, amely igyekszik ezt a testet megállítani, vagyis a sebessége ellen hat. Ezt az erőt súrlódási erőnek nevezzük.

A középpont (pont) körüli erőnyomaték.

Az erő pillanata F a középponthoz (ponthoz) képest RÓL RŐL vektornak nevezzük m o (F) egyenlő vektor termék vektor sugara r középről rajzolva RÓL RŐL pontosan DE erő alkalmazása, az erővektoron F:

ahol a h váll a középpontból leejtett merőleges RÓL RŐL az F erővonalhoz.

Pillanat m o (F) az F erő középpont (pont) körüli forgási hatását jellemzi RÓL RŐL.

Az erőnyomaték tulajdonságai:

1. Erőnyomaték a középpont körül nem változik hatalomátadáskor cselekvési vonal mentén bármely pontra;

2. Ha cselekvési vonal erő múlik el a központon keresztül RÓL RŐL(h = 0), akkor a középpont körüli erőnyomaték RÓL RŐL nulla.

Ha bármelyik testet egy tetszőleges tengely körül forgásba hozzuk, majd magára hagyjuk, akkor a forgástengely térbeli helyzete általában véve megváltozik: a tengely vagy forog, vagy elmozdul az inerciális vonatkoztatási rendszerhez képest. Ahhoz, hogy egy tetszőlegesen felvett tengelyt állandó helyzetben tartsunk, bizonyos erőket kell rá hatni.

Annak a testnek a forgástengelyét, amelynek térbeli helyzetét kívülről érkező erők alkalmazása nélkül megtartjuk, ún. szabad tengely test.

Megmutatható, hogy legalább három egymásra merőleges tengely halad át a test tömegközéppontján, amelyek szabad tengelyként szolgálhatnak. Az ilyen tengelyeket ún fő tehetetlenségi tengelyek test.

Egy testnek a főtengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékait nevezzük fő tehetetlenségi nyomatékok.

Tengelyszimmetriájú testeknél (például homogén hengernél) az egyik fő tengely egybeesik a szimmetriatengellyel, és bármely két tengely, amelyek merőlegesek a szimmetriatengelyre és egymásra, és áthaladnak a test tömegközéppontján szintén a főbbek (7.15. ábra) . Az utolsó két tengely körüli tehetetlenségi nyomaték egyenlő egymással, és a szimmetriatengely körüli tehetetlenségi nyomaték eltér tőlük

Az ilyen testet ún szimmetrikus felső.

Rizs. 7.15. Egy homogén henger főtengelyei

Központi szimmetriájú testnél (például homogén golyónál) a szimmetriaközépponton átmenő három, egymásra merőleges tengely a fő. Nekik

Az ilyen testeket ún golyós felsők. A gömbcsúcsnak a szimmetriaközépponton átmenő bármely tengelye fő (és ezért szabad).

Általános esetben a test fő tehetetlenségi nyomatékai eltérőek, azaz

Az ilyen testet ún aszimmetrikus felső. Az aszimmetrikus csúcsra példa a homogén téglalap alakú paralelepipedon (7.16. ábra).

Rizs. 7.16. Homogén paralelepipedon főtengelyei

"Majdnem" szabad forgással kisebb zavarok hatnak a testre. Ha ilyen perturbációk hatására a forgástengely keveset változtat a helyzetén, akkor a forgást hívjuk fenntartható. Ellenkező esetben beszélj róla instabil forgás.

A határozottság kedvéért álljon meg a következő összefüggés a fő tehetetlenségi nyomatékok között egy aszimmetrikus csúcsra:

Megmutatható, hogy az 1. és 3. tengely körüli forgás (azaz a maximális és minimális tehetetlenségi nyomatékú tengelyek) stabil, a 2. tengely körül (köztes tehetetlenségi nyomatékkal) pedig instabil.

Videó 7.4. Repülési stabilitás a levegőben kocka alakú

Hagyja, hogy a test forogjon az egyik fő tengely körül, például a z tengely körül. Aztán a vektor szögsebesség van formája

A szakasz tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékai a tengelyekről xÉs nál nél(lásd: 32. ábra, de) az alak határozott integráljainak nevezzük

A tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok meghatározásakor bizonyos esetekben a metszet egy másik új geometriai jellemzőjével kell találkozni - a centrifugális tehetetlenségi nyomatékkal.

centrifugális tehetetlenségi nyomaték két egymásra merőleges tengely körüli szakaszok x y(lásd: 32. ábra, de)

Poláris tehetetlenségi nyomaték szakasz az eredethez képest RÓL RŐL(lásd: 32. ábra, de) hívott határozott integrál kedves

ahol R- távolság a koordináták origójától az elemi területig d.A.

Az axiális és poláris tehetetlenségi nyomaték mindig pozitív, a centrifugális nyomaték pedig a tengelyválasztástól függően lehet pozitív, negatív vagy nulla. A tehetetlenségi nyomatékok kijelölésének mértékegységei - cm 4, mm 4.

A poláris és axiális tehetetlenségi nyomaték között a következő összefüggés van:

A (41) képlet szerint két egymásra merőleges tengely körüli tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok összege megegyezik e tengelyek metszéspontja (az origó) poláris tehetetlenségi nyomatékával.

A szakaszok tehetetlenségi nyomatékai ehhez képest párhuzamos tengelyek, amelyek egy része központi (x s, mi)> kifejezésekből határozzuk meg:

ahol és iv- a szelvény C súlypontjának koordinátái (34. ábra).

Képletek (42) nagy gyakorlati használat, a következőképpen értelmezhető: egy szakasz tehetetlenségi nyomatéka bármely tengely körül egyenlő a vele párhuzamos és a metszet súlypontján átmenő tengely körüli tehetetlenségi nyomatékkal, plusz a metszet területének szorzata a négyzettel a tengelyek közötti távolságról.

jegyzet: koordináták a és c be kell cserélni a fent megadott (42) képletekre, figyelembe véve azok előjeleit.

Rizs. 34.

A (42) képletekből az következik, hogy a párhuzamos tengelyekre ható összes tehetetlenségi nyomaték közül a legkisebb nyomaték a metszet súlypontján átmenő tengely körül lesz, azaz a központi tehetetlenségi nyomaték.

A szerkezet szilárdságának és merevségének meghatározására szolgáló képletek tartalmazzák a tehetetlenségi nyomatékokat, amelyeket nem csak központi, hanem főtengelyekhez viszonyítva számítanak ki. Annak meghatározásához, hogy a súlyponton átmenő tengelyek a fő tengelyek, meg kell tudni határozni az egymáshoz képest bizonyos szögben elforgatott tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékokat.

A koordinátatengelyek forgása közbeni tehetetlenségi nyomatékok közötti függések (35. ábra) a következő formájúak:

ahol de- a tengelyek elfordulási szöge ÉsÉs v a tengelyekről henna illetőleg. Az a szöget veszik figyelembe pozitív ha a tengelyek forgása Ésés mész óramutató járásával ellentétes irányban.

Rizs. 35.

Az egymásra merőleges tengelyekre vonatkozó tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok összege nem változik, ha elforgatjuk őket:

Amikor a tengelyek az origó körül forognak, a centrifugális tehetetlenségi nyomaték megváltozik folyamatosan, ezért a tengelyek egy bizonyos helyzetében nullával egyenlővé válik.

Két egymásra merőleges tengelyt nevezünk, amelyekre nézve a metszet centrifugális tehetetlenségi nyomatéka egyenlő nullával. fő tehetetlenségi tengelyek.

A fő tehetetlenségi tengelyek iránya a következőképpen határozható meg:

A (43) képletből kapott szög két értéke de 90°-kal különböznek egymástól, és megadják a főtengelyek helyzetét. Amint látja, a kisebbik szögek abszolút értéke nem haladja meg l /4. A jövőben csak kisebb szöget fogunk használni. Ebben a szögben végezve főtengely betűvel lesz jelölve És.ábrán A 36. ábra néhány példát mutat a főtengelyek e szabály szerinti kijelölésére. A kezdeti tengelyeket betűk jelölik hee w.

Rizs. 36.

Hajlítási feladatoknál fontos ismerni a szakaszok tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékait azon főtengelyekhez képest, amelyek áthaladnak a szakasz súlypontján.

A szakasz súlypontján átmenő főtengelyeket ún fő központi tengelyek. A következőkben ezeket a tengelyeket általában a rövidség kedvéért egyszerűen nevezzük főtengelyek, a „központi” szó elhagyásával.

Egy síkmetszet szimmetriatengelye ennek a szakasznak a fő központi tehetetlenségi tengelye, a második tengelye merőleges rá. Más szóval, a szimmetriatengely és a rá merőleges bármelyik tengely főtengelyrendszert alkot.

Ha egy síkmetszetnek legalább két szimmetriatengelye van, amelyek nem merőlegesek egymásra, akkor egy ilyen szakasz súlypontján átmenő összes tengely a fő központi tehetetlenségi tengelye. Tehát az ábrán. A 37. ábra néhány metszettípust (kör, gyűrű, négyzet, szabályos hatszög stb.) mutat be, amelyek a következő tulajdonsággal rendelkeznek: a súlypontjukon áthaladó bármely tengely a fő.

Rizs. 37.

Megjegyzendő, hogy a nem központi főtengelyek számunkra nem érdekesek.

A hajlítás elméletében legmagasabb érték tehetetlenségi nyomatékaik vannak a fő központi tengelyekkel kapcsolatban.

Fő központi pillanatok tehetetlenség vagy fő tehetetlenségi nyomatékok a fő központi tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékok. Ráadásul az egyik főtengelyhez képest a tehetetlenségi nyomaték maximális, a másikhoz képest - minimális:

ábrán látható szakaszok tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékai. 37, a fő központi tengelyekhez viszonyítva, egyenlőek egymással: J y , azután: J u = J x cos 2 a + J y sin a = J x .

Egy összetett szakasz tehetetlenségi nyomatékai egyenlők a részei tehetetlenségi nyomatékainak összegével. Ezért egy összetett szakasz tehetetlenségi nyomatékának meghatározásához a következőket írhatjuk:

ahol eJ xi, J y „J xiyi - a szakasz egyes részeinek tehetetlenségi nyomatékai.

Megjegyzés: ha a szakaszon van lyuk, akkor célszerű negatív területű szakasznak tekinteni.

A jövőbeni szilárdsági számítások elvégzéséhez új geometriai jellemzőt vezetünk be az egyenes kanyarban dolgozó rúd szilárdságára vonatkozóan. Ezt a geometriát ún axiális nyomaték ellenállás vagy hajlítási modulus.

Egy szakasz tehetetlenségi nyomatékának egy tengely körüli arányát az ettől a tengelytől a metszet legtávolabbi pontjától mért távolsághoz ún. axiális ellenállási nyomaték:

Az ellenállási nyomaték mérete mm 3, cm 3.

A tehetetlenségi és az ellenállási nyomatékok a leggyakoribbak egyszerű szakaszok táblázatban megadott képletek határozzák meg. 3.

A hengerelt acélgerendák (I-gerendák, csatornagerendák, szöggerendák stb.) esetében a tehetetlenségi nyomatékokat és az ellenállási nyomatékokat a hengerelt acélok választékának táblázataiban adjuk meg, ahol a méretek mellett a kereszt- metszeti területek, a súlypontok helyzete és egyéb jellemzők megadva.

Befejezésül bemutatjuk a koncepciót forgás sugara szakaszok a koordinátatengelyekhez képest xÉs nál nél - én xÉs én y illetve amelyeket a következő képletek határoznak meg.